第一章 空间向量与立体几何章末大总结（高效培优讲义）数学人教B版2019选择性必修第一册

第一章 空间向量与立体几何 章末大总结 教学目标 1.逻辑推理：通过例题讲解让学生掌握用向量解决空间角问题这一方法，能培养学生逻辑推理的核心素养； 2.数学运算：通过例题的完成，经历解题运算，能培养学生数学运算的核心素养； 3.直观想象：利用图形描述数学问题，建立数与形的联系，培养学生直观想象的核心素养. 教学重难点 重点：空间向量法解决立体几何空间角问题 难点：空间向量法解决立体几何空间角问题 知识点01 空间向量加法，减法运算 1、空间向量的加法运算（首尾相接首尾连）：作向量，则向量叫做向量的和．记作，即 2、空间向量的减法运算（共起点，连终点，指向被减向量）：向量叫做与差，记作，即 【即学即练】在平行六面体中，与相交于点，设，，，则下列向量中与相等的是（    ） A． B． C． D． 知识点02空间向量数乘运算 1、定义：与平面向量一样，实数与空间向量的乘积仍然是一个向量，称为向量的数乘运算． 2：数乘向量与向量的关系 的范围 的方向 的模 与向量的 ，其方向是 与向量的 知识点03 共面向量定理 1共面向量定理：如果两个向量不共线，那么向量与向量共面的充要条件是存在 的有序实数对，使 2空间共面向量的表示 如图空间一点位于平面内的充要条件是存在有序实数对，使． 或者等价于：对空间任意一点，空间一点位于平面内（四点共面）的充要条件是存在有序实数对，使，该式称为空间平面的向量表示式，由此可知，空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定． 3拓展 对于空间任意一点，四点共面（其中不共线）的充要条件是（其中 ）． 【即学即练】在下列条件中，使M与A，B，C一定共面的是（其中O为坐标原点）（ ） A． B． C． D． 知识点04 空间向量基本定理 1、定理：如果向量三个向量 ，那么对空间任意向量存在 使得 2、基底与基向量 如果向量三个向量不共面，那么所有空间向量组成集合就是这个集合可看作是由向量生成的，我们把叫做空间的一个 都叫做 ． 【即学即练】已知是空间向量的一组基底，是空间向量的另一组基底，若向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标为（    ） A． B． C． D． 知识点05 空间向量平行与垂直的条件，几何计算的坐标表示 1、两个向量的平行与垂直 平行（） 垂直（） 2、两个向量夹角的坐标计算公式 设，则 【即学即练】已知，，，若，则的值为 . 知识点06 用向量运算求直线与平面所成角 设直线的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为，与的角为，则有 ① ② 【即学即练】在空间直角坐标系中，已知点，，且平面的一个法向量，则直线与平面所成角的正弦值为 . 知识点07用向量运算求平面与平面所成角 如图，若于A，于B，平面PAB交于E，则∠AEB为二面角的平面角，∠AEB+∠APB=180°. 若分别为面，的法向量 ① ②根据图形判断二面角为锐二面角还是顿二面角； 若二面角为锐二面角（取正），则； 若二面角为顿二面角（取负），则； 【即学即练】如图，在正方体中，平面与平面的夹角的正切值为（    ） A． B． C． D． 知识点08点到直线的距离 已知直线的单位方向向量为，是直线上的定点，是直线外一点.设，则向量在直线上的投影向量，在中，由勾股定理得： 【即学即练】已知正方体的边长为，点是的中点，则点到直线的距离为 . 知识点09点到平面的距离 如图，已知平面的法向量为，是平面内的定点，是平面外一点.过点作平面的垂线，交平面于点，则是直线的方向向量，且点到平面的距离就是在直线上的投影向量的长度. 【即学即练】如图所示，在直四棱柱 中，，点在棱上，且，则点到平面的距离为 . 知识点10线面间的距离 1.定义：当直线与平面平行时，直线上 称为这条直线与这个平面之间的距离， 2.公式：如果直线l与平面α平行，n是平面α的一个法向量，A、B分别是l上和α内的点，则直线l与平面α之间的距离为 题型01 空间向量的概念及运算 【典例1】四面体中，，且，则等于（   ） A． B． C． D． 【变式1】在三棱锥中，、分别是、的中点，设，以为空间的一个基底，则（   ） A． B． C． D． 【变式2】如图，在三棱锥中，是的中点，点在上，，记，则（   ） A． B． C． D． 【变式3】已知三棱柱如图所示，其中，若点为棱的中点，则（   ） A． B． C． D． 【变式4】如图，三棱锥中，，，，且，，则（   ） A． B． C． D． 题型02 四点共面问题 【典例1】已知点在平面上，点是空间内任意一点，且，则的值为 ． 【变式1】是三棱锥底面所在平面内的一点，满足的一组数对是（   ） A． B． C． D． 【变式2】已知为空间任意一点，四点中任意三点不共线，但四点共面，且，则的值为（） A． B． C． D．2 【变式3】在下列条件中，使点与点，，一定共面的是（    ） A． B． C． D． 【变式4】（多选）．已知空间四边形为平面内一点，则（    ） A． B． C． D． 对于空间任意一点，四点共面（其中不共线）的充要条件是（其中）． 题型03 平面法向量的求解 【典例1】在空间直角坐标系中，，则平面的一个法向量为（    ） A． B． C． D． 【变式1】已知空间中，点，则平面的一个法向量为（    ） A． B． C． D． 【变式2】在空间直角坐标系中，已知点，则下列向量坐标可以作为平面的一个法向量的是（   ） A． B． C． D． 【变式3】已知向量，，则平面的一个法向量（   ） A． B． C． D． 【变式4】已知，若平面的一个法向量为，则 ． 平面的法向量的求法 求一个平面的法向量时，通常采用待定系数法，其一般步骤如下: 设向量：设平面的法向量为 选向量：选取两不共线向量 列方程组：由列出方程组 解方程组：解方程组 赋非零值：取其中一个为非零值（常取) 得结论：得到平面的一个法向量. 题型04 利用空间向量证明平行、垂直关系 【典例1】如图，已知在直三棱柱中，，，，．    (1)在线段上是否存在点，使得? (2)在线段上是否存在点，使得平面?说明理由． 【变式1】如图，在正方体中，分别为底面和侧面的中心．求证： (1)平面； (2)平面平面． 【变式2】如图，在正方体中，是的中点，是的中点. (1)在平面内确定一点，使平面； (2)证明：棱上不存在点，使平面平面. 【变式3】如图，在四棱锥中，，，四边形为矩形，在上，且，为的中点，平面交于点．    (1)求证：； (2)在线段上是否存在点（异于点），使得平面与平面的夹角为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【变式4】如图，在四棱锥中，底面，，，，，为上一点，且．（请用空间向量法予以证明） (1)求证：平面PBC； (2)求证：平面BDE． 空间中直线、平面的垂直 设直线的方向向量为，直线的方向向量为，平面的法向量，平面的法向量为，则 线线垂直 ⇔⇔ 线面垂直 ⇔⇔⇔ 面面垂直 ⇔⇔⇔ 题型05 异面直线所成角 【典例1】如图，在棱长为2的正方体中，E，F，G分别为，，的中点，则与所成的角的余弦值为 ． 【变式1】如图，边长为1的菱形中，，沿将翻折，得到三棱锥，当平面平面时，异面直线与所成的角的余弦值等于 ．    【变式2】如图，在直三棱柱中，D为棱的中点，，，，则异面直线CD与所成角的余弦值为    【变式3】在直三棱柱中，，点是的中点，则与所成角的余弦值为 . 【变式4】在直三棱柱中，，，分别是，的中点，，则与所成角的余弦值是 . 1、用向量运算求两条直线所成角 已知，为两异面直线，，与，分别是，上的任意两点，，所成的角为，则 ① ②. 题型06 利用向量法求直线与平面所成角 【典例1】如图，在正方体中，M为线段BD的中点，N为线段上的一动点含端点，则直线MN与平面所成角的正弦值的最大值为 . 【变式1】在四棱柱中，平面ABCD，，，点E，F满足，，则直线EF与底面ABCD所成角的正弦值为 . 【变式2】在四棱柱中，平面，，，，，其中，.若与底面所成角的正弦值为，则的最大值是 . 【变式3】已知正四棱柱中，，建立如图所示的空间直角坐标系，则平面的一个法向量是 （答案不唯一，写出一个坐标即可），直线与平面所成角的正弦值等于 . 【变式4】如图，在四棱台体中，平面，底面为正方形，，则该四棱台的体积 ，直线与平面所成角的正弦值为 . 设直线的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为，与的角为，则有 ① ②.（注意此公式中最后的形式是：） 题型07 利用向量法解决直线与平面所成角的探索性问题 【典例1】如图，多面体中，，，两两垂直，‖‖，‖，且． (1)设面与面的交线为，求证：‖； (2)求证：； (3)已知线段上存在一点，使得直线与平面所成的角的正弦值为，求的长． 【变式1】如图，在四棱锥中，平面，，，，，为中点． (1)求证：平面； (2)求三棱锥的外接球的体积； (3)线段上（不含端点）是否存在点，使得与平面所成角为？若存在，确定点的位置；若不存在，请说明理由. 【变式2】如图，在直三棱柱中，分别为的中点. (1)证明：平面ACF； (2)在线段上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求平面AFM与平面夹角的余弦值；若不存在，请说明理由. 【变式3】在如图所示的几何体中，四边形ABCD是菱形，ADNM是矩形，平面ABCD，，，，E为AB的中点. (1)求平面EMC与平面MBC夹角的余弦值； (2)在线段AM上是否存在点P，使直线PE与平面MBC所成的角为?若存在，求出PE的长；若不存在，请说明理由. 【变式4】如图，在四棱锥中，底面是边长为的菱形，侧面底面，，，是中点，点在侧棱上（不包括端点）． (1)求证：； (2)是否存在点，使与平面所成角的正弦值为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 题型08 利用向量法求二面角 【典例1】在正四棱柱中，，，是的中点，则平面与平面夹角的余弦值为 ． 【变式1】已知是棱长为6的正方体，分别是棱上的动点，且．当共面时，平面与平面夹角的余弦值为 ． 【变式2】在长方体中，，，点为长方体的底面的中心，点为棱的中点，则平面与平面夹角的余弦值为 .    【变式3】如图，在五棱锥中，底面ABCDE，，，，，，则平面与平面的夹角的余弦值为 ． 【变式4】中国古代数学著作《九章算术》中记载了一种称为“曲池”的几何体，该几何体的上、下底面平行，且均为扇环形（扇环是指圆环被扇形截得的部分），现有一个如图所示的曲池，它的高为2，均与曲池的底面垂直，底面扇环对应的两个圆的半径分别为1和2，对应的圆心角为，则图中平面与平面所成角的余弦值为 . 用向量运算求平面与平面的夹角 如图，若于A，于B，平面PAB交于E，则∠AEB为二面角的平面角，∠AEB+∠APB=180°. 若分别为面，的法向量 ① ②根据图形判断二面角为锐二面角还是顿二面角； 若二面角为锐二面角（取正），则； 若二面角为顿二面角（取负），则； 题型09 利用向量法解决二面角中的探索性问题 【典例1】如图，在直三棱柱中，分别为的中点，且. (1)证明：平面. (2)若，在线段上是否存在点，使平面与平面夹角的余弦值为？若存在，确定点的位置；若不存在，请说明理由. 【变式1】如图，直四棱柱的底面为梯形，，，. (1)若，E为的中点，在侧面内是否存在点F，使平面？若存在，请确定点F的位置；若不存在，请说明理由. (2)若点K为的中点，平面与平面所成锐二面角为60°，求的长. 【变式2】如图，在三棱锥中，，，平面. (1)求证：平面平面； (2)若，为线段的中点，点为线段的动点，且二面角的余弦值为，求. 【变式3】如图，DE是正的一条中位线，O为线段DE的中点，，将沿DE折起，得到四棱锥，且平面平面ABED． (1)证明：平面ABED； (2)R为棱PB上一点（不包括端点），若平面AOR与平面AOB夹角的余弦值为，求的值． 【变式4】如图，在四棱锥中，侧面平面，是边长为2的等边三角形，底面为直角梯形，其中，，. (1)取线段中点，连接，证明：平面； (2)求到平面的距离； (3)线段上是否存在一点，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 题型10 利用向量法求点到直线的距离 【典例1】在空间直角坐标系中，点，，，则到直线的距离为 【变式1】在棱长为2的正方体中，E为的中点，则点A到直线的最短距离为 . 【变式2】已知直线经过点，且是的方向向量，则点到的距离为 ． 【变式3】如图所示，在长方体中，，，与平面交于点，则点到直线的距离为 ． 【变式4】在空间直角坐标系中，已知三点，则点到直线的距离为 . 点到直线的距离 已知直线的单位方向向量为，是直线上的定点，是直线外一点.设，则向量在直线上的投影向量，在中，由勾股定理得： 题型11 利用向量法求点到平面的距离 【典例1】已知空间四点，，，，则点到平面的距离为 ． 【变式1】已知正方体的棱长为1，为棱的中点，为侧面的中心，点分别为直线上的动点，且，当取得最小值时，点到平面的距离为 ． 【变式2】正方体的棱长为分别为的中点，为底面的中心，则点到平面的距离为 . 【变式3】在正六棱柱中，，，分别为，的中点，则点到平面的距离为 ． 【变式4】在长方体中，，已知异面直线与，与所成角的大小分别为和，为中点，则点到平面的距离为 . 点到平面的距离 如图，已知平面的法向量为，是平面内的定点，是平面外一点.过点作平面的垂线，交平面于点，则是直线的方向向量，且点到平面的距离就是在直线上的投影向量的长度. 题型12 利用向量法解决点到平面的距离的探索性问题 【典例1】如图，在四棱锥中，底面是矩形，底面，，，是的中点． (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)若点在棱上运动，当点到平面的距离为时，求的长度． 【变式1】已知梯形中，，如图1.将沿折起到，得到三棱锥，如图2，分别为棱､的中点. (1)若，求证：平面平面； (2)若，求二面角的正弦值； (3)是否存在点，使得点到平面的距离为？若存在，确定点的位置；若不存在，请说明理由. 【变式2】如图，在直四棱柱中，底面ABCD为矩形，E为棱的中点． (1)若，证明：． (2)设，，，，且点F到平面的距离为，求λ的值． 【变式3】如图，直线垂直于梯形所在的平面，，为线段上一点，，，四边形为矩形． (1)若是的中点，求证：平面； (2)求直线与平面所成角的余弦值 (3)若点到平面的距离为，求的长． 【变式4】如图1，在四边形中，，，，如图2，把沿折起，使点到达点处，且平面平面，为的中点. (1)求证：； (2)求二面角的余弦值； (3)判断线段上是否存在点，使得三棱锥的体积为．若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 1．下列命题中正确的是（    ） ①若，则，，三点共线； ②若，则，，，四点共面； ③若，则，，，四点共面． A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 2．已知是平面的一个法向量，点，在平面内，则（    ） A．2 B．5 C．7 D．9 3．已知，，是不共面的三个向量，则能构成空间的一个基底的一组向量是（ ） A．，， B．，， C．，， D．，， 4．如图，在棱长为1的正方体中，为的中点，则点到平面的距离为（    ）    A． B． C． D． 5．已知向量，，则“与的夹角为钝角”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．如图，在直三棱柱中，，，，，点是棱的中点，点在棱上运动，则点到直线的距离的最小值为（    ）    A． B． C． D． 7．在直三棱柱中，已知，E是的中点，D是的中点，与相交于点F，，，，则与所成的角的大小为（    ） A． B． C． D． 8．在正方体，中，E是的中点，则与平面所成角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 9．（多选）若是空间向量的一组基，则下列各组中能构成空间向量的一组基的是（    ） A． B． C． D． 10．（多选）已知四棱台的上、下底面均为正方形，底面，，，是底面的中心，以为原点，，，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示，则下列说法正确的是（    ）    A．点的坐标为 B． C．平面的一个法向量为 D．点到平面的距离为 11．已知直线的方向向量为，平面的一个法向量为，若，则的值为 ． 12．如图，在长方体中， ，，则异面直线与所成角的余弦值为 ．    13．如图，四棱柱的棱长均为6，侧棱与底面垂直，且，是侧棱上的点，，是线段上的动点．    (1)以为坐标原点、为轴正方向、为轴正方向，建立空间直角坐标系，写出点的坐标． (2)求点到平面的距离． (3)在线段上是否存在一点，使得平面与平面夹角的余弦值为?若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由． 14．如图，在三棱锥中，平面平面，与均为等腰直角三角形，且，． (1)求与平面所成角的余弦值； (2)是线段上的动点，若线段上存在点（不包含端点），使得异面直线与成30°角，求线段长的取值范围． 15．如图，是菱形所在平面外一点，且为等边三角形，      (1)证明：平面平面； (2)若且，问线段上是否存在点（不包含端点），使得平面与平面夹角的正弦值是?若存在，求的值，若不存在请说明理由． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一章 空间向量与立体几何 章末大总结 教学目标 1.逻辑推理：通过例题讲解让学生掌握用向量解决空间角问题这一方法，能培养学生逻辑推理的核心素养； 2.数学运算：通过例题的完成，经历解题运算，能培养学生数学运算的核心素养； 3.直观想象：利用图形描述数学问题，建立数与形的联系，培养学生直观想象的核心素养. 教学重难点 重点：空间向量法解决立体几何空间角问题 难点：空间向量法解决立体几何空间角问题 知识点01 空间向量加法，减法运算 1、空间向量的加法运算（首尾相接首尾连）：作向量，则向量叫做向量的和．记作，即 2、空间向量的减法运算（共起点，连终点，指向被减向量）：向量叫做与差，记作，即 【即学即练】在平行六面体中，与相交于点，设，，，则下列向量中与相等的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量的线性运算求解即可. 【详解】根据题意，， 故选：B. 知识点02空间向量数乘运算 1、定义：与平面向量一样，实数与空间向量的乘积仍然是一个向量，称为向量的数乘运算． 2：数乘向量与向量的关系 的范围 的方向 的模 与向量的方向相同 ，其方向是任意的 与向量的方向相反 知识点03 共面向量定理 1共面向量定理：如果两个向量不共线，那么向量与向量共面的充要条件是存在唯一的有序实数对，使 2空间共面向量的表示 如图空间一点位于平面内的充要条件是存在有序实数对，使． 或者等价于：对空间任意一点，空间一点位于平面内（四点共面）的充要条件是存在有序实数对，使，该式称为空间平面的向量表示式，由此可知，空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定． 3拓展 对于空间任意一点，四点共面（其中不共线）的充要条件是（其中）． 【即学即练】在下列条件中，使M与A，B，C一定共面的是（其中O为坐标原点）（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据四点共面的条件逐项判断即可求得结论. 【详解】空间向量共面定理：， 若不共线，且共面，其充要条件是. 对A，因为，所以四点不共面； 对B，因为，所以四点不共面； 对C，由可得， 因为，所以四点不共面； 对D，由可得， 即，因为，所以四点共面. 故选：D 知识点04 空间向量基本定理 1、定理：如果向量三个向量不共面，那么对空间任意向量存在有序实数组使得 2、基底与基向量 如果向量三个向量不共面，那么所有空间向量组成集合就是这个集合可看作是由向量生成的，我们把叫做空间的一个基底都叫做基向量． 【即学即练】已知是空间向量的一组基底，是空间向量的另一组基底，若向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由空间向量基本定理设向量在基底下的坐标为，根据题意结合空间向量相等的条件建立方程组，解方程组可得答案． 【详解】设向量在基底下的坐标为，则， 整理得， 所以，解得， 所以向量在基底下的坐标为． 故选：B 知识点05 空间向量平行与垂直的条件，几何计算的坐标表示 1、两个向量的平行与垂直 平行（） 垂直（） （均非零向量） 2、两个向量夹角的坐标计算公式 设，则 【即学即练】已知，，，若，则的值为 . 【答案】 【分析】先求出，再根据可得，利用空间向量垂直的坐标运算列式可求的值. 【详解】因为，，所以， 由得，又， 所以，解得. 故答案为： 知识点06 用向量运算求直线与平面所成角 设直线的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为，与的角为，则有 ① ②.（注意此公式中最后的形式是：） 【即学即练】在空间直角坐标系中，已知点，，且平面的一个法向量，则直线与平面所成角的正弦值为 . 【答案】/ 【分析】根据线面角的向量求法计算. 【详解】因为，所以直线与平面所成角的正弦值为. 故答案为： 知识点07用向量运算求平面与平面所成角 如图，若于A，于B，平面PAB交于E，则∠AEB为二面角的平面角，∠AEB+∠APB=180°. 若分别为面，的法向量 ① ②根据图形判断二面角为锐二面角还是顿二面角； 若二面角为锐二面角（取正），则； 若二面角为顿二面角（取负），则； 【即学即练】如图，在正方体中，平面与平面的夹角的正切值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】以为原点，以所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系，利用空间向量求解即可. 【详解】如图，以为原点，以所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 设正方体的棱长为1，则， 所以， 因为平面， 所以平面的一个法向量为， 设平面的法向量为，则 ，令， 则，所以为平面的一个法向量， 设平面与平面的夹角为，则 ， 因为为锐角，所以， 所以， 所以平面与平面的夹角的正切值为. 故选：A 知识点08点到直线的距离 已知直线的单位方向向量为，是直线上的定点，是直线外一点.设，则向量在直线上的投影向量，在中，由勾股定理得： 【即学即练】已知正方体的边长为，点是的中点，则点到直线的距离为 . 【答案】/ 【分析】以为原点，以所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系，利用空间向量求解即可. 【详解】以为原点，以所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 则， 所以， 设点到直线的距离为，则 . 故答案为： 知识点09点到平面的距离 如图，已知平面的法向量为，是平面内的定点，是平面外一点.过点作平面的垂线，交平面于点，则是直线的方向向量，且点到平面的距离就是在直线上的投影向量的长度. 【即学即练】如图所示，在直四棱柱 中，，点在棱上，且，则点到平面的距离为 . 【答案】/ 【详解】建立空间直角坐标系，求出平面的法向量为，由距离公式求解即可. 【分析】建立如图所示的空间直角坐标系， 则， . 设平面的法向量为，则 令，则. 点到平面的距离. 故答案为：. 知识点10线面间的距离 1.定义：当直线与平面平行时，直线上任意一点到平面的距离称为这条直线与这个平面之间的距离， 2.公式：如果直线l与平面α平行，n是平面α的一个法向量，A、B分别是l上和α内的点，则直线l与平面α之间的距离为d＝． 题型01 空间向量的概念及运算 【典例1】四面体中，，且，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用空间向量线性运算计算即可. 【详解】 因为， 所以，点为的中点， 所以，即. 故选：B 【变式1】在三棱锥中，、分别是、的中点，设，以为空间的一个基底，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据条件，利用空间向量的线性运算，即可求解. 【详解】因为、分别是、的中点， 则，， 所以， 故选：A. 【变式2】如图，在三棱锥中，是的中点，点在上，，记，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用向量的加减法则，将逐步转化为已知向量、、的线性组合. 【详解】是的中点，，又，由，. 故选：. 【变式3】已知三棱柱如图所示，其中，若点为棱的中点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据空间向量的线性运算法则，准确化简，即可求解. 【详解】根据空间向量的线性运算法则，可得： ． 故选：D 【变式4】如图，三棱锥中，，，，且，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用空间向量的运算法则求解即可. 【详解】如图所示： . 故选：B 题型02 四点共面问题 【典例1】已知点在平面上，点是空间内任意一点，且，则的值为 ． 【答案】 【分析】根据条件，利用空间向量基本定理得到，进而可得到，结合条件有，即可求出结果. 【详解】因为点在平面上，由空间向量基本定理知，， 得到，即， 又，所以，解得， 故答案为：. 【变式1】是三棱锥底面所在平面内的一点，满足的一组数对是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用共面向量基本定理得到，代入验证即可. 【详解】因为根据共面向量基本定理得，从而， 代入选项验证，只有B选项满足条件. 故选：B. 【变式2】已知为空间任意一点，四点中任意三点不共线，但四点共面，且，则的值为（） A． B． C． D．2 【答案】C 【分析】由题设条件推得,再由四点共面可求得. 【详解】因为, 所以由, 得, 即, 因为为空间任意一点,满足任意三点不共线,且四点共面, 所以,故. 故选:C. 【变式3】在下列条件中，使点与点，，一定共面的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据共面向量定理，利用三个向量表示向量，其系数和为，则可得四点共面． 【详解】D选项中，，结合共面定理的推论，且ABD三个选项的系数和不为，所以不共面． C选项可化为：即，系数和为． 故选：C． 【变式4】（多选）．已知空间四边形为平面内一点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据空间向量基本定理的结论，即可判断选项. 【详解】在空间四边形中，为平面内一点，则，其中，B，D正确． 故选：BD 对于空间任意一点，四点共面（其中不共线）的充要条件是（其中）． 题型03 平面法向量的求解 【典例1】在空间直角坐标系中，，则平面的一个法向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据法向量的求法求解即可. 【详解】由已知，设平面的一个法向量为， ，取，得， 选项A符合，另外选项BCD中的向量与选项A中的向量不共线. 故选：A. 【变式1】已知空间中，点，则平面的一个法向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出，，设平面的一个法向量为，由，，列方程组，解方程即可得出答案. 【详解】由题，， 设平面的一个法向量为， 则， 令，，得. 故选：B. 【变式2】在空间直角坐标系中，已知点，则下列向量坐标可以作为平面的一个法向量的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由法向量定义求出一个法向量，与它平行的向量即可． 【详解】设法向量为， 由已知， 则，取，则， 只有B选项中向量与平行，可表示为， 故选：B． 【变式3】已知向量，，则平面的一个法向量（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先设平面的一个法向量为，结合法向量的定义得出应满足的条件，进而判断即可. 【详解】设平面的一个法向量为， 则，即，即， 所以满足上述条件的只有A符合. 故选：A. 【变式4】已知，若平面的一个法向量为，则 ． 【答案】. 【分析】根据题意，求得向量，得到方程组，即可求解. 【详解】因为，可得， 因为平面的一个法向量为，则， 解得，所以. 故答案为：. 平面的法向量的求法 求一个平面的法向量时，通常采用待定系数法，其一般步骤如下: 设向量：设平面的法向量为 选向量：选取两不共线向量 列方程组：由列出方程组 解方程组：解方程组 赋非零值：取其中一个为非零值（常取) 得结论：得到平面的一个法向量. 题型04 利用空间向量证明平行、垂直关系 【典例1】如图，已知在直三棱柱中，，，，．    (1)在线段上是否存在点，使得? (2)在线段上是否存在点，使得平面?说明理由． 【答案】(1)存在 (2)存在，理由见解析 【分析】（1）设，假设，利用，求出点坐标即可； （2）设，求出平面的法向量，由，求出点坐标即可. 【详解】（1）因为，，，所以，故， 如图，以为坐标原点，，，分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系， 则，，，， 所以，，， 假设在上存在点满足条件．    设，， 因为，所以，解得， 即在上存在点使得，此时点与点重合． （2）假设在上存在点，使得平面． 设，，． 设平面的一个法向量， 则有，得，取，可得， 由，解得， 所以在上存在点，使得平面，这时为的中点． 【变式1】如图，在正方体中，分别为底面和侧面的中心．求证： (1)平面； (2)平面平面． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）证法1：建立空间直角坐标系，表示出各点坐标，可得，由线面平行的判定定理证明即可； 证法2：求出平面的法向量，判断即可证明 （2）求出平面的一个法向量，判断与关系即可证明； 【详解】（1）以为原点，，，分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系， 令正方体的棱长为2，则，，，，，． 证法1：，，因为，所以，又平面，平面，所以平面． 证法2：设平面的一个法向量，，，根据，可得，令，则，，即， 因为，又平面，平面，所以平面． （2）设平面的一个法向量，，，根据，可得，取，则，所以，则，所以平面平面． 【变式2】如图，在正方体中，是的中点，是的中点. (1)在平面内确定一点，使平面； (2)证明：棱上不存在点，使平面平面. 【答案】(1)当点的坐标为时，平面. (2)证明见解析 【分析】（1）根据证明线面垂直的向量方法，建立空间直角坐标系，设出点的坐标，表示出方向向量，列出方程组，求出结果； （2）根据证明面面平行的向量方法，设出点的坐标，证明面上两条直线方向向量，不能同时与另一个面的法向量垂直即可. 【详解】（1） 建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为2， 则，，，，，， 设，. 因为，，，又，不共线， 所以当时，平面. 所以，解得，， 所以当点的坐标为时，平面. （2）设平面的法向量为，则， 因为，，所以， 令，则，，所以平面的一个法向量. 若平面平面，则也是平面的一个法向量. 因为，， 所以，即，得， 此时， 所以不是平面的一个法向量，即与平面不垂直. 所以棱上不存在点，使平面平面. 【变式3】如图，在四棱锥中，，，四边形为矩形，在上，且，为的中点，平面交于点．    (1)求证：； (2)在线段上是否存在点（异于点），使得平面与平面的夹角为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在，， 【分析】（1）根据三角形的边长，结合勾股定理可建立空间直角坐标系，理由向量证明线面垂直即可求证， （2）求解平面法向量，即可根据法向量的夹角求解. 【详解】（1）由可得， 由于，故， 又，故， 故，故， 结合底面为矩形，故， 故两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系. ， 则， 故， 因此平面， 故平面， 平面， 故 （2）设， 则 设平面的法向量为， 故， 取，则. 设平面的法向量为， 故， 取，则. 故， 解得， 故存在，此时. 【变式4】如图，在四棱锥中，底面，，，，，为上一点，且．（请用空间向量法予以证明） (1)求证：平面PBC； (2)求证：平面BDE． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）以A为原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系，证明，，原题即得证； （2）设平面BDE的法向量为，证明即得证. 【详解】（1）证明：如图，以A为原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系， 则，，，，， 所以，，， 因为，所以，所以， 所以，， 所以， ，即，， 又因为，平面PBC． 所以平面PBC． （2）证明：由（1）可得，，． 设平面BDE的法向量为， 则，即令，得，， 则是平面BDE的一个法向量， 因为，所以， 因为平面BDE，所以平面BDE． 空间中直线、平面的垂直 设直线的方向向量为，直线的方向向量为，平面的法向量，平面的法向量为，则 线线垂直 ⇔⇔ 线面垂直 ⇔⇔⇔ 面面垂直 ⇔⇔⇔ 题型05 异面直线所成角 【典例1】如图，在棱长为2的正方体中，E，F，G分别为，，的中点，则与所成的角的余弦值为 ． 【答案】/ 【分析】建立空间直角坐标系，分别求得，，再利用向量的夹角公式求解. 【详解】建立如图所示空间直角坐标系： 则，，，， 所以，， ， 所以与所成角的余弦值为. 故答案为：. 【变式1】如图，边长为1的菱形中，，沿将翻折，得到三棱锥，当平面平面时，异面直线与所成的角的余弦值等于 ．    【答案】/ 【分析】取的中点，以为原点，建立空间直角坐标系，分别求得的坐标，结合向量的夹角公式，即可求解. 【详解】取的中点，连接，可得， 因为平面平面，平面，且平面平面， 所以平面， 以为原点，以所在的直线分别为轴，轴和轴，建立空间直角坐标系， 如图所示，则， 可得， 设异面直线与所成的角为， 则， 所以异面直线与所成的角的余弦值为. 故答案为：.    【变式2】如图，在直三棱柱中，D为棱的中点，，，，则异面直线CD与所成角的余弦值为    【答案】 【分析】利用已知条件可以建立空间直角坐标系，然后利用空间向量去求异面直线所成的角. 【详解】    因为三棱柱是直三棱柱，且， 所以以为坐标原点，分别以，，的方向为，，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系. ，， ，，，， ，， ， 又因为异面直线所成角的范围为， 所以异面直线CD与所成角的余弦值为. 故答案为：. 【变式3】在直三棱柱中，，点是的中点，则与所成角的余弦值为 . 【答案】 【分析】根据条件建立空间直角坐标系，表示向量，结合公式求解即可得到结果. 【详解】 设，以为原点建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， ∴， ∴， ∴与所成角的余弦值为. 故答案为：. 【变式4】在直三棱柱中，，，分别是，的中点，，则与所成角的余弦值是 . 【答案】/ 【分析】建立适当的空间直角坐标系，求出与对应的方向向量，结合向量夹角的余弦的坐标公式即可得解. 【详解】建立空间直角坐标系，用向量法求异面直线所成的角. 直三棱柱，且， 以C为原点，分别以，，为x轴，y轴，z轴的正向，建立如图所示的空间直角坐标系， 设，则，，，， ，， 设直线与成的角为， 则， 直线与所成角的余弦值为. 故答案为：. 1、用向量运算求两条直线所成角 已知，为两异面直线，，与，分别是，上的任意两点，，所成的角为，则 ① ②. 题型06 利用向量法求直线与平面所成角 【典例1】如图，在正方体中，M为线段BD的中点，N为线段上的一动点含端点，则直线MN与平面所成角的正弦值的最大值为 . 【答案】 【分析】建立空间直角坐标系，得到点坐标即向量坐标，设，求得点坐标，从而得到坐标.由空间向量求得平面的一个法向量，由空间向量的夹角求得直线MN与平面所成角的正弦值的表达式，再由函数的性质求得最大值. 【详解】设，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，，， 设，，，又， 所以， 则，，， 即， 所以， 设平面的一个法向量为， 又，， 则， 取， 设直线MN与平面所成角为，， 当时，N与上的重合，直线MN在平面内，不合题意， 当时， ， 令，则， 则，时，有最小值6， 所以当，即，即时 故答案为： 【点睛】方法点睛，在求线面角的的正弦值问题时，一般采用空间直角坐标系来完成，所以建系设线段长是本题的关键.关于动点问题，一般我们采用向量共线的方法设出动点坐标，然后借助空间向量的夹角求得线面角. 【变式1】在四棱柱中，平面ABCD，，，点E，F满足，，则直线EF与底面ABCD所成角的正弦值为 . 【答案】 【分析】构建合适的空间直角坐标系，应用向量法求直线EF与底面ABCD所成角的正弦值. 【详解】如图，以A为坐标原点，AB、AD、所在直线分别为x、y、z轴，建立如图所示空间直角坐标系， 则，，，， 故，，， 由，， 所以， 由题知是平面ABCD的一个法向量， 设直线EF与底面ABCD所成角为，则， 即直线EF与底面ABCD所成角的正弦值为 故答案为： 【变式2】在四棱柱中，平面，，，，，其中，.若与底面所成角的正弦值为，则的最大值是 . 【答案】 【分析】利用空间向量法求直线与平面所成角的正弦值，再由基本不等式可求最大值. 【详解】 以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系， 如图所示，则，，，， 所以，，， ，， 则. 由已知可得是平面的一个法向量. ， 平方得：，整理得：. 因为，，所以， 当且仅当时，等号成立. 令，则不等式可转化为， 解得或（舍去）， 则， 故的最大值为. 故答案为：. 【变式3】已知正四棱柱中，，建立如图所示的空间直角坐标系，则平面的一个法向量是 （答案不唯一，写出一个坐标即可），直线与平面所成角的正弦值等于 . 【答案】 / 【分析】平面的法向量为，由求出即可；利用空间线面角公式求解即可； 【详解】不妨设，则， 由题图可知，，，，， 故，，. 设平面的法向量为，则取 令，则，. 故平面的一个法向量为， 设与平面所成角为， 则. 故答案为：；. 【变式4】如图，在四棱台体中，平面，底面为正方形，，则该四棱台的体积 ，直线与平面所成角的正弦值为 . 【答案】 【分析】（1）运用台体体积公式计算即可； （2）借助空间直角坐标系，求出关键点坐标，借助向量夹角公式计算即可. 【详解】（1）运用台体体积公式计算，. （2）建立如图空间直角坐标系，则，， 所以. 设平面的法向量为，则取， 则， 故直线与平面所成角的正弦值为. 设直线的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为，与的角为，则有 ① ②.（注意此公式中最后的形式是：） 题型07 利用向量法解决直线与平面所成角的探索性问题 【典例1】如图，多面体中，，，两两垂直，‖‖，‖，且． (1)设面与面的交线为，求证：‖； (2)求证：； (3)已知线段上存在一点，使得直线与平面所成的角的正弦值为，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)1 【分析】（1）由‖，可得‖平面，再利用线面平行的性质定理可证得结论； （2）由已知条件可证得四边形为菱形，则，由，，得平面，则，从而可得面，进而可证得； （3）以为原点，分别以，，的方向为轴，轴，轴的正方向的空间直角坐标系，利用空间向量求解即可. 【详解】（1）因为‖，又平面，平面， 所以‖平面． 又平面，平面平面， 所以‖． （2）因为‖，且，所以四边形为平行四边形． 又，所以四边形为菱形，所以． 因为，又，，平面， 所以平面． 又平面，所以． 又，，平面， 所以平面． 又平面，所以． （3）由于两两垂直，则以为原点，分别以，，的方向为轴，轴，轴的正方向的空间直角坐标系，如图， 则，，，，，． 所以，，， 设平面的法向量为， 则，令，得． 假设线段上存在点，使得直线与平面所成的角的正弦值为． 设， 则， 所以， 化简整理得，解得． 所以线段上存在点，且当时，使得直线与平面所成的角的正弦值为． 因为，所以． 【变式1】如图，在四棱锥中，平面，，，，，为中点． (1)求证：平面； (2)求三棱锥的外接球的体积； (3)线段上（不含端点）是否存在点，使得与平面所成角为？若存在，确定点的位置；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3)存在为靠近的处或中点，满足要求. 【分析】（1）若是的中点，连接，易得四边形为平行四边形，则，再由线面平行的判定证明结论； （2）首先注意是长宽高分别为的长方体的一部分，再求出外接球的半径，即可求球体的体积； （3）构建合适的空间直角坐标系，标出相关点坐标并设且，再求出与平面的方向向量、法向量，应用向量法求线面角得到方程，即可得结论. 【详解】（1）若是的中点，连接，又为中点，则，， 由且，所以，， 所以四边形为平行四边形，则， 平面，平面，则平面； （2）由平面，即平面，平面，则 由，，则， 且都在平面内， 所以平面，易知是长宽高分别为的长方体的一部分， 所以为长方体的体对角线，且与该长方体的外接球重合，故， 所以外接球半径，则外接球的体积为； （3）构建如上图示的空间直角坐标系，则且， 所以， 若是平面的一个法向量，则，取，则， 由与平面所成角为，则， 所以，可得，可得或， 综上，存在为靠近的处或中点时，与平面所成角为. 【变式2】如图，在直三棱柱中，分别为的中点. (1)证明：平面ACF； (2)在线段上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求平面AFM与平面夹角的余弦值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在， 【分析】（1）根据给定条件，以C为原点建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明推理得证. （2）求出平面的法向量，利用线面角的向量求法求出点坐标，再求出平面AFM的法向量，利用面面角的向量求法求解. 【详解】（1）在直三棱柱中，，则直线两两垂直， 以C为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则， ， 于是，， ，， 而和AF是平面ACF内两条相交直线， 所以平面ACF. （2）设点存在，，， ， 设平面法向量为，则， 取，得， 设与平面所成角为，， 由，解得， 即为中点，坐标为， ，设面AFM法向量， 则，取，得， 设平面AFM与平面的夹角为，则， 所以平面AFM与平面夹角的余弦值. 【变式3】在如图所示的几何体中，四边形ABCD是菱形，ADNM是矩形，平面ABCD，，，，E为AB的中点. (1)求平面EMC与平面MBC夹角的余弦值； (2)在线段AM上是否存在点P，使直线PE与平面MBC所成的角为?若存在，求出PE的长；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)； (2)不存在，理由见解析. 【分析】（1）根据题意可得，利用线面垂直的性质定理得到，建立如图空间直角坐标系D-xyz，利用空间向量法求解面面所成角即可； （2）设，则，由（2）知平面MBC的法向量，利用空间向量法求解线面角，即可判断. 【详解】（1）连接DE，由四边形ABCD是菱形，， 所以为正三角形，又E是AB的中点，得，即， 因为平面ABCD，平面ABCD， 所以，建立如图空间直角坐标系D-xyz， 则，，，，， 得，，， 设平面、平面MBC的一个法向量分别为、， 则， 令，得，令，得， ∴，， 得， 又平面与平面MBC的夹角为锐角， ∴平面与平面MBC所成角的余弦值为； （2）设，则，且， 由（2）知平面MBC的法向量为， 设直线PE与平面MBC的所成角为，则， 所以， 解得，不符合题意， ∴在线段AM上不存在点P，使直线PE与平面MBC的所成角为． 【变式4】如图，在四棱锥中，底面是边长为的菱形，侧面底面，，，是中点，点在侧棱上（不包括端点）． (1)求证：； (2)是否存在点，使与平面所成角的正弦值为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析； (2)存在， 【分析】（1）连接，分别证得和，利用线面垂直的判定定理，证得平面，进而证得； （2）利用面面垂直的性质定理，证得平面，得到，，以为坐标原点，设， 求得，再求得平面的一个法向量，利用向量的夹角公式，列出方程，求得，进而得出答案. 【详解】（1）证明：如图所示，连接， 因为，且为中点，所以， 在菱形中，，可得为等边三角形 ，所以， 又因为平面，且，所以平面， 因为平面，所以. （2）解：因为，平面平面，平面平面， 且平面，所以平面， 又因为平面，所以，， 因为，以为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系， 则，，，， 假设存在点满足题意，设， 则， 所以， 设平面的法向量为，则， 令，则，，所以， 设与平面所成角为，则 解得或（舍），所以存在点，使得与平面所成角的正弦值为， 此时. 题型08 利用向量法求二面角 【典例1】在正四棱柱中，，，是的中点，则平面与平面夹角的余弦值为 ． 【答案】 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法求平面与平面的夹角. 【详解】 如图，以点为坐标原点，以所在直线分别为轴建立空间直角坐标系， 由题意，， 则， 设平面的一个法向量， 则有，令，则，所以. 设平面的一个法向量， 则有，令，则，所以. 设平面与平面夹角为， 则. 故答案为：. 【变式1】已知是棱长为6的正方体，分别是棱上的动点，且．当共面时，平面与平面夹角的余弦值为 ． 【答案】/ 【分析】可以先建立空间直角坐标系，求出两个平面的法向量，，平面夹角的余弦值即为两个法向量所成角的余弦值的绝对值，代入坐标公式计算即可. 【详解】解析：以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如图所示， 易知当取点和点分别为棱的中点时，，坐标为：，，四点共面．设平面的法向量为， 依题意得：，令，可取， 同理可得平面的一个法向量为． 故平面与平面夹角的余弦值为．    故答案为： 【变式2】在长方体中，，，点为长方体的底面的中心，点为棱的中点，则平面与平面夹角的余弦值为 .    【答案】 【分析】建立空间直角坐标系，分别求出平面与平面的法向量，利用面面角的向量公式求解即可. 【详解】    如图所示，以点为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系； 由题意，，，，则，， 设平面的法向量， 由，得，令，解得，， 则平面的一个法向量， 因为平面，所以是平面的一个法向量， 设平面与平面夹角为， 则, 因此，平面与平面夹角的余弦值为. 故答案为：. 【变式3】如图，在五棱锥中，底面ABCDE，，，，，，则平面与平面的夹角的余弦值为 ． 【答案】/ 【分析】建立空间直角坐标系，分别求出平面与平面的法向量，利用空间向量的夹角公式求解即可. 【详解】建立如图所示的空间直角坐标系， 因为，， 所以, 则， 假设平面的一个法向量为， 则， 令，则，所以， 假设平面的一个法向量为， 则， 令，则，所以， 假设平面与平面的夹角为， 则， 故答案为： 【变式4】中国古代数学著作《九章算术》中记载了一种称为“曲池”的几何体，该几何体的上、下底面平行，且均为扇环形（扇环是指圆环被扇形截得的部分），现有一个如图所示的曲池，它的高为2，均与曲池的底面垂直，底面扇环对应的两个圆的半径分别为1和2，对应的圆心角为，则图中平面与平面所成角的余弦值为 . 【答案】 【分析】建立空间直角坐标系，用向量法求解平面与平面夹角的余弦值. 【详解】设上底面圆心为，下底面圆心为，连接，，，以为原点，分别以，，所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系， 则，，，，，， 则，，，， 设为平面的一个法向量， 则，令可得，所以， 设为平面的一个法向量， 则，令可得，所以 设平面与平面所成角为，， 则， 故平面与平面所成角的余弦值为. 故答案为：. 用向量运算求平面与平面的夹角 如图，若于A，于B，平面PAB交于E，则∠AEB为二面角的平面角，∠AEB+∠APB=180°. 若分别为面，的法向量 ① ②根据图形判断二面角为锐二面角还是顿二面角； 若二面角为锐二面角（取正），则； 若二面角为顿二面角（取负），则； 题型09 利用向量法解决二面角中的探索性问题 【典例1】如图，在直三棱柱中，分别为的中点，且. (1)证明：平面. (2)若，在线段上是否存在点，使平面与平面夹角的余弦值为？若存在，确定点的位置；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析； (2)存在，理由见解析. 【分析】（1）先求证，接着由题设结合线面垂直判定定理求证平面，进而得，再由直三棱柱性质得，进而由线面垂直判定定理即可求证平面； （2）建立适当的空间直角坐标系，设，，求出平面的一个法向量为和平面的一个法向量为， 再由求解即可. 【详解】（1）证明：因为， 所以由题在和中，，故， 所以， 所以可得，又，，平面， 所以平面，又平面，所以， 又由直三棱柱性质可得，平面， 所以平面. （2）由题意和（1）可以C为原点，为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 若，则可设， 则,设， 则， 设平面的一个法向量为，平面的一个法向量为， 则，， 则，， 取，则， 所以， 解得（舍去）或 ， 所以若，在线段上存在点，使平面与平面夹角的余弦值为，此时为线段的中点. 【变式1】如图，直四棱柱的底面为梯形，，，. (1)若，E为的中点，在侧面内是否存在点F，使平面？若存在，请确定点F的位置；若不存在，请说明理由. (2)若点K为的中点，平面与平面所成锐二面角为60°，求的长. 【答案】(1)不存在满足条件的点F，理由见解析 (2)或. 【分析】（1）建立空间直角坐标系，设，其中，，由平面，得，，利用数量积求，进而判断点是否存在； （2）设（），求平面与平面的法向量，利用夹角公式即可求解. 【详解】（1）以B为原点，，，所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系， 则，，，，. 若存在这样的点F，则可设，其中，. ，，， 平面，，， 则，， 即 与，矛盾，所以不存在满足条件的点. （2）设（），则，. ，， 设平面的一个法向量为，则 ， 即 ，取，则， 设平面的一个法向量，则 ， 即 ，取，则. 由题意得， 即，解得或（负值舍去）， 即的长为或. 【变式2】如图，在三棱锥中，，，平面. (1)求证：平面平面； (2)若，为线段的中点，点为线段的动点，且二面角的余弦值为，求. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据线面垂直的性质定理得，则利用线面垂直的判断定理得平面，进而利用面面垂直的判定定理正解即可. （2）平面，建立空间直角坐标系，求出平面和平面的法向量，利用向量法求出，可得，即可得解. 【详解】（1）∵平面，平面，∴， 又∵，，平面， ∴平面，平面， ∴平面平面. （2）过在平面内作， 以为原点，以，，为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，如图 ∵，，∴， ∴，，，∵为中点，∴， 设，， 设平面的法向量为， ∴， 令，，，即， 由（1）知平面，∴为平面的一个法向量， 设平面与平面所成角为， ∴， 解得或， 由（1）知，当为中点即时，∴平面， 又∵二面角的余弦值为，∴二面角为锐角， ∴∴，∴， ∴，∴. 【变式3】如图，DE是正的一条中位线，O为线段DE的中点，，将沿DE折起，得到四棱锥，且平面平面ABED． (1)证明：平面ABED； (2)R为棱PB上一点（不包括端点），若平面AOR与平面AOB夹角的余弦值为，求的值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据中线及翻转问题得到，再利用面面垂直即可得到平面ABED； （2）根据题意以O为原点建立空间直角坐标系，设，利用空间向量法求得平面AOR与平面AOB夹角的余弦值即可求，得到的值. 【详解】（1）（1）连接CO． 因为DE为正的中位线，O为DE的中点， 所以，所以， 因为平面平面ABED，平面平面，平面PDE， 所以平面ABED． （2）延长CO交AB于点F，则F为AB的中点， 所以，，所以，， 由（1）可知平面ABED，所以OD，OF，OP两两垂直， 以O为原点，OD，OF，OP所在直线分别为x，y，z:轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 所以，，， 设，则， 所以，所以． 设平面AOR的法向量为， 则， 取，得，，所以． 由（1）可知平面AOB，所以为平面AOB的一个法向量． 设平面AOR与平面AOB的夹角为， 则． 化简得，解得或（舍），所以. 【变式4】如图，在四棱锥中，侧面平面，是边长为2的等边三角形，底面为直角梯形，其中，，. (1)取线段中点，连接，证明：平面； (2)求到平面的距离； (3)线段上是否存在一点，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3)存在，. 【分析】（1）取中点，连接，证出四边形为平行四边形，即可得证. （2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量以及，利用到平面的距离的向量公式即可求解. （3）求得平面的法向量以及，利用向量夹角公式即可求解． 【详解】（1）在四棱锥中，取中点，连接， 由为的中点，且，，得，， 则四边形为平行四边形，，而平面，平面， 所以平面． （2）取的中点，连接，，由为等边三角形，得， 而平面平面，平面平面，平面， 则平面，由，得四边形是平行四边形， 于是，而，则，直线两两垂直， 以为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图， 则，， 设平面的法向量为，则，取，得， 又，所以到平面的距离. （3）令， ，， 设平面的法向量为，则， 取，得，平面的法向量为， 于是， 化简得，又，解得，即， 所以线段上存在点，使得平面与平面夹角的余弦值为，. 题型10 利用向量法求点到直线的距离 【典例1】在空间直角坐标系中，点，，，则到直线的距离为 【答案】 【分析】利用空间向量的点到直线的距离公式求解即可. 【详解】设直线的单位方向向量为， 点，，，，， ，， ，， 到直线的距离为. 故答案为：. 【变式1】在棱长为2的正方体中，E为的中点，则点A到直线的最短距离为 . 【答案】2 【分析】由题设建立空间直角坐标系，再利用点到直线距离的空间向量法计算求解即可得解. 【详解】由题可建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以， 所以直线方向上的单位向量为， 所以， 所以点A到直线的最短距离为. 故答案为：2. 【变式2】已知直线经过点，且是的方向向量，则点到的距离为 ． 【答案】 【分析】根据空间中点到直线的距离公式可得解. 【详解】， 故，， 设直线与直线所成的角为，则， 故， 点到直线的距离， 故答案为：. 【变式3】如图所示，在长方体中，，，与平面交于点，则点到直线的距离为 ． 【答案】 【分析】建立空间直角坐标系，先求出点的坐标，再根据点到直线距离的向量公式计算即可． 【详解】以点为原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图所示， 则， ， 由平面，设， 所以， 设， 所以，即，解得， 所以，则， 设直线的夹角为， 则， 所以， 所以点到直线的距离为， 故答案为：． 【变式4】在空间直角坐标系中，已知三点，则点到直线的距离为 . 【答案】 【分析】根据条件，求出，进而得出，再利用点到直线的距离的向量法即可求出结果. 【详解】因为，所以， 所以，得到， 所以点到直线的距离为， 故答案为：. 点到直线的距离 已知直线的单位方向向量为，是直线上的定点，是直线外一点.设，则向量在直线上的投影向量，在中，由勾股定理得： 题型11 利用向量法求点到平面的距离 【典例1】已知空间四点，，，，则点到平面的距离为 ． 【答案】/ 【分析】方法一：借助体积法求点到平面的距离. 方法二：利用空间向量求点到平面的距离. 【详解】方法一：首先. 设到平面的距离为，则. 又为等边三角形，边长为，所以， 所以. 故答案为： 方法二：设平面的法向量为. 因为，， 由，取 在投影为：.即为点到平面的距离. 故答案为： 【变式1】已知正方体的棱长为1，为棱的中点，为侧面的中心，点分别为直线上的动点，且，当取得最小值时，点到平面的距离为 ． 【答案】/ 【分析】建立空间直角坐标系，设，，根据，得到，从而得到，再由向量模的坐标表示求出的最小值及此时、的值，求出平面的法向量以及的坐标，最后利用空间向量法求出点到平面的距离. 【详解】如图，建立空间直角坐标系，则，，设，， 所以，， 因为，所以，即，所以， 又，所以，当且仅当时取等号，此时， 所以，，， 设平面的法向量为， 所以， 令可得,取， 所以当取得最小值时，点Q到平面的距离. 故答案为：. 【变式2】正方体的棱长为分别为的中点，为底面的中心，则点到平面的距离为 . 【答案】/ 【分析】根据给定条件，建立空间直角坐标系，利用空间向量求出点到平面的距离. 【详解】在棱长为的正方体中，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，， 令平面的法向量，则， 取，得， 所以点到平面的距离为. 故答案为： 【变式3】在正六棱柱中，，，分别为，的中点，则点到平面的距离为 ． 【答案】/ 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量求点到平面的距离. 【详解】连接，，设其交点为．由正六棱柱的性质知，，且，取的中点，连接，则平面． 以为坐标原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系． 因为，，分别为，的中点， 所以，，，， 则，，． 设平面的法向量为， 则令，则． 故点到平面的距离． 故答案为： 【变式4】在长方体中，，已知异面直线与，与所成角的大小分别为和，为中点，则点到平面的距离为 . 【答案】/ 【分析】建立为空间直角坐标系设，，根据异面直线与，与所成角求出，，再应用空间向量公式计算点到平面距离即可. 【详解】如图建立以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为z轴的空间直角坐标系， ，且设， 则，，，，， 则，，. 因为异面直线与所成角为， 所以， 因为异面直线与所成角为， 所以， 所以可得，，所以，， 设平面法向量为，则， 令，则 因为，， 则点到平面的距离. 故答案为：. 点到平面的距离 如图，已知平面的法向量为，是平面内的定点，是平面外一点.过点作平面的垂线，交平面于点，则是直线的方向向量，且点到平面的距离就是在直线上的投影向量的长度. 题型12 利用向量法解决点到平面的距离的探索性问题 【典例1】如图，在四棱锥中，底面是矩形，底面，，，是的中点． (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)若点在棱上运动，当点到平面的距离为时，求的长度． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据线面平行判定定理证明即可； （2）建立空间直角坐标系，运用线面角向量法求解即可； （3）设，得，运用点到平面距离向量法求解即可. 【详解】（1）证明：连接交于点，连接，如图1所示， 因为底面是矩形，所以是的中点， 因为是的中点，所以在中， 是中位线，所以， 因为平面平面， 所以平面； （2）如图2，因为底面，所以，， 又在矩形中，，所以两两垂直．以点为原点，分别以所在直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系， 则， 因为是的中点，所以 所以， 设平面的法向量为，则 ，即， 令，则，所以， ， 设直线与平面所成的角为， 则， ， ， 所以 即直线与平面所成角的正弦值为； （3）由（2）知平面的一个法向量为， 设，， 则，又， 则，所以， ， 设点到平面的距离为， 则，得， 解得或（舍去）， 又，故， 所以的长度为． 【变式1】已知梯形中，，如图1.将沿折起到，得到三棱锥，如图2，分别为棱､的中点. (1)若，求证：平面平面； (2)若，求二面角的正弦值； (3)是否存在点，使得点到平面的距离为？若存在，确定点的位置；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在点 【分析】（1）先利用勾股定理得，再利用线面垂直的判定推理得平面，进而由面面垂直的判定定理证明即可. （2）由二面角的定义及面面垂直的性质定理得两两互相垂直，建立空间直角坐标系，分别求出平面和平面的法向量，利用向量法求解即可. （3）建立空间直角坐标系，设，由得以，求出平面的法向量，利用点面距离的向量公式列方程求出，，即可得解． 【详解】（1）因为梯形中，， 所以，所以，所以， 又，平面，且，所以平面， 又平面，所以平面平面． （2）因为分别为棱､的中点，所以，所以， 又，所以为二面角的平面角， 因为，所以平面平面， 所以平面，平面，所以，，又，故建立如图所示的空间直角坐标系. 则，，，，，. 易知平面的一个法向量为， 设平面的一个法向量为，，， 则，即，取，则， 所以， 所以二面角的正弦值为. （3）由（2）可知平面，故分别以为轴的正方向， 轴在平面内且以向上的方向为正方向，建立如图所示的空间直角坐标系. 则，，，，. 设，因为，所以，又，，，设平面的一个法向量为， 则，即，取，则， 则点到平面的距离为，所以， 因为，所以，即， 所以或，因为，所以或， 因为，所以，，所以， 所以存在点，使得点到平面的距离为. 【变式2】如图，在直四棱柱中，底面ABCD为矩形，E为棱的中点． (1)若，证明：． (2)设，，，，且点F到平面的距离为，求λ的值． 【答案】(1)证明见详解 (2)或 【分析】（1）连接BD，，先根据正方形的性质、直四棱柱的性质及线面垂直的判定可证明平面，再根据线面垂直的性质即可证明； （2）根据题意建立空间直角坐标系，先求出平面的法向量为，再根据向量的加法求出，进而根据点F到平面的距离为即可求出λ的值． 【详解】（1）连接BD，， 因为，底面ABCD为矩形， 所以底面ABCD为正方形，所以， 在直四棱柱中，底面ABCD，则， 因为，平面，所以平面． 又平面，所以． （2）以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz， 则，，，，， 则，，, 设平面的法向量为， 则 令，得, 由，， 所以， 所以点F到平面的距离， 解得或． 【变式3】如图，直线垂直于梯形所在的平面，，为线段上一点，，，四边形为矩形． (1)若是的中点，求证：平面； (2)求直线与平面所成角的余弦值 (3)若点到平面的距离为，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）设，交于点，连接，利用线面平行的判定定理，先证明，进而即可证明平面； （2）建立空间直角坐标系，求直线的方向向量和平面的法向量，利用空间向量法求解即可； （3）设，利用点到平面的向量公式求的值即可． 【详解】（1）证明：设，交于点，连接， 因为四边形为矩形，所以是中点， 又因为是的中点，所以在中，， 因为平面，平面， 所以平面． （2）因为直线垂直于梯形所在的平面，，平面，， 所以，，两两垂直， 以为原点，，，所在直线分别为，，轴建立如图所示坐标系， 由题意可知，，， 所以，，， 设平面的法向量， 则，则， 取可得平面的一个法向量， 设直线与平面所成角为， 则， 所以， 故直线与平面所成角的余弦值为． （3）在（2）所建空间直角坐标系中， 设， 由（2）可知平面的一个法向量， 所以点到平面的距离，解得， 又因为，所以， 即的长为． 【变式4】如图1，在四边形中，，，，如图2，把沿折起，使点到达点处，且平面平面，为的中点. (1)求证：； (2)求二面角的余弦值； (3)判断线段上是否存在点，使得三棱锥的体积为．若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)线段上是否存在点，使得三棱锥的体积为，且 【分析】（1）在平面图形中证得，，取的中点，连接，利用线面垂直的判定性质推理得证. （2）以为原点建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，再利用面面角的向量法求解. （3）由（2）中信息，利用点到平面的距离的向量公式计算得解. 【详解】（1）在图1中，由，，得，则， 所以，由，得，即， 在图2中，，取的中点，连接，由为的中点， 得，则，由，得，而， 平面，则平面，又平面，所以. （2）由已知及（1）得平面平面，平面平面，， 于是平面，直线两两垂直， 以为坐标原点，直线分别为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则， ， 设平面的法向量为， 则，令，则， 所以平面的一个法向量为， 设平面的法向量为， 则，令，则， 所以平面的法向量为， 则， 由图知二面角为锐二面角，所以二面角的余弦值为. （3）假设线段上是否存在点，使得三棱锥的体积为， 在中，，所以， 因为三棱锥的体积为，设点到平面的距离为， 所以，所以，所以点到平面的距离为， 令，由（2）得，， 又平面的法向量为， 则点到平面的距离为，解得， 线段上是否存在点，使得三棱锥的体积为，且. 1．下列命题中正确的是（    ） ①若，则，，三点共线； ②若，则，，，四点共面； ③若，则，，，四点共面． A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【答案】C 【分析】根据空间向量基本定理判断即可. 【详解】根据共线定理推论，系数，所以，，三点共线，命题①正确； ，若，，不共面， 则根据平行六面体法则，此时四点不共面，命题②错误； ， 所以，即，，，四点共面，命题③正确． 故选：C. 2．已知是平面的一个法向量，点，在平面内，则（    ） A．2 B．5 C．7 D．9 【答案】D 【分析】依题意得，所以，即可求解． 【详解】因为是平面的一个法向量， 点在平面内，所以， 所以. 由条件得， 所以，解得. 故选：D 3．已知，，是不共面的三个向量，则能构成空间的一个基底的一组向量是（ ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】A 【分析】利用空间向量的基底的定义，逐项判断作答. 【详解】假定向量，，共面，则存在不全为0的实数， 使得，显然不成立， 所以向量不共面，能构成空间的一个基底，故A正确； 由于，则，，共面，故B错误； 由于，则，，共面，故C错误； 由于，则，，共面，故D错误； 故选：A. 4．如图，在棱长为1的正方体中，为的中点，则点到平面的距离为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用点到平面的距离公式求解即可. 【详解】分别以，，为轴、轴、轴正方向建立空间直角坐标系，    则，，，， ，， 设平面的一个法向量，由，得，取，得， 又， 点到平面的距离为， 故选：D． 5．已知向量，，则“与的夹角为钝角”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】若与的夹角为钝角，则且与不共线，结合向量的坐标运算求得的取值范围，再根据范围之间的关系即可判断其充分性或必要性. 【详解】依题意得，，， 当与的夹角为钝角时， ，且与不共线， 当时，， 当与共线时，存在实数，使， 于是得解得，. 所以与不共线时，， 所以的取值范围为． 所以“与的夹角为钝角”是“”的充分不必要条件． 故选: 6．如图，在直三棱柱中，，，，，点是棱的中点，点在棱上运动，则点到直线的距离的最小值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】以为原点，所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系, 设，其中，利用空间向量法可求得点到直线的距离的取值范围，即可得解. 【详解】因为平面，， 所以以为原点，所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 连接，则，，设，其中， 所以，，则点到直线的距离： . 设，因为，所以，则. 所以点到直线的距离的最小值为.    故选：D 7．在直三棱柱中，已知，E是的中点，D是的中点，与相交于点F，，，，则与所成的角的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】建立适当的空间直角坐标系，求出与的方向向量，结合向量夹角的余弦公式即可求解. 【详解】由题意建立如图所示的空间直角坐标系， 因为，，， 所以， 由于在平面内，所以的纵坐标为0， 且直线方程满足，满足，联立，解得， 所以， 因为， 所以与所成的角的余弦值为， 所以与所成的角的大小为. 故选：B. 8．在正方体，中，E是的中点，则与平面所成角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】建立空间直角坐标系，利用直线与平面所成角的向量公式即可求解. 【详解】以为原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，设正方体棱长为2， 则，所以， 设平面的法向量为， 所以，令，所以， 设与平面所成角为， 所以. 故选：B. 9．（多选）若是空间向量的一组基，则下列各组中能构成空间向量的一组基的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】根据空间向量基本定理逐一分析即可. 【详解】对A，因为是空间向量的一组基，则可以构成空间向量的一组基，故A正确； 对B，设，其中， 则，无解，则能构成空间向量的一组基，故B正确； 对C，显然不存在实数使得成立， 则能构成空间向量的一组基，故C正确； 对D，因为，则不能构成空间向量的一组基，故D错误. 故选：ABC. 10．（多选）已知四棱台的上、下底面均为正方形，底面，，，是底面的中心，以为原点，，，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示，则下列说法正确的是（    ）    A．点的坐标为 B． C．平面的一个法向量为 D．点到平面的距离为 【答案】AC 【分析】写出点的坐标可判断A选项，利用空间向量的坐标运算可判断B选项，利用求平面法向量的方法求解可判断C，利用空间点到平面的距离的向量解法可求D. 【详解】由题意得，，故A正确； ，所以，，故B不正确； 由题意得，，，， 所以，， 设是平面的法向量，则, 令，则，，则，故C正确 ，则点到平面的距离为，故D不正确. 故选：AC 11．已知直线的方向向量为，平面的一个法向量为，若，则的值为 ． 【答案】/ 【分析】由线面垂直可得，结合向量共线的坐标运算代入计算，即可得到结果. 【详解】由可得，即，解得. 故答案为： 12．如图，在长方体中， ，，则异面直线与所成角的余弦值为 ．    【答案】 【分析】建立空间直角坐标系，利用直线的方向向量求异面直线与所成的角的余弦值. 【详解】以D为原点建立空间直角坐标系如图所示，    则， 所以， 则, 则异面直线与所成角的余弦值为. 故答案为：. 13．如图，四棱柱的棱长均为6，侧棱与底面垂直，且，是侧棱上的点，，是线段上的动点．    (1)以为坐标原点、为轴正方向、为轴正方向，建立空间直角坐标系，写出点的坐标． (2)求点到平面的距离． (3)在线段上是否存在一点，使得平面与平面夹角的余弦值为?若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)6 (3)存在，点在线段上且与点的距离为2 【分析】（1）取的中点，连接，根据菱形的性质及线面垂直的性质得到，，两两垂直，从而结合题意即可建立空间直角坐标系，再求出的长度，进而即可得到点的坐标； （2）先结合（1）求出平面的一个法向量，再根据点到平面的距离公式计算求解即可； （3）设，则，先求平面的一个法向量，再根据二面角与平面法向量夹角的求解公式求出，进而即可得出出点的位置． 【详解】（1）依题意可得四边形是菱形， 又，连接，则是正三角形， 取的中点，连接，得，． 因为四棱柱的侧棱与底面垂直，即平面， 又，平面，所以，， 所以，，两两垂直． 则以为坐标原点，分别以，，为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系，如图．    由直四棱柱的棱长均为6，且， 则，所以， 从而点的坐标为． （2）由，则， 则结合（1）得，，，， 所以，，设平面的一个法向量为， 则，即， 取，则，，所以， 又， 所以点到平面的距离为． （3）设，则， 设平面的一个法向量为， 则，即结合（2）得， 取，则，，所以， 又， 则， 化简得，解得或， 因为，所以，即． 故当点在线段上且与点的距离为2时，平面与平面夹角的余弦值为． 14．如图，在三棱锥中，平面平面，与均为等腰直角三角形，且，． (1)求与平面所成角的余弦值； (2)是线段上的动点，若线段上存在点（不包含端点），使得异面直线与成30°角，求线段长的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由面面垂直得到线面垂直，线线垂直，故，，两两垂直，建立空间直角坐标系，利用线面角的向量公式和同角三角函数关系进行求解； （2）设，．设，其中，则，根据与成30°角得到方程，求出，其中，即，结合求出答案. 【详解】（1）因为，所以⊥， 又平面平面，交线为，平面，所以⊥平面， 又平面，所以⊥，⊥， 以为原点、为轴、为轴、平面上过点的的垂线为轴建立空间直角坐标系，如图， 与均为等腰直角三角形，，则，，， 平面的法向量为， 设与平面所成的角为，， ， 故； （2），设，．设，其中， 但当时，两点重合，此时与不是异面直线，故，所以， 则． 由，得， 其中，即，解得， 又，所以 故． 15．如图，是菱形所在平面外一点，且为等边三角形，      (1)证明：平面平面； (2)若且，问线段上是否存在点（不包含端点），使得平面与平面夹角的正弦值是?若存在，求的值，若不存在请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在，或 【分析】（1）根据题意可得，，结合面面垂直的判定即可证明； （2）以为原点建立空间直角坐标系，设，再利用面面角的向量求法即可求解. 【详解】（1）连接交于点，连接．    因为是菱形，所以， 因为为的中点，且为等边三角形，所以． 又平面，且，所以平面， 又平面，所以平面平面． （2）存在 因为，所以为等边三角形，， 又，所以，所以三棱锥为正三棱锥， 过作平面，垂足为，故为的重心， 设，则，所以， 以为原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系如下图所示，    故， 则， 设平面的法向量为， 则，令，故． 设， 则， 设平面的法向量为， 则， 令，故． 设平面与平面的夹角为， 于是， ，由于，则， 即，由于，所以或， 所以或． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$