专题3.2 命题与证明（高效培优讲义）数学沪科版2024八年级上册

专题3.2 命题与证明 教学目标 1.结合具体实例,了解命题、真命题、假命题的意义,会区分命题的条件和结论。 2.了解原命题及其逆命题的概念,会识别两个互逆的命题,知道原命题成立其逆命题不一定成立.了解反例的意义和作用,会举反例. 3.理解定义、基本事实、定理、推论、证明的意义,通过具体例子了解证明的步骤和书写格式。 4.掌握“三角形内角和定理”及推论的证明及简单应用,了解在证明三角形内角和定理时所作辅助线的作用,理解三角形外角的概念. 5.能够运用三角形内角和定理、角平分线、平行线及已学过的几何知识证明一些简单的几何问题,并提高推理论证的能力. 教学重难点 教学重点：命题的概念及组成；真命题与假命题的判断；证明的基本步骤与规范书写。 教学难点：非标准形式命题的改写；理解 “证明的必要性”；证明思路的形成（从 “已知” 到 “求证” 的逻辑链条）；反证法的原理与应用；证明过程的逻辑严谨性。 知识点01 定义 能明确界定某个对象含义的语句叫做定义． 【即学即练】下列语句中，属于定义的是（   ） A．对顶角相等． B．作一条直线和已知直线垂直. C．在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线. D．图形的平移不改变图形的形状和大小. 知识点02 推理的必要性 几何中研究图形的性质时,其中一些结论是通过观察、操作和实验得来的、这样得出的结论有时不可靠,所以在研究图形性质、推导数学命题时要做必要的推理. 【即学即练】某岛上共有10个人，其中有些是说真话的老实人，另一些是说假话的骗子．他们每个人都想好了一个实数，然后第一个人说“我的数大于1”，第二个人说“我的数大于2”，……，第十个人说“我的数大于10”，此后，这10个人按某种顺序重新排列，依次说“我的数小于1”，“我的数小于2”，……，“我的数小于10”，那么这些人中最多有多少个老实人？ 知识点03 命题及其分类 1.命题的有关概念 判断一件事情的句子叫命题．其判断为正确的命题叫做真命题；其判断为错误的命题叫做假命题． 2.命题的分类：真命题、假命题 【即学即练】1．（24-25八年级上·安徽亳州·期中）下列语句中，是命题的是（   ） A．两点之间，线段最短 B．庄子故里欢迎您！ C．作线段的垂线 D．你吃饭了吗？ 2．（24-25八年级上·安徽淮北·期末）下列选项中，能够说明“若是有理数，则”是假命题的是（   ） A． B． C． D． 知识点04 命题的组成及形式 命题通常由条件、结论两个部分组成，通常可以写成“如果……那么……”的形式. 【即学即练】（23-24八年级上·安徽亳州·期末）把命题“全等三角形的对应中线相等”改写成“如果，那么”的形式： ． 知识点05 互逆命题 在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题.如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题. 【即学即练】（24-25八年级上·安徽合肥·期中）命题“若，则”的逆命题是 ． 知识点06 反例 符合命题条件，但不满足命题结论的例子，我们称之为反例。 【即学即练】（24-25八年级上·安徽蚌埠·期中）对于命题“若，则”，能说明这个命题是假命题的反例是（    ） A． B． C． D． 知识点07 定理、推论与证明 1、定理 用推理方法证明为正确的，并进一步作为判断其他命题真假的原始依据． 2.推论 由基本事实、定理直接得出的真命题叫作推论。 3、演绎推理（证明） 要从已知条件出发.根据已知的定义、基本事实、已证定理,并按照逻辑规则，推导出结论.这一方法称为演绎推理。 4.证明的一般步骤 证明过程中的静一步推理都要有依据.依据作为推理的理由,可以写在每一步后的括号内 (1)按题意画出图形. (2)分清命题的条件和结论,结合图形,在“已知”中写出条件,在“求证”中写出结论 (3)在“证明”中写出推理过程 在解决几何问题时,有时需要添加辅助线.添辅助线的过程要写人证明中.辅助线通常画成虚线 【即学即练】（24-25八年级上·安徽六安·期中）如图，有三个论断：①；②；③．请你从中任选两个作为条件，另一个作为结论构成一个命题，写出已知、求证，并证明该命题的正确性． 知识点08 三角形内角和定理及其推论 三角形内角和等于180° 推论1 直角三角形的两锐角互余 推论2 有两个角互余的三角形是直角三角形 知识点09 三角形的外角的概念和性质 1.三角形的外角的定义 三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角．如图，∠ACD是△ABC的一个外角. 2.三角形外角的性质 推论3 三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和。 推论4 三角形外角大于与它不相邻的任何一个内角。 【即学即练】（24-25八年级上·安徽蚌埠·期中）在中，，点分别在上． (1)如图1，，证明：是直角三角形； (2)如图2，连接， 平分，，求的度数． 题型01 命题的证明 【例1】如图，已知：点A、B、C在一条直线上． （1）请从三个论断：①AD∥BE；  ②∠1=∠2；③∠A=∠E中，选两个作为条件，另一个作为结论构成一个真命题： 条件： 结论： （2）证明你所构建的命题是真命题． 【变式1-1】如图，从①，②，③三个条件中选出两个作为已知条件，另一个作为结论可以组成3个命题．    (1)这三个命题中，真命题有______个； (2)选择一个真命题，并且完成证明过程． 【变式1-2】（1）如图，，，求证：； （2）若把（1）中的“”与结论“”对调，所得的命题是否为真命题？试说明理由写出过程．    【变式1-3】如图，从①，②，③，三个条件中选出两个作为题设，另一个作为结论可以组成3个命题．从中选择一个真命题，写出已知求证，并证明． 如图，已知________．求证：________．（填“①”，“②”，“③”） 证明： 题型02 三角形内角和定理与三角形三线的综合应用 【例2】（24-25八年级上·安徽阜阳·期中）如图，在中，是的平分线，交边于点，在上取点，连接，使． (1)求证：； (2)当，时，求的度数． 【变式2-1】（24-25八年级上·安徽合肥·阶段练习） 如图，在中，，为边上的高，平分，分别交，于点F，E． (1)若，求的度数； (2)证明：． 【变式2-2】如图，在中，，为边上的高，为三角形的角平分线，与相交于点． (1)求证：； (2)若，，，求的长度． 题型03 三角形内角和定理与平行线的综合应用 【例3】（24-25八年级上·安徽淮北·期中）如图，中，于点，交于点，于点，交于点． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【变式3-1】小刚同学想探究三角形内角和的度数，下面是他的探究过程：在的边上任取一点，过点作交于点，作交于点以下是他的推理过程，请你在横线上补充其推理过程或理由． 因为 所以 ______（理由：两直线平行同位角相等） （理由：______） 因为 所以 ______（理由：______） ______（理由：______） 因为 ______ 所以． 【变式3-2】（24-25八年级上·安徽合肥·期中）如图，已知直线，点A在直线a上，点B、C在直线b上，点D在线段上，平分，平分，． (1)求证：； (2)已知，求的度数． 【变式3-3】如图，，，分别平分和． (1)求证：； (2)求证：． 题型04 三角形外角性质的运用 【例4】（24-25八年级上·安徽六安·期末）如图，在中，和外角的平分线交于点，得；和的平分线交于点，得，已知、、的和为，则 ． 【变式4-1】（24-25八年级上·安徽淮南·期中）如图所示，，试求 ； 【变式4-2】（24-25八年级上·安徽淮南·阶段练习）如图，已知，，求的度数． 题型05 用推理解决探究性问题 【例5-1】（24-25八年级上·安徽池州·期末）如图，平分的外角，且交的延长线于点E． (1)若，，求的度数； (2)试猜想、、三个角之间存在的等量关系，并证明你的猜想． 【例5-2】（23-24八年级上·安徽阜阳·阶段练习）如图1，线段，相交于点，连接，，我们把形如图的图形称为“字形”.    (1)求证：； (2)如图2，求的度数； (3)如图3，平分，平分的邻补角，试猜想，与之间的数量关系，并说明理由. 【例5-3】（24-25八年级上·安徽淮北·期中）（1）问题引入：如图①，在中，O是和的平分线的交点，若，则________；如图②，，，，则________（用含的式子表示） （2）如图③，，，，请猜想________（用含的式子表示），并说明理由． （3）类比研究：，分别是的外角，的n等分线，它们交于点O，，，，请猜想________． 【变式5-1】（23-24八年级上·安徽滁州·阶段练习）如图，在中，分别延长的边到点与的平分线相交于点，爱动脑筋的小明在写作业时发现如下规律： a．若，则； b．若，则； c．若，则； ……    (1)根据上述规律，若，则　　　　． (2)　　　　．（用含的式子表示） (3)请证明（2）中的结论． 【变式5-2】（24-25八年级上·安徽安庆·期中）沪科版（数学）（八年级上册）第页第题求五角星形五个角的度数和（如图1）．我们求得．爱动脑筋的小聪借助几何画板将图1进行调整，得到图2、图3、图4三个图形，请你帮助小聪解决下列问题： (1)根据图2，直接写出，，，，满足的关系式___________； (2)如图3，点在上，求证：； (3)如图4，点在上方，请问（2）中的结论是否还成立，如果成立，请说明理由；如果不成立，请写出你的结论，并进行证明． 【变式5-3】（24-25八年级上·安徽蚌埠·期中）两张直角三角形纸片如图1摆放，点D在上，，． (1)证明：； (2)如图2，分别作与的平分线交于点F，求的度数； (3)如图3，点P，G分别在线段，上，连接，作的平分线交于点Q，若点H是线段上一点，连接，且．设，，，求，，之间的数量关系． 一、单选题 1．下列语句中，不是命题的是(   ) A．两点之间线段最短 B．不平行的两条直线只有一个交点 C．与y的差等于吗？ D．相等的角是对顶角 2．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）下列命题中，真命题是（　　） A．相等的角是对顶角 B．如果，那么 C．内错角相等 D．同旁内角互补 3．（23-24八年级上·安徽亳州·期中）下列定理中，其逆命题是假命题的是（    ） A．两直线平行，内错角相等 B．对顶角相等 C．直角三角形的两锐角互余 D．同角的补角相等 4．（23-24八年级上·安徽亳州·期末）能说明命题“对于任何实数a，”是假命题的一个反例可以是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 5．举出命题“若，则”是假命题的一个反例，则x的值可取 ． 6．（24-25八年级上·安徽合肥·阶段练习）命题“如果，那么”的逆命题为 ． 7．（23-24八年级上·安徽·期末）“如果，互为倒数，那么”的逆命题是 命题（填“真”或“假”）． 8．（23-24八年级下·安徽六安·期末）用反证法证明“三角形的三个内角中至少有一个角不小于60度”，第一步应假设 ． 三、解答题 9．一般地，对某一件事情作出正确或不正确的判断的语句叫做命题．现阶段我们在数学上学习的命题可看作由题设（或条件）和结论两部分组成．现有一命题“对顶角相等”： （1）请把此命题改写成“如果……那么……”的形式； （2）写出此命题的逆命题，并判断逆命题的真假． 10．（23-24八年级上·安徽阜阳·期中）写出下列命题的逆命题，并判断每对命题的真假： (1)两直线平行，同旁内角互补； (2)如果，那么，． 11.如图，在中，于D，平分交于点E，，，求的度数．请完善解答过程，并在括号内填写相应的理论依据． 解：∵（         ） ∴__________________（等式的性质） ∵平分（已知） ∴____________________________（         ） ∵（已知） ∴______________， ∴ ∴________________________． 12.如图，的和的平分线相交于点． (1)若，，求度数； (2)求证：． 13.用两种方法证明“三角形的内角和等于”. 已知：，，是的三个内角.求证：. 证法1：如图，过点 作. ， _______， ______＋______， ， . 请把证法1补充完整，并用不同的方法完成证法2. 14．（23-24八年级上·安徽合肥·单元测试）（1）完成下面的推理说明： 已知：如图，，分别平分和． 求证：． 证明：∵分别平分和（已知）， ∴______，______（____________）． ∵（____________）， ∴（______________________）． ∴____________（____________）， ∴∠____________（等式的基本性质）， ∴（______________________）； （2）说出（1）的推理中运用了哪两个互逆的真命题． 15．（24-25八年级上·安徽安庆·期中）如图，在中，，点D、E是边AC、AB上的点，点P是平面内一动点．令，，． (1)若点P在线段BC上，如图1所示，，则______； (2)若点P在边BC上运动，如图2所示，猜想、、之间的关系并说明理由； (3)若点P运动到边CB的延长线上，如图3所示，猜想、、之间的关系并说明理由； (4)若直线l在点A上方，且，点P在l上运动，点D到直线l的距离大于点E到直线l的距离，如图4，则、、之间的关系为______．（写出所有可能的结果） 16．（24-25八年级上·安徽六安·期中）如图，在中，点D在上，过点D作，交于点E．平分，交的平分线于点P，与相交于点G，过点C作交的延长线于点Q． (1)若，，则______°，______°． (2)若，当的度数发生变化时，，的度数是否发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，求，的度数（用含m的代数式表示）． (3)若中一个内角等于另一个内角的4倍，请直接写出所有符合条件的的度数． 17．（24-25八年级上·安徽淮北·期中）（1）如图1，在中，，是的角平分线，是边上的高线，、相交于点，若，求的度数． （2）如图2，在中，，是边上的高，若的外角的平分线交的延长线于点，其反向延长线与边的延长线交于点．若，求的度数（用表示）； （3）如图3，在中，，的平分线与交于点，与的外角的平分线交于点．过点作，交与点，请自行补全图形，并证明． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题3.2 命题与证明 教学目标 1.结合具体实例,了解命题、真命题、假命题的意义,会区分命题的条件和结论。 2.了解原命题及其逆命题的概念,会识别两个互逆的命题,知道原命题成立其逆命题不一定成立.了解反例的意义和作用,会举反例. 3.理解定义、基本事实、定理、推论、证明的意义,通过具体例子了解证明的步骤和书写格式。 4.掌握“三角形内角和定理”及推论的证明及简单应用,了解在证明三角形内角和定理时所作辅助线的作用,理解三角形外角的概念. 5.能够运用三角形内角和定理、角平分线、平行线及已学过的几何知识证明一些简单的几何问题,并提高推理论证的能力. 教学重难点 教学重点：命题的概念及组成；真命题与假命题的判断；证明的基本步骤与规范书写。 教学难点：非标准形式命题的改写；理解 “证明的必要性”；证明思路的形成（从 “已知” 到 “求证” 的逻辑链条）；反证法的原理与应用；证明过程的逻辑严谨性。 知识点01 定义 能明确界定某个对象含义的语句叫做定义． 【即学即练】下列语句中，属于定义的是（   ） A．对顶角相等． B．作一条直线和已知直线垂直. C．在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线. D．图形的平移不改变图形的形状和大小. 【答案】C 【知识点】平面内两直线的位置关系、作垂线(尺规作图)、写出命题的题设与结论、图形的平移 【分析】本题考查定义问题．掌握定义是由被定义项、定义项和定义联项三部分组成．被定义项是需要明确的概念，定义项是用来明确被定义项的概念，定义联项则是用来连接定义项和被定义项的．按照定义三项进行排查即可． 【详解】A、对顶角相等是命题不是定义； B、作一条直线和已知直线垂直是作图语句不是定义； C、在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线是定义，平行线是被定义项，不相交的两条直线是定义项，叫做定义联项； D、图形的平移不改变图形的形状和大小是平移的性质不是定义． 故选：C 知识点02 推理的必要性 几何中研究图形的性质时,其中一些结论是通过观察、操作和实验得来的、这样得出的结论有时不可靠,所以在研究图形性质、推导数学命题时要做必要的推理. 【即学即练】某岛上共有10个人，其中有些是说真话的老实人，另一些是说假话的骗子．他们每个人都想好了一个实数，然后第一个人说“我的数大于1”，第二个人说“我的数大于2”，……，第十个人说“我的数大于10”，此后，这10个人按某种顺序重新排列，依次说“我的数小于1”，“我的数小于2”，……，“我的数小于10”，那么这些人中最多有多少个老实人？ 【答案】9个 【知识点】逻辑推理与论证 【分析】本题主要考查了简单的逻辑推理与论证，假设这10个人都是老实人，那么第一轮报数中，所有人的数都大于1，这与第二轮报数中，存在一人所报的数小于1矛盾，则老实人最多有9人，对于（且k为整数），第一轮报数中，第k人变动为第二轮的第人，而第10人变动为第二轮报数的第一人，那么只要满足第k个人报的数只要大于k且小于，就可推出第k个人没有说谎，据此可得答案． 【详解】解：假设这10个人都是老实人，那么第一轮报数中，所有人的数都大于1，这与第二轮报数中，存在一人所报的数小于1矛盾， ∴老实人最多有9人， 理由如下：在第一轮报数中，前面9个人都是老实人，最后一人为骗子，对于（且k为整数），第一轮报数中，第k人变动为第二轮的第人，而第10人变动为第二轮报数的第一人，故第k个人报的数只要大于k且小于，那么他们就没有说谎，而最后一人说谎； 综上所述，这些人中最多有9个老实人 知识点03 命题及其分类 1.命题的有关概念 判断一件事情的句子叫命题．其判断为正确的命题叫做真命题；其判断为错误的命题叫做假命题． 2.命题的分类：真命题、假命题 【即学即练】1．（24-25八年级上·安徽亳州·期中）下列语句中，是命题的是（   ） A．两点之间，线段最短 B．庄子故里欢迎您！ C．作线段的垂线 D．你吃饭了吗？ 【答案】A 【知识点】判断是否是命题 【分析】本题考查命题的识别，对一件事情做出判定的语句是命题，根据其定义对各个选项进行分析，从而得到答案． 【详解】解：A，有题设，有结论，是命题； B，有结论，没有题设，不是命题； C，有题设，没有结论，不是命题； D，疑问句，没有结论，不是命题； 故选A． 2．（24-25八年级上·安徽淮北·期末）下列选项中，能够说明“若是有理数，则”是假命题的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】举例说明假（真）命题 【分析】本题考查举反例说明命题是假命题，熟练掌握要说明一个命题的正确性，一般要推理、谁，而判断一个命题是假命题只要举出一个反例即可． 根据绝对值的性质、有理数的除法以法则，逐项代入计算判定即可． 【详解】解：A、当时，， ∴说明“若是有理数，则”是假命题，故此选项符合题意； B、当时，无意义， ∴不能说明“若是有理数，则”是假命题，故此选项不符合题意； C、当时，， ∴不能说明“若是有理数，则”是假命题，故此选项不符合题意； D、当时，， ∴不能说明“若是有理数，则”是假命题，故此选项不符合题意； 故选：A． 知识点04 命题的组成及形式 命题通常由条件、结论两个部分组成，通常可以写成“如果……那么……”的形式. 【即学即练】（23-24八年级上·安徽亳州·期末）把命题“全等三角形的对应中线相等”改写成“如果，那么”的形式： ． 【答案】如果两个三角形是全等三角形，那么它们的对应中线相等 【知识点】写出命题的题设与结论 【分析】本题考查命题，涉及命题的改写，熟记命题的概念，分清命题的条件与结论是解决问题的关键． 【详解】解：如果两个三角形是全等三角形，那么它们的对应中线相等， 故答案为：如果两个三角形是全等三角形，那么它们的对应中线相等． 知识点05 互逆命题 在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题.如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题. 【即学即练】（24-25八年级上·安徽合肥·期中）命题“若，则”的逆命题是 ． 【答案】若，则 【知识点】写出命题的逆命题 【分析】本题考查了互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．根据互逆命题的定义，把原命题的题设和结论交换即可． 【详解】解：“若，则”的逆命题为“若，则”． 故答案为：若，则． 知识点06 反例 符合命题条件，但不满足命题结论的例子，我们称之为反例。 【即学即练】（24-25八年级上·安徽蚌埠·期中）对于命题“若，则”，能说明这个命题是假命题的反例是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】举反例 【分析】本题考查了用举反例说明命题是假命题，要求举出的例子符合命题的条件，但不符合命题的结论；根据这一特点判断即可． 【详解】解：A、例子符合命题的条件，也符合命题的结论，故不是举反例； B、例子不符合命题的条件，也不符合命题的结论，故不是举反例； C、例子不符合命题的条件，但符合命题的结论，故不是举反例； D、例子符合命题的条件，但不符合命题的结论，故是举反例； 故选：D． 知识点07 定理、推论与证明 1、定理 用推理方法证明为正确的，并进一步作为判断其他命题真假的原始依据． 2.推论 由基本事实、定理直接得出的真命题叫作推论。 3、演绎推理（证明） 要从已知条件出发.根据已知的定义、基本事实、已证定理,并按照逻辑规则，推导出结论.这一方法称为演绎推理。 4.证明的一般步骤 证明过程中的静一步推理都要有依据.依据作为推理的理由,可以写在每一步后的括号内 (1)按题意画出图形. (2)分清命题的条件和结论,结合图形,在“已知”中写出条件,在“求证”中写出结论 (3)在“证明”中写出推理过程 在解决几何问题时,有时需要添加辅助线.添辅助线的过程要写人证明中.辅助线通常画成虚线 【即学即练】（24-25八年级上·安徽六安·期中）如图，有三个论断：①；②；③．请你从中任选两个作为条件，另一个作为结论构成一个命题，写出已知、求证，并证明该命题的正确性． 【答案】见解析 【知识点】写出命题的题设与结论、根据平行线判定与性质证明、对顶角相等 【分析】此题考查命题与定理问题，证明的一般步骤：写出已知，求证，画出图形，再证明．也考查了平行线的判定和性质、对顶角相等等知识． 根据题意，请从中任选两个作为条件，另一个作为结论构成一个命题，分三种情况根据平行线的判定和性质及对顶角相等进行证明． 【详解】解：第一种情况： 已知：，， 求证： 证明：如图， ∵，， ∴ ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴ 第二种情况： 已知：，， 求证： 证明：如图， ∵，， ∴ ∴， ∴， ∵ ∴， ∴ 第三种情况： 已知：，， 求证： 证明：如图， ∵ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴ 知识点08 三角形内角和定理及其推论 三角形内角和等于180° 推论1 直角三角形的两锐角互余 推论2 有两个角互余的三角形是直角三角形 知识点09 三角形的外角的概念和性质 1.三角形的外角的定义 三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角．如图，∠ACD是△ABC的一个外角. 2.三角形外角的性质 推论3 三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和。 推论4 三角形外角大于与它不相邻的任何一个内角。 【即学即练】（24-25八年级上·安徽蚌埠·期中）在中，，点分别在上． (1)如图1，，证明：是直角三角形； (2)如图2，连接， 平分，，求的度数． 【答案】(1)见解析； (2) 【知识点】角平分线的有关计算、直角三角形的两个锐角互余、三角形的外角的定义及性质、三角形内角和定理的应用 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质、三角形内角和定理、三角形外角的定义和性质等知识，熟练掌握相关知识并灵活运用是解题关键． （1）根据“直角三角形两锐角互余”可得，结合可得，进而可得，即可证明结论； （2）首先根据三角形内角和定理解得，再根据角平分线的定义可得，然后根据“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和”，即可获得答案． 【详解】（1）证明∵在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是直角三角形； （2）解：∵在中，，， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 题型01 命题的证明 【例1】如图，已知：点A、B、C在一条直线上． （1）请从三个论断：①AD∥BE；  ②∠1=∠2；③∠A=∠E中，选两个作为条件，另一个作为结论构成一个真命题： 条件： 结论： （2）证明你所构建的命题是真命题． 【答案】（1）AD∥BE，；；（2）见解析 【知识点】根据平行线判定与性质证明、写出命题的题设与结论 【分析】（1）根据命题的概念，写出条件、结论； （2）根据平行线的判定的礼盒性质定理证明． 【详解】解：（1）条件：①AD∥BE；②∠1＝∠2； 结论：③∠A＝∠E， 故答案为：①AD∥BE，②∠1＝∠2；③∠A＝∠E； （2）证明：∵AD∥BE， ∴∠A＝∠EBC， ∵∠1＝∠2， ∴DE∥BC， ∴∠E＝∠EBC， ∴∠A＝∠E． 【点睛】本题考查的是命题的概念、平行线的性质，掌握平行线的判定定理和性质定理是解题的关键． 【变式1-1】如图，从①，②，③三个条件中选出两个作为已知条件，另一个作为结论可以组成3个命题．    (1)这三个命题中，真命题有______个； (2)选择一个真命题，并且完成证明过程． 【答案】(1)3 (2)见解析 【知识点】根据平行线判定与性质证明、判断命题真假 【分析】（1）利用平行线的判定和性质，进行判定即可； （2）利用平行线的判定和性质，进行证明即可． 【详解】（1）解：这三个命题中，真命题有3个；理由见（2） 故答案为：3； （2）已知，，求证：． 证明：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 已知，，求证：． 证明：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 已知，，求证：． 证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查平行线的判定和性质，解题的关键是掌握平形线的判定定理和性质定理． 【变式1-2】（1）如图，，，求证：； （2）若把（1）中的“”与结论“”对调，所得的命题是否为真命题？试说明理由写出过程．    【答案】（1） （2）真命题 【知识点】两直线平行同位角相等、两直线平行内错角相等、根据平行线判定与性质证明、判断命题真假 【详解】（1）证明： 又 ． （2）真命题，理由如下： ， ． 【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，真命题的定义，关键找准判定两直线平行的条件和两直线平行的性质运用． 【变式1-3】如图，从①，②，③，三个条件中选出两个作为题设，另一个作为结论可以组成3个命题．从中选择一个真命题，写出已知求证，并证明． 如图，已知________．求证：________．（填“①”，“②”，“③”） 证明： 【答案】①②，③，证明过程见解析；或①③，②，证明过程见解析；或②③，①，证明过程见解析 【知识点】根据平行线判定与性质证明、判断命题真假、写出命题的题设与结论 【分析】三个命题分别是：已知①②，求证：③；已知①③，求证：②；已知②③，求证：①；命题一证明：根据，得到，推出．根据，得到，推出，推出；命题二证明：根据，得到，推出．根据，得到，推出，推出；命题三证明：根据，得到，推出．根据，得到，推出，推出． 【详解】命题一：如图，已知①②，求证：③． 证明：∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， 命题二：如图，已知①③，求证：②． 证明：∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 命题三：如图，已知②③，求证：①． 证明：∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：①②，③．或①③，②．或②③，①． 【点睛】本题主要考查了命题，平行线的判定与性质，解决问题的关键是熟练掌握命题的定义和组成，平行线的判定和性质，等量代换． 题型02 三角形内角和定理与三角形三线的综合应用 【例2】（24-25八年级上·安徽阜阳·期中）如图，在中，是的平分线，交边于点，在上取点，连接，使． (1)求证：； (2)当，时，求的度数． 【答案】(1)见详解 (2) 【知识点】内错角相等两直线平行、与角平分线有关的三角形内角和问题、三角形内角和定理的应用 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，三角和内角和定理以及平行线的判定及性质． （1）根据平分，得到，再由等量代换推出，根据“内错角相等，两直线平行”即可得证． （2）先根据平行线的性质求出的度数，然后根据三角形内角和定理求出的度数，由平分推出的度数，最后根据三角形内角和定理即可求出的度数． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴． （2）∵， ∴ 在中，， ∴， 又∵平分， ∴ ∴． 【变式2-1】（24-25八年级上·安徽合肥·阶段练习） 如图，在中，，为边上的高，平分，分别交，于点F，E． (1)若，求的度数； (2)证明：． 【答案】(1) (2)见解析 【知识点】对顶角相等、直角三角形的两个锐角互余、与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】本题考查了直角三角形的性质、三角形角平分线、中线和高的有关知识． （1）根据直角三角形的性质得出∠CBE，进而利用角平分线的定义和三角形内角和定理解答即可， （2）题目中有两对直角，可得两对角互余，由角平分线及对顶角可得两对角相等，然后利用等量代换可得答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴． （2）证明：如下图： ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式2-2】如图，在中，，为边上的高，为三角形的角平分线，与相交于点． (1)求证：； (2)若，，，求的长度． 【答案】(1)见解析； (2)． 【知识点】与三角形的高有关的计算问题、三角形角平分线的定义 【分析】本题考查的知识点是角平分线的定义、等角的余角相等、三角形面积计算公式，解题关键是熟练掌握角平分线的定义． （1）先根据角平分线的定义得到，再根据等角的余角相等得到，然后利用得到； （2）利用等面积法计算的长． 【详解】（1）证明：平分， ， 是的高， ， ， ，， ， ， ； （2）解：， ，， ， ． 即的长度为． 题型03 三角形内角和定理与平行线的综合应用 【例3】（24-25八年级上·安徽淮北·期中）如图，中，于点，交于点，于点，交于点． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】垂线的定义理解、根据平行线判定与性质证明、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，三角形的内角和性质，垂直定义，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）由平行线的性质得，再证明，则，再计算角的等量代换，即可作答． （2）结合垂直定义得出，再运用三角形的内角和性质列式计算，即可作答． 【详解】（1）证明：， ， ，， ， ， ； （2）解：，， ， ， ， ． 【变式3-1】小刚同学想探究三角形内角和的度数，下面是他的探究过程：在的边上任取一点，过点作交于点，作交于点以下是他的推理过程，请你在横线上补充其推理过程或理由． 因为 所以 ______（理由：两直线平行同位角相等） （理由：______） 因为 所以 ______（理由：______） ______（理由：______） 因为 ______ 所以． 【答案】；两直线平行，内错角相等 ；；两直线平行，同位角相等；；两直线平行，同位角相等； 【知识点】两直线平行同位角相等、两直线平行内错角相等、三角形内角和定理的证明 【分析】本题考查了平行线的性质，牢记各平行线的性质定理是解题的关键．由，利用平行线的性质，可得出，，由，利用平行线的性质，可得出，，结合，即可得出． 【详解】解：因为 所以理由：两直线平行，同位角相等 理由：两直线平行，内错角相等 因为 所以理由：两直线平行，同位角相等 理由：两直线平行，同位角相等 因为 所以． 故答案为：，两直线平行，内错角相等，，两直线平行，同位角相等，，两直线平行，同位角相等，． 【变式3-2】（24-25八年级上·安徽合肥·期中）如图，已知直线，点A在直线a上，点B、C在直线b上，点D在线段上，平分，平分，． (1)求证：； (2)已知，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】角平分线的有关计算、根据平行线判定与性质证明、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，三角形的内角和，角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质定理是解题的关键． （1）根据平行线的性质得到，由角平分线的定义得到，由推出，根据同位角相等，两直线平行即可得到结论； （2）根据角平分线的定义得到，进而求出，再根据（1）中，得到，最后结合，利用三角形内角和定理即可求出，再根据平行线的性质即可解答． 【详解】（1）证明：∵直线， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵平分，平分， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式3-3】如图，，，分别平分和． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】角平分线的有关计算、根据平行线判定与性质证明、三角形内角和定理的证明 【分析】本题主要考查了平行线的判定及性质，角平分线定义，三角形的内角和定理，熟练掌握平行线的判定及性质是解题的关键． （1）根据角平分线定义得，进而即可得证； （2）由，得，进而结合角平分线得，，再根据，即可求得，即可得证． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∴，， ∵分别平分和 ∴，， ∵， ∴， ∴． 题型04 三角形外角性质的运用 【例4】（24-25八年级上·安徽六安·期末）如图，在中，和外角的平分线交于点，得；和的平分线交于点，得，已知、、的和为，则 ． 【答案】 【知识点】角平分线的有关计算、三角形的外角的定义及性质 【分析】本题考查角平分线，三角形的外角的知识，解题的关键是掌握角平分线的性质，根据三角形的外角和，角平分线的性质，则，，根据已知、、的和为，求出，即可． 【详解】解：∵中，和外角的平分线交于点， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴； ∵和的平分线交于点， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵、、的和为， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式4-1】（24-25八年级上·安徽淮南·期中）如图所示，，试求 ； 【答案】/105度 【知识点】三角形的外角的定义及性质 【分析】本题考查了三角形的外角的性质，熟练掌握“三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和”知识点是解题的关键．由三角形的外角的性质定理可得，，结合再利用平角的定义即可解答． 【详解】解：，， ， ， ， ． 故答案为：． 【变式4-2】（24-25八年级上·安徽淮南·阶段练习）如图，已知，，求的度数． 【答案】 【知识点】三角形的外角的定义及性质 【分析】本题考查了三角形外角的性质，由三角形的外角的性质得，，即可求解． 【详解】解：由题意得 ， ． 题型05 用推理解决探究性问题 【例5-1】（24-25八年级上·安徽池州·期末）如图，平分的外角，且交的延长线于点E． (1)若，，求的度数； (2)试猜想、、三个角之间存在的等量关系，并证明你的猜想． 【答案】(1) (2)，证明见解析 【知识点】角平分线的有关计算、三角形的外角的定义及性质 【分析】本题考查的是角平分线的定义，三角形的外角的性质； （1）先求解，可得，再利用三角形的外角的性质可得结论； （2）证明，结合，，可得结论． 【详解】（1）解：，， ， 平分， ， ； （2）解：，理由如下： 平分， ， 又∵， ， 即． 【例5-2】（23-24八年级上·安徽阜阳·阶段练习）如图1，线段，相交于点，连接，，我们把形如图的图形称为“字形”.    (1)求证：； (2)如图2，求的度数； (3)如图3，平分，平分的邻补角，试猜想，与之间的数量关系，并说明理由. 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【知识点】对顶角相等、与角平分线有关的三角形内角和问题、三角形内角和定理的应用 【分析】（1）根据三角形内角和对顶角相等结合等式性质即可得出结论； （2）连接，由（1）中得出的“字形”的性质结合三角形内角和定理即可求出结果； （3）由角平分线性质得到，，由“字形”可知：，得出，再根据，，整理即可得到． 【详解】（1）证明：，， 又， ； （2）如图：连接， 由（1）可知与相交，连接，，图形称为“字形”， ， ； （3），理由如下： 如图： 平分，平分， ，， 由“字形”可知：， 即， ，， ． ． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理，三角形外角性质，角平分线定义，对顶角相等，理解题意灵活运用题中得出的“字形”性质，是解答本题的关键． 【例5-3】（24-25八年级上·安徽淮北·期中）（1）问题引入：如图①，在中，O是和的平分线的交点，若，则________；如图②，，，，则________（用含的式子表示） （2）如图③，，，，请猜想________（用含的式子表示），并说明理由． （3）类比研究：，分别是的外角，的n等分线，它们交于点O，，，，请猜想________． 【答案】（1）；（2）（3） 【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题、三角形的外角的定义及性质、角n等分线的有关计算 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识． （1）由三角形内角和定理可求得，根据角平分线的定义可求得，在中利用三角形内角和定理可求得； （2）方法同（1）； （3）根据三角形的内角和等于列式整理即可得． 【详解】解：（1）∵，, ∴， ∵点O是和平分线的交点， ∴， ∵， ∴； 同法，在中， ， 故答案为：；； （2） 理由如下：在中， ； 故答案为：； （3）类似（2），可得在中， ； 故答案为：． 【变式5-1】（23-24八年级上·安徽滁州·阶段练习）如图，在中，分别延长的边到点与的平分线相交于点，爱动脑筋的小明在写作业时发现如下规律： a．若，则； b．若，则； c．若，则； ……    (1)根据上述规律，若，则　　　　． (2)　　　　．（用含的式子表示） (3)请证明（2）中的结论． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【知识点】数字类规律探索、利用邻补角互补求角度、与角平分线有关的三角形内角和问题、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查找规律，涉及三角形内角和定理、邻补角、角平分线性质等知识，读懂题意，找到规律，并灵活运用三角形内角和定理求解是解决问题的关键． （1）由题中规律即可得到答案； （2）由题中规律即可得到答案； （3）根据上述规律，由三角形内角和定理、邻补角及角平分线的性质即可证明． 【详解】（1）解： a．若，则； b．若，则； c．若，则； …… 若，则； 故答案为：； （2）解：由（1）中规律可知，， 故答案为：； （3）解：如图所示：    在中，， ， ，即， 平分，平分， ， 在中，． 【变式5-2】（24-25八年级上·安徽安庆·期中）沪科版（数学）（八年级上册）第页第题求五角星形五个角的度数和（如图1）．我们求得．爱动脑筋的小聪借助几何画板将图1进行调整，得到图2、图3、图4三个图形，请你帮助小聪解决下列问题： (1)根据图2，直接写出，，，，满足的关系式___________； (2)如图3，点在上，求证：； (3)如图4，点在上方，请问（2）中的结论是否还成立，如果成立，请说明理由；如果不成立，请写出你的结论，并进行证明． 【答案】(1) (2)见解析 (3)成立，见解析 【知识点】根据平行线判定与性质证明、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查三角形的内角和的知识，解题的关键是掌握三角形的内角和为，平角的性质，平行线的性质，进行解答，即可． （1）连接，设，交于点，根据三角形的内角和，则，得到，根据，等量代换，即可； （2）根据三角形的内角和，则，，可得，根据，等量代换，即可； （3）如图，过点作交于点，交于点，根据平行线的性质，则，，根据三角形的内角和，则，，得到，根据平角的性质，则，等量代换，即可． 【详解】（1）解：如图，连接，设，交于点， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． （2）解：证明：如图， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴． （3）解：成立，理由如下： 如图，过点作交于点，交于点， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式5-3】（24-25八年级上·安徽蚌埠·期中）两张直角三角形纸片如图1摆放，点D在上，，． (1)证明：； (2)如图2，分别作与的平分线交于点F，求的度数； (3)如图3，点P，G分别在线段，上，连接，作的平分线交于点Q，若点H是线段上一点，连接，且．设，，，求，，之间的数量关系． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【知识点】平行公理推论的应用、两直线平行内错角相等、三角形的外角的定义及性质、三角形内角和定理的应用 【分析】（1）由三角形的内角和定理可得，利用已知条件，及等式的性质可得，根据内错角相等两直线平行即可得证； （2）由直角三角形的两个锐角互余及已知条件可得，由与的平分线交于点可得，过作，由平行公理推论可得，由两直线平行内错角相等可得，，由即可得出答案； （3）设，则，，由（1）可得，利用平行线的性质可得，，由三角形外角的性质可得，，由、可得，利用等式的性质消去即可得出，，之间的数量关系． 【详解】（1）证明：， 又，， ， ； （2）解：，， ， 与的平分线交于点， ，， ， 如图，过作， 由（1）可得：， ， ，， ； （3）解：如图，当在线段上， 设，则，， 由（1）可得：， ，， ， ， ，，，的平分线交于点Q， ，， 由、可得： ， ，，之间的数量关系为：． 【点睛】本题主要考查了三角形的内角和定理，等式的性质，内错角相等两直线平行，直角三角形的两个锐角互余，角平分线的有关计算，平行公理推论的应用，两直线平行内错角相等，三角形外角的性质，列代数式，等式的性质等知识点，熟练掌握三角形内外角之间的有关计算是解题的关键． 一、单选题 1．下列语句中，不是命题的是(   ) A．两点之间线段最短 B．不平行的两条直线只有一个交点 C．与y的差等于吗？ D．相等的角是对顶角 【答案】C 【知识点】判断是否是命题 【分析】本题考查了命题的定义，根据命题的定义对四个语句进行判断． 【详解】解：A、两点之间线段最短是命题，不符合题意； B、不平行的两条直线有一个交点是命题，不符合题意； C、与y的差等于吗？不是命题，符合题意； D、相等的角是对顶角，是命题，不符合题意； 故选：C． 2．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）下列命题中，真命题是（　　） A．相等的角是对顶角 B．如果，那么 C．内错角相等 D．同旁内角互补 【答案】B 【知识点】对顶角的定义、两直线平行内错角相等、两直线平行同旁内角互补、判断命题真假 【分析】本题考查的是命题的真假判断，熟练掌握对顶角，平行线的性质是解题的关键． 先根据对顶角的定义、平行线的性质，逐项进行判断即可． 【详解】解：A，相等的角不一定是对顶角，原命题错误，不符合题意； B，如果 ，那么 ，是真命题，符合题意； C，内错角不一定相等，原命题错误，不符合题意； D，同旁内角不一定互补，原命题错误，不符合题意． 故选：B． 3．（23-24八年级上·安徽亳州·期中）下列定理中，其逆命题是假命题的是（    ） A．两直线平行，内错角相等 B．对顶角相等 C．直角三角形的两锐角互余 D．同角的补角相等 【答案】B 【知识点】根据平行线判定与性质证明、直角三角形的两个锐角互余、判断命题真假、写出命题的逆命题 【分析】本题主要考查了判断一个命题逆命题的真假，正确把原命题的结论和条件互换，从而写出对应的逆命题是解题的关键． 【详解】解：A、原命题的逆命题为：内错角相等，两直线平行，该逆命题是真命题，不符合题意； B、原命题的逆命题为：相等的角是对顶角，该逆命题是假命题，符合题意； C、原命题的逆命题为：两锐角互余的三角形是直角三角形，该逆命题是真命题，不符合题意； D、原命题的逆命题为：如果两个角相等，则这两个角是同一角的补角，该逆命题是真命题，不符合题意； 故选B． 4．（23-24八年级上·安徽亳州·期末）能说明命题“对于任何实数a，”是假命题的一个反例可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求一个数的绝对值、举例说明假（真）命题 【分析】本题考查了假命题中的举反例问题，同时也考查了绝对值的知识，得出当时，，是解答本题的关键．当时，不成立，据此作答即可． 【详解】解：当时，， 当时，， 即“对于任何实数，”是假命题的一个反例可以是， 故选：B． 二、填空题 5．举出命题“若，则”是假命题的一个反例，则x的值可取 ． 【答案】-3 【知识点】举例说明假（真）命题 【分析】当x=-3时，满足x＞-4，但不能得到x2＞16，于是x=-3可作为说明命题“x＞-4，则x2＞16”是假命题的一个反例． 【详解】解：说明命题“x＞-4，则x2＞16”是假命题的一个反例可以是x=-3． 故答案为：-3． 【点睛】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可． 6．（24-25八年级上·安徽合肥·阶段练习）命题“如果，那么”的逆命题为 ． 【答案】如果，那么 【知识点】写出命题的逆命题 【分析】本题考查根据原命题写逆命题，熟练掌握逆命题与原命题的关系是解题的关键．将原命题的结论改为条件，条件改为结论即可得出逆命题． 【详解】解：“如果，那么”的逆命题为：如果，那么． 故答案为：如果，那么． 7．（23-24八年级上·安徽·期末）“如果，互为倒数，那么”的逆命题是 命题（填“真”或“假”）． 【答案】真 【知识点】倒数、判断命题真假、写出命题的逆命题 【分析】本题考查的是命题的逆命题，真假命题的判定，先写出命题的逆命题，再判断即可. 【详解】解：命题“如果，互为倒数，那么”的逆命题是 “如果，那么，互为倒数”， 逆命题是真命题； 故答案为：真 8．（23-24八年级下·安徽六安·期末）用反证法证明“三角形的三个内角中至少有一个角不小于60度”，第一步应假设 ． 【答案】三角形的三个内角都小于 【知识点】三角形内角和定理的应用、反证法证明中的假设 【分析】熟记反证法的步骤，从命题的反面出发假设出结论，直接填空即可；此题主要考查了反证法的步骤，熟记反证法的步骤是解题的关键． 【详解】解：∵用反证法证明三角形中至少有一个角不小于， 第一步应假设结论不成立， 即三角形的三个内角都小于. 故答案为：三角形的三个内角都小于. 三、解答题 9．一般地，对某一件事情作出正确或不正确的判断的语句叫做命题．现阶段我们在数学上学习的命题可看作由题设（或条件）和结论两部分组成．现有一命题“对顶角相等”： （1）请把此命题改写成“如果……那么……”的形式； （2）写出此命题的逆命题，并判断逆命题的真假． 【答案】（1）如果两个角是对顶角，那么这两个角相等；（2）逆命题是“相等的角是对顶角”，逆命题是假命题． 【知识点】对顶角相等、判断命题真假、写出命题的题设与结论、写出命题的逆命题 【分析】（1）首先判断出命题的条件和结论，然后改写成“如果……那么……”的形式即可； （2）首先根据逆命题的定义求解，然后判定逆命题是否正确即可． 【详解】解：（1）∵原命题的条件是“两个角是对顶角”，结论是“这两个角相等”， ∴命题“对顶角相等”写成“如果……那么……”的形式为：“如果两个角是对顶角，那么这两个角相等”． （2）“对顶角相等”的逆命题是：“相等的角是对顶角”， ∵相等的角不一定是对顶角， ∴它是假命题． 【点睛】此题考查了逆命题的概念以及真假命题的判断，解题的关键是熟练掌握逆命题的概念以及真假命题的定义． 10．（23-24八年级上·安徽阜阳·期中）写出下列命题的逆命题，并判断每对命题的真假： (1)两直线平行，同旁内角互补； (2)如果，那么，． 【答案】(1)真命题，同旁内角互补，两直线平行，此逆命题为真命题 (2)假命题，如果，，则，此逆命题为真命题 【知识点】判断命题真假、写出命题的逆命题 【分析】本题主要考查了判断命题的真假，逆命题： （1）写出原命题的逆命题，结合平行线的判定和性质，即可； （2）写出原命题的逆命题，结合有理数的乘法，即可； 【详解】（1）解：两直线平行，同旁内角互补为真命题， 其逆命题为：同旁内角互补，两直线平行，此逆命题为真命题； （2）解：如果，那么，为假命题， 其逆命题为：如果，，则，此逆命题为真命题． 11.如图，在中，于D，平分交于点E，，，求的度数．请完善解答过程，并在括号内填写相应的理论依据． 解：∵（         ） ∴__________________（等式的性质） ∵平分（已知） ∴____________________________（         ） ∵（已知） ∴______________， ∴ ∴________________________． 【答案】，见解析 【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】本题考查了垂直的定义、角平分线的定义、三角形的内角和等知识点．根据条件完成几何推理即可． 【详解】解：（三角形内角和定理）， （等式的性质）， ∵平分（已知）， ∴（角平分线的定义）， ∵(已知）， ∵ ． 12.如图，的和的平分线相交于点． (1)若，，求度数； (2)求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】（）利用角平分线的定义可得，，进而根据三角形内角和定理即可求解； （）利用角平分线的定义可得，，进而根据三角形内角和定理得，再把代入计算即可求证； 本题考查了三角形的角平分线，三角形内角和定理，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】（1）解：∵平分，平分，，， ∴，， ∴； （2）证明：∵平分，平分， ∴，， ∴ ， ∵， ∴ ． 13.用两种方法证明“三角形的内角和等于”. 已知：，，是的三个内角.求证：. 证法1：如图，过点 作. ， _______， ______＋______， ， . 请把证法1补充完整，并用不同的方法完成证法2. 【答案】证法1：；；证法2见解析 【知识点】根据平行线的性质探究角的关系、三角形内角和定理的证明 【分析】本题考查了平行线的性质，正确添加辅助线是解题的关键． 证法1中，利用两直线平行，内错角相等，同旁内角互补求证；证法2中，利用两直线平行内错角相等，构造一个平角求证． 【详解】证法1：如图，过点 作. ， _______， ______＋______， ， . 证法2：如图，过点作，     ， ，，     ，     . 14．（23-24八年级上·安徽合肥·单元测试）（1）完成下面的推理说明： 已知：如图，，分别平分和． 求证：． 证明：∵分别平分和（已知）， ∴______，______（____________）． ∵（____________）， ∴（______________________）． ∴____________（____________）， ∴∠____________（等式的基本性质）， ∴（______________________）； （2）说出（1）的推理中运用了哪两个互逆的真命题． 【答案】（1）；；角平分线的定义；已知；两直线平行，内错角相等；；；等量代换；；；内错角相等，两直线平行；（2）两个互逆的真命题为两直线平行，内错角相等和内错角相等，两直线平行． 见析解 【知识点】根据平行线判定与性质证明、判断命题真假、判断是否为互逆命题 【分析】本题考查的是平行线的判定与性质的运用，解题时注意：平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系；平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项． （1）根据平行线的性质，可得，根据角平分线的定义，可得，再根据平行线的判定，即可得出， （2）在两个命题中，如果一个命题的结论和题干是另一个命题的题干和结论，则称它们为互逆命题． 【详解】解：（1）∵、分别平分和(已知)， ∴(角平分线的定义)， ∵(已知)， ∴(两直线平行，内错角相等)， ∴(等量代换)， ∴(等式的性质)， ∴(内错角相等，两直线平行)． 故答案为：；；角平分线的定义；已知；两直线平行，内错角相等；；；等量代换；；；内错角相等，两直线平行； （2）两个互逆的真命题为：两直线平行，内错角相等；内错角相等，两直线平行． 15．（24-25八年级上·安徽安庆·期中）如图，在中，，点D、E是边AC、AB上的点，点P是平面内一动点．令，，． (1)若点P在线段BC上，如图1所示，，则______； (2)若点P在边BC上运动，如图2所示，猜想、、之间的关系并说明理由； (3)若点P运动到边CB的延长线上，如图3所示，猜想、、之间的关系并说明理由； (4)若直线l在点A上方，且，点P在l上运动，点D到直线l的距离大于点E到直线l的距离，如图4，则、、之间的关系为______．（写出所有可能的结果） 【答案】(1) (2)，见解析 (3)，见解析 (4) 【知识点】三角形的外角的定义及性质、三角形内角和定理的应用 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质： （1）根据，可得，再根据平角的定义可得，则； （2）同（1）求解即可； （3）由三角形的外角的性质知：，，据此可得结论； （4）分4种情况，结合三角形的内角和定理，三角形的外角，进行求解即可． 【详解】（1）解：∵在四边形中，（四边形内角和可以看做连接对角线后两个三角形的内角和），，， ∴ ∵， ∴， ∴； （2）解：∵在四边形中，（四边形内角和可以看做连接对角线后两个三角形的内角和），， ∴ ∵， ∴， ∴； （3）解：猜想，理由如下： 设交于M， 由三角形的外角的性质知： ，， ， 即； （4）解：当点在点右侧，点上方时，设交于M， 由三角形的外角的性质知： ，， ， ， 即， 当点在点左侧，点上方时，设交于M， 由三角形的外角的性质知： ，， ， ， 即； 当点在点上方时，如图，连接， 则：， ∵， ∴， ∴， ∴； 当点在点的右侧时，如图： 则：， ∴， 综上：． 16．（24-25八年级上·安徽六安·期中）如图，在中，点D在上，过点D作，交于点E．平分，交的平分线于点P，与相交于点G，过点C作交的延长线于点Q． (1)若，，则______°，______°． (2)若，当的度数发生变化时，，的度数是否发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，求，的度数（用含m的代数式表示）． (3)若中一个内角等于另一个内角的4倍，请直接写出所有符合条件的的度数． 【答案】(1)114；24 (2)， (3)或或或 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】（1）先求出，根据角平分线的定义及平行线的性质得，，然后根据三角形的内角和定理可得出的度数；根据，进而可得出的度数； （2）根据角平分线的定义及平行线的性质得，根据三角形内角和定理得，则，进而可得出的度数；然后根据可得出的度数； （3）由（1）（2）可知，，，根据当若中存在一个内角等于另一个内角的4倍，有以下4中情况：①当时，②当时，③当时，④当时，根据每一种情况求出m的值即可得出的度数． 【详解】（1）解： 在中，，， ， 平分， ， ， ，， 平分， ， 在中，； ， ∵， ， 在中，， （2）解：、均不发生变化，，，理由如下： ， ，， 平分，平分， ，， ， 在中，， ， ， 在中，， ， 由（1）可知：， 在中，； （3）解：由（1）（2）可知：在中，，，， 当若中存在一个内角等于另一个内角的4倍时，有以下4中情况： ①当时，则， 解得：； ②当时，则， 解得：； ③当时，则， 解得：； ④当时，则， 解得：， 综上所述：若中存在一个内角等于另一个内角的4倍时，的度数为或或或． 故答案为：或或或． 【点睛】本题考查平行线的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理，准确识图，理解角平分线定义，熟练掌握平行线的性质，灵活运用三角形的内角和定理进行计算是解决问题的关键． 17．（24-25八年级上·安徽淮北·期中）（1）如图1，在中，，是的角平分线，是边上的高线，、相交于点，若，求的度数． （2）如图2，在中，，是边上的高，若的外角的平分线交的延长线于点，其反向延长线与边的延长线交于点．若，求的度数（用表示）； （3）如图3，在中，，的平分线与交于点，与的外角的平分线交于点．过点作，交与点，请自行补全图形，并证明． 【答案】（1）；（2）；（3）见解析 【知识点】三角形的外角的定义及性质、与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】本题考查了三角形内角和定理、角平分线的性质和三角形外角的性质，熟练掌握角平分线的性质和三角形外角的性质是解题的关键； （1）根据是边上的高，得，利用角平分线的性质求出 ，再利用三角形外角的性质即可得出答案； （2）利用角平分线的性质表示出，然后利用高线的性质得出，再利用三角形内角和即可得出答案； （3）根据题意画出的平分线，与交于D点。画出的外角的平分线，两条平分线交于点E，过点E作，交于点F，然后根据高线的性质及角平分线的性质和三角形外角的性质解答即可 【详解】解：（1）是边上的高线， ， 是的角平分线，， ， 又， ； （2）解为的角平分线， ， 是边上的高， ， ； （3）如图：作出的平分线，与交于D点．作出的外角的平分线，两条平分线交于点E，过点E作，交于点F， 证明：在中，， ， 又平分， ， ． 又平分， ， ， ， ， ， ． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$