1.1—1.2 从自然数到有理数 数轴 考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练-2025-2026学年七年级数学上册（浙教版2024新教材）

1.1—1.2 从自然数到有理数 数轴 从自然数到有理数 一、理解相反意义的量 掌握利用正负数来表示具有相反意义的量。例如，为了表示具有相反意义的量，可以把一种意义的量规定为正，用大于0的数来表示，如6、13、135等，这样的数叫做正数；在大于0的数前面放上负号“-”来表示负数，如-0.5、-6等。需要注意的是，0既不是正数也不是负数。 二、有理数的概念及分类 1、正整数：如1、2、3、4等。 2、负整数：如-1、-2、-3、-4等。 3、正分数和负分数：分数也可以看作有理数的一部分，它们分别表示正的有理数和负的有理数中的一部分。 整数和分数统称为有理数。 数轴 1、数轴的定义：规定了原点、单位长度和正方向的直线叫做数轴。 2、数轴的画法：画一条直线（一般画成水平的），在直线上任取一点O作为原点，表示数0；规定直线的一个方向（一般取从左到右的方向）为正方向，用箭头表示，相反的方向为负方向；再取适当的长度为单位长度。 3、数轴三要素：原点、单位长度、正方向。 4、数轴特点：任何一个有理数都可以用数轴上的点表示；如果两个数只有符号不同，那么称其中一个数为另一个数的相反数，也称这两个数互为相反数，0的相反数是0。在数轴上，表示互为相反数（0除外）的两个点，位于原点的两侧，并且到原点的距离相等。 巩固课内例1:收支问题 1．生活情境·收支记账  坚持家庭记账能让我们掌握自己的支出情况，帮助我们控制支出、理性消费，提高我们的收支结余，为我们投资理财提供足够的资金．若收入600元记作元，则支出800元可记作（   ） A．元 B．0元 C．元 D．元 2．坚持家庭记账能让我们掌握自己的支出情况，帮助我们控制支出、理性消费，提高我们的收支结余，为我们投资理财提供足够的资金．若收入600元记作元，则支出800元可记作 元． 3．萌萌帮家庭记录6个月的生活收支账目如下表（用正数表示收入，用负数表示支出，单位：万元）． 时间 1月 2月 3月 4月 5月 6月 收入 支出 (1)萌萌家月支出最大的是哪个月？ (2)萌萌家6个月的总收入和总支出各是多少万元？ (3)萌萌家平均每月的支出是多少万元？ 巩固课内例2:有理数分类 1．下列7个数，，，，0，，，（每两个2之间依次多一个6），其中有理数有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 2．在中，负数有 个． 3．把下列各数填在相应的括号内： ． 正有理数集合{              ．．．}； 负有理数集合{             ．．．}； 整数集合{                ．．．}； 正分数集合{               ．．．}． 巩固课内例3:在数轴上的点表示的数为 1．如图，数轴上被墨水遮盖的数可能为（   ） A． B． C． D． 2．下图中，如果A点表示0，点表示1，则点表示 ；如果点表示0，点表示1，则A点表示 ． 3．有理数在数轴上的位置如图所示： (1)请在数轴上标出； (2)比较的大小（用“”将它们连接起来）． 巩固课内例4:在数轴上表示数 1．如图，数轴上表示数3的相反数的点是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 2．如图，若点表示，那么点表示 ． 3．如图所示数轴． (1)写出数轴上A，B，C各点分别表示的有理数： (2)在数轴上把下列各数分别表示出来：，，； (3)用“”将（1）、（2）中的六个数由小到大连接起来． 类型一、相反意义的量 1．我国古代著作《九章算术》在世界数学史上首次正式引入负数，若气温升高时，气温变化记作，那么气温下降时，气温变化记作（    ） A． B． C． D． 2．微信钱包零钱明细收入100元记作元，那么支出75元记作 元． 3．（1）仓库运进、运出物品均需登记．某仓库运进面粉7吨，记为，那么运出面粉应记为 ． （2）在知识抢答中，如果用表示得10分，那么扣20分表示为 ． （3）规定：表示向右移动2，记作，则表示向左移动3，记作 ． 类型二、正负数的定义 1．在，2.5，，0，中负数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．下列各数，，，，，，中，负数有 个． 3．把下列各有理数填在相应的集合内：，5，，，，0，，． 正有理数集合：｛                          …｝； 负有理数集合：｛                          …｝． 类型三、相反数的定义 1．的相反数是（    ） A． B． C． D． 2．2025的相反数是 ． 3．分别写出下列各数的相反数：． 类型四、“0”的意义 1．下列叙述中，正确的是（    ） A．0既不是正数也不是负数 B．0是正数 C．0是负数 D．0不是整数 2．正数：比 大的数；负数：在正数前面加上 的数， 既不是正数，也不是负数． 3．请写四句话，说明数“零”（0）的数学特性．（例：0是绝对值最小的数．例句除外） 类型五、数轴三要素 1．下面是几名同学画的数轴，正确的是（    ） A． B． C． D． 2．下列说法： ①数轴上的点只能表示整数； ②数轴是一条线段； ③数轴上的一个点只能表示一个数； ④数轴上找不到既不表示正数，又不表示负数的点； ⑤数轴上的点所表示的数都是有理数． 其中正确的有 个． 3．把下面的直线补充成一条数轴，然后在数轴上标出下列各数，并用“”将下列各数连接起来． ，，0， 类型一、某数的实际意义 1．小亮同学在机器人编程课上为机器人编写程序，如果把向东走记作，那么表示的实际意义是（   ） A．机器人向东走 B．机器人向南走 C．机器人向西走 D．机器人向北走 2．《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是：今有两数若其意义相反，则分别叫做正数与负数．若水位上升，记作，则的实际意义是 ． 3．聪聪和慧慧为了合理计划自己的开支，每天坚持记录自己当天的收支情况如下表，是她们上周各天收支情况（记收入为正，单位：元） 一 二 三 四 五 六 日 结余 聪聪 10 －5.20 0 －4.80 5 －3 －2 慧慧 8 0 0 －6 －1 0 0 根据上表回答下列问题： (1)分别说出聪聪这一行中10，0，－2各数的实际意义． (2)把上表补充完整． 类型二、点与点在数轴上的距离 1．将一刻度尺如图贴放，刻度尺上“”和“”对应的数分别是和，那么的值为（    ） A．8 B．7 C．6 D．5 2．如图，A，B，C是数轴上的三个点，点C在点B的右侧，点A，B表示的数分别是1，3，若，则点C表示的数是 ． 3．如图，数轴上，两点对应的有理数分别为和，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴负方向运动，点同时从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴正方向运动，设运动时间为秒． (1)当时，数轴上的点、表示的数分别是______和______； (2)当时，求、两点间的距离； (3)在运动过程中是否存在时间使、两点间的距离与、两点间的距离相等，若存在，请求出此时t的值，若不存在，请说明理由． 类型三、化简多重符号 1．下列各数中的值与相等的是（   ） A． B． C． D． 2．化简： ． 3．化简下列各数： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 类型一、算筹问题 1．中国人很早就开始使用负数，最早记载负数的是我国古代的数学著作《九章算术》，在算筹中规定“正算赤，负算黑”．那么的相反数是（　　） A． B．2023 C． D． 2．成语“运筹帷幄”中“筹”的原意是指《孙子算经》中记载的“算筹”．算筹是中国古代用来进行计算的工具，它是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算，算筹的摆放形式有纵、横两种形式（如图）．当表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的算筹需要纵、横相间：个位，百位，万位数用纵式表示：十位，千位，十万位数用横式表示：“0”用空位来代替，以此类推，如：数3306用算筹表示成．用算筹 表示的数是 ． 3．小明制作了一种算筹，最长的算筹代表10，次之代表5，最短的为1，分别表示过去5天他每天骑行的距离．以为标准，超过或不足的部分分别用正数、负数表示，根据下图，请计算出小明每天的骑行距离分别为多少？    类型二、点的平移 1．点为数轴上表示的点，将点沿数轴向右平移个单位到点，则用含有的代数式表示对应的数是（　　） A． B． C．2 D． 2．已知是数轴上的一个点，把向左移动4个单位后，这时它到原点的距离是5个单位，则点表示的数是 ． 3．如图，在数轴上有三点，请回答下列问题． (1)将点B向左移动4个单位长度后，点_______所表示的数最小，是_______； (2)将点A向右移动3个单位长度后，点_______所表示的数最小，是_______； (3)将点C向左移动6个单位长度后，点B所表示的数比点C所表示的数大_______； (4)怎样移动中的两个点，才能使三个点表示的数相同？有几种移动方法？ 类型三、正负数的实际应用 1．某袋饼干标签上写着“净含量：（）克”，以下4袋饼干中不合格的是（ ）． A．145克 B．148克 C．150克 D．160克 2．某校举行“趣味运动会”，其中有一项目为“接棒过桥”，具体规则为：每组四人手持接力棒过一座独木桥，接力棒只有1根，每次过桥时最多允许两人同时握住接力棒出发（记过桥较慢的人的时间），要求不论去程或者返程时必须有接力棒，当四人全部过桥后记为游戏结束． 已知某组的甲，乙，丙，丁四位同学单独过桥所需时间（单位：分钟）分别为1，2，3，5，请写出一种该组同学完成项目可能需要的时间为 分钟，该组同学完成项目所需的最短时间为 分钟． 3．如图1，一只甲虫在的方格（每小格边长为1）上沿着网格线运动．它从A处出发去看望B、C、D处的其它甲虫，规定：向上向右走为正，向下向左走为负．如果从A到B记为：；从C到D记为：．其中第一个数表示左右方向，第二个数表示上下方向，那么图中    (1)（　　，　　），（ ，　　）； (2)若这只甲虫的行走路线为，请计算该甲虫走过的路程； (3)假如这只甲虫从A处去甲虫P处的行走路线依次为，，，请在图2中标出P的位置． 类型四、相反数的应用 1．小梦做题时，画了一个数轴，在数轴上原有一个点，其表示的数是，由于粗心，小梦把数轴的原点标错了位置，使点正好落在了的相反数的位置，要把数轴画正确，原点应（　　） A．向右移6个单位长度 B．向右移3个单位长度 C．向左移6个单位长度 D．向左移3个单位长度 2．一个数a在数轴上表示的点是A，当点A在数轴上向左移动了6个单位长度后到点B，点A与点B表示的数恰好互为相反数，则数a是 ． 3．如图，1个单位长度表示1，观察图形，回答问题： (1)若点与点所表示的数互为相反数，则点所表示的数为_________； (2)若点A与点所表示的数互为相反数，则点所表示的数是多少？ (3)若点与点所表示的数互为相反数，则点所表示的数的相反数是多少？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.1—1.2 从自然数到有理数 数轴 从自然数到有理数 一、理解相反意义的量 掌握利用正负数来表示具有相反意义的量。例如，为了表示具有相反意义的量，可以把一种意义的量规定为正，用大于0的数来表示，如6、13、135等，这样的数叫做正数；在大于0的数前面放上负号“-”来表示负数，如-0.5、-6等。需要注意的是，0既不是正数也不是负数。 二、有理数的概念及分类 1、正整数：如1、2、3、4等。 2、负整数：如-1、-2、-3、-4等。 3、正分数和负分数：分数也可以看作有理数的一部分，它们分别表示正的有理数和负的有理数中的一部分。 整数和分数统称为有理数。 数轴 1、数轴的定义：规定了原点、单位长度和正方向的直线叫做数轴。 2、数轴的画法：画一条直线（一般画成水平的），在直线上任取一点O作为原点，表示数0；规定直线的一个方向（一般取从左到右的方向）为正方向，用箭头表示，相反的方向为负方向；再取适当的长度为单位长度。 3、数轴三要素：原点、单位长度、正方向。 4、数轴特点：任何一个有理数都可以用数轴上的点表示；如果两个数只有符号不同，那么称其中一个数为另一个数的相反数，也称这两个数互为相反数，0的相反数是0。在数轴上，表示互为相反数（0除外）的两个点，位于原点的两侧，并且到原点的距离相等。 巩固课内例1:收支问题 1．生活情境·收支记账  坚持家庭记账能让我们掌握自己的支出情况，帮助我们控制支出、理性消费，提高我们的收支结余，为我们投资理财提供足够的资金．若收入600元记作元，则支出800元可记作（   ） A．元 B．0元 C．元 D．元 【答案】A 【分析】本题主要考查了正数和负数的意义，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量，在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示，比较简单． 首先审清题意，明确“正”和“负”所表示的意义，再根据题意作答． 【详解】解：若收入600元记作元，则支出800元可记作元， 故选：A． 2．坚持家庭记账能让我们掌握自己的支出情况，帮助我们控制支出、理性消费，提高我们的收支结余，为我们投资理财提供足够的资金．若收入600元记作元，则支出800元可记作 元． 【答案】 【分析】本题主要考查了正数和负数的意义，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量，在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示，比较简单． 首先审清题意，明确“正”和“负”所表示的意义，再根据题意作答． 【详解】解：若收入600元记作元，则支出800元可记作元， 故答案为：． 3．萌萌帮家庭记录6个月的生活收支账目如下表（用正数表示收入，用负数表示支出，单位：万元）． 时间 1月 2月 3月 4月 5月 6月 收入 支出 (1)萌萌家月支出最大的是哪个月？ (2)萌萌家6个月的总收入和总支出各是多少万元？ (3)萌萌家平均每月的支出是多少万元？ 【答案】(1)一月份支出最大 (2)总收入：（万元）；总支出：（万元） (3)（万元） 【分析】本题考查了正数和负数，相反意义的量用正数和负数表示，利用了有理数的加法运算． （1）根据有理数的大小比较，可得答案； （2）根据有理数的加法运算，可得答案 （3）根据有理数的加法运算，可得总支出，根据有理数的除法，可得平均支出． 【详解】（1）， 故一月份支出最大； （2）总收入为：（万元）， 总支出为：（万元） （3）平均支出：（万元）． 巩固课内例2:有理数分类 1．下列7个数，，，，0，，，（每两个2之间依次多一个6），其中有理数有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的概念，解题的关键是根据有理数的定义（整数和分数，即有限小数或无限循环小数），逐一判断各数是否属于有理数． 【详解】解：，，，0，，，（每两个2之间依次多一个6）中， ：分数形式，属于有理数． 1.010010001：有限小数，属于有理数． ：分数形式，化为小数是无限循环小数，属于有理数． 0：整数，属于有理数． ：整数，属于有理数． ：有限小数，属于有理数． （每两个2之间依次多一个6）：虽然有一定规律，但无限不循环，属于无理数． 综上，前6个数均为有理数，共， 故选：D． 2．在中，负数有 个． 【答案】3 【分析】此题考查了有理数的分类，根据负数是小于0的数进行解答即可． 【详解】解：在中，负数有，共3个． 故答案为：3． 3．把下列各数填在相应的括号内： ． 正有理数集合{              ．．．}； 负有理数集合{             ．．．}； 整数集合{                ．．．}； 正分数集合{               ．．．}． 【答案】见详解 【分析】此题考查了有理数的分类．根据有理数的分类方法进行解答即可． 【详解】解：， 正有理数集合{．．．}； 负有理数集合{．．．}； 整数集合{．．．}； 正分数集合{．．．}． 巩固课内例3:在数轴上的点表示的数为 1．如图，数轴上被墨水遮盖的数可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了有理数与数轴，由数轴可知被遮住的数大于且小于，据此可得答案． 【详解】解：由数轴可知被遮住的数大于且小于，则四个选项中只有A选项中的数符合题意， 故选：A． 2．下图中，如果A点表示0，点表示1，则点表示 ；如果点表示0，点表示1，则A点表示 ． 【答案】 1.5 【分析】本题考查了数轴的认识，结合正负数知识解答即可． 根据图示，结合数轴知识，如果A点表示0，E点表示1，则每个小格表示0.25，所以G点表示1.5；如果D点表示0，G点表示1，结合正负数知识可知A点表示． 【详解】解：如果A点表示0，E点表示1，则G点表示1.5； 如果D点表示0，G点表示1， 由图知： 所以A点表示． 故答案为：1.5；． 3．有理数在数轴上的位置如图所示： (1)请在数轴上标出； (2)比较的大小（用“”将它们连接起来）． 【答案】(1)画数轴见解析 (2) 【分析】本题考查在数轴上表示有理数、利用数轴比较有理数大小，涉及相反数的性质等知识，熟练掌握数轴性质是解决问题的关键． （1）由相反数性质，互为相反数的两个数关于原点对称，直接根据有理数在数轴上的位置即可得到的位置； （2）利用数轴性质：数轴上的有理数，右边的数大于左边的数比较大小即可得到答案． 【详解】（1）解：是有理数的相反数， 根据互为相反数的两个数关于原点对称，在数轴上表示如图所示： （2）解：如图所示： 由数轴性质比较有理数大小得到 巩固课内例4:在数轴上表示数 1．如图，数轴上表示数3的相反数的点是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】A 【分析】本题考查了相反数及数轴上的点表示的数，根据只有符号不同的两个数互为相反数及数轴上的点表示有理数，即可得出结果，熟练掌握相反数的定义是解题的关键． 【详解】解：∵3的相反数为， ∴数轴上表示数3的相反数的点是点, 故选：A． 2．如图，若点表示，那么点表示 ． 【答案】 【分析】本题考查数轴，掌握相关定义是解决问题的关键．在数轴上，0的右边是正数，0的左边是负数。 由A点表示，可得到每格表示的数，从而得出B点表示的数，注意用负数表示． 【详解】解：每格表示：， B点在0的左边第4格处，， 若A点表示，那么B点表示． 故答案为：． 3．如图所示数轴． (1)写出数轴上A，B，C各点分别表示的有理数： (2)在数轴上把下列各数分别表示出来：，，； (3)用“”将（1）、（2）中的六个数由小到大连接起来． 【答案】(1)，0，2 (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据数轴的意义，写出有理数即可： （2）根据数轴的意义，，再数轴上表示出来即可； （3）根据数轴上，靠近右边的数大于其左边的数，解答即可． 本题考查了数轴上表示有理数，多重符号化简，数轴上有理数的大小比较，正确理解大小比较的原则是解题的关键． 【详解】（1）解：根据数轴的意义，得数轴上A，B，C各点分别表示的有理数为：，0，2． （2）解：，数轴表示如下： （3）解：根据题意，得． 类型一、相反意义的量 1．我国古代著作《九章算术》在世界数学史上首次正式引入负数，若气温升高时，气温变化记作，那么气温下降时，气温变化记作（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查正负数的实际应用，明确“正”和“负”表示相反意义的量是关键，根据题意，气温升高用正数表示，则气温下降应用负数表示，数值为变化的度数． 【详解】解：根据题意，气温升高记作，说明“升高”与“下降”是相反意义的量， 因此，气温下降时，气温变化应记作， 故选：B． 2．微信钱包零钱明细收入100元记作元，那么支出75元记作 元． 【答案】 【分析】本题考查正负数的实际意义，根据正负数表示一对意义相反的量，收入为正，则支出为负，进行作答即可． 【详解】解：由题意，支出75元记作元； 故答案为：． 3．（1）仓库运进、运出物品均需登记．某仓库运进面粉7吨，记为，那么运出面粉应记为 ． （2）在知识抢答中，如果用表示得10分，那么扣20分表示为 ． （3）规定：表示向右移动2，记作，则表示向左移动3，记作 ． 【答案】，， 【分析】本题考查的是正负数，具有相反意义的量，规定一方即为正，另一方即为负．根据此逐项求解即可． 【详解】解：具有相反意义的量，规定一方即为正，另一方即为负， ∵运进面粉7吨，记为， ∴运出面粉应记为， 故答案为：； ∵表示得10分， ∴扣20分表示为， 故答案为：； ∵表示向右移动2，记作， ∴表示向左移动3，记作， 故答案为：． 类型二、正负数的定义 1．在，2.5，，0，中负数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了对正数和负数定义的理解．根据正数和负数的定义判断即可，注意：0既不是负数也不是正数． 【详解】解：，，是负数； ，，是正数； 0既不是正数，也不是负数； ∴负数有，，共2个． 故选：B． 2．下列各数，，，，，，中，负数有 个． 【答案】 【分析】本题考查了正负数概念，根据负数的定义判断即可，熟知负数小于是解题的关键． 【详解】解：数，，，，，，中，负数有，，，共个， 故答案为：． 3．把下列各有理数填在相应的集合内：，5，，，，0，，． 正有理数集合：｛                          …｝； 负有理数集合：｛                          …｝． 【答案】正有理数集合：｛5，，，…｝；负有理数集合：｛，，…｝ 【分析】本题主要考查有理数的分类，根据有理数的分类及正负数定义即可得出答案． 【详解】解：正有理数集合：{5，，，…}． 负有理数集合：{，，…}． 类型三、相反数的定义 1．的相反数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了相反数的定义，只有符号不同的两个数互为相反数，进行求解即可． 【详解】解： 的相反数是， 故选：A． 2．2025的相反数是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了求一个数的相反数，只有符号不同的两个数互为相反数，据此可得答案． 【详解】解：2025的相反数是， 故答案为：． 3．分别写出下列各数的相反数：． 【答案】，0， 【分析】本题考查了相反数的定义，解答本题的关键是熟练掌握相反数的定义，只有符号不同的两个数是互为相反数，其中一个数是另一个数的相反数，正数的相反数是负数，0的相反数是0，负数的相反数是正数． 【详解】解：的相反数分别是，0，． 类型四、“0”的意义 1．下列叙述中，正确的是（    ） A．0既不是正数也不是负数 B．0是正数 C．0是负数 D．0不是整数 【答案】A 【分析】本题考查了的意义，有理数的分类，根据的意义逐项分析判断即可求解． 【详解】解：0既不是正数也不是负数，是整数 故选：A． 2．正数：比 大的数；负数：在正数前面加上 的数， 既不是正数，也不是负数． 【答案】 0 负号 0 【分析】根据有理数的有关概念判断即可． 【详解】解：根据题意， 正数：比0大的数；负数：在正数前面加上负号的数，0既不是正数，也不是负数． 故答案为：0，负号，0 【点睛】本题考查了有理数，解题的关键是掌握有理数的定义进行判断． 3．请写四句话，说明数“零”（0）的数学特性．（例：0是绝对值最小的数．例句除外） 【答案】见解析 【分析】根据题意可以写出零的数学特性，本题得以解决． 【详解】解：①零既不是正数也不是负数； ②零小于正数，大于负数； ③零不能做分母； ④零是最小的非负数； ⑤零的相反数是零; ⑥任何不为零的数的零次幂为1； ⑦零乘以任何数都是零等． 【点睛】本题考查有理数，解题的关键是明确题意，可以仿照例句写出关于零的别的数学特性． 类型五、数轴三要素 1．下面是几名同学画的数轴，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查数轴的画法，掌握数轴三要素的解题关键． 根据数轴三要素：原点、正方向、单位长度，即可判断． 【详解】解：数轴三要素：原点、正方向、单位长度，则： A选项，满足三要素，符合题意； B选项，单位长度不一致，不符合题意； C选项，没有原点，不符合题意； D选项，没有正方向，不符合题意． 故选：A． 2．下列说法： ①数轴上的点只能表示整数； ②数轴是一条线段； ③数轴上的一个点只能表示一个数； ④数轴上找不到既不表示正数，又不表示负数的点； ⑤数轴上的点所表示的数都是有理数． 其中正确的有 个． 【答案】1 【分析】本题考查了数轴相关定义，掌握数轴的定义以及在数轴上的点的意义是解题的关键．一条规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴． 根据数轴的定义，用数轴上的点表示有理数，逐项分析判断即可得到答案． 【详解】解：①数轴上的点能表示整数，也能表示分数，故①不正确； ②数轴是一条直线，故②不正确； ③数轴上的一个点只能表示一个数，故③正确； ④数轴上能找到既不表示正数，又不表示负数的点即原点，它表示0，故④不正确； ⑤数轴上的点所表示的数不一定都是有理数，故⑤不正确． 故正确的有③，共1个 故答案为：1 3．把下面的直线补充成一条数轴，然后在数轴上标出下列各数，并用“”将下列各数连接起来． ，，0， 【答案】见详解； 【分析】本题主要考查画数轴，用数轴上的数表示有理数，根据数轴比较有理数的大小，先把数轴补充完整，把有理数表示在数轴上，再利用数轴表示出有理数的大小即可． 【详解】解：数轴上表示各数如下： 根据数轴可知：． 类型一、某数的实际意义 1．小亮同学在机器人编程课上为机器人编写程序，如果把向东走记作，那么表示的实际意义是（   ） A．机器人向东走 B．机器人向南走 C．机器人向西走 D．机器人向北走 【答案】C 【分析】本题考查正负数的实际意义，根据正负数表示一对相反意义的量，向东走为正，则向西走为负，进行表示即可． 【详解】解：把向东走记作，那么表示的实际意义是机器人向西走； 故选C． 2．《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是：今有两数若其意义相反，则分别叫做正数与负数．若水位上升，记作，则的实际意义是 ． 【答案】水位下降 【分析】本题考查了正数和负数，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，确定一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示． 【详解】解：根据题意，若水位上升，记作，则表示水位下降． 故答案为：水位下降． 3．聪聪和慧慧为了合理计划自己的开支，每天坚持记录自己当天的收支情况如下表，是她们上周各天收支情况（记收入为正，单位：元） 一 二 三 四 五 六 日 结余 聪聪 10 －5.20 0 －4.80 5 －3 －2 慧慧 8 0 0 －6 －1 0 0 根据上表回答下列问题： (1)分别说出聪聪这一行中10，0，－2各数的实际意义． (2)把上表补充完整． 【答案】(1)见解析 (2)-4，1 【分析】（1）10意义是收入10元，0意义是收支平衡，-2意义是支出了2元． （2）先计算聪聪本周日的收支数等于本周的结余数-2减去周一到周六的收支总和，结果为-4，慧慧本周的结余数等于本周一到周日的收支总和，结果为1，然后填入下表． 【详解】（1）10是收入10元，0是收支平衡，-2是支出了2元． （2）聪聪周日的收支情况为：-2-（10-5.20+0-4.80+5-3）=-2-2=-4， 慧慧本周的结余情况为：8+0+0-6-1+0+0=1， 根据计算完成下表 一 二 三 四 五 六 日 结余 聪聪 10 －5.20 0 －4.80 5 －3 -4 －2 慧慧 8 0 0 －6 －1 0 0 1 【点睛】本题考查了有理数加减的应用，解决问题的关键是清楚知道收支的正负，熟练进行有理数的加减运算．（1）按收入为正，支出为负回答．（2）先计算出聪聪本周日的收支数据，慧慧本周的结余数据，而后填表． 类型二、点与点在数轴上的距离 1．将一刻度尺如图贴放，刻度尺上“”和“”对应的数分别是和，那么的值为（    ） A．8 B．7 C．6 D．5 【答案】D 【分析】本题考查了数轴上两点间的距离，掌握数轴上两点间距离公式是解题的关键． 根据数轴上两点间的距离公式计算即可． 【详解】解：根据数轴可知：， 解得． 故选：D． 2．如图，A，B，C是数轴上的三个点，点C在点B的右侧，点A，B表示的数分别是1，3，若，则点C表示的数是 ． 【答案】4 【分析】本题考查了数轴，关键是要能求出和的长度． 先利用点A、B表示的数计算出，再计算出，然后计算点C到原点的距离即可得到C点表示的数． 【详解】解：∵点A，B表示的数分别是1，3， ， ， ∵点C在点B的右侧， ∴点C表示的数是 故答案为：4． 3．如图，数轴上，两点对应的有理数分别为和，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴负方向运动，点同时从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴正方向运动，设运动时间为秒． (1)当时，数轴上的点、表示的数分别是______和______； (2)当时，求、两点间的距离； (3)在运动过程中是否存在时间使、两点间的距离与、两点间的距离相等，若存在，请求出此时t的值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2) (3)或 【分析】本题考查了数轴上的点的移动，距离，熟悉掌握数轴上点的特征是解题的关键． （1）列出点的表达式，代入运算即可； （2）根据表达式代入运算即可； （3）分类讨论点的位置，列出方程运算即可． 【详解】（1）解：由题意可得：， ∴当时，， 故答案为：；； （2）解：把代入，可得： ，， ∴； （3）解：∵点到点的时间为：；点到点的时间为：； ∴当时，大致如图所示： ∵，，，， ∴， ∴ 解得：； 当时，大致如图所示： ∴， ∴ 解得：； 当时，大致如图所示： ∴， ∴ 解得：（舍去）； 综上所述：或． 类型三、化简多重符号 1．下列各数中的值与相等的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了相反数的定义，熟练掌握相反数的定义是解题的关键． 先计算出的值，结合选项即可求解； 【详解】解：，； 故选：B 2．化简： ． 【答案】2 【分析】本题考查多重符号化简，根据同号得正，异号得负，即可得到答案 【详解】解：， 故答案为：2 3．化简下列各数： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【分析】本题考查了相反数中多重符号的化简，多重符号的化简：与“”个数无关，有奇数个“”负，有偶数个“”号结果为正． （1 ）根据多重符号的化简法则求解，即可解题； （2 ）根据多重符号的化简法则求解，即可解题； （3 ）根据多重符号的化简法则求解，即可解题； （4 ）根据多重符号的化简法则求解，即可解题； （5 ）根据多重符号的化简法则求解，即可解题． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：； （5）解：． 类型一、算筹问题 1．中国人很早就开始使用负数，最早记载负数的是我国古代的数学著作《九章算术》，在算筹中规定“正算赤，负算黑”．那么的相反数是（　　） A． B．2023 C． D． 【答案】B 【分析】只有符号不同的两个数是互为相反数，根据定义解答即可． 【详解】解：的相反数是2023, 故选：B． 【点睛】此题考查了相反数的定义，熟记定义是解题的关键． 2．成语“运筹帷幄”中“筹”的原意是指《孙子算经》中记载的“算筹”．算筹是中国古代用来进行计算的工具，它是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算，算筹的摆放形式有纵、横两种形式（如图）．当表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的算筹需要纵、横相间：个位，百位，万位数用纵式表示：十位，千位，十万位数用横式表示：“0”用空位来代替，以此类推，如：数3306用算筹表示成．用算筹 表示的数是 ． 【答案】6322 【分析】本题主要考查了有理数的表示，根据题意可知，所求算筹表示的是一个四位数，千位数字是6，百位数字是3，十位数字是2，个数数字是2，据此可得答案． 【详解】 解：由题意得，算筹表示的是6322， 故答案为：6322． 3．小明制作了一种算筹，最长的算筹代表10，次之代表5，最短的为1，分别表示过去5天他每天骑行的距离．以为标准，超过或不足的部分分别用正数、负数表示，根据下图，请计算出小明每天的骑行距离分别为多少？    【答案】见解析 【分析】根据正负数的实际意义和有理数的加法运算法则解答即可． 【详解】由材料可知，正放的算筹为正，在正放的算筹上斜放一个算筹为负， 所以，小明5天的骑行距离分别翻译为：，5，10，，， 所以每天的骑行距离分别为：，，，，． 【点睛】本题考查正负数的意义，有理数加法的实际应用．理解题意是解题关键． 类型二、点的平移 1．点为数轴上表示的点，将点沿数轴向右平移个单位到点，则用含有的代数式表示对应的数是（　　） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】本题考查数轴上点的平移，掌握知识点是解题的关键． 根据数轴上点的平移规律，向右平移时点的坐标增加，向左平移则减少． 【详解】解：点M对应的数为，向右平移t个单位，即坐标增加t． 因此，点N对应的数为． 故选B． 2．已知是数轴上的一个点，把向左移动4个单位后，这时它到原点的距离是5个单位，则点表示的数是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了数轴上的动点问题，理解题意是解题的关键． 根据题意，平移之后到原点的距离是5个单位，即表示的是5或者，即可求得平移之前点表示的数． 【详解】解：依题意平移之后到原点的距离是5个单位，即表示的是5或者， 则． 故答案为：或． 3．如图，在数轴上有三点，请回答下列问题． (1)将点B向左移动4个单位长度后，点_______所表示的数最小，是_______； (2)将点A向右移动3个单位长度后，点_______所表示的数最小，是_______； (3)将点C向左移动6个单位长度后，点B所表示的数比点C所表示的数大_______； (4)怎样移动中的两个点，才能使三个点表示的数相同？有几种移动方法？ 【答案】(1)B， (2)B， (3)1 (4)见解析 【分析】本题考查用数轴上的点表示有理数，数轴上点的平移： （1）根据向左移动减求出点B表示的数，然后作出判断即可； （2）根据向右移动加求出点A表示的数，然后作出判断即可； （3）根据向左移动减求出点C表示的数，用点B所表示的数减去点C所表示的数即可； （4）根据A、B、C有一点不移动，分三种情况讨论． 【详解】（1）解：三点表示的数分别是，，， 将点B向左移动4个单位长度后表示的数是：，， 因此点B所表示的数最小，是， 故答案为：B，； （2）解：将点A向右移动3个单位长度后表示的数是：，， 因此点B所表示的数最小，是， 故答案为：B，； （3）解：将点C向左移动6个单位长度后表示的数为：， ， 因此点B表示的数比点C表示的数大1； 故答案为：1； （4）解：有三种不同的移动方法： ①将点A向右移动2个单位长度，将点C向左移动5个单位长度； ②将点A向右移动7个单位长度，将点B向右移动5个单位长度； ③将点B向左移动2个单位长度，将点C向左移动7个单位长度． 类型三、正负数的实际应用 1．某袋饼干标签上写着“净含量：（）克”，以下4袋饼干中不合格的是（ ）． A．145克 B．148克 C．150克 D．160克 【答案】D 【分析】根据“净含量：（）克”，计算得合格质量范围为克到克，比较判断即可． 本题考查了有理数加减的应用，正确理解计算方法是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得“净含量：（）克”， 故合格质量范围为克到克， 故A，B，C都合格，D不合格． 故选：D． 2．某校举行“趣味运动会”，其中有一项目为“接棒过桥”，具体规则为：每组四人手持接力棒过一座独木桥，接力棒只有1根，每次过桥时最多允许两人同时握住接力棒出发（记过桥较慢的人的时间），要求不论去程或者返程时必须有接力棒，当四人全部过桥后记为游戏结束． 已知某组的甲，乙，丙，丁四位同学单独过桥所需时间（单位：分钟）分别为1，2，3，5，请写出一种该组同学完成项目可能需要的时间为 分钟，该组同学完成项目所需的最短时间为 分钟． 【答案】 14（答案不唯一） 12 【分析】根据规则解答即可． 本题的关键在于每次两人拿接力棒过桥后，必须还要有一人拿接力棒返回，（明确游戏规则）然后继续两人拿接力棒过桥后一人返回，直到四人全部过桥，因此若想时间最短，每次返程的人所用时间应尽可能地短． 【详解】解：每次两人拿接力棒过桥后，必须还要有一人拿接力棒返回，（明确游戏规则）然后继续两人拿接力棒过桥后一人返回，直到四人全部过桥，因此若想时间最短，每次返程的人所用时间应尽可能地短． 该组同学完成项目所需的时间规划可以为：甲、乙拿接力棒一起过桥（计时2分钟），甲拿接力棒返回（计时1分钟）；丙、丁拿接力棒过桥（计时5分钟），丙拿接力棒返回（计时3分钟）；甲、丙拿接力棒过桥（计时3分钟），此时全部过桥，所用时间为：（分钟）；该组完成项目需要的最短时间为：甲、乙一起过桥（计时2分钟），甲返回（计时1分钟），甲、丙一起过桥（计时3分钟），甲返回（计时1分钟），最后甲、丁再一起过桥（计时5分钟），共需要：（分钟） 故答案为：14，12． 3．如图1，一只甲虫在的方格（每小格边长为1）上沿着网格线运动．它从A处出发去看望B、C、D处的其它甲虫，规定：向上向右走为正，向下向左走为负．如果从A到B记为：；从C到D记为：．其中第一个数表示左右方向，第二个数表示上下方向，那么图中    (1)（　　，　　），（ ，　　）； (2)若这只甲虫的行走路线为，请计算该甲虫走过的路程； (3)假如这只甲虫从A处去甲虫P处的行走路线依次为，，，请在图2中标出P的位置． 【答案】(1)；；； (2)10 (3)见解析 【分析】（1）根据规定结合图形写出即可； （2）根据甲虫的运动路线列式计算即可得解； （3）根据规定的运动路线依次得到各关键点，最后得到点P的位置即可． 【详解】（1）解：，； 故答案为：；；；． （2）解：， 答：该甲虫走过的路程为10； （3）解：点 P 如图所示．    【点睛】本题考查了正数和负数，读懂题目信息，理解正负数的意义以及写法的规定是解题的关键． 类型四、相反数的应用 1．小梦做题时，画了一个数轴，在数轴上原有一个点，其表示的数是，由于粗心，小梦把数轴的原点标错了位置，使点正好落在了的相反数的位置，要把数轴画正确，原点应（　　） A．向右移6个单位长度 B．向右移3个单位长度 C．向左移6个单位长度 D．向左移3个单位长度 【答案】A 【分析】本题考查了对数轴概念的理解，用几何方法借助数轴来求解，非常直观，且不容易遗漏，体现了数形结合的特点．先根据题意画出数轴，便可直观解答． 【详解】解：向右移动6个单位长度，正确画数轴为： 故选：A． 2．一个数a在数轴上表示的点是A，当点A在数轴上向左移动了6个单位长度后到点B，点A与点B表示的数恰好互为相反数，则数a是 ． 【答案】3 【分析】由题意得，且，联立解答即可． 【详解】解：由题意得：，，解得， 故答案为． 【点睛】本题考查了相反数的应用，解题的关键是能根据题意列出方程，． 3．如图，1个单位长度表示1，观察图形，回答问题： (1)若点与点所表示的数互为相反数，则点所表示的数为_________； (2)若点A与点所表示的数互为相反数，则点所表示的数是多少？ (3)若点与点所表示的数互为相反数，则点所表示的数的相反数是多少？ 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）“点与点所表示的数互为相反数”，则点B与C分别位于原点的两侧，都到原点是1个单位，由此得点所表示的数为． （2）方法同（1）可得点D表示的数为． （3）方法同（1）可得点所表示的数为，由点在点F左边1个单位，则点所表示的数是2，它的相反数为． 【详解】（1）解：∵点与点所表示的数互为相反数，且B与之间有2个单位长度， ∴可得点所表示的数为； 故答案为： （2）∵点A与点所表示的数互为相反数，且它们之间距离为5， ∴点D表示的数为； （3）∵点与点所表示的数互为相反数，且它们之间距离为6， ∴点所表示的数为， ∵点在点F左边1个单位， ∴点所表示的数是2， ∴点所表示的数的相反数是． 【点睛】本题主要考查数轴和相反数的应用，根据两点之间单位长度的数量来确定点所表示的数字． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$