专题18 圆（新疆专用）-【好题汇编】5年（2021-2025）中考1年模拟数学真题分类汇编

专题18 圆（原卷版） 1．（2025·新疆·中考真题）如图，为的直径，C为上一点，于点F，，交于点G，交于点D． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长．2．（2024·新疆·中考真题）如图，在中，是的直径，弦交于点E，． (1)求证：； (2)若，求的长． 3．（2023·新疆·中考真题）如图，是的直径，点，是上的点，且，连接，过点作的垂线，交的延长线于点，交的延长线于点，过点作于点，交于点．    (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 4．（2022·新疆·中考真题）如图，⊙是的外接圆，AB是⊙的直径，点D在⊙上，，连接AD，延长DB交过点C的切线于点E． (1)求证：； (2)求证：； (3)若，求DB的长． 5．（2021·新疆·中考真题）如图，AC是⊙O的直径，BC，BD是⊙O的弦，M为BC的中点，OM与BD交于点F，过点D作，交BC的延长线于点E，且CD平分． （1）求证：DE是⊙O的切线； （2）求证：； （3）若，，求BF的长． 6．（2025·乌鲁木齐十三中·三模）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于点D，O为AB上一点，经过点A，D的⊙O分别交AB，AC于点E，F，连接OF交AD于点G． (1)求证：BC 是⊙O的切线； (2)设AB=x，AF=y，用含x，y的代数式表示线段AD的长； (3)若BE=8，sinB=，求DG的长． 7．（2025·新疆乌鲁木齐·三模）如图，在中，，，两点分别在边，上，过，两点的与相交于点，连接，，． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径． 8．（2025·乌鲁木齐·五月学业测试）如图1，是的直径，点D为下方上一点，点C为弧的中点，连结，，． (1)求证：平分． (2)如图2，延长，相交于点E． ①求证：． ②若，，求的半径． 9．（2025·乌鲁木齐沙区·九年级适应性测试）如图，是的直径，、是的弦，，垂足为，连接并延长，与过点的直线相交于点，且． (1)求证：是的切线； (2)若的半径为5，，求线段的长． 10．（2025·新疆乌鲁木齐·模拟预测）如图，是的直径，点在圆上，过点作的切线，且，连接，线段交于点，交于点，连接． (1)求证：； (2)若，求的长． 11．（2015·乌鲁木齐一中·模拟预测）如图，在中，，的平分线交于点D，交于点E，设是的外接圆． (1)求证：是的切线； (2)若，求的长． 12．（2025·新疆乌鲁木齐·二模）如图，是的直径，连接并延长至点，使得，连接交于点． (1)证明：； (2)用无刻度的直尺和圆规作出所对弧的中点；（不写作法，保留作图痕迹） (3)在（2）基础上连接，交于点，连接，若，，求的值． 13．（2025·乌鲁木齐水磨沟区·一模）已知：如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，OD⊥BC于点D，过点C作 ⊙O的切线，交OD 的延长线于点E，连结BE． （1）求证：BE与⊙O相切； （2）连结AD并延长交BE于点F，若OB=9，，求BF的长． 14．（2025·乌鲁木齐新市区·一模）如图，与相切于点A，半径，与相交于点D，连接．    (1)求证：； (2)若的半径为6，，求的长． 15．（2025·新疆乌鲁木齐·一模）如图，四边形内接于，，平分并经过圆心交于点，交于点． (1)求证：是的切线； (2)若，求的半径； (3)若，求的面积． 16．（2025·乌鲁木齐一中·二模）如图，是的外接圆，点O在BC上，的角平分线交于点D，连接BD，CD，过点D作BC的平行线与AC的延长线相交于点P． (1)求证：PD是的切线； (2)求证：∽； (3)若，，求点O到AD的距离． 17．（2025·乌鲁木齐兵一·模拟预测）如图，AB为的直径，D是弧BC的中点BC与AD，OD分别交于点E，F (1)求证：； (2)求证：; (3)若,求的值. 18．（2025·新疆乌鲁木齐·三月学业测试）如图，AB是⊙O的直径，CD与⊙O相切于点C，与AB的延长线交于点D，DE⊥AD且与AC的延长线交于点E. (1)求证：DC＝DE； (2)若tan∠CAB＝，AB＝3，求BD的长. 19．（2025·乌鲁木齐兵一·三模）如图，为的直径，过的中点D，于点E．    (1)求证：为的切线： (2)若，求的直径 (3)在（2）的条件下，的平分线交于点F，交于点G，求的值． 20．（2025·吐鲁番·三模）如图，为的直径，和相交于点F，平分，点C在上，且，交于点P．    (1)求证：是的切线； (2)求证：； (3)已知，求的值． 21．（2025·吐鲁番·二模）如图，在菱形中，于，以为直径的分别交，于点，，连接．    (1)求证： ①是的切线； ②； (2)若，，求． 22．（2025·新疆吐鲁番·一模）如图，是的外接圆，为的直径，在外侧作，过点C作于点D，交延长线于点 P． (1)求证：是的切线； (2)用无刻度的直尺和圆规作出所对弧的中点F．(不写作法，保留作图痕迹)； (3)在(2)基础上连接，交于点E，连接，求线段的长． 23．（2025·新疆昌吉·一模）如图，为的直径，C为上一点，连接、，点F为上一点，且，延长于点E，使得，延长、交于点D． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 24．（2025·喀什地区·三月学业测试）如图，内接于，点为的中点，连接，平分交于点，过点作交的延长线于点． (1)求证：是的切线． (2)求证：． (3)若，，求的长． 25．（2025·新疆喀什·模拟预测）如图，已知中，，以为直径的交于点，交于点，连接、相交于点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 26．（2025·喀什地区·三模）如图，在平行四边形ABCD中，∠D＝60°，对角线AC⊥BC，⊙O经过点A，B，与AC交于点M，连接AO并延长与⊙O交于点F，与CB的延长线交于点E，AB＝EB． （1）求证：EC是⊙O的切线； （2）若AD＝2，求的长（结果保留π）． 27．（2025·喀什地区·二模）如图，以等边三角形ABC的BC边为直径画圆，交AC于点D，于点F，连接OF，且． （1）求证：DF是的切线； （2）求线段OF的长度． 28．（2025·喀什地区·一模）如图，AB是的直径，AM和BN是它的两条切线，DE切于点E，交AM于点D，交BN于点C，F是CD的中点，连接OF． (1)求证：； (2)猜想：OF与CD有何数量关系？并说明理由． 29．（2025·新疆和田·三模）如图，是的直径，连接并延长至点，使得，平分与圆相交与点，与相交点，连接交于点． (1)证明：； (2)若，求的值． 30．（2025·伊宁市·九年级阶段性质量抽测）如图，在中，，D为的中点，以为直径作，交边于点E，过点E作，垂足为点F． (1)求证：为的切线； (2)若，求的长． 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题18 圆（解析版） 1．（2025·新疆·中考真题）如图，为的直径，C为上一点，于点F，，交于点G，交于点D． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析；(2) 【解析】（1）证明：连接， ∵于点F， ∴, ∵ ∴， ∵ ∴， ∴， 即 ∵是的半径， ∴是的切线； （2）∵为的直径， ∴ ∵， ∴， ∴ ∵， ∴ ∵ ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴ 解得， ∵ ∴ 解得， ∴ ∴， ∴ 2．（2024·新疆·中考真题）如图，在中，是的直径，弦交于点E，． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析；(2) 【解析】（1）证明：∵， ∴， 又， ∴； （2）解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴E到、的距离相等， 设E到的距离为，C到的距离为， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴． 3．（2023·新疆·中考真题）如图，是的直径，点，是上的点，且，连接，过点作的垂线，交的延长线于点，交的延长线于点，过点作于点，交于点．    (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析；(2) 【解析】（1）证明：如图所示，连接，    ∵， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴， ∴ ∴ ∵ ∴ ∵是半径， ∴是的切线； （2）解：如图所示，连接，    ∵，， 设，则 ∴， ∴， 即 解得：， ∵， ∴ ∵ ∴， ∴， ∵是直径， ∴， ∴， ∴， 又， ∴， ∴,， ∴， ∴， 解得：， ∴ ∴， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∵, , ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 4．（2022·新疆·中考真题）如图，⊙是的外接圆，AB是⊙的直径，点D在⊙上，，连接AD，延长DB交过点C的切线于点E． (1)求证：； (2)求证：； (3)若，求DB的长． 【答案】(1)见解析；(2)见解析；(3) 【解析】（1）， （2）如图，连接 是的切线， 四边形是的内接四边形， （3）解：∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB=90°， ∵AC=4，BC=3， ∴AB==5，CD=AC=4 ∵∠ACB=∠E=90°，∠CAB=∠CDB， ∴△ACB∽△DEC， ∴， ∴， ∴DE=， ∵∠CBE=∠ABC，∠ACB=∠E=90°， ∴△ACB∽△CEB， ∴， ∴， ∴BE=， ∴BD=DE-BE=， ∴DB的长为． 5．（2021·新疆·中考真题）如图，AC是⊙O的直径，BC，BD是⊙O的弦，M为BC的中点，OM与BD交于点F，过点D作，交BC的延长线于点E，且CD平分． （1）求证：DE是⊙O的切线； （2）求证：； （3）若，，求BF的长． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3） 【解析】（1）如图，连接OD，AD， ∵AC为直径， ∴∠ADC=90°， ∵CD平分∠ACE， ∴∠ACD=∠ECD， ∵DE⊥BC， ∴∠DEC=90°， ∴∠CAD=∠CDE， ∵∠CAD=∠ADO， ∴∠ADO=∠CDE， ∴∠ADO+∠ODC=∠ODC+∠CDE， 即：∠ADC=∠ODE， ∴∠ODE=90°， ∵OD为半径， ∴DE是⊙O的切线； （2）如（1）图，可得∠CDE=∠CAD， 根据同弧所对的圆周角相等，可得∠CAD=∠DBE， ∴∠CDE=∠DBE； （3）解：Rt△CDE中，DE=6，tan∠CDE=， ∴， ∴CE=4， 由（2）知∠CDE=∠DBE， Rt△BDE中，DE=6，tan∠DBE=， ∴， ∴BE=9， ∴BC=BE-CE=5， ∵M为BC的中点， ∴OM⊥BC，， Rt△BFM中，， ∴， ∴， ∴． 6．（2025·乌鲁木齐十三中·三模）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于点D，O为AB上一点，经过点A，D的⊙O分别交AB，AC于点E，F，连接OF交AD于点G． (1)求证：BC 是⊙O的切线； (2)设AB=x，AF=y，用含x，y的代数式表示线段AD的长； (3)若BE=8，sinB=，求DG的长． 【答案】(1)见解析；(2)AD=；(3)DG=． 【解析】（1）证明：如图，连接OD， ∵AD为∠BAC的角平分线， ∴∠BAD=∠CAD， ∵OA=OD， ∴∠ODA=∠OAD， ∴∠ODA=∠CAD， ∴OD∥AC， ∵∠C=90°， ∴∠ODC=90°， ∴OD⊥BC， ∴BC为圆O的切线； （2）解：连接DF，由（1）知BC为圆O的切线， ∴∠FDC=∠DAF， ∴∠CDA=∠CFD， ∴∠AFD=∠ADB， ∵∠BAD=∠DAF， ∴△ABD∽△ADF， ∴，即AD2=AB•AF=xy， 则AD=； （3）解：连接EF，在Rt△BOD 中，sinB=． 设圆的半径为r， ∴，解得r=5， ∴AE=10，AB=18． ∵∠AFE=∠C=90°， ∴AF=AE·sin∠AFE=， ∵AF∥OD， ∴， ∴DG=AD ∵AD=， ∴DG=． 7．（2025·新疆乌鲁木齐·三模）如图，在中，，，两点分别在边，上，过，两点的与相交于点，连接，，． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)证明见解析；；(2)的半径为． 【解析】（1）证明：连接， ∵， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； （2）解：连接， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的半径为． 8．（2025·乌鲁木齐·五月学业测试）如图1，是的直径，点D为下方上一点，点C为弧的中点，连结，，． (1)求证：平分． (2)如图2，延长，相交于点E． ①求证：． ②若，，求的半径． 【答案】(1)证明见解析；(2)5 【解析】（1）证明∵点C为弧的中点， ∴， ∴，， ∴平分； （2）①证明：∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴ ②如图2，连接，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设的半径为r， 则， ∵， ∴， ∵， ∴， 整理得， 解得，（不符合题意，舍去）， ∴的半径为5． 9．（2025·乌鲁木齐沙区·九年级适应性测试）如图，是的直径，、是的弦，，垂足为，连接并延长，与过点的直线相交于点，且． (1)求证：是的切线； (2)若的半径为5，，求线段的长． 【答案】(1)见解析；(2) 【解析】（1）证明：由圆周角定理得：， ， ， ， ， ， 是的半径， 是的切线； （2）解：如图，连接， 是的直径，， ， ， 是的直径， ，， ， ，， ， ，即， 解得：， ． 10．（2025·新疆乌鲁木齐·模拟预测）如图，是的直径，点在圆上，过点作的切线，且，连接，线段交于点，交于点，连接． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析；(2) 【解析】（1）证明：如图，连接，则， 是的直径，与相切于点， ， ， ，， ， ， ， ， ，， ， ． （2）解：连接，则， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得：或舍去， ，，，， ， 在中，， 在中，， ，，， ， ， ． 11．（2015·乌鲁木齐一中·模拟预测）如图，在中，，的平分线交于点D，交于点E，设是的外接圆． (1)求证：是的切线； (2)若，求的长． 【答案】(1)证明见解析；(2) 【解析】（1）证明：连接， ∵是的外接圆， ∴是直径，点O是的中点， ∵， ∴， 又为的平分线， ∴， ∵， ∴， 则，即 又∵是的半径， ∴是的切线． （2）解：∵， ∴， ， ∵ ∴ ∵ ∴， 又为公共角， ∴， 则有， ∴， 在中，， 即， 解得或（舍去）， 所以． 12．（2025·新疆乌鲁木齐·二模）如图，是的直径，连接并延长至点，使得，连接交于点． (1)证明：； (2)用无刻度的直尺和圆规作出所对弧的中点；（不写作法，保留作图痕迹） (3)在（2）基础上连接，交于点，连接，若，，求的值． 【答案】(1)见解析；(2)见解析；(3) 【解析】（1）证明：∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴为的垂直平分线， ∴， ∴； （2）解：如图所示，点E即为所求； （3）解：连接，如图： ∵四边形为圆的内接四边形， ∴， 由（1）知：， ∴， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴ ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 13．（2025·乌鲁木齐水磨沟区·一模）已知：如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，OD⊥BC于点D，过点C作 ⊙O的切线，交OD 的延长线于点E，连结BE． （1）求证：BE与⊙O相切； （2）连结AD并延长交BE于点F，若OB=9，，求BF的长． 【答案】（1）见解析（2）FB= 【解析】证明：（1）连接OC， ∵OD⊥BC，∴OC=OB，CD=BD（垂径定理）． ∴△CDO≌△BDO（HL）．∴∠COD=∠BOD． 在△OCE和△OBE中， ∵OC=OB，∠COE=∠BOE，OE=OE， ∴△OCE≌△OBE（SAS）．∴∠OBE=∠OCE=90°，即OB⊥BE．∴BE与⊙O相切． （2）过点D作DH⊥AB， ∵OD⊥BC，∴△ODH∽△OBD，∴． 又∵，OB=9，∴OD=6． ∴OH=4，HB=5，DH=2． 又∵△ADH∽△AFB，∴，即，解得FB=． 垂径定理，全等三角形的判定和性质，切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数定义． 14．（2025·乌鲁木齐新市区·一模）如图，与相切于点A，半径，与相交于点D，连接．    (1)求证：； (2)若的半径为6，，求的长． 【答案】(1)见解析；(2) 【解析】（1）证明：连接，如图所示：    ∵与相切于点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：如图，设与交于点，    ∵， ∴， ∵， ∴， ∵的半径为6， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， 过点作于点F， ∴， 由（1）得， ∴为等腰直角三角形， 故． 15．（2025·新疆乌鲁木齐·一模）如图，四边形内接于，，平分并经过圆心交于点，交于点． (1)求证：是的切线； (2)若，求的半径； (3)若，求的面积． 【答案】(1)见解析；(2)的半径是2；(3) 【解析】（1）证明：连接， ∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∵点在上， ∴是的切线． （2）解：设的半径为， ∴ ∵， ∴ ∵在中，， ∴，即： 解得， ∴的半径是2． （3）∵四边形内接于，是直径 ∴， ∵， ∴， ∵ ∴ ∴ ∵在中，， ∴，， ∵ ∴   ∴． 16．（2025·乌鲁木齐一中·二模）如图，是的外接圆，点O在BC上，的角平分线交于点D，连接BD，CD，过点D作BC的平行线与AC的延长线相交于点P． (1)求证：PD是的切线； (2)求证：∽； (3)若，，求点O到AD的距离． 【答案】(1)见解析；(2)见解析；(3)点O到AD的距离为 【解析】（1）证明：连接OD， ∵AD平分， ∴， ∴． 又∵BC为直径， ∴O为BC中点， ∴． ∵， ∴． 又∵OD为半径， ∴PD是的切线； （2）证明：∵， ∴． ∵， ∴． ∵四边形ABDC为圆内接四边形， ∴． 又∵， ∴， ∴∽． （3）过点O作于点E， ∵BC为直径， ∴． ∵，， ∴． 又∵， ∴， ∴． 由（2）知∽， ∴， ∴， ∴． 又∵，， ∴∽， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． 在中，， ∴点O到AD的距离为． 17．（2025·乌鲁木齐兵一·模拟预测）如图，AB为的直径，D是弧BC的中点BC与AD，OD分别交于点E，F (1)求证：； (2)求证：; (3)若,求的值. 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3). 【解析】(1)证明：∵D为弧BC的中点，OD为的半径 ∴即∠BFO=90°   又∵AB为的直径    ∴    ∴ (2)证明：∵D为弧BC的中点       ∴ ∴ ∴       ∴       即 (3)解：∵，     ∴     设CD=，则DE=， 又∵ ∴ ∴ 所以 又        ∴   即 18．（2025·新疆乌鲁木齐·三月学业测试）如图，AB是⊙O的直径，CD与⊙O相切于点C，与AB的延长线交于点D，DE⊥AD且与AC的延长线交于点E. (1)求证：DC＝DE； (2)若tan∠CAB＝，AB＝3，求BD的长. 【答案】(1)证明见解析;(2)1. 【解析】解：（1）连接OC， ∵CD是⊙O的切线， ∴∠OCD=90°， ∴∠ACO+∠DCE=90°， 又∵ED⊥AD， ∴∠EDA=90°， ∴∠EAD+∠E=90°， ∵OC=OA， ∴∠ACO=∠EAD， 故∠DCE=∠E， ∴DC=DE； （2）设BD=x，则AD=AB+BD=3+x，OD=OB+BD=1.5+x， 在Rt△EAD中，∵tan∠CAB=， ∴ED=AD=（3+x）， 由（1）知，DC=（3+x）， 在Rt△OCD中，， 则， 解得：（舍去），， 故BD=1． 19．（2025·乌鲁木齐兵一·三模）如图，为的直径，过的中点D，于点E．    (1)求证：为的切线： (2)若，求的直径 (3)在（2）的条件下，的平分线交于点F，交于点G，求的值． 【答案】(1)见解析；(2)10；(3)50 【解析】（1）解：如下图所示，连接，    ∵点D是的中点，点O是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴为的切线； （2）解： ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵为的直径， ∴ ∴， ∴, ∴， ∴的直径为10． （3）解：如下图所示，连接， ∵是的平分线，， ∴，    ∴, ∵ ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 20．（2025·吐鲁番·三模）如图，为的直径，和相交于点F，平分，点C在上，且，交于点P．    (1)求证：是的切线； (2)求证：； (3)已知，求的值． 【答案】(1)见解析；(2)见解析；(3) 【解析】（1）证明：如图1，连接，    ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是的切线； （2）证明：∵为的直径， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； （3）如图2，过P作于点E， 由（2）可知，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴． 21．（2025·吐鲁番·二模）如图，在菱形中，于，以为直径的分别交，于点，，连接．    (1)求证： ①是的切线； ②； (2)若，，求． 【答案】(1)①见解析，②见解析；(2) 【解析】（1）证明：①四边形是菱形， ， ，则 又为的半径的外端点， 是的切线． ②连接，    ∵ ∴ 为直径， ， 而 ， 又 ． （2）解：连接交于．   菱形，， ，，， 在中，， ， ， ， 在中，， 由得：， ． 22．（2025·新疆吐鲁番·一模）如图，是的外接圆，为的直径，在外侧作，过点C作于点D，交延长线于点 P． (1)求证：是的切线； (2)用无刻度的直尺和圆规作出所对弧的中点F．(不写作法，保留作图痕迹)； (3)在(2)基础上连接，交于点E，连接，求线段的长． 【答案】(1)见解析；(2)见解析；(3) 【解析】（1）证明：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是圆半径， ∴是的切线； （2）解：如图所示为所求： （3）解：连接， ∵，平分， ∴， ∴， ∵，， ∴在中，， ∵ ， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∴，解得， ∴． 23．（2025·新疆昌吉·一模）如图，为的直径，C为上一点，连接、，点F为上一点，且，延长于点E，使得，延长、交于点D． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析；(2) 【解析】（1）证明：如图所示，连接， ∵ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵为的切线， ∴， ∴； （2）解：∵， 设，则， ∴， 设的半径为，则，，， 由（1）可知，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，，， ∵ ∴， ∴． 24．（2025·喀什地区·三月学业测试）如图，内接于，点为的中点，连接，平分交于点，过点作交的延长线于点． (1)求证：是的切线． (2)求证：． (3)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3) 【解析】（1）证明：如图，连接， ∵点为的中点， ∴， ∵， ∴，且OD是的半径， ∴DF是的切线； （2）证明：∵点为的中点， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴； （3）解：如图，连接， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，而， ∴， ∵四边形为的内接四边形， ∴， ∴， ∴， ∴，而， ∴， ∴，经检验，符合题意； 25．（2025·新疆喀什·模拟预测）如图，已知中，，以为直径的交于点，交于点，连接、相交于点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析；(2) 【解析】（1）证明：∵是的直径， ∴， ∴ ∵， ∴ ∴ （2）解：∵是的直径， ∴ ∵， ∴ 在中，，， ∴ ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 26．（2025·喀什地区·三模）如图，在平行四边形ABCD中，∠D＝60°，对角线AC⊥BC，⊙O经过点A，B，与AC交于点M，连接AO并延长与⊙O交于点F，与CB的延长线交于点E，AB＝EB． （1）求证：EC是⊙O的切线； （2）若AD＝2，求的长（结果保留π）． 【答案】（1）见解析；（2） 【解析】（1）证明：连接OB， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠ABC＝∠D＝60°， ∵AC⊥BC， ∴∠ACB＝90°， ∴∠BAC＝30°， ∵BE＝AB， ∴∠E＝∠BAE， ∵∠ABC＝∠E+∠BAE＝60°， ∴∠E＝∠BAE＝30°， ∵OA＝OB， ∴∠ABO＝∠OAB＝30°， ∴∠OBC＝30°+60°＝90°， ∴OB⊥CE， ∴EC是⊙O的切线； （2）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴BC＝AD＝2， 过O作OH⊥AM于H， 则四边形OBCH是矩形， ∴OH＝BC＝2， ∴OA＝＝4，∠AOM＝2∠AOH＝60°， ∴的长度＝＝． 27．（2025·喀什地区·二模）如图，以等边三角形ABC的BC边为直径画圆，交AC于点D，于点F，连接OF，且． （1）求证：DF是的切线； （2）求线段OF的长度． 【答案】（1）见解析；（2）． 【解析】（1）证明：连接OD ∵是等边三角形 ∴ ∵ ∴是等边三角形 ∴ ∴OD//AB ∵ ∴ ∴ ∴DF是的切线； （2）∵OD//AB， ∴OD为的中位线 ∴ ∵， ∴ ∴ 由勾股定理，得： ∴在中，． 28．（2025·喀什地区·一模）如图，AB是的直径，AM和BN是它的两条切线，DE切于点E，交AM于点D，交BN于点C，F是CD的中点，连接OF． (1)求证：； (2)猜想：OF与CD有何数量关系？并说明理由． 【答案】(1)见详解；(2)，理由详见解析 【解析】（1）证明：连接OE，即有， ∵AM、DE是的切线， ∴，， 又∵， 在△AOD和△EOD中，，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， （2）， 理由：连接OC， ∵BC、CE是的切线， ∴， ∵， ∴， 由（1）得， ∴， 即， 在Rt△DOC中， ∵F是DC的中点， ∴． 29．（2025·新疆和田·三模）如图，是的直径，连接并延长至点，使得，平分与圆相交与点，与相交点，连接交于点． (1)证明：； (2)若，求的值． 【答案】(1)见解析；(2)． 【解析】（1）证明：∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴为的垂直平分线， ∴， ∴； （2）解：连接，如图： ∵四边形为圆内接四边形， ∴， 由（1）知：， ∴， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴ ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 30．（2025·伊宁市·九年级阶段性质量抽测）如图，在中，，D为的中点，以为直径作，交边于点E，过点E作，垂足为点F． (1)求证：为的切线； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析；(2)的长为 【解析】（1）证明：如图，连接， ∵是直径， ∴，即， ∵在中，，D为的中点， ∴， ∴点E是的中点， 又∵点O是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； （2）解：∵是斜边上的中线，， ∴， ∵， ∴， ∵点E是的中点， ∴， 在中，， ∴， ∵，即， ∴， 在中，，， ∴． 51 / 51 学科网（北京）股份有限公司 $$