第二章 简单事件的概率（举一反三单元测试·拔尖卷）数学浙教版九年级上册

第二章 简单事件的概率·拔尖卷 【浙教版】 参考答案与试题解析 第Ⅰ卷 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．（3分）（2025·江苏无锡·二模）下列说法：“铁在潮湿的空气中会生锈”是必然事件；“物体不受外力时保持静止或匀速直线运动状态”是确定事件；“没有水分，种子发芽”是随机事件；“买一张电影票，座位号是奇数号”是不可能事件．其中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了必然事件、不可能事件、随机事件的概念，根据事件发生的可能性大小判断即可，解题的关键是理解必然事件指在一定条件下，一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 【详解】解：“铁在潮湿的空气中会生锈”是必然事件，说法正确，符合题意； “物体不受外力时保持静止或匀速直线运动状态”是确定事件，说法正确，符合题意； “没有水分，种子发芽”是不可能事件，说法错误，不符合题意； “买一张电影票，座位号是奇数号”是随机事件，说法错误，不符合题意； 综上可知：正确， 故选：． 2．（3分）（24-25六年级下·上海嘉定·期末）不透明的袋中装有除颜色外没有其他区别的红球4个和白球若干个．从袋中随机地取出一个球，如果取到白球的可能性较大，那么袋中白球的个数可能是（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】D 【分析】本题考查了简单事件发生的可能性，熟练掌握简单事件发生的可能性大小的计算，是解题的关键， 根据简单事件发生可能性大小，当白球的数量超过红球数量时，取到白球的可能性更大． 【详解】解:设白球有个． 取到白球的可能性为，取到红球的可能性为． 要使取到白球的可能性较大， 需满足． 只需满足 ． 只有D选项（5个）满足此条件． 故选：D． 3．（3分）（24-25七年级下·四川成都·期末）用12个球设计一个摸球游戏，下面设计的四种方案中，不恰当的设计是（   ） A．摸到红球、白球、黄球的概率均为 B．摸到红球的概率，摸到白球的概率是，摸到黄球的概率是 C．摸到红球的概率是，摸到白球、黄球的概率都是 D．摸到红球的概率是，摸到黄球的概率也是 【答案】C 【分析】本题考查的是随机事件的概率的含义，根据概率之和必须为1及各颜色球的数量必须为整数且总和为12，逐一验证各选项的合理性即可． 【详解】解：选项A：红、白、黄球的概率均为．总概率为，符合要求．对应球数为个（每种颜色），总和为，设计合理． 选项B：红球概率，白球，黄球．总概率为，符合要求．对应球数为红球个，白球个，黄球个，总和为，设计合理． 选项C：红球概率，白球和黄球概率均为．总概率为，超过1，不符合概率的基本性质，设计不恰当． 选项D：红球和黄球概率均为．总概率为，符合要求．对应球数为红球个，黄球6个，总和为12，设计合理． 综上，选项C的设计不恰当． 故选：C 4．（3分）一个密码箱的密码，每个位数上的数都是从0到9的自然数，若要使不知道密码的一次就拨对密码的概率小于，则密码的位数至少需要（     ）位． A．3位 B．2位 C．9位 D．10位 【答案】A 【分析】分别求出取一位数、两位数、三位数、四位数时一次就拨对密码的概率，再根据小于所在的范围解答即可． 【详解】解：因为取一位数时一次就拨对密码的概率为，取两位数时一次就拨对密码的概率为，取三位数时一次就拨对密码的概率为，故密码的位数至少需要3位． 故答案为：3． 【点睛】本题考查概率的求法与运用，一般方法为：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=． 5．（3分）（24-25九年级下·河北石家庄·阶段练习）某马场有三匹马，按身体强壮程度分为上马，中马，下马，这三匹马随机住在三个不同的马厩，甲到该马场去租马，先到第一个马厩观察后不租，再到第二个马厩，若比第一个马厩的马强壮，就直接租第二个马厩的马，若比第一个马厩的马瘦弱，就租第三个马厩的马，按这种方式，甲租到上马的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了列举法求概率．列举出所有三种马排列情况，再利用概率公式求解即可． 【详解】解：设上马为，中马为，下马为， 三种马排列情况共有，，，，，， 符合要求的有，，， 所以租到是A类即租到上马的概率为． 故选：A． 6．（3分）（23-24八年级上·福建漳州·期末）综合与实践课上，老师带领同学们开展“利用树叶的特征对树木进行分类”的实践活动．10位同学每人随机收集核桃树、枇杷树的树叶各1片，通过测量得到这些树叶长，宽（单位：）的数据后，计算每片叶子的长宽比，绘制出折线统计图如下： 根据以上信息，下列说法错误的是（    ） A．枇杷树叶长宽比为2的频率最大 B．核桃树叶的长宽比大约为3.1 C．小明测量一片核桃叶的长为，小明断定它的宽一定为 D．小亮同学收集到一片长、宽的树叶，判断它是一片枇杷树叶 【答案】C 【分析】此题考查用样本估计总体、频率等知识，根据题目给出的数据判断即可． 【详解】解：A. 10片枇杷树叶的长宽比中出现次数最多的是2，故枇杷树叶长宽比为2的频率最大，故选项正确，不符合题意； B. ∵， ∴核桃树叶的长宽比大约为3.1，故选项正确，不符合题意； C. 核桃树叶的长宽比大约为3.1，是个估计值， 不是准确值， 小明测量一片核桃叶的长为，它的宽不一定为，故选项错误，符合题意； D. ∵枇杷树叶长宽比约为：，小亮同学收集到一片长、宽的树叶，判断它是一片枇杷树叶， 又∵， ∴该树叶更有可能是枇杷树树叶．故选项正确，不符合题意； 故选：C． 7．（3分）（2025·河南南阳·三模）如图，电路图上有编号为①②③④⑤共5个开关和一个小灯泡，闭合开关①或同时闭合开关②③或同时闭合开关④⑤都可使小灯泡发光，任意闭合电路上其中的两个开关，小灯泡发光的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． 列表可得出所有等可能的结果数以及小灯泡发光的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】解：列表如下： ① ② ③ ④ ⑤ ① ② ③ ④ ⑤ 共有20种等可能的结果，其中小灯泡发光的结果有：，，，，，，，，，，，，共12种， ∴小灯泡发光的概率为． 故选：A． 8．（3分）在数-1，1，2中任取两个数作为点坐标，那么该点刚好在一次函数y=x-2图象上的概率是（） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】画树状图如下： 共有6种等可能的结果， 其中只有（1，-1）在一次函数y=x-2图象上， 所以点在一次函数y=x-2图象上的概率=． 故选：D． 【点睛】本题考查了利用列表法或树状图法求概率：先列表或画树状图展示所有等可能的结果，再找出某事件所占有的可能数，然后根据概率的概念求这个事件的概率．也考查了点在一次函数图形上，则点的横纵坐标满足一次函数的解析式． 9．（3分）（2025·山东聊城·二模）如图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是一个小正方形，这个图形是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，现分别连接大、小正方形的四组顶点得到图2的“风车”图案（阴影部分）．若图1中的四个直角三角形的较长直角边为9，较短直角边为5，现随机向图2大正方形内掷一枚小针，则针尖落在阴影区域的概率为（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了几何概率，勾股定理的应用；根据题意求得，则图中阴影部分是由中间的小正方形和四个全等三角形组成的，利用三角形和正方形的面积公式计算即可求解，求出阴影区域的面积是解题的关键． 【详解】解：如图， 由题意可知，，， ∴， ∴， 则中间小正方形的面积为， 小正方形的外阴影部分的， ∴阴影部分的面积为， ∴针尖落在阴影区域的概率为， 故选：D． 10．（3分）在智力竞答节目中，某参赛选手答对最后两题单选题就能利通关，两题均有四个选项，此选手只能排除第1题的一个错误选项，第2题完全不会，他还有两次“求助”机会（使用可去掉一个错误选项），为提高通关概率，他的求助使用策略为（    ） A．两次求助都用在第1题 B．两次求助都用在第2题 C．在第1第2题各用一次求助 D．两次求助都用在第1题或都用在第2题 【答案】D 【分析】根据题意，分类讨论，列举或画出树状图列出等可能的情况，根据概率公式求出每一种情况下的概率，即可判断． 【详解】解：①若两次求助都用在第1题， 假设D选项是第1题的正确选项，选手可以排除的是A选项，使用两次求助时存在三种等可能的情况： 第一种：求助排除AB选项，还剩CD两个选项，答对的概率是， 第二种：求助排除AC选项，还剩BD两个选项，答对的概率是， 第三种：求助排除BC选项，只剩D一个选项，答对的概率是1， 因此第一题答对的概率为：，第2题答对的概率为， 故此时该选手通关的概率为：； ②若在第1第2题各用一次求助， 假设D选项是第1题的正确选项，选手可以排除的是A选项，使用一次求助时存在三种等可能的情况： 第一种：求助排除A选项，还剩BCD三个选项，答对的概率是， 第二种：求助排除B选项，还剩CD两个选项，答对的概率是， 第三种：求助排除C选项，还剩BD两个选项，答对的概率是， 因此第一题答对的概率为：， 第2题使用一次求助后，还剩3个选项，其中只有一个正确选项，因此答对的概率为， 故此时该选手通关的概率为：； ③两次求助都用在第2题， 画树状图如下：上层A、B、C表示第一题剩下的三个选项，下层A、B表示第二题剩下的二个选项，    共有6种等可能的结果，其中该选手通关的可能只有1种，故此时该选手通关的概率为：. ∵ ， ∴两次求助都用在第1题或都用在第2题时，该选手通关的概率大， 故选：D． 【点睛】此题考查的是求概率问题，掌握画树状图的方法、概率公式和分类讨论的数学思想是解决此题的关键． 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11．（3分）（24-25七年级下·辽宁沈阳·期末）投掷一枚形状规则、质地均匀的骰子（六个面分别标记、、、、、点），有下列事件：①掷得的点数是；②掷得的点数是奇数；③掷得的点数不小于；④掷得的点数为．这些事件发生的可能性由大到小排列是 （填序号）． 【答案】② ③ ① ④ 【分析】此题考查可能性大小的比较，正确记忆相关知识点是解题关键．只要总情况数目相同，谁包含的情况数目多，谁的可能性就大，反之也成立；若包含的情况相当，那么它们的可能性就相等．分别比较情况数的大小即可选得答案． 【详解】解：根据题意，投掷一枚普通的六面体骰子，共种情况： ① 掷得的点数是包含种情况； ② 掷得的点数是奇数包括种情况； ③ 掷得的点数不小于包括种情况； ④ 掷得的点数为包括种情况， 故发生的可能性由大到小的顺序排为② ③ ① ④． 故答案为：② ③ ① ④． 12．（3分）投掷一枚质地均匀的骰子两次，向上一面的点数依次记为a、b．那么方程有解的概率是 ． 【答案】1 【分析】本题主要考查了已知一元二次方程根的情况求参数的取值范围，事件发生的概率，解题的关键是熟练掌握当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根． 根据题意得出恒成立，即可解答． 【详解】解：∵方程有解， ∴， ∵向上一面的点数a、b都是正数， ∴恒成立， ∴有解的概率是1． 故答案为：1． 13．（3分）（23-24九年级上·陕西榆林·阶段练习）二维码具有储存量大，保密性高，追踪性高，抗损性强，备援性大，成本便宜等特性，手机二维码已经被各大手机厂商使用开发．如图是一张边长为的正方形二维码的示意图，在正方形区域内随机掷点，通过大量重复试验，发现点落在黑色部分的频率稳定在左右，由此可以估计该二维码黑色部分的总面积为 ． 【答案】 【分析】先根据通过大量重复试验，发现点落在黑色部分的频率稳定在左右估计点落在黑色部分的概率为，再乘以正方形的面积即可得到答案． 【详解】解：通过大量重复试验，发现点落在黑色部分的频率稳定在左右， 估计点落在黑色部分的概率为， 估计该二维码黑色部分的总面积为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了由频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 14．（3分）如图所示的圆形纸板被等分成10个扇形挂在墙上，玩飞镖游戏（每次飞镖均落在纸板上），则飞镖落在阴影区域的概率是 ． 【答案】/ 【分析】直接利用阴影部分÷总面积=飞镖落在阴影区域的概率，即可得出答案． 【详解】解：由题意可得：阴影部分有4个小扇形，总的有10个小扇形， 故飞镖落在阴影区域的概率是：． 故答案为． 【点睛】题目主要考查几何概率的计算，熟练掌握概率计算公式是解题关键． 15．（3分）（24-25七年级下·山东威海·期中）如图，在空白网格内将某一个小正方形涂成阴影部分，且所涂的小正方形与原阴影图形的小正方形至少有一边重合，小红按要求涂了一个正方形，所得到的阴影图形恰好是轴对称图形的概率为 ． 【答案】 【分析】本题考查几何概率，设计轴对称图形，根据轴对称图形的性质，确定可以涂的小正方形的个数，再用概率公式进行计算即可． 【详解】解：所涂的小正方形与原阴影图形的小正方形至少有一边重合的个数总共有7个，其中所得到的阴影图形恰好是轴对称图形的情况有3种，如图： ∴； 故答案为：． 16．（3分）（2022·山西太原·一模）在课后服务时间，甲乙两班进行篮球比赛，在选择比赛场地时，裁判员采用了同时掷两枚完全相同硬币的方法：如果两枚硬币朝上的面不同，则甲班优先选择场地；否则乙班优先选择场地．这种选择场地的方法对两个班级 （填“公平”或“不公平”）． 【答案】公平 【分析】要判断这种方法是否公平，只要看所选取的方法，使这两个队优先选择比赛场地的可能性是否相等即可． 【详解】解：根据题意画树状图如下： 由上图可知， 甲班优先选择场地的概率， 乙班优先选择场地的概率， 故这两个队优先选择比赛场地的可能性相等， 这种选择场地的方法对两个班级公平． 【点睛】本题主要考查了游戏规则公平性的判断，会画树状图求等概率事件的概率是做出本题的关键． 第Ⅱ卷 三．解答题（共8小题，满分72分） 17．（6分）（24-25六年级下·上海·期中）为弘扬中华传统文化，崇明区某学校为配合“人人会瀛州古调”教学活动，开设了民族器乐选修课程．学生参加选修课的情况见如下统计图（图1、图2）．请根据图1和图2提供的信息，解答下列问题：（请在空格处填入相应答案） (1)共有 名学生参加了选修课程学习； (2)扇形统计图（图2）中，“琵琶”部分所对应的圆心角为 度； (3)如果从选择“古筝”选项的学生中，随机抽取12名学生参加一次区“古筝”比赛，那么学生被选中的可能性大小是 ． 【答案】(1)200 (2)72 (3) 【分析】本题考查了条形统计图、扇形统计图以及事件发生的可能性大小，正确理解题意、从统计图中得出有效的信息是解题的关键． （1）用条形统计图中选修二胡的人数除以扇形统计图中的占比即可求解； （2）先计算选修古筝的人数，进而可得选修琵琶的人数，再计算圆心角即可； （3）用12除以选修古筝的人数即可求解． 【详解】（1）解：； 所以共有200名学生参加了选修课程学习； 故答案为：200； （2）解：选项古筝的人数为， 所以选修琵琶的人数为人， 所以扇形统计图（图2）中，“琵琶”部分所对应的圆心角为度； 故答案为：72； （3）解：如果从选择“古筝”选项的学生中，随机抽取12名学生参加一次区“古筝”比赛，那么学生被选中的可能性大小是； 故答案为：． 18．（6分）（24-25九年级下·云南楚雄·开学考试）暑假期间，小东和爸爸妈妈准备前往云南旅游．云南景点众多，但由于时间有限，所以小东一家计划先乘机到昆明，再考虑从以下四个地点中选择两个前往：丽江、大理、红河、西双版纳．由于意见难以统一，小东爸爸在外观相同的4个小球表面写上“”，“”，“”，“”，分别代表丽江、大理、红河、西双版纳，并将小球装入不透明袋子里面，让小东从中同时抽取两个小球，用以决定前往旅游的地点． (1)判断：小东一家前往大理旅游与前往丽江旅游的概率________（填“相等”或“不相等”）； (2)丽江、大理在昆明以西，红河、西双版纳在昆明以南，求小东一家前往旅游的两个地点相对于昆明方向相同的概率． 【答案】(1)相等 (2) 【分析】本题考查概率定义，列表法求概率等． （1）根据题意利用等可能性可得答案； （2）先根据题意列表列出可能出现的情况，再找出符合题意得情况，即可得到本题答案． 【详解】（1）解：根据题意可知：小东一家前往大理旅游与前往丽江旅游的概率相等， 故答案为：相等； （2）解：列表如下： 第二个第一个 由列表可知，共有12种等可能的结果，其中小东一家前往旅游的两个地点相对于昆明方向相同的结果有4种，即，，，， 所以小东一家前往旅游的两个地点相对于昆明方向相同的概率． 答：小东一家人前往旅游的两个地点相对于昆明方向相同的概率为． 19．（8分）（24-25七年级下·河南郑州·期末）为响应生态文明，增强居民环保意识，某社区举办“绿色生活”问答赛，答对道以上题目的居民可参与如图①的自由转盘抽奖（指针指向边界需重新转）．请根据以上信息，完成下列问题： (1)小远在此次问答赛中共答对道题目，他转到环保购物袋的概率是 ； (2)请你重新设计一种转盘抽奖方案，使得最后抽到环保卫士徽章、节能台灯和环保购物袋的概率分别为 ，要求奖项包含内容同图①．你可以写出设计方案，也可以在图②中画出具体设计方法（标清楚具体奖项名称）． 【答案】(1) (2)设计方法见解析 【分析】本题考查了几何概率，掌握概率计算方法是解题的关键． （）用环保购物袋所在扇形的圆心角度数除以即可求解； （）根据概率求出各奖项所在扇形圆心角的度数，进而画出设计方法即可； 【详解】（1）解：环保购物袋所在扇形的圆心角度数为， ∴他转到环保购物袋的概率是， 故答案为：； （2）解：∵抽到环保卫士徽章、节能台灯和环保购物袋的概率分别为 ， ∴环保卫士徽章所在扇形圆心角的度数为， 节能台灯所在扇形圆心角的度数为， 环保购物袋所在扇形的圆心角度数为， ∴谢谢参与所在扇形的圆心角度数为， ∴设计方法如图所示： 20．（8分）（24-25七年级下·宁夏中卫·期末）在一个不透明的口袋里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共20只，某学习小组做摸球实验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．下表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数 100 150 200 500 800 1000 摸到白球的次数 58 96 b 295 484 601 摸到白球的频率 a 0.64 0.58 0.59 0.605 0.601 (1)求出表中___________，___________． (2)估计当很大时，摸到白球的频率将会接近___________（精确到）；此口袋里白球有___________只； (3)若从口袋里再拿出去个白球，这时从口袋里任意摸出一球是白球的概率为，求的值． 【答案】(1)，； (2)，； (3)8 【分析】本题主要考查了如何利用频率估计概率，解分式方程，在解题时要注意频率和概率之间的关系． （1）根据频率和频数的定义求解即可； （2）随着摸球次数的增多，摸到白球的频率逐渐稳定在，即可求解； （3）根据概率公式列方程求解即可． 【详解】（1）解：由数据可知，，， 故答案为：，； （2）解：由表格可知，当很大时，摸到白球的频率将会接近， 此口袋里白球有只， 故答案为：，； （3）解：由题意可得， 解得：， 经检验：为原分式方程的解， 即的值为8． 21．（10分）（24-25七年级下·山东威海·期末）如图，有一枚质地均匀的正二十面体形状的骰子，其中的1个面标有“1”，2个面标有“2”，3个面标有“3”，4个面标有“4”，5个面标有“5”，其余的面标有“6”． (1)任意掷这枚骰子，掷出面标有“6”的概率是 ； (2)任意掷这枚骰子，掷出面标有“3的倍数”的概率是 ； (3)小明和小颖利用这个正二十面体形状的骰子做游戏，任意掷这枚骰子，掷出“奇数”朝上小明获胜，掷出“偶数”朝上小颖获胜，这个游戏公平吗？请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)本游戏规则不公平，见解析 【分析】（1）先计算标数字6的面数为：，总面数为20 ，根据简单的概率公式计算解答即可； （2）先计算3的倍数的数有个，根据简单的概率公式计算解答即可； （3）计算奇数的个数个，偶数个数为个，计算概率，比大小解答即可． 本题考查了简单的概率公式计算概率，游戏的公平性，熟练掌握概率计算，正确掌握判断游戏公平性的方法是解题的关键． 【详解】（1）解：∵骰子有20个面，其中的1个面标有“1”，2个面标有“2”，3个面标有“3”，4个面标有“4”，5个面标有“5”，其余的面标有“6” ∴标有“6”的面数为面， ∴掷出“6”的概率是， 故答案为：． （2）解：∵标有“6”的面数为5面，标有“3”的面数为3面， 故3的倍数的数的面有个， ∴掷出“3的倍数”的概率是， 故答案为：． （3）解：∵标有“6”的面数为5面，2个面标有“2”，4个而标有“4”， 故奇数的个数个，偶数个数为个， ∴掷出“偶数”的概率是，掷出“奇数”的概率是； ∵， ∴掷出“偶数”的概率较大， 故本游戏规则不公平． 22．（10分）（24-25九年级上·湖南长沙·阶段练习）为了解中考体育科目训练情况，从城区九年级学生中随机抽取了部分学生进行了一次中考体育科目测试（把测试结果分为四个等级：A级：优秀；B级：良好；C级：及格；D级：不及格），并将测试结果绘成了如下两幅不完整的统计图．请根据统计图中的信息解答下列问题： (1)本次抽样测试的学生人数是_______； (2)图中的度数是_______，并把图2条形统计图补充完整； (3)若城区九年级学生有人，如果全部参加这次中考体育科目测试，请估计不及格的人数为_______； (4)测试老师想从4位同学（分别记为甲、乙、丙、丁）中随机选择两位同学了解平时训练情况，请用列表或画树状图的方法求出选中甲乙的概率． 【答案】(1)人 (2)；作图见详解 (3)人 (4) 【分析】本题考查条形统计图与扇形统计图相关联，用样本估计总体，列表法或画树状图法求概率．根据条形统计图和扇形统计图得到必要的信息和数据是解题关键． （1）利用B级的人数除其所占百分比即可求解； （2）利用A级人数除总人数，得出其所占比例，再乘360°即得出的大小；利用C级的人数所占百分比乘抽样测试的总人数即可求出C级的人数，从而可补全统计图； （3）求出不及格的人数所占比例，再乘九年级学生总数即可求解； （4）根据题意列出表格或画出树状图表示出所有等可能的情况，找到符合题意的情况，再利用概率公式计算即可． 【详解】（1）（人） ∴本次抽样测试的学生人数是40人， 故答案为：； （2）． 故答案为：； C级的人数为（人）， 故补全条形统计图如下： （3）（人） ∴估计不及格的人数为3600人， 故答案为：3600人； （4）根据题意列表如下： 甲 乙 丙 丁 甲 甲、乙 甲、丙 甲、丁 乙 甲、乙 乙、丙 乙、丁 丙 甲、丙 乙、丙 丙、丁 丁 甲、丁 乙、丁 丙、丁 由表可知，共有12种等可能的结果，其中选中甲乙的有2种， ∴选中甲乙的概率为． 23．（12分）（2025·宁夏石嘴山·模拟预测）“幸福不会从天降，美好生活靠劳动创造”，劳动课正式成为中小学的一门独立课程，日常生活劳动设定四个任务群：A清洁与卫生，B整理与收纳，C家用器具使用与维护，D烹饪与营养．学校为了较好地开设课程，对学生最喜欢的任务群进行了调查，并将调查结果绘制成以下两幅不完整的统计图． 请根据统计图解答下列问题： (1)本次调查中，一共调查了_______名学生； (2)补全上面的条形统计图和扇形统计图； (3)学校想从选择“A清洁与卫生”的学生中随机选取两名学生作为“家居博览会”的志愿者，请用画树状图或列表法求出所选的学生恰好是一名男生和一名女生的概率． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题考查列表法与树状图法、条形统计图、扇形统计图、概率公式，能够读懂统计图，掌握列表法与树状图法、概率公式是解答本题的关键． （1）用条形统计图中类的人数除以扇形统计图中的百分比可得共调查的学生人数. （2）根据题意分别求出扇形统计图中类的百分比、条形统计图中类中女生的人数、类中男生的人数，补全条形统计图和扇形统计图即可. （3）列表可得出所有等可能的结果数以及所选的学生恰好是一名男生和一名女生的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】（1）解：次调查中，一共调查了(名)， 故答案为：； （2）解：由题意得，类的人数为(人)， 扇形统计图中类的百分比为 ， 类的人数为(人)， ∴类中女生的人数为(人)，类中男生的人数为(人)， 补全条形统计图和扇形统计图如图所示： （3）解：列表如下： 男 女 女 男 (男，女) (男，女) 女 (女，男) (女，女) 女 (女，男) (女，女) 共有种等可能的结果，其中所选的学生恰好是一名男生和一名女生的结果有种， ∴所选的学生恰好是一名男生和一名女生的概率为． 24．（12分）（2025·福建厦门·二模）某高校图书馆在考试期间常出现自习座位紧张的情况，为改善这一状况，学校决定对部分图书馆座位进行如下优化： 优化一引入座位预约系统： 该校对人文、社科两间阅览室只提供现场预约，每位同学只能选择其中一间阅览室预约座位，某天同一时刻，有甲、乙、丙三位同学在现场依次排队预约，轮到甲预约时，人文阅览室剩余个座位，社科阅览室剩余个座位 问题：请求出甲和丙两位同学预约到同一间阅览室的概率；每个座位被选到的概率相等 优化二合理增加座位数量 因学生自习需求增加，需在现有空间内合理增加座位数量，人文阅览室升级改造后，新增了一块长、宽的矩形学习区，目前有两种桌椅配套摆放方式供选择： 方式：一张桌子和四张椅子共用空间的大小为，如图； 方式：一张桌子和六张椅子共用空间的大小为，如图． 桌椅摆放时需满足以下条件： 桌子之间至少留有的通道横向和纵向均需满足； 共用空间的四周不能紧贴墙壁、书架等固定设施，至少要留出间隔． 问题：请设计一种使得新增座位总数最多的摆放方式，在矩形框中画出示意图，并求出总座位数注：桌椅的摆放仅限东西方向或者南北方向 【答案】问题：；问题：示意图见解析，个 【分析】问题，求出所有可能情况，再求出乙在社科阅览室的情况，根据概率公式计算即可； 问题，因为两种方式，每个座位所占面积相同，但方式需要的过道少于方式，所以尽量多用方式，因为桌子四周要留出通道，所以方式的面积相当于，方式的面积相当于，空间大小为，使空余空间最小的方案，即为所求． 本题主要考查了树状图法或列表法求解概率以及图形规划，按照换算后的占地面积来进行规划是本题解题的关键． 【详解】解：问题：设分别用A、B、C表示三个座位，其中A、B为人文阅览室的两个座位，C为社科阅览室的座位，画树状图如下： 由图可知，一共有6种等可能性的结果数，其中甲和丙两位同学预约到同一间阅览室的结果数有2种， ∴甲和丙两位同学预约到同一间阅览室的概率为； 问题：，， 两种方式每个座位面积相同， 方式需要的通道少于方式， 尽量选择方式， 桌子四周都要留出通道， 方式所占面积相当于，方式所占面积相当于，能够放置桌子的面积为， ，，， ∵，， 纵向采用两个，个或个最利用空间， ， 横向排排， 采用纵向两个，个，如图： 座位总数为：个． 答：总座位数为个． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二章 简单事件的概率·拔尖卷 【浙教版】 考试时间：120分钟 满分：120分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共24题，单选10题，填空6题，解答8题，满分120分，限时120分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！ 第Ⅰ卷 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．（3分）（2025·江苏无锡·二模）下列说法：“铁在潮湿的空气中会生锈”是必然事件；“物体不受外力时保持静止或匀速直线运动状态”是确定事件；“没有水分，种子发芽”是随机事件；“买一张电影票，座位号是奇数号”是不可能事件．其中正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（3分）（24-25六年级下·上海嘉定·期末）不透明的袋中装有除颜色外没有其他区别的红球4个和白球若干个．从袋中随机地取出一个球，如果取到白球的可能性较大，那么袋中白球的个数可能是（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 3．（3分）（24-25七年级下·四川成都·期末）用12个球设计一个摸球游戏，下面设计的四种方案中，不恰当的设计是（   ） A．摸到红球、白球、黄球的概率均为 B．摸到红球的概率，摸到白球的概率是，摸到黄球的概率是 C．摸到红球的概率是，摸到白球、黄球的概率都是 D．摸到红球的概率是，摸到黄球的概率也是 4．（3分）一个密码箱的密码，每个位数上的数都是从0到9的自然数，若要使不知道密码的一次就拨对密码的概率小于，则密码的位数至少需要（     ）位． A．3位 B．2位 C．9位 D．10位 5．（3分）（24-25九年级下·河北石家庄·阶段练习）某马场有三匹马，按身体强壮程度分为上马，中马，下马，这三匹马随机住在三个不同的马厩，甲到该马场去租马，先到第一个马厩观察后不租，再到第二个马厩，若比第一个马厩的马强壮，就直接租第二个马厩的马，若比第一个马厩的马瘦弱，就租第三个马厩的马，按这种方式，甲租到上马的概率为（   ） A． B． C． D． 6．（3分）（23-24八年级上·福建漳州·期末）综合与实践课上，老师带领同学们开展“利用树叶的特征对树木进行分类”的实践活动．10位同学每人随机收集核桃树、枇杷树的树叶各1片，通过测量得到这些树叶长，宽（单位：）的数据后，计算每片叶子的长宽比，绘制出折线统计图如下： 根据以上信息，下列说法错误的是（    ） A．枇杷树叶长宽比为2的频率最大 B．核桃树叶的长宽比大约为3.1 C．小明测量一片核桃叶的长为，小明断定它的宽一定为 D．小亮同学收集到一片长、宽的树叶，判断它是一片枇杷树叶 7．（3分）（2025·河南南阳·三模）如图，电路图上有编号为①②③④⑤共5个开关和一个小灯泡，闭合开关①或同时闭合开关②③或同时闭合开关④⑤都可使小灯泡发光，任意闭合电路上其中的两个开关，小灯泡发光的概率为（   ） A． B． C． D． 8．（3分）在数-1，1，2中任取两个数作为点坐标，那么该点刚好在一次函数y=x-2图象上的概率是（） A． B． C． D． 9．（3分）（2025·山东聊城·二模）如图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是一个小正方形，这个图形是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，现分别连接大、小正方形的四组顶点得到图2的“风车”图案（阴影部分）．若图1中的四个直角三角形的较长直角边为9，较短直角边为5，现随机向图2大正方形内掷一枚小针，则针尖落在阴影区域的概率为（   ）． A． B． C． D． 10．（3分）在智力竞答节目中，某参赛选手答对最后两题单选题就能利通关，两题均有四个选项，此选手只能排除第1题的一个错误选项，第2题完全不会，他还有两次“求助”机会（使用可去掉一个错误选项），为提高通关概率，他的求助使用策略为（    ） A．两次求助都用在第1题 B．两次求助都用在第2题 C．在第1第2题各用一次求助 D．两次求助都用在第1题或都用在第2题 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11．（3分）（24-25七年级下·辽宁沈阳·期末）投掷一枚形状规则、质地均匀的骰子（六个面分别标记、、、、、点），有下列事件：①掷得的点数是；②掷得的点数是奇数；③掷得的点数不小于；④掷得的点数为．这些事件发生的可能性由大到小排列是 （填序号）． 12．（3分）投掷一枚质地均匀的骰子两次，向上一面的点数依次记为a、b．那么方程有解的概率是 ． 13．（3分）（23-24九年级上·陕西榆林·阶段练习）二维码具有储存量大，保密性高，追踪性高，抗损性强，备援性大，成本便宜等特性，手机二维码已经被各大手机厂商使用开发．如图是一张边长为的正方形二维码的示意图，在正方形区域内随机掷点，通过大量重复试验，发现点落在黑色部分的频率稳定在左右，由此可以估计该二维码黑色部分的总面积为 ． 14．（3分）如图所示的圆形纸板被等分成10个扇形挂在墙上，玩飞镖游戏（每次飞镖均落在纸板上），则飞镖落在阴影区域的概率是 ． 15．（3分）（24-25七年级下·山东威海·期中）如图，在空白网格内将某一个小正方形涂成阴影部分，且所涂的小正方形与原阴影图形的小正方形至少有一边重合，小红按要求涂了一个正方形，所得到的阴影图形恰好是轴对称图形的概率为 ． 16．（3分）（2022·山西太原·一模）在课后服务时间，甲乙两班进行篮球比赛，在选择比赛场地时，裁判员采用了同时掷两枚完全相同硬币的方法：如果两枚硬币朝上的面不同，则甲班优先选择场地；否则乙班优先选择场地．这种选择场地的方法对两个班级 （填“公平”或“不公平”）． 第Ⅱ卷 三．解答题（共8小题，满分72分） 17．（6分）（24-25六年级下·上海·期中）为弘扬中华传统文化，崇明区某学校为配合“人人会瀛州古调”教学活动，开设了民族器乐选修课程．学生参加选修课的情况见如下统计图（图1、图2）．请根据图1和图2提供的信息，解答下列问题：（请在空格处填入相应答案） (1)共有 名学生参加了选修课程学习； (2)扇形统计图（图2）中，“琵琶”部分所对应的圆心角为 度； (3)如果从选择“古筝”选项的学生中，随机抽取12名学生参加一次区“古筝”比赛，那么学生被选中的可能性大小是 ． 18．（6分）（24-25九年级下·云南楚雄·开学考试）暑假期间，小东和爸爸妈妈准备前往云南旅游．云南景点众多，但由于时间有限，所以小东一家计划先乘机到昆明，再考虑从以下四个地点中选择两个前往：丽江、大理、红河、西双版纳．由于意见难以统一，小东爸爸在外观相同的4个小球表面写上“”，“”，“”，“”，分别代表丽江、大理、红河、西双版纳，并将小球装入不透明袋子里面，让小东从中同时抽取两个小球，用以决定前往旅游的地点． (1)判断：小东一家前往大理旅游与前往丽江旅游的概率________（填“相等”或“不相等”）； (2)丽江、大理在昆明以西，红河、西双版纳在昆明以南，求小东一家前往旅游的两个地点相对于昆明方向相同的概率． 19．（8分）（24-25七年级下·河南郑州·期末）为响应生态文明，增强居民环保意识，某社区举办“绿色生活”问答赛，答对道以上题目的居民可参与如图①的自由转盘抽奖（指针指向边界需重新转）．请根据以上信息，完成下列问题： (1)小远在此次问答赛中共答对道题目，他转到环保购物袋的概率是 ； (2)请你重新设计一种转盘抽奖方案，使得最后抽到环保卫士徽章、节能台灯和环保购物袋的概率分别为 ，要求奖项包含内容同图①．你可以写出设计方案，也可以在图②中画出具体设计方法（标清楚具体奖项名称）． 20．（8分）（24-25七年级下·宁夏中卫·期末）在一个不透明的口袋里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共20只，某学习小组做摸球实验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．下表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数 100 150 200 500 800 1000 摸到白球的次数 58 96 b 295 484 601 摸到白球的频率 a 0.64 0.58 0.59 0.605 0.601 (1)求出表中___________，___________． (2)估计当很大时，摸到白球的频率将会接近___________（精确到）；此口袋里白球有___________只； (3)若从口袋里再拿出去个白球，这时从口袋里任意摸出一球是白球的概率为，求的值． 21．（10分）（24-25七年级下·山东威海·期末）如图，有一枚质地均匀的正二十面体形状的骰子，其中的1个面标有“1”，2个面标有“2”，3个面标有“3”，4个面标有“4”，5个面标有“5”，其余的面标有“6”． (1)任意掷这枚骰子，掷出面标有“6”的概率是 ； (2)任意掷这枚骰子，掷出面标有“3的倍数”的概率是 ； (3)小明和小颖利用这个正二十面体形状的骰子做游戏，任意掷这枚骰子，掷出“奇数”朝上小明获胜，掷出“偶数”朝上小颖获胜，这个游戏公平吗？请说明理由． 22．（10分）（24-25九年级上·湖南长沙·阶段练习）为了解中考体育科目训练情况，从城区九年级学生中随机抽取了部分学生进行了一次中考体育科目测试（把测试结果分为四个等级：A级：优秀；B级：良好；C级：及格；D级：不及格），并将测试结果绘成了如下两幅不完整的统计图．请根据统计图中的信息解答下列问题： (1)本次抽样测试的学生人数是_______； (2)图中的度数是_______，并把图2条形统计图补充完整； (3)若城区九年级学生有人，如果全部参加这次中考体育科目测试，请估计不及格的人数为_______； (4)测试老师想从4位同学（分别记为甲、乙、丙、丁）中随机选择两位同学了解平时训练情况，请用列表或画树状图的方法求出选中甲乙的概率． 23．（12分）（2025·宁夏石嘴山·模拟预测）“幸福不会从天降，美好生活靠劳动创造”，劳动课正式成为中小学的一门独立课程，日常生活劳动设定四个任务群：A清洁与卫生，B整理与收纳，C家用器具使用与维护，D烹饪与营养．学校为了较好地开设课程，对学生最喜欢的任务群进行了调查，并将调查结果绘制成以下两幅不完整的统计图． 请根据统计图解答下列问题： (1)本次调查中，一共调查了_______名学生； (2)补全上面的条形统计图和扇形统计图； (3)学校想从选择“A清洁与卫生”的学生中随机选取两名学生作为“家居博览会”的志愿者，请用画树状图或列表法求出所选的学生恰好是一名男生和一名女生的概率． 24．（12分）（2025·福建厦门·二模）某高校图书馆在考试期间常出现自习座位紧张的情况，为改善这一状况，学校决定对部分图书馆座位进行如下优化： 优化一引入座位预约系统： 该校对人文、社科两间阅览室只提供现场预约，每位同学只能选择其中一间阅览室预约座位，某天同一时刻，有甲、乙、丙三位同学在现场依次排队预约，轮到甲预约时，人文阅览室剩余个座位，社科阅览室剩余个座位 问题：请求出甲和丙两位同学预约到同一间阅览室的概率；每个座位被选到的概率相等 优化二合理增加座位数量 因学生自习需求增加，需在现有空间内合理增加座位数量，人文阅览室升级改造后，新增了一块长、宽的矩形学习区，目前有两种桌椅配套摆放方式供选择： 方式：一张桌子和四张椅子共用空间的大小为，如图； 方式：一张桌子和六张椅子共用空间的大小为，如图． 桌椅摆放时需满足以下条件： 桌子之间至少留有的通道横向和纵向均需满足； 共用空间的四周不能紧贴墙壁、书架等固定设施，至少要留出间隔． 问题：请设计一种使得新增座位总数最多的摆放方式，在矩形框中画出示意图，并求出总座位数注：桌椅的摆放仅限东西方向或者南北方向 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$