专题15 平行四边形与多边形（新疆专用）-【好题汇编】5年（2021-2025）中考1年模拟数学真题分类汇编

专题15 平行四边形与多边形（原卷版） 1．（2025·新疆·中考真题）如图，在中，的平分线交于点E，若，则 ． 2．（2024·新疆·中考真题）如图，在正方形中，若面积，周长，则 ． 3．（2023·新疆·中考真题）如果一个多边形的每一个内角都是，那么这个多边形是 边形． 4．（2021·新疆·中考真题）四边形的外角和等于 . 5．（2025·新疆·中考真题）如图，在四边形中，，是对角线． (1)尺规作图：请用无刻度的直尺和圆规，作线段的垂直平分线，垂足为点O，与边分别交于点E，F（要求：不写作法，保留作图痕迹，并将作图痕迹用黑色签字笔描黑）； (2)在（1）的条件下，连接，求证：四边形为菱形． 6．（2024·新疆·中考真题）如图，的中线，交于点O，点F，G分别是，的中点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)当时，求证：是矩形． 7．（2023·新疆·中考真题）如图，和相交于点，，．点、分别是、的中点．    (1)求证：； (2)当时，求证：四边形是矩形． 8．（2022·新疆·中考真题）在中，点D，F分别为边AC，AB的中点．延长DF到点E，使，连接BE． (1)求证：； (2)求证：四边形BCDE是平行四边形． 9．（2021·新疆·中考真题）如图，在矩形ABCD中，点E在边BC上，点F在BC的延长线上，且． 求证：（1）； （2）四边形AEFD是平行四边形． 10．（2025·新疆乌鲁木齐·一模）如图，四边形是菱形，，，直线交两对边于点，，则线段的长为（   ） A． B． C． D． 11．（2025·吐鲁番·三模）“赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形的两条直角边长分别为m，．若小正方形面积为5，，则大正方形面积为（    ） A．12 B．13 C．14 D．15 12．（2025·乌鲁木齐十三中·模拟）如图，在平行四边形 ABCD 中，BC＝2AB＝8，连接 BD，分别以点B，D为圆心，大于BD长为半径作弧，两弧交于点E和点F，作直线EF交AD于点I，交BC于点H，点H恰为BC的中点，连接AH，则AH的长为（    ） A． B．6 C．7 D．4 13．（2025·乌鲁木齐十三中·模拟预测）我国古代数学家赵爽的“弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示）．若直角三角形的内切圆半径为3，小正方形内切圆半径为，则大正方形的内切圆半径为（　　）    A． B． C．15 D． 14．（2025·新疆乌鲁木齐·一模）如图，在中，，，以为圆心，的长为半径画弧交于点，连接，分别以，为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线，交于点，过点作交于点，则的长为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 15．（2025·新疆吐鲁番·一模）第14届国际数学教育大会会标如图(a)所示，会标中心的图案来源于我国古代数学家赵爽的“弦图”，如图(b)所示的“弦图”是由四个全等的直角三角形（，，，）和一个小正方形拼成的大正方形．若．则（   ） A． B． C． D． 16．（2025·喀什地区·三月学业测试）如图，把一张矩形纸片ABCD按所示方法进行两次折叠，得到等腰直角三角形BEF，若BC=1，则AB的长度为（　　） A． B． C． D． 17．（2025·新疆喀什·模拟预测）如图，在中，．正方形的边长为，它的顶点分别在的边上，则的长为(    ) A．3 B． C．5 D． 18．（2025·伊宁市·九年级质量抽测）如图，在平行四边形中，的平分线和的平分线交于上一点，若，，则的长为（   ） A． B． C．5 D．6 19．（2025·喀什地区·模拟）第二十四届国际数学家大会会徽的设计基础是1700多年前中国古代数学家赵爽的“弦图”．如图，在由四个全等的直角三角形（，，，）和中间一个小正方形拼成的大正方形中，，连接．设，，若正方形与正方形的面积之比为，，则n的值为 ．    20．（2025·乌鲁木齐沙区·九年级适应性测试）正五边形的一个外角的大小为 度． 21．（2025·新疆乌鲁木齐·模拟预测）一个正多边形的一个外角为，则此正多边形的边数为 ． 22．（2025·乌鲁木齐一中·模拟预测）如果n边形的每一个内角都等于与它相邻外角的2倍，则n的值是 ． 23．（2025·新疆乌鲁木齐·一模）如图是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成．在正方形中，．下列三个结论：①若，则；②若的面积是正方形面积的3倍，则点F是的三等分点；③将绕点A逆时针旋转得到，则的最大值为．其中正确的结论是 ． 24．（2025·乌鲁木齐新市区·一模）若正多边形的一个外角是45°，则该正多边形的边数是 . 25．（2025·新疆乌鲁木齐·一模）如图，长方形内有两个相邻的正方形，面积分别为4和8，则阴影部分的面积为 ． 26．（2025·伊宁市·阶段性质量抽测）我们知道：四边形具有不稳定性.如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形ABCD的边AB在x轴上，，，边AD长为5. 现固定边AB，“推”矩形使点D落在y轴的正半轴上（落点记为），相应地，点C的对应点的坐标为 . 27．（2025·乌鲁木齐·三月学业测试）如图，在长方形ABCD中，AB<BC，点P为长方形内部一点，过点P分别作PE⊥BC于点E、PF⊥CD于点F，分别以PF、CF为边作正方形PMNF，正方形GHCF，若两个正方形的面积之和为42，长方形PECF的面积为11，BE=DF=2，则长方形ABCD的面积为 ． 28．（2025·乌鲁木齐兵二·模拟预测）正边形的一个内角是相邻一个外角的4倍，则的值为 ． 29．（2025·乌鲁木齐一中·模拟预测）如果一个正多边形的一个外角是60°，那么这个正多边形的边数是 ． 30．（2025·乌鲁木齐十三中·四模）一个正多边形的内角和为，则这个正多边形的每个外角的度数为 ． 31．（2025·乌鲁木齐经开区·模拟）正多边形的一个中心角为度，那么这个正多边形的一个内角等于 度． 32．（2025·六十八中·模拟）如图，将一个正八边形与一个正六边形如图放置，顶点A、B、C、D四点共线，E为公共顶点．则∠FEG＝ ． 33．（2025·乌鲁木齐七十中·模拟）若一个多边形的内角和是其外角和的3倍，则这个多边形的边数是 ． 34．（2025·喀什地区·四月学业测试）如图，长方形的周长为16，分别以长方形的一条长和一条宽为边向外作两个正方形，且这两个正方形的面积和为18，则长方形的面积是 ． 35．（2025·喀什地区·一模）如图，该硬币边缘镌刻的正九边形每个内角的度数是 ． 36．（2025·和田地区·三模）已知矩形纸片，，，点P在边上，连接，将沿所在的直线折叠，点B的对应点为，把纸片展平，连接，，当为直角三角形时，线段的长为 ． 37．（2025·伊宁市·阶段性质量抽测）如图，点是正八边形的中心，连接、，若，则该正八边形的面积为 ．（结果保留根号） 38．（2025·新疆·学业水平监测冲刺卷）已知：如图，四边形为正方形，点E在的延长线上，连接． (1)求证：； (2)若，求证：． 39．（2025·乌鲁木齐经开区·学业水平监测）如图，在四边形中，点、、、分别是各边的中点，且，，四边形是矩形． (1)求证：四边形是菱形； (2)若矩形的周长为22，四边形的面积为10，求的长． 40．（2025·乌鲁木齐·五月学业测试）如图所示，点在四边形的边上，连接，并延长交的延长线于点，已知，． (1)求证：； (2)若，求证：四边形为平行四边形． 41．（2025·新疆乌鲁木齐·模拟预测）如图、四边形中，，点在上，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若平分，，，求的面积． 42．（2025·新疆乌鲁木齐·模拟预测）2025年4月“春满丝路·鸢韵天山”风筝嘉年华在乌鲁木齐市石人子沟举行，孩子们“忙趁东风放纸莺”（风筝）．传统风筝“两翼舒展、中轴对称”的结构在蓝天划出优美弧线，生动展现传统工艺与数学之美的跨界融合． 【研究对象】 如图1，在四边形中，，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”． （1）依据筝形定义，写出一种学过的、符合筝形定义的四边形：_________； 【性质探究】 （2）根据学过的平行四边形、矩形、菱形、正方形的学习经验，请你通过观察、测量、折叠等探究活动，写出一条筝形（如图2）的性质的猜想并证明； 【拓展应用】 （3）如图3，已知在筝形中，，求对角线，的长． 43．（2025·乌鲁木齐一中·模拟预测）如图，AB，CD相交于点O，AC∥DB，OA=OB，E、F分别是OC，OD中点． (1)求证：OD=OC． (2) 求证：四边形AFBE平行四边形． 44．（2025·新疆乌鲁木齐·二模）如图①，我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形． 概念理解：如图②，在四边形中，如果，那么四边形是垂美四边形吗？请说明理由． 性质探究：如图①，垂美四边形两组对边，与，之间有怎样的数量关系？写出你的猜想，并给出证明． 问题解决：如图②，已知，，，，求垂美四边形的面积． 45．（2025·和田地区·三模）如图，在平行四边形中，过点D作于点E，点F在边上，且，连接．    (1)求证：四边形是矩形； (2)若平分，，，求的长． 46．（2025·新疆乌鲁木齐·一模）如图，在中，对角线与相交于点O，过点O作一条直线分别交，于点E、F． (1)求证：； (2)已知，连结，．求证：四边形为矩形． 47．（2025·乌鲁木齐一中·二模）如图，在中，，D是的中点，，，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，求的长． 48．（2025·新疆乌鲁木齐·模拟预测）【阅读材料】 老师的问题： 已知：如图，在中，． 求作：矩形． 小明的作法： （1）分别以点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧分别交于点E，F； （2）作直线，交于点； （3）连接并延长，截取； （4）连接，．四边形就是所求作的矩形． 【解答问题】 请根据材料中的信息，证明四边形是矩形． 49．（2025·乌鲁木齐·三月学业测评）已知：如图，在中，点、分别是边、的中点，过点A作的平行线，交射线于点． (1)求证：四边形是平行四边形： (2)如果，连接、，求证：四边形为矩形． 50．（2025·乌鲁木齐兵一·三模）如图，菱形的对角线相交于点，过点作，且，连接． (1)求证：四边形为矩形： (2)连接．若，求菱形的面积． 51．（2025·乌鲁木齐兵二·阶段测试）如图，已知边长为3的正方形，E为边上一点，，将沿翻折得到，延长至点G，使，连接． (1)求证：； (2)求的长． 52．（2025·乌鲁木齐132中·三模）如图，在中，过点A作于点E，于点F，且． (1)求证：是菱形． (2)若，求平行四边形的面积． 53．（2025·乌鲁木齐十三中·四模）菱形对角线与交于点O，若，过点A作于点M，交于点N． (1)求证：； (2)若，求的长度． 54．（2025·乌鲁木齐开发区·初中学业水平监测）在中，，D是的中点，E是的中点，过点A作交的延长线于点F． (1)求证：； (2)证明四边形是菱形． 55．（2025·乌鲁木齐六十八中·三模）在△ABC中，D是BC边长的一点，E是AC边的中点，过点A作交DE的延长线于点F，连接AD，CF． （1）求证：四边形ADCF是平行四边形： （2）若，，，请直接写出AE的长为__________． 56．（2025·乌鲁木齐八一中学·一模）在中，，是的中点，是的中点，过点作交的延长线于点，连接. （1）求证：. （2）求证：四边形是菱形. 57．（2025·吐鲁番·一模）如图，在中，，分别是边和上的点，连接，，且．求证：    (1)； (2)． 58．（2025·吐鲁番市·二模）如图，点E是矩形的边上的一点，且． (1)尺规作图（请用铅笔）：作的平分线，交的延长线于点F，连接．（保留作图痕迹，不写作法）； (2)试判断四边形的形状，并说明理由． 59．（2025·吐鲁番·二模）如图所示，在中，对角线与相交于点O，过点O任作一条直线分别交，于点E，F． (1)求证：； (2)连接，直接写出当与满足什么关系时，四边形是菱形？ 60．（2025·新疆昌吉·一模）如图，，，点、在上，且． (1)求证：； (2)试证明：以、、、为顶点的四边形是平行四边形． 61．（2025·喀什地区·三月学业测试）如图，点O是对角线的交点，过点O的直线分别交，于点E，F． (1)求证：； (2)当时，，分别连接，，求此时四边形的周长． 62．（2025·喀什地区·四月学业水平测试）如图，在□ABCD中，∠ABD的平分线BE交AD于点E，∠CDB的平分线DF交BC于点F，连接BD． （1）求证：△ABE≌△CDF； （2）若AB＝DB，求证：四边形DFBE是矩形． 63．（2025·新疆喀什·二模）如图，正方形的顶点、在正方形的边、上，连接、． (1)求证：； (2)连接，请直接写出的值． 64．（2025·新疆喀什·一模）如图，在平行四边形中，对角线、相交于，过点作直线，分别交、于点和点， (1)求证：； (2)证明：四边形是菱形． 3 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题15 平行四边形与多边形（解析版） 1．（2025·新疆·中考真题）如图，在中，的平分线交于点E，若，则 ． 【答案】2 【解析】解：∵，， ∴， ∴， ∵的平分线交于点E， ∴， ∴， ∴； 故答案为：2． 2．（2024·新疆·中考真题）如图，在正方形中，若面积，周长，则 ． 【答案】40 【解析】解：设正方形、的边长分别为a、b， 根据题意，得， ∴， ∴ ， 故答案为：40． 3．（2023·新疆·中考真题）如果一个多边形的每一个内角都是，那么这个多边形是 边形． 【答案】十/10 【解析】解：一个多边形的每个内角都是， 这个多边形的每个外角都是， 这个多边形的边数． 故答案为：十． 4．（2021·新疆·中考真题）四边形的外角和等于 . 【答案】360°． 【解析】解：n（n≥3）边形的外角和都等于360°． 5．（2025·新疆·中考真题）如图，在四边形中，，是对角线． (1)尺规作图：请用无刻度的直尺和圆规，作线段的垂直平分线，垂足为点O，与边分别交于点E，F（要求：不写作法，保留作图痕迹，并将作图痕迹用黑色签字笔描黑）； (2)在（1）的条件下，连接，求证：四边形为菱形． 【答案】(1)见解析；(2)见解析 【解析】（1）解：如图所示，即为所求； （2）证明：如图所示， ∵垂直平分， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是菱形． 6．（2024·新疆·中考真题）如图，的中线，交于点O，点F，G分别是，的中点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)当时，求证：是矩形． 【答案】(1)见解析；(2)见解析 【解析】（1）证明：∵的中线，交于点O， ∴，， ∵点F，G分别是，的中点， ∴，， ∴，， ∴四边形是平行四边形； （2）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵G是中点， ∴， ∴， 同理， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴是矩形． 7．（2023·新疆·中考真题）如图，和相交于点，，．点、分别是、的中点．    (1)求证：； (2)当时，求证：四边形是矩形． 【答案】(1)见解析；(2)见解析 【解析】（1）证明：在与中， ∴， ∴， 又∵、分别是、的中点， ∴； （2）∵， ∴四边形是平行四边形，， ∵为的中点，， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴四边形是矩形． 8．（2022·新疆·中考真题）在中，点D，F分别为边AC，AB的中点．延长DF到点E，使，连接BE． (1)求证：； (2)求证：四边形BCDE是平行四边形． 【答案】(1)见解析；(2)见解析 【解析】（1）证明：∵点F为边AB的中点， ∴， 在与中， ， ∴； （2）证明：∵点D为边AC的中点， ∴， 由（1）得， ∴，， ∴，， ∴四边形BCDE是平行四边形． 9．（2021·新疆·中考真题）如图，在矩形ABCD中，点E在边BC上，点F在BC的延长线上，且． 求证：（1）； （2）四边形AEFD是平行四边形． 【答案】（1）证明过程见解析；（2）证明过程见解析． 【解析】证明：（1）∵四边形ABCD是矩形， ∴AB=DC，∠B=∠DCB=90°， ∴∠DCF=90°， 在△ABE和△DCF中， ， ∴（SAS）． （2）∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC，AD=BC， 即AD=BE+EC， ∵BE=CF， ∴AD=CF+EC， 即AD=EF， ∵点F在BC的延长线上， ∴AD∥EF， ∴四边形AEFD是平行四边形． 10．（2025·新疆乌鲁木齐·一模）如图，四边形是菱形，，，直线交两对边于点，，则线段的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：∵四边形是菱形，，， ∴，，， ∴， ∵直线交两对边于点，， ∴， ∴， ∴， 故选B． 11．（2025·吐鲁番·三模）“赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形的两条直角边长分别为m，．若小正方形面积为5，，则大正方形面积为（    ） A．12 B．13 C．14 D．15 【答案】B 【解析】解：由题意可知，中间小正方形的边长为， ∴，即①， ∵， ∴②， ①②得， ∴大正方形的面积， 故选：B． 12．（2025·乌鲁木齐十三中·模拟）如图，在平行四边形 ABCD 中，BC＝2AB＝8，连接 BD，分别以点B，D为圆心，大于BD长为半径作弧，两弧交于点E和点F，作直线EF交AD于点I，交BC于点H，点H恰为BC的中点，连接AH，则AH的长为（    ） A． B．6 C．7 D．4 【答案】A 【解析】解：如图，连接DH， 根据作图过程可知：EF是线段BD的垂直平分线， ∴DH=BH， ∵点H为BC的中点， ∴BH=CH，BC=2CH， ∴DH=CH， 在▱ABCD中，AB=DC， ∵AD=BC=2AB=8， ∴DH=CH=CD=4， ∴△DHC是等边三角形， ∴∠C=∠CDH=∠DHC=60°， 在▱ABCD中，∠BAD=∠C=60°，AD∥BC， ∴∠DAH=∠BHA， ∵AB=BH， ∴∠BAH=∠BHA， ∴∠BAH=∠DAH=30°， ∴∠AHD=90°， ∴AH=． 故选：A． 13．（2025·乌鲁木齐十三中·模拟预测）我国古代数学家赵爽的“弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示）．若直角三角形的内切圆半径为3，小正方形内切圆半径为，则大正方形的内切圆半径为（　　）    A． B． C．15 D． 【答案】A 【解析】    解：如图，设内切圆的圆心为O、为内切圆的半径， 则四边形为正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， 而， ∴①， ∵小正方形内切圆半径为， ∴小正方形的边长为7， ∴小正方形的面积为49， ∴， ∴ 即②， 把①代入②中得 ， ∴， ∴(负值舍去)， ∴大正方形内切圆半径为． 故选：A． 14．（2025·新疆乌鲁木齐·一模）如图，在中，，，以为圆心，的长为半径画弧交于点，连接，分别以，为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线，交于点，过点作交于点，则的长为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【解析】解：由题意可知，射线是的角平分线， 由等腰三角形“三线合一”得是边中点， ， 由平行线分线段成比例定理得到，即是边中点， 是梯形的中位线， ， 在中，，， ∴， 故选：D． 15．（2025·新疆吐鲁番·一模）第14届国际数学教育大会会标如图(a)所示，会标中心的图案来源于我国古代数学家赵爽的“弦图”，如图(b)所示的“弦图”是由四个全等的直角三角形（，，，）和一个小正方形拼成的大正方形．若．则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：根据题意，设，则， ∵，四边形为正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 16．（2025·喀什地区·三月学业测试）如图，把一张矩形纸片ABCD按所示方法进行两次折叠，得到等腰直角三角形BEF，若BC=1，则AB的长度为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解：由折叠补全图形如图所示， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ADA'=∠B=∠C=∠A=90°，AD=BC=1，CD=AB， 由第一次折叠得：∠DAE=∠A=90°，∠ADE=∠ADC=45°， ∴∠AED=∠ADE=45°， ∴AE=AD=1， 在Rt△ADE中，根据勾股定理得，DE=AD=， 由第二次折叠可知， ∴ 故选：A． 17．（2025·新疆喀什·模拟预测）如图，在中，．正方形的边长为，它的顶点分别在的边上，则的长为(    ) A．3 B． C．5 D． 【答案】B 【解析】解：在中，， 四边形是正方形， 如图，过点作于点，则，， ， ， ， 在和中， ， ，， 设，， ， 在中，由勾股定理得：，则 解得负值舍去， ， 在中， 故选：B． 18．（2025·伊宁市·九年级质量抽测）如图，在平行四边形中，的平分线和的平分线交于上一点，若，，则的长为（   ） A． B． C．5 D．6 【答案】B 【解析】解：四边形是平行四边形， ，，， ，， 的平分线和的平分线交于上一点 ， ，， ， 故选：B． 19．（2025·喀什地区·模拟）第二十四届国际数学家大会会徽的设计基础是1700多年前中国古代数学家赵爽的“弦图”．如图，在由四个全等的直角三角形（，，，）和中间一个小正方形拼成的大正方形中，，连接．设，，若正方形与正方形的面积之比为，，则n的值为 ．    【答案】3 【解析】设，， ∵，， ∴，即， ∴，整理得， ∴， ∵， ∴， ∴正方形的面积为， ∵正方形的面积为， ∵正方形与正方形的面积之比为， ∴， ∴解得． 故答案为：3． 20．（2025·乌鲁木齐沙区·九年级适应性测试）正五边形的一个外角的大小为 度． 【答案】72 【解析】解：正五边形的一个外角的度数为：， 故答案为：72． 21．（2025·新疆乌鲁木齐·模拟预测）一个正多边形的一个外角为，则此正多边形的边数为 ． 【答案】9 【解析】解：； 故答案为：9． 22．（2025·乌鲁木齐一中·模拟预测）如果n边形的每一个内角都等于与它相邻外角的2倍，则n的值是 ． 【答案】6 【解析】解：设外角为x，则相邻的内角为2x， 由题意得2x+x＝180°， 解得x＝60°， 360°÷60°＝6． 故n的值是6． 故答案为6． 23．（2025·新疆乌鲁木齐·一模）如图是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成．在正方形中，．下列三个结论：①若，则；②若的面积是正方形面积的3倍，则点F是的三等分点；③将绕点A逆时针旋转得到，则的最大值为．其中正确的结论是 ． 【答案】①②③ 【解析】解：在中，， ∴设，则：， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴；故①正确； 若的面积是正方形面积的3倍，则：， ∴，即：， ∴或（舍去）， ∴， ∴点F是的三等分点；故②正确； ∵将绕点A逆时针旋转得到， ∴， ∴点在以为直径的半圆上， 取的中点，连接，则：，， ∴， ∴， 即：的最大值为；故③正确； 故答案为：①②③． 24．（2025·乌鲁木齐新市区·一模）若正多边形的一个外角是45°，则该正多边形的边数是 . 【答案】8 【解析】解：多边形外角和是360度，正多边形的一个外角是， 即该正多边形的边数是8， 故答案为：8． 25．（2025·新疆乌鲁木齐·一模）如图，长方形内有两个相邻的正方形，面积分别为4和8，则阴影部分的面积为 ． 【答案】/ 【解析】解：长方形内两个相邻的正方形的面积分别为4和8， 大正方形的边长为，小正方形的边长为2， 阴影部分的面积为． 故答案为：． 26．（2025·伊宁市·阶段性质量抽测）我们知道：四边形具有不稳定性.如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形ABCD的边AB在x轴上，，，边AD长为5. 现固定边AB，“推”矩形使点D落在y轴的正半轴上（落点记为），相应地，点C的对应点的坐标为 . 【答案】 【解析】 由勾股定理得：= ,即(0,4). 矩形ABCD的边AB在x轴上，∴四边形是平行四边形， A=B, =AB=4-(-3)=7, 与的纵坐标相等，∴（7,4），故答案为（7,4）. 点睛：本题考查了多边形，利用平行四边形的性质得出A=B,=AB=4-(-3)=7是解题的关键. 27．（2025·乌鲁木齐·三月学业测试）如图，在长方形ABCD中，AB<BC，点P为长方形内部一点，过点P分别作PE⊥BC于点E、PF⊥CD于点F，分别以PF、CF为边作正方形PMNF，正方形GHCF，若两个正方形的面积之和为42，长方形PECF的面积为11，BE=DF=2，则长方形ABCD的面积为 ． 【答案】31 【解析】解：∵四边形PMNF和四边形GHCF都是正方形， ∴S正方形PMNF=PF2，S正方形GFCH=CF2， ∴PF2+CF2=42， ∵长方形PECF的面积为11， ∴CF•PF=11， ∴（PF+CF）2=PF2+CF2+2CF•PF=64， ∴PF+CF=8， ∵长方形ABCD的面积=BC•CD=（BE+PF）•（CF+DF）， ∴长方形ABCD的面积=（2+PF）（2+CF）=4+PF•CF+2（PF+CF）=31， 故答案为：31． 28．（2025·乌鲁木齐兵二·模拟预测）正边形的一个内角是相邻一个外角的4倍，则的值为 ． 【答案】10 【解析】解：由题意，得 每一个外角的度数为180÷(4+1)=36°， ∴n=360÷36=10 故答案为10. 29．（2025·乌鲁木齐一中·模拟预测）如果一个正多边形的一个外角是60°，那么这个正多边形的边数是 ． 【答案】6 【解析】解：根据多边形的外角和等于360°和正多边形的每一个外角都相等，得多边形的边数为360°÷60°=6． 故答案为：6. 30．（2025·乌鲁木齐十三中·四模）一个正多边形的内角和为，则这个正多边形的每个外角的度数为 ． 【答案】 【解析】解：设它是n边形，则 （n−2）•180°＝1080°， 解得n＝8． 360°÷8＝45°， 故答案为． 31．（2025·乌鲁木齐经开区·模拟）正多边形的一个中心角为度，那么这个正多边形的一个内角等于 度． 【答案】144 【解析】解：由于正多边形的中心角等于，， 所以正多边形为正边形， 又因为其外角和为， 所以其外角为， 其每个内角为． 故答案为． 32．（2025·六十八中·模拟）如图，将一个正八边形与一个正六边形如图放置，顶点A、B、C、D四点共线，E为公共顶点．则∠FEG＝ ． 【答案】30° 【解析】解：由多边形的内角和可得， ∠ABE=∠BEF=＝135°， ∴∠EBC=180°-∠ABE=180°-135°=45°， ∵∠DCE=∠CEG=＝120°， ∴∠BCE=180°-∠DCE=60°， 由三角形的内角和得： ∠BEC=180°-∠EBC-∠BCE=180°-45°-60°=75°， ∴∠FEG=360°-∠BEF-∠CEG-∠BEC =360°-135°-120°-75° =30°． 故答案为：30°． 33．（2025·乌鲁木齐七十中·模拟）若一个多边形的内角和是其外角和的3倍，则这个多边形的边数是 ． 【答案】8 【解析】解：设边数为n，由题意得， 180（n－2）=3603， 解得n=8． 所以这个多边形的边数是8． 故答案为：8． 34．（2025·喀什地区·四月学业测试）如图，长方形的周长为16，分别以长方形的一条长和一条宽为边向外作两个正方形，且这两个正方形的面积和为18，则长方形的面积是 ． 【答案】 【解析】解：记长方形的长为，宽为， 由题知，，，即， ， 即， ，解得， 长方形的面积是． 故答案为：． 35．（2025·喀什地区·一模）如图，该硬币边缘镌刻的正九边形每个内角的度数是 ． 【答案】140°． 【解析】解：该正九边形内角和， 则每个内角的度数． 故答案为140°． 36．（2025·和田地区·三模）已知矩形纸片，，，点P在边上，连接，将沿所在的直线折叠，点B的对应点为，把纸片展平，连接，，当为直角三角形时，线段的长为 ． 【答案】或2 【解析】解：∵四边形为矩形， ∴，，， 当时，如图所示： ∵， ∴点在上， 根据折叠可知：，， 设，则， ∴， ， 在中，根据勾股定理得：， 即， 解得：， 即； 当，如图所示： 根据折叠可知：， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； 综上分析可知：或2． 故答案为：或2， 37．（2025·伊宁市·阶段性质量抽测）如图，点是正八边形的中心，连接、，若，则该正八边形的面积为 ．（结果保留根号） 【答案】 【解析】解：如图，作于点H， 该多边形为正八边形，， ，， 又， 是等腰直角三角形， ， ， 该正八边形的面积， 故答案为：． 38．（2025·新疆·学业水平监测冲刺卷）已知：如图，四边形为正方形，点E在的延长线上，连接． (1)求证：； (2)若，求证：． 【答案】(1)详见解析；(2)详见解析 【解析】（1）证明：∵四边形为正方形， ， 在和中， ， ； （2）∵四边形为正方形， ， ， ， ， ， ， ． 39．（2025·乌鲁木齐经开区·学业水平监测）如图，在四边形中，点、、、分别是各边的中点，且，，四边形是矩形． (1)求证：四边形是菱形； (2)若矩形的周长为22，四边形的面积为10，求的长． 【答案】(1)见解析；(2) 【解析】（1）解：连接，， ，， 四边形是平行四边形， 四边形中，点、、、分别是各边的中点， ，， 四边形是矩形， ， ， 四边形是菱形； （2）解：四边形中，点、、、分别是各边的中点， ，， 矩形的周长为22， ， 四边形是菱形， 即， 四边形的面积为10， ，即， ， ， ． 40．（2025·乌鲁木齐·五月学业测试）如图所示，点在四边形的边上，连接，并延长交的延长线于点，已知，． (1)求证：； (2)若，求证：四边形为平行四边形． 【答案】(1)见解析；(2)见解析 【解析】（1）证明：∵与是对顶角， ∴， 在与中， ， ∴ （2）证明：由（1）知， ∴， ∴， ∵点在的延长线上， ∴， 又∵， ∴四边形为平行四边形． 41．（2025·新疆乌鲁木齐·模拟预测）如图、四边形中，，点在上，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若平分，，，求的面积． 【答案】(1)证明见解析；(2) 【解析】（1）证明：， ， ， 四边形是平行四边形； （2）解：过点作，垂足为，如图： 四边形是平行四边形， ， 平分， ， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 设，而， ∴， 解得：， ． 42．（2025·新疆乌鲁木齐·模拟预测）2025年4月“春满丝路·鸢韵天山”风筝嘉年华在乌鲁木齐市石人子沟举行，孩子们“忙趁东风放纸莺”（风筝）．传统风筝“两翼舒展、中轴对称”的结构在蓝天划出优美弧线，生动展现传统工艺与数学之美的跨界融合． 【研究对象】 如图1，在四边形中，，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”． （1）依据筝形定义，写出一种学过的、符合筝形定义的四边形：_________； 【性质探究】 （2）根据学过的平行四边形、矩形、菱形、正方形的学习经验，请你通过观察、测量、折叠等探究活动，写出一条筝形（如图2）的性质的猜想并证明； 【拓展应用】 （3）如图3，已知在筝形中，，求对角线，的长． 【答案】（1）菱形；（2）性质：筝形对角线互相垂直，证明见解析；（3）； 【解析】解：（1）由定义可知：菱形的对角线互相垂直，故菱形是筝形， 故答案为：菱形； （2）性质：筝形对角线互相垂直； 证明：如图， 在和中， （）， ， ， ，； （3）如图，过作于点，连接、交于点， ， ， ， ，， ， 在中， 由（2）知，且， ， ， ． 43．（2025·乌鲁木齐一中·模拟预测）如图，AB，CD相交于点O，AC∥DB，OA=OB，E、F分别是OC，OD中点． (1)求证：OD=OC． (2) 求证：四边形AFBE平行四边形． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【解析】证明：（1）∵AC∥DB， ∴∠CAO=∠DBO， ∵∠AOC=∠BOD，OA=OB， ∴△AOC≌△BOD， ∴OC=OD； （2）∵E是OC中点，F是OD中点， ∴OE=OC，OF=OD， ∵OC=OD， ∴OE=OF， 又∵OA=OB， ∴四边形AFBE是平行四边形． 44．（2025·新疆乌鲁木齐·二模）如图①，我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形． 概念理解：如图②，在四边形中，如果，那么四边形是垂美四边形吗？请说明理由． 性质探究：如图①，垂美四边形两组对边，与，之间有怎样的数量关系？写出你的猜想，并给出证明． 问题解决：如图②，已知，，，，求垂美四边形的面积． 【答案】概念理解：是，见解析；性质探究：，见解析；问题解决：1 【解析】解：概念理解：四边形是垂美四边形；理由如下： 如图，连接、交于点， 在和中， ， ， ， ， ， 即， ∴四边形是垂美四边形； 性质探究：； 证明如下： 记和交于点， 由题可知， ， 在中，， 在中，， 在中，， 在中，， ，， ； 问题解决： 如图，连接，过作于点， ， ， 在中，， ∴， ， ， ． 45．（2025·和田地区·三模）如图，在平行四边形中，过点D作于点E，点F在边上，且，连接．    (1)求证：四边形是矩形； (2)若平分，，，求的长． 【答案】(1)见解析；(2)4 【解析】（1）证明：∵平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形是矩形； （2）∵平行四边形， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， 由（1）知：四边形是矩形， ∴， ∴， 在中，． 46．（2025·新疆乌鲁木齐·一模）如图，在中，对角线与相交于点O，过点O作一条直线分别交，于点E、F． (1)求证：； (2)已知，连结，．求证：四边形为矩形． 【答案】(1)见解析；(2)见解析 【解析】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，． ∴． 在和中， ， ∴， ∴． （2）证明：∵，， ∴四边形是平行四边形． 又∵， ∴， ∴四边形为矩形． 47．（2025·乌鲁木齐一中·二模）如图，在中，，D是的中点，，，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，求的长． 【答案】(1)证明见解析；(2) 【解析】（1）证明：∵， D是BC的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴四边形是矩形． （2）由（1）可知四边形是矩形． ∴，，， ∵D是的中点， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴ 即， ∴． 48．（2025·新疆乌鲁木齐·模拟预测）【阅读材料】 老师的问题： 已知：如图，在中，． 求作：矩形． 小明的作法： （1）分别以点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧分别交于点E，F； （2）作直线，交于点； （3）连接并延长，截取； （4）连接，．四边形就是所求作的矩形． 【解答问题】 请根据材料中的信息，证明四边形是矩形． 【答案】证明见解析 【解析】解：由作法得垂直平分，则， 而， 所以四边形为平行四边形， 而， 所以四边形为矩形． 49．（2025·乌鲁木齐·三月学业测评）已知：如图，在中，点、分别是边、的中点，过点A作的平行线，交射线于点． (1)求证：四边形是平行四边形： (2)如果，连接、，求证：四边形为矩形． 【答案】(1)见解析；(2)见解析 【解析】（1）证明：点、分别是、边上的中点， ， 又， 四边形是平行四边形； （2）证明：连接、，如图， 由（1）知：四边形是平行四边形， ∴， ∵点是边上的中点 ∴ ∴ 又， ∴四边形为平行四边形， ∵，， ∴， ∴， ∴四边形为矩形． 50．（2025·乌鲁木齐兵一·三模）如图，菱形的对角线相交于点，过点作，且，连接． (1)求证：四边形为矩形： (2)连接．若，求菱形的面积． 【答案】(1)见解析；(2)． 【解析】（1）证明：∵四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴四边形为矩形； （2）由（1）可知，，， ， 菱形的面积． 51．（2025·乌鲁木齐兵二·阶段测试）如图，已知边长为3的正方形，E为边上一点，，将沿翻折得到，延长至点G，使，连接． (1)求证：； (2)求的长． 【答案】(1)见解析；(2) 【解析】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：如图，连接， 由折叠的性质可得， ∵ ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， 在中， ∴， ∴． 52．（2025·乌鲁木齐132中·三模）如图，在中，过点A作于点E，于点F，且． (1)求证：是菱形． (2)若，求平行四边形的面积． 【答案】(1)见解析；(2) 【解析】（1）∵AE⊥BC，AF⊥DC， ∴∠AEB=∠AFD=90° ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠B=∠D ∵AE=AF， ∴△ABE≌△ADF（AAS）， ∴AB=AD ∴四边形ABCD是菱形． （2）∵四边形ABCD是菱形， ∴AD∥BC ， ∴∠AEB=∠EAD=90°， ∵∠EAF＝60°， ∴∠DAF=30°， 在Rt△AFD中，DF=2， ∴AD=4， ∴AF= ， ∵AD=CD=4， ∴菱形ABCD面积= 53．（2025·乌鲁木齐十三中·四模）菱形对角线与交于点O，若，过点A作于点M，交于点N． (1)求证：； (2)若，求的长度． 【答案】(1)见解析；(2) 【解析】（1）解：∵菱形，， ∴，，， ∵，为菱形的对称轴，且， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， （2）解：过N作于， ∵菱形， ∴平分， 又∵，， ∴， 设， ∵， ∴与均为等腰直角三角形， ∵，，， ∴， ∴， 得， ∴． 54．（2025·乌鲁木齐开发区·初中学业水平监测）在中，，D是的中点，E是的中点，过点A作交的延长线于点F． (1)求证：； (2)证明四边形是菱形． 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析 【解析】（1）解∶， 是的中点， 在与中， （2）由（1）可知，， 是的中点， 四边形是平行四边形， 又为直角三角形，D是的中点， 四边形是菱形． 55．（2025·乌鲁木齐六十八中·三模）在△ABC中，D是BC边长的一点，E是AC边的中点，过点A作交DE的延长线于点F，连接AD，CF． （1）求证：四边形ADCF是平行四边形： （2）若，，，请直接写出AE的长为__________． 【答案】（1）证明见解析；（2）． 【解析】（1）证明：∵， ∴， ∵E是AC边的中点， ∴， 在中， ∴（AAS）， ∴， ∵， ∴四边形ADCF是平行四边形； （2）∵ ∴ ∴ ∵四边形ADCF是平行四边形 ∴ ∴,即, ∴平行四边形ADCF是矩形 在Rt△CDF中， ∴, ∴, 故AE的长为． 56．（2025·乌鲁木齐八一中学·一模）在中，，是的中点，是的中点，过点作交的延长线于点，连接. （1）求证：. （2）求证：四边形是菱形. 【答案】（1）见解析；（2） 见解析 【解析】（1）证明：如图，， ， 是直角三角形，是边上的中线，是的中点， ，， 在和中， ， ； ． （2）由（1）知， ， ， ， 四边形是平行四边形， ，是的中点， ， 四边形是菱形. 57．（2025·吐鲁番·一模）如图，在中，，分别是边和上的点，连接，，且．求证：    (1)； (2)． 【答案】(1)见解析；(2)见解析 【解析】（1）证明：四边形是平行四边形， ， 又． 四边形是平行四边形． 平行四边形对角相等 （2）四边形是平行四边形， ，， 四边形是平行四边形， ，， ， 在和中， ， ． 58．（2025·吐鲁番市·二模）如图，点E是矩形的边上的一点，且． (1)尺规作图（请用铅笔）：作的平分线，交的延长线于点F，连接．（保留作图痕迹，不写作法）； (2)试判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】(1)见解析；(2)四边形是菱形，理由见解析 【解析】（1）解：如图所示：    （2）四边形是菱形； 理由：∵矩形中，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴平行四边形是菱形． 59．（2025·吐鲁番·二模）如图所示，在中，对角线与相交于点O，过点O任作一条直线分别交，于点E，F． (1)求证：； (2)连接，直接写出当与满足什么关系时，四边形是菱形？ 【答案】(1)证明见解析；(2)当时，四边形是菱形，理由见解析 【解析】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ，， ， 在和中， ， ， ； （2）解：当时，四边形是菱形，理由如下： ， ，， ∴四边形是平行四边形， ， ∴四边形是菱形． 60．（2025·新疆昌吉·一模）如图，，，点、在上，且． (1)求证：； (2)试证明：以、、、为顶点的四边形是平行四边形． 【答案】(1)详见解析；(2)详见解析 【解析】（1）解：， ， 又， ， ， 在与中， ， ； （2）连接、． 由(1)知，， ，， ， ， 又， 以、、、为顶点的四边形是平行四边形． 61．（2025·喀什地区·三月学业测试）如图，点O是对角线的交点，过点O的直线分别交，于点E，F． (1)求证：； (2)当时，，分别连接，，求此时四边形的周长． 【答案】(1)见解析；(2) 【解析】（1）∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵点O是对角线的交点， ∴， 在△和中，， ∴． （2）由（1）知，， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴是菱形， ∴， ∴， ∴四边形的周长为． 62．（2025·喀什地区·四月学业水平测试）如图，在□ABCD中，∠ABD的平分线BE交AD于点E，∠CDB的平分线DF交BC于点F，连接BD． （1）求证：△ABE≌△CDF； （2）若AB＝DB，求证：四边形DFBE是矩形． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【解析】（1）∵∠ABD的平分线BE交AD于点E， ∴∠ABE=∠ABD， ∵∠CDB的平分线DF交BC于点F， ∴∠CDF=∠CDB， ∵在平行四边形ABCD中， ∴AB∥CD， ∴∠ABD=∠CDB， ∴∠CDF=∠ABE， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴CD=AB，∠A=∠C， 即， ∴△ABE≌△CDF（ASA）； （2）∵△ABE≌△CDF， ∴AE=CF， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AD=BC， ∴DE∥BF，DE=BF， ∴四边形DFBE是平行四边形， ∵AB=DB，BE平分∠ABD， ∴BE⊥AD，即∠DEB=90°． ∴平行四边形DFBE是矩形． 考点：1.平行四边形的性质和判定，2.矩形的判定，3.全等三角形的性质和判定 63．（2025·新疆喀什·二模）如图，正方形的顶点、在正方形的边、上，连接、． (1)求证：； (2)连接，请直接写出的值． 【答案】(1)见解析；(2) 【解析】（1）证明：四边形和都是正方形， ，，， ，， ， 在和中， ， ， ； （2）解：连接， ∵正方形 ∴，，， ∴， ∵正方形， ∴，， 在和中， ， ， ， 点在对角线上， .∵， ， ∴， ， ． 64．（2025·新疆喀什·一模）如图，在平行四边形中，对角线、相交于，过点作直线，分别交、于点和点， (1)求证：； (2)证明：四边形是菱形． 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析 【解析】（1）证明：在平行四边形中，对角线、相交于， ∴， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形． 1 / 52 学科网（北京）股份有限公司 $$