第二十二章 二次函数 单元测试卷 2025-2026学年人教版数学九年级上册

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9．（3分）如图为二次函数（）图象的一部分，与x轴的一个交点为，对称轴为直线．当时，x的取值范围是（　　） A． B． C．或 D． 10．（3分）已知抛物线的部分图象如图所示，以下结论：①；②方程的根是；③抛物线上有三点，，，则；④若，则的取值范围是；其中正确的有（　　） A．①③ B．②③ C．①②③ D．①②④ 二、填空题(共8题；共24分) 11．（3分）二次函数中，二次项系数是　 　，一次项系数是　 　． 12．（3分）若抛物线（是常数）与轴没有交点，则的取值范围是　 　． 13．（3分）已知，在二次函数的图象上，比较　 　．（填、或） 14．（3分）如图，要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端点安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为处达到最高，高度为，水柱落地处离池中心距离为，则水管的长度是　 　． 15．（3分）如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，，则关于x的方程的解为　 　． 16．（3分）某宾馆有 120 间标准房，当标准房价格为 100 元时，每天都客满，市场调查表明单间房价在 元之间（含 100 元， 150 元）浮动时，每提高 10 元，日均入住数减少 6 间。如果不考虑其他因素，该宾馆将标准房价格提高到　 　元时，客房的日营业收入最大。 17．（3分） 2025年是农历乙巳蛇年，商场为准备新的一年的商品，购进一批单价为70元的“迎新蛇”公仔，并以每个125元售出，此时每天可售出75个．市场调查发现：销售单价每降低1元，其销售量相应增加5个．如果设销售单价降低x元，每天所获销售利润y元，请列出y关于x的函数表达式　 　. 18．（3分）如图是某拋物线型的拱桥示意图，已知该抛物线的函数表达式为，为了给行人提供生命保障，在该拱桥上距水面AB高为8米的点E、F处悬挂了两个救生圈，则这两个救生圏间的水平距离EF为　 　米. 三、解答题(共6题；共46分) 19．（7分）已知二次函数的图象经过点． （1）（3分）求的值和二次函数的对称轴． （2）（4分）若把该函数图象向上平移个单位长度后与轴恰好只有一个交点，求的值． 20．（7分）已知二次函数 （ 为常数）的图象经过点 和 ． （1）（3分）求二次函数的表达式及顶点坐标； （2）（4分）当 时，请根据图象直接写出 的取值范围． 21．（9分）如图，二次函数的图象与x轴交于点A，B（A在B的左侧），与一次函数的图象交于A，C两点． （1）（3分）求b的值； （2）（3分）求的面积； （3）（3分）根据图象，直接写出当时x的取值范围． 22．（7分）杭州亚运会期间，某网店经营亚运会吉祥物“宸宸、琮琮和莲莲”钥匙扣礼盒装，每盒进价为30元，出于营销考虑，要求每盒商品的售价不低于30元且不高于42元，在销售过程中发现该商品每周的销售量y（件）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系：当销售单价为32元时，销售量为40件：当销售单价为36元时，销售量为32件． （1）（3分）请求出y与x的函数关系式； （2）（4分）设该网店每周销售这种商品所获得的利润为w元， ①写出w与x的函数关系式： ②将该商品销售单价定为多少元时，才能使网店每周销售该商品所获利润最大？最大利润是多少？ 23．（6分）某游乐园要建造一个圆形喷水池，计划在喷水池的周边安装一圈喷水头，使喷出的水柱距池中心3m处达到最高，高度为5m．如图，以水平方向为x轴，喷水池中心为原点O建立直角坐标系．若要在喷水池的中心设计一个装饰物，使各方向喷出的水柱在此汇合，已知装饰物的设计高度为4m， （1）（3分）求第一象限中的抛物线的表达式； （2）（3分）若有一只蜻蜓恰好在水平距离喷水池中心12m的地方（地面或水面）停留，那么当喷泉喷水时，蜻蜓是否会受到影响？先判断再利用所学的数学知识说明理由． 24．（10分）已知：如图，抛物线经过原点和点，为抛物线上的一个动点，过点作轴的垂线，垂足为，并与直线交于点． （1）（3分）求抛物线的解析式； （2）（3分）当点P在直线OA上方时，求线段PC的最大值； （3）（4分）过点A作AD⊥x轴于点D，在抛物线上是否存在点P，使得以P、A、C、D四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $$登录……○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※ ……○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ……○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 学校：___________ 姓名：___________ 班级：___________ 考号：___________ ……○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 参考答案 1．【答案】A 2．【答案】D 3．【答案】D 4．【答案】B 5．【答案】A 6．【答案】D 7．【答案】C 8．【答案】C 9．【答案】B 10．【答案】D 11．【答案】3； 12．【答案】 13．【答案】 14．【答案】 15．【答案】 16．【答案】150 17．【答案】 18．【答案】10 19．【答案】（1）解：把代入得， 解得， 二次函数解析式为， ， 二次函数图象的对称轴为直线 （2）该函数图象向上平移个单位长度后所得函数图象的解析式为， 平移后的二次函数图象与轴只有一个交点， 关于的一元二次方程有个相等的实数解， ， 解得， 即的值为 20．【答案】（1）解：将 代入二次函数 （ 为常数） 中， 得到 ，解得 ， ∴ ，， ∴顶点坐标 （2）解：令，变形为x2-x-2=0，即（x+1）（x-2）=0， 解得x=-1或x=2， ∴ 当 时，。 21．【答案】（1）解：当时，， 解得：，， ∴抛物线与x轴交于，． ∵直线经过A点， ∴， ∴； （2）解：由（1）知，联立得：， 整理得 解得：（舍），， 把代入，得， ∴， ∴； （3）解：，，当或时，抛物线在直线的上方， ∴当时，或． 22．【答案】（1）解：由题意可得，设，将，代入可得 ，解得 即 （2）解：① ② 当在范围内，w取到最大，最大值为242. 答：销售单价定为41元时，才能使网店每周销售该商品所获利润最大，最大利润是242元． 23．【答案】（1）设第一象限的函数为（）， 由题意，可知在图象上，则， 解得， ∴ （2）解：蜻蜓不会受到影响，理由如下： 令， （不合适，舍去） ∵ ∴蜻蜓在喷水池外，不会受到影响 24．【答案】（1）解：把和点代入得到，解方程组得， ∴抛物线的解析式为． 故答案是：． （2）解：根据题意得，过原点和点的直线的解析式是，二次函数的顶点坐标是，当点P在直线OA上方时，设的横坐标为，∴，， ∵，轴，在上，在上，， ∴，， ∴， ∵二次函数的二次项系数，图像开口向下， ∴有最大值， 当时，， 故当点P在直线OA上方时，线段的最大值是． （3）解：如图所示， 由（2）可知，当点P在直线OA上方时，线段的最大值是， ∵， ∴点在直线的下方，过点作交抛物线于和，此时四边形和四边形是平行四边形， ∵直线的解析式为， ∴直线的解析式为， 由，解得或， ∴的值为， 故答案是：． 学科网（北京）股份有限公司 $$……○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※ ……○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ……○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 学校：___________ 姓名：___________ 班级：___________ 考号：___________ ……○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 第二十二章 二次函数 单元测试卷 2025-2026学年人教版数学九年级上册 考试时间：100分钟 满分：100分 姓名：__________ 班级：__________考号：__________ 题号 一 二 三 总分 评分 一、选择题(共10题；共30分) 1．（3分）抛物线的顶点坐标是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】【解答】解：， 抛物线的顶点坐标为， 故答案为：A． 【分析】将解析式转换为顶点式即可得顶点坐标. 2．（3分）已知二次函数（）的图象经过点，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】【解答】解：∵二次函数的图象经过点， ∴ ∴ 故答案为：D． 【分析】把点代入计算a的值即可． 3．（3分）函数数与二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】【解答】解：因为一次函数和二次函数都经过y轴上的， 所以两个函数图象交于y轴上的同一点，排除A； 当时，二次函数开口向上，一次函数经过一、三象限，排除选项B； 当时，二次函数开口向下，一次函数经过二、四象限，排除选项C； 故选：D． 【分析】根据题意，得到两个函数图象交于y轴上的同一点，再结合二次函数的开口方向，以及一次函数的性质，即可求解. 4．（3分）若函数y=-2x2+bx+c的图象经过点（-1，1）和（1，-7），则当-3≤x≤0时，函数的最大值与最小值之和是（　　） A．-8 B．-6 C．-3 D．0 【答案】B 【解析】【解答】解：由题意，∵函数 的图象经过点 和 ∴函数为 ∴当 时， 当 时，y最大值为1；当 时，y取最小值为 ∴函数的最大值与最小值之和是： 故答案为：B. 【分析】依据题意，代入 和 求出b，c的值，即可得到函数解析式，再由二次函数的性质，结合 进而可以判断得解. 5．（3分）已知二次函数图象与x轴只有一个交点，且图象过和两点，设，则（　　） A．p的最小值为 B．p的最小值为1 C．p的最大值为 D．p的最大值为1 【答案】A 【解析】【解答】解：∵二次函数的图象与x轴只有一个交点， ∴，即，对称轴为直线． ∴， ∵二次函数过和两点， ∴，， ∴， ∴， ∴， 当时，的最小值为， 故答案为：A. 【分析】先求出，，，即可得到，然后得到最值即可. 6．（3分）如图，一工厂车间大门由抛物线和矩形的三边组成，门的最大高度是，，，若有一个高为，宽为的长方体形状的大型设备要安装在车间，如果不考虑其他因素，设备的右侧离开门边多少米，此设备运进车间时才不会碰到门的顶部（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】【解答】解：如图，以为轴，的中点为坐标原点建立平面直角坐标系． 则点坐标为点坐标为点坐标为点坐标为， 设抛物线解析式为：， 把点坐标代入，解得， 所以， 把代入， 解得； 此时设备的右侧离开门边米， 所以为了设备运进车间时才不致于碰门的顶部，， 故答案为：D． 【分析】以为轴，的中点为坐标原点建立平面直角坐标系，则点坐标为点坐标为点坐标为点坐标为，设抛物线解析式为：，根据待定系数法将点D坐标代入解析式可得，再将y=4代入解析式，解方程即可求出答案. 7．（3分）二次函数的图象如图所示，对称轴是直线，则过点和点的直线一定不经过（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【解析】【解答】解：∵二次函数的对称轴是直线， ∴， ∴， ∴， 根据函数图象可知二次函数与轴交于正半轴， ∴， ∴在轴正半轴上， ∵二次函数顶点在第二象限， ∴当时，有， ∵二次函数与轴无交点， ∴， ∴在第二象限， ∴经过点和点的直线一定经过第一、二、四象限，不经过第三象限， 故答案为：C． 【分析】先根据二次函数的对称轴得到，由二次函数与轴的交点得到，从而判断点在轴正半轴上，然后由二次函数顶点在第二象限，得到当时，，再由二次函数与轴无交点，得到，进而判断点在第二象限，据此可得答案． 8．（3分）如图，二次函数的对称轴为直线，若一元二次方程的一个根为，则m的值可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】【解答】解：根据题意可知：二次函数的对称轴是，一元二次方程ax2+bx+c=0的一个根为x=m 设另一个根为x=n， ∴=1， ∴n=2-m， 根据二次函数图象和选项可知，-1＜n＜0，且n的值靠近-1， 即-1＜2-m＜0， 解得2＜m＜3，且m的值靠近3， 故m的值可能是2.8， 故答案为：C. 【分析】根据二次函数图象和性质，可以得到对应一元二次方程根的大小与位置关系，利用其对称性即可解决问题. 9．（3分）如图为二次函数（）图象的一部分，与x轴的一个交点为，对称轴为直线．当时，x的取值范围是（　　） A． B． C．或 D． 【答案】B 【解析】【解答】解：∵二次函数的图象与x轴的一个交点为，对称轴为直线． ∴二次函数的图象与x轴的另一个交点为， 又∵函数图象开口向下， ∴当时，x的取值范围是． 故答案为：B 【分析】根据二次函数的性质与坐标轴的交点即可求出答案. 10．（3分）已知抛物线的部分图象如图所示，以下结论：①；②方程的根是；③抛物线上有三点，，，则；④若，则的取值范围是；其中正确的有（　　） A．①③ B．②③ C．①②③ D．①②④ 【答案】D 【解析】【解答】解：∵抛物线的开口向上，与轴的交点位于轴的负半轴， ∴， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴， ∴，则结论①正确； 将点代入得：， ∴这个抛物线的解析式为， 令，解得或， 即方程的根是，则结论②正确； 将点代入得：， 将点代入得：， 将点代入得：， ∴，则结论③错误； 由抛物线的图象可知，在内，当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大， 当时，；当时，；当时，， ∴若，则的取值范围是，结论④正确； 综上，正确的有①②④， 故答案为：D． 【分析】根据二次函数的图象，性质与系数的关系即可求出答案. 二、填空题(共8题；共24分) 11．（3分）二次函数中，二次项系数是　 　，一次项系数是　 　． 【答案】3； 【解析】【解答】 二次函数中，二次项是，一次项是 则二次项系数为3，一次项系数为 故答案为3； 【分析】根据二次函数的有关定义，求解即可. 12．（3分）若抛物线（是常数）与轴没有交点，则的取值范围是　 　． 【答案】 【解析】【解答】解：∵抛物线与x轴没有交点， ∴没有实数根， ∴，． 故答案为：． 【分析】 抛物线与x轴无交点，则关于x的一元二次方程无实数根，即． 13．（3分）已知，在二次函数的图象上，比较　 　．（填、或） 【答案】 【解析】【解答】解：当时，， 当时，， ∴． 故答案为：. 【分析】将和代入二次函数解析式，求出、的值即可解题． 14．（3分）如图，要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端点安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为处达到最高，高度为，水柱落地处离池中心距离为，则水管的长度是　 　． 【答案】 【解析】【解答】解：设抛物线解析式为y=a（x-h）2+k， 由题意可知抛物线的顶点为（2，5），与x轴的一个交点为（6，0）， ∴0=a（6-2）2+5，解得：， ∴抛物线解析式为： 当x=0时， ∴水管的长度OA是m． 故答案为：． 【分析】设抛物线解析式为y=a（x-h）2+k，根据待定系数法将（2，5）与（6，0）代入解析式，可得抛物线解析式为：，再根据y轴上点的坐标特征求出OS长，即可求出答案. 15．（3分）如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，，则关于x的方程的解为　 　． 【答案】 【解析】【解答】解：∵抛物线与直线的两个交点坐标分别为A（-3，9），B（1，1），令， ∴的解为， ∴关于x的方程的解为， 故答案为：． 【分析】令，根据二次函数与一次函数的交点坐标即可求出x的值，从而将化为，即可求解. 16．（3分）某宾馆有 120 间标准房，当标准房价格为 100 元时，每天都客满，市场调查表明单间房价在 元之间（含 100 元， 150 元）浮动时，每提高 10 元，日均入住数减少 6 间。如果不考虑其他因素，该宾馆将标准房价格提高到　 　元时，客房的日营业收入最大。 【答案】150 【解析】【解答】解：设宾馆客房租金每间日租金提高x个10元， 将有6x间客房空出，客房租金总收入为y， 由题意可得： y=(100+10x)(120-6x)(10≤x≤ 50且x是整数)， =60(-x2+10x+200) =-60(x-5)2+13500 当x=5时，ymax=13500， 因此每间租金100+10×5=150元时，客房租金总收入最高，日租金13500元. 故答案为：150. 【分析】设标准房价格为x元，客房的日营业收入为y元，根据题意列出函数关系式，然后根据二次函数的性质即可求解. 17．（3分） 2025年是农历乙巳蛇年，商场为准备新的一年的商品，购进一批单价为70元的“迎新蛇”公仔，并以每个125元售出，此时每天可售出75个．市场调查发现：销售单价每降低1元，其销售量相应增加5个．如果设销售单价降低x元，每天所获销售利润y元，请列出y关于x的函数表达式　 　. 【答案】 【解析】【解答】解：设销售单价降低x元， 则y=(125-x-70)(75+5x)=-5x2+200x+4125， 故答案为：. 【分析】设销售单价降低x元，根据利润=单件利润×销售量列函数关系式解题即可. 18．（3分）如图是某拋物线型的拱桥示意图，已知该抛物线的函数表达式为，为了给行人提供生命保障，在该拱桥上距水面AB高为8米的点E、F处悬挂了两个救生圈，则这两个救生圏间的水平距离EF为　 　米. 【答案】10 【解析】【解答】解：令y=8 即 ∴x2=25 ∴x1=5，x2=-5 ∴点E（-5，8）点F（5，8） ∴EF=10 故答案为：10. 【分析】由题意可得y=8，可得关于x的一元二次方程，求解可得点E、F的坐标，即可得EF的长度. 三、解答题(共6题；共46分) 19．（7分）已知二次函数的图象经过点． （1）（3分）求的值和二次函数的对称轴． （2）（4分）若把该函数图象向上平移个单位长度后与轴恰好只有一个交点，求的值． 【答案】（1）解：把代入得， 解得， 二次函数解析式为， ， 二次函数图象的对称轴为直线 （2）该函数图象向上平移个单位长度后所得函数图象的解析式为， 平移后的二次函数图象与轴只有一个交点， 关于的一元二次方程有个相等的实数解， ， 解得， 即的值为 【解析】【分析】(1)把已知点的坐标代入y=ax2-2ax-3中可求出a=1，则二次函数解析式为y=x2-2x-3，然后利用配方法得到y=(x-1)2-4，从而得到二次函数图象的对称轴； (2)根据抛物线的几何变换得到平移后的函数图象的解析式为y=x2-2x-3+m，再根据根的判别式的意义得到Δ=(-2)2-4×1×(-3+m)=0，然后解一次方程即可. 20．（7分）已知二次函数 （ 为常数）的图象经过点 和 ． （1）（3分）求二次函数的表达式及顶点坐标； （2）（4分）当 时，请根据图象直接写出 的取值范围． 【答案】（1）解：将 代入二次函数 （ 为常数） 中， 得到 ，解得 ， ∴ ，， ∴顶点坐标 （2）解：令，变形为x2-x-2=0，即（x+1）（x-2）=0， 解得x=-1或x=2， ∴ 当 时，。 【解析】【分析】（1）题将A、B两点代入二次函数中，利用待定系数法列出二元一次方程组，求出b、c之后即可得出二次函数的表达式，然后利用顶点坐标公式即可求出顶点坐标；（2）题先求出y=3是对应的x的两个值，因为是 ，因此取x的两个值的中间部分即可。 21．（9分）如图，二次函数的图象与x轴交于点A，B（A在B的左侧），与一次函数的图象交于A，C两点． （1）（3分）求b的值； （2）（3分）求的面积； （3）（3分）根据图象，直接写出当时x的取值范围． 【答案】（1）解：当时，， 解得：，， ∴抛物线与x轴交于，． ∵直线经过A点， ∴， ∴； （2）解：由（1）知，联立得：， 整理得 解得：（舍），， 把代入，得， ∴， ∴； （3）解：，，当或时，抛物线在直线的上方， ∴当时，或． 【解析】【分析】本题考查二次函数与坐标轴交点，待定系数法确定一次函数解析式，结合图象求不等式解集等． （1）根据函数与方程的关系，当时，可列出方程，解方程可求出x的值，据此可求出抛物线与x轴的两个交点，然后将点A代入一次函数解析式可列出方程，解方程可求出b的值； （2）先求两个函数的交点C的坐标，把代入中可得：，解方程可求出x的值，再把代入，可求出C的坐标，利用三角形的面积公式进行计算可求出的面积； （3）根据，，结合图象可得：当或时，抛物线在直线的上方，据此可求出x的取值范围． （1）解：当时， ， 解得：，， ∴抛物线与x轴交于，． ∵直线经过A点， ∴， ∴； （2）解：由（1）知， 联立得：， 整理得 解得：（舍），， 把代入，得， ∴， ∴； （3）解：，， 当或时，抛物线在直线的上方， ∴当时，或． 22．（7分）杭州亚运会期间，某网店经营亚运会吉祥物“宸宸、琮琮和莲莲”钥匙扣礼盒装，每盒进价为30元，出于营销考虑，要求每盒商品的售价不低于30元且不高于42元，在销售过程中发现该商品每周的销售量y（件）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系：当销售单价为32元时，销售量为40件：当销售单价为36元时，销售量为32件． （1）（3分）请求出y与x的函数关系式； （2）（4分）设该网店每周销售这种商品所获得的利润为w元， ①写出w与x的函数关系式： ②将该商品销售单价定为多少元时，才能使网店每周销售该商品所获利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1）解：由题意可得，设，将，代入可得 ，解得 即 （2）解：① ② 当在范围内，w取到最大，最大值为242. 答：销售单价定为41元时，才能使网店每周销售该商品所获利润最大，最大利润是242元． 【解析】【分析】（1）由题意可得，设，将，代入求解即可； （2） ① 根据利润等于单盒利润乘以销售量求解可得； ② 将二次函数关系化为顶点式，再根据取值范围，求解即可. 23．（6分）某游乐园要建造一个圆形喷水池，计划在喷水池的周边安装一圈喷水头，使喷出的水柱距池中心3m处达到最高，高度为5m．如图，以水平方向为x轴，喷水池中心为原点O建立直角坐标系．若要在喷水池的中心设计一个装饰物，使各方向喷出的水柱在此汇合，已知装饰物的设计高度为4m， （1）（3分）求第一象限中的抛物线的表达式； （2）（3分）若有一只蜻蜓恰好在水平距离喷水池中心12m的地方（地面或水面）停留，那么当喷泉喷水时，蜻蜓是否会受到影响？先判断再利用所学的数学知识说明理由． 【答案】（1）设第一象限的函数为（）， 由题意，可知在图象上，则， 解得， ∴ （2）解：蜻蜓不会受到影响，理由如下： 令， （不合适，舍去） ∵ ∴蜻蜓在喷水池外，不会受到影响 【解析】【分析】（1）设第一象限的函数为（），将点代入，求解即可； （2）将代入，求得，判断与12的大小关系即可. 24．（10分）已知：如图，抛物线经过原点和点，为抛物线上的一个动点，过点作轴的垂线，垂足为，并与直线交于点． （1）（3分）求抛物线的解析式； （2）（3分）当点P在直线OA上方时，求线段PC的最大值； （3）（4分）过点A作AD⊥x轴于点D，在抛物线上是否存在点P，使得以P、A、C、D四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）解：把和点代入得到，解方程组得， ∴抛物线的解析式为． 故答案是：． （2）解：根据题意得，过原点和点的直线的解析式是，二次函数的顶点坐标是，当点P在直线OA上方时，设的横坐标为，∴，， ∵，轴，在上，在上，， ∴，， ∴， ∵二次函数的二次项系数，图像开口向下， ∴有最大值， 当时，， 故当点P在直线OA上方时，线段的最大值是． （3）解：如图所示， 由（2）可知，当点P在直线OA上方时，线段的最大值是， ∵， ∴点在直线的下方，过点作交抛物线于和，此时四边形和四边形是平行四边形， ∵直线的解析式为， ∴直线的解析式为， 由，解得或， ∴的值为， 故答案是：． 【解析】【分析】本题考查对用待定系数法求二次函数的解析式，平行四边形的判定和性质，二次函数的最值.（1）抛物线经过原点和点，据此可列出方程组，解方程组可求出a和c的值，据此可求出抛物线的解析式； （2）设，利用线段的运算可得：，再进行配方可得：，利用二次函数的性质可求出线段的最大值； （3）由（2）可知，由，当点在直线的上方时，线段的最大值是．推出点在直线的下方，过点作交抛物线于和，此时四边形和四边形是平行四边形，根据直线OA的解析式，可求出直线的解析式，联立两条直线的解析式可得，解方程组可求出m的值，据此可求出答案. （1）解：把和点代入得到， 解方程组得， ∴抛物线的解析式为． 故答案是：． （2）解：根据题意得，过原点和点的直线的解析式是，二次函数的顶点坐标是，当点P在直线OA上方时，设的横坐标为， ∴，， ∵，轴，在上，在上，， ∴，， ∴， ∵二次函数的二次项系数，图像开口向下， ∴有最大值， 当时，， 故当点P在直线OA上方时，线段的最大值是． （3）解：如图所示， 由（2）可知，当点P在直线OA上方时，线段的最大值是， ∵， ∴点在直线的下方，过点作交抛物线于和，此时四边形和四边形是平行四边形， ∵直线的解析式为， ∴直线的解析式为， 由，解得或， ∴的值为， 故答案是：． 学科网（北京）股份有限公司 $$…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※ …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 学校：___________ 姓名：___________ 班级：___________ 考号：___________ …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 第二十二章 二次函数 单元测试卷 2025-2026学年人教版数学九年级上册 考试时间：100分钟 满分：100分 姓名：__________ 班级：__________考号：__________ 题号 一 二 三 总分 评分 一、选择题(共10题；共30分) 1．（3分）抛物线的顶点坐标是（　　） A． B． C． D． 2．（3分）已知二次函数（）的图象经过点，则的值为（　　） A． B． C． D． 3．（3分）函数数与二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　） A． B． C． D． 4．（3分）若函数y=-2x2+bx+c的图象经过点（-1，1）和（1，-7），则当-3≤x≤0时，函数的最大值与最小值之和是（　　） A．-8 B．-6 C．-3 D．0 5．（3分）已知二次函数图象与x轴只有一个交点，且图象过和两点，设，则（　　） A．p的最小值为 B．p的最小值为1 C．p的最大值为 D．p的最大值为1 6．（3分）如图，一工厂车间大门由抛物线和矩形的三边组成，门的最大高度是，，，若有一个高为，宽为的长方体形状的大型设备要安装在车间，如果不考虑其他因素，设备的右侧离开门边多少米，此设备运进车间时才不会碰到门的顶部（　　） A． B． C． D． 7．（3分）二次函数的图象如图所示，对称轴是直线，则过点和点的直线一定不经过（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 8．（3分）如图，二次函数的对称轴为直线，若一元二次方程的一个根为，则m的值可能是（　　） A． B． C． D． 9．（3分）如图为二次函数（）图象的一部分，与x轴的一个交点为，对称轴为直线．当时，x的取值范围是（　　） A． B． C．或 D． 10．（3分）已知抛物线的部分图象如图所示，以下结论：①；②方程的根是；③抛物线上有三点，，，则；④若，则的取值范围是；其中正确的有（　　） A．①③ B．②③ C．①②③ D．①②④ 二、填空题(共8题；共24分) 11．（3分）二次函数中，二次项系数是　 　，一次项系数是　 　． 12．（3分）若抛物线（是常数）与轴没有交点，则的取值范围是　 　． 13．（3分）已知，在二次函数的图象上，比较　 　．（填、或） 14．（3分）如图，要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端点安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为处达到最高，高度为，水柱落地处离池中心距离为，则水管的长度是　 　． 15．（3分）如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，，则关于x的方程的解为　 　． 16．（3分）某宾馆有 120 间标准房，当标准房价格为 100 元时，每天都客满，市场调查表明单间房价在 元之间（含 100 元， 150 元）浮动时，每提高 10 元，日均入住数减少 6 间。如果不考虑其他因素，该宾馆将标准房价格提高到　 　元时，客房的日营业收入最大。 17．（3分） 2025年是农历乙巳蛇年，商场为准备新的一年的商品，购进一批单价为70元的“迎新蛇”公仔，并以每个125元售出，此时每天可售出75个．市场调查发现：销售单价每降低1元，其销售量相应增加5个．如果设销售单价降低x元，每天所获销售利润y元，请列出y关于x的函数表达式　 　. 18．（3分）如图是某拋物线型的拱桥示意图，已知该抛物线的函数表达式为，为了给行人提供生命保障，在该拱桥上距水面AB高为8米的点E、F处悬挂了两个救生圈，则这两个救生圏间的水平距离EF为　 　米. 三、解答题(共6题；共46分) 19．（7分）已知二次函数的图象经过点． （1）（3分）求的值和二次函数的对称轴． （2）（4分）若把该函数图象向上平移个单位长度后与轴恰好只有一个交点，求的值． 20．（7分）已知二次函数 （ 为常数）的图象经过点 和 ． （1）（3分）求二次函数的表达式及顶点坐标； （2）（4分）当 时，请根据图象直接写出 的取值范围． 21．（9分）如图，二次函数的图象与x轴交于点A，B（A在B的左侧），与一次函数的图象交于A，C两点． （1）（3分）求b的值； （2）（3分）求的面积； （3）（3分）根据图象，直接写出当时x的取值范围． 22．（7分）杭州亚运会期间，某网店经营亚运会吉祥物“宸宸、琮琮和莲莲”钥匙扣礼盒装，每盒进价为30元，出于营销考虑，要求每盒商品的售价不低于30元且不高于42元，在销售过程中发现该商品每周的销售量y（件）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系：当销售单价为32元时，销售量为40件：当销售单价为36元时，销售量为32件． （1）（3分）请求出y与x的函数关系式； （2）（4分）设该网店每周销售这种商品所获得的利润为w元， ①写出w与x的函数关系式： ②将该商品销售单价定为多少元时，才能使网店每周销售该商品所获利润最大？最大利润是多少？ 23．（6分）某游乐园要建造一个圆形喷水池，计划在喷水池的周边安装一圈喷水头，使喷出的水柱距池中心3m处达到最高，高度为5m．如图，以水平方向为x轴，喷水池中心为原点O建立直角坐标系．若要在喷水池的中心设计一个装饰物，使各方向喷出的水柱在此汇合，已知装饰物的设计高度为4m， （1）（3分）求第一象限中的抛物线的表达式； （2）（3分）若有一只蜻蜓恰好在水平距离喷水池中心12m的地方（地面或水面）停留，那么当喷泉喷水时，蜻蜓是否会受到影响？先判断再利用所学的数学知识说明理由． 24．（10分）已知：如图，抛物线经过原点和点，为抛物线上的一个动点，过点作轴的垂线，垂足为，并与直线交于点． （1）（3分）求抛物线的解析式； （2）（3分）当点P在直线OA上方时，求线段PC的最大值； （3）（4分）过点A作AD⊥x轴于点D，在抛物线上是否存在点P，使得以P、A、C、D四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $$