精品解析：福建省福州市马尾区2024-2025学年八年级下学期期中考试数学试题

2024-2025学年第二学期期中学情调研八年级数学 （完卷时间：120分钟；满分：150分） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若二次根式有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各式中是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列各组数据中，能构成直角三角形边长的是（ ） A. 2，3，4 B. ，， C. ，， D. 13，14，15 4. 下列运算中正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图1，某款桌布的中间图案由若干个正方形组成，小明买的桌布刚好有两个正方形图案，如图2，若AB＝CE＝EF＝4，且点A、C、E、G在同一条直线上，则桌布的长AG为（　　） A. B. C. D. 6. 如图，在矩形中，对角线，相交于点，已知，则的长为（ ） A. B. C. D. 7. 下列命题的逆命题成立的是（ ） A. 如果，那么 B. 全等三角形的对应角相等 C. 矩形的对角线相等 D. 四条边相等的四边形是菱形 8. 如图，《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺．问折者高几何．意思是：现有一根竹子，原高一丈（10尺），一阵风将竹子折断，其竹稍恰好抵地，抵地处离竹子底部3尺远，求折断处离地面的高度．设竹子折断处离地面的高度尺．根据题意，可列方程为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，的对角线，相交于点，点是的中点．连接，若，，则下列结论：①；②；③；④．其中结论正确的是（ ） A. ①② B. ③④ C. ①②③④ D. ①②④ 二、填空题（共6小题，每小题4分，共24分） 10. 计算：_____． 11. 在菱形中，添加一个条件_____，使菱形是正方形． 12. 如图，图中所有的三角形都是直角三角形，四边形都是正方形，已知正方形A，B，C，D的边长分别是12，16，9，12，则最大正方形E的面积是_____． 13. 如图，为测量位于一水塘旁的两点A，B间的距离，在地面上确定点O，分别取OA，OB的中点C，D，量得CD＝10m，则A，B之间的距离是______． 14. 如图，菱形的对角线，相交于点，且，，过点作，垂足为，则的长为_____． 15. 如图，在正方形中，点的坐标是，点、分别在边上，，若，则点的坐标为______． 三、解答题（共9题，满分86分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）． 16 计算 （1）； （2） 17. 已知，求的值． 18. 如图，在中，，是对角线上的两点，且，求证：． 19. 图1是某品牌婴儿车，图2为其简化结构示意图．根据安全标准需满足，现测得dm，dm，dm，其中与之间由一个固定为90°的零件连接（即），通过计算说明该车是否符合安全标准． 20. 如图，在中，，作的平分线交于点，以为圆心，长为半径画弧交于． （1）请用尺规完成题中的作图（保留作图痕迹，不写作法）； （2）连接，求证：四边形是菱形． 21. 如图所示，在四边形中，对角线，相交于点O，，，且，． （1）求证：四边形是矩形． （2）若，于点E，求度数． 22 阅读下列材料，然后回答问题： ①在进行二次根式化简与运算时，我们有时会碰上如一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：，以上这种化简的步骤叫做分母有理化． ②学习数学，最重要的是学习数学思想，其中一种数学思想叫做换元的思想，它可以简化我们的计算，比如我们熟悉的下面这个题：已知，，求．我们可以把和看成是一个整体，令，，则．这样，我们不用求出，就可以得到最后的结果． （1）计算：； （2）若是正整数，，，且，求的值； （3）若，则的值是______．（直接写出答案结果） 23. 如图，在正方形中，是边上的一点（不与点、重合），连接，点关于直线的对称点为，连接并延长交直线于点，是的中点，连接，． （1）补全图形，并求度数； （2）连接，请用等式表示，，三条线段之间的数量关系，并证明； 24. 如图，在平行四边形中，点E是边上的动点，现将沿折叠，点是点B的对应点． （1）如图1，当点恰好落在边上时，求证：四边形是平行四边形； （2）如图2，若点落在上时，求的长； （3）如图3．若取的中点F，连接，求的取值范围 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年第二学期期中学情调研八年级数学 （完卷时间：120分钟；满分：150分） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若二次根式有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：根据二次根式的意义，可知其被开方数为非负数， 因此可得x-2≥0，即x≥2. 故选D 2. 下列各式中是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查最简二次根式的判定条件：①被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；②被开方数是整数或整式；根据最简二次根式的判定条件逐项分析即可得解，熟练掌握最简二次根式的判定条件是解此题的关键． 【详解】解：A、满足最简二次根式的判定条件，符合题意； B、，不满足最简二次根式的判定条件，不符合题意； C、，不满足最简二次根式的判定条件，不符合题意； D、，不满足最简二次根式的判定条件，不符合题意； 故选：A． 3. 下列各组数据中，能构成直角三角形边长的是（ ） A. 2，3，4 B. ，， C. ，， D. 13，14，15 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理逆定理，根据勾股定理逆定理逐项分析即可得解，熟练掌握勾股定理逆定理是解此题的关键． 【详解】解：A、，故2，3，4不能构成直角三角形，不符合题意； B、，故，，不能构成直角三角形，不符合题意； C、，故，，能构成直角三角形，符合题意； D、，故13，14，15不能构成直角三角形，不符合题意； 故选：C． 4. 下列运算中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的加法、二次根式的减法、二次根式的性质、二次根式的除法，根据运算法则逐项分析即可得解，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：A、，故原选项计算错误，不符合题意； B、，故原选项计算正确，符合题意； C、，故原选项计算错误，不符合题意； D、，故原选项计算错误，不符合题意； 故选：B． 5. 如图1，某款桌布的中间图案由若干个正方形组成，小明买的桌布刚好有两个正方形图案，如图2，若AB＝CE＝EF＝4，且点A、C、E、G在同一条直线上，则桌布的长AG为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接，，根据正方形的性质，勾股定理求得，由于点A、C、E、G在同一条直线上，进而即可求得的长． 【详解】如图，连接，， 四边形是正方形， ， AB＝CE＝EF＝4， ，， 点A、C、E、G在同一条直线上， ， 故选：B． 【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理，理解题意，求得对角线是解题的关键． 6. 如图，在矩形中，对角线，相交于点，已知，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质、直角三角形的性质，熟练矩形的性质得到，是解题的关键．根据矩形的性质可得，，再根据直角三角形的性质可得． 【详解】解：四边形是矩形， ． ， ， 又， 为等边三角形． ， ， 故选：A． 7. 下列命题的逆命题成立的是（ ） A. 如果，那么 B. 全等三角形的对应角相等 C. 矩形的对角线相等 D. 四条边相等的四边形是菱形 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了写出命题的逆命题、判断命题真假，分别写出各个选项的逆命题，再判断真假即可，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：A、逆命题为：如果，那么，是假命题，故不符合题意； B、逆命题为：对应角相等的三角形是全等三角形，是假命题，故不符合题意； C、逆命题为：对角线相等的四边形是矩形，是假命题，故不符合题意； D、逆命题为：菱形的四条边相等，是真命题，符合题意； 故选：D． 8. 如图，《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺．问折者高几何．意思是：现有一根竹子，原高一丈（10尺），一阵风将竹子折断，其竹稍恰好抵地，抵地处离竹子底部3尺远，求折断处离地面的高度．设竹子折断处离地面的高度尺．根据题意，可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，设竹子折断处离地面的高度尺．根据图形并结合勾股定理即可得解，熟练掌握勾股定理是解此题的关键． 【详解】解：设竹子折断处离地面的高度尺． 由题意可得：， 故选：C． 9. 如图，的对角线，相交于点，点是的中点．连接，若，，则下列结论：①；②；③；④．其中结论正确的是（ ） A. ①② B. ③④ C. ①②③④ D. ①②④ 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质、等边三角形的判定与性质、三角形中位线定理、勾股定理，由直角三角形的性质可得，结合题意可得为等边三角形，即可得出，由平行四边形的性质可得，，，，再由平行线的性质即可判断①；由三角形中位线定理即可判断②④；利用勾股定理计算即可判断③；熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵，点是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴，，，， ∴， ∴，故①正确； ∵，， ∴为的中位线， ∴，故②正确； ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，故③错误； ∵为的中位线， ∴， ∴，故④正确； 综上所述，正确的有①②④； 故选：D． 二、填空题（共6小题，每小题4分，共24分） 10. 计算：_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的性质，解题的关键是掌握． 根据二次根式的性质化简即可． 【详解】解：． 故答案为：15． 11. 在菱形中，添加一个条件_____，使菱形是正方形． 【答案】或（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查的是正方形的判定，特别是掌握在菱形的基础上判定正方形是解本题的关键． 根据正方形的判定定理求解即可． 【详解】∵四边形是菱形 ∴添加或，使菱形是正方形． 故答案为：或（答案不唯一）． 12. 如图，图中所有的三角形都是直角三角形，四边形都是正方形，已知正方形A，B，C，D的边长分别是12，16，9，12，则最大正方形E的面积是_____． 【答案】625 【解析】 【分析】根据勾股定理的几何意义解答即可． 【详解】解：根据勾股定理的几何意义，可知 SE=SF+SG =SA+SB+SC+SD =122+162+92+122 =625； 故答案为：625． 【点睛】本题考查了勾股定理，解题的关键是熟悉勾股定理的几何意义． 13. 如图，为测量位于一水塘旁的两点A，B间的距离，在地面上确定点O，分别取OA，OB的中点C，D，量得CD＝10m，则A，B之间的距离是______． 【答案】20m 【解析】 【分析】根据三角形的中位线定理即可进行解答． 【详解】解：∵C、D分别为AO、BO中点， ∴CD=AB， ∵CD＝10m， ∴AB=20m， 故答案为：20m． 【点睛】本题主要考查了三角形的中位线定理，熟练掌握“三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半” 是解题的关键． 14. 如图，菱形的对角线，相交于点，且，，过点作，垂足为，则的长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质以及勾股定理．根据菱形的性质以及勾股定理可求出，从而得到，再由，即可求解． 【详解】解：∵四边形菱形，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：． 故答案为：． 15. 如图，在正方形中，点的坐标是，点、分别在边上，，若，则点的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，坐标与图形，连接，延长到点，使得，连接，根据正方形的性质可得，，分别证明，，由全等三角形的性质可得，设，则，，在中，由勾股定理易得，代入求值可得，可确定点的纵坐标，即可获得答案． 【详解】解：连接，延长到点，使得，连接，如下图， ∵四边形是正方形，， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 和中， ， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， 设，则，，， 在中，由勾股定理，得， 即， 解得， ∴， ∴点的坐标是． 故答案为：． 三、解答题（共9题，满分86分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）． 16. 计算 （1）； （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，二次根式的性质，零次幂，平方差公式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先运用二次根式的性质进行化简，再运算除法，最后运算加减法，即可作答； （2）运用平方差公式进行运算，化简零次幂，最后运算加减法，即可作答． 【小问1详解】 解：原式 ； 小问2详解】 解：原式． 17. 已知，求的值． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了二次根式的混合运算，平方差公式，完全平方公式，解题的关键是掌握以上运算法则． 解法一：将代入求解即可； 解法二：首先求出，，然后利用平方差公式求解即可． 【详解】解法一：原式 ． 解法二：， 原式 ． 18. 如图，在中，，是对角线上的两点，且，求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】此题主要考查了平行四边形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质，正确掌握平行四边形的性质是解题关键． 利用平行四边形的性质结合全等三角形的判定得出，即可得出答案． 【详解】证明：四边形是平行四边形， ，． ． 又， ， ， ， 即， ． 19. 图1是某品牌婴儿车，图2为其简化结构示意图．根据安全标准需满足，现测得dm，dm，dm，其中与之间由一个固定为90°的零件连接（即），通过计算说明该车是否符合安全标准． 【答案】符合，理由见解析 【解析】 【分析】先在中利用勾股定理求出,然后由以及勾股定理的逆定理得即可得答案． 【详解】解：在中，，dm，dm， 由勾股定理，得 因为dm，dm， 所以， 所以， 所以，即， 所以该婴儿车符合安全标准 【点睛】本题考查勾股定理及其逆定理，解题关键是正确运用逆定理． 20. 如图，在中，，作的平分线交于点，以为圆心，长为半径画弧交于． （1）请用尺规完成题中的作图（保留作图痕迹，不写作法）； （2）连接，求证：四边形是菱形． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了尺规作图、平行四边形的性质与判定以及菱形的判定，熟练掌握平行四边形和菱形的判定定理是解题的关键． （1）依据角平分线和圆弧的尺规作图方法完成即可； （2）先利用平行四边形性质和角平分线得出角的关系，进而得到边的关系，再根据平行四边形和菱形的判定定理进行证明． 【小问1详解】 解：如图即为所求； （备注：作的平分线交于点；以为圆心，长为半径画弧交于．） 【小问2详解】 解：由（1）可知． 四边形是平行四边形， ． ． ． ， 四边形是平行四边形． ， 四边形是菱形． 21. 如图所示，在四边形中，对角线，相交于点O，，，且，． （1）求证：四边形是矩形． （2）若，于点E，求的度数． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，利用勾股定理逆定理，得到，即可得证； （2）求出的度数，根据三角形的内角和，求出，然后根据，得到，即可求出的度数． 【小问1详解】 证明：∵在四边形中，对角线，相交于点O，，， ∴四边形是平行四边形，， ∵，， ∴， ∴， ∴四边形是矩形； 【小问2详解】 ∵四边形是矩形 ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质，能灵活运用定理进行推理是解题的关键．注意：矩形的对角线相等，有一个角是直角的平行四边形是矩形． 22. 阅读下列材料，然后回答问题： ①在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：，以上这种化简的步骤叫做分母有理化． ②学习数学，最重要的是学习数学思想，其中一种数学思想叫做换元的思想，它可以简化我们的计算，比如我们熟悉的下面这个题：已知，，求．我们可以把和看成是一个整体，令，，则．这样，我们不用求出，就可以得到最后的结果． （1）计算：； （2）若是正整数，，，且，求的值； （3）若，则的值是______．（直接写出答案结果） 【答案】（1） （2） （3）9 【解析】 【分析】本题考查了分母有理化、利用完全平方公式进行计算、二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）利用分母有理化的方法对各式子进行整理，从而可求解； （2）先利用分母有理化的方法对各式子进行整理，再代入式子化简求解即可； （3）先求出，再计算出，结合，，即可求解． 【小问1详解】 解：原式 【小问2详解】 ，， ． ． ． ， ， ， 解得：； 【小问3详解】 ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：9． 23. 如图，在正方形中，是边上的一点（不与点、重合），连接，点关于直线的对称点为，连接并延长交直线于点，是的中点，连接，． （1）补全图形，并求的度数； （2）连接，请用等式表示，，三条线段之间的数量关系，并证明； 【答案】（1）见解析， （2），见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质、轴对称的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质，平行线截线段成比例等知识，添加辅助线构造全等三角形是解题关键． （1）依照题意，画出图形，由等腰三角形的性质和轴对称的性质可求解； （2）作交的延长线于，由等腰三角形的性质和轴对称的性质以及正方形性质证得，利用全等三角形的性质即可证得结论． 【小问1详解】 解：如图所示； 由对称得，， 在正方形中，，， ， 是的中点， ，， ； 【小问2详解】 结论：． 理由是：如图，作交的延长线于， ， 在正方形中，，， ， 由（1）可知：， ， ． ， ， 在和中， ， ， ， ． 24. 如图，在平行四边形中，点E是边上的动点，现将沿折叠，点是点B的对应点． （1）如图1，当点恰好落在边上时，求证：四边形是平行四边形； （2）如图2，若点落在上时，求的长； （3）如图3．若取的中点F，连接，求的取值范围 【答案】（1）见解析 （2）的长是 （3）的取值范围是 【解析】 【分析】（1）由平行四边形的性质得由折叠得则进而即可证明四边形是平行四边形； （2）由题意作交的延长线于点H，结合平行四边形的性质及勾股定理进行分析求解； （3）根据题意取的中点T、连接进一步得出是等边三角形，并且分析出当点F在直线的上方，且点E与点C重合时的值最大，结合平行四边形的性质及勾股定理进行分析求解。 【小问1详解】 证明：如图1，∵四边形是平行四边形， ∴ ∴ 由折叠得 ∴ ∴ ∴ ∴四边形是平行四边形． 小问2详解】 解：如图2，作交的延长线于点H， ∵ ∴ ∵点落在上， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴， ∴3， ∵ ∴， ∴的长是． 【小问3详解】 解：如图3，取的中点T、连接 ∵ ∴ ∴ ∴ ∴是等边三角形， ∴ ∵点F是的中点，T是的中点， ∴3， ∵，且， ∴， ∴的最小值是3； ∵点E是边上的动点， ∴当点F在直线的上方，且点E与点C重合时的值最大， 如图4，点E与点C重合， ∴， ∴三点在同一条直线上， ∴且， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴最大值为， ∴的取值范围是． 【点睛】本题重点考查平行四边形的判定与性质、轴对称的性质、直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半、勾股定理、等边三角形的判定与性质、三角形的三边关系等知识，此题综合性强，难度较大，属于中考压轴题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $