2.1—2.2 有理数的加、减法 考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练-2025-2026学年七年级数学上册（浙教版2024新教材）

2.1—2.2 有理数的加、减法 一、有理数的加法 1.加法法则： （1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。 （2）异号两数相加，绝对值相等时和为0；绝对值不等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。 （3）一个数与0相加，仍得这个数。 2.运算律： 加法满足交换律和结合律，即a+b=b+a，(a+b)+c=a+(b+c)。 二、有理数的减法 减去一个数等于加上这个数的相反数，即a-b=a+(-b)。 巩固课内例1:有理数加法运算 1．计算（   ） A． B． C．-3 D．3 【答案】D 【分析】本题考查有理数的加法运算．根据异号两数相加的法则，绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值，进行计算即可． 【详解】解：； 故选 ：D． 2．计算： ， ， ． 【答案】 0 0 0 【分析】本题考查了有理数的加法运算，掌握互为相反数的两个数的和为0是解题的关键． 根据相反数的两个数的和为0即可求解． 【详解】解：； ； ， 故答案为：0，0，0． 3．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1)3 (2) (3) (4)0 (5) (6) 【分析】本题考查了有理数的加法运算，同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；异号两数相加，绝对值相等时，和为零，绝对值不等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大数的绝对值减去较小数的绝对值． （1）根据有理数的加法运算法则计算即可； （2）根据有理数的加法运算法则计算即可； （3）根据有理数的加法运算法则计算即可； （4）根据有理数的加法运算法则计算即可； （5）根据有理数的加法运算法则计算即可； （6）根据有理数的加法运算法则计算即可． 【详解】（1）解：； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）． 巩固课内例2:有理数的加法应用——气温问题 1．某地一天中午的气温是，过了5h气温上升了，则这时的气温是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查有理数加法的实际应用，两数相加，进行计算即可． 【详解】解：； 故选D． 2．盐城冬季某日上午5时的气温是零下3摄氏度，记作( )摄氏度，到中午12时气温上升了7摄氏度，这时气温是( )摄氏度． 【答案】 4 【分析】本题考查了正负数的意义，数的加法． 根据正负数的意义，数的加法作答即可． 【详解】盐城冬季某日上午5时的气温是零下3摄氏度，记作摄氏度， 到中午12时气温上升了7摄氏度，这时气温是摄氏度． 故答案为：，4 3．某旅游景点某天12：00的气温是5°C，从午后开始，气温持续下降，夜间测得某时刻的气温已经下降到–1°C，如果平均每4h气温下降3°C，则此刻的时间是几点？ 【答案】20：00 【分析】根据题意求出每小时下降的温度即可列式求解. 【详解】由题意可得， 12+[5–（–1）]÷（3÷4）=12+8=20． 答：此刻的时间是20：00． 【点睛】此题主要考查有理数的运算，解题的关键是根据题意找到数量关系进行求解. 巩固课内例3:有理数加法运算律 1．小明同学在解题时，将式子变成后再进行计算，该同学运用了（   ） A．加法交换律 B．加法结合律 C．加法交换律和结合律 D．乘法分配律 【答案】C 【分析】本题考查了加法的交换律和结合律，熟练掌握相关定义是关键．根据加法的结合律和交换律的定义解答即可．加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变；加法的结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变． 【详解】解：根据小明的解题过程，应用了加法交换律和结合律． 故选：． 2．（1）加法交换律： ， 例： ； （2）加法结合律：( )， 例：[ ]． 【答案】 【分析】（1）由有理数的加法交换律即可以得解； （2）由有理数的加法结合律即可得解． 【详解】解：（1）； ． 故答案为：；． （2）； ． 故答案为：；． 【点睛】本题主要考查了有理数的加法的交换律和结合律等知识点，解题时要熟练掌握运算律并准确计算是关键． 3．计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)10 (2) (3) 【分析】本题考查了有理数的加法运算，掌握计算法则，灵活运用简便计算的方法是解决本题的关键． （1）利用加法交换律和结合律运算即可； （2）利用加法交换律和结合律运算即可； （3）利用加法交换律和结合律运算即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式． 巩固课内例4:有理数加法运算律的应用——行驶问题 1．一辆巡逻车从A地出发，在东西向的马路上巡视，中午到达B地，若规定向东行驶为正，向西行驶为负，行驶纪录如下表（单位：千米），则巡逻车在巡逻过程中，离开A地最远是（　　）千米． 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 第六次 第七次 +10 ﹣2 +5 +12 ﹣3 +2 ﹣10 A．44 B．14 C．25 D．都不对 【答案】C 【分析】根据题意分别算出每次离A地的距离，然后进行比较即可． 【详解】解：第一次离A地的距离为：+10米； 第二次离A地的距离为：+10-2=+8米； 第三次离A地的距离为：+8+5=+13米； 第四次离A地的距离为：+13+12=+25米； 第五次离A地的距离为：+25-3=+22米； 第六次离A地的距离为：+22+2=+24米； 第七次离A地的距离为：+24-10=+14米； 所以离开A第最远的是25米； 故选C． 【点睛】本题主要考查有理数加法的应用，熟练掌握有理数的加法运算是解题的关键． 2．某公路养护小组乘车沿公路（南北方向，以北为正方向）巡视维护，某天早晨从地出发，先向北行驶了，向南行驶了，又向北行驶了，向南行驶了，又向北行驶了，最后向南行驶了到达处．地在地的 处． 【答案】南方5千米 【分析】本题主要考查了正负数的实际应用和有理数的加法，熟练掌握正负数的意义是解题的关键． 根据向北为正，向南为负，将各阶段行程相加即可得到答案． 【详解】解： （千米）， ∴地在地的南方，且距离地5千米． 故答案为：南方5千米． 3．某公路养护小组乘车沿一条南北向公路巡视养护，某天早晨他们从地出发，晚上最终到达地．约定向北为正方向，当天汽车的行驶记录（单位：）如下：，，，，，，，．假设汽车在同一行驶记录下是单向行驶． (1)地在地的哪个方向？它们相距多少千米？ (2)如果汽车行驶平均耗油，那么这天汽车共耗油多少升？ 【答案】(1)B地在A地正南方向，它们相距 (2)这天汽车共耗油． 【分析】本题主要考查了正负数的意义，有理数的运算等知识点， （1）首先根据正、负数运算的方法，把当天的行驶记录相加；然后根据正、负数的意义，判断出B地在A地的哪个方向，它们相距多少千米即可； （2）首先求出当天行驶记录的绝对值的和，然后根据乘法的意义，用汽车行驶的路程乘以行驶每千米耗油量，求出该天共耗油多少升即可． 【详解】（1）解：∵ ， ， ∴B地在A地正南方向，它们相距； （2）解：∵ ， ∵汽车行驶平均耗油， ∴汽车行驶平均耗油， ∴这天汽车共耗油． 巩固课内例5:有理数减法运算 1．计算的结果等于（   ） A．－1 B．1 C．－5 D．5 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的减法，熟练掌握有理数的减法的运算法则是解题的关键． 根据有理数的减法进行计算法则即可求解． 【详解】解：， 故选：D． 2． ， ． 【答案】 0 【分析】本题考查了有理数的减法运算，掌握减去一个数，等于加上这个数的相反数是解题的关键． 根据有理数的减法运算法则即可求解． 【详解】解：， ， 故答案为：0，． 3．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据有理数的加法则求解即可； （2）根据有理数的减法则求解即可； （3）根据有理数的加减混合运算法则求解即可； （4）根据有理数的加减混合运算法则求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 巩固课内例6:有理数减法应用——海拔问题 1．甲、乙、丙三地的海拔分别为，，，那么最高的地方比最低的地方高（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了相反意义的量，有理数的减法．由题意得：最高的地方海拔为，最低的地方海拔为，利用最高海拔减去最低海拔即可求解． 【详解】解：由题意得：最高的地方海拔为，最低的地方海拔为， 则， 则最高的地方比最低的地方高， 故选：A． 2．珠穆朗玛峰海拔约8849米，吐鲁番盆地最低处海拔约为米，两地的相对高度（即山峰最高处比盆地最低处高）是 米． 【答案】 【分析】此题考查有理数的减法，解题的关键是熟练运用有理数的减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数．根据题意列出算式即可求出答案． 【详解】解：依题意， 故答案为：． 3．已知甲地海拔是300米，乙地海拔是米，丙地比甲地低50米，丁地比乙地高50米，求： (1)丙地海拔为多少？丁地海拔为多少？ (2)哪个地方最高，哪个地方最低？ (3)最高处比最低处高多少米？ 【答案】(1)丙地海拔为250米，丁地海拔为米 (2)甲地海拔最高，乙地海拔最低 (3)最高处比最低处高500米 【分析】（1）根据题意，列式求解即可得到答案； （2）根据题意，比较大小即可得到； （3）根据题意，作差即可得到答案． 【详解】（1）解：丙地比甲地低50米，丁地比乙地高50米， 丙地海拔为（米），丁地海拔为（米）； （2）解：， 甲地海拔最高，乙地海拔最低； （3）解：由（2）可知甲地海拔最高，乙地海拔最低， （米）， 故最高处比最低处高500米． 【点睛】本题考查正负数的实际应用，有理数的加减运算，读懂题意，准确列式是解决问题的关键． 巩固课内例7:有理数加减混合运算 1．把统一为加法运算，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是有理数的加、减混合运算，注意相反数的运用是解题关键．利用减去一个数等于加上这个数的相反数，进行变化即可． 【详解】解： ， 故选：B． 2．计算： ． 【答案】8 【分析】本题主要考查了有理数的加减混合运算，熟练掌握其运算法则是解决此题的关键．先去括号再进行加减运算即可． 【详解】解： ， 故答案为： ． 3．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)15； (2)； (3)； (4)． 【分析】本题考查了有理数加减混合运算，绝对值，熟练掌握有理数的加减混合运算法则是解题的关键． （1）先把减法运算变为加法运算，再根据有理数的加法法则计算即可； （2）先把减法运算变为加法运算，再根据有理数的加法法则计算即可； （3）先把减法运算变为加法运算，再根据有理数的加法法则计算即可； （4）先把减法运算变为加法运算，再根据有理数的加法法则计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： 巩固课内例8:有理数加减混合运算应用——收入支出问题 1．手机移动支付给生活带来便捷，如图是小陈某天微信账单的全部收支明细（正数表示收入，负数表示支出，单位：元），小陈当天微信收支的最终结果是（　　） A．收入50元 B．支出40元 C．收入10元 D．支出10元 【答案】C 【分析】本题主要考查了有理数的加减法，解题关键是理解题意列出算式并进行正确的运算．根据题意列出算式，然后根据计算结果和正数表示收入，负数表示支出，求出答案即可． 【详解】解：由题意得：， ， ∴小陈当天微信收支的最终结果是收入10元． 故选：C． 2．小食堂会计铁锤妹妹某天办理以下业务：支出120元，收入300元，支出230元，收入150元，支出70元，收入5元，则食堂这一天共收入 元． 【答案】35 【分析】本题考查了，正负数的实际应用，有理数加减混合运算的应用，根据题意列出算式，再进行有理数加减混合运算，即可求解；能根据实际意义列出算式并正确进行运算是解题的关键． 【详解】解：根据题意：（元） 则食堂这一天共收入35元， 故答案为：35 3．财商教育有助于培养孩子的独立生活能力和积极向上的价值观、社会责任感．小昆在妈妈的协助下，通过售卖废报纸、饮料瓶，转卖二手书，义卖闲置物品等方式获得一定收入，并用于购买学习用具和一些日常所需品．为了更好的理财，他每周做一次收支记录，其中一个月的收入和支出记录如下（收入用“”，支出用“”，单位：元）： ，，，，，，，． (1)小昆这个月是超支了还是有结余？如果超支，超支了多少？如果结余，结余了多少？ (2)若规定：收入元，支出元，经手金额为元，则小昆这个月经手总金额离元超过或不足多少元？ 【答案】(1)小昆这个月有结余，结余了元； (2)不足元 【分析】（） 把各数相加，求出和，再根据正负数的意义即可判断求解； （）求出各数绝对值的和，再利用有理数的减法即可判断求解； 本题考查了有理数加法和减法的实际应用，正负数的意义的实际应用，绝对值的意义，根据题意正确列出算式是解题的关键． 【详解】（1）解：， 答：小昆这个月有结余，结余了元； （2）解：， ∵， ∴小昆这个月经手总金额离元不足元． 类型一、有理数加减简便运算 1．小梦在计算时，中可以填入的使该题用简便方法进行计算的数值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查有理数的加法，根据有理数的加法法则，根据能够运用简便方法进行计算，得到中的数值跟其余加数中的一个分母相同，进行判断即可． 【详解】解：∵可以使用简便方法， ∴是分母为15或7的分数， 故选D． 2．利用加法运算律，将写成 ，可使运算简便. 【答案】 【分析】利用加法的交换律把分母相同的两个数结合在一起，从而可得答案． 【详解】解： 故答案为： 【点睛】本题考查的是加法的交换律，掌握加法的交换律是解题的关键． 3．用运算律简便计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的加法运算，解题的关键是掌握运算法则和运算顺序． （1）利用有理数的加法交换律将和交换位置，进而求解即可； （2）利用有理数的加法交换律将和交换位置，求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 类型二、列算式求数 1．在“”里填上一个数，使式子用运算律进行简便计算，则这个数可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查加法运算律，根据题意，所加数字应该分母为或分母为的分数，据此进行判断即可． 【详解】解：∵式子能用运算律进行简便计算， ∴所加数字应该分母为或分母为的分数， 故这个数可能是； 故选A． 2．黑板上写着7个数，分别为：，a，1，21，b，0，，它们的和是．若每次从中任意擦除两个数，同时写上一个新数（新数为所擦除的两个数的和加1），这样操作若干次，直至黑板上只剩下一个数，则所剩下的这个数是 ． 【答案】 【分析】操作一次，黑板上的数字个数减少1个，数字总和增加1．经过次操作，剩下的一个数是，据此解答即可． 【详解】解：∵每次从中任意擦除两个数，同时写上一个新数（新数为所擦除的两个数的和加1）， ∴操作一次，黑板上的数字个数减少1个，数字总和增加1． （次） ∴剩下的这个数是． 答：剩下的这个数是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了有理数的加法，理解“黑板上的数字个数减少1个，数字总和增加1”是解题的关键． 3．一个数与的和减去等于，求这个数． 【答案】 【分析】该题主要考查了有理数的加法运算，解题的关键是掌握有理数的加法运算法则． 根据题意得出这个数为再进行运算即可． 【详解】解：由题意得：这个数为 ． 类型三、省略加号和的形式 1．不改变原式的值，把写成省略加号与括号的和的形式为 （    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了有理数加减混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键；根据有理数加法法则与减法法则进行化简即可． 【详解】解：依题意，把写成省略加号与括号的和的形式为， 故选：C 2．将写成省略括号和加号的形式 ． 【答案】 【分析】先根据有理数的加减法则化简后再省略括号和加号的形式解答即可． 本题考查了有理数的加减，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：由 ． 故答案为：． 3．加减运算统一成加法，省略加号，再计算 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的加减运算； （1）根据有理数的加减运算法则计算即可； （2）根据有理数的加减运算法则计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 类型一、有理数加法应用——结余问题 1．七年级（1）班一学期班费收支情况如下（收入为正）：元，元，元，元，则该班期末时班费结余为（    ） A．82元 B．85元 C．35元 D．92元 【答案】A 【分析】运用有理数的加法法则处理即可． 【详解】解：（元）； 故选：A 【点睛】本题考查有理数的加减运算；熟练运算法则是解题的关键． 2．下表为张先生家的一张存折的一部分，从表中可知，截至2023年9月2日，此张存折还结余 元． 日期 摘要 存入（+）、取出（－）（元） 余额（元） 20220420 现存 5800 20220620 现取 20230902 现存 【答案】4800 【分析】本题主要考查了有理数加法的应用，根据存取详见即可得出答案． 【详解】解：根据题意：（元）， 故答案为：4800． 3．生活实际应用： 下面是林林家二月份收支情况． 2月8日：妈妈领工资1600元   2月10日：交水电费180元 2月12日：林林买衣服用去60元 2月15日：爸爸领工资2200元 2月18日：去公园游玩用去50元 2月20日：妈妈买衣服用去150元 2月22日：爸爸买书报杂志用去130元 2月28日：本月伙食费合计用去820元 (1)请用正负数的知识填写下表: 日期 2月8日 2月10日 2月12日 2月15日 2月18日 2月20日 2月22日 2月28日 收支情况 +1600 (2)尝试计算林林家2月份的结余． 【答案】(1)填表见解析 (2)林林家2月份的结余2410元 【分析】（1）根据正负数的实际意义填表即可． （2）根据有理数加法的实际意义计算即可． 【详解】（1） 日期 2月8日 2月10日 2月12日 2月15日 2月18日 2月20日 2月22日 2月28日 收支情况 +1600 -180 -60 +2200 -50 -150 -130 -820 （2）元． 答：林林家2月份的结余2410元． 【点睛】本题考查正负数的意义，有理数加法的实际应用．理解本题中正负数的实际意义是解题关键． 类型二、有理数加法应用——温度问题 1．某食品保存的温度是，以下几个温度中，不适合储存这种食品的是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了正数和负数，有理数的加法，熟练掌握运算法则是解题的关键． 根据题意得出温度范围，根据温度范围即可得到答案． 【详解】解：，， 是适合存储这种食品的温度范围是：至， ∵，选项A符合题意； ∵，选项B不符合题意； ∵，选项C不符合题意； ∵，选项D不符合题意； 故选： A． 2．中卫市沙坡头海原县，某一天早晨的温度是，中午上升了，则中午的温度是 ． 【答案】10 【分析】本题考查了有理数加法的应用．温度上升计为正，下降计为负，列出算式后进行有理数的加法运算求解即可． 【详解】解：由题意得： 故答案为：． 3．某地区早晨测得温度为－2℃，中午测量时发现温度上升了5℃，傍晚测量时比中午下降了4℃，画一条数轴，求出傍晚的气温． 【答案】详见解析 【分析】首先计算出傍晚的气温，再画出数轴找到傍晚气温的点即可． 【详解】解：-2+5-4=-1℃ 根据题意画出数轴 【点睛】本题主要考查的是数轴的应用，明确气温上升向右移动，气温下降项左移动是解题的关键． 类型三、有理数加法应用——超过或不足问题 1．2015年4月1日，杜桥镇开通了公共自行车出租服务，每次租车1个小时内免费，若超过1小时，将按以下标准收费：第一个小时为1元，第二个小时为2元，第三个小时及以上，按每小时3元收费，不足1小时按1小时计算，一天收取的费用最高不超过10元．如果小明上午9：00租车，当天11：40还车，那么小明应付租车费（   ） A．1元 B．2元 C．3元 D．6元 【答案】D 【详解】解：由题意得：11：40-9：00=2小时， ∴第一个小时为1元，第二个小时为2元，第三个不足1小时按1小时计算应该交3元， ∴小明应付租车费为：1+2+3=6元， 故选D． 2．我省某校对全校师生进行体温检测．下面是其中8位老师的体温检测结果表（规定：超过规定体温的记为“+”，不足规定体温的记为“-”） 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 体温/℃ 0 （1）用“<”将表中体温数值连接起来： ； （2）已知人的正常体温范围是（包括和），那么这8位老师的体温属于正常范围的有 位． 【答案】 7 【分析】（1）根据体温由低到高的顺序用“<”连接起来即可； （2）分别计算出8位老师的体温，根据人的正常体温范围判断出属于正常范围的人数即可． 【详解】解：（1）根据题意可得，用“<”将表中体温数值连接起来如下：， 故答案为： （2）由题意得，， ， ， ， ， ， ， ， 人的体温范围是（包括和），这8位老师的体温属于正常范围的有7位， 故答案为：7 【点睛】此题考查了比较有理数大小、有理数的加减法等知识，熟练掌握运算法则是解题的关键． 3．有5筐蔬菜，以每筐50千克为准，超过的千克数记为正，不足记为负，称重记录如下：． (1)总计超过或不足多少千克？ (2)5筐蔬菜的总重量是多少千克？ 【答案】(1)总计超过6千克 (2)5筐蔬菜的总重量是256千克 【分析】本题主要考查了有理数加法的实际应用，正负数的实际应用： （1）把所给的称重记录相加，若结果为正，则表示超过，若结果为负，则表示不足，据此求解即可； （2）用5筐蔬菜的标准重量之和加上超过的重量即可得到答案． 【详解】（1）解： ， ∴总计超过6千克； （2）解：千克， ∴5筐蔬菜的总重量是256千克． 类型四、有理数减法应用——水位问题 1．某水库上周日的水位是，下表是该水库一周内水位高低的变化情况（用正数记水位比前一日上升量，用负数记水位比前一日下降量），那么本周水位最低的是（   ） 星期 一 二 三 四 五 六 日 水位变化/ A．星期日 B．星期三 C．星期四 D．星期六 【答案】D 【分析】本题考查了正数，负数，有理数的加减法运算，有理数的大小比较，熟练掌握运算法则是解题的关键. 根据表格中的数据，求出每天的水位，在比较大小即可. 【详解】解：根据题意得， 星期一的水位：； 星期二的水位：； 星期三的水位：； 星期四的水位：； 星期五的水位：； 星期六的水位：； 星期日的水位：； ， 本周水位最低的是星期六， 故选：D. 2．武汉关的设防水位是，以它为基准点，高于的水位用正数表示，比如1998年武汉关的最高水位达到，记作，2025年4月份，武汉关的最高水位是，记作 m． 【答案】 【分析】本题考查了正负数的应用，有理数减法的应用．利用有理数的减法计算即可求解． 【详解】解：∵高于的水位用正数表示， ∴低于的水位用负数表示， ∵， ∴记作， 故答案为：． 3．下表是今年雨季某防汛小组测量的某条河的一周内的水位变化情况：（“”表示水位比前一天上升，“”号表示水位比前一天下降，单位是米） 星期 一 二 三 四 五 六 日 水位变化/米 (1)上周末的水位是73.07米，本周星期一的水位是多少？ (2)在（1）的条件下，本周哪一天河流的水位最高？本周哪一天水位最低？它们位于警戒水位之上还是之下？ (3)与上周末相比，本周末的河流水位是上升了还是下降了，上升了或下降了多少米？ 【答案】(1)73.32米 (2)水位最高的是：周二，位于警戒水位以上；最低的是周六，位于警戒水位以下 (3)上升了米 【分析】本题考查的是正负数的实际应用，有理数的加减混合运算的实际应用，理解题意，列出正确的运算式是解本题的关键． （1）根据周一比上周末上升0.25米，结合正负数的实际意义，列式计算即可； （2）根据非负数的意义分别计算每天的水位，再比较即可； （3）用本周末的水位减去上周末的水位即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得，米 （2）解：周一水位：米， 周二水位：米； 周三水位：米； 周四水位：米： 周五水位：米； 周六水位：米； 周日水位：米， 则水位最高的是：周二，位于警戒水位以上； 最低的是周六，位于警戒水位以下； （3）解：河流水位是上升了，（米）． ∴上升了米． 类型一、新定义问题 1．若a，b都是有理数，定义一种新运算“”，规定，则 的值为（   ） A．2 B．﹣2 C．6 D．﹣6 【答案】B 【分析】把相应的值代入新运算中，然后根据有理数的加减运算法则进行求解即可． 【详解】解： ＝ ＝ ＝﹣2． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了有理数的加法运算法则、新定义运算法则等知识点，正确理解新定义的运算是解答本题的关键． 2．定义新运算：，如．请计算 ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，根据新定义进行计算即可求解． 【详解】解： 故答案为：． 3．阅读下列内容，并完成相关的问题． 小明说：“我定义了一种新的运算，叫*（加乘）”，然后他写出了一些按照*（加乘）运算的运算法则进行了运算的算式：；；；；；； 小亮看了这些算式后说：“我知道你定义的*（加乘）运算的运算法则了”． 聪明的你也明白了吗？ (1)模仿计算：__________；__________；__________；__________； (2)拓展计算：；（括号的作用与它在有理数运算中的作用一致） 我们知道加法有交换律和结合律，这两种运算律在有理数的*（加乘）运算中还适用吗？请你选择加法结合律，判断它在*（加乘）运算中是否适用，并举一个例子验证． 【答案】(1)；；12； (2)；加法的交换律仍然适用；结合律不适用；验证见解析 【分析】（1）首先根据（加乘）运算的运算法则进行运算的算式，归纳出（加乘）运算的运算法则，根据：；，可得：0和任何数进行（加乘）运算，或任何数和0进行（加乘）运算，等于这个数的绝对值，然后逐项进行计算即可； （2）根据（1）中总结出的（加乘）运算的运算法则，以及有理数的混合运算的运算方法，求出的值是多少即可．加法有交换律和结合律，交换律在有理数的（加乘）运算中还适用，结合律不适用，并举例验证加法交换律适用即可． 【详解】（1）解：根据题意可得：两数进行（加乘）运算时，同号得正、异号得负，并把绝对值相加．特别地，0和任何数进行（加乘）运算，或任何数和0进行（加乘）运算，都得这个数的绝对值， ∴； ； ； ； （2）解： ； 加法的交换律仍然适用， 例如：，， ∴， 故加法的交换律仍然适用． 结合律不适用， 举例：，， ， ∴结合律不适用． 【点睛】此题主要考查了定义新运算，以及有理数的混合运算，要熟练掌握，注意明确有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算，注意加法运算定律的应用． 类型二、拆项法 1．甲、乙两人用简便方法进行计算的过程如下所示，下列判断正确的是（   ） 甲：； 乙： A．甲、乙都正确 B．甲、乙都不正确 C．只有甲正确 D．只有乙正确 【答案】A 【分析】此题考查了有理数的混合运算，解题的关键是熟练掌握有理数加减的运算法则．由有理数的加减的运算法则和加法交换律进行计算，即可进行判断． 【详解】解： ，故甲正确； ，故乙正确． 故选A． 2．我们把分子为1的负分数叫做单位负分数，如，，…，任何一个单位负分数都可以拆分成两个不同的单位负分数的和，如；，……，观察上述式子，把表示为两个单位负分数之和应为 . 【答案】 【分析】根据题意，寻找规律得出答案即可 【详解】通过观察，，我们发现：，以此得出： 所以答案为 【点睛】本题主要考查了有理数之间规律总结的能力，仔细读题发现规律是解题关键 3．阅读下面文字： 对于，可以按如下方法计算： 原式 上面这种方法叫做拆项法，仿照上面的方法，请你计算： 【答案】 【分析】本题考查有理数的加法运算，根据题干给定的方法，利用拆项法进行计算即可． 【详解】解：原式 ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.1—2.2 有理数的加、减法 一、有理数的加法 1.加法法则： （1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。 （2）异号两数相加，绝对值相等时和为0；绝对值不等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。 （3）一个数与0相加，仍得这个数。 2.运算律： 加法满足交换律和结合律，即a+b=b+a，(a+b)+c=a+(b+c)。 二、有理数的减法 减去一个数等于加上这个数的相反数，即a-b=a+(-b)。 巩固课内例1:有理数加法运算 1．计算（   ） A． B． C．-3 D．3 2．计算： ， ， ． 3．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 巩固课内例2:有理数的加法应用——气温问题 1．某地一天中午的气温是，过了5h气温上升了，则这时的气温是（    ） A． B． C． D． 2．盐城冬季某日上午5时的气温是零下3摄氏度，记作( )摄氏度，到中午12时气温上升了7摄氏度，这时气温是( )摄氏度． 3．某旅游景点某天12：00的气温是5°C，从午后开始，气温持续下降，夜间测得某时刻的气温已经下降到–1°C，如果平均每4h气温下降3°C，则此刻的时间是几点？ 巩固课内例3:有理数加法运算律 1．小明同学在解题时，将式子变成后再进行计算，该同学运用了（   ） A．加法交换律 B．加法结合律 C．加法交换律和结合律 D．乘法分配律 2．（1）加法交换律： ， 例： ； （2）加法结合律：( )， 例：[ ]． 3．计算： (1)； (2)； (3)． 巩固课内例4:有理数加法运算律的应用——行驶问题 1．一辆巡逻车从A地出发，在东西向的马路上巡视，中午到达B地，若规定向东行驶为正，向西行驶为负，行驶纪录如下表（单位：千米），则巡逻车在巡逻过程中，离开A地最远是（　　）千米． 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 第六次 第七次 +10 ﹣2 +5 +12 ﹣3 +2 ﹣10 A．44 B．14 C．25 D．都不对 2．某公路养护小组乘车沿公路（南北方向，以北为正方向）巡视维护，某天早晨从地出发，先向北行驶了，向南行驶了，又向北行驶了，向南行驶了，又向北行驶了，最后向南行驶了到达处．地在地的 处． 3．某公路养护小组乘车沿一条南北向公路巡视养护，某天早晨他们从地出发，晚上最终到达地．约定向北为正方向，当天汽车的行驶记录（单位：）如下：，，，，，，，．假设汽车在同一行驶记录下是单向行驶． (1)地在地的哪个方向？它们相距多少千米？ (2)如果汽车行驶平均耗油，那么这天汽车共耗油多少升？ 巩固课内例5:有理数减法运算 1．计算的结果等于（   ） A．－1 B．1 C．－5 D．5 2． ， ． 3．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 巩固课内例6:有理数减法应用——海拔问题 1．甲、乙、丙三地的海拔分别为，，，那么最高的地方比最低的地方高（    ） A． B． C． D． 2．珠穆朗玛峰海拔约8849米，吐鲁番盆地最低处海拔约为米，两地的相对高度（即山峰最高处比盆地最低处高）是 米． 3．已知甲地海拔是300米，乙地海拔是米，丙地比甲地低50米，丁地比乙地高50米，求： (1)丙地海拔为多少？丁地海拔为多少？ (2)哪个地方最高，哪个地方最低？ (3)最高处比最低处高多少米？ 巩固课内例7:有理数加减混合运算 1．把统一为加法运算，正确的是（   ） A． B． C． D． 2．计算： ． 3．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 巩固课内例8:有理数加减混合运算应用——收入支出问题 1．手机移动支付给生活带来便捷，如图是小陈某天微信账单的全部收支明细（正数表示收入，负数表示支出，单位：元），小陈当天微信收支的最终结果是（　　） A．收入50元 B．支出40元 C．收入10元 D．支出10元 2．小食堂会计铁锤妹妹某天办理以下业务：支出120元，收入300元，支出230元，收入150元，支出70元，收入5元，则食堂这一天共收入 元． 3．财商教育有助于培养孩子的独立生活能力和积极向上的价值观、社会责任感．小昆在妈妈的协助下，通过售卖废报纸、饮料瓶，转卖二手书，义卖闲置物品等方式获得一定收入，并用于购买学习用具和一些日常所需品．为了更好的理财，他每周做一次收支记录，其中一个月的收入和支出记录如下（收入用“”，支出用“”，单位：元）： ，，，，，，，． (1)小昆这个月是超支了还是有结余？如果超支，超支了多少？如果结余，结余了多少？ (2)若规定：收入元，支出元，经手金额为元，则小昆这个月经手总金额离元超过或不足多少元？ 类型一、有理数加减简便运算 1．小梦在计算时，中可以填入的使该题用简便方法进行计算的数值为（   ） A． B． C． D． 2．利用加法运算律，将写成 ，可使运算简便. 3．用运算律简便计算： (1)； (2)． 类型二、列算式求数 1．在“”里填上一个数，使式子用运算律进行简便计算，则这个数可能是（    ） A． B． C． D． 2．黑板上写着7个数，分别为：，a，1，21，b，0，，它们的和是．若每次从中任意擦除两个数，同时写上一个新数（新数为所擦除的两个数的和加1），这样操作若干次，直至黑板上只剩下一个数，则所剩下的这个数是 ． 3．一个数与的和减去等于，求这个数． 类型三、省略加号和的形式 1．不改变原式的值，把写成省略加号与括号的和的形式为 （    ） A． B． C． D． 2．将写成省略括号和加号的形式 ． 3．加减运算统一成加法，省略加号，再计算 (1) (2) 类型一、有理数加法应用——结余问题 1．七年级（1）班一学期班费收支情况如下（收入为正）：元，元，元，元，则该班期末时班费结余为（    ） A．82元 B．85元 C．35元 D．92元 2．下表为张先生家的一张存折的一部分，从表中可知，截至2023年9月2日，此张存折还结余 元． 日期 摘要 存入（+）、取出（－）（元） 余额（元） 20220420 现存 5800 20220620 现取 20230902 现存 3．生活实际应用： 下面是林林家二月份收支情况． 2月8日：妈妈领工资1600元   2月10日：交水电费180元 2月12日：林林买衣服用去60元 2月15日：爸爸领工资2200元 2月18日：去公园游玩用去50元 2月20日：妈妈买衣服用去150元 2月22日：爸爸买书报杂志用去130元 2月28日：本月伙食费合计用去820元 (1)请用正负数的知识填写下表: 日期 2月8日 2月10日 2月12日 2月15日 2月18日 2月20日 2月22日 2月28日 收支情况 +1600 (2)尝试计算林林家2月份的结余． 类型二、有理数加法应用——温度问题 1．某食品保存的温度是，以下几个温度中，不适合储存这种食品的是（  ） A． B． C． D． 2．中卫市沙坡头海原县，某一天早晨的温度是，中午上升了，则中午的温度是 ． 3．某地区早晨测得温度为－2℃，中午测量时发现温度上升了5℃，傍晚测量时比中午下降了4℃，画一条数轴，求出傍晚的气温． 类型三、有理数加法应用——超过或不足问题 1．2015年4月1日，杜桥镇开通了公共自行车出租服务，每次租车1个小时内免费，若超过1小时，将按以下标准收费：第一个小时为1元，第二个小时为2元，第三个小时及以上，按每小时3元收费，不足1小时按1小时计算，一天收取的费用最高不超过10元．如果小明上午9：00租车，当天11：40还车，那么小明应付租车费（   ） A．1元 B．2元 C．3元 D．6元 2．我省某校对全校师生进行体温检测．下面是其中8位老师的体温检测结果表（规定：超过规定体温的记为“+”，不足规定体温的记为“-”） 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 体温/℃ 0 （1）用“<”将表中体温数值连接起来： ； （2）已知人的正常体温范围是（包括和），那么这8位老师的体温属于正常范围的有 位． 3．有5筐蔬菜，以每筐50千克为准，超过的千克数记为正，不足记为负，称重记录如下：． (1)总计超过或不足多少千克？ (2)5筐蔬菜的总重量是多少千克？ 类型四、有理数减法应用——水位问题 1．某水库上周日的水位是，下表是该水库一周内水位高低的变化情况（用正数记水位比前一日上升量，用负数记水位比前一日下降量），那么本周水位最低的是（   ） 星期 一 二 三 四 五 六 日 水位变化/ A．星期日 B．星期三 C．星期四 D．星期六 2．武汉关的设防水位是，以它为基准点，高于的水位用正数表示，比如1998年武汉关的最高水位达到，记作，2025年4月份，武汉关的最高水位是，记作 m． 3．下表是今年雨季某防汛小组测量的某条河的一周内的水位变化情况：（“”表示水位比前一天上升，“”号表示水位比前一天下降，单位是米） 星期 一 二 三 四 五 六 日 水位变化/米 (1)上周末的水位是73.07米，本周星期一的水位是多少？ (2)在（1）的条件下，本周哪一天河流的水位最高？本周哪一天水位最低？它们位于警戒水位之上还是之下？ (3)与上周末相比，本周末的河流水位是上升了还是下降了，上升了或下降了多少米？ 类型一、新定义问题 1．若a，b都是有理数，定义一种新运算“”，规定，则 的值为（   ） A．2 B．﹣2 C．6 D．﹣6 2．定义新运算：，如．请计算 ． 3．阅读下列内容，并完成相关的问题． 小明说：“我定义了一种新的运算，叫*（加乘）”，然后他写出了一些按照*（加乘）运算的运算法则进行了运算的算式：；；；；；； 小亮看了这些算式后说：“我知道你定义的*（加乘）运算的运算法则了”． 聪明的你也明白了吗？ (1)模仿计算：__________；__________；__________；__________； (2)拓展计算：；（括号的作用与它在有理数运算中的作用一致） 我们知道加法有交换律和结合律，这两种运算律在有理数的*（加乘）运算中还适用吗？请你选择加法结合律，判断它在*（加乘）运算中是否适用，并举一个例子验证． 类型二、拆项法 1．甲、乙两人用简便方法进行计算的过程如下所示，下列判断正确的是（   ） 甲：； 乙： A．甲、乙都正确 B．甲、乙都不正确 C．只有甲正确 D．只有乙正确 2．我们把分子为1的负分数叫做单位负分数，如，，…，任何一个单位负分数都可以拆分成两个不同的单位负分数的和，如；，……，观察上述式子，把表示为两个单位负分数之和应为 . 3．阅读下面文字： 对于，可以按如下方法计算： 原式 上面这种方法叫做拆项法，仿照上面的方法，请你计算： 1 学科网（北京）股份有限公司 $$