专题2.1 函数（高效培优讲义）数学沪科版2024八年级上册

专题2.1 函数 教学目标 1.了解常量、变量的概念，能区分某一变化过程中的变量与常量。 2.掌握自变量和函数的概念，能辨析两个变量之间是否存在函数关系。 3.理解函数解析式的概念，能求出与已知自变量对应的函数值。 4.会确定实际问题中两个变量之间的函数解析式，能求出相应自变量的取值范围。 教学重难点 教学重点：明确 “变量” 与 “常量” 的区别；掌握函数的核心定义；函数的三种表示方法三者能相互转化。 教学难点：理解 “唯一性” 的内涵；摆脱 “解析式依赖”；区分 “自变量” 与 “因变量”。 知识点01 变量与常量的含义 在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为变量.数值保持不变的量叫做常量. 要点诠释：一般地，常量是不发生变化的量，变量是发生变化的量，这些都是针对某个变化过程而言的.例如，，速度60千米/时是常量，时间和里程为变量. 【即学即练】某地手机通话费为元，小明存入50元手机话费，记此后他的手机通话时间为，话费余额为元．则此问题中的常量和变量是（    ） A．常量50；变量． B．常量，50；变量． C．常量，50；变量． D．常量，50；变量，． 【答案】D 【知识点】函数的概念 【分析】本题考查了常量和变量，理解定义是解题的关键； 根据常量和变量的定义，常量是固定不变的量，变量是会发生变化的量．本题中，通话费率和初始话费为常量，通话时间和余额为变量即可解答． 【详解】解：手机通话费为元/分钟，小明存入的50元话费，这两个数值在问题中固定不变，所以，，50是常量． 通话时间和话费余额会随着通话的进行而变化．具体来说，是自变量，是因变量，满足关系式． 所以，和均为变量． 故选：D． 知识点02 函数的概念 一般地，在一个变化过程中. 如果有两个变量与，并且对于的每一个确定的值，都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说 是自变量，是的函数. 要点诠释：对于函数的定义，应从以下几个方面去理解： （1）函数的实质，揭示了两个变量之间的对应关系； （2）对于自变量的取值，必须要使代数式有实际意义； （3）判断两个变量之间是否有函数关系，要看对于允许取的每一个值，是否都有唯一确定的值与 它相对应. （4）两个函数是同一函数至少具备两个条件： ①函数关系式相同（或变形后相同）； ②自变量的取值范围相同. 否则，就不是相同的函数.而其中函数关系式相同与否比较容易注意到，自变量的取值范围有时容易忽视，这点应注意. 【即学即练】如图，下列各曲线中能够表示是的函数的是（    ） A．B．C． D． 【答案】D 【分析】设在一个变化过程中由两个变量与，对于的每一个确定的值，都有唯一的值与其对应，那么就说是的函数，是自变量，函数的意义反映在图像上简单的判断方法是：作垂直轴的直线在左右平移的过程中与函数图像只会有一个交点． 【详解】解：、作垂直轴的直线，在左右平移的过程中与函数图像可能有两个交点，故不符合题意； 、作垂直轴的直线，在左右平移的过程中与函数图像可能有两个交点，故不符合题意； 、作垂直轴的直线，在左右平移的过程中与函数图像可能有两个交点，故不符合题意； 、做垂直轴的直线，在左右平移的过程中与函数图像只会有一个交点，故符合题意． 【点睛】本题考查了函数的定义：在一个变化的过程中，有两个变量，，对于的每一个取值，都有唯一确定的值与之对应，则是函数，叫做自变量 知识点03 函数的三种表示方法 函数的三种表示方法：列表法、解析式法、图象法． 其特点分别是：列表法能具体地反映自变量与函数的数值对应关系，在实际生活中应用非常广泛；解析式法准确地反映了函数与自变量之间的对应规律，根据它可以由自变量的取值求出相应的函数值，反之亦然；图象法直观地反映函数值随自变量的变化而变化的规律． 注意：①它们分别从数和形的角度反映了函数的本质；②它们之间可以互相转化． 函数的三种表示方法的优缺点 解析法：即全面地概括了变量之间的依赖关系，又简单明了，便于对函数进行理论上的分析和研究．但有时函数不能用解析法表示，或很难找到这个函数的解析式． 列表法：自变量的值与其对应的函数值一目了然，查找方便．但有很多函数，往往不可能把自变量的所有值与其对应的函数值都列在表中． 图像法：非常直观，可以清楚地看出函数的变化情况．但是，在图像中找对应值时往往不够准确，而且有时函数画不出它的图像，还有很多函数不可能得到它的完整图像． 【即学即练】1.某商店销售一批玩具时，其收入y（元）与销售数量x（个）之间有如下关系： 销售数量x（个） 1 2 3 4 … 收入y（元） 8+0.3 16+0.6 24+0.9 32+1.2 … 则收入y与销售数量x之间的关系式可表示为（　　） A．y＝8.3x B．y＝8x+0.3 C．y＝8+0.3x D．y＝8.3+x 【解答】解：依题意得：y＝（8+0.3）x＝8.3x； 故选：A． 2.一物体从4m高的地方匀速降到地面，若物体每分钟下降0.4m，则物体与地面的距离y（单位：m）与下降时间t（单位：min）之间的函数图象是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：由题意得：y＝4﹣0.4t， 当y＝0时，4﹣0.4t＝0，t＝10． 故选：D． 知识点04 自变量的取值范围的确定 函数的自变量允许取值的范围，叫做这个函数的定义域. 要点诠释：考虑自变量的取值必须使解析式有意义。 （1）当解析式是整式时，自变量的取值范围是全体实数； （2）当解析式是分式时，自变量的取值范围是使分母不为零的实数； （3）当解析式是二次根式时，自变量的取值范围是使被开方数不小于零的实数； （4）当解析式中含有零指数幂或负整数指数幂时，自变量的取值应使相应的底数不为零； （5）当解析式表示实际问题时，自变量的取值必须使实际问题有意义. 【即学即练】函数y＝中自变量的取值范围是 ． 【答案】2＜x≤4 【分析】根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式计算即可得解． 【详解】解：由题意得，4-x≥0且x-2＞0， 解得2＜x≤4， 故答案为：2＜x≤4． 【点睛】本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负． 知识点05 函数值 是的函数，如果当＝时＝，那么叫做当自变量为时的函数值.在函数用记号表示时，表示当时的函数值. 要点诠释： 对于每个确定的自变量值，函数值是唯一的，但反过来，可以不唯一，即一个函数值对应的自变量可以是多个.比如：中，当函数值为4时，自变量的值为±2. 【即学即练】根据如图所示的程序计算函数y的值，若输入的x的值为4时，输出的y的值为5．则输入x 的值为3时，输出的y的值为（　　） A．﹣6 B．6 C．﹣3 D．3 【解答】解：当x＝4，8+b＝5． ∴b＝﹣3． ∴当x＝3，y＝﹣3×3+3＝﹣6． 故选：A． 知识点06 确定函数表达式 用来表示函数关系的等式叫做函数解析式，也称为函数关系式． 注意： ①函数解析式是等式． ②函数解析式中，通常等式的右边的式子中的变量是自变量，等式左边的那个字母表示自变量的函数． ③函数的解析式在书写时有顺序性，例如，y＝x+9时表示y是x的函数，若写成x＝﹣y+9就表示x是y的函数． 【即学即练】已知一个长方形的周长为50cm，相邻两边分别为xcm，ycm，则它们的关系为是（　　） A．y＝50﹣x（0＜x＜50） B．y＝50﹣x（0≤x≤50） C．y＝25﹣x（0＜x＜25） D．y＝25﹣x（0≤x≤25） 【解答】解：由题意得2（x+y）＝50， 解得y＝25﹣x（0＜x＜25）， 故选：C． 知识点07 由函数表达式画函数图象的一般步骤 对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象. 要点诠释：由函数解析式画出图象的一般步骤：列表、描点、连线.列表时，自变量的取值范围应注意兼顾原则，既要使自变量的取值有一定的代表性，又不至于使自变量或对应的函数值太大或太小，以便于描点和全面反映图象情况. 【即学即练】已知等腰三角形周长为，若底边长为（），一腰长为x（）． (1)写出y与x的函数关系式； (2)求自变量x的取值范围； (3)画出这个函数的图像． 【答案】(1) (2) (3)见解析 【详解】（1）解：由题意可得： 变形得： ∴与的函数关系式为： （2）解：由三角形的三边关系可知： 即： 解得： 故自变量的取值范围为： （3）解：在函数（）中 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； ∴该函数经过、、、、 其图像如下： 题型01 判断所给的表达式是否为函数 【例1】（23-24八年级上·安徽合肥·期中）下列等式中，其中表示y是x的函数的有：（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．4个 【答案】C 【知识点】函数的概念 【分析】本题考查函数的概念，函数的定义：设在一个变化过程中有两个变量与，对于的每一个确定的值，都有唯一的值与其对应，那么就说是的函数，由此即可判断．关键是掌握函数的定义． 【详解】解：由函数的定义判断：，表示是的函数；，不表示是的函数， 表示是的函数的有2个． 故选：． 【变式1-1】下列关系式中，y是x的函数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】函数的概念 【分析】根据函数的定义进行逐一判断即可． 【详解】解：A、不是函数，不符合题意； B、是函数，符合题意； C、，对于任意的一个正数x，y都有两个值与之对应，y不是x的函数，不符合题意； D、，对于任意的一个x，使得时，y都有两个值与之对应，y不是x的函数，不符合题意； 故选B． 【点睛】本题主要考查了函数的概念，在一个变化过程中，有两个变量x，y，对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，则y是的函数，x叫自变量． 【变式1-2】（23-24八年级上·安徽合肥·阶段练习）下列关于变量和的关系式：，，，，，，，其中是的函数的个数为(   ) A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【知识点】函数的概念 【分析】根据函数的定义可知，满足对于的每一个取值，都有唯一确定的值与之对应，据此即可确定函数的个数． 【详解】解：对于的每一个取值，都有唯一确定的值与之对应， 是的函数有：，，，，共4个， 故选：B． 【点睛】本题考查了函数的定义，在一个变化过程中，有两个变量、，对于的每一个取值，都有唯一确定的值与之对应，则是的函数，叫自变量． 【变式1-3】（22-23七年级上·江苏淮安·阶段练习）在式子①，②，③，④，⑤中，是的函数的有（　　）， A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【知识点】函数的概念 【分析】根据函数的定义可知，满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，据此即可逐一判断． 【详解】解：在①，②，③，④，中，对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，所以y是x的函数； ⑤对于x的每一个取值，y都有一个或两个值与之对应，所以y不是x的函数； 故选：C． 【点睛】本题主要考查函数的概念，解题关键是明确满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，两个变量为函数关系． 题型02 求自变量的值（或函数值） 【例2-1】（24-25八年级上·安徽安庆·期中）若函数，则当函数值时，自变量x的值是（   ） A．或1.5 B． C．1.5或 D．1.5 【答案】B 【知识点】求自变量的值或函数值 【分析】本题考查已知函数值求自变量的值，根据自变量对应的函数表达式分别求解即可． 【详解】解：当时，由得， 解得； 当时，由得，不合题意，舍去， 综上，当函数值时，自变量x的值是， 故选：B． 【例2-2】（24-25八年级上·安徽阜阳·阶段练习）当时，函数的值是（   ） A．1 B．-1 C． D． 【答案】D 【知识点】求自变量的值或函数值 【分析】本题比较容易，考查求函数值，根据函数的定义，把代入函数关系式即可求得的值． 【详解】解：直接把代入得 ． 故选：D． 【例2-3】（24-25八年级上·安徽蚌埠·阶段练习）如图为一组有规律的图案，第1个图案是由4个组成的，第2个图案是由7个组成的，第3个图案是由10个组成的，……．设第n个图案是由y个组成的． (1)求y与n之间的函数表达式； (2)第100个图案是由多少个组成的？ 【答案】(1) (2)第100个图案是由301个成的 【知识点】函数解析式、求自变量的值或函数值 【分析】本题考查了整式——图形类规律探究，解题的关键是读懂题意，找出图案间的规律，并列出代数式． 【详解】（1） 解：根据题意：第1个图案由4个组成， 第2个图案由7个组成，； 第3个图案由10个组成，； 设第n个图案由y个组成， 则； （2）当时，， 故第100个图案是由301个组成的． 【变式2-1】（24-25八年级上·安徽六安·阶段练习）已知函数，则当时，的值为（   ） A． B．或 C．或5 D．或5 【答案】A 【知识点】求自变量的值或函数值 【分析】此题考查的是根据函数值，求自变量的值，把代入解析式即可求解，掌握分类讨论的数学思想是解决此题的关键． 【详解】解：当时，， 解得：，， ∵， ∴， 当时，， 解得：， ∵， ∴此情况不存在， ∴的值为， 故选：A． 【变式2-2】（23-24八年级上·安徽阜阳·阶段练习）定义：函数的零点是指使函数值等于零的自变量的值，则下列函数中零点为2的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求自变量的值或函数值 【分析】根据函数的零点的意义，逐项代入求解进行判断即可． 【详解】解：A、对于方程，解得，故的零点为，不合题意； B、对于方程，解得，故的零点为2，符合题意； C、对于方程，没有实数解，故没有零点，不合题意； D、对于方程，没有实数解，故没有零点，不合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查函数值的意义，当函数值为0时，求出自变量的值是正确判断的前提． 【变式2-3】（22-23八年级上·安徽蚌埠·阶段练习）已知和均是以x为自变量的函数，当时，函数值分别是和，若存在正数n，使得，则称函数和是“正和谐函数”．下列函数和是“正和谐函数”的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】C 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、求自变量的值或函数值 【分析】分别列方程计算即可． 【详解】A、，解得，不合题意； B、，解得，不合题意； C、，解得，符合题意； D、，解得，不合题意； 故选C． 【点睛】本题考查了新定义，函数的知识，以及解一元一次方程，掌握新定义的含义是解题的关键． 【变式2-4】（23-24八年级上·安徽合肥·期中）如图，某品牌自行车每节链条的长度为，交叉重叠部分的圆的直径为．    (1)观察图形，填写下表： 链条节数（节 2 3 4 链条长度 (2)请你写出y与x之间的关系式； (3)如果一辆自行车上安装的链条共有60节，那么链条的总长度是多少？ 【答案】(1)， (2) (3) 【知识点】求自变量的值或函数值、函数解析式、用代数式表示数、图形的规律 【分析】本题主要考查函数关系式； （1）观察表格，找出规律． （2）根据找到的规律列出关系式． （3）代入关系式求解． 熟练掌握找出规律列出函数关系式是解决本题的关键． 【详解】（1）解：经分析，每增加一节链条，链条长度增加． 链条的节数为3时，链条的长度为；链条节数为4时，链条的长度为． 故答案为：，． （2）由题意得，． （3）当，． 这辆自行车链条的总长为． 题型03 函数的表示方法 【例3-1】（列表法与关系式法）某商店销售一批玩具时，其收入y（元）与销售数量x（个）之间有如下关系： 销售数量x（个） 1 2 3 4 …… 收入y（元） 8＋0.3 16＋0.6 24＋0.9 32＋1.2 …… 则收入y与销售数量x之间的关系式可表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】用表格表示变量间的关系、用关系式表示变量间的关系 【分析】根据表格中、、和时，的值进行归纳类推即可得． 【详解】解：由表格可知，当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 所以收入与销售数量之间的关系式可表示为，即， 故选：A． 【点睛】本题考查了用表格表示变量间的关系、用关系式表示变量间的关系，正确观察出表格中列出的两个变量的对应值之间的关系是解题关键． 【例3-2】（图像法）（24-25八年级上·安徽亳州·阶段练习）用固定的速度向容器里注水，水面的高度h和注水时间t的函数关系的大致图象如图，则该容器可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】函数图象识别 【分析】本题主要考查了函数图像的识别， 根据函数图像可知，后期的增长速度慢，所以容器底部细，上部粗即可得出答案． 【详解】解：根据函数图像可知，后期的增长速度慢，所以容器底部细，上部粗， 故选：A． 【变式3-1】下列曲线中，能表示是的函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】函数的概念、函数的三种表示方法 【分析】本题考查了用图象法表示函数、根据函数定义等知识点，理解函数的定义成为解题的关键. 根据函数的定义逐项判断即可解答． 【详解】解：对于C选项中的图象，在自变量的取值范围内作一条垂直于轴的直线，与图象有且只有一个交点，从而能表示是的函数； 对于A、B、D三个选项中的图象，在自变量的取值范围内作一条垂直于轴的直线，与图象有两个交点，从而不能表示是的函数； 故选：C． 【变式3-2】（24-25八年级上·安徽池州·期末）下列图象中，能表示函数图象的是（   ） A．B．C．D． 【答案】B 【知识点】函数图象识别、函数的概念 【分析】主要考查了函数的定义．函数的定义：在一个变化过程中，有两个变量x，y，对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，则y是x的函数，x叫自变量．根据函数的定义可知，满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应关系，据此即可确定答案． 【详解】解：A选项：不满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应关系，故A不符合题意； B选项：满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应关系，故B符合题意； C选项：不满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应关系，故C不符合题意； D选项：不满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应关系，故D不符合题意， 故选B． 【变式3-3】（23-24八年级上·安徽安庆·期末）甲、乙两人同时从A地到B地，甲先步行到中点改骑自行车，乙先骑自行车到达中点后改为步行．已知甲、乙两人骑车的速度和步行的速度分别相同，则甲、乙两人所行的路与所用时间的关系图正确的是（实线表示甲，虚线表示乙）（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】函数图象识别 【分析】根据实际情况分析结合图象即可得到答案，此题考查了函数图象，读懂题意，找出图象是解题的关键． 【详解】根据题意可得：甲先步行到中点改骑自行车，即先慢后快； 乙先骑自行车到达中点后改为步行，即先快后慢．最后同时到达终点， 故选C． 【变式3-4】某超市进了一批优质水果，出售时在进价（进货的价格）的基础上加上一定的利润，其销售数量与售价（元）的关系如表： 销售数量 … 售价（元） … 下列用表示的关系式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】函数解析式、函数的三种表示方法 【分析】本题通过观察表格内的与的关系，可知的值相对时是成倍增长的，由此可得出方程． 【详解】依题意得： 故选：C． 【点睛】本题考查了根据实际问题列一次函数关系式，是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的． 【变式3-5】某文具店老板购进一批荧光笔，销量（支）与销售额（元）的关系如下表所示： 销量支 … 销售额元 … 则销售额与销量的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】用表格表示变量间的关系、用关系式表示变量间的关系 【分析】此题考查的是函数的表示方法，观察表格中的数据发现：销售额是销售数量的倍，据此列出函数关系式； 【详解】解：表格中的数据发现：销售额是销售数量的倍， ∴销售额与销量的函数关系式为 故选：A． 题型04 从实际问题中获取信息 【例4-1】（从表格中获取信息）（24-25八年级上·安徽淮北·期中）声音在空气中传播的速度和气温之间有如下关系： 气温 0 5 10 15 20 声速 331 334 337 340 343 (1)上表反映了____________与____________之间的关系，其中____________是自变量； (2)若用表示气温，表示声速，则随着的增大，将发生怎样的变化？ (3)从表中数据的变化，你发现了什么规律？写出与之间的函数表达式． 【答案】(1)气温，声速，气温 (2)随着的增大，也增大 (3)气温每升高，声速增加， 【知识点】用表格表示变量间的关系、函数解析式 【分析】本题考查了变量之间的关系，函数解析式． （1）根据表格，结合变量的相关知识即可解答； （2）根据表格中的数据即可解答； （3）观察表格发现气温每升高，声速增加，据此可得函数解析式． 【详解】（1）解：上表反映了气温与声速之间的关系，其中气温是自变量； 故答案为：气温，声速，气温； （2）解：由表可知，随着的增大，也增大； （3）解：从表中数据的变化．可知：气温每升高，声速增加， 所以与之间的函数表达式为：． 【例4-2】（从图象中获取信息）（24-25八年级上·安徽淮北·阶段练习）为响应国家号召“低碳生活，绿色出行”李老师骑单车上班，当他骑了一段时间，想起要去家访生病的小明，于是又折回到刚经过的小明家，到小明家家访完后继续去学校，以下是他本次所用的时间与离家距离的关系示意图，根据图中提供的信息回答下列问题： (1)图中自变量是__________，因变量是__________； (2)李老师家到小明家的路程是__________米．李老师在小明家家访用了__________分钟； (3)请计算李老师家访完后到学校的骑车速度． 【答案】(1)离开家的时间，离家的距离 (2)900；4 (3)李老师家访完后到学校的骑车速度为150米/分 【知识点】从函数的图象获取信息、用图象表示变量间的关系 【分析】本题主要考查了从函数图象获取信息，对于一个函数，如果把自变量与函数的每一对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形就是这个函数的图象． （1）根据函数图象可知纵坐标是离家距离，横坐标是时间，从而得出自变量是离家的时间，因变量是离家的距离； （2）根据函数图象进行回答即可； （3）观察图象计算李老师家访完后到学校的骑车路程除以所用的时间即可． 【详解】（1）解：根据图象，纵坐标为离家的距离，横坐标为离家的时间，故图中自变量是离开家的时间，因变量是离家的距离， 故答案为：离开家的时间，离家的距离； （2）解：由图象可知：李老师家到小明家的路程是900米， 李老师在小明家停留了（分钟）， 故答案为：900；4； （3）解：由图象可知：李老师家访完后到学校的骑车速度为（米/分）． 【变式4-1】（24-25八年级上·安徽宿州·期末）在学习地理时，我们知道：“海拔越高，气温越低”，如表是海拔高度与此高度处气温的关系． 海拔高度 0 1 2 3 4 … 气温 18 12 6 0 … 根据以上表格，解答下列问题： (1)自变量是______，因变量是______； (2)求气温与海拔高度之间的函数表达式． 【答案】(1)海拔高度，气温 (2) 【知识点】用表格表示变量间的关系、函数解析式 【分析】此题考查了函数关系式的应用能力，关键是能根据题意求得对应的函数解析式． （1）结合题意和函数的定义进行求解； （2）根据表格中气温随海拔高度的变化的规律：h每增加1千米，气温就下降，即可解答． 【详解】（1）解：由题意得，自变量是海拔高度，因变量是气温； 故答案为：海拔高度，气温； （2）解：由题意得，h每增加1千米，气温就下降， 可得， ∴气温t与海拔高度h的关系式：． 【变式4-2】（24-25八年级上·安徽滁州·阶段练习）科学家实验发现，声音在不同气温下传播的速度不同，声音在空气中的传播速度随气温的变化而有规律的变化．某科学社团通过查阅资料发现，声音在空气中传播的速度和气温的变化存在如下的关系： 气温 0 1 2 3 4 5 声音在空气中的传播速度 (1)在这个变化过程中，______是自变量；（填汉字） (2)声音在空气中的传播速度与气温的关系式可以表示为______；（不要求写的取值范围） (3)某日的气温为，小乐看到烟花燃放后才听到声响，那么小乐与燃放烟花所在地大约相距多远？ 【答案】(1)气温 (2) (3)1372m 【知识点】求自变量的值或函数值、用表格表示变量间的关系、用关系式表示变量间的关系 【分析】本题主要考查变量的表示方法，常量与变量，理解常量与变量的定义，求出函数关系式是解题的关键． （1）根据题意和表格中的两个量的变化关系得出答案； （2）根据表格中的数据求出关系式； （3）根据求出的关系式得到声音在空气中的传播速度，从而求出小乐与燃放烟花所在地的距离． 【详解】（1）解：由题意得，在这个变化过程中，气温是自变量，声音在空气中的传播速度是因变量， 故答案为：气温； （2）由题意得，气温每上升声音在空气中的传播速度增大， ∴声音在空气中的传播速度与气温的关系式可以表示为， 故答案为：； （3）解： ， 答：小乐与燃放烟花所在地大约相距远． 【变式4-3】（23-24八年级上·安徽安庆·期末）张师傅驾车运送货物到某地出售，汽车出发前油箱有油升，行驶若干小时后，途中在加油站加油若干升，油箱中剩余油量（升）与行驶时间 （小时）之间的关系如图所示． 请根据图象回答下列问题： (1)汽车行驶 小时后加油，中途加油 升； (2)已知加油前、后汽车都以千米小时匀速行驶，如果加油站距目的地 千米，要到达目的地，问油箱中的油是否够用? 请说明理由． 【答案】(1)，； (2)油箱中的油够用，理由见解析． 【知识点】从函数的图象获取信息 【分析】（）由题中图象即可看出，加油的时间和加油量； （）由路程和速度算出时间，再求出每小时的用油量，判断油是否够用； 本题考查了函数的图象，解题的关键是仔细观察图象，从图中找出正确信息． 【详解】（1）由图象可知：汽车行驶小时后加油， 加油量：， 故答案为：，； （2）由图可知汽车每小时用油（升）， 所以汽车要准备油（升）， ∵升升， ∴油箱中的油够用． 【变式4-4】（23-24八年级上·安徽滁州·期中）随着“双减”政策落地，周末家庭野外郊游将成为我们的生活常态．诚诚骑自行车从家里出发30分钟后到达甲地，游玩一段时间后按原速前往乙地．诚诚离家1小时30分钟后，妈妈驾车沿相同路线前往乙地，下图是他们离家的路程与诚诚离家时间的函数图象，已知妈妈驾车的速度是诚诚骑车速度的3倍，根据图中的信息：    (1)诚诚从家出发多少小时后被妈妈追上？此时离家多远？ (2)若妈妈比诚诚还早10分钟到达乙地，从家到乙地的路程是多少？ 【答案】(1)2小时， (2) 【知识点】从函数的图象获取信息、行程问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了根据函数图象获取信息，一元一次方程的实际应用，解题的关键是根据函数图象获取需要数据，根据题意得出等量关系，列出方程求解即可． （1）先去除诚诚骑自行车的速度为，则妈妈驾车的速度是，再求出诚诚出发后，妈妈才出发，设妈妈用小时追上诚诚及此地离家的距离为，根据诚诚被妈妈追上时，两人路程相同，列出方程求解即可； （2）设母子俩相遇后与乙地距离为，根据“妈妈比诚诚还早10分钟到达乙地”列出方程求解即可． 【详解】（1）解：由图可知：诚诚骑自行车的速度为， ∴妈妈驾车的速度是， ， ∴诚诚出发后，妈妈才出发， 设妈妈用小时追上诚诚及此地离家的距离为， 则有， 解得， ∴，， ∴诚诚从家出发2小时后被妈妈追上，此时离家； （2）解：10分钟小时， 设母子俩相遇后与乙地距离为， 则有， 解得， ∴从家到乙地的路程是． 题型05 函数在实际生活中的应用 【例5-1】王华用的练习本可在甲、乙两个商店买到，已知两个商店的标价都是每本2元，但甲商店的优惠条件是：购买10本以上，从第11本开始按标价的八折卖；乙商店的优惠条件是：从第1本开始就按标价的八五折卖．设小明买本练习本，甲商店的费用为，乙商店的费用为． (1)分别求出，与x之间的关系式； (2)王华买了25本练习本，选择哪家商店更优惠？请说明理由． 【答案】(1)， (2)买25个练习本到乙商店购买更优惠，见解析 【知识点】求自变量的值或函数值、函数解析式 【分析】本题考查了用关系式表示变量之间的关系，求函数值； （1）根据甲、乙两个商店的优惠方案写出关系式即可； （2）把分别代入两个关系式求出费用，再比较大小即可． 【详解】（1）解：由题意，得： ， ； （2）解：买25本练习本， 甲商店的费用为（元） 乙商店的费用为（元） 因为44＞42.5， 所以买25个练习本到乙商店购买更优惠． 【例5-2】小英在家里整理内务时发现：把一些相同规格的塑料凳子整齐地叠放在水平地面上，这摞塑料凳子的高度随着凳子的数量变化有一定的关系．于是小英对凳子的高度进行测量，具体变化的情况如下表所示： 凳子的数量个 高度 (1)上述两个变量之间的关系中，哪个是自变量？哪个是因变量？ (2)用（）表示这摞凳子的高度，（个）表示这摞凳子的数量，请写出与之间的函数关系式； (3)当这摞凳子的高度为时，求这摞凳子的数量． 【答案】(1)凳子的数量是自变量，高度是因变量 (2) (3)个 【知识点】用关系式表示变量间的关系、求自变量的值或函数值、函数的概念 【分析】（）根据表格中列举的变量即可求解； （）根据表格中数据变化规律求解即可； （）根据（）中的函数关系式，把代入求解即可； 本题考查了常量与变量，函数的表示方法，求自变量的值或函数值，理解变量与常量的意义并根据表格中数据的变化规律得出函数关系式是解题的关键． 【详解】（1）解：通过表格所列举的变量可知，凳子的数量是自变量，高度是因变量； （2）解：由表格中两个变量的变化关系可得，， 即； （3）解：当时，， 解得， 答：当这摞凳子的高度为时，凳子的数量为个． 【变式5-1】小可的妈妈打算购买一些草莓回家做水果拼盘，经了解，生态园区中的“老农果园”的草莓标价为50元／千克，若一次性购买不超过2千克，则按原价付款，若购买超过2千克，则超过部分按标价的八折付款． (1)请求出付款金额（元）关于购买草莓的重量（千克）的函数表达式（）； (2)去购买草莓当天，发现旁边的“盛田果园”也在进行草莓优惠活动，同品种草莓标价也为50元／千克，但全部按标价的九折付款，小可妈妈计划用200元购买此种草莓（全部用完），请问她在哪个果园购买更合算？ 【答案】(1) (2)选择老农果园 【知识点】用关系式表示变量间的关系、求自变量的值或函数值 【分析】本题主要考查了列函数关系式，求自变量的值： （1）先求出2千克的费用，再求出超过2千克的费用，二者求和即可得到答案； （2）求出在老农果园和在盛田果园能够购买的草莓重量，比较即可得到结论． 【详解】（1）解：由题意得，； （2）解： 在中，当时，； ， ∵， ∴她在老农果园购买更合算． 【变式5-2】（24-25八年级上·辽宁阜新·期中）某体育用品专卖店为了对某新品牌的羽毛球拍进行促销，推出两种优惠方案．方案一：买一支球拍赠送一打羽毛球；方案二，按购买金额打九折付款．已知羽毛球拍每支售价60元，羽毛球每打售价10元，校羽毛球队欲购买球拍20支，羽毛球x打（）供训练使用． (1)写出每种优惠方案实际付款金额y（元）与x（打）之间的函数关系式； (2)若只能按一种方案购买，比较购买100打的羽毛球，按哪种方案付款更合算； (3)若专卖店允许以任意选择一种优惠方案购买，也可以用两种方案混合购买，请就购买球拍20支和羽毛球50打设计一种最省钱的购买方法． 【答案】(1)方案一：； 方案二： (2)按照方案二付款更合算 (3)用方案一买20支球拍赠20打羽毛球，剩下的30打羽毛球用方案二购买 【知识点】求自变量的值或函数值、函数解析式、有理数四则混合运算的实际应用 【分析】本题考查了列函数关系式，解题的关键是读懂题意，根据题意列出方程． （1）根据方案一和方案二的优惠政策列出函数关系式即可； （2）根据购买100打的羽毛球，求出分别用方案一和方案二购买需要的费用，即可选出最合适的方案； （3）因为可以任意选择一种优惠方案，也可以同时用两种方案购买，所以分三种情况分别讨论，进行比较即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得， 方案一：； 方案二：． （2）购买100打的羽毛球，则， 方案一：； 方案二：， ∵，    ∴按照方案二付款更合算． （3）当买20支球拍和50打羽毛球时，即， 方案一：（元）， 方案二：（元）， 两种方案买：（元）， ∵， ∴用方案一买20支球拍赠20打羽毛球，剩下的30打羽毛球用方案二购买． 【变式5-3】（24-25八年级上·安徽合肥·期中）刘阿姨承包了一些土地种植西红柿、茄子，西红柿每亩地成本2000元，茄子每亩地成本2500元（净利润收入成本）．“阳光农场”社团的两位同学李华和张萌帮助刘阿姨搜集到了如下信息： (1)种植每亩西红柿的收入为_______元，每亩茄子的收入为_______元； (2)若刘阿姨两种蔬菜均有种植，共种植了6亩，其中西红柿种植了亩，要使净利润不低于15000元，则至少种植多少亩西红柿？ (3)在（2）的条件下，设总成本为元，请求出与之间的表达式，并计算出最小成本．（西红柿和茄子的种植亩数均为正整数） 【答案】(1)种植每亩西红柿的收入为5000元，每亩茄子的收入为4000元； (2)至少种植4亩西红柿； (3)，12000元 【知识点】函数解析式、用一元一次不等式解决实际问题、销售、利润问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查了二元一次方程组以及不等式的应用，函数关系式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）设种植每亩西红柿的收入为元，每亩茄子的收入为元；根据对话内容进行列式，即可作答． （2）根据西红柿种植了亩，则茄子种植了亩，因为净利润不低于15000元，所以列式，解得，即可作答． （3）设总成本为元，依题意，列式得，得当时，则茄子种植了亩，或当时，则茄子种植了1亩，或当时，则茄子种植了0亩，分别列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，设种植每亩西红柿的收入为元，每亩茄子的收入为元； 则， 解得， ∴种植每亩西红柿的收入为5000元，每亩茄子的收入为4000元； 故答案为：5000，4000； （2）解：∵刘阿姨两种蔬菜均有种植，共种植了6亩，其中西红柿种植了亩， ∴茄子种植了亩， ∵净利润不低于15000元， 则， 解得， ∴至少种植4亩西红柿； （3）解：设总成本为元， 依题意，， ∵西红柿和茄子的种植亩数均为正整数，且在（2）的条件下， ∴当时，则茄子种植了亩， ∴（元）； ∴当时，则茄子种植了1亩， ∴（元）； ∴当时，则茄子种植了0亩， ∴（元）； 综上：最小的成本是元． 【变式5-4】甲、乙两家商场平时以同样价格出售相同的商品，新冠疫情期间，为了减少库存，甲、乙两家商场打折促销，甲商场所有商品按 折出售，乙商场对一次购物中价格超过 元后的部分打 折． (1)以 （单位：元）表示商品原价，（单位：元）表示实际购物金额，分别就两家商场的让利方式写出 关于 的函数关系式； (2)当商品的原价为250时，在哪家商场通过打折后更划算． (3)当商品的原价为多少元时，两家商场打折后的价格相同． 【答案】(1)， (2)在乙商场通过打折后更划算 (3)200元 【知识点】用关系式表示变量间的关系、求自变量的值或函数值、销售盈亏(一元一次方程的应用) 【分析】本题主要考查了列函数关系式，求函数值，一元一次方程的应用： （1）根据所给打折方式列出对应的函数关系式即可； （2）把代入（1）所求关系式中求出甲、乙两个商场打折后的价格，比较即可得到答案； （3）设m（单位：元）表示商品原价，则根据题意可得，根据（1）所求可知，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得，， 当时，，当时，， ∴，； （2）解：当商品的原价为250时，甲商场的费用为元，乙商场的费用为元， ∵， ∴在乙商场通过打折后更划算； （3）解：设m（单位：元）表示商品原价 根据题意可知当商品原价不超过100元时，甲商场打折后的价格一定比乙商场的高， ∴， ∴根据（1）所求可知， ∴， 答：当商品的原价为200元时，两家商场打折后的价格相同． 题型06 动点构造的函数综合问题 【例6】（24-25八年级上·安徽六安·阶段练习）在平面直角坐标系中，为坐标原点，过点分别作轴，轴的垂线，交轴于点，交轴于点，有一动点以3个单位/秒的速度，从点出发，沿着向点运动，运动时间为（秒）． (1)写出点和点的坐标； (2)在整个运动过程中，用含的式子表示线段的长，并写出的取值范围； (3)已知点，连接，，在（2）的条件下是否存在这样的值，使，若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，， (2) (3)存在，当为秒和秒时． 【知识点】用关系式表示变量间的关系、求点到坐标轴的距离、写出直角坐标系中点的坐标 【分析】本题考查了坐标与图形性质，点到坐标轴的距离，熟练掌握基本性质是解题关键． （1）根据题意即可得到结论； （2）当点在线段上时，根据，，，得到，当点在线段上时，于是得到结论； （3）当点在线段上时，当点在线段上时，根据三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】（1）解：∵，轴，轴 ∴，， （2）解：当点M在线段上时， 由，，可得：， ，， ； 当点在线段上时， 点走过的路程． （3）存在两个符合条件的t值， 当点在线段上时 ， ， 解得：， 当点在线段上时， ，， ， 解得：， 综上所述：当为秒和秒时． 【变式6-1】（23-24八年级上·安徽合肥·期中）如图甲是一个大长方形剪去一个小长方形后形成的图形，已知动点以每秒的速度沿图甲的边框按从的路径移动，相应的的面积与时间之间的关系如图乙中的图象表示．若，试回答下列问题．    图甲图乙 (1)填空：图甲中的__________，__________； (2)求：图乙中的的值； (3)求：图乙中的的值． 【答案】(1)8；4； (2)24； (3)17． 【知识点】动点问题的函数图象、从函数的图象获取信息 【分析】本题考查动点问题的函数图象，解题的关键是读懂图意，明确横轴与纵轴的意义； （1）根据题意得：动点在上运动的时间是4秒，又由动点的速度，可得的长；根据图象求出的长； （2）由（1）可得的长，又由，可以计算出的面积，计算可得的值； （3）计算的长度，又由的速度，计算可得的值． 【详解】（1）动点在上运动时，对应的时间为0到4秒， 易得：； ， 故答案为：； （2）由（1）可得，， 则：； 图乙中的的值是24． （3）根据题意，动点共运动了， 其速度是秒， 则(秒)， 图乙中的是17秒． 【变式6-2】如图，在中，为边上的高，，，点为边上一动点，连接，随着长度的变化，的面积也在变化．    (1)在这个变化过程中，自变量是什么？因变量是什么？ (2)若设，的面积为y，请写出y与x的关系式； (3)当时，求的面积． 【答案】(1)自变量是长度，因变量是的面积 (2) (3)12 【知识点】函数的概念、函数解析式、求自变量的值或函数值 【分析】（1）根据函数的意义求解； （2）根据三角形的面积公式求解； （3）把自变量的值代入求解． 【详解】（1）解：自变量是长度，因变量是的面积； （2）解：∵， ∴ ， 即． （3）解：当时，， 故的面积为12． 【点睛】本题考查了函数的意义，函数解析式，求函数值，理解函数的意义和求函数解析式是解题的关键． 【变式6-3】如图1，正方形的边长为，F为边上一点，动点P以的速度沿B→C→D→A的路径向终点A运动．设运动时间为，的面积为，S与t的函数图象如图2所示．    (1)求线段的长及a的值； (2)当t为何值时，的面积S为8? 【答案】(1)， (2)或 【知识点】从函数的图象获取信息、动点问题的函数图象 【分析】（1）当点在段时，的面积逐渐增大；当点在段时，的面积保持不变；当点在段时，的面积逐渐减小．据此即可求解； （2）由图2可得，当点在段或段时，的面积都可能是8，分类讨论即可求解． 【详解】（1）解：由图2可得：当点运动到点时， 即： 由图2可得：点运动后， 即： 解得： （2）解：①当点在段时： 解得： ②当点在段时： 解得： 综上所述：或时，的面积S为8． 【点睛】本题考查利用函数图象解决实际问题．建立实际问题与函数图象的对应关系是解题关键． 【变式6-4】（21-22八年级上·安徽合肥·期中）如图①，在矩形ABCD中，AB=10cm，BC=8cm，点P从A出发，沿A→B→C→D路线运动，到D停止；点Q从D出发，沿D→C→B→ A路线运动，到A停止．若点P、点Q同时出发，点P的速度为每秒lcm，点Q的速度为每秒2cm， a秒时点P、点Q同时改变速度，点P的速度变为每秒bcm，点Q的速度变为每秒lcm，图②是点P出发x秒后△APD的面积S（cm）与x（秒）的函数关系图象． （1）根据图象得a= ；b= ； （2）设点P已行的路程为y1（cm），点Q还剩的路程为y2（cm），请分别求出改变速度后，y1、y2和运动时间x（秒）的关系式，并写出自变量取值范围． 【答案】（1）a=6；b=2；（2）y1=2x-6（6≤x≤17），y2=22-x（6≤x≤22） 【知识点】从函数的图象获取信息、用关系式表示变量间的关系 【分析】（1）先判断出P改变速度时是在AB上运动，由此即可求出改变速度的时间和位置，从而求出a，再根据在第8秒P的面积判断出此时P运动到B点，即可求出b； （2）根据P和Q的总路程都是CD+BC+AB=28cm，然后根据题意进行求解即可． 【详解】解：（1）∵当P在线段AB上运动时，， ∴当P在线段AB上运动时，△APD的面积一直增大， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AD=BC=10cm， ∴当P在线段AB上运动时，△APD的面积的最大值即为P运动到B点时，此时， 由函数图像可知，当P改变速度时，此时P还在AB上运动， ∴，即， 解得， ∴， ∴ 又由函数图像可知当P改变速度之后，在第8秒面积达到40cm2，即此时P到底B点 ∴， ∴， 故答案为：6，2； （2）由（1）得再第6秒开始改变速度， ∴改变速度时，P行走的路程为6cm，Q行走的路程为12cm， ∵Q和P的总路程都为CD+BC+AB=28cm， ∴， 【点睛】本题主要考查了从函数图像上获取信息，解题的关键在于能够准确根据函数图像判断出P点在改变速度时是在AB上运动． 一、单选题 1．（24-25八年级上·安徽合肥·阶段练习）下列函数中，其图象不经过点的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了函数图象上点的特征，分别计算时的四个函数值，然后判断是否为1即可． 【详解】解：A、当时，，则点在函数上，所以A选项不符合题意； B、当时，，则点在函数上，所以B选项不符合题意； C、当时，，则点不在函数上，所以C选项符合题意； D、当时，，则点在函数上，所以D选项不符合题意． 故选：C． 2．（24-25八年级上·安徽合肥·阶段练习）在函数中，自变量x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查分式有意义的条件，求函数自变量的取值范围，根据分式的分母不能为0求解即可． 【详解】解：∵函数有意义， ∴， ∴． 故选C． 3．（24-25八年级上·安徽蚌埠·阶段练习）已知，，，四点，若其中两点不可能在同一个函数图象上，则这两点是（   ） A．点P和点Q B．点Q和点N C．点P和点N D．点M和点N 【答案】C 【分析】本题考查了函数的定义，设在某个变化过程中有两个变量x、y，当在某一范围内x的每一个确定的值，y都有唯一值与之对应，那么y是x的函数，x是自变量，由此即可求解，掌握函数的定义是解题的关键． 【详解】解：A、点、中，y随x的变化而变化，在同一个函数图像上，不符合题意； B、、中，y随x的变化而变化，在同一个函数图像上，不符合题意； C、、，一个x对应两个函数值，不在同一个函数图像上，符合题意； D、、，y随x的变化而变化，在同一个函数图像上，不符合题意； 故选：C ． 4．（24-25八年级上·安徽池州·阶段练习）在圆锥的体积公式中，变量有（    ） A．，， B．3，， C．，， D．，， 【答案】C 【分析】本题主要考查了常量与变量的概念，掌握“在某一变化过程中，数值变化的量是变量，数值始终不变的量是常量”是解题的关键．根据常量、变量的概念，逐一对进行判断，即可得到答案． 【详解】解：在圆锥的体积公式中，始终不变，是常量， ，，可以取不同的值，是变量， 故选：C． 5．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）下列曲线中，表示y是x的函数的是（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了函数的基本概念，熟练掌握如果x取任意一个量，y都有唯一的一个量与x对应，那么相应地x就叫做这个函数的自变量或如果y是x的函数，那么x是这个函数的自变量是解题的关键．根据函数的定义，逐项判断即可求解． 【详解】解：A．对于每一个自变量x的取值，因变量y有且只有一个值与之相对应，所以y是x的函数，故本选项符合题意； B．对于每一个自变量x的取值，因变量y可能不止一个值与之相对应，所以y不是x的函数，故本选项不符合题意； C．对于每一个自变量x的取值，因变量y可能不止一个值与之相对应，所以y不是x的函数，故本选项不符合题意； D．对于每一个自变量x的取值，因变量y可能不止一个值与之相对应，所以y不是x的函数，故本选项不符合题意； 故选：A． 6．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）从年月日起，合肥燃气价格上调．调整后，居民用气费用（元）与年用气量（立方米）之间的函数图象如图所示，则下列说法正确的是（　　） A．第一档单价是元/立方米 B．第二档单价是元/立方米 C．当年用气量为立方米时，费用为元 D．值是 【答案】D 【分析】本题主要考查了函数的图象，能从所给函数图象中识别出正确的信息是解题的关键． 根据所给函数图象，对所给选项依次进行判断即可． 【详解】解：由所给函数图象可知，（元/立方米）， 即第一档单价是元/立方米，故A选项不符合题意； （元/立方米）， 即第二档的单价是元/立方米，故B选项不符合题意； 当年用气量为立方米时，（元）， 即费用为元，故C选项不符合题意； （立方米）， （立方米）， 所以的值为，故D选项符合题意； 故选：D． 7．（23-24八年级上·安徽淮北·期末）如图1，在长方形中，，E是边上一点，且，点P从点B出发，沿折线匀速运动，运动到点C停止．点P的运动速度为，运动时间为，的面积为，y与t的函数关系图象如图2所示，则下列结论错误的是（    ）    A． B． C． D．当时， 【答案】C 【分析】本题主要考查动点问题的函数问题，先通过和计算出，根据计算a的值，b的值是除以速度加a的值，当时找到P点位置计算面积即可判断y值． 【详解】解：∵四边形为长方形， ∴，， A．当时点P运动到点E，此时，解得，则A正确，故本选项不符合题意； B．由，，得，结合点P的运动速度为，得，那么，则B正确，故本选项不符合题意； C．由，点P的运动速度为，得，则，C错误，故本选项符合题意； D．当时，，则D正确，故本选项不符合题意； 故选：C． 8．（23-24八年级下·安徽芜湖·期末）某湖边公园有一条笔直的健步道，甲、乙两人从起点同方向匀速步行，先到终点的人在终点休息．已知甲先出发6分钟，在整个过程中，甲、乙两人之间的距离y（米）与甲出发的时间t（分钟）之间的关系如图所示，下列结论：①甲步行的速度为75米/分钟；②起点到终点的距离为5940米；③甲走完全程用了78分钟；④乙步行的速度为90米/分钟；⑤图中m的值为36． 则以上结论一定正确的是（    ） A．①②③④ B．①②④⑤ C．①③④⑤ D．①②③⑤ 【答案】B 【分析】本题考查一次函数的应用.根据所给点的坐标判断出甲、乙两人的速度是解决本题的关键. 根据甲分钟步行的路程为米，可得甲步行的速度，可判断①是否符合题意；第分钟时，乙到达终点，根据此时乙比甲多走米，列出方程即可求得乙步行的速度，可判断④是否符合题意；乙的速度乘以乙步行的时间即可求得起点到终点的距离，可判断②是否符合题意；起点到终点的距离除以甲的速度可得甲走完全程需要的时间，可判断③是否符合题意，然后根据追及问题求出值可以判断⑤. 【详解】∵甲先出发分钟，甲分钟步行的路程为米， ∴甲步行的速度为：(米/分)， 故①正确； ∵甲、乙两人从起点同方向匀速步行，先到终点的人休息，乙从第分钟开始行走，第分到达到达终点，此时甲乙两人相距米, ∴第分钟时，乙比甲多走米. 设乙步行的速度为米/分，根据题意得： 解得： 故④正确； 起点到终点的距离为：(米)， 故②正确； 甲走完全程的时间为：(分) 故③错误； ∵分， 故⑤正确； ∴正确的为①②④⑤， 故选:B. 二、填空题 9．（24-25八年级上·安徽池州·阶段练习）已知函数，若，则的值为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了函数值的概念，关键是根据的值判断出相应的解析式，代入求值即可． 【详解】解：由题意可得，， 把代入 解得， 故答案为：． 10．（23-24八年级上·安徽六安·期末）如图所示是关于变量x，y的程序计算，若开始输入的x值为6，则最后输出因变量y的值为 ． 【答案】42 【分析】本题考查了函数值，已知自变量的值求函数值是本题的本质，看懂题意是关键． 把代入，如果结果大于15就输出，如果结果不大于15，就再算一次． 【详解】解：当时， ， ∴输出因变量． 故答案为：42． 11．（24-25八年级上·安徽蚌埠·期末）函数中，自变量x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了求自变量的取值范围，分式有意义的条件，分式有意义的条件是分母不为0，据此求解即可． 【详解】解：函数中，自变量x的取值范围是，即， 故答案为：． 12．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）某物理学习小组探究甲、乙、丙、丁四种物质的密度，将测量结果数据绘制成如图所示的图象，则四种物质中密度最大的是 ． 【答案】甲 【分析】本题考查了从函数的图象获取信息以及密度等于质量除以体积，据此逐个计算，即可作答． 【详解】解：由图象得， ∵， ∴四种物质中密度最大的是甲， 故答案为：甲． 13．（23-24八年级上·安徽合肥·期中）我们有时会将关于的函数表示为，其中（1）就表示当时的函数值，即．则 ； （结果用含n的代数式表示，其中n为正整数） 【答案】 /0.2 【分析】本题主要考查了数字的变化规律，求函数值，求代数式的值； （1）将代入求解即可； （2）根据和时函数值的和，得出算式的规律，然后进行计算即可； 明确和时函数值的和是定值，是本题解题的关键． 【详解】 ， 故答案为：； （2） ， ， 故答案为：． 14．（24-25八年级上·安徽合肥·阶段练习）如图(1)，在物理实验课上，小明做“小球反弹实验”已知桌面的长为，小球P与木块Q（大小厚度忽略不计）同时从点A出发，向点B做匀速直线运动，速度较快的小球P到达B处的挡板l后被弹回（忽略转向时间），沿原来的路径和速度返回，遇到木块Q后又被反弹回挡板l，如此反复，直到木块Q到达l，小球P和木块Q同时停止运动．设小球P的运动时间为，木块Q与小球P之间的距离为，图(2)是y与x的部分图象． （1）小球P的运动速度为 ． （2）t的值为 ． 【答案】 100 （或） 【分析】本题考查了函数的应用，解一元一次方程，掌握相关知识是解题的关键． （1）由题意可知小球从出发正好到达处时所用的时间为，从而求出的速度； （2）同（1）求出的速度，进而列出关于的一元一次方程，求解即可． 【详解】解：（l）由图2可知，小球P从点A出发，正好到达点B处时，所用的时间为， ∴小球P的运动速度为． （2）木块Q的运动速度为． 当时，． 又∵， ∴，解得． 故答案为：100，． 三、解答题 15．（22-23八年级上·安徽安庆·期中）通过市场调查，一段时间内某地区某种商品的需求量千克与市场价格元/千克（）之间存在下列关系： （元/千克） 5 10 15 20 （千克） 4500 4000 3500 3000 又假设该地区该商品在这段时间内的生产量千克与市场价格元/千克成正比例关系：，其中满足，现在不计其他因素影响，如果需求量等于生产量，那么此时市场处于平衡状态． (1)试通过找点画图探究与之间的函数关系，并求出函数关系式； (2)根据以上市场调查，请你分析；当市场处于平衡状态时，该地区这种商品的市场价格与这段时间内的总销售收入各是多少？ 【答案】(1)画图见解析， (2)该地区这种商品的市场价格与这段时间内的总销售收入各是10元/千克，40000元 【分析】（1）先再坐标系中描点，再结合表格中的数据进行求解即可； （2）根据题意可建立方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：由表格中的数据结合函数图象可知市场价格每千克增加5元，则需求量降低500千克， ∴； （2）解：由题意得，， 解得， ∴， ∴这段时间内的总销售收入是元， 答：该地区这种商品的市场价格与这段时间内的总销售收入各是10元/千克，40000元． 【点睛】本题主要考查了列函数关系式，一元一次方程的实际应用，正确根据表格和函数图象求出对应的函数关系式是解题的关键． 16．（23-24八年级上·安徽阜阳·阶段练习）已知一长方体无盖的水池的体积为，其底部是边长为正方形，经测得现有水的高度为，现打开进水阀，每小时可注入水． (1)写出水池中水的体积与时间之间的函数关系式（不要求写自变量的取值范围）； (2)5小时后，水的体积是多少立方米？ (3)多长时间后，水池可以注满水？ 【答案】(1) (2)立方米 (3)小时 【分析】（1）先求得现有水的体积，根据题意，列出函数关系式，即可求解； （2）将5，代入（1）的解析式，即可求解； （3）令，代入（1）的解析式，即可求解． 【详解】（1）解：由已知条件知，现有水的体积为， 因为每小时可注入水，则小时后可注水， 故水池中水的体积与时间（）之间的函数关系式为：； （2）根据（1）中的表达式，当时，， 故5小时后，池中水的立方米 （3）根据（1）中的表达式，令，即，解得：. 故经过小时，水池可以注满水 【点睛】本题考查了函数解析式，求得函数值或自变量的值，根据题意列出函数关系式是解题的关键． 17．（23-24八年级上·安徽合肥·阶段练习）如图是一位病人从发烧到退烧过程中的体温变化（），观察图象变化过程，回答下列问题： (1)自变量是时间，因变量是 　　； (2)这个病人该天最高体温是 　　，该天最低体温是 　　； (3)若体温超过即为发烧，则这位病人发烧时间段是 　　． 【答案】(1)体温 (2) (3)4时～14时 【分析】（1）根据自变量、因变量的定义即可得出答案； （2）根据图象中的信息即可得到结论； （3）根据图象中的信息即可得到结论． 【详解】（1）自变量是时间，因变量是体温； （2）这个病人该天最高体温是，该天最低体温是； （3）若体温超过即为发烧，则这位病人发烧时间段是4时～14时． 【点睛】该题主要考查了函数图像，解题的关键是能够从函数图像中提取重要信息． 18．（23-24八年级上·安徽亳州·阶段练习）定义新运算：对于任意实数a，b都有，等式右边是通常的加法、减法及乘法运算．比如：． (1)求； (2)若，且，求x，y的值； (3)对于变量x，y，满足，求出y关于x的函数关系式，并求出该函数图象上与x轴距离为2的点的坐标． 【答案】(1)17 (2)， (3)；或 【分析】（1）根据新运算计算，即可求解； （2）根据新运算可得①，②，即可求解； （3）根据新运算可得y关于x的函数关系式，再分别把和代入，即可求解． 【详解】（1）解：； （2）解：∵， ∴，即①， ∵， ∴，即②， 由得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：； （3）解：， 当时，， 解得：； 当时，， 解得：； 综上所述，该函数图象上与x轴距离为2的点的坐标为或． 【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组，函数的关系式，理解新定义是解题的关键． 19．（23-24八年级上·安徽蚌埠·期中）将长为，宽为的长方形白纸按如图所示的方法黏合起来，黏合部分宽为．    (1)根据图，将表格补充完整． 白纸张数 1 2 3 4 5 … 纸条长度 40 ______ 110 145 ______ … (2)设张白纸黏合后的总长度为，则与之间的关系式是什么？ (3)你认为白纸黏合起来总长度可能为吗？为什么？ 【答案】(1)75，180 (2) (3)不能使黏合的纸片总长为，理由见解析 【分析】本题考查的是函数关系式及探索图形变化的规律性知识，结合图形理清数量之间关系是解决此题关键． （1）根据图形结合题意可得答案； （2）根据题意和所给图形可得出答案； （3）把代入（2）式时，看x的值是否为整数即可得到答案． 【详解】（1）由题意可得，2张白纸黏合后的长度为：， 5张白纸黏合后的长度为：． 故答案为：75，180． （2）根据题意和所给图形可得出：． （3）不能．理由如下： 令得：， 解得：． ∵为整数， ∴不能使黏合的纸片总长为． 20．（24-25八年级上·安徽·期中），两地相距千米，图中折线表示某骑车人离地的距离与时间的函数关系．有一辆客车点从地出发，以千米时的速度匀速行驶，并往返于，两地之间．乘客上、下车停留时间忽略不计 (1)从折线图可以看出，骑车人一共休息______次，共休息______小时；点至点之间骑车人骑了______千米． (2)通过计算说明，骑车人返回家时的平均速度是多少？ (3)请在图中画出点至点之间客车与地距离随时间变化的函数图象． 【答案】(1)2；； (2)千米小时 (3)见解析 【分析】本题考查了函数图象，路程和时间速度公式等． （1）路程不变的过程就是休息的过程，结合函数图象可得出点至点之间骑车人骑了千米； （2）根据路程等于速度乘以时间进行计算即可； （3）计算出时，时客车与地的路程，利用两点法继而得到图象． 【详解】（1）解：通过图象可知骑行人休息了两次，共休息了2小时，点至点之间骑车人骑了千米， 故答案为：2；；； （2）解：平均速度千米小时， 答：骑车人返回家时的平均速度是千米小时； （3）解：9点时客车从出发，此时距离地千米， 时，客车到达地，千米， 时，客车又到达地，千米， 如图所示： ． 21．动点H以每秒1的速度沿图1中的长方形按从的路径匀速运动，相应的三角形的面积与时间的关系如图2，已知，设点H的运动时间为t秒． (1)_____，______，_____； (2)当点H在线段上运动时，直接写出S与t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围； (3)当三角形的面积为8时，请直接写出t的值． 【答案】(1)，14，10 (2) (3)或． 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，能结合图象得到有用条件，利用动点的运动求出相关线段是本题的解题关键． （1）根据图2函数分别分析出当点运动到点、、处的路程，求出，再求出当点在上时的面积即可； （2）根据（1）中数据求出，再根据即可解答； （3）当三角形的面积为时，点在或上，分别计算求出高，再依题意求出路程即可． 【详解】（1）解：由图2得，当时，随的增大而增大， 当点运动到点时，， ， 当时，的值不变， 当点运动到点时，，此时三角形的面积为长方形面积的一半， ，即， 当点运动到点处时，， ， 故答案为：，14，10； （2）由（1）知，点H在线段上运动时，，， 此时，， ； （3）解：当点在上时，三角形的面积， 当时，， ， ， 当点在上时，三角形的面积， 当时，， ，， ， 综上，点的运动时间为或． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.1 函数 教学目标 1.了解常量、变量的概念，能区分某一变化过程中的变量与常量。 2.掌握自变量和函数的概念，能辨析两个变量之间是否存在函数关系。 3.理解函数解析式的概念，能求出与已知自变量对应的函数值。 4.会确定实际问题中两个变量之间的函数解析式，能求出相应自变量的取值范围。 教学重难点 教学重点：明确 “变量” 与 “常量” 的区别；掌握函数的核心定义；函数的三种表示方法三者能相互转化。 教学难点：理解 “唯一性” 的内涵；摆脱 “解析式依赖”；区分 “自变量” 与 “因变量”。 知识点01 变量与常量的含义 在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为变量.数值保持不变的量叫做常量. 要点诠释：一般地，常量是不发生变化的量，变量是发生变化的量，这些都是针对某个变化过程而言的.例如，，速度60千米/时是常量，时间和里程为变量. 【即学即练】某地手机通话费为元，小明存入50元手机话费，记此后他的手机通话时间为，话费余额为元．则此问题中的常量和变量是（    ） A．常量50；变量． B．常量，50；变量． C．常量，50；变量． D．常量，50；变量，． 知识点02 函数的概念 一般地，在一个变化过程中. 如果有两个变量与，并且对于的每一个确定的值，都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说 是自变量，是的函数. 要点诠释：对于函数的定义，应从以下几个方面去理解： （1）函数的实质，揭示了两个变量之间的对应关系； （2）对于自变量的取值，必须要使代数式有实际意义； （3）判断两个变量之间是否有函数关系，要看对于允许取的每一个值，是否都有唯一确定的值与 它相对应. （4）两个函数是同一函数至少具备两个条件： ①函数关系式相同（或变形后相同）； ②自变量的取值范围相同. 否则，就不是相同的函数.而其中函数关系式相同与否比较容易注意到，自变量的取值范围有时容易忽视，这点应注意. 【即学即练】如图，下列各曲线中能够表示是的函数的是（    ） A．B．C． D． 知识点03 函数的三种表示方法 函数的三种表示方法：列表法、解析式法、图象法． 其特点分别是：列表法能具体地反映自变量与函数的数值对应关系，在实际生活中应用非常广泛；解析式法准确地反映了函数与自变量之间的对应规律，根据它可以由自变量的取值求出相应的函数值，反之亦然；图象法直观地反映函数值随自变量的变化而变化的规律． 注意：①它们分别从数和形的角度反映了函数的本质；②它们之间可以互相转化． 函数的三种表示方法的优缺点 解析法：即全面地概括了变量之间的依赖关系，又简单明了，便于对函数进行理论上的分析和研究．但有时函数不能用解析法表示，或很难找到这个函数的解析式． 列表法：自变量的值与其对应的函数值一目了然，查找方便．但有很多函数，往往不可能把自变量的所有值与其对应的函数值都列在表中． 图像法：非常直观，可以清楚地看出函数的变化情况．但是，在图像中找对应值时往往不够准确，而且有时函数画不出它的图像，还有很多函数不可能得到它的完整图像． 【即学即练】1.某商店销售一批玩具时，其收入y（元）与销售数量x（个）之间有如下关系： 销售数量x（个） 1 2 3 4 … 收入y（元） 8+0.3 16+0.6 24+0.9 32+1.2 … 则收入y与销售数量x之间的关系式可表示为（　　） A．y＝8.3x B．y＝8x+0.3 C．y＝8+0.3x D．y＝8.3+x 2.一物体从4m高的地方匀速降到地面，若物体每分钟下降0.4m，则物体与地面的距离y（单位：m）与下降时间t（单位：min）之间的函数图象是（　　） A． B． C． D． 知识点04 自变量的取值范围的确定 函数的自变量允许取值的范围，叫做这个函数的定义域. 要点诠释：考虑自变量的取值必须使解析式有意义。 （1）当解析式是整式时，自变量的取值范围是全体实数； （2）当解析式是分式时，自变量的取值范围是使分母不为零的实数； （3）当解析式是二次根式时，自变量的取值范围是使被开方数不小于零的实数； （4）当解析式中含有零指数幂或负整数指数幂时，自变量的取值应使相应的底数不为零； （5）当解析式表示实际问题时，自变量的取值必须使实际问题有意义. 【即学即练】函数y＝中自变量的取值范围是 ． 知识点05 函数值 是的函数，如果当＝时＝，那么叫做当自变量为时的函数值.在函数用记号表示时，表示当时的函数值. 要点诠释： 对于每个确定的自变量值，函数值是唯一的，但反过来，可以不唯一，即一个函数值对应的自变量可以是多个.比如：中，当函数值为4时，自变量的值为±2. 【即学即练】根据如图所示的程序计算函数y的值，若输入的x的值为4时，输出的y的值为5．则输入x 的值为3时，输出的y的值为（　　） A．﹣6 B．6 C．﹣3 D．3 知识点06 确定函数表达式 用来表示函数关系的等式叫做函数解析式，也称为函数关系式． 注意： ①函数解析式是等式． ②函数解析式中，通常等式的右边的式子中的变量是自变量，等式左边的那个字母表示自变量的函数． ③函数的解析式在书写时有顺序性，例如，y＝x+9时表示y是x的函数，若写成x＝﹣y+9就表示x是y的函数． 【即学即练】已知一个长方形的周长为50cm，相邻两边分别为xcm，ycm，则它们的关系为是（　　） A．y＝50﹣x（0＜x＜50） B．y＝50﹣x（0≤x≤50） C．y＝25﹣x（0＜x＜25） D．y＝25﹣x（0≤x≤25） 知识点07 由函数表达式画函数图象的一般步骤 对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象. 要点诠释：由函数解析式画出图象的一般步骤：列表、描点、连线.列表时，自变量的取值范围应注意兼顾原则，既要使自变量的取值有一定的代表性，又不至于使自变量或对应的函数值太大或太小，以便于描点和全面反映图象情况. 【即学即练】已知等腰三角形周长为，若底边长为（），一腰长为x（）． (1)写出y与x的函数关系式； (2)求自变量x的取值范围； (3)画出这个函数的图像． 题型01 判断所给的表达式是否为函数 【例1】（23-24八年级上·安徽合肥·期中）下列等式中，其中表示y是x的函数的有：（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．4个 【变式1-1】下列关系式中，y是x的函数的是（　　） A． B． C． D． 【变式1-2】（23-24八年级上·安徽合肥·阶段练习）下列关于变量和的关系式：，，，，，，，其中是的函数的个数为(   ) A．3 B．4 C．5 D．6 【变式1-3】（22-23七年级上·江苏淮安·阶段练习）在式子①，②，③，④，⑤中，是的函数的有（　　）， A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 题型02 求自变量的值（或函数值） 【例2-1】（24-25八年级上·安徽安庆·期中）若函数，则当函数值时，自变量x的值是（   ） A．或1.5 B． C．1.5或 D．1.5 【例2-2】（24-25八年级上·安徽阜阳·阶段练习）当时，函数的值是（   ） A．1 B．-1 C． D． 【例2-3】（24-25八年级上·安徽蚌埠·阶段练习）如图为一组有规律的图案，第1个图案是由4个组成的，第2个图案是由7个组成的，第3个图案是由10个组成的，……．设第n个图案是由y个组成的． (1)求y与n之间的函数表达式； (2)第100个图案是由多少个组成的？ 【变式2-1】（24-25八年级上·安徽六安·阶段练习）已知函数，则当时，的值为（   ） A． B．或 C．或5 D．或5 【变式2-2】（23-24八年级上·安徽阜阳·阶段练习）定义：函数的零点是指使函数值等于零的自变量的值，则下列函数中零点为2的是（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（22-23八年级上·安徽蚌埠·阶段练习）已知和均是以x为自变量的函数，当时，函数值分别是和，若存在正数n，使得，则称函数和是“正和谐函数”．下列函数和是“正和谐函数”的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【变式2-4】（23-24八年级上·安徽合肥·期中）如图，某品牌自行车每节链条的长度为，交叉重叠部分的圆的直径为．    (1)观察图形，填写下表： 链条节数（节 2 3 4 链条长度 (2)请你写出y与x之间的关系式； (3)如果一辆自行车上安装的链条共有60节，那么链条的总长度是多少？ 题型03 函数的表示方法 【例3-1】（列表法与关系式法）某商店销售一批玩具时，其收入y（元）与销售数量x（个）之间有如下关系： 销售数量x（个） 1 2 3 4 …… 收入y（元） 8＋0.3 16＋0.6 24＋0.9 32＋1.2 …… 则收入y与销售数量x之间的关系式可表示为（    ） A． B． C． D． 【例3-2】（图像法）（24-25八年级上·安徽亳州·阶段练习）用固定的速度向容器里注水，水面的高度h和注水时间t的函数关系的大致图象如图，则该容器可能是（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】下列曲线中，能表示是的函数的是（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】（24-25八年级上·安徽池州·期末）下列图象中，能表示函数图象的是（   ） A．B．C．D． 【变式3-3】（23-24八年级上·安徽安庆·期末）甲、乙两人同时从A地到B地，甲先步行到中点改骑自行车，乙先骑自行车到达中点后改为步行．已知甲、乙两人骑车的速度和步行的速度分别相同，则甲、乙两人所行的路与所用时间的关系图正确的是（实线表示甲，虚线表示乙）（　　） A． B． C． D． 【变式3-4】某超市进了一批优质水果，出售时在进价（进货的价格）的基础上加上一定的利润，其销售数量与售价（元）的关系如表： 销售数量 … 售价（元） … 下列用表示的关系式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式3-5】某文具店老板购进一批荧光笔，销量（支）与销售额（元）的关系如下表所示： 销量支 … 销售额元 … 则销售额与销量的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 题型04 从实际问题中获取信息 【例4-1】（从表格中获取信息）（24-25八年级上·安徽淮北·期中）声音在空气中传播的速度和气温之间有如下关系： 气温 0 5 10 15 20 声速 331 334 337 340 343 (1)上表反映了____________与____________之间的关系，其中____________是自变量； (2)若用表示气温，表示声速，则随着的增大，将发生怎样的变化？ (3)从表中数据的变化，你发现了什么规律？写出与之间的函数表达式． 【例4-2】（从图象中获取信息）（24-25八年级上·安徽淮北·阶段练习）为响应国家号召“低碳生活，绿色出行”李老师骑单车上班，当他骑了一段时间，想起要去家访生病的小明，于是又折回到刚经过的小明家，到小明家家访完后继续去学校，以下是他本次所用的时间与离家距离的关系示意图，根据图中提供的信息回答下列问题： (1)图中自变量是__________，因变量是__________； (2)李老师家到小明家的路程是__________米．李老师在小明家家访用了__________分钟； (3)请计算李老师家访完后到学校的骑车速度． 【变式4-1】（24-25八年级上·安徽宿州·期末）在学习地理时，我们知道：“海拔越高，气温越低”，如表是海拔高度与此高度处气温的关系． 海拔高度 0 1 2 3 4 … 气温 18 12 6 0 … 根据以上表格，解答下列问题： (1)自变量是______，因变量是______； (2)求气温与海拔高度之间的函数表达式． 【变式4-2】（24-25八年级上·安徽滁州·阶段练习）科学家实验发现，声音在不同气温下传播的速度不同，声音在空气中的传播速度随气温的变化而有规律的变化．某科学社团通过查阅资料发现，声音在空气中传播的速度和气温的变化存在如下的关系： 气温 0 1 2 3 4 5 声音在空气中的传播速度 (1)在这个变化过程中，______是自变量；（填汉字） (2)声音在空气中的传播速度与气温的关系式可以表示为______；（不要求写的取值范围） (3)某日的气温为，小乐看到烟花燃放后才听到声响，那么小乐与燃放烟花所在地大约相距多远？ 【变式4-3】（23-24八年级上·安徽安庆·期末）张师傅驾车运送货物到某地出售，汽车出发前油箱有油升，行驶若干小时后，途中在加油站加油若干升，油箱中剩余油量（升）与行驶时间 （小时）之间的关系如图所示． 请根据图象回答下列问题： (1)汽车行驶 小时后加油，中途加油 升； (2)已知加油前、后汽车都以千米小时匀速行驶，如果加油站距目的地 千米，要到达目的地，问油箱中的油是否够用? 请说明理由． 【变式4-4】（23-24八年级上·安徽滁州·期中）随着“双减”政策落地，周末家庭野外郊游将成为我们的生活常态．诚诚骑自行车从家里出发30分钟后到达甲地，游玩一段时间后按原速前往乙地．诚诚离家1小时30分钟后，妈妈驾车沿相同路线前往乙地，下图是他们离家的路程与诚诚离家时间的函数图象，已知妈妈驾车的速度是诚诚骑车速度的3倍，根据图中的信息：    (1)诚诚从家出发多少小时后被妈妈追上？此时离家多远？ (2)若妈妈比诚诚还早10分钟到达乙地，从家到乙地的路程是多少？ 题型05 函数在实际生活中的应用 【例5-1】王华用的练习本可在甲、乙两个商店买到，已知两个商店的标价都是每本2元，但甲商店的优惠条件是：购买10本以上，从第11本开始按标价的八折卖；乙商店的优惠条件是：从第1本开始就按标价的八五折卖．设小明买本练习本，甲商店的费用为，乙商店的费用为． (1)分别求出，与x之间的关系式； (2)王华买了25本练习本，选择哪家商店更优惠？请说明理由． 【例5-2】小英在家里整理内务时发现：把一些相同规格的塑料凳子整齐地叠放在水平地面上，这摞塑料凳子的高度随着凳子的数量变化有一定的关系．于是小英对凳子的高度进行测量，具体变化的情况如下表所示： 凳子的数量个 高度 (1)上述两个变量之间的关系中，哪个是自变量？哪个是因变量？ (2)用（）表示这摞凳子的高度，（个）表示这摞凳子的数量，请写出与之间的函数关系式； (3)当这摞凳子的高度为时，求这摞凳子的数量． 【变式5-1】小可的妈妈打算购买一些草莓回家做水果拼盘，经了解，生态园区中的“老农果园”的草莓标价为50元／千克，若一次性购买不超过2千克，则按原价付款，若购买超过2千克，则超过部分按标价的八折付款． (1)请求出付款金额（元）关于购买草莓的重量（千克）的函数表达式（）； (2)去购买草莓当天，发现旁边的“盛田果园”也在进行草莓优惠活动，同品种草莓标价也为50元／千克，但全部按标价的九折付款，小可妈妈计划用200元购买此种草莓（全部用完），请问她在哪个果园购买更合算？ 【变式5-2】（24-25八年级上·辽宁阜新·期中）某体育用品专卖店为了对某新品牌的羽毛球拍进行促销，推出两种优惠方案．方案一：买一支球拍赠送一打羽毛球；方案二，按购买金额打九折付款．已知羽毛球拍每支售价60元，羽毛球每打售价10元，校羽毛球队欲购买球拍20支，羽毛球x打（）供训练使用． (1)写出每种优惠方案实际付款金额y（元）与x（打）之间的函数关系式； (2)若只能按一种方案购买，比较购买100打的羽毛球，按哪种方案付款更合算； (3)若专卖店允许以任意选择一种优惠方案购买，也可以用两种方案混合购买，请就购买球拍20支和羽毛球50打设计一种最省钱的购买方法． 【变式5-3】（24-25八年级上·安徽合肥·期中）刘阿姨承包了一些土地种植西红柿、茄子，西红柿每亩地成本2000元，茄子每亩地成本2500元（净利润收入成本）．“阳光农场”社团的两位同学李华和张萌帮助刘阿姨搜集到了如下信息： (1)种植每亩西红柿的收入为_______元，每亩茄子的收入为_______元； (2)若刘阿姨两种蔬菜均有种植，共种植了6亩，其中西红柿种植了亩，要使净利润不低于15000元，则至少种植多少亩西红柿？ (3)在（2）的条件下，设总成本为元，请求出与之间的表达式，并计算出最小成本．（西红柿和茄子的种植亩数均为正整数） 【变式5-4】甲、乙两家商场平时以同样价格出售相同的商品，新冠疫情期间，为了减少库存，甲、乙两家商场打折促销，甲商场所有商品按 折出售，乙商场对一次购物中价格超过 元后的部分打 折． (1)以 （单位：元）表示商品原价，（单位：元）表示实际购物金额，分别就两家商场的让利方式写出 关于 的函数关系式； (2)当商品的原价为250时，在哪家商场通过打折后更划算． (3)当商品的原价为多少元时，两家商场打折后的价格相同． 题型06 动点构造的函数综合问题 【例6】（24-25八年级上·安徽六安·阶段练习）在平面直角坐标系中，为坐标原点，过点分别作轴，轴的垂线，交轴于点，交轴于点，有一动点以3个单位/秒的速度，从点出发，沿着向点运动，运动时间为（秒）． (1)写出点和点的坐标； (2)在整个运动过程中，用含的式子表示线段的长，并写出的取值范围； (3)已知点，连接，，在（2）的条件下是否存在这样的值，使，若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【变式6-1】（23-24八年级上·安徽合肥·期中）如图甲是一个大长方形剪去一个小长方形后形成的图形，已知动点以每秒的速度沿图甲的边框按从的路径移动，相应的的面积与时间之间的关系如图乙中的图象表示．若，试回答下列问题．    图甲图乙 (1)填空：图甲中的__________，__________； (2)求：图乙中的的值； (3)求：图乙中的的值． 【变式6-2】如图，在中，为边上的高，，，点为边上一动点，连接，随着长度的变化，的面积也在变化．    (1)在这个变化过程中，自变量是什么？因变量是什么？ (2)若设，的面积为y，请写出y与x的关系式； (3)当时，求的面积． 【变式6-3】如图1，正方形的边长为，F为边上一点，动点P以的速度沿B→C→D→A的路径向终点A运动．设运动时间为，的面积为，S与t的函数图象如图2所示．    (1)求线段的长及a的值； (2)当t为何值时，的面积S为8? 【变式6-4】（21-22八年级上·安徽合肥·期中）如图①，在矩形ABCD中，AB=10cm，BC=8cm，点P从A出发，沿A→B→C→D路线运动，到D停止；点Q从D出发，沿D→C→B→ A路线运动，到A停止．若点P、点Q同时出发，点P的速度为每秒lcm，点Q的速度为每秒2cm， a秒时点P、点Q同时改变速度，点P的速度变为每秒bcm，点Q的速度变为每秒lcm，图②是点P出发x秒后△APD的面积S（cm）与x（秒）的函数关系图象． （1）根据图象得a= ；b= ； （2）设点P已行的路程为y1（cm），点Q还剩的路程为y2（cm），请分别求出改变速度后，y1、y2和运动时间x（秒）的关系式，并写出自变量取值范围． 一、单选题 1．（24-25八年级上·安徽合肥·阶段练习）下列函数中，其图象不经过点的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·安徽合肥·阶段练习）在函数中，自变量x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·安徽蚌埠·阶段练习）已知，，，四点，若其中两点不可能在同一个函数图象上，则这两点是（   ） A．点P和点Q B．点Q和点N C．点P和点N D．点M和点N 4．（24-25八年级上·安徽池州·阶段练习）在圆锥的体积公式中，变量有（    ） A．，， B．3，， C．，， D．，， 5．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）下列曲线中，表示y是x的函数的是（） A． B． C． D． 6．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）从年月日起，合肥燃气价格上调．调整后，居民用气费用（元）与年用气量（立方米）之间的函数图象如图所示，则下列说法正确的是（　　） A．第一档单价是元/立方米 B．第二档单价是元/立方米 C．当年用气量为立方米时，费用为元 D．值是 7．（23-24八年级上·安徽淮北·期末）如图1，在长方形中，，E是边上一点，且，点P从点B出发，沿折线匀速运动，运动到点C停止．点P的运动速度为，运动时间为，的面积为，y与t的函数关系图象如图2所示，则下列结论错误的是（    ）    A． B． C． D．当时， 8．（23-24八年级下·安徽芜湖·期末）某湖边公园有一条笔直的健步道，甲、乙两人从起点同方向匀速步行，先到终点的人在终点休息．已知甲先出发6分钟，在整个过程中，甲、乙两人之间的距离y（米）与甲出发的时间t（分钟）之间的关系如图所示，下列结论：①甲步行的速度为75米/分钟；②起点到终点的距离为5940米；③甲走完全程用了78分钟；④乙步行的速度为90米/分钟；⑤图中m的值为36． 则以上结论一定正确的是（    ） A．①②③④ B．①②④⑤ C．①③④⑤ D．①②③⑤ 二、填空题 9．（24-25八年级上·安徽池州·阶段练习）已知函数，若，则的值为 ． 10．（23-24八年级上·安徽六安·期末）如图所示是关于变量x，y的程序计算，若开始输入的x值为6，则最后输出因变量y的值为 ． 11．（24-25八年级上·安徽蚌埠·期末）函数中，自变量x的取值范围是 ． 12．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）某物理学习小组探究甲、乙、丙、丁四种物质的密度，将测量结果数据绘制成如图所示的图象，则四种物质中密度最大的是 ． 13．（23-24八年级上·安徽合肥·期中）我们有时会将关于的函数表示为，其中（1）就表示当时的函数值，即．则 ； （结果用含n的代数式表示，其中n为正整数） 14．（24-25八年级上·安徽合肥·阶段练习）如图(1)，在物理实验课上，小明做“小球反弹实验”已知桌面的长为，小球P与木块Q（大小厚度忽略不计）同时从点A出发，向点B做匀速直线运动，速度较快的小球P到达B处的挡板l后被弹回（忽略转向时间），沿原来的路径和速度返回，遇到木块Q后又被反弹回挡板l，如此反复，直到木块Q到达l，小球P和木块Q同时停止运动．设小球P的运动时间为，木块Q与小球P之间的距离为，图(2)是y与x的部分图象． （1）小球P的运动速度为 ． （2）t的值为 ． 三、解答题 15．（22-23八年级上·安徽安庆·期中）通过市场调查，一段时间内某地区某种商品的需求量千克与市场价格元/千克（）之间存在下列关系： （元/千克） 5 10 15 20 （千克） 4500 4000 3500 3000 又假设该地区该商品在这段时间内的生产量千克与市场价格元/千克成正比例关系：，其中满足，现在不计其他因素影响，如果需求量等于生产量，那么此时市场处于平衡状态． (1)试通过找点画图探究与之间的函数关系，并求出函数关系式； (2)根据以上市场调查，请你分析；当市场处于平衡状态时，该地区这种商品的市场价格与这段时间内的总销售收入各是多少？ 16．（23-24八年级上·安徽阜阳·阶段练习）已知一长方体无盖的水池的体积为，其底部是边长为正方形，经测得现有水的高度为，现打开进水阀，每小时可注入水． (1)写出水池中水的体积与时间之间的函数关系式（不要求写自变量的取值范围）； (2)5小时后，水的体积是多少立方米？ (3)多长时间后，水池可以注满水？ 17．（23-24八年级上·安徽合肥·阶段练习）如图是一位病人从发烧到退烧过程中的体温变化（），观察图象变化过程，回答下列问题： (1)自变量是时间，因变量是 　　； (2)这个病人该天最高体温是 　　，该天最低体温是 　　； (3)若体温超过即为发烧，则这位病人发烧时间段是 　　． 18．（23-24八年级上·安徽亳州·阶段练习）定义新运算：对于任意实数a，b都有，等式右边是通常的加法、减法及乘法运算．比如：． (1)求； (2)若，且，求x，y的值； (3)对于变量x，y，满足，求出y关于x的函数关系式，并求出该函数图象上与x轴距离为2的点的坐标． 19．（23-24八年级上·安徽蚌埠·期中）将长为，宽为的长方形白纸按如图所示的方法黏合起来，黏合部分宽为．    (1)根据图，将表格补充完整． 白纸张数 1 2 3 4 5 … 纸条长度 40 ______ 110 145 ______ … (2)设张白纸黏合后的总长度为，则与之间的关系式是什么？ (3)你认为白纸黏合起来总长度可能为吗？为什么？ 20．（24-25八年级上·安徽·期中），两地相距千米，图中折线表示某骑车人离地的距离与时间的函数关系．有一辆客车点从地出发，以千米时的速度匀速行驶，并往返于，两地之间．乘客上、下车停留时间忽略不计 (1)从折线图可以看出，骑车人一共休息______次，共休息______小时；点至点之间骑车人骑了______千米． (2)通过计算说明，骑车人返回家时的平均速度是多少？ (3)请在图中画出点至点之间客车与地距离随时间变化的函数图象． 21．动点H以每秒1的速度沿图1中的长方形按从的路径匀速运动，相应的三角形的面积与时间的关系如图2，已知，设点H的运动时间为t秒． (1)_____，______，_____； (2)当点H在线段上运动时，直接写出S与t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围； (3)当三角形的面积为8时，请直接写出t的值． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$