专题05 集合与逻辑 等式与不等式（十大题型+优选提升题）-【好题汇编】备战2024-2025学年高一数学上学期期末真题分类汇编（沪教版2020必修第一册，上海专用）

专题05 集合与逻辑 等式与不等式（十大题型+优选提升题） 集合及表示 1．（22-23高一上·上海浦东新·期末） .（用符号“”或“”填空） 【答案】 【分析】根据实数的定义及集合与元素的关系判断即可. 【解析】解：. 故答案为：. 2．（22-23高一上·上海黄浦·阶段练习）下列表示同一集合的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】根据集合的概念及相同集合的性质判断各选项集合是否相同即可. 【解析】A：集合中的元素不为同一个点，不是同一集合，故A错误； B、D：集合的元素不同，一个是数，一个是实数对，不是同一集合，故BD错误； C：根据集合元素的无序性，可知集合，即为同一集合，故C正确； 故选：C 3．（21-22高一上·上海嘉定·期末）已知集合，用列举法表示为 . 【答案】 【分析】根据集合的意义直接表示集合. 【解析】， 故答案为：. 4．（20-21高一上·上海·期末）10的所有正因数组成的集合用列举法表示为 . 【答案】 【分析】由因数分解知：正因数的分解形式有，列举法写出正因数集合即可. 【解析】∵对于正因数分解，有， ∴其正因数组成的集合为. 故答案为： 5．（23-24高三上·上海普陀·期末）已知，则实数 ． 【答案】 【分析】直接根据求解即可. 【解析】， ， 解得. 故答案为：. 6．（21-22高一上·上海普陀·期末）已知集合，则集合= ．（用列举法表示） 【答案】 【分析】根据给定条件直接计算作答. 【解析】因，而，所以. 故答案为： 7．（23-24高一上·上海·期末）已知集合，且，则实数a的值为 . 【答案】0或 【分析】根据元素与集合关系得到方程，解出即可. 【解析】因为，则，解得或. 故答案为：0或. 集合的关系 8．（24-25高一上·上海·期末）集合的非空真子集有 个． 【答案】30 【分析】若集合有个元素，则非空真子集的个数为. 【解析】根据元素互异性集合A中有5个元素， 所以非空真子集有． 故答案为:30. 9．（21-22高一上·上海徐汇·期末）用集合符号填空： Q． 【答案】 【分析】当时，该集合为有理数集，当时，该集合包含无理数，即可判断答案. 【解析】当时，， 当时,包含无理数， 故， 故答案为：. 10．（22-23高二下·上海杨浦·期末）已知集合，若，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据集合间的包含关系即可求解. 【解析】由于，所以， 故答案为： 11．（15-16高一上·山西临汾·阶段练习）已知集合有且仅有两个子集，则实数 . 【答案】1或 【分析】结合已知条件，求出的解的个数，然后对参数分类讨论，并结合一元二次方程的根的个数与判别式之间的关系求解即可. 【解析】若A恰有两个子集，所以关于x的方程恰有一个实数解， ①当时，，满足题意； ②当时，，所以， 综上所述，或. 故答案为：1或. 集合的运算 12．（23-24高二下·上海·期末）已知集合，则 ． 【答案】 【分析】根据集合交集运算即可. 【解析】由于，则. 故答案为：. 13．（22-23高一上·上海闵行·期末）已知，，则 . 【答案】 【分析】求出集合，利用交集的定义可求得集合. 【解析】因为集合，，因此，. 故答案为：. 14．（22-23高二下·上海松江·期末）若集合，，则的子集共有 个. 【答案】 【分析】首先求交集，再根据公式求子集个数. 【解析】由题意可知，，所以子集共有个. 故答案为：4 15．（22-23高一上·上海徐汇·期末）设方程解集为A，解集为B，解集为C，且，，则 ． 【答案】 【分析】先求出集合，根据题意和找到集合中有的元素和没有的元素,根据集合中有的元素求出参数的值，然后再检验是否符合和. 【解析】 ，即或 又 ，即或 又因为 所以且 又因为 所以或 所以只有成立， 所以是方程的根，即 故，即 所以或 当时，方程变为 所以不满足，故不符合题意舍去. 当时，方程变为 所以满足，和，满足题意. 故答案为： 16．（22-23高二上·上海金山·期末）已知集合，，若，则实数a的值为 ． 【答案】 【分析】根据交集和空集的定义以及方程的联立即可求解. 【解析】联立， 解得， 若， 则， 所以. ①当 时，两个集合的条件都变为，因此交集不为空集. ②当 时，两个集合的条件都变为和，所以交集为空集. 故答案为：. 17．（2023·上海徐汇·一模）已知全集，集合，则 . 【答案】 【分析】先化简集合，再利用集合补集的定义求解即可. 【解析】由解得， 所以，所以， 故答案为： 18．（21-22高一上·上海黄浦·期末）已知集合，则满足的非空集合B有 个． 【答案】7 【分析】由可得，所以求出集合的所有非空子集即可 【解析】因为，所以， 因为， 所以非空集合，，，，，，， 所以非空集合B有7个， 故答案为：7 19．（21-22高三上·河北保定·期末）设集合A、B、C均为非空集合，下列命题中为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】关于这几个命题真假的判断，真命题可以根据集合的运算和运算法则证明，如果命题是假命题，则可以举反例． 【解析】对于A， ，当时，结论不成立，则A错误； 对于B, ，当时，结论不成立，则B错误； 对于C，因为，，所以， 又，所以，则，则C正确； 对于D，，当时，结论不成立，则D错误； 故选：C 20．（20-21高一上·上海徐汇·期末）设集合，，则满足，且的集合S的个数是 . 【答案】 【解析】求出集合的子集个数和满足，且的集合S的个数即可得到答案. 【解析】集合中元素的个数为2000，其子集个数为 集合，满足，且的集合S的个数是 所以满足，且的集合S的个数是 故答案为： 充分条件、必要条件 21．（22-23高一上·上海徐汇·期末）设：，：，是的充分条件，则实数m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由是的充分条件，根据对应集合的包含关系，可得实数m的取值范围． 【解析】∵：，：，是的充分条件， 则，则， ∴实数m的取值范围是. 故答案为：． 22．（22-23高一下·上海黄浦·期末）已知是的充分非必要条件，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】分别解得和的解集A，B，再根据“”是“”的充分非必要条件，由真包含于求解. 【解析】由，解得，记， 由，解得，记， ∵“”是“”的充分非必要条件， ∴真包含于，即，解得. 故答案为： 23．（23-24高一上·上海·期末）若不等式 成立的一个充分不必要条件是 ，则实数 的取值范围为 【答案】 【分析】根据绝对值不等式的解法，结合充分不必要条件的性质进行求解即可. 【解析】由， 因为不等式 成立的一个充分不必要条件是 ， 所以有，等号不同时成立，解得. 故答案为： 24．（22-23高一上·上海浦东新·期末）是2的倍数，是6的倍数，则是的 条件（填“充分非必要”“必要非充分”“充要”“既非充分又非必要”）. 【答案】必要非充分 【分析】由充分性和必要性的定义即可得出答案. 【解析】是2的倍数推不出是6的倍数，如， 但是6的倍数能推出是2的倍数. 故是的必要非充分条件. 故答案为：必要非充分. 25．（23-24高二下·上海·期末）已知，则“”是“”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 【答案】A 【分析】直接根据充分性和必要性的定义判断即可. 【解析】若“”则“”成立，是充分条件； 当时，“”，，是不必要条件； “”是“”的充分非必要条件， 故选：A. 26．（23-24高一上·上海·期末）若：，：，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据子集与真子集的定义及充分必要条件的定义可判断结果. 【解析】对于：因为，所以集合M中一定含有元素2，且元素4，5至少有一个， 则集合M可能为三种情况，所以是的充分不必要条件， 故选：A. 命题的否定、反证法 27．（22-23高一上·上海崇明·期末）用反证法证明命题“已知x、，且，求证：或”时，应首先假设“ ”. 【答案】且 【分析】根据反证法的原理可知. 【解析】根据反证法的原理可知，求证或时，应首先假设且. 故答案为：且 28．（20-21高一上·上海徐汇·期末）设x，，用反证法证明命题“如果，那么且”时，应先假设“ ”. 【答案】或 【解析】假设结论的反面成立，即结论的否定．注意存在量词与全称量词的互换． 【解析】结论：且的否定是或． 故答案为：或． 29．（21-22高一上·上海杨浦·期末）命题“若，则”是 命题（填“真”或“假”其中一个）. 【答案】真 【分析】直接利用两数集的关系判断即可 【解析】因为当时，一定成立， 所以此命题为真命题， 故答案为：真 30．（23-24高一上·上海·期末）陈述句“或”的否定形式是 ． 【答案】且 【分析】根据命题的否定即可得到结论. 【解析】命题“或”的否定形式为“且”. 故答案为：且. 题型6 等式与不等式的性质 31．（22-23高一上·上海浦东新·期末）设a、b、c、d是实数，则下列命题为真命题的是 . ①如果，且，那么； ②如果，且，那么； ③如果，那么； ④如果，那么. 【答案】①③④ 【分析】根据不等式的性质一一判断求解. 【解析】对于①,因为，且，根据不等式的可加性， 所以，故①正确； 对于②，例如有，故②错误； 对于③, ，因为，所以， 即，故③正确； 对于④，因为，所以且， 所以，故④正确， 故答案为：①③④. 32．（21-22高一上·上海嘉定·期末）已知都是实数，一元二次方程有两个非零实根，且，则= . 【答案】 【分析】由根与系数关系得，再由及已知即可求值. 【解析】由题设，且， 而，，则. 故答案为： 33．（23-24高一上·上海·期末）已知关于的方程解集为，则“关于的不等式的解集是 ”是 命题（填“真”或“假”） 【答案】假 【分析】由已知条件可得且，分、两种情况解不等式，即可得出结论. 【解析】因为关于的方程解集为，则，即，且， 由得， 当时，解原不等式可得，此时不等式的解集为； 当时，解原不等式可得，此时不等式的解集为. 故原命题为假命题. 故答案为：假. 34．（21-22高一上·上海松江·期末）设、为实数，比较两式的值的大小： （用符号或=填入划线部分）． 【答案】 【分析】利用作差比较法求得正确答案. 【解析】因为，时等号成立， 所以． 故答案为： 35．（23-24高一上·上海·期末）是的（   ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充分必要条件 D．既非充分也非必奖条件 【答案】B 【分析】借助充分条件与必要条件的性质计算即可得. 【解析】当时，可取、符合题意，但此时不能得到； 当时，有，，即成立； 故是的必要非充分条件. 故选：B. 题型7 不等式的求解 36．（23-24高一上·上海宝山·期末）不等式的解集为 . 【答案】或. 【分析】将其等价转化为一元二次不等式，再解得即可. 【解析】不等式等价于，解得或， 所以不等式的解集为或. 故答案为：或 37．（19-20高三下·上海杨浦·期末）不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】根据分式不等式的解法，结合一元二次不等式的解法求解. 【解析】不等式等价于，即，解得， 所以不等式的解集为. 故答案为：. 38．（23-24高一上·上海·期末）不等式的解集为 . 【答案】 【分析】根据不等式的性质，结合分式不等式的解法进行求解即可. 【解析】 ， 因为， 所以由且， 所以原不等式的解集为， 故答案为： 39．（23-24高一上·上海杨浦·期末）已知关于x的不等式的解集为R，则实数a的取值范围 ． 【答案】 【分析】根据题意对a进行分类讨论，结合的开口与判别式即可. 【解析】当时，,满足题意； 当时，易得且，即，解得. 综上，实数的取值范围为. 故答案为： 40．（2023·上海闵行·二模）若不等式的解集为，则实数等于 . 【答案】3 【分析】求出绝对值符号的不等式解集，再比对作答. 【解析】不等式，化为，因此不等式的解集为， 依题意，，于是，解得， 所以实数等于3. 故答案为：3 题型8 平均值不等式及求最值 41．（23-24高一下·上海黄浦·期末）已知正实数满足，则的最小值是 . 【答案】 【分析】由题意可得，根据基本不等式中“1”的用法计算即可求解. 【解析】由题意知，，， 所以， 当且仅当即时等号成立， 所以的最小值为. 故答案为： 42．（23-24高一上·上海青浦·期末）设实数，当代数式取最小值时，的值为 . 【答案】/ 【分析】根据题意，由基本不等式代入计算，即可得到结果. 【解析】因为，则， 所以， 当且仅当时，即时，等号成立. 故答案为： 43．（23-24高一下·上海宝山·期末）若正数，，满足，且的最小值是4，则的值为 ． 【答案】1 【分析】由题意，根据基本不等式的应用可得，结合换元法解一元二次方程即可. 【解析】由题意得，， 所以，即， 当且仅当时，等号成立， 令，则，方程， ，所以是方程的根， 所以. 故答案为：1 44．（23-24高一上·上海·期末）已知，，且，若的最小值为4，则实数a的值为 . 【答案】2 【分析】利用配凑法，结合基本不等式“1”的妙用求解即可. 【解析】由，且，知， 因此 ，当且仅当，即时取等号， 依题意，，解得，由，解得， 所以当时，有最小值为4，实数a的值为2. 故答案为：2 题型9 三角不等式 45．（23-24高二下·上海·期末）方程的解集为 . 【答案】 【分析】由绝对值三角不等式得到答案. 【解析】，当且仅当时，等号成立， 即， 所以的解集为. 故答案为： 46．（23-24高一上·上海浦东新·期末）方程的解集为 ． 【答案】或 【分析】根据绝对值三角不等式等号成立的条件即可求解. 【解析】由于，等号成立的条件为，所以或 故解集为或， 故答案为：或 47．（19-20高二下·河南安阳·阶段练习）对于 ，下列结论正确的是( ) A．当 异号时，左边等号成立 B．当 同号时，右边等号成立 C．当 时，两边等号均成立 D．当 时，右边等号成立；当 时，左边等号成立 【答案】B 【解析】采用特殊值法验证即可. 【解析】当时，左边等号成立，故A不正确. 当 时，右边等号不成立，故C不正确. 当 时，右边等号不成立；故D不正确. 故选：B 【点睛】本题主要考查绝对值三角不等式，还考查了特殊与一般的思想和理解辨析的能力，属于基础题. 48．（23-24高一上·上海·期末）已知实数满足且，则的最小值是 【答案】 【分析】根据绝对值的性质分析可知，解不等式即可得结果. 【解析】因为， 则， 且，则，可得，解得， 所以的最小值是. 故答案为：. 49．（23-24高一上·上海闵行·期末）已知关于的不等式有解，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】利用绝对值不等式求得的最小值，从而利用能成立问题得到，解之即可得解. 【解析】因为， 当且仅当时，等号成立， 因为有解，所以，解得， 即实数的取值范围为. 故答案为：. 50．（23-24高一上·上海·期末）已知函数，若函数的图像恒在函数图像的上方，则m的取值范围为 ． 【答案】 【分析】首先将题目等价转换为恒成立，利用三角不等式求不等号左边最小值，由此即可得解. 【解析】由题意函数，若函数的图像恒在函数图像的上方， 所以恒成立，即恒成立，即恒成立， 故只需即可， 而由三角不等式可得，等号成立当且仅当， 即，所以m的取值范围为. 故答案为：. 题型10 解答题 51．（23-24高一上·上海松江·期末）已知集合 (1)若，求和; (2)若“”是 “”的充分条件，求实数的取值范围. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据集合交集和并集的概念直接计算求解即可； （2）将充分条件转化为集合包含关系进而列式求解即可. 【解析】（1）因为，所以， 所以， （2）因为“”是 “”的充分条件， 所以， 又因为， 所以，所以， 所以实数的取值范围为 52．（23-24高一上·上海闵行·期末）设集合. (1)若，试用区间表示集合，并求； (2)若，求不等式的解集. 【答案】(1)，， (2) 【分析】（1）解绝对值不等式、一元二次不等式并结合区间的概念、并集的概念即可得解. （2）由一元二次不等式的解集与一元二次方程的跟的关系可先得，再解分式不等式即可得解. 【解析】（1）由，得， 因为，所以，故， 所以. （2）由题意得有两个根为1和5， 所以， 则的解集为. 53．（22-23高一上·上海奉贤·期末）（1）已知、，求证：，并写出等号成立的条件. （2）若正数、的算术平均值是2，求、的几何平均值的最大值. 【答案】（1）见解析（2） 【分析】（1）利用作差法，结合完全平方公式，可得答案； （2）由题意，整理等式可得和的定值，利用基本不等式，可得答案. 【解析】（1）因为， 当且仅当时，等号成立，所以. （2）由题意可得：，即， ，当且仅当，等号成立， 所以、的几何平均值的最大值为. 54．（20-21高一上·上海浦东新·期末）设函数，其中. （1）当时，解不等式； （2）若关于的不等式恒成立，求的取值范围. 【答案】（1）；（2）. 【解析】（1）根据题意得到，分，，三种情况讨论，即可得出结果； （2）先由关于的不等式恒成立，得到恒成立，代入特殊值可知f（2）≥1，从而有a≤1或a≥3；令F（x）＝f（x）﹣x+1，分类讨论a≤1或a≥3时F（x）的最小值，使得F（x）min≥0，可求出a的取值范围. 【解析】（1）当时，即为， 当时，，解得； 当时，，可得解集为空集； 当时，，解得解集为空集， 综上，原不等式的解集为； （2）关于的不等式恒成立，即为恒成立， 因为f（2）≥1成立，即|2﹣a|≥1，解得a≤1或a≥3， 设函数F（x）＝f（x）﹣x+1，则F（x）≥0恒成立， 若a≥3，则F（x）＝， 由此F（x）min＝﹣1与F（x）≥0恒成立矛盾， 若a≤1，则F（x）＝， 由此F（x）min＝1﹣a≥0恒成立，符合F（x）≥0恒成立的要求， 综上，a的取值范围为（﹣∞，1]． 【点睛】方法点睛：（1）含绝对值的不等式的解法，通常需要用到分类讨论的思想，去掉绝对值求解； （2）含绝对值不等式的恒成立有解问题，可以通过做图像数形结合的方法求参，也可以通过含参讨论去绝对值求参. 55．（20-21高一上·上海杨浦·期末）设函数. （1）当时，求不等式的解集； （2）求证：中至少有一个不小于. 【答案】（1）；（2）证明见解析. 【分析】（1）利用绝对值的意义，分类讨论，即可求不等式的解集； （2）利用反证法证明即可． 【解析】（1）当a＝1时，|2x－1|≤x＋2， 化简可得或 解得或 综上，不等式的解集为). (2)证明：　假设都小于， 则 ，前两式相加得－<a<与第三式<a<矛盾. 因此假设不成立， 故中至少有一个不小于. 【点睛】关键点点睛：证明至少、至多类命题时，考虑反证法是解题的关键，首先要根据题意恰当反设，正常推理，寻求矛盾是重点，属于中档题. 56．（20-21高一上·上海松江·期中）（1）解不等式：； （2）设集合P表示不等式对任意x∈R恒成立的a的集合，求集合P； （3）设关于x的不等式的解集为A，试探究是否存在a∈N，使得不等式.与|的解都属于A，若不存在，说明理由.若存在，请求出满足条件的a的所有值. 【答案】（1）；（2）；（3）存在，或或. 【解析】（1）分，，三种情况求解即可； （2）根据三角不等式得，，由此可得，从而可求出的取值范围； （3）先解不等式.与|，可得，当时，符合题意，当时，构造函数，则有，从而可求出的值 【解析】（1）若时，，符合题意； 若时，，解得，故； 若时，，无解； 综上，的解是； （2）根据三角不等式得，，所以，解得或， ∴集合； （3）由可得，由可得，故， 若，，解得，符合题意； 若，设，由于，所以只要即可 即 因为，可得或； 综上，或或. 【点睛】关键点点睛：此题考查绝对值不等式的解法和不等式恒成立问题，第（3）问解题的关键是构造函数，可得，从而可求出的值，考查分类思想和计算能力，属于中档题 一、填空题 1．（22-23高二下·上海松江·期末）若关于的不等式的解集为，且，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】转化为不等式在上恒成立，求解即可. 【解析】由题意，不等式在上恒成立， 所以，即在上恒成立， 所以，解得. 故答案为：. 2．（22-23高一上·上海徐汇·期末）已知集合，，如果存在正数，使得对任意，都满足，则实数t＝ . 【答案】－4或0 【分析】根据集合元素属性特征，通过解方程分类讨论求解即可. 【解析】当时，当时，则， 当时，则， 即当时，；当时，；所以， 当时，；当时，，所以， 因此有； 当时，当时，则， 当时，则， 即当时，；当时，；所以， 当时，；当时，，所以， 因此有， 当时，同理可得无解， 综上所述：实数t的值为－4或0， 故答案为：－4或0 【点睛】关键点睛：根据区间取特殊值分类讨论进行求解是解题的关键. 二、单选题 3．（23-24高一上·上海长宁·期中）已知，则“”是“”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【答案】A 【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合基本不等式分析判断即可. 【解析】因为，当且仅当时取等号， ，当且仅当时取等号， 所以，当且仅当，时取等号， 即时，必有，， 所以成立， 所以由，可推出， 因为 ， 当且仅当，即时取等号， 所以当时，必有成立， 此时，不一定成立， 所以由推不出， 所以“”是“”的充分非必要条件， 故选：A 4．（23-24高一上·上海·期末）已知集合是由某些正整数组成的集合，且满足：若，则当且仅当（其中正整数、且）或（其中正整数、且）．现有如下两个命题：①；②集合．则下列判断正确的是（    ） A．①对②对 B．①对②错 C．①错②对 D．①错②错 【答案】A 【分析】根据集合的定义即可判断①是假命题，根据集合的定义先判断，，再由，有，，且，所以，可判断 ②是真命题. 【解析】因为若，则当且仅当其中且，或其中且， 且集合是由某些正整数组成的集合， 所以，， 因为，满足其中且，所以， 因为，且，，所以， 因为，，，所以，故①对； 下面讨论元素与集合的关系， 当时，； 当时，，，，所以； 当时，，，，所以； 当时，，，，所以；依次类推， 当时，，，， 所以，则，故②对. 故选：A. 【点睛】关键点睛：本题解题的关键在于判断，，，，再根据集合的定义求解. 三、解答题 5．（19-20高二下·上海浦东新·期末）若实数、、满足，则称比远离． （1）若比远离1且，求实数的取值范围； （2）设，其中，求证：比更远离； （3）若，试问：与哪一个更远离，并说明理由． 【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）比更远离．理由见解析. 【分析】（1）由题意利用已知条件消去y，得到，两边平方即得； （2）利用分析法证明即可； （3）结合基本不等式的变形，可将为题转化为研究的正负问题，然后根据绝对值的意义分类讨论，并结合消元思想，配方法可以得到结论. 【解析】（1）由题意，，∵，∴，即， 两边平方，得； （2）即证，即证， ∵，∴，即证，即证（*）， ∵，∴， ∴，（*）成立，即比更远离； （3）∵，∴， 从而， ①时， ， 即； ②时， ， 即； 综上，，即比更远离． 【点睛】本题考查含有绝对值的不等式的求解与证明，作差法比较大小，涉及消元思想和配方法，基本不等式的灵活应用，分析法证明不等式，分类讨论思想，属中高档题，难度较大. ( 26 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 集合与逻辑 等式与不等式（十大题型+优选提升题） 集合及表示 1．（22-23高一上·上海浦东新·期末） .（用符号“”或“”填空） 2．（22-23高一上·上海黄浦·阶段练习）下列表示同一集合的是（    ） A．， B．， C．， D．， 3．（21-22高一上·上海嘉定·期末）已知集合，用列举法表示为 . 4．（20-21高一上·上海·期末）10的所有正因数组成的集合用列举法表示为 . 5．（23-24高三上·上海普陀·期末）已知，则实数 ． 6．（21-22高一上·上海普陀·期末）已知集合，则集合= ．（用列举法表示） 7．（23-24高一上·上海·期末）已知集合，且，则实数a的值为 . 集合的关系 8．（24-25高一上·上海·期末）集合的非空真子集有 个． 9．（21-22高一上·上海徐汇·期末）用集合符号填空： Q． 10．（22-23高二下·上海杨浦·期末）已知集合，若，则实数的取值范围是 . 11．（15-16高一上·山西临汾·阶段练习）已知集合有且仅有两个子集，则实数 . 集合的运算 12．（23-24高二下·上海·期末）已知集合，则 ． 13．（22-23高一上·上海闵行·期末）已知，，则 . 14．（22-23高二下·上海松江·期末）若集合，，则的子集共有 个. 15．（22-23高一上·上海徐汇·期末）设方程解集为A，解集为B，解集为C，且，，则 ． 16．（22-23高二上·上海金山·期末）已知集合，，若，则实数a的值为 ． 17．（2023·上海徐汇·一模）已知全集，集合，则 . 18．（21-22高一上·上海黄浦·期末）已知集合，则满足的非空集合B有 个． 19．（21-22高三上·河北保定·期末）设集合A、B、C均为非空集合，下列命题中为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 20．（20-21高一上·上海徐汇·期末）设集合，，则满足，且的集合S的个数是 . 充分条件、必要条件 21．（22-23高一上·上海徐汇·期末）设：，：，是的充分条件，则实数m的取值范围是 ． 22．（22-23高一下·上海黄浦·期末）已知是的充分非必要条件，则实数a的取值范围是 ． 23．（23-24高一上·上海·期末）若不等式 成立的一个充分不必要条件是 ，则实数 的取值范围为 24．（22-23高一上·上海浦东新·期末）是2的倍数，是6的倍数，则是的 条件（填“充分非必要”“必要非充分”“充要”“既非充分又非必要”）. 25．（23-24高二下·上海·期末）已知，则“”是“”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 26．（23-24高一上·上海·期末）若：，：，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 命题的否定、反证法 27．（22-23高一上·上海崇明·期末）用反证法证明命题“已知x、，且，求证：或”时，应首先假设“ ”. 28．（20-21高一上·上海徐汇·期末）设x，，用反证法证明命题“如果，那么且”时，应先假设“ ”. 29．（21-22高一上·上海杨浦·期末）命题“若，则”是 命题（填“真”或“假”其中一个）. 30．（23-24高一上·上海·期末）陈述句“或”的否定形式是 ． 题型6 等式与不等式的性质 31．（22-23高一上·上海浦东新·期末）设a、b、c、d是实数，则下列命题为真命题的是 . ①如果，且，那么； ②如果，且，那么； ③如果，那么； ④如果，那么. 32．（21-22高一上·上海嘉定·期末）已知都是实数，一元二次方程有两个非零实根，且，则= . 33．（23-24高一上·上海·期末）已知关于的方程解集为，则“关于的不等式的解集是 ”是 命题（填“真”或“假”） 34．（21-22高一上·上海松江·期末）设、为实数，比较两式的值的大小： （用符号或=填入划线部分）． 35．（23-24高一上·上海·期末）是的（   ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充分必要条件 D．既非充分也非必奖条件 题型7 不等式的求解 36．（23-24高一上·上海宝山·期末）不等式的解集为 . 37．（19-20高三下·上海杨浦·期末）不等式的解集为 ． 38．（23-24高一上·上海·期末）不等式的解集为 . 39．（23-24高一上·上海杨浦·期末）已知关于x的不等式的解集为R，则实数a的取值范围 ． 40．（2023·上海闵行·二模）若不等式的解集为，则实数等于 . 题型8 平均值不等式及求最值 41．（23-24高一下·上海黄浦·期末）已知正实数满足，则的最小值是 . 42．（23-24高一上·上海青浦·期末）设实数，当代数式取最小值时，的值为 . 43．（23-24高一下·上海宝山·期末）若正数，，满足，且的最小值是4，则的值为 ． 44．（23-24高一上·上海·期末）已知，，且，若的最小值为4，则实数a的值为 . 题型9 三角不等式 45．（23-24高二下·上海·期末）方程的解集为 . 46．（23-24高一上·上海浦东新·期末）方程的解集为 ． 47．（19-20高二下·河南安阳·阶段练习）对于 ，下列结论正确的是( ) A．当 异号时，左边等号成立 B．当 同号时，右边等号成立 C．当 时，两边等号均成立 D．当 时，右边等号成立；当 时，左边等号成立 48．（23-24高一上·上海·期末）已知实数满足且，则的最小值是 49．（23-24高一上·上海闵行·期末）已知关于的不等式有解，则实数的取值范围为 . 50．（23-24高一上·上海·期末）已知函数，若函数的图像恒在函数图像的上方，则m的取值范围为 ． 题型10 解答题 51．（23-24高一上·上海松江·期末）已知集合 (1)若，求和; (2)若“”是 “”的充分条件，求实数的取值范围. 52．（23-24高一上·上海闵行·期末）设集合. (1)若，试用区间表示集合，并求； (2)若，求不等式的解集. 53．（22-23高一上·上海奉贤·期末）（1）已知、，求证：，并写出等号成立的条件. （2）若正数、的算术平均值是2，求、的几何平均值的最大值. 54．（20-21高一上·上海浦东新·期末）设函数，其中. （1）当时，解不等式； （2）若关于的不等式恒成立，求的取值范围. 55．（20-21高一上·上海杨浦·期末）设函数. （1）当时，求不等式的解集； （2）求证：中至少有一个不小于. 56．（20-21高一上·上海松江·期中）（1）解不等式：； （2）设集合P表示不等式对任意x∈R恒成立的a的集合，求集合P； （3）设关于x的不等式的解集为A，试探究是否存在a∈N，使得不等式.与|的解都属于A，若不存在，说明理由.若存在，请求出满足条件的a的所有值. 一、填空题 1．（22-23高二下·上海松江·期末）若关于的不等式的解集为，且，则实数的取值范围是 . 2．（22-23高一上·上海徐汇·期末）已知集合，，如果存在正数，使得对任意，都满足，则实数t＝ . 二、单选题 3．（23-24高一上·上海长宁·期中）已知，则“”是“”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 4．（23-24高一上·上海·期末）已知集合是由某些正整数组成的集合，且满足：若，则当且仅当（其中正整数、且）或（其中正整数、且）．现有如下两个命题：①；②集合．则下列判断正确的是（    ） A．①对②对 B．①对②错 C．①错②对 D．①错②错 三、解答题 5．（19-20高二下·上海浦东新·期末）若实数、、满足，则称比远离． （1）若比远离1且，求实数的取值范围； （2）设，其中，求证：比更远离； （3）若，试问：与哪一个更远离，并说明理由． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$