7模型构建专题 平行中有关拐点问题-【学海风暴】2025-2026学年新教材八年级上册数学同步备课（北师大版2024）

∴∠PAB=180°-2∠BAE .∠ABF+∠CDF=∠BFG+∠DFG=∠BFD=12O 同理，得∠ABC=180°一2∠ABE BE平分∠ABF,DE平分∠CDF, :∠BAE十∠ABE=90°， .∠ABE= ∠ABF,∠CDE 1 .∠PAB十∠ABC=360°-2（∠BAE+∠ABE)=180°， .BC∥PA 1 2∠CDF, 第2课时平行线的性质 1.C2.75 “∠ABE+∠CDE=号∠ABF+∠CDF)=60 3.证明：”BE∥DF,∴∠1=∠4。 :∠1+∠2=90，.∠4十∠2=90 ,ABCD,∴.EH∥CD ∠2=∠3，∴∠4+∠3=90°， ∴，∠DEH=∠CDE, ∴∠ABC=90,.AB⊥EC. ,.∠BED=∠BEH十∠DEH=∠ABE十∠CDE=6O°. 4.B 4.解：(1)如图①，过点C作CF∥AB,则∠B十∠BCF= 5.解：AB∥EF,.∠AFE=∠A=30°， 180°. ∴∠CFE=∠AFE-∠AFC=30-15°-15， 又ABDE,.CFDE, CD/EF,∴∠C=∠CFE=15 .∠FCD+∠D=180°， 6.A7.107 ,.∠B十∠BCF+∠FCD+∠D=180°+180°=360°， 8.解：1)证明：：BC∥AD,∴.∠B=∠DOE 即∠B十∠BCD十∠D=360°， 又BE∥AF,.∠DOE■∠A,∠A=∠B ∠BCD=360'-∠B-∠D=360°-135-145°=80. (2)BE∥AF,∴∠EQA十∠A=180°. ∠E0A=∠D0B=135, ∠A=180°-∠E0A=180°-135°=45 9.270°10.B11.9512.56 13.解：如图，过点E作EF化 周① 周② 112, (2)如图②，过点C作CM∥AB,过点D作DN∥AB, .EF12, :AB∥EF,.AB/CM∥DN∥EF, ·∠1=∠AEF=30°，∠FEC+∠3 ∴∠B+∠1=180，∠2+∠3=180^，∠4+∠E=180°， =180°， ∠B+∠1+∠2+∠3+∠4+∠E=180°+180°+180 =540°， .∠2十∠3=∠AEF十∠FEC十∠3=30°+180°=210 14.E明：(1)：∠A=∠AGE,∠D=∠DGC,∠AGE= 即∠B+∠BCD+∠CDE+,∠E=540 5.解：如图，过点F作F日∥AB,则ABCD ∠DGC,∠A=∠D,AB∥CD. (2)∠1=∠BHG,∠1+∠2=180°， FH. .∠2+∠BHG=180, ·∠BAF=∠HFA,∠HFC=∠DCF .BF∥CE,.∠BEC+∠B=180 ∠EMD=∠BAE, 15.解：(1)AB∥CD,∠1=53°，∴∠4=∠1=53 ∴.∠BAF-∠DCF=,∠HFA-∠HFC=∠AFC. BE∥FG,∴.∠2=∠4=53，：∠2+∠3=180 ,AF平分∠BAE,CF平分∠DCE, .∠3=180°-∠2=127 .∠BAE=2∠BAF,∠DCE=2∠DCF, (2)规律：如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等 .∠BAE-∠DCE=2(∠BAF-∠DCF)=2,∠AFC 或互补 :∠E+∠DCE+∠EMC=180',∠EMC+∠EMD=180', (3)设一个角的度数为x°，则另一个角的度数为(2x一30) .∠E十∠DCE=,∠EMD, 根据题意，得x”十(2x-30)°=180°或x”=(2x-30)°，解得 ∴∠E=∠EMD-∠DCE=2∠AFC, x=70或x=30,∴.当x=70时，2x-30=110:当x=30 ∠E+∠AFC=3∠AFC=60, 时，2x一30=30.故这两个角的度数分别是70”，110或 ∠AFC-20",∴∠E=2×20°=40 6.解：如图，过点E作GF∥AB, 30,30° .∠B+∠BEG=180 模型构建专题平行中有关拐点问题 ,∠B=110°， 1.54 .∠BEG=180°-110°=70° .AB//CD. 2.解：如图，延长AE交直线b于点B. ∠2=∠3， .CD∥GF,∴∠C+,∠CEF=180. ∴.AECD, ∠C=100, ∴.∠4+∠5=180 .∠CEF=180°-100°=80， 当a%时，∠1=∠5=58 ∴.∠BEC=180°-∠BEG-∠CEF=180°-70°-80=30 ∴∠4=180°-∠5=180-58°-122 7.解：∠EOP+∠PFC=∠BEO+ 3.解：如图，过点F作FG∥AB,过点E作EH∥AB, ∠OPF,理由如下： ,∴.∠BFG=∠ABF,∠ABE=∠BEH 如图，分别过点O,P作OM∥AB, 'AB∥CD,,FGCD, PN/CD.'AB∥CD,∴.OM∥PN∥G ∴∠CDF=∠DFG, AB∥CD,.∠1=∠BEO,∠2=∠3 上册参考答案 191 ∠4=∠PFC,∴∠1+∠2+∠PFC=∠BE0+∠3+∠4， (2),AM平分∠BAP, 即∠EOP+∠PFC=∠BEO+∠OPF. 1 8解：如图，过点F作FK∥AB,过点A ÷∠BAM=MAP=Z∠BAP G作GH∥CD. 设∠BAM=∠MAP=y,∠MCD=x,则∠PCM=2x. :PF平分∠BPE,QG平 .AB//CD, 分∠CQE, .∠BAP=∠ANC,∠BAM=∠AHC '.可设∠BPF=∠EPF=x,∠CQG :∠ANC+∠CNP=180',∠PCD+∠P+∠CNP=180', =∠EQG=y. ∠PCM=2∠MCD,∠PCD=∠PCM+∠MCD, ∠BPE+∠DQE=250, ∠BAP=3∠MCD+∠P, .2x+180°-2y=250°， .∠P=2y-3x .x-y=35 同理，得∠BAM=∠M十∠MCD, 又ABCD,∴AB∥FK∥GH∥CD, .∠M=y-x. .∠PFK=,∠BPF=x,∠HGQ=∠CQG=y,∠KFG 2∠M-∠P=10° ∠HGF,∴.∠PFG-∠FCQ■∠PFK+∠KFG-(∠HGF ∴.2(y-x)-(2y-3x)=10°，解得x=10° +∠HGQ)=x十∠KFG-∠HGF-y=x-y=35 .∠PCD■∠MCD+∠PCM=3x=30 9.解：(1)，∠E+∠G=∠B+∠F+∠D. 4,解：'∠E+∠ADE+∠EAD■180°，∠DAC+∠EAD= 理由：如图，过点E,F,G分别作EM∥AB,A 180°，∠E=∠ADE, FN∥AB,GH∥AB ∴∠DAC=∠E+∠ADE=2∠E. AB∥CD, ∠BAD=26,∠BAC=2∠E+26 .AB∥EM∥FNGH/CD, "∠B+∠C+∠BAC=180°， ∴.∠1=∠B,∠2=∠3，∠5=∠4，∠6G ,∠B十∠C+2∠E+26°=180°， =∠D, .∠B+∠C十2，∠E=154 ∴.∠BEF+∠FGD=∠1+∠2+∠5+∠6=∠B+∠3+ ∠B=∠C,.∠C十∠E=77" ∠4+∠D=∠B+∠EFG+∠D. ∠BDE十∠CDE=180',∠C+∠E+∠CDE=180°， (2)∠E1十∠E&+∠E,十…十∠E.=∠B十∠F1十∠F .∠BDE=∠E十∠C=77 +…十∠F-1十∠D. 5.解：(1)∠B=35',∠C=60°，∴∠A=180°-∠B-∠C 180°-35°-60°=85 思想方法专题运用数学思想求角度 (2):∠A=70,∴∠ADE+,∠AED=180°-70°=110°. 1,解：(1)证明：：AD平分∠BAC, 由题意，得∠NDE=∠ADE,∠NED=∠AED,∴∠I+∠2 ∴∠BAD=∠CAD=号∠BAC. =180°-（∠NDE十∠ADE)+180°-（∠NED十∠AED) =360°-2×110°=140 :∠B+∠BAD+∠BDA=180°，∠BDA+∠EDA=180°， 6.解：1)①90°②∠F=∠E+30 ∴.∠EDA=∠B十∠BAD. (2)如图，过点F向左作FH∥EP. -B :∠EAD=∠EAC+∠CAD,∠EAD=∠EDA, 设∠BEF=2x.由(2)知，∠EFD E ∠EAC+∠CAD=∠B+∠BAD, =∠BEF+30°， ∴.∠EAC=∠B ,∠EFD=(2x十30)”，EP平分 (2)由(1)知，∠EAC=∠B=50 设∠CAD=x,刚，∠BAD=x,∠E=3x ∠BER,BG平分∠EFD,六∠PER=号∠BEF= ∴∠BAE=∠CAD+∠BAD+∠EAC=2x+50' ∠E+∠B+∠BAE-180', ∠ERG-专∠EFD-（+15.:FH∥EP,∴∠PEF- :.3x十50°+2x+50°-180，解得x=16, ∠EFH=x°，∠P=∠HFG.'∠HFG=∠EFG-∠EFH ∴.∠E=48. =15,.∠P=15 2.解：(1)证明：AD平分∠BAC,.∠BAD=∠DAC 7.解：分两种情况讨论： '∠CFE=∠G,∠CFE=∠AFG,∴∠AFG=∠G ①当△ABC是锐角三角形时，如图①， ∠AFG+∠G+∠GAF=180°，∠BAC+∠GAF=180, :BD,CE是△ABC的高， ∴.∠BAC=2,∠DAC=∠G+∠AFG, ∴∠ADB=90,∠BEC=90 .2∠DAC=2∠AFG, 在△ABD中，∠A=0', ∴.∠DAC=∠AFG,∴.AD∥EG. ∠ABD=90°-40°=50 (2):AD∥EG,∴∠BAD=∠G=y ,∠ABD+∠BEC+∠BHE=180° 又：∠ADC+∠BDA=180', ∠BHC+∠BHE-180', ∠B+∠BAD+∠BDA=180°，∴∠ADC=∠B+∠BAD .∠BHC=∠ABD+∠BEC=50°+90°=140°： =110°， ∴x+y=110 红中每化- y=40”, ∴∠B=70 3.解：(1)①55”②.∠P=360°-2∠M. 192 八年级数学BS版模型构建专题 平行中有关拐点问题 题型① 加截线 考查点2“”型图 1.某同学在研究传统文化“抖空竹” 4.(1)如图①，若AB∥DE,∠B=135°，∠D= 时有一个发现，他把它抽象成一 E< 145°，求∠C的度数。 个数学问题.如图，AB∥CD, D ∠A=77°，∠C=131°，则∠E的 第1题图 度数是 图① 图② 2.如右图，∠2=∠3，∠1=58.若 (2)如图②，AB∥EF,求∠B+∠C十∠D+ 要使a∥b,则∠4的度数应为 ∠E的度数. 多少？ 题型② 过“拐点”作平行线 考查点1 “了”型图 3.如下图，AB∥CD,BE平分∠ABF,DE平 分∠CDF,∠BFD=120°.求∠BED的 度数 考查点3“乙”型图 5.如下图，直线ABCD,AF平分∠BAE,CF 平分∠DCE,CD分别交AE,AF于点M, N.若∠E十∠F=60°，求∠E的度数. 上册第七章 9△ 考查点4“乙_”型图 8.如右图，点P,Q分别在一 6.如下图，AB∥CD,∠B=110°，∠C=100 组平行直线AB,CD上，在 两直线间取一点E,使得 求∠E的度数 ∠BPE+∠DQE=250. C 点F,G分别在∠BPE,∠CQE的平分线 上，且点F,G均在平行直线AB,CD之间. 求∠PFG-∠FGQ的度数. 考查点5 “三”型图 9.(1)如图①，AB∥CD,则∠E十∠G与∠B十 7.如下图，AB∥CD,折线EOPF在直线AB, ∠F十∠D有何关系？请说明理由 CD之间.求∠BEO,∠EOP,∠OPF, (2)如图②，AB∥CD,能得到什么结论（直接 ∠PFC之间满足的等量关系，并说明理由. 写出结论)？ 图② /八年级数学BS版