精品解析：广东省江门市鹤山市实验中学2024-2025学年九年级上学期第二次月考数学试题

2024-2025学年度第一学期第二次阶段测评 九年级数学 一、选择题（共9小题，满分36分，每小题4分） 1. 以下事件属于必然事件的是（ ） A. 水中捞月 B. 守株待兔 C. 大海捞针 D. 旭日东升 2. 下列为数学中的优美图形，其中既是中心对称图形，也是轴对称图形的是（ ） A. 叶玫瑰线 B. 阿基米德螺线 C. 心形线 D. 笛卡尔叶形线 3. 已知的半径为5，点P在内，则的长可能是（　　） A. 7 B. 6 C. 5 D. 4 4. 已知抛物线可由抛物线如何平移得到的（ ） A. 先向左平移3个单位，再向下平移2个单位 B. 先向右平移6个单位，再向上平移7个单位 C. 先向左平移3个单位，再向上平移2个单位 D. 先向右平移3个单位，再向上平移2个单位 5. 如图，绕点顺时针旋转到的位置，已知，则等于（ ） A. B. C. D. 6. 下列方程没有实数根的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，点A，B，C，D都在半径为2的⊙O上，若OA⊥BC，∠CDA=30°，则弦BC的长为（　　） A. 4 B. 2 C. D. 2 8. 已知，是一元二次方程的两个根，则的值是（ ） A. 1 B. C. D. 9. 如图，以某速度将小球沿与地面成一定角度的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球在时落地，小球的飞行高度（单位：）与飞行时间（单位：）之间具有函数关系（为常数，）．有下列结论： ①值为； ②小球的飞行高度最高可达到； ③小球有两个飞行的时间使小球的高度刚好达到． 其中，正确结论的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题（共4小题，满分20分，每小题5分） 10. 若点与点关于原点对称，则________． 11. 九（2）班元旦晚会上，某活动小组的每位同学向其他同学各赠送一张贺卡，共赠贺卡132张，如果设活动小组有名学生，则可列出的方程为______． 12. 一个圆锥的侧面展开图是半径为，圆心角为的扇形，则此圆锥底面圆的半径为________________． 13. 如图是二次函数的图象，给出以下结论：①；②；③；④；⑤当时，y随x的增大而增大，其中正确的是________． 三、解答题（共4小题，满分44分） 14. 有三把不同的钥匙，，和两把不同的锁，，其中钥匙只能打开锁，钥匙只能打开锁，钥匙不能打开这两把锁． （1）随机取出一把钥匙，取出钥匙的概率是___________； （2）随机取出一把钥匙开任意一把锁，请利用画树状图或列表的方法，求一次打开锁的概率 15. 如图，网格中每个小正方形的边长均为1，的顶点均在小正方形的格点上． （1）将向下平移3个单位长度得到，画出； （2）将绕点顺时针旋转90度得到，画出； （3）在（2）的运动过程中请计算出扫过的面积． 16. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，点D为边AB的中点，点O在边BC上，以点O为圆心的圆过顶点C，与边AB交于点D． （1）求证：直线AB是⊙O的切线； （2）若，求图中阴影部分的面积． 17. 如图，已知抛物线的顶点为，与轴相交于点，对称轴为直线，点是线段的中点. （1）求抛物线的表达式； （2）写出点的坐标并求直线的表达式； （3）设动点，分别在抛物线和对称轴l上，当以，，，为顶点的四边形是平行四边形时，求，两点的坐标. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度第一学期第二次阶段测评 九年级数学 一、选择题（共9小题，满分36分，每小题4分） 1. 以下事件属于必然事件的是（ ） A. 水中捞月 B. 守株待兔 C. 大海捞针 D. 旭日东升 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查事件的分类问题，理解必然事件的概念，必然事件，在一定的条件下重复进行试验时，有的事件在每次试验中必然会发生，这样的事件叫必然发生的事件，简称必然事件，和不可能事件统称为确定事件，由此即可求解． 【详解】解：根据必然事件的定义，“旭日东升”是每天必然发生的事件， 故选：D． 2. 下列为数学中的优美图形，其中既是中心对称图形，也是轴对称图形的是（ ） A. 叶玫瑰线 B. 阿基米德螺线 C. 心形线 D. 笛卡尔叶形线 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，熟知二者的定义是解题的关键．根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 【详解】解：A、是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意； B、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； 故选A． 3. 已知的半径为5，点P在内，则的长可能是（　　） A. 7 B. 6 C. 5 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，根据点在圆内，点到圆心的距离小于圆的半径进行判断． 【详解】解：∵的半径为5，点P在内， ∴． 故选：D． 4. 已知抛物线可由抛物线如何平移得到的（ ） A. 先向左平移3个单位，再向下平移2个单位 B. 先向右平移6个单位，再向上平移7个单位 C. 先向左平移3个单位，再向上平移2个单位 D. 先向右平移3个单位，再向上平移2个单位 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了抛物线的平移以及抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减．按照“左加右减，上加下减”的规律求则可． 【详解】解：∵， ∴将抛物线先向左平移3个单位，再向下平移2个单位即可得到抛物线， 故选：． 5. 如图，绕点顺时针旋转到的位置，已知，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了旋转的性质，由旋转性质可知，然后由即可求解，掌握旋转的性质是解题的关键． 【详解】解：∵绕点顺时针旋转到的位置， ∴， ∴， 故选：． 6. 下列方程没有实数根的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程根的判别式，含乘方的有理数混合运算等知识点，能根据判别式判断一元二次方程根的情况是解题的关键． 先将方程整理为一元二次方程的一般形式，然后根据一元二次方程根的判别式逐项判断即可． 【详解】解：A. ， 即：， ， 方程没有实数根， 故选项符合题意； B. ， ， 方程有两个相等的实数根， 故选项不符合题意； C. ， ， 方程有两个不相等的实数根， 故选项不符合题意； D. ， 即：， ， 方程有两个不相等的实数根， 故选项不符合题意； 故选：． 7. 如图，点A，B，C，D都在半径为2的⊙O上，若OA⊥BC，∠CDA=30°，则弦BC的长为（　　） A. 4 B. 2 C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】根据垂径定理得到CH=BH，，根据圆周角定理求出∠AOB，根据正弦的定义求出BH，计算即可． 【详解】如图BC与OA相交于H ∵OA⊥BC， ∴CH=BH，， ∴∠AOB=2∠CDA=60°， ∴BH=OB⋅sin∠AOB=， ∴BC=2BH=2， 故选D． 【点睛】本题考查的是垂径定理、圆周角定理，熟练掌握垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解题的关键． 8. 已知，是一元二次方程的两个根，则的值是（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数关系的应用，熟练掌握一元二次方程根与系数关系是解题的关键．通分：，根据一元二次方程根与系数的关系：，可得出答案． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个根， ∴，， 则＝＝． 故选：D． 9. 如图，以某速度将小球沿与地面成一定角度的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球在时落地，小球的飞行高度（单位：）与飞行时间（单位：）之间具有函数关系（为常数，）．有下列结论： ①值为； ②小球的飞行高度最高可达到； ③小球有两个飞行的时间使小球的高度刚好达到． 其中，正确结论的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用．根据二次函数的图象与性质，分析即可得到答案． 【详解】解：由题意得，解得，①结论正确； 函数关系， ∵， ∴小球的飞行高度最高可达到，②结论错误； 解方程， 得或， ∴小球有两个飞行的时间使小球的高度刚好达到，③结论正确． 故选：C． 二、填空题（共4小题，满分20分，每小题5分） 10. 若点与点关于原点对称，则________． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查关于原点对称的点的坐标特征， 根据关于原点对称的点的坐标特征列方程求出，m，n的值，然后在代入代数式求值即可． 【详解】解：∵点与点关于原点对称， ∴，， 解得：，， ∴， 故答案为：5． 11. 九（2）班元旦晚会上，某活动小组的每位同学向其他同学各赠送一张贺卡，共赠贺卡132张，如果设活动小组有名学生，则可列出的方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程．设全班有人．根据互赠卡片一张，则人共赠卡片张，列方程即可． 【详解】解：依题意， 故答案为：． 12. 一个圆锥的侧面展开图是半径为，圆心角为的扇形，则此圆锥底面圆的半径为________________． 【答案】3 【解析】 【分析】设该圆锥底面圆的半径为，则可根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和弧长公式得到，然后解方程即可． 【详解】解：设该圆锥底面圆的半径为， 根据题意得，解得， 即该圆锥底面圆的半径为3． 故答案为：3． 【点睛】本题主要考查圆锥的底面半径，掌握弧长公式是关键． 13. 如图是二次函数的图象，给出以下结论：①；②；③；④；⑤当时，y随x的增大而增大，其中正确的是________． 【答案】①③④ 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数的性质、二次函数的图象及抛物线与轴的交点．熟练掌握二次函数的性质是解题的关键； 根据二次函数的图象对各选项进行逐一分析即可． 【详解】解：抛物线与轴有两个交点， 判别式，故结论①正确； 抛物线与轴的交点分别为、， 抛物线的对称轴是， ， ， 即，故结论③正确； 二次函数开口向上， ， ， 抛物线与轴的交点在原点下方， ， ；故结论②不正确； 由函数图象可知，当时，， ，故结论④正确； 抛物线的对称轴是，且开口向上， 时，随的增大而增大，时，随的增大而减少，故结论⑤不正确． 综上，结论①③④正确， 故答案为：①③④． 三、解答题（共4小题，满分44分） 14. 有三把不同的钥匙，，和两把不同的锁，，其中钥匙只能打开锁，钥匙只能打开锁，钥匙不能打开这两把锁． （1）随机取出一把钥匙，取出钥匙的概率是___________； （2）随机取出一把钥匙开任意一把锁，请利用画树状图或列表的方法，求一次打开锁的概率 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据概率公式直接求解即可； （2）画出树状图，数出所有的情况数和符合条件的情况数，再根据概率公式即可求解． 【小问1详解】 解：∵有三把不同的钥匙，，， ∴随机取出一把钥匙，取出钥匙的概率． 故答案为． 【小问2详解】 解：如解图，树状图如下： 共有6种等可能的结果，一次打开锁的结果有2种， ∴一次打开锁的概率． 【点睛】本题考查了列表法或树状图法求概率，列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适用于两步或两步以上完成的事件；解题时还要注意是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 15. 如图，网格中每个小正方形的边长均为1，的顶点均在小正方形的格点上． （1）将向下平移3个单位长度得到，画出； （2）将绕点顺时针旋转90度得到，画出； （3）在（2）的运动过程中请计算出扫过的面积． 【答案】（1）解：即为所求： （2）解：即为所求： （3） 【解析】 【分析】（1）先作出点A、B、C平移后的对应点，、，然后顺次连接即可； （2）先作出点A、B绕点顺时针旋转90度的对应点，，然后顺次连接即可； （3）证明为等腰直角三角形，求出，，根据旋转过程中扫过的面积等于的面积加扇形的面积即可得出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， 根据旋转可知，， ∴， ∴在旋转过程中扫过的面积为． 【点睛】本题主要考查了平移、旋转作图，勾股定理逆定理，扇形面积计算，解题的关键是作出平移或旋转后的对应点． 16. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，点D为边AB的中点，点O在边BC上，以点O为圆心的圆过顶点C，与边AB交于点D． （1）求证：直线AB是⊙O的切线； （2）若，求图中阴影部分的面积． 【答案】（1） 证明：连接OD，CD， ∵∠ACB=90°，∠B=30°， ∴AC=AB，∠A=90°-∠B=60°， ∵D为AB的中点， ∴BD=AD=AB， ∴AD=AC， ∴△ADC是等边三角形， ∴∠ADC=∠ACD=60°， ∵∠ACB=90°， ∴∠DCO=90°-60°=30°， ∵OD=OC， ∴∠ODC=∠DCO=30°， ∴∠ADO=∠ADC+∠ODC=60°+30°=90°， 即OD⊥AB， ∵OD过圆心O， ∴直线AB是⊙O的切线； （2） 【解析】 【分析】（1）连接OD，CD，根据含30度角的直角三角形的性质得出AC=AB，求出∠A=90°-∠B=60°，根据直角三角形的性质得出BD=AD=AB，求出AD=AC，根据等边三角形的判定得出△ADC是等边三角形，根据等边三角形的性质得出∠ADC=∠ACD=60°，求出∠ODC=∠DCO=30°，求出OD⊥AB，再根据切线的判定得出即可； （2）求出BD=AC=，BO=2DO，根据勾股定理得出BO2=OD2+BD2，求出OD，再分别求出△BDO和扇形DOE的面积即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）可知：AC=AD=BD=AB， 又∵AC=， ∴BD=AC=， ∵∠B=30°，∠BDO=∠ADO=90°， ∴∠BOD=60°，BO=2DO， 由勾股定理得：BO2=OD2+BD2， 即（2OD）2=OD2+（）2， 解得：OD=1（负数舍去）， 所以阴影部分的面积S=S△BDO-S扇形DOE=． 【点睛】本题考查了切线的判定，直角三角形的性质，圆周角定理，扇形的面积计算等知识点，能熟记直角三角形的性质、切线的判定和扇形的面积公式是解此题的关键． 17. 如图，已知抛物线的顶点为，与轴相交于点，对称轴为直线，点是线段的中点. （1）求抛物线的表达式； （2）写出点的坐标并求直线的表达式； （3）设动点，分别在抛物线和对称轴l上，当以，，，为顶点的四边形是平行四边形时，求，两点的坐标. 【答案】（1）；（2），；（3）点、的坐标分别为（6，1）、（4，-3）或（2，1）、（4，5）或（2，1）、（4，1）． 【解析】 【分析】（1）函数表达式为：y=a（x-4）2+3，将点B坐标代入上式，即可求解； （2）A（4，3）、B（0，-5），则点M（2，-1），设直线AB的表达式为：y=kx-5，将点A坐标代入上式，即可求解； （3）分当AM是平行四边形的一条边、AM是平行四边形的对角线两种情况，分别求解即可． 【详解】解：（1）设函数表达式为：， 将点坐标代入上式并解得：， 故抛物线的表达式为：； （2）、，则点， 设直线的表达式为：， 将点坐标代入上式得：，解得：， 故直线的表达式为：； （3）设点、点， ①当是平行四边形的一条边时， 当点Q在A的下方时， 点A向左平移2个单位、向下平移4个单位得到M， 同样点P（m，-m2+4m-5）向左平移2个单位、向下平移4个单位得到Q（4，s）， 即：m-2=4，-m2+4m-5-4=s， 解得：m=6，s=-3， 故点当点Q在点A上方时，AQ=MP=2， 同理可得点Q的坐标为（4，5）， ②当AM是平行四边形的对角线时， 由中点定理得：4+2=m+4，3-1=-m2+4m-5+s， 解得：m=2，s=1， 故点P、Q的坐标分别为（2，1）、（4，1）； 综上，P、Q的坐标分别为（6，1）、（4，-3）或（2，1）、（4，5）或（2，1）、（4，1）． 【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、平行四边形性质、图象的面积计算等，其中（3），要主要分类求解，避免遗漏. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $