专题19 压轴解答题（新疆专用）-【好题汇编】5年（2021-2025）中考1年模拟数学真题分类汇编

专题19 压轴解答题（解析版） 1．（2025·新疆·中考真题）如图，在等腰直角三角形中，，，，点M是的中点，点D和点N分别是线段和上的动点． (1)当点D和点N分别是和的中点时，求a的值； (2)当时，以点C，D，N为顶点的三角形与相似，求的值； (3)当时，求的最小值． 【答案】(1)；(2)；(3) 【解析】（1）解：∵等腰直角三角形中，，，，， ∴， ∵点D和点N分别是和的中点， ∴，， ∵， ∴； （2）∵，， ∴， 设，则：，， ∵等腰直角三角形中，，， ∴， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， 当点C，D，N为顶点的三角形与相似时，分两种情况： ①当时，则：， ∴， 此方程无解，不符合题意； ②当时，则：， ∴， 解得：（不符合题意，舍去）或； ∴； 综上：； （3）∵，， ∴， 作于点，连接， 则：， ∴为等腰直角三角形， ∴，， ∴，， 又， ∴四边形为平行四边形， ∴， 将绕点旋转90度得到，连接，则：， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当点在线段上时，的值最小为的长， 在中，， ∴， ∴的最小值为． 2．（2024·新疆·中考真题）【探究】 （）已知和都是等边三角形． ①如图，当点在上时，连接．请探究和之间的数量关系，并说明理由； ②如图，当点在线段的延长线上时，连接．请再次探究和之间的数量关系，并说明理由． 【运用】 （）如图，等边三角形中，，点在上，．点是直线上的动点，连接，以为边在的右侧作等边三角形，连接．当为直角三角形时，请直接写出的长． 【答案】（），理由见解析；，理由见解析；（）或． 【解析】解：（），理由如下： ∵和都是等边三角形， ∴，，， ∴， 即， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； ，理由如下： ∵和都是等边三角形， ∴，，， ∴， 即， ∴， ∴， ∴， 即； （）解：分两种情况：如图，当点在上，时， ∵和都是等边三角形， ∴， ∴四点共圆， ∵， ∴为该圆的直径， ∴， ∵，， ∴， ∴； 如图，当点在的延长线上，时， ∵和都是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴四点共圆， ∵， ∴为该圆的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上，的长为或． 3．（2023·新疆·中考真题）【建立模型】(1)如图，点是线段上的一点，，，，垂足分别为，，，．求证：； 【类比迁移】(2)如图，一次函数的图象与轴交于点、与轴交于点，将线段绕点逆时针旋转得到、直线交轴于点． ①求点的坐标； ②求直线的解析式； 【拓展延伸】(3)如图，抛物线与轴交于，两点点在点的左侧，与轴交于点，已知点，，连接．抛物线上是否存在点，使得，若存在，求出点的横坐标．          【答案】（1）见解析； （2）①；②直线的解析式为；（3）或 【解析】[建立模型]（1）证明：∵，，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴； [类比迁移]（2）如图所示，过点作轴于点，    ∵将线段绕点逆时针旋转得到， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， ∵一次函数的图象与轴交于点、与轴交于点， 当时，，即， 当时，，即， ∴， ∴， ∴； ②∵，设直线的解析式为， 将代入得： 解得： ∴直线的解析式为， （3）∵抛物线与轴交于，两点点在点的左侧， 当时，， 解得：， ∴，； ①当点在轴下方时，如图所示，连接，过点作于点，过点作轴于点，过点作，于点，    ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 设，则， ∵， ∴，， ∵，， ∴， 解得：， ∴， 设直线的解析式为， 代入，得：， 解得：， ∴直线解析式为， 联立， 解得：（舍去），； ②当点在轴的上方时，如图所示，过点作于点，过点作轴，交轴于点，过点作于点，    同理可得， ∴， 设，则， ∵， ∴，， ∵， ∴， 解得：， ∴， 设直线的解析式为， 代入，得：， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立， 解得：（舍去），， 综上所述，的横坐标为或． 4．（2022·新疆·中考真题）如图，在中，，点O为BC的中点，点D是线段OC上的动点（点D不与点O，C重合），将沿AD折叠得到，连接BE．    (1)当时，___________； (2)探究与之间的数量关系，并给出证明； (3)设，的面积为x，以AD为边长的正方形的面积为y，求y关于x的函数解析式． 【答案】(1)；(2)；(3) 【解析】（1），，， ， 将沿折叠得到， ， ， ∴△ABE是等边三角形， ， 故答案为：60； （2），理由如下： 将沿折叠得到， ，， ，， ， ， ， ； （3）如图，连接， ，点是的中点， ， ，， ，， ， ， ， ， ．    【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，直角三角形的性质，折叠的性质等知识，解题的关键是熟练掌握相关性质并能够灵活运用． 5．（2021·新疆·中考真题）已知抛物线． （1）求抛物线的对称轴； （2）把抛物线沿y轴向下平移个单位，若抛物线的顶点落在x轴上，求a的值； （3）设点，在抛物线上，若，求a的取值范围． 【答案】（1）直线；（2）或；（3） 【解析】（1）根据抛物线对称轴公式：， ∴， ∴原抛物线的对称轴为：直线； （2）将代入解析式得：， ∴原抛物线的顶点坐标为：， 把抛物线沿y轴向下平移个单位， 则平移后新抛物线的顶点坐标为， ∵平移后抛物线的顶点落在x轴上， ∴， 若，则， 解得：， 若，则， 解得：， ∴或； （3）若，则原抛物线开口向上， 要使得，则应使得点P到对称轴的距离大于点Q到对称轴的距离， 即：，即：， ∴或， 解得：或， ∵， ∴； 若，则原抛物线开口向下， 要使得，则应使得点P到对称轴的距离小于点Q到对称轴的距离， 即：，即：， ∴， 解得：，与矛盾，故不成立， ∴a的取值范围为． 6．（2025·乌鲁木齐十三中·三模）【模型建立】：如图1，在正方形中，E，F分别是边上的点，且，探究图中线段之间的数量关系． （1）小宋的探究思路如下：延长到点G，使，连接，先证明，再证明．之间的数量关系为______．若，则______． 【模型应用】： （2）如图2，在矩形中，，点F为中点，，求的长． 【拓展提升】： （3）通过对图2的分析，小宋同学在深入思考后，他发现一个很有意思的结论，若，且，则______．（用含a、b的代数式表示） 【答案】（1），；（2）；（3） 【解析】解：（1）延长到点G，使，连接， ∵在正方形中，，， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴，， 设，则，， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得：， 即， 故答案为：，； （2）如图2，延长，至M、N，使四边形是正方形，延长到点H，使，连接，延长交于P，连接， ∵，点F为中点， ∴， ∴， 设，则， 由（1）得：， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得：， ∵， ∴， ∴，即， ∴； （3）如图2作辅助线， ∵， ∴设，， ∴， 设，则， 由（2）得：， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：． 7．（2025·新疆乌鲁木齐·三模）【问题情境】 如图，四边形是正方形．过点C在正方形的外侧作射线，．作点D关于射线的对称点E，线段交射线于点M，连接交直线于点F． 【探究发现】 （1）当时，的度数为___________度； 【猜想论证】 （2）在（1）的条件下，猜想线段、、之间的数量关系，并证明你的猜想； 【拓展应用】 （3）若，，直接写出的长． 【答案】（1）；（2），证明见解析；（3）BF的长为或． 【解析】解：（1）如图所示，连接， 四边形是正方形， ，， 由对称的性质可得，，， ，， ， 是的一个外角， ， 故答案为：； （2），证明如下： 如图所示，过点作，交与点， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ； （3），，根据题意分为两种情况： ①当时，由（1）可知，， 由对称的性质可得：， 是等腰直角三角形， ， ， ， 由（2）得； ②当时，如图所示，连接，作过点作，交与点， 四边形是正方形， ，， ， ， 由对称的性质可得，，， ，， ， ， ， ， ，， 是等腰直角三角形，， 由对称的性质可得，， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ； 综上所述：的长为或． 8．（2025·乌鲁木齐·五月学业测试）新定义：平行四边形一组邻边的中点与不在这组邻边上的顶点顺次连接而成的三角形如果是直角三角形，则称这个三角形为平行四边形的“中直三角形”，并且把该平行四边形的长边与短边之比成为该平行四边形的“度量值” (1)如图1，已知矩形，为其“中直三角形”，其中，求：矩形的“度量值”； (2)如图2，为的“中直三角形”，其中，，求：的“度量值”； (3)在中，，，请直接写出以为中直三角形的平行四边形的“度量值”． 【答案】(1)；(2)；(3)或或 【解析】（1）解：∵为矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 由题意知，， ∴， 解得，， ∴矩形ABCD的“度量值”为， （2）解：如图1，作于G，作的延长线于点H， 同理，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，， ∴， 由勾股定理可得，， ∴，， ∴，整理得，， 解得，或（舍去）； ∴； ∴的“度量值”为； （3）解：由题意知，分C点与邻边上的顶点重合，B点与邻边上的顶点重合，A点与邻边上的顶点重合，三种情况求解； 当点与邻边上的顶点重合时，如图2，作以为中直三角形的平行四边形，作的延长线于点H，作于G， ∴，， ∴， ∴， 设，则， 同理，， ∴，即， 解得，， ∴，， ∵， ∴， 解得，， ∴， 由勾股定理得，， ∴； 当点与邻边上的顶点重合，如图3，作以为中直三角形的平行四边形，作的延长线于点H，作于G， 同理，，， 设，则， 同理，， ∴，即， 解得，， ∴，， ∵， ∴， 解得，， ∴， 由勾股定理得，， ∴； 当点与邻边上的顶点重合，如图4，作以为中直三角形的平行四边形，作于Q，作于H，作的延长线于点G，则四边形是矩形， ∵， ∴， ∴， 设，则，， 同理，， ∴，即， 解得，， ∴，，， ∵， ∴， 解得， ∴， 由勾股定理得，， ∴； 综上所述：的值为或或． 9．（2025·乌鲁木齐沙区·九年级适应性测试）综合与实践：如图1，这个图案是3世纪我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，受这幅图的启发，数学兴趣小组建立了“一线三直角模型”．如图2，在中，，将线段绕点顺时针旋转得到线段，作交的延长线于点．    (1)【观察感知】如图2，通过观察，线段与的数量关系是______； (2)【问题解决】如图3，连接并延长交的延长线于点，若，，求的面积； (3)【类比迁移】在(2)的条件下，连接交于点，则______； (4)【拓展延伸】在(2)的条件下，在直线上找点，使，请直接写出线段的长度． 【答案】(1)；(2)10；(3)；(4)或 【解析】（1）解：∵将线段绕点顺时针旋转得到线段，作交的延长线于点．   ， ， ， ， ， 又且 ， ； （2）解：， ， ， ， ， 又且， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：如图所示，过点作于点，    ∵， ∴ ∴， 即，即， 又∵ ∴ ∴， 设，则， 解得： ∴； （4）解：如图所示，当在点的左侧时，过点作于点    ∵ ∴，设，则， 又∵， ∴， ∴ ∴ ∴ ∴， 解得： 在中， ∴ ∴ 如图所示，当在点的右侧时，过点作交的延长线于点，    ∵ ∴ ∵ ∴ 设，则，， ∵， ∴ 解得： ∴ ∴ 综上所述，或． 10．（2025·新疆乌鲁木齐·模拟预测）抛物线，经过两点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)点在抛物线上，若对于，都有，写出的取值范围； (3)点在抛物线上，且点的横坐标为，将抛物线在，之间的部分(包含点，)记为图象，如果图象沿轴向上平移()个单位长度后与直线只有一个公共点，求的取值范围． 【答案】(1)；(2)；(3)或 【解析】（1）解：将代入，得： ， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）由抛物线解析式可知对称轴为直线， ， 关于对称轴对称点范围为， 要满足在对于，，都有， ， ； （3）点横坐标为， ， ， 令，得， ， 设直线解析式为将、代入得， ，解得：， 直线解析式为， 由题可知图象平移后的表达式为，，， ①如图，当直线和平移后的图象相切时， 令， 整理得， 此时， 解得：； ②如图，当平移后的图象与只有一个交点时， 设点平移后的对应点为，则， 当落在上之前，此时平移后的图象与直线只有一个交点， 将代入得，， 解得， ； 综上，或． 11．（2025·新疆乌鲁木齐·模拟预测）已知抛物线 的图象经过两点，与x轴交于A、B 两点（点A 在B 的左侧），P为抛物线上一点． (1)求抛物线的解析式； (2)过点 P 作轴于点 M，若满足（a为常数）的点有且只有三个，求的值； (3)若点 P 为第四象限内抛物线上一动点，直线与y轴交于点 C，连接． ①如图①，若，求点 P 的坐标；②如图②，直线与抛物线交于点 D，连接．请判断是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1)；(2)4；(3)①②是定值，定值为 【解析】（1）解：∵抛物线 经过两点， ，解得： ∴抛物线的解析式为． （2）解：∵满足的点有且只有三个， ∴的值为抛物线顶点到x轴的距离， 由（1）得抛物线的解析式为， ∴抛物线的顶点为， ∴． （3）解：①由（1）知 将代入 中，得： 解得： ∵点A在点B的左侧， ∴． 如图：过点 P作轴于点H， ， ， ∵轴，， ∴， ， ， ∵点P在第四象限的抛物线上， ∴设 且均不为0， 化简可得 ∵P为第四象限内抛物线上一点， ∴，且， ∴，解得： ∵点 P在第四象限， ， 此时 ∴点P的坐标为 ②是定值． 设直线的解析式为， 将代入中， 可得 ，解得： ∴直线的解析式为， 将代入中，得， ∴． 设直线的解析式为， 将代入中， 可得 ，解得 ∴直线的解析式为 联立 ，解得：或 ∴点D 的横坐标为，纵坐标为 ． ∴的值是定值，定值为． 12．（2025·新疆乌鲁木齐·二模）如图1，等腰中，，点在上运动（不能经过、）． (1)过作，交于，证明：； (2)如图2，若，点运动到靠近点的三等分点处时，以为边在其右侧作等腰，是的中点，连接，求的长； (3)如图3，，以为斜边作等腰，连接．若，请用含的式子表示，直接写出答案． 【答案】(1)见解析；(2)；(3)或 【解析】（1）证明：∵在等腰中，， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴； （2）连接，如图所示： 在等腰中，， ∴， ∵点是靠近点的三等分点， ∴，； ∵是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， 过作于点，则， ∵是中点， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， 在中，； （3）∵， ∴， ∵是以为斜边的等腰直角三角形， ∴，， ①当点在右侧时，如图， 过作交于点，则， 由（1）知， ∴， ∴，， 过作于点，则为等腰直角三角形， ∴， ∴， 在中，； ②当点在左侧时，如图， 过作交于点，则，此时， 同理可得， ∴， ∴，， 过作于点，则为等腰直角三角形， ∴， ∴， 在中，； 综上，或． 13．（2025·新疆乌鲁木齐·一模）【经典再现】人教版八年级数学下册教科书69页14题：如图1，四边形是正方形，点E是边的中点，且交正方形外角的平分线于点F．求证． 【思考尝试】 （1）同学们发现，取的中点H，连接可以解决这个问题．请在图1中补全图形，并解答老师提出的问题． 【类比探究】 （2）如图2，四边形是矩形，且，点E是边的中点，，且交矩形外角的平分线于点F，求的值（用含n的式子表示）； 【综合应用】 （3）如图3，P为边上一点，连接，，在（2）的基础上，当，，时，请直接写出的长． 【答案】（1）见解析（2）（3） 【解析】解：如图1， 取的中点H，连接， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵E是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 解：如图2， 在上截取，连接， ∵E时的中点， ∴， 不妨设，则， ∵， ∴， ∴， 由（1）得：，， ∴， ∴； 解：如图3， ∵， ∴可设，，则， 延长，，交于点R，作，交延长线于H，交的延长线与G，作于T， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， 由（1）知：， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 由（2）知：， ∴， ∴， ∴， ∴， 由得，， ∴，（舍去）， ∴． 14．（2025·新疆乌鲁木齐·一模）复习完“数与代数”的内容后，数学学习小组的同学想用“函数图象”的角度解决下面实际问题． 如图，计划围成一个面积为的矩形花园，花园一边靠墙，另外三边用栅栏围住． 问题1：若栅栏总长为，能否围出矩形花园？若能围成，请你写出两边的长； 问题2：若栅栏总长为，能否围出矩形花园？ 【问题探究】 学习小组思路：设为，为．由矩形花园面积为，得到，满足条件的可看成是反比例函数的图象在第一象限内点的坐标；栅栏总长为，得到，满足条件的可看成一次函数的图象在第一象限内点的坐标，两个函数图象交点的坐标可以同时满足题目中的两个条件． （1）学习小组的同学已经画出了图象，请你根据上面的分析思路，利用画好的图象解决问题1． （2）请类比问题1的解决方法，解决问题2并说明理由． 【拓展应用】 （3）从探究中发现当栅栏总长为时，“能否围成矩形花园的问题”可以转化为“与图象在第一象限内交点的存在性问题”．其中一次函数的图象可以看成是直线平移得到的．若要围成矩形花园，且和的长均不小于，求a的取值范围． 【答案】（1）能围成矩形花园，，或，；（2）不能围出矩形花园，理由见解析；（3） 【解析】（1）由，得， ∴， ∴， ∴， 解得，． 当时，；当时，． 所以能围成矩形花园，，或，． （2）由，得， ∴， ∴， ∵， 所以方程无解，不能围出矩形花园． （3）由，得，，． 因为和的长均不小于， 当时，，代入得，； 当时，，，代入得，． 要使方程有解，则，且． 解得．所以a的取值范围是． 15．（2025·新疆乌鲁木齐·一模）综合与实践 【思考尝试】 （1）如图①，在中，，点在上，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，．用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由； 【实践探究】 （2）如图②，小新受此问题启发，思考提出新的问题：在等腰直角的斜边上取两点，，连接，，使，用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由； 【拓展迁移】 （3）如图③，小齐深入研究小新提出的问题，发现并提出新的探究点：在边长为7的等边三角形的边上取一点，使．连接，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接，．求的面积． 【答案】（1），理由见解析；（2），理由见解析；（3） 【解析】解：（1）．理由如下： 将线段绕点A逆时针旋转得到线段， ，， ， 由题意，，， ， ， ， 在和中，， ， ，， ， ， ； （2）．理由如下： 如图②，把绕点A逆时针旋转得到， ，， ， ， ， ，， ， 在中，，， ， 即， ， ，， ， ， 在中，， 即； （3）是等边三角形， ，， 由旋转可知，， ， ，， ，， ，， 过点作交延长线于点， ，， ， ， ， ． 16．（2025·乌鲁木齐市第一中学·二模）如图1，在矩形中，点 E 为边上不与端点重合的一动点，点 F 是对角线上一点，连接，交于点O，且． (1)求证：； (2)若，求的长； (3)如图2，若矩形是正方形，求的值． 【答案】(1)详见解析；(2)；(3) 【解析】（1）解：∵矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）延长交于点， ∵矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）设正方形的边长为，则：， 延长交于点， ∵正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 17．（2025·新疆乌鲁木齐·三模）在解决几何问题中，通常我们可以利用平移变换来解决图形中边与角的相关问题． 【问题情境】 （1）如图1，在正方形中，分别是边上的点，于点．判断线段的数量关系并证明． 【尝试应用】 （2）如图2，在正方形网格中，点为格点，交于点．求的值； 【拓展提升】 （3）如图3，点是线段上的动点，分别以为边在的同侧作正方形与正方形，连接，分别交线段于点． ①求的度数； ②连接，交于点，直接写出的值． 【答案】（1），理由见解析；（2）；（3）①；② 【解析】解：（1），理由如下： 如图1-1所示，过点B作交于K，交于H， 四边形是正方形， ，，， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ； （2）将线段向右平移至处，使得点与点重合，连接，如图2所示： ， 设正方形网格的边长为单位1， 则，，，，，， 由勾股定理可得：，，， ， ， ． ； （3）①连接、、，AC    ∵四边形和四边形是正方形， ∴，，，，，， ∴，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴； ②∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴； 18．（2025·乌鲁木齐·三月学业测试）【教材呈现】 （1）如图1，在正方形中，是上的一点，经过旋转后得到， ①旋转中心是点______；旋转角最少是______度． ②爱动脑筋的小明，在边上取点，连接，使得，他发现：，他的发现正确吗？请你判断并说明理由． 【结论应用】 （2）①图1中，若正方形的边长为，则的周长为______（用含有的式子表示）． ②如图2，在四边形中，，，，是的中点，且，则的长______． 【类比迁移】 （3）如图3，在菱形中，，在线段上选一点（不与点重合），沿折叠，得到，在线段上取点，沿折叠，使得点与点重合，连接，分别交线段于点，若，，求的长． 【答案】（1）①；90；②他的发现正确，理由见解析；（2）①，②10；（3） 【解析】解：（1）①经过旋转后得到， 旋转中心是点；旋转角度最少是90度； 故答案为：，90； ②他的发现正确，理由如下： ，， ， ， ， ， ， 在和中 ， ， ， ， ； （2）①由（1）得 的周长， 故答案为：； ②如图，过作于，交延长线于， ，， ， ， 四边形为矩形， ， 四边形为正方形， ， 是的中点， , ，由（1）中②的结论可得， 设，则， ， 在中，， ， 即， 故答案为：10； （3）如图，连接，过点H作， 菱形中，， ， 点沿折叠，得到，点沿折叠，得到，，， ， ， ， ， ， 19．（2025·吐鲁番·三模）【问题背景】（1）如图1，在菱形中，于点，于点．求证： 【类比迁移】（2）如图2，在菱形中，为上一点，为上一点，．延长交的延长线于点．求证：； 【拓展应用】（3）如图3，在菱形中，，为上一点，延长交的延长线于点，连接，延长交于点，已知，求的度数，并直接写出的值．（用含的式子表示） 【答案】（1）见详解（2）见详解（3） 【解析】证明：（1）四边形是菱形， ，． 又于点，于点， ， 在与中， ， ， ； （2）证明：连接， 四边形为菱形， ，， 和均为等边三角形， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：在上取点，使，连接，， 由（2）知为等边三角形，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． ， 设，则，， ， ． 20．（2025·吐鲁番·二模）如图，中，，，点D在上运动（不能经过B、C），过D作，交于E． (1)证明； (2)设，，求y与x的函数关系，并写出其自变量取值范围； (3)若三角形恰为等腰三角形，请直接写出的长，不必说明理由． 【答案】(1)见解析；(2)；(3)或． 【解析】（1）如图， ∵， ∴， ∴； （2）∵， ∴，． ∵，， ∴，． ∵， ∴， ∴， 整理，得：； （3）分类讨论：①若， ∵， ∴， ∴， ∴ 解得：， ∴； ②若，则， ∴，即点D与点B重合，不合题意，舍去； ③若，则， ∴， ∴， ∴ ∴． 综上可知，的长为或． 21．（2025·吐鲁番·模拟）反比例函数的图象如图所示，一次函数（）的图象与的图象交于，两点，    (1)求一次函数的表达式，并在所给的平面直角坐标系中面出该函数的图象； (2)观察图象，直接写出不等式的解集； (3)一次函数的图象与x轴交于点C，连接，求的面积． 【答案】(1)一次函数的表达式为；函数图象见解析；(2)或；(3)2 【解析】（1）∵一次函数（）的图象与的图象交于，两点， ∴把，分别代入，得， ， 解得，， ∴，， 把，代入，得： ， 解得， ∴一次函数的表达式为； 画出函数图象如下图：    （2）∵直线与反比例函数交于点A（1，4），B（-2，-2） ∴当或时，一次函数的图象在反比例函数图象的下方， ∴不等式的解集为或； （3）如图，    对于，当时，， 解得，， ∴点C的坐标为（-1，0） ∵A（1，4） ∴ 【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解题关键是掌握函数与方程及不等式的关系． 22．（2025·吐鲁番·一模）设二次函数（m为常数）的图象为f． 【特例感悟】 （1）当，时，二次函数（m为常数）的最小值是______、最大值是______； 【类比探索】 （2）当直线与图象f在第一象限内交A、B两点（点A在点B的左边），A点横坐标a，点B的横坐标b，，求在范围内二次函数（m为常数）的最大值与最小值的差； 【纵深拓展】 （3）①不论m为何实数时，图象f一定会经过一个定点，求出这个定点坐标； ②当时，二次函数（m为常数）的最大值为9，那么图象f的对称轴与x轴的交点横坐标会大于0小于2吗？试说明你的理由，并指出满足条件的对称轴与定点之间的距离． 【答案】（1）；（2）最大值与最小值的差为；（3）①定点坐标为；②当时，图象的对称轴与轴的交点横坐标不能大于0小于2．理由见详解，定点分别到直线、的距离都是2． 【解析】解：（1）当，时，， 函数的对称轴为直线，则， 当时，， 故答案为：，； （2）依题意得：，整理得， 故，是其两实根， ，； 又， 故， 整理得， 解得，（不合题意）； ，，图象的对称轴为， 当时，随增大而增大， 当，且时， ， 当时，，． 最大值与最小值的差为． （3）①， 当时，无论为何实数，都有， 即定点坐标为； ②当时，图象的对称轴与轴的交点横坐标不能大于0小于2． 理由：， 图象的对称轴为， 当时，抛物线开口向上，在时， 随的增大而减小，函数在时随的增大而增大， 当时，有最大，， 解得，抛物线对称轴为， 当时，有最大，， 解得，抛物线对称轴为， 图象的对称轴与轴的交点横坐标不在大于0小于2的范围内． 由于抛物线开口向上，对称轴为直线时， 函数在时随的增大而增大， 当时，有最大，， 解得，抛物线对称轴为符合题意， 当对称轴为时，函数在时随的增大而减小， 当时，有最大，， 解得，抛物线对称轴为符合题意， 定点分别到直线、的距离都是2． 23．（2025·新疆昌吉·一模）如图，在中，，点D是斜边上的动点（点D与点A不重合），连接，以点C为顶点作，使得，连接．    【特例感知】 （1）如图1，若，，则与之间的位置关系是 ，数量关系是 ． 【类比迁移】 （2）如图2，若，猜想与之间的位置关系和数量关系，并证明猜想． 【拓展应用】 （3）在（1）的条件下，连接，若点F与点C关于对称，连接，，，如图3．已知，设，四边形的面积为y．求y与x的函数表达式，并求出y的最小值． 【答案】（1），；（2），证明见解析；（3），最小值18 【解析】解：（1）∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴，即， 故答案为：，； （2），证明如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，，则， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）连接交于，由（1）知，，，        ∴， ∴，，， ∴， ∵点与点关于对称， ∴垂直平分， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， ∴与的函数表达式：， 由， ∴其最小值为18． 24．（2025·新疆昌吉·模拟预测）【问题初探】 （1）数学活动课上，李老师给出了一个问题：如图1，已知点，将点A绕点B顺时针旋转得到点C，求点C的坐标． ①如图2，小明的解题思路是：分别过点B和点C作了y轴、x轴的平行线，构造两个全等的直角三角形，将点A和点B的坐标转化为对应线段的长度． ②如图3，小红的解题思路是：过点B作了x轴的平行线，分别过点A，点C作了y轴的平行线，同样构造出了两个全等的直角三角形，也将点A和点B的坐标转化为对应线段的长度． 请你根据上述两名同学的分析写出点C的坐标____． 【类比分析】 （2）如图4，二次函数经过点，点，且与y轴交于点C，抛物线的对称轴与x轴交点为点D，点P为y轴正半轴上一动点，将点P绕点D顺时针旋转到对应点Q，若点Q恰好落在抛物线上，求此时点P的坐标． 【学以致用】 （3）如图5，在（2）的条件下，抛物线的顶点为点E，连接，在抛物线上有一点M，连接交线段于点N，，求点M的坐标． 【答案】（1）C的坐标为；（2）P坐标为；（3）M的坐标为． 【解析】解：（1）小明同学的解题思路：过点作轴于点，过点作于点，如图，   点，， ，，， ． 则， ，， ． ， ，， ， 点的坐标为； 选择小红同学的解题思路：过点作轴于点，于点，过点作于点，于点，过点作于点，如图，   点，， ，，， ． 则， ，， ． 在和中， ， ， ，， ， 点的坐标为． 故答案为：； （2）二次函数，经过点，点， ， 解得：， 抛物线的解析式为． ， 抛物线的对称轴是直线． ， ． 过点作轴，垂足为，连接，，如图，    设的坐标为，则， 轴， ， ． ． 在和中， ， ， ，， ， 点的坐标为． 点恰好落在抛物线上， ， 解得：， （舍去）． 点坐标为； （3）过点作交延长线于点，分别过点，作轴于点，轴于点，如图，    则， ，， ． ， 点坐标为． 设直线的解析式为， 把，分别代入得： ， 解得：， 直线的解析式为． 设点的坐标为，则点的坐标为， 点的坐标为， ，， ，， ， ． 在和中， ， ， ，． ， 点的坐标为， 点在直线上， ， 解得：， 点的坐标为． 设直线的解析式为， ， 解得：， 直线的解析式为， ， 解得：，（舍去）， ． ， 点的坐标为． 25．（2025·喀什地区·三月学业测试）和均为等边三角形，点E、D分别从点A，B同时出发，以相同的速度沿运动，运动到点B、C停止. (1)如图1，当点E、D分别与点A、B重合时，请判断：线段的数量关系是____________，位置关系是____________； (2)如图2，当点E、D不与点A，B重合时，（1）中的结论是否依然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由； (3)当点D运动到什么位置时，四边形的面积是面积的一半，请直接写出答案；此时，四边形是哪种特殊四边形？请在备用图中画出图形并给予证明. 【答案】(1)CD=EF，CDEF；(2)CD=EF，CDEF，成立，理由见解析；(3)点D运动到BC的中点时，是菱形，证明见解析 【解析】（1）∵和均为等边三角形， ∴AF=AD，AB=BC，∠FAD=∠ABC=60°， 当点E、D分别与点A、B重合时，AB=AD，EF=AF，CD=BC，∠FAD=∠FAB， ∴CD=EF，CDEF； 故答案为：CD=EF，CD∥EF； （2）CD=EF，CDEF，成立． 证明： 连接BF， ∵∠FAD=∠BAC=60°， ∴∠FAD-∠BAD=∠BAC-∠BAD， 即∠FAB=∠DAC， ∵AF=AD，AB=AC， ∴△AFB≌△ADC(SAS)， ∴∠ABF=∠ACD=60°，BF=CD， ∵AE=BD， ∴BE=CD， ∴BF=BE， ∴△BFE是等边三角形， ∴BF=EF，∠FEB=60°， ∴CD=EF，BCEF， 即CDEF， ∴CD=EF， CDEF； （3）如图，当点D运动到BC的中点时，四边形的面积是面积的一半，此时，四边形是菱形． 证明： 过点E作EG⊥BC于点G，设△ABC的边长为a，AD=h， ∵AB=BC，BD=CD= BC= a， BD=AE， ∴AE=BE= AB， ∵AB=AC， ∴AD⊥BC， ∴EGAD， ∴△EBG∽△ABD， ∴， ∴= h， 由（2）知，CD=EF， CDEF， ∴四边形CEFD是平行四边形， ∴, 此时，EF=BD，EFBD， ∴四边形BDEF是平行四边形， ∵BF=EF， ∴是菱形． 26．（2025·喀什地区·四月学业测试）在矩形中，，点E，F分别为直线上的动点，且，连． (1)如图1，若点E，F分别在边上，则与的位置关系为______，数量关系为______； (2)如图2，若点E，F分别在边的延长线上，EC的延长线与DF交于点H． 求证：； (3)在（2）的条件下，点G为上的点，且，请用等式表示线段与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)，；(2)见解析；(3)，理由见解析 【解析】（1）解：设与相交于点， ∵矩形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴； 故答案为：，； （2）证明：∵矩形， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴； （3）解：，理由如下，如图，连接，， ∵矩形， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴， 由（2）知， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 27．（2025·喀什地区·三模）已知中，∠ACB＝90°，点D是AB上的一点，过点A作AE⊥AB，过点C作CE⊥CD，且AE与CE相交于点E． （1）如图1，当∠ABC＝45°，试猜想CE与CD的数量关系：__________； （2）如图2，当∠ABC＝30°，点D在BA的延长线上，连接DE，请探究以下问题： ①CD与CE的数量关系是否发生变化？如无变化，请给予证明；如有变化，先猜想CD与CE的数量关系，再给予证明； ②若AC＝2，四边形ACED的面积为3，试求BD的值． 【答案】（1）CE=CD；（2）①CD=CE，②BD=6，过程见解析． 【解析】解：（1）CE=CD． 证：∵∠ABC=45°，且∠ACB=90°， ∴ABC为等腰直角三角形，∠BAC=45°且AEAB，BC=AC ∴∠BAE =90°，∠EAC =∠BAE-∠BAC=90°-45°=45°， 且CECD， ∴∠DCE =90°， 则∠BCD =∠ACB-∠ACD=90°-∠ACD=∠DCE-∠ACD=∠ACE， 在BCD和ACE 中， ∴BCD≌ACE（ASA）， ∴CE=CD． （2）①CD=CE． 证明：∵在ABC中，∠ABC=30°， ∴∠BAC=60°，， ∴∠CAE=90°-∠BAC=30°， ∴∠ABC=∠CAE， ∵∠ACB=∠DCE=90°， ∴∠BCD=90°+∠ACD=∠ACE， ∴BCD∽ACE， ∴， ∴CD=CE． ②如图所示，作CFAB，垂足为F，连接EF， ∵CFAB，AEAB，∴CFAE ∴（同底AE，等高AF）， ∴， ∵在ABC中，∠ABC=30°， ∴AB=4，AF=1，BF=3， 且由第①小问求得BCD∽ACE， ∴， 设BD=m，AE=，DF=m-3， ∴，解得：m=6或-3（舍去）， ∴BD=6． 28．（2025·喀什地区·三模）如图，抛物线与轴交于A、B两点，与轴交于点C，直线过B、C两点，连接AC． （1）求抛物线的解析式； （2）求证：； （3）点是抛物线上的一点，点D为抛物线上位于直线BC上方的一点，过点D作轴交直线BC于点E，点P为抛物线对称轴上一动点，当线段DE的长度最大时，求的最小值． 【答案】（1）；（2）见解析；（3） 【解析】（1）解：∵直线分别与轴和轴交于点B和点C， ∴点B的坐标为（4，0），点C的坐标为（0，2）， 把，分别代入， 得， 解得， ∴抛物线的解析式为． （2）∵抛物线与x轴交于点A， ∴， 解得，， ∴点A的坐标为， ∴，， 在中，，， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴． （3）设点D的坐标为 则点E的坐标为 ∴ = ∵， ∴当时，线段DE的长度最大． 此时，点D的坐标为， ∵， ∴点C和点M关于对称轴对称， 连接CD交对称轴于点P，此时最小． 连接CM交直线DE于点F，则，点F的坐标为， ∴， ∵ ∴的最小值． ． 29．（2025·喀什地区·一模）如图，抛物线y＝ax2＋bx－4与x轴交于A(4，0)、B(－2，0)两点，与y轴交于点C，点P是线段AB上一动点(端点除外)，过点P作PD∥AC，交BC于点D，连接CP． （1）求该抛物线的解析式； （2）当动点P运动到何处时，BP2＝BD•BC； （3）当△PCD的面积最大时，求点P的坐标． 【答案】（1）y＝－x－4；（2）见解析；（3）点P的坐标为(1，0) 【解析】解：(1)由题意，得， 解得， ∴抛物线的解析式为y＝－x－4； (2)设点P运动到点(x，0)时，有BP2＝BD•BC， 令x＝0时，则y＝－4， ∴点C的坐标为(0，－4)． ∵PD∥AC， ∴△BPD∽△BAC， ∴． ∵BC＝， AB＝6，BP＝x－(－2)＝x＋2． ∴BD＝＝＝． ∵BP2＝BD•BC， ∴(x＋2)2＝， 解得x1＝，x2＝－2(－2不合题意，舍去)， ∴点P的坐标是(，0)，即当点P运动到(，0)时，BP2＝BD•BC； (3)∵△BPD∽△BAC， ∴， ∴× S△BPC＝×(x＋2)×4－ ∵， ∴当x＝1时，S△BPC有最大值为3． 即点P的坐标为(1，0)时，△PDC的面积最大． 30．（2025·伊宁市·九年级阶段性质量抽测）在中，，，点D是上一个动点（点D不与A，B重合），以点D为中心，将线段顺时针旋转得到线． (1)如图1，当时，求的度数； (2)如图2，连接，当时，的大小是否发生变化？如果不变求，的度数；如果变化，请说明理由； (3)如图3，点M在CD上，且，以点C为中心，将线CM逆时针转得到线段CN，连接EN，若，求线段EN的取值范围． 【答案】(1) (2)的大小不发生变化，，理由见解析 (3) 【解析】（1）解：由旋转的性质得． ∵，， ∴． ∵， ∴， ∴； （2）解：的大小不发生变化，，理由如下： 连接交于点O， 由旋转的性质得，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：如图所示，过点C作于H， ∵，， ∴， ∵， ∴； 由旋转的性质得，，， 设， ∵， ∴， 如图所示，过点D作于G， ∵，， ∴， ∵， ∴，， 在中，由勾股定理得， ∴, ∵， ∴， 在中，由勾股定理得 ， ∴或（舍去）； ∵点D是上一个动点（点D不与A，B重合）， ∴，即， ∴， ∴． 1 / 76 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题19 压轴解答题（原卷版） 1．（2025·新疆·中考真题）如图，在等腰直角三角形中，，，，点M是的中点，点D和点N分别是线段和上的动点． (1)当点D和点N分别是和的中点时，求a的值； (2)当时，以点C，D，N为顶点的三角形与相似，求的值； (3)当时，求的最小值． 2．（2024·新疆·中考真题）【探究】 （）已知和都是等边三角形． ①如图，当点在上时，连接．请探究和之间的数量关系，并说明理由； ②如图，当点在线段的延长线上时，连接．请再次探究和之间的数量关系，并说明理由． 【运用】 （）如图，等边三角形中，，点在上，．点是直线上的动点，连接，以为边在的右侧作等边三角形，连接．当为直角三角形时，请直接写出的长． 3．（2023·新疆·中考真题）【建立模型】(1)如图，点是线段上的一点，，，，垂足分别为，，，．求证：； 【类比迁移】(2)如图，一次函数的图象与轴交于点、与轴交于点，将线段绕点逆时针旋转得到、直线交轴于点． ①求点的坐标； ②求直线的解析式； 【拓展延伸】(3)如图，抛物线与轴交于，两点点在点的左侧，与轴交于点，已知点，，连接．抛物线上是否存在点，使得，若存在，求出点的横坐标．          4．（2022·新疆·中考真题）如图，在中，，点O为BC的中点，点D是线段OC上的动点（点D不与点O，C重合），将沿AD折叠得到，连接BE．    (1)当时，___________； (2)探究与之间的数量关系，并给出证明； (3)设，的面积为x，以AD为边长的正方形的面积为y，求y关于x的函数解析式． 5．（2021·新疆·中考真题）已知抛物线． （1）求抛物线的对称轴； （2）把抛物线沿y轴向下平移个单位，若抛物线的顶点落在x轴上，求a的值； （3）设点，在抛物线上，若，求a的取值范围． 6．（2025·乌鲁木齐十三中·三模）【模型建立】：如图1，在正方形中，E，F分别是边上的点，且，探究图中线段之间的数量关系． （1）小宋的探究思路如下：延长到点G，使，连接，先证明，再证明．之间的数量关系为______．若，则______． 【模型应用】： （2）如图2，在矩形中，，点F为中点，，求的长． 【拓展提升】： （3）通过对图2的分析，小宋同学在深入思考后，他发现一个很有意思的结论，若，且，则______．（用含a、b的代数式表示） 7．（2025·新疆乌鲁木齐·三模）【问题情境】 如图，四边形是正方形．过点C在正方形的外侧作射线，．作点D关于射线的对称点E，线段交射线于点M，连接交直线于点F． 【探究发现】 （1）当时，的度数为___________度； 【猜想论证】 （2）在（1）的条件下，猜想线段、、之间的数量关系，并证明你的猜想； 【拓展应用】 （3）若，，直接写出的长． 8．（2025·乌鲁木齐·五月学业测试）新定义：平行四边形一组邻边的中点与不在这组邻边上的顶点顺次连接而成的三角形如果是直角三角形，则称这个三角形为平行四边形的“中直三角形”，并且把该平行四边形的长边与短边之比成为该平行四边形的“度量值” (1)如图1，已知矩形，为其“中直三角形”，其中，求：矩形的“度量值”； (2)如图2，为的“中直三角形”，其中，，求：的“度量值”； (3)在中，，，请直接写出以为中直三角形的平行四边形的“度量值”． 9．（2025·乌鲁木齐沙区·九年级适应性测试）综合与实践：如图1，这个图案是3世纪我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，受这幅图的启发，数学兴趣小组建立了“一线三直角模型”．如图2，在中，，将线段绕点顺时针旋转得到线段，作交的延长线于点．    (1)【观察感知】如图2，通过观察，线段与的数量关系是______； (2)【问题解决】如图3，连接并延长交的延长线于点，若，，求的面积； (3)【类比迁移】在(2)的条件下，连接交于点，则______； (4)【拓展延伸】在(2)的条件下，在直线上找点，使，请直接写出线段的长度． 10．（2025·新疆乌鲁木齐·模拟预测）抛物线，经过两点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)点在抛物线上，若对于，都有，写出的取值范围； (3)点在抛物线上，且点的横坐标为，将抛物线在，之间的部分(包含点，)记为图象，如果图象沿轴向上平移()个单位长度后与直线只有一个公共点，求的取值范围． 11．（2025·新疆乌鲁木齐·模拟预测）已知抛物线 的图象经过两点，与x轴交于A、B 两点（点A 在B 的左侧），P为抛物线上一点． (1)求抛物线的解析式； (2)过点 P 作轴于点 M，若满足（a为常数）的点有且只有三个，求的值； (3)若点 P 为第四象限内抛物线上一动点，直线与y轴交于点 C，连接． ①如图①，若，求点 P 的坐标；②如图②，直线与抛物线交于点 D，连接．请判断是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由． 12．（2025·新疆乌鲁木齐·二模）如图1，等腰中，，点在上运动（不能经过、）． (1)过作，交于，证明：； (2)如图2，若，点运动到靠近点的三等分点处时，以为边在其右侧作等腰，是的中点，连接，求的长； (3)如图3，，以为斜边作等腰，连接．若，请用含的式子表示，直接写出答案． 13．（2025·新疆乌鲁木齐·一模）【经典再现】人教版八年级数学下册教科书69页14题：如图1，四边形是正方形，点E是边的中点，且交正方形外角的平分线于点F．求证． 【思考尝试】 （1）同学们发现，取的中点H，连接可以解决这个问题．请在图1中补全图形，并解答老师提出的问题． 【类比探究】 （2）如图2，四边形是矩形，且，点E是边的中点，，且交矩形外角的平分线于点F，求的值（用含n的式子表示）； 【综合应用】 （3）如图3，P为边上一点，连接，，在（2）的基础上，当，，时，请直接写出的长． 14．（2025·新疆乌鲁木齐·一模）复习完“数与代数”的内容后，数学学习小组的同学想用“函数图象”的角度解决下面实际问题． 如图，计划围成一个面积为的矩形花园，花园一边靠墙，另外三边用栅栏围住． 问题1：若栅栏总长为，能否围出矩形花园？若能围成，请你写出两边的长； 问题2：若栅栏总长为，能否围出矩形花园？ 【问题探究】 学习小组思路：设为，为．由矩形花园面积为，得到，满足条件的可看成是反比例函数的图象在第一象限内点的坐标；栅栏总长为，得到，满足条件的可看成一次函数的图象在第一象限内点的坐标，两个函数图象交点的坐标可以同时满足题目中的两个条件． （1）学习小组的同学已经画出了图象，请你根据上面的分析思路，利用画好的图象解决问题1． （2）请类比问题1的解决方法，解决问题2并说明理由． 【拓展应用】 （3）从探究中发现当栅栏总长为时，“能否围成矩形花园的问题”可以转化为“与图象在第一象限内交点的存在性问题”．其中一次函数的图象可以看成是直线平移得到的．若要围成矩形花园，且和的长均不小于，求a的取值范围． 15．（2025·新疆乌鲁木齐·一模）综合与实践 【思考尝试】 （1）如图①，在中，，点在上，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，．用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由； 【实践探究】 （2）如图②，小新受此问题启发，思考提出新的问题：在等腰直角的斜边上取两点，，连接，，使，用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由； 【拓展迁移】 （3）如图③，小齐深入研究小新提出的问题，发现并提出新的探究点：在边长为7的等边三角形的边上取一点，使．连接，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接，．求的面积． 16．（2025·乌鲁木齐市第一中学·二模）如图1，在矩形中，点 E 为边上不与端点重合的一动点，点 F 是对角线上一点，连接，交于点O，且． (1)求证：； (2)若，求的长； (3)如图2，若矩形是正方形，求的值． 17．（2025·新疆乌鲁木齐·三模）在解决几何问题中，通常我们可以利用平移变换来解决图形中边与角的相关问题． 【问题情境】 （1）如图1，在正方形中，分别是边上的点，于点．判断线段的数量关系并证明． 【尝试应用】 （2）如图2，在正方形网格中，点为格点，交于点．求的值； 【拓展提升】 （3）如图3，点是线段上的动点，分别以为边在的同侧作正方形与正方形，连接，分别交线段于点． ①求的度数； ②连接，交于点，直接写出的值． 18．（2025·乌鲁木齐·三月学业测试）【教材呈现】 （1）如图1，在正方形中，是上的一点，经过旋转后得到， ①旋转中心是点______；旋转角最少是______度． ②爱动脑筋的小明，在边上取点，连接，使得，他发现：，他的发现正确吗？请你判断并说明理由． 【结论应用】 （2）①图1中，若正方形的边长为，则的周长为______（用含有的式子表示）． ②如图2，在四边形中，，，，是的中点，且，则的长______． 【类比迁移】 （3）如图3，在菱形中，，在线段上选一点（不与点重合），沿折叠，得到，在线段上取点，沿折叠，使得点与点重合，连接，分别交线段于点，若，，求的长． 19．（2025·吐鲁番·三模）【问题背景】（1）如图1，在菱形中，于点，于点．求证： 【类比迁移】（2）如图2，在菱形中，为上一点，为上一点，．延长交的延长线于点．求证：； 【拓展应用】（3）如图3，在菱形中，，为上一点，延长交的延长线于点，连接，延长交于点，已知，求的度数，并直接写出的值．（用含的式子表示） 20．（2025·吐鲁番·二模）如图，中，，，点D在上运动（不能经过B、C），过D作，交于E． (1)证明； (2)设，，求y与x的函数关系，并写出其自变量取值范围； (3)若三角形恰为等腰三角形，请直接写出的长，不必说明理由． 21．（2025·吐鲁番·模拟）反比例函数的图象如图所示，一次函数（）的图象与的图象交于，两点，    (1)求一次函数的表达式，并在所给的平面直角坐标系中面出该函数的图象； (2)观察图象，直接写出不等式的解集； (3)一次函数的图象与x轴交于点C，连接，求的面积． 22．（2025·吐鲁番·一模）设二次函数（m为常数）的图象为f． 【特例感悟】 （1）当，时，二次函数（m为常数）的最小值是______、最大值是______； 【类比探索】 （2）当直线与图象f在第一象限内交A、B两点（点A在点B的左边），A点横坐标a，点B的横坐标b，，求在范围内二次函数（m为常数）的最大值与最小值的差； 【纵深拓展】 （3）①不论m为何实数时，图象f一定会经过一个定点，求出这个定点坐标； ②当时，二次函数（m为常数）的最大值为9，那么图象f的对称轴与x轴的交点横坐标会大于0小于2吗？试说明你的理由，并指出满足条件的对称轴与定点之间的距离． 23．（2025·新疆昌吉·一模）如图，在中，，点D是斜边上的动点（点D与点A不重合），连接，以点C为顶点作，使得，连接．    【特例感知】 （1）如图1，若，，则与之间的位置关系是 ，数量关系是 ． 【类比迁移】 （2）如图2，若，猜想与之间的位置关系和数量关系，并证明猜想． 【拓展应用】 （3）在（1）的条件下，连接，若点F与点C关于对称，连接，，，如图3．已知，设，四边形的面积为y．求y与x的函数表达式，并求出y的最小值． 24．（2025·新疆昌吉·模拟预测）【问题初探】 （1）数学活动课上，李老师给出了一个问题：如图1，已知点，将点A绕点B顺时针旋转得到点C，求点C的坐标． ①如图2，小明的解题思路是：分别过点B和点C作了y轴、x轴的平行线，构造两个全等的直角三角形，将点A和点B的坐标转化为对应线段的长度． ②如图3，小红的解题思路是：过点B作了x轴的平行线，分别过点A，点C作了y轴的平行线，同样构造出了两个全等的直角三角形，也将点A和点B的坐标转化为对应线段的长度． 请你根据上述两名同学的分析写出点C的坐标____． 【类比分析】 （2）如图4，二次函数经过点，点，且与y轴交于点C，抛物线的对称轴与x轴交点为点D，点P为y轴正半轴上一动点，将点P绕点D顺时针旋转到对应点Q，若点Q恰好落在抛物线上，求此时点P的坐标． 【学以致用】 （3）如图5，在（2）的条件下，抛物线的顶点为点E，连接，在抛物线上有一点M，连接交线段于点N，，求点M的坐标． 25．（2025·喀什地区·三月学业测试）和均为等边三角形，点E、D分别从点A，B同时出发，以相同的速度沿运动，运动到点B、C停止. (1)如图1，当点E、D分别与点A、B重合时，请判断：线段的数量关系是____________，位置关系是____________； (2)如图2，当点E、D不与点A，B重合时，（1）中的结论是否依然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由； (3)当点D运动到什么位置时，四边形的面积是面积的一半，请直接写出答案；此时，四边形是哪种特殊四边形？请在备用图中画出图形并给予证明. 26．（2025·喀什地区·四月学业测试）在矩形中，，点E，F分别为直线上的动点，且，连． (1)如图1，若点E，F分别在边上，则与的位置关系为______，数量关系为______； (2)如图2，若点E，F分别在边的延长线上，EC的延长线与DF交于点H． 求证：； (3)在（2）的条件下，点G为上的点，且，请用等式表示线段与的数量关系，并说明理由． 27．（2025·喀什地区·三模）已知中，∠ACB＝90°，点D是AB上的一点，过点A作AE⊥AB，过点C作CE⊥CD，且AE与CE相交于点E． （1）如图1，当∠ABC＝45°，试猜想CE与CD的数量关系：__________； （2）如图2，当∠ABC＝30°，点D在BA的延长线上，连接DE，请探究以下问题： ①CD与CE的数量关系是否发生变化？如无变化，请给予证明；如有变化，先猜想CD与CE的数量关系，再给予证明； ②若AC＝2，四边形ACED的面积为3，试求BD的值． 28．（2025·喀什地区·三模）如图，抛物线与轴交于A、B两点，与轴交于点C，直线过B、C两点，连接AC． （1）求抛物线的解析式； （2）求证：； （3）点是抛物线上的一点，点D为抛物线上位于直线BC上方的一点，过点D作轴交直线BC于点E，点P为抛物线对称轴上一动点，当线段DE的长度最大时，求的最小值． 29．（2025·喀什地区·一模）如图，抛物线y＝ax2＋bx－4与x轴交于A(4，0)、B(－2，0)两点，与y轴交于点C，点P是线段AB上一动点(端点除外)，过点P作PD∥AC，交BC于点D，连接CP． （1）求该抛物线的解析式； （2）当动点P运动到何处时，BP2＝BD•BC； （3）当△PCD的面积最大时，求点P的坐标． 30．（2025·伊宁市·九年级阶段性质量抽测）在中，，，点D是上一个动点（点D不与A，B重合），以点D为中心，将线段顺时针旋转得到线． (1)如图1，当时，求的度数； (2)如图2，连接，当时，的大小是否发生变化？如果不变求，的度数；如果变化，请说明理由； (3)如图3，点M在CD上，且，以点C为中心，将线CM逆时针转得到线段CN，连接EN，若，求线段EN的取值范围． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$