1.4线段垂直平分线与角平分线（2知识点+5考点+课后练习）同步讲义-2025-2026学年八年级数学上册苏科版（2024）

第1章 三角形 1.4线段垂直平分线与角平分线 模块导引： 学习目标 知识精讲 思维导图 考点解析 课后作业 . 理解线段垂直平分线和角平分线的性质定理及判定定理​ . 掌握两种平分线的尺规作图方法，能规范操作​ . 运用定理解决线段相等、角相等的证明及计算问题 . . 一：线段的垂直平分线 1.定义：垂直于一条线段并且平分这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（也称为中垂线）；如图1，，为线段中点，则为线段垂直平份线. 图1 2. 性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等，​ 数学语言：点是线段的垂直平分线上一点（如图2）， （垂直平分线上的点到线段两端的距离相等）. 图2 证明：直线是线段的垂直平分线， ， 在和中 3.判定定理：到一条线段的两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上. 图3 数学语言：（如图3）， 点是线段的垂直平分线上一点（到一条线段的两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上）. 证明：过点作，垂直为， 在和中 （） 为线段的垂直平分线. 二：角平分线 1.定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线; 2.性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等; 图5 数学语言：为的角平分线（如图5），,, （角平分线上的点到这个角的两边的距离相等）. 证明：为的角平分线， 又,, 在和中 （） 特别注意：解题过程中，学生容易漏掉“,”这个条件。 3.判定定理：在一个角的内部，到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上; 图6 数学语言：如图6，,, 为的角平分线（在一个角的内部，到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上） 证明：,, 在和中 （） 考点一： 线段垂直平分线的性质 1．如图，在中，分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线，交于点D，连接，，，则的周长为（   ） A．5 B．11 C．16 D．17 2．在联欢会上，有A、B、C三名选手站在一个三角形的三个顶点位置上，他们在玩“抢凳子”游戏，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平（   ） A．三边垂直平分线的交点 B．三条中线的交点 C．三条角平分线的交点 D．三条高所在直线的交点 3．到三角形各顶点距离相等的点是（   ） A．三条边垂直平分线交点 B．三个内角平分线交点 C．三条中线交点 D．三条高交点 4．如图，在中，是的垂直平分线，，的周长为，则的周长为（   ） A．15 B．16 C．22 D．23 5．如图，中，，的中垂线交于E，交于点D，若，则的周长为（    ） A．14 B．16 C．18 D．20 考点二.线段垂直平分线的判定 6．如图，点P是的角平分线上一点，于点C，于点D，连接交于点E．下列结论不一定正确的是（   ） A． B． C．垂直平分 D． 7．如图，在中，平分，，，、为垂足，则下列四个结论：①；②；③垂直平分；④垂直平分．其中，正确的个数是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 8．如图，是的角平分线，，，垂足分别为E，F，连接．与相交于点G．则下列结论：①；②；③垂直平分；④垂直平分，正确的是（    ） A．①② B．①③ C．①②③ D．①②③④ 9．已知A、B是平面上的两定点，在平面上找一点C使为等腰直角三角形，且点C为直角顶点，这样的点C有（    ）个 A．1 B．2 C．3 D．无数 10．如图，点、在直线上，点、在直线上，于点，连接、、、，，若，则的长为（　　） A．11 B．10 C．9 D．8 考点三. 角平分线的性质定理 11．如图，在中，，，为边上的点，连接，如果将沿直线翻折后，点恰好落在边的中点处，那么点到的距离是（  ） A． B． C． D． 12．如图，在四边形中，，和的延长线交于点E，的角平分线上任取点P，则以下结论一定成立的是（　　） A． B． C． D． 13．在中，，以A为圆心，适当长为半径画弧，交，于D，E两点，再分别以D，E为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点M．作射线交于点F，若，，则点F到的距离为（   ） A．3 B．4 C．4.5 D．5 14．如图，在中，，按以下步骤作图：①以为圆心，任意长为半径作弧，分别交、于、两点；②分别以、为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点；③作射线，交于点．若，，，则线段的长为（   ） A．3 B．5 C． D．6 15．如图，平分，，，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 考点四.角平分线的判定定理 16．某工程队要在如图所示的一块三角形绿地的边上建一个休息亭，使它到和两边的距离相等则下列方案中，能满足休息亭的位置要求的是（ ） A． B． C． D． 17．如图，在中，点在边上，连接，，，与的面积之比为，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 18．如图所示，在△ABC中，，，将绕点A逆时针旋转得到．以下结论:①；②；③；④平分．其中正确的有（   ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 19．如图，点O是内一点，且点O到的距离与点O到的距离相等，连接，如果，那么的度数为（   ） A． B． C． D． 20．如图，，分别是，上的点，过点作于点，作于点，若，，则下面三个结论：①；②；③，正确的是（       ）　 A．①③ B．②③ C．①② D．①②③ 考点五.角平分线性质的实际应用 21．如图，直线 表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（    ） A．1处 B．2处 C．3处 D．4处 22．如图所示，有三条道路围成，其中，，一个人从B处出发沿着行走了500m，到达D处，恰为的平分线，则此时这个人到的最短距离为（    ） A．1300m B．800m C．500m D．300m 23．如图，三条笔直公路两两相交，交点分别为，，，现计划修一个油库，要求到三条公路的距离都相等，内部被河水填满无法施工，则可供选择的地址有（　　） A．1处 B．2处 C．3处 D．4处 24．如图，直线，，表示三条公路．现要建造一个中转站P，使P到三条公路的距离都相等，则中转站P可选择的点有 个． 25．如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在 ． 一、单选题 1．如图，中，，，，，点D是，的角平分线的交点，则点D到的距离为（   ） A．1 B．2 C．3 D．35 2．如图，是的平分线，是中线，、相交于点，于，若，，若的面积是，则的长为（ ） A． B． C． D． 3．如图，在中，，平分，若，，则点D到的距离是（   ） A．2 B．4 C．2 D．8 4．如图，，O为，的平分线的交点，于E，且，则与之间的距离等于（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 5．如图，在中、分别垂直平分、．若，则的周长是（　　） A． B． C． D． 6．如图，在中，是角平分线，，垂足为点E，的面积为30，，，则的长为（   ） A．4 B．8 C．7 D． 7．已知A、B是平面上的两定点，在平面上找一点C使为等腰直角三角形，且点C为直角顶点，这样的点C有（    ）个 A．1 B．2 C．3 D．无数 8．如图所示，在中，的垂直平分线分别交、于、两点，且，，则的周长是（   ）    A． B． C． D． 9．如图，中，，直线垂直平分，分别交、于点E、D，若的周长为32，则的周长是（     ） A．62 B．52 C．42 D．32 10．在中，已知，的垂直平分线交于点，交于点，的周长等于50，则的长是（   ）    A．22 B．23 C．32 D．33 2、 填空题 11．如图，在中，的垂直平分线分别交，于D，E两点，且，，则的周长为 ． 12．如图，平分，于点，点是射线上一个动点，若，则的最小值为 ． 13．如图，在中，垂直平分，点为直线上一动点，则周长的最小值是 ．    14．如图，垂直平分线段，若，，则四边形的周长为 ． 15．如图，已知的周长是，，分别平分和，于点，且，的面积是 ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第1章 三角形 1.4线段垂直平分线与角平分线 模块导引： 学习目标 知识精讲 思维导图 考点解析 课后作业 . 理解线段垂直平分线和角平分线的性质定理及判定定理​ . 掌握两种平分线的尺规作图方法，能规范操作​ . 运用定理解决线段相等、角相等的证明及计算问题 . . 一：线段的垂直平分线 1.定义：垂直于一条线段并且平分这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（也称为中垂线）；如图1，，为线段中点，则为线段垂直平份线. 图1 2. 性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等，​ 数学语言：点是线段的垂直平分线上一点（如图2）， （垂直平分线上的点到线段两端的距离相等）. 图2 证明：直线是线段的垂直平分线， ， 在和中 3.判定定理：到一条线段的两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上. 图3 数学语言：（如图3）， 点是线段的垂直平分线上一点（到一条线段的两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上）. 证明：过点作，垂直为， 在和中 （） 为线段的垂直平分线. 二：角平分线 1.定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线; 2.性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等; 图5 数学语言：为的角平分线（如图5），,, （角平分线上的点到这个角的两边的距离相等）. 证明：为的角平分线， 又,, 在和中 （） 特别注意：解题过程中，学生容易漏掉“,”这个条件。 3.判定定理：在一个角的内部，到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上; 图6 数学语言：如图6，,, 为的角平分线（在一个角的内部，到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上） 证明：,, 在和中 （） 考点一： 线段垂直平分线的性质 1．如图，在中，分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线，交于点D，连接，，，则的周长为（   ） A．5 B．11 C．16 D．17 【答案】D 【分析】本题考查尺规作垂线、线段垂直平分线的性质，根据作图痕迹可得垂直平分，进而求解三角形的周长即可． 【详解】解：由作图得垂直平分， ∴， ∵，， ∴的周长为， 故选：D． 2．在联欢会上，有A、B、C三名选手站在一个三角形的三个顶点位置上，他们在玩“抢凳子”游戏，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平（   ） A．三边垂直平分线的交点 B．三条中线的交点 C．三条角平分线的交点 D．三条高所在直线的交点 【答案】A 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质的应用，掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．根据题意可知，当木凳所在位置到A、B、C三个顶点的距离相等时，游戏公平，再由线段垂直平分线的性质即可求解． 【详解】解：由题意可得：当木凳所在位置到A、B、C三个顶点的距离相等时，游戏公平， 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等， 木凳应放的最适当的位置是在三边垂直平分线的交点． 故选：A． 3．到三角形各顶点距离相等的点是（   ） A．三条边垂直平分线交点 B．三个内角平分线交点 C．三条中线交点 D．三条高交点 【答案】A 【分析】本题考查了线段垂直平分线的判定，掌握知识点：“到这条线段两个端点的距离相等的点在线段垂直平分线上．”是解题关键．根据线段垂直平分线的判定即可直接得出答案． 【详解】解：到三角形三个顶点的距离都相等的点是这个三角形的三条边的垂直平分线的交点． 故选：A． 4．如图，在中，是的垂直平分线，，的周长为，则的周长为（   ） A．15 B．16 C．22 D．23 【答案】D 【分析】本题考查的是线段垂直平分线的性质（垂直平分线上任意一点，和线段两端点的距离相等），由已知条件，利用线段的垂直平分线的性质，得到线段相等，结合周长，进行线段的等量代换可得答案． 【详解】解：∵垂直平分， ∴． 又周长， ∴周长． 故选：D． 5．如图，中，，的中垂线交于E，交于点D，若，则的周长为（    ） A．14 B．16 C．18 D．20 【答案】B 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，由线段垂直平分线的性质得出，即，再由即可求出答案． 【详解】解：由题意可得：， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 考点二.线段垂直平分线的判定 6．如图，点P是的角平分线上一点，于点C，于点D，连接交于点E．下列结论不一定正确的是（   ） A． B． C．垂直平分 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查角平分线的性质，垂直平分线的判定，全等三角形的判定和性质．根据角平分线的性质定理可判断A，证明，可判断B，根据线段垂直平分线的判定定理，可判断C，根据直角三角形的性质，可判断D． 【详解】解：∵点P是的角平分线上一点，于点，于点， ∴，故选项A成立，不符合题意； ∵，， ∴， ∴，故选项B成立，不符合题意； ∵，， ∴垂直平分，故选项C成立，不符合题意； ∵，即， ∴，故选项D不成立，符合题意； 故选：D． 7．如图，在中，平分，，，、为垂足，则下列四个结论：①；②；③垂直平分；④垂直平分．其中，正确的个数是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，线段的垂直平分线的判定，角平分线的性质，先利用角平分线的性质可判定①，证明可判断②，利用线段的垂直平分线的判定可判定③④，从而可得答案. 【详解】解析：平分，，，、为垂足， ，故①正确； 平分， ， 在与中， ， ，故②正确； ，， 垂直平分，故③正确； 与，与不一定相等， 不一定垂直平分，故④错误； 综上所述，①②③共3个正确． 故答案为：B． 8．如图，是的角平分线，，，垂足分别为E，F，连接．与相交于点G．则下列结论：①；②；③垂直平分；④垂直平分，正确的是（    ） A．①② B．①③ C．①②③ D．①②③④ 【答案】C 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，线段垂直平分线的判定，可利用证明得到，据此可判断①②③；根据现有条件无法证明垂直平分，据此可判断④． 【详解】解：∵是的角平分线， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴，故①②正确； ∴垂直平分，故③正确； 根据现有条件无法证明垂直平分，故④错误； 故选：C． 9．已知A、B是平面上的两定点，在平面上找一点C使为等腰直角三角形，且点C为直角顶点，这样的点C有（    ）个 A．1 B．2 C．3 D．无数 【答案】B 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的判定，要构造以C为直角顶点的等腰直角三角形，需满足且，则点C在线段的垂直平分线上，据此可得答案． 【详解】解：∵为等腰直角三角形，且点C为直角顶点， ∴， ∴点C在线段的垂直平分线上， ∴满足题意的点C有2个（这两个点分别在线段的两侧，且在线段的垂直平分线上）， 故选：B． 10．如图，点、在直线上，点、在直线上，于点，连接、、、，，若，则的长为（　　） A．11 B．10 C．9 D．8 【答案】A 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质和线段垂直平分线的判定定理，根据题意可证明垂直平分，则由线段垂直平分线的性质即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴点P在线段的垂直平分线上， 又∵， ∴垂直平分， ∴， 故选：A． 考点三. 角平分线的性质定理 11．如图，在中，，，为边上的点，连接，如果将沿直线翻折后，点恰好落在边的中点处，那么点到的距离是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了折叠的性质，角平分线的性质，三角形的面积，设的中点为点，由折叠可得，，即得，平分，设点到的距离为，根据角平分线的性质可得点到的距离也为，再根据解答即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：如图，设的中点为点， 由折叠可得，，， ∴，平分， 设点到的距离为， ∵平分， ∴点到的距离也为， ∵， ∴， 即， 解得， ∴点到的距离是， 故选：． 12．如图，在四边形中，，和的延长线交于点E，的角平分线上任取点P，则以下结论一定成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了角平分线的性质，三角形的面积，以及几何图形中等量关系的推导，由题目已知信息结合角分线上的点到角的两边距离相等是解决本题的关键． 构造辅助线，根据角平分线的性质可得，根据这一条件依次判断选项即可． 【详解】解：过点P作交于点G，交于点F， ∵为的角平分线， ∴， 连接， ∵，， 只有这两个条件无法判断与全等， ∴与的大小不确定， 同理与的大小不确定，故A，B不一定成立； ，为点P到的距离， ，为点P到的距离， ∵与的大小，与的大小不确定，故C不一定成立； ∵，， ，， 且，， ∴，故D成立． 故选：D． 13．在中，，以A为圆心，适当长为半径画弧，交，于D，E两点，再分别以D，E为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点M．作射线交于点F，若，，则点F到的距离为（   ） A．3 B．4 C．4.5 D．5 【答案】B 【分析】本题考查了作图﹣基本作图和角平分线的性质，过F点作于H点，利用基本作图得到平分，则根据角平分线的性质得到，即可得答案，熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键． 【详解】解：过F点作于H点，如图， ∵，， ∴， 由作图痕迹得平分， ∵，， ∴，即点F到的距离为4． 故选：B． 14．如图，在中，，按以下步骤作图：①以为圆心，任意长为半径作弧，分别交、于、两点；②分别以、为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点；③作射线，交于点．若，，，则线段的长为（   ） A．3 B．5 C． D．6 【答案】B 【分析】本题考查了作图基本作图，角平分线的性质；利用基本作图得平分，过点作于，根据角平分线的性质得到则，再利用面积法得到，最后解方程即可． 【详解】解：由作法得平分， 过点作于，如图，则， ， ， 即， ， ， 故选：B． 15．如图，平分，，，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的性质等知识，添加辅助线构造全等三角形是解题的关键，属于中考常考题型．过作，交的延长线于，证，进而得出A正确，再证，进而得到C、D正确，没有条件能证明B，进而即可解决问题． 【详解】解：如图，过作，交的延长线于， 平分，，， ， 在和中， ， ， ， ， ，故A正确，不符合题意； ， ， ， 在和中， ， ， ， ，故C正确，不符合题意； ，故D正确，不符合题意； 不一定等于， 不一定等于，故B错误，符合题意． 故选：B． 考点四.角平分线的判定定理 16．某工程队要在如图所示的一块三角形绿地的边上建一个休息亭，使它到和两边的距离相等则下列方案中，能满足休息亭的位置要求的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查角平分线的性质，关键是掌握角平分线性质定理的逆定理．在角的内部，到角两边的距离相等的点在角的平分线上，由此即可判断． 【详解】解：由题意知平分在上， A、满足休息亭的位置要求，故A符合题意； B、不一定平分，故B不符合题意； C、不在上，故C不符合题意； D、垂直平分的直线交于，故D不符合题意， 故选：A． 17．如图，在中，点在边上，连接，，，与的面积之比为，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查角平分线的判定定理，过点作，分别垂直于，，根据与的面积之比为，证的，可知平分，进而即可求解． 【详解】解：过点作，分别垂直于，， ∵与的面积之比为， ∴， ∴， ∴平分， 又∵， ∴， 故选：C． 18．如图所示，在△ABC中，，，将绕点A逆时针旋转得到．以下结论:①；②；③；④平分．其中正确的有（   ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】A 【分析】本题考查了旋转的性质、平行线的判定、角平分线的判定． 根据旋转的性质可得，，，，由此即可判断结论①和③正确；由即可判断结论④错误；根据角的和差可得，再根据平行线的判定即可判断结论②正确． 【详解】解：∵将绕点逆时针旋转得到， ∴，，，，则结论①和③正确； ∵， ∴，即，则结论④错误； ∴， ∴，则结论②正确； 综上，结论正确的有①②③， 故选：A． 19．如图，点O是内一点，且点O到的距离与点O到的距离相等，连接，如果，那么的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了角平分线的性质，难度不大，属于常考题型，熟练运用角平分线的判定定理是解答的关键．根据题意得出平分，即可求解． 【详解】解：∵点O到的距离与点O到的距离相等， ∴平分， ∴， 故选：A． 20．如图，，分别是，上的点，过点作于点，作于点，若，，则下面三个结论：①；②；③，正确的是（       ）　 A．①③ B．②③ C．①② D．①②③ 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线的定义及判定、全等三角形的判定及性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据角平分线的判定，先证是的平分线，再证，可证得，成立． 【详解】解：如图所示，连接， ， 是的平分线， ， ，①正确； ， ， 是的平分线， ， ， ，②正确； 只是过点，并没有固定，③无法确定； 故选：C． 考点五.角平分线性质的实际应用 21．如图，直线 表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（    ） A．1处 B．2处 C．3处 D．4处 【答案】D 【分析】本题考查了角平分线的性质定理，掌握其概念，作图分析是关键． 根据角平分线上点到角两边的距离相等，作图分析即可求解． 【详解】解：如图所示， 根据角平分线的性质定理“角平分线上点到角两边的距离相等”得到点到三条公里的距离相等， ∴可供选择的地址有4个， 故选：D ． 22．如图所示，有三条道路围成，其中，，一个人从B处出发沿着行走了500m，到达D处，恰为的平分线，则此时这个人到的最短距离为（    ） A．1300m B．800m C．500m D．300m 【答案】D 【分析】此题考查角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等，过点D作于点E，推出． 【详解】过点D作于点E， ∵为的平分线，， ∴， 故选D． 23．如图，三条笔直公路两两相交，交点分别为，，，现计划修一个油库，要求到三条公路的距离都相等，内部被河水填满无法施工，则可供选择的地址有（　　） A．1处 B．2处 C．3处 D．4处 【答案】C 【分析】由三角形内角平分线的交点到三角形三边的距离相等，内部被河水填满无法施工，可得三角形内角平分线的交点不满足条件；然后利用角平分线的性质，可证得三角形两条外角平分线的交点到其三边的距离也相等，这样的点有3个，可得可供选择的地址有3个． 【详解】解： ∵内角平分线的交点到三角形三边的距离相等，内部被河水填满无法施工， ∴内角平分线的交点不满足条件； 如图：点P是两条外角平分线的交点， 过点P作，，， ∴，， ∴， ∴点P到的三边的距离相等， ∴两条外角平分线的交点到其三边的距离也相等，满足这条件的点有3个； 综上，到三条公路的距离相等的点有3个． ∴可供选择的地址有3个． 故选：C． 【点睛】本题考查了角平分线的性质．注意掌握角平分线上的点到角两边的距离相等，注意数形结合思想的应用，小心别漏解． 24．如图，直线，，表示三条公路．现要建造一个中转站P，使P到三条公路的距离都相等，则中转站P可选择的点有 个． 【答案】4 【分析】本题考查了角平分线的性质，根据角平分线上的点到角的两边距离相等，分情况找点P的位置． 【详解】解：①三角形两个内角平分线的交点，共一处； ②三个外角两两平分线的交点，共三处， ∴中转站P可选择的点有共有4个． 故答案为：4． 25．如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在 ． 【答案】三条角平分线的交点处 【分析】本题考查角平分线的性质，解题的关键是掌握：角平分线上的点到角两边的距离相等．据此解答即可． 【详解】解：∵要使凉亭到草坪三条边的距离相等， ∴凉亭的位置应选在三条角平分线的交点处． 故答案为：三条角平分线的交点处． 一、单选题 1．如图，中，，，，，点D是，的角平分线的交点，则点D到的距离为（   ） A．1 B．2 C．3 D．35 【答案】A 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，先利用角平分线的性质得出，再根据等面积法计算即可． 【详解】解：如图所示，过点D作、、分别垂直于，、，垂足分别为E、F、G，连接 与的角平分线交于点D， ， ∴ ∴， ， ∴， ∴点D到的距离为1， 故选：A． 2．如图，是的平分线，是中线，、相交于点，于，若，，若的面积是，则的长为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过作于，由角平分线的性质推出，求出，由三角形的面积公式得到的面积的面积，得，即可求出． 【详解】解：如图，过作于， ∵是的平分线，， ∴， ∵是中线，，的面积是， ∴，的面积的面积， ∵的面积的面积的面积， ∴， ∵，， ∴， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查角平分线的性质，三角形中线的性质，三角形的面积，掌握角平分线的性质是解题的关键． 3．如图，在中，，平分，若，，则点D到的距离是（   ） A．2 B．4 C．2 D．8 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．先利用计算出的长，然后根据角平分线的性质求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵是角平分线， ∴点D到的距离等于，即点D到的距离为4． 故选：B． 4．如图，，O为，的平分线的交点，于E，且，则与之间的距离等于（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题考查角平分线的性质，解题的关键是掌握角平分线上的点到角两边的距离相等． 过O作于N，交于M，得到，由角平分线的性质推出，，因此，即可得到答案． 【详解】解：过O作于N，交于M，如下图， ∵， ∴， ∵O为，的平分线的交点，于E， ∴， ∴． ∴与之间的距离等于4． 故选：C． 5．如图，在中、分别垂直平分、．若，则的周长是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查垂直平分线的性质，熟记垂直平分线性质是解决问题的关键．由、分别垂直平分、，得到，再由的周长表示出来即可得到答案． 【详解】解：、分别垂直平分、， ， ， 故选：A 6．如图，在中，是角平分线，，垂足为点E，的面积为30，，，则的长为（   ） A．4 B．8 C．7 D． 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 过点作于点，先根据角平分线的性质得到，再根据三角形面积公式计算出，接着计算出，然后根据三角形面积公式计算出的长． 【详解】解：过点作于点，如图， 是角平分线，，， ， ， ， ， ． 故选：C． 7．已知A、B是平面上的两定点，在平面上找一点C使为等腰直角三角形，且点C为直角顶点，这样的点C有（    ）个 A．1 B．2 C．3 D．无数 【答案】B 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的判定，要构造以C为直角顶点的等腰直角三角形，需满足且，则点C在线段的垂直平分线上，据此可得答案． 【详解】解：∵为等腰直角三角形，且点C为直角顶点， ∴， ∴点C在线段的垂直平分线上， ∴满足题意的点C有2个（这两个点分别在线段的两侧，且在线段的垂直平分线上）， 故选：B． 8．如图所示，在中，的垂直平分线分别交、于、两点，且，，则的周长是（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． 根据线段垂直平分线的性质可得，然后利用等量代换可得的周长，进行计算即可解答． 【详解】解：是的垂直平分线， ， ，， 的周长 ， 故选：． 9．如图，中，，直线垂直平分，分别交、于点E、D，若的周长为32，则的周长是（     ） A．62 B．52 C．42 D．32 【答案】B 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，掌握垂直平分线上的点到线段两端距离相等是解题关键．由垂直平分线可得，再结合的周长得到，即可求出的周长． 【详解】解：中，，直线垂直平分， ， 的周长为32， ， 的周长是， 故选：B． 10．在中，已知，的垂直平分线交于点，交于点，的周长等于50，则的长是（   ）    A．22 B．23 C．32 D．33 【答案】B 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，由线段垂直平分线的性质得到，再由三角形周长计算公式可得，进而可得，据此可得答案． 【详解】解；∵的垂直平分线交于点，交于点， ∴， ∵的周长等于50， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 2、 填空题 11．如图，在中，的垂直平分线分别交，于D，E两点，且，，则的周长为 ． 【答案】13 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，熟知线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等是解决问题的关键．首先根据垂直平分线的性质得到，然后根据三角形周长公式求解即可． 【详解】解：∵边的垂直平分线分别交，于D、E两点， ∴， ∴的周长为 ， 故答案为：13． 12．如图，平分，于点，点是射线上一个动点，若，则的最小值为 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查角平分线的性质；垂线段最短，掌握以上知识是解题的关键．作于，根据角平分线的性质求出的长即可． 【详解】解：作于， ∵平分， ， 又 ∵点是射线上一个动点， ， ∴，最小值为3， 故答案为：3． 13．如图，在中，垂直平分，点为直线上一动点，则周长的最小值是 ．    【答案】11 【分析】本题主要考查了垂直平分线的性质，熟练掌握垂直平分线的性质是解题的关键． 如图：连接，由垂直平分线的性质可得，则周长的为，所以当点和点重合时，此时的周长最小为． 【详解】解：如图：连接，    ∵垂直平分， ∴， ∴周长的为， ∴当点和点重合时，此时的周长最小为． 故答案为：11． 14．如图，垂直平分线段，若，，则四边形的周长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，解题的关键是掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等．也考查了四边形周长的定义．根据线段垂直平分线的性质得到，然后根据周长的定义计算即可． 【详解】解：∵垂直平分线段， ∴， ∴四边形的周长． 故答案为：． 15．如图，已知的周长是，，分别平分和，于点，且，的面积是 ． 【答案】42 【分析】本题主要考查了角平分线的性质及三角形面积的求法，熟练掌握角平分线的性质是解决本题的关键． 根据角平分线的性质可得，从而可得到的面积等于周长的一半乘以2，代入求出即可． 【详解】如下图，连接，过作于，于， 、分别平分和， ∴是的平分线， ∵，， ∴， 的周长是， ， 故答案为：． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$