专题2.3 直线与圆的位置关系（第1课时）（高效培优讲义）数学苏教版2019高二选择性必修第一册

专题2.3 直线与圆的位置关系（第1课时） 教学目标 1. 依据直线与圆的方程，能求出它们的交点坐标． 2. 能通过比较圆心到直线的距离和半径之间的大小关系判断直线与圆的位置关系． 3. 理解直线与圆的三种位置关系(相离、相切、相交)和相应的直线与圆的方程所组成的二元二次方程组的解(无解、有唯一解、有两组解)的对应关系． 4.会求直线与圆相交的直线方程和弦长；直线与圆相切的切线方程和切线长． 5.体会利用代数方法解决几何问题的思想，利用数形结合的思想方法解决代数或几何问题． 教学重难点 1.重点 直线与圆的位置关系的数形结合的方法和意识． 2.难点 用数形结合的方法分析问题． 知识点01 直线与圆的位置关系的判断 直线l：Ax＋By＋C＝0与圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系 直线与圆的位置关系 相离 相切 相交 图示 几何法 d与r的大小 代数法 依据方程组 解的情况 注：直线与圆有三种位置关系，即相离、相切和相交． 方法一：几何法． 圆心到直线的距离d与圆的半径r之间的大小关系决定了直线与圆的位置关系． （1）若d>r，则直线与圆相离； （2）若d＝r，则直线与圆相切； （3）若d<r，则直线与圆相交． 方法二：方程法． 将直线方程和圆的方程联立方程组，方程组解的个数决定了直线与圆的位置关系． （1）若方程组无解，即直线与圆没有公共点，则直线与圆相离； （2）若方程组只有一组解，即直线与圆只有一个公共点，则直线与圆相切； （3）若方程组有两组不同的解，即直线与圆有两个公共点，则直线与圆相交. 【即学即练】 1．直线与圆的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．无法判断 2．已知直线，圆.则直线与圆的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．与a有关 知识点02 直线与圆相交 记直线被圆截得的弦长为的常用方法 1、几何法（优先推荐） ①弦心距（圆心到直线的距离） ②弦长公式： 2、代数法 直线：；圆 联立消去“”得到关于“”的一元二次函数 弦长公式： 【即学即练】 1.直线被圆截得的弦长为（   ） A． B． C． D． 2.直线与圆相交于M、N两点，若，则等于（    ） A．0 B．-2 C．2或0 D．-2或0 知识点03 直线与圆相切 1、圆的切线条数 ①过圆外一点，可以作圆的两条切线 ②过圆上一点，可以作圆的一条切线 ③过圆内一点，不能作圆的切线 2、过一点的圆的切线方程（） ①点在圆上 步骤一：求斜率：读出圆心，求斜率，记切线斜率为，则 步骤二：利用点斜式求切线（步骤一中的斜率+切点） ②点在圆外 记切线斜率为，利用点斜式写成切线方程；在利用圆心到切线的距离求出 （注意若此时求出的只有一个答案；那么需要另外同理切线为） 3、切线长公式 记圆:；过圆外一点做圆的切线，切点为,利用勾股定理求； 【即学即练】 1.若从点引圆的切线，则切线长是 ． 2.过点且与圆相切的直线方程为（    ） A． B． C．或 D．或 题型01 判断直线与圆的位置关系 【典例1】已知直线方程mx－y－m－1＝0，圆的方程x2＋y2－4x－2y＋1＝0.当m为何值时，圆与直线： (1)有两个公共点； (2)只有一个公共点； (3)没有公共点． 直线与圆的位置关系的判断方法 (1)几何法：由圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系判断． (2)代数法：根据直线方程与圆的方程组成的方程组的解的个数来判断． (3)直线系法：若直线恒过定点，可通过判断定点与圆的位置关系来判断直线与圆的位置关系．但有一定的局限性，必须是过定点的直线系 【变式1】直线与圆的位置关系为（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定 【变式2】已知直线和圆，则直线与圆的位置关系是（   ） A．相切 B．相交 C．相离 D．相交或相切 【变式3】（多选）已知直线与圆，点，则下列说法正确的是（    ） A．若点在圆上，则直线与圆相切 B．若点在圆内，则直线与圆相离 C．若点在圆外，则直线与圆相离 D．若点在直线上，则直线与圆相切 【变式4】点在圆外，则直线与该圆的位置关系为 . 题型02 利用直线与圆的位置关系求参数（值）范围 【典例1】）求实数m的取值范围，使直线与圆分别满足： (1)相交； (2)相切； (3)相离． 【变式1】已知直线：与圆：有两个交点，则可以是 .（写出满足条件的一个值即可） 【变式2】已知直线与圆有且仅有一个公共点，则 . 【变式3】已知直线关于对称的直线与圆相离，则（    ） A． B． C． D．或 【变式4】过点的直线与圆有公共点，则直线的倾斜角取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型03 求弦长 【典例1】已知直线l：3x＋y－6＝0和圆心为C的圆x2＋y2－2y－4＝0，判断直线l与圆C的位置关系；如果相交，求直线l被圆C所截得的弦长． (1)求直线与圆的弦长的两种方法：代数法、几何法． (2)利用弦长求直线方程、圆的方程时，应注意斜率不存在的情况 【变式1】直线被圆所截得的弦长等于，则a的值为 （　　） A．或3 B．或 C．1或3 D．或 【变式2】若直线被圆截得的弦长为，则的值为 ． 【变式3】已知的三个顶点坐标为 、 、 (1)求边 上的高所在的直线方程； (2)若圆 是 的外接圆，且经过点的直线 被圆 所截得的弦长为 ，求直线的方程. 题型04 过圆内一定点动直线被圆截的最短弦长问题 【典例1】已知圆，直线与圆相交，则直线截圆的最短弦长为 ． 【变式1】已知点，圆，则经过圆内一点且被圆截得弦长最短的直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式2】已知直线l：与圆C：相交于A，B两点，则弦长的取值范围是 . 题型05 求过圆上一点的圆的切线方程 【典例1】若点在圆上，则过的圆的切线方程为 . 求过某一点的圆的切线方程 (1)过圆上一点(x0，y0)的圆的切线方程的求法 ①若切线斜率存在且不为0，则先求切点与圆心连线所在直线的斜率k(k≠0)，由垂直关系得切线的斜率为－，由点斜式方程可得切线方程． ②若切线斜率为零或不存在，则由图形可直接得切线方程y＝y0或x＝x0. 【变式1】过点作圆的切线，则切线方程为（    ） A． B． C． D．或 【变式2】过点作圆的切线，则切线方程为（   ） A． B． C． D． 【变式3】已知过点的直线与圆相切，且与直线平行，则（    ） A．2 B． C． D． 题型06 求过圆外一点的圆的切线方程 【典例1】过作圆的切线，则其切线方程为 . 过圆外一点(x0，y0)的圆的切线方程的求法 ①若切线斜率存在，设切线的斜率为k，则切线方程为y－y0＝k(x－x0)，由圆心到直线的距离等于半径建立方程，可求得k，也就得切线方程． ②当切线斜率不存在时要加以验证． ③过圆外一点的切线有两条 【变式1】过点的直线与圆相切，则直线的方程为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【变式2】一条光线从点射出，经轴反射后与圆相切，则反射光线所在直线的斜率为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【变式3】已知和点，则过点的的所有切线方程为 . 题型07 求切线长 【典例1】若圆关于直线对称，由点向圆C作切线，切点为A，则的最小值是（    ） A．6 B．4 C．3 D．2 【变式1】过点作圆的切线，切点为，则切线段长为（    ） A． B．3 C． D． 【变式2】已知圆，点M为直线上一个动点，过点M作圆C的两条切线，切点分别为A，B，则四边形周长的最小值为（    ） A．8 B． C． D． 【变式3】若P是直线上一动点，过P作圆的两条切线，切点分别为A，B，则四边形面积的最小值为________________ 题型08 求切点弦长及方程 【典例1】过坐标原点作圆的两条切线，切点分别为，，则（    ） A． B． C． D．2 【变式1】过点作圆的两条切线，切点分别为，，则所在直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式2】已知点P为直线上的动点，过点P作圆的两条切线，切点分别为A､B，则直线必过定点____________ 1．直线被圆所截得的弦长为（    ） A． B．4 C． D． 2．已知圆，则直线与圆C（   ） A．相交 B．相切 C．相离 D．相交或相切 3．已知经过点且倾斜角为的直线与圆：相离，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 4．设、，若直线与圆相切，则点与圆的位置关系是（    ） A．点在圆上 B．点在圆外 C．点在圆内 D．不能确定 5．过点作圆C：的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为（    ） A． B． C． D． 6．已知，若过点P作圆的两条切线，切点分别为A，B，且，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．（多选）已知点和圆，下列说法正确的是（    ） A．圆心，半径为 B．点在圆外 C．过点且与圆相切的直线有且只有一条 D．设点是圆上住意一点，则的最小值为 8．（多选）已知圆，则下列命题是真命题的是（    ） A．若圆C关于直线对称，则 B．存在一条定直线与圆C相切 C．当时，不过点C的直线与圆C交于P，Q两点，则的面积的取值范围是 D．当时，直线，M为直线l上的动点，过点M作圆C的两条切线，，切点分别为A，B，则的最小值为4 9．（多选）已知圆M：，点P为x轴上一个动点，过点P作圆M的两条切线，切点分别为A，B，直线AB与MP交于点C，则下列结论正确的是（    ） A．四边形PAMB周长的最小值为 B．的最大值为2 C．若，则的面积为 D．若，则的最大值为 10．若直线与圆相切，则实数的值为 ． 11．已知圆，直线.则直线被圆截得的弦长的最小值为 ． 12．已知点P在直线上，过点P作圆的切线，切点分别是，AB的中点为Q，若点Q到直线l的距离为，则点Q的坐标为 ． 13．已知圆及圆外一点． (1)过点作圆的一条切线，切点为，求线段的长； (2)若过点的直线与圆交于两点，且，求直线的方程． 14．已知的三个顶点分别为，，，直线经过点. (1)求外接圆的标准方程； (2)若直线与圆相交于，两点，且，求直线的方程； (3)若是圆上的两个动点，当最大时，求直线的方程. 10 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.3 直线与圆的位置关系（第1课时） 教学目标 1. 依据直线与圆的方程，能求出它们的交点坐标． 2. 能通过比较圆心到直线的距离和半径之间的大小关系判断直线与圆的位置关系． 3. 理解直线与圆的三种位置关系(相离、相切、相交)和相应的直线与圆的方程所组成的二元二次方程组的解(无解、有唯一解、有两组解)的对应关系． 4.会求直线与圆相交的直线方程和弦长；直线与圆相切的切线方程和切线长． 5.体会利用代数方法解决几何问题的思想，利用数形结合的思想方法解决代数或几何问题． 教学重难点 1.重点 直线与圆的位置关系的数形结合的方法和意识． 2.难点 用数形结合的方法分析问题． 知识点01 直线与圆的位置关系的判断 直线l：Ax＋By＋C＝0与圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系 直线与圆的位置关系 相离 相切 相交 图示 几何法 d与r的大小 d>r d＝r d<r 代数法 依据方程组 解的情况 Δ<0 方程组 无解 Δ＝0 方程组 仅有一组解 Δ>0 方程组有 两组不同的解 注：直线与圆有三种位置关系，即相离、相切和相交． 方法一：几何法． 圆心到直线的距离d与圆的半径r之间的大小关系决定了直线与圆的位置关系． （1）若d>r，则直线与圆相离； （2）若d＝r，则直线与圆相切； （3）若d<r，则直线与圆相交． 方法二：方程法． 将直线方程和圆的方程联立方程组，方程组解的个数决定了直线与圆的位置关系． （1）若方程组无解，即直线与圆没有公共点，则直线与圆相离； （2）若方程组只有一组解，即直线与圆只有一个公共点，则直线与圆相切； （3）若方程组有两组不同的解，即直线与圆有两个公共点，则直线与圆相交. 【即学即练】 1．直线与圆的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．无法判断 【答案】B 【分析】直接由直线与圆的位置关系的解法得出答案. 【解析】圆的圆心为，半径， 圆心到直线的距离， 则直线与圆相切， 故选：B. 2．已知直线，圆.则直线与圆的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．与a有关 【答案】A 【分析】利用圆心到直线的距离与半径的比较即可判断位置关系. 【解析】因为圆的圆心为，半径为， 则圆心到直线的距离为， 所以直线与圆的位置关系是相交. 故选：A 知识点02 直线与圆相交 记直线被圆截得的弦长为的常用方法 1、几何法（优先推荐） ①弦心距（圆心到直线的距离） ②弦长公式： 2、代数法 直线：；圆 联立消去“”得到关于“”的一元二次函数 弦长公式： 【即学即练】 1.直线被圆截得的弦长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用弦长公式即可求得结果. 【解析】圆C的圆心为，半径为3，圆心到直线l的距离， 所以直线l被圆C截得的弦长为. 故选：D 2.直线与圆相交于M、N两点，若，则等于（    ） A．0 B．-2 C．2或0 D．-2或0 【答案】A 【分析】根据圆的方程及弦长，可以求得圆心到直线的距离，再利用点到直线的距离公式即可求得. 【解析】由圆的方程可知，圆心为，半径， 则圆心到直线的距离为，又因为弦长，所以， 即，解得. 故选：A 知识点03 直线与圆相切 1、圆的切线条数 ①过圆外一点，可以作圆的两条切线 ②过圆上一点，可以作圆的一条切线 ③过圆内一点，不能作圆的切线 2、过一点的圆的切线方程（） ①点在圆上 步骤一：求斜率：读出圆心，求斜率，记切线斜率为，则 步骤二：利用点斜式求切线（步骤一中的斜率+切点） ②点在圆外 记切线斜率为，利用点斜式写成切线方程；在利用圆心到切线的距离求出 （注意若此时求出的只有一个答案；那么需要另外同理切线为） 3、切线长公式 记圆:；过圆外一点做圆的切线，切点为,利用勾股定理求； 【即学即练】 1.若从点引圆的切线，则切线长是 ． 【答案】 【分析】由两点之间的距离公式可得，再根据勾股定理即可得解. 【解析】记圆，圆心为，半径， 则， 所以切线长为. 故答案为：3. 2.过点且与圆相切的直线方程为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】由题意分直线斜率是否存在再结合直线与圆相切的条件进行分类讨论即可求解. 【解析】圆， 即圆的圆心坐标，半径分别为， 显然过点且斜率不存在的直线为，与圆相切，满足题意； 设然过点且斜率存在的直线为，与圆相切， 所以，所以解得， 所以满足题意的直线方程为或. 故选：D. 题型01 判断直线与圆的位置关系 【典例1】已知直线方程mx－y－m－1＝0，圆的方程x2＋y2－4x－2y＋1＝0.当m为何值时，圆与直线： (1)有两个公共点； (2)只有一个公共点； (3)没有公共点． 【答案】A 【分析】运用几何法：圆心到直线的距离d与圆的半径r之间的大小关系决定了直线与圆的位置关系；方程法：将直线方程和圆的方程联立方程组，方程组解的个数决定了直线与圆的位置关系． 【解析】方法一　将直线mx－y－m－1＝0代入圆的方程化简整理得， (1＋m2)x2－2(m2＋2m＋2)x＋m2＋4m＋4＝0. 则Δ＝4m(3m＋4)． (1)当Δ>0，即m>0或m<－时，直线与圆相交，即直线与圆有两个公共点． (2)当Δ＝0，即m＝0或m＝－时，直线与圆相切，即直线与圆只有一个公共点． (3)当Δ<0，即－<m<0时，直线与圆相离，即直线与圆没有公共点． 方法二　已知圆的方程可化为(x－2)2＋(y－1)2＝4， 即圆心为C(2,1)，半径r＝2. 圆心C(2,1)到直线mx－y－m－1＝0的距离 d＝＝ . (1)当d<2，即m>0或m<－时，直线与圆相交，即直线与圆有两个公共点． (2)当d＝2，即m＝0或m＝－时，直线与圆相切，即直线与圆只有一个公共点． (3)当d>2，即－<m<0时，直线与圆相离，即直线与圆没有公共点． 直线与圆的位置关系的判断方法 (1)几何法：由圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系判断． (2)代数法：根据直线方程与圆的方程组成的方程组的解的个数来判断． (3)直线系法：若直线恒过定点，可通过判断定点与圆的位置关系来判断直线与圆的位置关系．但有一定的局限性，必须是过定点的直线系 【变式1】直线与圆的位置关系为（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定 【答案】A 【分析】求圆心到直线的距离与半径比较即可判断直线与圆的位置关系. 【解析】由题意知，圆心，半径， 所以圆心到直线的距离，故圆与直线相离. 故选：A. 【变式2】已知直线和圆，则直线与圆的位置关系是（   ） A．相切 B．相交 C．相离 D．相交或相切 【答案】D 【分析】由题意可求出直线所过定点，代入圆中即可判断出答案. 【解析】由题意，直线可化为：， 直线过定点，代入圆中， 易知该点为圆上一点，所以直线1与圆相交或相切. 故选：D. 【变式3】（多选）已知直线与圆，点，则下列说法正确的是（    ） A．若点在圆上，则直线与圆相切 B．若点在圆内，则直线与圆相离 C．若点在圆外，则直线与圆相离 D．若点在直线上，则直线与圆相切 【答案】ABD 【分析】求出圆心到直线的距离，根据点与圆的位置列关系式，求出圆心到直线的距离求解. 【解析】圆心到直线的距离, 若点在圆上，则， 所以，则直线与圆相切，故A正确； 若点在圆内，则， 所以，则直线与圆相离，故B正确； 若点在圆外，则， 所以，则直线与圆相交，故C错误； 若点在直线上，则， 即，所以， 直线与圆相切，故D正确． 故选：ABD 【变式4】点在圆外，则直线与该圆的位置关系为 . 【答案】相交 【分析】根据点与圆的位置关系以及直线与圆的位置关系分析判断. 【解析】因为点是圆外一点，故有， 则圆心到直线的距离为， ∴直线与该圆的位置关系是相交． 故答案为：相交 题型02 利用直线与圆的位置关系求参数（值）范围 【典例1】）求实数m的取值范围，使直线与圆分别满足： (1)相交； (2)相切； (3)相离． 【答案】(1)；(2)；(3) 【分析】（1）求出圆心到直线的距离、圆的半径，若相交，则可得答案； （2）若相切，则可得答案； （3）若相离，则肯定答案. 【解析】（1）圆的方程化为标准式为， 故圆心到直线的距离，圆的半径， 若相交，则，即，所以； （2）若相切，则，即，所以； （3）若相离，则，即，所以 【变式1】已知直线：与圆：有两个交点，则可以是 .（写出满足条件的一个值即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据点到直线距离公式和题意列出关于的不等式，求解即可. 【解析】由圆：，可知：圆心，半径. 直线方程的一般式为. 由点到直线距离公式和题意可得： ，解得：. 所以可以是. 故答案为：（答案不唯一） 【变式2】已知直线与圆有且仅有一个公共点，则 . 【答案】 【分析】先把有且仅有一个公共点转化应用点到直线距离等于半径求解. 【解析】直线与圆有且仅有一个公共点， 圆心为，半径为， 则， 所以. 故答案为：. 【变式3】已知直线关于对称的直线与圆相离，则（    ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】由条件求出直线，然后根据直线与圆的位置关系及表示圆的条件列出不等式求解. 【解析】设直线上任一点为，则其关于的对称点在直线上， ∴，且， ∴，即， ∴直线， ∵圆，即， ∴圆心，半径，且， ∴圆心到直线的距离， ∵直线与圆相离， ∴，即，又，解得. 故选：C. 【变式4】过点的直线与圆有公共点，则直线的倾斜角取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分直线的斜率存在与否，探讨直线的斜率范围，即可求解作答. 【解析】当直线的斜率不存在时，直线：与圆相离，无公共点， 当直线的斜率存在时，设直线：，即， 由，解得，令直线的倾斜角为，则，而，因此， 直线的倾斜角取值范围是. 故选：D 题型03 求弦长 【典例1】已知直线l：3x＋y－6＝0和圆心为C的圆x2＋y2－2y－4＝0，判断直线l与圆C的位置关系；如果相交，求直线l被圆C所截得的弦长． 【答案】. 【分析】利用求直线与圆的弦长的两种方法：代数法、几何法求解 【解析】方法一　联立直线l与圆C的方程，得 消去y，得x2－3x＋2＝0，解得x1＝2，x2＝1. 所以，直线l与圆C相交，有两个公共点． 把x1＝2，x2＝1分别代入方程①，得y1＝0，y2＝3. 所以，直线l与圆C的两个交点是A(2,0)，B(1,3)． 因此|AB|＝＝. 方法二　圆C的方程x2＋y2－2y－4＝0可化为x2＋(y－1)2＝5，因此圆心C的坐标为(0,1)，半径为，圆心C(0,1)到直线l的距离 d＝＝<. 所以，直线l与圆C相交，有两个公共点． 如图，由垂径定理， 得|AB|＝2＝. (1)求直线与圆的弦长的两种方法：代数法、几何法． (2)利用弦长求直线方程、圆的方程时，应注意斜率不存在的情况 【变式1】直线被圆所截得的弦长等于，则a的值为 （　　） A．或3 B．或 C．1或3 D．或 【答案】C 【分析】由题意可知，圆心到的距离为，由距离公式求解即可. 【解析】因为弦长为，半径， 所以圆心到的距离为：， 所以， 所以或3. 故选：C 【变式2】若直线被圆截得的弦长为，则的值为 ． 【答案】 【分析】根据题给条件写出圆的圆心和方程，求得圆心到直线得距离，再根据圆截直线的弦长公式即可计算的值. 【解析】根据圆的方程可得圆心为，半径. 圆心到直线的距离， 圆截直线的弦长公式为，解得 因为，所以. 故答案为：. 【变式3】已知的三个顶点坐标为 、 、 (1)求边 上的高所在的直线方程； (2)若圆 是 的外接圆，且经过点的直线 被圆 所截得的弦长为 ，求直线的方程. 【答案】(1)；(2)或 【分析】（1）先求两点的斜率，再利用垂直关系求出高线的斜率，最后由点斜式求出直线方程； （2）设利用待定系数法求出圆的一般方程，进一步化为标准方程，讨论当直线的斜率不存在时，直线方程为，满足题意；当直线的斜率存在时，设直线方程为，由点到直线的距离公式结合垂径定理列式求得，即答案可求． 【解析】（1）由可得，直线斜率为， 所以边上的高所在直线的斜率为：， 则边上的高所在直线方程为：，整理得； （2）设圆的方程为，代入三点坐标可得： 则，解得，，． 圆的方程为，化为标准方程：； 当直线的斜率不存在时，直线方程为， 代入圆的方程得：， 此时直线被圆所截得的弦长为，满足题意； 当直线的斜率存在时，设直线方程为，即． 由垂径定理可得，当弦长为时，可知圆心到直线的距离 再由圆心到直线的距离公式得：，解得． 直线方程为． 即直线的方程为或． 题型04 过圆内一定点动直线被圆截的最短弦长问题 【典例1】已知圆，直线与圆相交，则直线截圆的最短弦长为 ． 【答案】 【分析】由求出直线过的定点，进而可判断定点在圆内，所以直线被圆截得的弦长最短时，，由此即可求解． 【解析】将直线整理得，， 由得，， 则直线过定点， 由得，，圆心为，半径 因为，所以点在圆内部， 当直线截圆的弦长最短时，， 所以弦长为， 故答案为： 【变式1】已知点，圆，则经过圆内一点且被圆截得弦长最短的直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，由条件可得过点且弦长最短的弦应是垂直于直线的弦，再由直线的点斜式方程，即可得到结果． 【解析】设经过圆内一点且被圆截得弦长最短的直线的斜率为，直线的斜率为， 由题意得，， 因为，所以， 所以圆内一点且被圆截得弦长最短的直线的方程为，即， 故选：B． 【变式2】已知直线l：与圆C：相交于A，B两点，则弦长的取值范围是 . 【答案】 【分析】求出直线所过的定点并判断与圆的位置关系，再利用圆的性质求出范围. 【解析】由直线l：，得直线l恒过定点， 由圆C：，得，圆心，半径为， 又，即点在圆内， 当直线l经过圆心时，， 当直线时，，则， 所以的取值范围是. 故答案为：. 题型05 求过圆上一点的圆的切线方程 【典例1】若点在圆上，则过的圆的切线方程为 . 【答案】 【分析】利用垂直直线的斜率关系和直线方程相关概念直接求解. 【解析】因为点在圆上， 所以过的圆的切线方程和垂直， 因为，，所以，所以切线方程斜率为， 所以切线方程为，即. 故答案为： 求过某一点的圆的切线方程 (1)过圆上一点(x0，y0)的圆的切线方程的求法 ①若切线斜率存在且不为0，则先求切点与圆心连线所在直线的斜率k(k≠0)，由垂直关系得切线的斜率为－，由点斜式方程可得切线方程． ②若切线斜率为零或不存在，则由图形可直接得切线方程y＝y0或x＝x0. 【变式1】过点作圆的切线，则切线方程为（    ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】讨论直线斜率，由相切关系及点线距离公式求斜率，进而写出切线方程. 【解析】由圆心为，半径为， 斜率存在时，设切线为，则，可得， 所以，即， 斜率不存在时，显然不与圆相切； 综上，切线方程为. 故选：C 【变式2】过点作圆的切线，则切线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分析可知，点在圆上，且，由此可得出所求切线的方程. 【解析】圆的标准方程为，圆心为， 因为，所以，点在圆上，则， 所以，所求切线与轴垂直，故所求切线的方程为. 故选：D 【变式3】已知过点的直线与圆相切，且与直线平行，则（    ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】设过点的直线的方程为，由圆心到切线的距离等于圆的半径，利用点到直线的距离公式列出关于的方程，求出方程的解得到的值，由切线与平行，可得答案． 【解析】已知过点的直线与圆相切， 将点代入圆恒成立， 则点在圆上．即过点的直线与圆相切的切线只有一条， 令过点的切线的方程为，即， 由此切线与平行，两直线的斜率相等且轴截距不等， 可得且； 由圆心到切线的距离等于圆的半径，可得圆的半径， ，即. 故选：B． 题型06 求过圆外一点的圆的切线方程 【典例1】过作圆的切线，则其切线方程为 . 【答案】或 【分析】当过点的直线斜率不存在时，方程是，通过验证圆心到直线的距离，得到符合题意；当过点的直线斜率存在时，设直线方程为，根据圆心到直线的距离等于半径1，建立关于的方程，解之得，进而得到直线的方程，最后综合可得答案． 【解析】圆的圆心为，半径为1， （1）当过点的直线垂直于轴时， 此时直线斜率不存在，方程是， 圆心到直线的距离为， 直线符合题意； （2）当过点的直线不垂直于轴时， 设直线方程为，即． 直线是的切线， 点到直线的距离为，解之得， 此时直线方程为． 切线方程为或． 故答案为：或． 过圆外一点(x0，y0)的圆的切线方程的求法 ①若切线斜率存在，设切线的斜率为k，则切线方程为y－y0＝k(x－x0)，由圆心到直线的距离等于半径建立方程，可求得k，也就得切线方程． ②当切线斜率不存在时要加以验证． ③过圆外一点的切线有两条 【变式1】过点的直线与圆相切，则直线的方程为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】D 【分析】根据斜率存在和不存在分类讨论，斜率存在时设直线方程，由圆心到直线距离等于半径求解． 【解析】圆心为，半径为2， 斜率不存在时，直线满足题意， 斜率存在时，设直线方程为，即， 由，得，直线方程为，即． 故选：D 【变式2】一条光线从点射出，经轴反射后与圆相切，则反射光线所在直线的斜率为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】D 【解析】根据光的反射原理知，反射光线的反向延长线必过点关于轴的对称点，设反射光线所在直线方程为，利用直线与圆相切的性质即可求得斜率. 【解析】根据光的反射原理知，反射光线的反向延长线必过点关于轴的对称点， 设反射光线所在直线的斜率为， 则反射光线所在直线方程为，即， 又由反射光线与圆相切，可得， 整理得，解得或. 故选：D. 【变式3】已知和点，则过点的的所有切线方程为 . 【答案】或 【分析】先确定点在圆外，再分切线斜率存在与否，利用圆心到切线的距离等于半径求解即可. 【解析】由圆的方程可得圆心，半径， 由题意可得圆心到切线的距离等于半径， 由点代入圆的方程可得，所以点在圆外， 所以当切线的斜率不存在时，满足题意的直线方程为； 当斜率存在时，设为， 则过点的切线方程为，即 所以，解得， 此时，切线方程为， 综上，过点的的所有切线方程为或. 故答案为：或 题型07 求切线长 【典例1】若圆关于直线对称，由点向圆C作切线，切点为A，则的最小值是（    ） A．6 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【分析】首先根据题意得到，再利用圆的性质求解即可. 【解析】由题意知，直线过圆心，即， 化简得在上， 如图，为使最小， 只需圆心与直线上的点的距离最小， 如图所示： 所以的最小值为， 故选：B 【变式1】过点作圆的切线，切点为，则切线段长为（    ） A． B．3 C． D． 【答案】C 【分析】根据相切，由勾股定理即可求解. 【解析】设圆心为半径为， 所以, 故， 故选：C 【变式2】已知圆，点M为直线上一个动点，过点M作圆C的两条切线，切点分别为A，B，则四边形周长的最小值为（    ） A．8 B． C． D． 【答案】A 【分析】根据圆的切线性质，结合点到直线的距离公式进行求解即可. 【解析】圆的圆心坐标为，半径为， 因为过点M作圆C的两条切线，切点分别为A，B， 所以有，， 因此有， 要想四边形周长最小，只需最小，即当时， 此时，此时， 即最小值为， 故选：A 【变式3】若P是直线上一动点，过P作圆的两条切线，切点分别为A，B，则四边形面积的最小值为________________ 【答案】 【分析】四边形面积等于，所以当最小时，四边形面积最小，的最小值为圆心到直线的距离，从而歌曲求得答案 【解析】由题意可得圆的圆心为，半径为2， 因为与圆相切， 所以四边形面积等于， 的最小值为圆心到直线的距离， 所以四边形面积的最小值为， 故答案为： 题型08 求切点弦长及方程 【典例1】过坐标原点作圆的两条切线，切点分别为，，则（    ） A． B． C． D．2 【答案】C 【分析】 根据题意可得为等边三角形，可得结果. 【解析】圆化为标准方程为， 其圆心为，半径为1，    由题意知，,,,, 所以,所以. 所以,且, 所以为等边三角形， 所以. 故选:C． 【变式1】过点作圆的两条切线，切点分别为，，则所在直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】的圆心，求出以为直径的圆的方程为，把圆与圆相减，得直线AB的方程． 【解析】设坐标原点为，以为直径的圆的方程为，即， 把圆与圆相减，得：， 直线经过两圆的交点，即切点. 所以直线即为圆与圆的公共弦所在的直线， AB方程为:. 故选：B. 【变式2】已知点P为直线上的动点，过点P作圆的两条切线，切点分别为A､B，则直线必过定点____________ 【答案】A 【分析】设出点坐标，利用圆与圆的位置关系求得直线的方程，从而求得定点坐标. 【解析】设， 圆的圆心为，一般方程为①， 线段中点坐标为， ， 所以以线段为直径的圆的方程为， 整理得②， ①-②并化简得， 即， . 所以定点坐标为. 故答案为： 1．直线被圆所截得的弦长为（    ） A． B．4 C． D． 【答案】D 【分析】先由圆的标准方程确定圆心和半径；再根据点到直线距离公式计算圆心到直线的距离；最后根据圆的弦长公式即可求解. 【解析】由圆可得：圆心坐标为，半径为3. 因为圆心到直线的距离为：， 所以，直线被圆截得的弦长为. 故选： 2．已知圆，则直线与圆C（   ） A．相交 B．相切 C．相离 D．相交或相切 【答案】A 【分析】由直线与圆的方程可知，该直线有定点在圆内，即可得其位置关系. 【解析】可化为， 即该圆圆心为，半径为， 由可得该直线过定点， 有，即该定点必在圆内， 故两者位置关系为相交. 故选：A. 3．已知经过点且倾斜角为的直线与圆：相离，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先写出直线的方程，再应用点到直线距离与半径比较即可列式即可求解. 【解析】经过点且倾斜角为的直线，则直线的方程为. 因为圆心为半径为，所以由题意得 解得. 故选：C. 4．设、，若直线与圆相切，则点与圆的位置关系是（    ） A．点在圆上 B．点在圆外 C．点在圆内 D．不能确定 【答案】C 【分析】利用直线与圆相切可得出，再利用点与圆的位置关系可得出结论. 【解析】圆的圆心为原点，半径为， 因为直线与圆相切，则，即， 即，因此，点在圆内. 故选：C 5．过点作圆C：的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】考虑斜率不存在和斜率为0的两种情况，计算切点，得到切线方程. 【解析】，即，圆心为，半径. 当斜率不存在时，直线与圆相切，切点为； 当斜率为0时，直线与圆相切，切点为. 故直线方程为斜率，直线方程为，即. 故选：A. 6．已知，若过点P作圆的两条切线，切点分别为A，B，且，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】因为，由对称性可知，则即可求解． 【解析】圆的圆心坐标为，半径， 因为，由对称性可知， 根据题意可得， 解得 故选：A． 7．（多选）已知点和圆，下列说法正确的是（    ） A．圆心，半径为 B．点在圆外 C．过点且与圆相切的直线有且只有一条 D．设点是圆上住意一点，则的最小值为 【答案】ABD 【分析】对于A，结合圆的标准方程即可判断，对于B和C选项，求出并和半径比较即可求解，对于D选项，根据的最小值为即可求解. 【解析】圆Q：的圆心，半径为，选项A正确； 因为， 所以点P在圆Q外，所以过点P且与圆Q相切的直线有2条，选项B正确，选项C错误； 设点M是圆Q上任意一点， 由题意可知的最小值为，选项D正确. 故选：ABD. 8．（多选）已知圆，则下列命题是真命题的是（    ） A．若圆C关于直线对称，则 B．存在一条定直线与圆C相切 C．当时，不过点C的直线与圆C交于P，Q两点，则的面积的取值范围是 D．当时，直线，M为直线l上的动点，过点M作圆C的两条切线，，切点分别为A，B，则的最小值为4 【答案】BCD 【分析】根据圆关于直线对称，得k值，再检验半径是否大于零，即可判断A；只需求出圆过定点，根据直线与圆相切条件判断B；将的面积表达出来，再根据直线与圆的位置关系确定的最值即可判断C；利用垂直关系，可将联系四边形的面积，再根据直线与圆相切的切线长与切点弦关系可判断D. 【解析】圆即.所以该圆圆心为，半径为. 对于A：若圆C关于直线对称，则圆心在直线上，所以，解得.当时，圆的半径为2；当时，，不能构成圆.故A项错误； 对于B：圆，令，，联立解得，，所以圆C过定点，又因为圆心，所以直线与圆C相切，故B项正确； 对于C：当时，圆，由直线得，令且，得，，所以直线过定点，设圆心C与直线的距离为d，则d的最大值为，， 因为，所以，所以，所以，故C项正确； 对于D：当时，圆， 由题意知，四边形的面积为;， 又的最小值为，所以的最小值为2，故的最小值为4，故D项正确. 故选：BCD. 9．（多选）已知圆M：，点P为x轴上一个动点，过点P作圆M的两条切线，切点分别为A，B，直线AB与MP交于点C，则下列结论正确的是（    ） A．四边形PAMB周长的最小值为 B．的最大值为2 C．若，则的面积为 D．若，则的最大值为 【答案】ACD 【分析】对A，可将四边形PAMB周长转化为，结合勾股定理可求最值；对B，由圆内最长的弦为直径可判断错误；对C，由几何关系先求出，由等面积法可求出，结合面积公式可求；对D，分点是否与原点重合分类讨论，当点不与原点重合时，求出切线长方程和直线方程，联立可求动点轨迹，由点与圆的位置关系可求. 【解析】如图所示，对于选项A，四边形PAMB的周长为， 因为，所以四边形PAMB的周长为，设，当与原点重合时最小，则，则四边形PAMB的周长为，则当t取最小值2时，四边形PAMB的周长最小，为，故A正确； 对于选项B，因为圆M：的直径为2，所以，故B错误； 对于选项C，因为，所以，，由等面积法可得，求得，， ，所以的面积为，故C正确； 对于选项D，当点P与原点重合时，，则，则，则，则；当点P不与原点重合时，设（），则切点弦AB的方程为（利用结论：过圆外一点的切线弦方程为求得），直线MP的方程为，联立两方程，可得，消去m，得动点C的轨迹方程为．又因为，所以，故D正确． 故选：ACD． 10．若直线与圆相切，则实数的值为 ． 【答案】或3 【分析】借助圆心到切线的距离等于半径，计算即可得. 【解析】由圆心为，半径为， 即， 则， 解得或. 故答案为：或3 11．已知圆，直线.则直线被圆截得的弦长的最小值为 ． 【答案】 【分析】先求出直线所过的定点，数形结合得到当时，直线被圆截得的弦长最小，再由垂径定理得到最小值. 【解析】直线， 令，解得，所以直线恒过定点， 圆的圆心为，半径为， 且，即在圆内， 当时，圆心到直线的距离最大为， 此时，直线被圆截得的弦长最小，最小值为. 故答案为： 12．已知点P在直线上，过点P作圆的切线，切点分别是，AB的中点为Q，若点Q到直线l的距离为，则点Q的坐标为 ． 【答案】 【分析】先得出弦AB所在的直线方程，再得直线AB所过的定点M，结合圆的几何性质得Q在以CM为直径的圆N上，从而可得点Q到直线l的距离为时，直线NQ与l平行，进而得到答案． 【解析】圆的标准方程为，圆心， 点P在直线上，可设， 则P、A、C、B四点共圆，该圆以PC为直径， 方程为， 即， 与圆C的方程相减得弦AB所在的直线方程为， 即， 该直线恒过与的交点， 又由圆的几何性质可得， 则点Q在以CM为直径的圆上， 圆心是CM的中点， 半径为， 点N到直线的距离为， 又点Q到直线l的距离为， 与l平行， 此时直线NQ的方程为， Q为直线NQ与圆N的交点， 联立与， 得Q的坐标为． 故答案为：． 13．已知圆及圆外一点． (1)过点作圆的一条切线，切点为，求线段的长； (2)若过点的直线与圆交于两点，且，求直线的方程． 【答案】(1)1；(2)或 【分析】（1）先求解圆心和半径，然后求出的长度，再利用勾股定理进行求解的长度；（2）先利用垂径定理求出圆心到直线的距离，再分两种情况，直线斜率存在和斜率不存在，求出直线的方程. 【解析】（1）配方得：，所以圆心 由两点间距离公式得：． ． （2）由垂径定理得：圆心到直线的距离 ①若直线的斜率不存在，则：满足条件 ②若直线的斜率存在，设：，则 得：，则：． 综上：或 14．已知的三个顶点分别为，，，直线经过点. (1)求外接圆的标准方程； (2)若直线与圆相交于，两点，且，求直线的方程； (3)若是圆上的两个动点，当最大时，求直线的方程. 【答案】(1)；(2)或.；(3) 【分析】（1）设出圆的一般式方程，代入三点坐标解方程组可得一般式方程，再配方得标准方程； （2）由弦长求法求得圆心到直线的距离，按直线斜率存在与不存在分类讨论求直线方程，斜率存在时，设直线方程，由点到直线距离公式求参数值． （3）由在圆M外，当与圆相切时（E，F不重合），取的最大值, 求出以为直径的圆方程，与圆方程相减可得切点弦所在直线方程． 【解析】（1）设圆的方程为，， 则，解得， 则圆的方程为， 即圆的标准方程为； （2）由（1）得圆心，半径， 又，可知圆心到直线的距离， 当直线斜率不存在时，直线方程为，此时圆心到直线的距离为，成立； 当直线斜率存在时，设直线方程为，即， 圆心到直线的距离， 解得，则直线方程为，即； 综上，直线方程为或. （3）由在圆M外，当与圆相切时（E，F不重合），取的最大值, 此时的中点为，, 所以以为直径的圆的方程为, 即①, 又圆M的方程为②, ①②：, 所以直线的方程为. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$