第二十三章 旋转 单元测试卷 2025-2026学年人教版数学九年级上册

……○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※ ……○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ……○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 学校：___________ 姓名：___________ 班级：___________ 考号：___________ ……○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 第二十三章 旋转 单元测试卷 2025-2026学年人教版数学九年级上册 考试时间：100分钟 满分：100分 姓名：__________ 班级：__________考号：__________ 题号 一 二 三 总分 评分 一、选择题(共10题；共30分) 1．（3分）志愿服务，传递爱心，传递文明，下列志愿服务标志为中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 2．（3分）如图，把四边形绕点顺时针旋转得到四边形，则下列角中不是旋转角的是（ ） A． B． C． D． 3．（3分）如图，将线段绕点顺时针旋转得到线段，那么的对应点的坐标是（　　） A． B． C． D． 4．（3分）如图，正三角形的三个顶点等分圆周，把这个图形绕着圆心顺时针旋转一定的角度后能与自身重合，那么这个角度至少为（　　） A． B． C． D． 5．（3分）如图，将△ABC绕点C逆时针旋转一定的角度得到△A′B′C′，此点A在边B′C上，若BC＝5，AC＝3，则AB′的长为（　　） A．5 B．4 C．3 D．2 6．（3分）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝4，AC＝3，将△ABC绕点B逆时针旋转得，若点在AB上，则的长为（　　） A． B．4 C． D．5 7．（3分）如图，中，，将绕点顺时针旋转得到，点的对应点分别为，延长交于点，下列结论一定正确的是（　　） A． B． C． D． 8．（3分）如图，中，，将绕点逆时针旋转得到，交于点．当时，点恰好落在上，则(　　) A． B． C． D． 9．（3分）如图，在中，，将绕点逆时针旋转得到，则的度数为（　　） A． B． C． D． 10．（3分）如图，在中，，将绕点A逆时针旋转，点B落在点D处，则B、D两点间的距离为（　　） A． B． C．3 D． 二、填空题(共8题；共24分) 11．（3分）平面直角坐标系中，已知点与点关于原点对称，则　 　． 12．（3分）如图，点C为线段的中点，E为直线上方的一点，且满足，连接，以为腰，A为直角顶点作等腰，连接，当最大，且最大值为时，则　 　． 13．（3分）如图，AD∥BC，AB⊥BC于点B，AD＝4，将CD绕点D逆时针旋转90°至DE，连接AE、CE，若△ADE的面积为6，则BC＝　 　． 14．（3分）如图，将一副三角板重叠放置，其中30°和45°的两个角的顶点重合在一起．若将三角板AOB绕点O旋转，在旋转过程中，当AB∥OC时，∠BOC=　 　 15．（3分）如图，把绕点顺时针旋转，得到交于点，若．则的度数为　 　 16．（3分）如图，在正方形中，．，为边上一点，点在边上，且，将点绕着点顺时针旋转得到点，连接，则的长的最小值为　 　． 17．（3分）如图，中，，将绕点C顺时针旋转得到，使点B的对应点D恰好落在边上，、交于点F．若，则的度数是　 　．（用含的代数式表示） 18．（3分）如图，是由五个形状、大小都相同的正方形组成的图形，如果去掉其中一个正方形，使得剩下的图形是一个中心对称图形，那么不同的去法有　 　种． 三、解答题(共6题；共46分) 19．（6分）如图，将绕点逆时针旋转得到，，，三点恰好在同一直线上． （1）（3分）判断的形状； （2）（3分）连接，若，求的度数． 20．（7分）正方形ABCD的边长为5，E、F分别是AB、BC边上的点，且∠EDF＝45°，将△DAE绕点D逆时针旋转90°，得到△DCM． （1）（3分）求证：△DEF≌△DMF； （2）（4分）若AE＝2，求EF的长． 21．（9分）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是，，． （1）（3分）把向左平移4个单位后得到对应的，请画出平移后的； （2）（3分）画出关于原点对称的； （3）（3分）观察图形可知，与关于点______中心对称．（写出坐标） 22．（7分）如图，正方形ABCD的边长为5，点E为正方形CD边上一动点，过点B作BP⊥AE于点P，将AP绕点A逆时针旋转90°得AP'，连接P'D． （1）（3分）求证：PB＝P'D； （2）（4分）若DF＝1，求线段AP的长度． 23．（7分）如图，在中，，，将绕点逆时针旋转角得到，连接，． （1）（3分）当时，求的长度； （2）（4分）当时，求的度数． 24．（10分）如图，点O是等边内一点，，．将绕点C按顺时针方向旋转60°得，连接OD． （1）（3分）求证：是等边三角形； （2）（3分）当时，试判断的形状，并说明理由； （3）（4分）探究：当为多少度时，是等腰三角形？ 学科网（北京）股份有限公司 $$…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※ …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 学校：___________ 姓名：___________ 班级：___________ 考号：___________ …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 第二十三章 旋转 单元测试卷 2025-2026学年人教版数学九年级上册 考试时间：100分钟 满分：100分 姓名：__________ 班级：__________考号：__________ 题号 一 二 三 总分 评分 一、选择题(共10题；共30分) 1．（3分）志愿服务，传递爱心，传递文明，下列志愿服务标志为中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 2．（3分）如图，把四边形绕点顺时针旋转得到四边形，则下列角中不是旋转角的是（ ） A． B． C． D． 3．（3分）如图，将线段绕点顺时针旋转得到线段，那么的对应点的坐标是（　　） A． B． C． D． 4．（3分）如图，正三角形的三个顶点等分圆周，把这个图形绕着圆心顺时针旋转一定的角度后能与自身重合，那么这个角度至少为（　　） A． B． C． D． 5．（3分）如图，将△ABC绕点C逆时针旋转一定的角度得到△A′B′C′，此点A在边B′C上，若BC＝5，AC＝3，则AB′的长为（　　） A．5 B．4 C．3 D．2 6．（3分）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝4，AC＝3，将△ABC绕点B逆时针旋转得，若点在AB上，则的长为（　　） A． B．4 C． D．5 7．（3分）如图，中，，将绕点顺时针旋转得到，点的对应点分别为，延长交于点，下列结论一定正确的是（　　） A． B． C． D． 8．（3分）如图，中，，将绕点逆时针旋转得到，交于点．当时，点恰好落在上，则(　　) A． B． C． D． 9．（3分）如图，在中，，将绕点逆时针旋转得到，则的度数为（　　） A． B． C． D． 10．（3分）如图，在中，，将绕点A逆时针旋转，点B落在点D处，则B、D两点间的距离为（　　） A． B． C．3 D． 二、填空题(共8题；共24分) 11．（3分）平面直角坐标系中，已知点与点关于原点对称，则　 　． 12．（3分）如图，点C为线段的中点，E为直线上方的一点，且满足，连接，以为腰，A为直角顶点作等腰，连接，当最大，且最大值为时，则　 　． 13．（3分）如图，AD∥BC，AB⊥BC于点B，AD＝4，将CD绕点D逆时针旋转90°至DE，连接AE、CE，若△ADE的面积为6，则BC＝　 　． 14．（3分）如图，将一副三角板重叠放置，其中30°和45°的两个角的顶点重合在一起．若将三角板AOB绕点O旋转，在旋转过程中，当AB∥OC时，∠BOC=　 　 15．（3分）如图，把绕点顺时针旋转，得到交于点，若．则的度数为　 　 16．（3分）如图，在正方形中，．，为边上一点，点在边上，且，将点绕着点顺时针旋转得到点，连接，则的长的最小值为　 　． 17．（3分）如图，中，，将绕点C顺时针旋转得到，使点B的对应点D恰好落在边上，、交于点F．若，则的度数是　 　．（用含的代数式表示） 18．（3分）如图，是由五个形状、大小都相同的正方形组成的图形，如果去掉其中一个正方形，使得剩下的图形是一个中心对称图形，那么不同的去法有　 　种． 三、解答题(共6题；共46分) 19．（6分）如图，将绕点逆时针旋转得到，，，三点恰好在同一直线上． （1）（3分）判断的形状； （2）（3分）连接，若，求的度数． 20．（7分）正方形ABCD的边长为5，E、F分别是AB、BC边上的点，且∠EDF＝45°，将△DAE绕点D逆时针旋转90°，得到△DCM． （1）（3分）求证：△DEF≌△DMF； （2）（4分）若AE＝2，求EF的长． 21．（9分）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是，，． （1）（3分）把向左平移4个单位后得到对应的，请画出平移后的； （2）（3分）画出关于原点对称的； （3）（3分）观察图形可知，与关于点______中心对称．（写出坐标） 22．（7分）如图，正方形ABCD的边长为5，点E为正方形CD边上一动点，过点B作BP⊥AE于点P，将AP绕点A逆时针旋转90°得AP'，连接P'D． （1）（3分）求证：PB＝P'D； （2）（4分）若DF＝1，求线段AP的长度． 23．（7分）如图，在中，，，将绕点逆时针旋转角得到，连接，． （1）（3分）当时，求的长度； （2）（4分）当时，求的度数． 24．（10分）如图，点O是等边内一点，，．将绕点C按顺时针方向旋转60°得，连接OD． （1）（3分）求证：是等边三角形； （2）（3分）当时，试判断的形状，并说明理由； （3）（4分）探究：当为多少度时，是等腰三角形？ 学科网（北京）股份有限公司 $$……○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※ ……○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ……○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 学校：___________ 姓名：___________ 班级：___________ 考号：___________ ……○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 第二十三章 旋转 单元测试卷 2025-2026学年人教版数学九年级上册 考试时间：100分钟 满分：100分 姓名：__________ 班级：__________考号：__________ 题号 一 二 三 总分 评分 一、选择题(共10题；共30分) 1．（3分）志愿服务，传递爱心，传递文明，下列志愿服务标志为中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】【解答】解：选项ACD不能在平面上找到一个点，使图形绕某该点旋转180°，旋转后的图形能够与原来的图形重合，故ACD不是中心对称图形，选项B能在平面上找到一个点，使图形绕某该点旋转180°，旋转后的图形能够与原来的图形重合，故B是中心对称图形， 故答案为：B. 【分析】根据中心对称图形的概念：把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，据此得到答案. 2．（3分）如图，把四边形绕点顺时针旋转得到四边形，则下列角中不是旋转角的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】【解答】解：A、旋转后的对应边为，故可以作为旋转角，故本选项错误； B、旋转后的对应边为，故可以作为旋转角，故本选项错误； C、旋转后的对应边为不是，故不可以作为旋转角，故本选项正确； D、旋转后的对应边为，故可以作为旋转角，故本选项错误； 故选：C． 【分析】根据旋转前后，对应边与旋转中心之间的夹角就是旋转角、逐项分析即可求解. 3．（3分）如图，将线段绕点顺时针旋转得到线段，那么的对应点的坐标是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】【解答】解：线段绕点顺时针旋转得到线段，如图所示： ，． 作轴于，轴于， ． ， ， ． 在和△中， ， ， ∴，． ∵， ，， ，， ． 故答案为：A． 【分析】作轴于，轴于，先利用角的运算求出，再利用“AAS”证出，可得，，再求出，，即可得到点的坐标. 4．（3分）如图，正三角形的三个顶点等分圆周，把这个图形绕着圆心顺时针旋转一定的角度后能与自身重合，那么这个角度至少为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】【解答】解：∵正三角形的三个顶点等分圆周， ∴， ∴把这个图形绕着圆心顺时针至少旋转后能与自身重合， 故答案为：． 【分析】根据正三角形的性质求出最小旋转角即可。 5．（3分）如图，将△ABC绕点C逆时针旋转一定的角度得到△A′B′C′，此点A在边B′C上，若BC＝5，AC＝3，则AB′的长为（　　） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】D 【解析】【解答】解：由题意可得： B'C=BC=5 ∴AB'=B'C-AC=2 故答案为：D 【分析】根据旋转的性质即可求出答案. 6．（3分）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝4，AC＝3，将△ABC绕点B逆时针旋转得，若点在AB上，则的长为（　　） A． B．4 C． D．5 【答案】A 【解析】【解答】解：∵将△ABC绕点B逆时针旋转得△A′BC'，AC=3，BC=4 ∴∠A'C'B＝∠C＝90°，A'C'＝AC＝3，BC'=BC=4， 在Rt△ABC中，AB＝＝5， ∴AC'＝AB-BC'=5-4＝1， ∴在Rt△AA'C'中，AA′＝＝=， 故答案为：A． 【分析】由旋转的性质得出A'C'、BC'的长度，在Rt△ABC中，利用勾股定理求得AB的长，从而得AC'的长，最后在Rt△AA'C'中，利用勾股定理计算，即可求得AA′的长． 7．（3分）如图，中，，将绕点顺时针旋转得到，点的对应点分别为，延长交于点，下列结论一定正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】【解答】解：记与相交于一点H，如图所示： ∵中，将绕点顺时针旋转得到， ∴ ∵ ∴在中， ∴ 故D选项是正确的，符合题意； 设 ∴ ∵ ∴ ∴ ∵不一定等于 ∴不一定等于 ∴不一定成立， 故B选项不正确，不符合题意； ∵不一定等于 ∴不一定成立， 故A选项不正确，不符合题意； ∵将绕点顺时针旋转得到， ∴ ∴ 故C选项不正确，不符合题意； 故答案为：D 【分析】 记与相交于一点H，如图所示： 先根据旋转性质得，进而证得∠BHC=90°，即，可得出选项D正确；再根据角度计算可得出不一定等于 ，得出不一定成立；根据图形性质以及角的运算或线段的运算得出A和C选项是错误的．故而得出正确答案。 8．（3分）如图，中，，将绕点逆时针旋转得到，交于点．当时，点恰好落在上，则(　　) A． B． C． D． 【答案】B 【解析】【解答】解：将逆时针旋转，得到， ，，，， 又， ， ， ， 故答案为：B． 【分析】由旋转得到，，，，然后再根据等边对等角得到，再根据三角形内角和定理解题即可． 9．（3分）如图，在中，，将绕点逆时针旋转得到，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】【解答】解：∵在中，，将绕点逆时针旋转得到 ∴∠BAB'=60° ∴∠B'AC=60°-32°=28° 故答案为：A 【分析】根据旋转性质可得∠BAB'=60°，再根据角之间的关系即可求出答案. 10．（3分）如图，在中，，将绕点A逆时针旋转，点B落在点D处，则B、D两点间的距离为（　　） A． B． C．3 D． 【答案】A 【解析】【解答】解：连接， ∵在中，， ∴， ∵将绕点A逆时针旋转，使点C落在线段上的点E处， ∴， ∴， 在中， ． 故答案为：A． 【分析】根据勾股定理可求，根据旋转可求，再用勾股定理求值即可． 二、填空题(共8题；共24分) 11．（3分）平面直角坐标系中，已知点与点关于原点对称，则　 　． 【答案】 【解析】【解答】解：已知点与点关于原点对称， 则，即 故答案为： 【分析】根据关于原点对称的点的横、纵坐标互为相反数解题． 12．（3分）如图，点C为线段的中点，E为直线上方的一点，且满足，连接，以为腰，A为直角顶点作等腰，连接，当最大，且最大值为时，则　 　． 【答案】2 【解析】【解答】解：如图1中，将线段CA绕点A逆时针旋转90°得到线段AH，连接CH，DC． ∵∠DAE＝∠HAC＝90°， ∴∠DAH＝∠EAC， ∵DA＝EA，HA＝CA， ∴△DAH≌△EAC（SAS）， ∴DH＝CE， ∵CD≤DH＋CH， ∴当D，C，H共线时，DC最大值=，如图2中， 设AC=x，则BC=CE=DH=x，CH=， ∴+x=，解得：x=1， ∴AB=2AC=2． 故答案是：2． 【分析】先利用“SAS”证出△DAH≌△EAC，再利用全等三角形的性质可得DH＝CE，再利用三角形三边的关系可得当D，C，H共线时，DC最大值=，再设AC=x，列出方程+x=，求出x的值，最后求出AB的长即可. 13．（3分）如图，AD∥BC，AB⊥BC于点B，AD＝4，将CD绕点D逆时针旋转90°至DE，连接AE、CE，若△ADE的面积为6，则BC＝　 　． 【答案】7 【解析】【解答】解：如图，过D作DF⊥BC于F，过E作EG⊥AD，交AD的延长线于G点， ∴∠DFB=∠DFC=∠G=90°， ∵AD∥BC， ∴∠GDF=∠DFB=90°，∠ADF=∠DFC=90°， ∵将CD绕点D逆时针旋转90°至DE， ∴∠CDE=90°，CD=DE， ∴∠EDG+∠CDG=∠CDG+∠FDC=90°， ∴∠EDG=∠FDC， 在和中， ， ∴， ∴CF=EG， ∵的面积为6， ∴， ∴EG=CF=3， ∵AB⊥BC， ∴∠B=∠DFB=∠ADF=90°， ∴四边形ABFD为矩形， ∵AD=4， ∴BF=AD=4， ∴BC=BF+CF=4+3=7， 故答案为：7． 【分析】过D作DF⊥BC于F，过E作EG⊥AD，交AD的延长线于G点，利用垂直的定义、平行四边形的性质得∠GDF=∠DFB=∠ADF=∠DFC=∠G=90°，由旋转的性质得∠CDE=90°，CD=DE，从而得∠EDG=∠FDC，进而证出，根据全等三角形对应边相等得CF=EG，然后利用三角形面积公式证出EG=CF=3，接下来易证四边形ABFD为矩形，根据矩形的性质得BF=AD=4，即可求出BC=BF+CF的值. 14．（3分）如图，将一副三角板重叠放置，其中30°和45°的两个角的顶点重合在一起．若将三角板AOB绕点O旋转，在旋转过程中，当AB∥OC时，∠BOC=　 　 【答案】45°或135° 【解析】【解答】解：①当△AOB绕点O顺时针旋转90°时，AB//OC， 此时∠BOC＝∠ABO＝45°； ②当△AOB绕点O逆时针旋转90°时，AB//OC， 此时∠BOC＝∠AOC＋∠AOB＝90°＋45°＝135°． 综上，∠BOC的度数为45°或135°． 故答案为：45°或135°． 【分析】分类讨论：①当△AOB绕点O顺时针旋转90°时，AB//OC，②当△AOB绕点O逆时针旋转90°时，AB//OC，先分别画出图形并利用角的运算求解即可. 15．（3分）如图，把绕点顺时针旋转，得到交于点，若．则的度数为　 　 【答案】 【解析】【解答】解：由旋转可知， ∴． 故答案为：． 【分析】由旋转可得，再根据解题． 16．（3分）如图，在正方形中，．，为边上一点，点在边上，且，将点绕着点顺时针旋转得到点，连接，则的长的最小值为　 　． 【答案】8 【解析】【解答】解：过点作，垂足为， ， 四边形是正方形， ， ， 由旋转得：，， ， ， ， ， ， 点在与平行且与的距离为3的直线上， 当点在边上时，最小且， 的最小值为8， 故答案为：8． 【分析】过点作，垂足为，由正方形的性质可得，，再根据旋转可得，，从而证明，即可得，得到点在与平行且与的距离为3的直线上移动，即当点在边上时，的值最小，计算即可． 17．（3分）如图，中，，将绕点C顺时针旋转得到，使点B的对应点D恰好落在边上，、交于点F．若，则的度数是　 　．（用含的代数式表示） 【答案】 【解析】【解答】解：由旋转可得：，， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【分析】由旋转可得：，，推出，由，可得，再根据三角形的外角性质即可求解． 18．（3分）如图，是由五个形状、大小都相同的正方形组成的图形，如果去掉其中一个正方形，使得剩下的图形是一个中心对称图形，那么不同的去法有　 　种． 【答案】2 【解析】【解答】解：如图所示，去掉一个小正方形后能组成中心对称图形的情况如下， ∴去掉其中一个正方形，使得剩下的图形是一个中心对称图形，那么不同的去法有2种， 故答案为：2． 【分析】根据中心对称图形的定义，把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行判断即可.​​​​​​​ 三、解答题(共6题；共46分) 19．（6分）如图，将绕点逆时针旋转得到，，，三点恰好在同一直线上． （1）（3分）判断的形状； （2）（3分）连接，若，求的度数． 【答案】（1）解：绕点逆时针旋转得到， ，， 是以顶角为的等腰三角形 （2）解：绕点逆时针旋转得到， ，，， ， 同理可得， ， ， ， 在中，， 即的度数为 【解析】【分析】（1）根据旋转性质可得，，再根据等腰三角形判定定理即可求出答案. （2）根据旋转性质可得，，，再根据等边对等角及三角形内角和定理可得，同理可得，再根据角之间的关系可得，再根据三角形内角和定理即可求出答案. 20．（7分）正方形ABCD的边长为5，E、F分别是AB、BC边上的点，且∠EDF＝45°，将△DAE绕点D逆时针旋转90°，得到△DCM． （1）（3分）求证：△DEF≌△DMF； （2）（4分）若AE＝2，求EF的长． 【答案】（1）证明：∵△DAE逆时针旋转90°得到△DCM， ∴∠FCM＝∠FCD+∠DCM＝180°，AE＝CM， ∴F、C、M三点共线， ∴DE＝DM，∠EDM＝90°， ∴∠EDF+∠FDM＝90°， ∵∠EDF＝45°， ∴∠FDM＝∠EDF＝45°， 在△DEF和△DMF中， ， ∴△DEF≌△DMF（SAS）， ∴EF＝MF， ∴EF＝CF+AE； （2）解：设EF＝MF＝x， ∵AE＝CM＝2，BC＝5， ∴BM＝BC+CM＝5+2＝7， ∴BF＝BM﹣MF＝BM﹣EF＝7﹣x， ∴EB＝AB﹣AE＝5﹣2＝3， 在Rt△EBF中，由勾股定理得， EB2+BF2＝EF2即22+（4﹣x）2＝x2， 解得x＝， 则EF＝． 【解析】【分析】（1）根据正方形的性质和旋转性质准备条件，再利用SAS证明 △DEF≌△DMF 即可； （2） 设EF＝MF＝x， 用含x的代数式表示BF的长， 在Rt△EBF中，由勾股定理建立方程求解即可。 21．（9分）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是，，． （1）（3分）把向左平移4个单位后得到对应的，请画出平移后的； （2）（3分）画出关于原点对称的； （3）（3分）观察图形可知，与关于点______中心对称．（写出坐标） 【答案】（1）解：如图所示，即为所求， ； （2）解：如图所示，即为所求； （3） 【解析】【解答】解：（3）如图所示，与关于点中心对称， ； 故答案为： 【分析】（1）根据作图-平移即可求解； （2）根据作图-中心对称即可求解； （3）根据对称点连线的中点的位置，即可得到对称中心的坐标。 （1）解：如图所示，即为所求， ； （2）解：如图所示，即为所求； ； （3）解：如图所示，与关于点中心对称， ； 故答案为：． 22．（7分）如图，正方形ABCD的边长为5，点E为正方形CD边上一动点，过点B作BP⊥AE于点P，将AP绕点A逆时针旋转90°得AP'，连接P'D． （1）（3分）求证：PB＝P'D； （2）（4分）若DF＝1，求线段AP的长度． 【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝AD，∠BAD＝90°， ∵将AP绕点A逆时针旋转90°得AP'， ∴AP＝AP'，∠PAP'＝90°， ∴∠BAP＝∠DAP'＝90°﹣∠PAD， 在△ABP和△ADP'中， ， ∴△ABP≌△ADP'（SAS）， ∴PB＝P'D． （2）解：∵BP⊥AE于点P， ∴∠APB＝∠APF＝90°， ∵△ABP≌△ADP'， ∴∠P'＝∠APB＝90°， ∵∠PAP'＝90°， ∴四边形APFP'是矩形， ∵AP＝AP'， ∴四边形APFP'是正方形， ∴AP＝AP'＝P'F， ∵AD＝5，DF＝1， ∴P'D＝P'F+DF＝AP+1， ∵AP'2+P'D2＝AD2， ∴AP2+（AP+1）2＝52， 解得AP＝3或AP＝﹣4（不符合题意，舍去）， ∴线段AP的长度为3． 【解析】【分析】（1）根据四边形ABCD是正方形，可得AB＝AD，∠BAD＝90°，由旋转得AP＝AP'，∠PAP'＝90°，进而可得∠BAP＝∠DAP'＝90°﹣∠PAD，再证明△ABP≌△ADP'（SAS），PB＝P'D； （2）根据BP⊥AE于点P，可知∠APB＝∠APF＝90°，再由△ABP≌△ADP'，可知∠P'＝∠APB＝90°，结合AP＝AP，可证明四边形APFP'是正方形，则AP＝AP'＝P'F，P'D＝P'F+DF＝AP+1，由勾股定理得，求得AP＝3． 23．（7分）如图，在中，，，将绕点逆时针旋转角得到，连接，． （1）（3分）当时，求的长度； （2）（4分）当时，求的度数． 【答案】（1）解：∵，， ∴， 由旋转可知，∴为等边三角形， ∴． （2）解：∵，，， ∴， ∴，即． 【解析】【分析】（1）已知等腰直角三角形，根据旋转的性质，观图可知旋转后得到一个等腰三角形，再根据旋转角度可推出等腰三角形的顶角是60°，故可得出这个等腰三角形也是等边三角形的结论，的长即等边三角形的边长； （2）根据题意可知符合SSS定理，得到两个全等的三角形，由全等的性质对应角相等，且两个对应角的和是90度，可求。 24．（10分）如图，点O是等边内一点，，．将绕点C按顺时针方向旋转60°得，连接OD． （1）（3分）求证：是等边三角形； （2）（3分）当时，试判断的形状，并说明理由； （3）（4分）探究：当为多少度时，是等腰三角形？ 【答案】（1）证明：∵，， ∴是等边三角形 （2）解：当，即时，是直角三角形． ∵， ∴． 又∵是等边三角形， ∴． ∴． 即是直角三角形 （3）解：①要使，需． ∵，， ∴． ∴． ②要使，需． ∵， ∴． ∴． ③要使，需． ∴． ∴． 综上所述：当a的度数为125°，或110°，或140°时，是等腰三角形． 【解析】【分析】（1）根据等腰三角形中含有一个60°的角，则该三角形为等边三角形，据此即可求证； （2）根据题意得到：是直角三角形，然后根据全等三角形的性质得到，进而可求出∠ADO的度数，即可判断出的形状； （3）根据等腰三角形的性质可知需分三种情况，①要使，需，②要使，需，③要使，需，分别根据三角形内角和定理即可求出的值. 学科网（北京）股份有限公司 $$……○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※ ……○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ……○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 学校：___________ 姓名：___________ 班级：___________ 考号：___________ ……○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 参考答案 1．【答案】B 2．【答案】C 3．【答案】A 4．【答案】D 5．【答案】D 6．【答案】A 7．【答案】D 8．【答案】B 9．【答案】A 10．【答案】A 11．【答案】 12．【答案】2 13．【答案】7 14．【答案】45°或135° 15．【答案】 16．【答案】8 17．【答案】 18．【答案】2 19．【答案】（1）解：绕点逆时针旋转得到， ，， 是以顶角为的等腰三角形 （2）解：绕点逆时针旋转得到， ，，， ， 同理可得， ， ， ， 在中，， 即的度数为 20．【答案】（1）证明：∵△DAE逆时针旋转90°得到△DCM， ∴∠FCM＝∠FCD+∠DCM＝180°，AE＝CM， ∴F、C、M三点共线， ∴DE＝DM，∠EDM＝90°， ∴∠EDF+∠FDM＝90°， ∵∠EDF＝45°， ∴∠FDM＝∠EDF＝45°， 在△DEF和△DMF中， ， ∴△DEF≌△DMF（SAS）， ∴EF＝MF， ∴EF＝CF+AE； （2）解：设EF＝MF＝x， ∵AE＝CM＝2，BC＝5， ∴BM＝BC+CM＝5+2＝7， ∴BF＝BM﹣MF＝BM﹣EF＝7﹣x， ∴EB＝AB﹣AE＝5﹣2＝3， 在Rt△EBF中，由勾股定理得， EB2+BF2＝EF2即22+（4﹣x）2＝x2， 解得x＝， 则EF＝． 21．【答案】（1）解：如图所示，即为所求， ； （2）解：如图所示，即为所求； （3） 22．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝AD，∠BAD＝90°， ∵将AP绕点A逆时针旋转90°得AP'， ∴AP＝AP'，∠PAP'＝90°， ∴∠BAP＝∠DAP'＝90°﹣∠PAD， 在△ABP和△ADP'中， ， ∴△ABP≌△ADP'（SAS）， ∴PB＝P'D． （2）解：∵BP⊥AE于点P， ∴∠APB＝∠APF＝90°， ∵△ABP≌△ADP'， ∴∠P'＝∠APB＝90°， ∵∠PAP'＝90°， ∴四边形APFP'是矩形， ∵AP＝AP'， ∴四边形APFP'是正方形， ∴AP＝AP'＝P'F， ∵AD＝5，DF＝1， ∴P'D＝P'F+DF＝AP+1， ∵AP'2+P'D2＝AD2， ∴AP2+（AP+1）2＝52， 解得AP＝3或AP＝﹣4（不符合题意，舍去）， ∴线段AP的长度为3． 23．【答案】（1）解：∵，， ∴， 由旋转可知，∴为等边三角形， ∴． （2）解：∵，，， ∴， ∴，即． 24．【答案】（1）证明：∵，， ∴是等边三角形 （2）解：当，即时，是直角三角形． ∵， ∴． 又∵是等边三角形， ∴． ∴． 即是直角三角形 （3）解：①要使，需． ∵，， ∴． ∴． ②要使，需． ∵， ∴． ∴． ③要使，需． ∴． ∴． 综上所述：当a的度数为125°，或110°，或140°时，是等腰三角形． 学科网（北京）股份有限公司 $$