专题2.4 整数指数幂（举一反三讲义）数学湘教版2024八年级上册

专题2.4 整数指数幂（举一反三讲义） 【湘教版2024】 【题型1 同底数幂的除法及其逆用】 1 【题型2 零指数幂】 2 【题型3 求数字的负整数指数幂】 2 【题型4 负整数指数幂写成分式的形式】 3 【题型5 用科学记数法表示绝对值小于1的数】 3 【题型6 还原用科学记数法表示的小数】 3 【题型7 含负整数指数幂的计算】 4 【题型8 根据整数指数幂的性质求值】 4 知识点1 同底数幂的除法 一般地，我们有．即同底数幂相除，底数不变，指数相减． 知识点2 零次幂和负整数指数冪 1.=1， 即任何非零实数的零次幂都等于1. 2. 当n是正整数时，．这就是说，是的倒数． 3. 科学记数法 小于1的正数可以用科学记数法表示为的形式，其中n为原数左起第一个不为0的数字前面所有0的个数（包括小数点前面的那个0)，． 知识点3 整数指数冪的基本性质 （1）；（2）；（3）；（4） （5）；（6）；（7）．以上式子中，m，n均为整数． 【题型1 同底数幂的除法及其逆用】 【例1】（24-25八年级下·安徽滁州·期中）已知，，，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】（24-25七年级下·江苏南京·阶段练习）已知，则的值为 ，的值为 ． 【变式1-2】（2025七年级下·全国·专题练习）已知，则代数式的值是 ． 【变式1-3】（23-24七年级下·贵州六盘水·期中）已知，，则的值是 ． 【题型2 零指数幂】 【例2】（24-25七年级下·江苏无锡·期中）若，则x的值为 ． 【变式2-1】（24-25七年级下·河北邯郸·期中）计算的结果是（    ） A． B．1 C．2025 D．2026 【变式2-2】（24-25九年级下·山东潍坊·期中）下列四个数中，最小的是（   ） A． B． C． D． 【变式2-3】（24-25七年级上·安徽合肥·期末）用一排6个黑白圆圈来表示数，如图分别表示数，则表示的数是 ． 【题型3 求数字的负整数指数幂】 【例3】（24-25六年级下·山东东营·阶段练习）在数， ，，中，最小的数是（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（2025七年级下·浙江·专题练习）若有意义，则的取值范围是 ． 【变式3-2】（24-25七年级下·河北唐山·期中）若，那么m的值是（    ） A．4 B． C．8 D．12 【变式3-3】（24-25七年级下·四川达州·期中）若三个实数，，满足，则 ． 【题型4 负整数指数幂写成分式的形式】 【例4】（24-25七年级上·上海嘉定·阶段练习）将化成不含负指数幂的形式 ． 【变式4-1】（24-25七年级上·上海·阶段练习）计算： ．（结果只含正整数指数幂） 【变式4-2】（24-25七年级上·上海虹口·阶段练习）将分式表示成不含分母的形式 ． 【变式4-3】（24-25七年级上·上海浦东新·阶段练习）将分式表示成只含有正整数指数幂的形式 ． 【题型5 用科学记数法表示绝对值小于1的数】 【例5】（24-25七年级下·全国·假期作业）石墨烯材料可能会成为制造芯片的关键材料，如图是二维石墨烯的晶格结构，图中标注出了石墨烯每两个相邻碳原子间的键长，将用科学记数法表示为 ． 【变式5-1】（23-24八年级下·全国·单元测试）用科学记数法表示： (1)0.00003； (2)； (3)0.0000314． 【变式5-2】（24-25七年级下·江苏泰州·期中）深度求索（）是一家专注实现的中国人工智能公司．在研发人工智能模型时，常需处理一些数据，例如权重参数．将数据用科学记数法表示为 ． 【变式5-3】（23-24七年级下·宁夏银川·阶段练习）一个正方体集装箱的棱长为米． (1)这个集装箱的体积是多少？（用科学记数法表示） (2)若有一个小立方块的棱长为米，则需要多少个这样的小立方块才能将集装箱装满？ 【题型6 还原用科学记数法表示的小数】 【例6】（24-25七年级下·江苏南京·期中）已知，，，，则，，，的大小关系为 （用“<”号连接）． 【变式6-1】（23-24八年级上·全国·课后作业）将下列用科学记数法表示的数还原． (1)； (2)； (3)． 【变式6-2】（2025七年级下·全国·专题练习）计算：，结果用科学记数法可以表示为 ． 【变式6-3】（2024·河北保定·一模）已知，，则数a，b在数轴上的位置大致是（    ） A．   B．   C．   D．   【题型7 含负整数指数幂的计算】 【例7】计算的结果是 【变式7-1】（22-23八年级上·四川绵阳·期末）计算： ． 【变式7-2】（24-25七年级上·上海静安·期末）计算： ．（结果不含负整数指数幂） 【变式7-3】（2025八年级下·全国·专题练习）计算： (1)； (2) (3) (4) (5)． (6)． 【题型8 根据整数指数幂的性质求值】 【例8】（23-24七年级下·全国·单元测试）若，则的值为 ． 【变式8-1】（23-24八年级上·上海徐汇·阶段练习）若，则的值为 ． 【变式8-2】（2022·河北·二模）若，则m的值为 ． 【变式8-3】若，，则的值为 ． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.4 整数指数幂（举一反三讲义） 【湘教版2024】 【题型1 同底数幂的除法及其逆用】 1 【题型2 零指数幂】 3 【题型3 求数字的负整数指数幂】 5 【题型4 负整数指数幂写成分式的形式】 7 【题型5 用科学记数法表示绝对值小于1的数】 9 【题型6 还原用科学记数法表示的小数】 10 【题型7 含负整数指数幂的计算】 12 【题型8 根据整数指数幂的性质求值】 15 知识点1 同底数幂的除法 一般地，我们有．即同底数幂相除，底数不变，指数相减． 知识点2 零次幂和负整数指数冪 1.=1， 即任何非零实数的零次幂都等于1. 2. 当n是正整数时，．这就是说，是的倒数． 3. 科学记数法 小于1的正数可以用科学记数法表示为的形式，其中n为原数左起第一个不为0的数字前面所有0的个数（包括小数点前面的那个0)，． 知识点3 整数指数冪的基本性质 （1）；（2）；（3）；（4） （5）；（6）；（7）．以上式子中，m，n均为整数． 【题型1 同底数幂的除法及其逆用】 【例1】（24-25八年级下·安徽滁州·期中）已知，，，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了幂的乘方计算，同底数幂乘除法计算，求出，则，可得，据此可判断A；根据得到，则，据此可判断A、B；计算出，则可得，则，据此可判断C． 【详解】解：∵，，， ∴，即， ∴， ∴，即，故D结论正确，不符合题意； ∵，， ∴， ∴， ∴，故A结论正确，不符合题意； ∴，故B结论正确，不符合题意； ∵， ∴， ∴，故C结论错误，符合题意； 故选；C． 【变式1-1】（24-25七年级下·江苏南京·阶段练习）已知，则的值为 ，的值为 ． 【答案】 2 81 【分析】本题主要考查同底数幂的除法，根据同底数幂的除法运算法则进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴ 又 ∴ ， 故答案为：2；81 【变式1-2】（2025七年级下·全国·专题练习）已知，则代数式的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了同底数幂的乘除法，求出a、b、c之间的关系是解题的关键．先根据同底数幂的乘除法求出，得到，再代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 两式相减，可得， ∴， 故答案为：． 【变式1-3】（23-24七年级下·贵州六盘水·期中）已知，，则的值是 ． 【答案】2 【分析】本题考查了有理数乘方的逆运算、同底数幂除法的逆用、幂的乘方的逆用，熟练掌握运算法则是解题关键．先根据有理数乘方的逆运算可得，再根据同底数幂除法的逆用、幂的乘方的逆用计算即可得． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴ ， 故答案为：2． 【题型2 零指数幂】 【例2】（24-25七年级下·江苏无锡·期中）若，则x的值为 ． 【答案】或4 【分析】本题主要考查了零指数次幂，乘方的性质， 根据或或（n为偶数），解答即可． 【详解】解：当，且时， 解得； 当时，； 当时，，不符合题意． 所以x的值是或4． 故答案为：或4． 【变式2-1】（24-25七年级下·河北邯郸·期中）计算的结果是（    ） A． B．1 C．2025 D．2026 【答案】B 【分析】本题主要考查了零指数幂，底数不是0的零指数幂的结果为1，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴， 故选：B． 【变式2-2】（24-25九年级下·山东潍坊·期中）下列四个数中，最小的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了零指数幂，绝对值，乘方等知识，分别计算各选项的值，再比较大小． 【详解】A．（任何非零数的0次方等于1）； B．（负数的绝对值是它的相反数）； C．（负负得正）； D．（负数的平方为正数）． 比较各值：，故最小的数是， 故选：A． 【变式2-3】（24-25七年级上·安徽合肥·期末）用一排6个黑白圆圈来表示数，如图分别表示数，则表示的数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了图形类规律探索，零指数幂，有理数的乘方的应用，解题的关键是将黑圈和白圈转化为二进制的数字． 由图知“”记为数字1，“”记为数字0，将各情况表示为二进制的数字，再进一步转换为十进制即可得． 【详解】解：由图知“”记为数字1，“”记为数字0， 则表示的数为， 表示的数为， 表示的数为， 表示的数为， 表示的数为， ∵用数字表示为“”， ∴表示的数为， 故答案为：． 【题型3 求数字的负整数指数幂】 【例3】（24-25六年级下·山东东营·阶段练习）在数， ，，中，最小的数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了有理数比较大小，负整数指数幂，先根据负整数指数幂的计算法则求出这四个数，再根据正数大于0，0大于负数，两个负数比较大小，绝对值越大，其值越小求解即可． 【详解】解：， ，，， ∵， ∴， ∴， ∴四个数中，最小的数为， 故选：C． 【变式3-1】（2025七年级下·浙江·专题练习）若有意义，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了零指数幂的定义，熟练掌握零指数幂的定义是解答本题的关键． 根据零指数幂的定义解答即可． 【详解】解：有意义， ， 解得：， 故答案为：． 【变式3-2】（24-25七年级下·河北唐山·期中）若，那么m的值是（    ） A．4 B． C．8 D．12 【答案】C 【分析】本题考查了同底数幂相除，负整数指数幂的意义，根据同底数幂相除法则求出，根据负整数指数幂的意义得出，则得出，解方程即可． 【详解】解：∵，，， ∴， 解得． 故选：C． 【变式3-3】（24-25七年级下·四川达州·期中）若三个实数，，满足，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方的逆用，负整数指数幂，根据题意得出，根据同底数幂的乘法以及幂的乘方运算将原式化简，代入，即可求解． 【详解】 故答案为：． 【题型4 负整数指数幂写成分式的形式】 【例4】（24-25七年级上·上海嘉定·阶段练习）将化成不含负指数幂的形式 ． 【答案】 【分析】本题考查分式的乘除，负整数指数幂，先根据负整数指数幂的运算法则化为正整数指数幂，再根据分式的乘除运算法则进行化简即可．解题的关键是掌握负整数指数幂的运算法则：一个数（零除外）的负整数指数幂等于这个数的正整数指数幂的倒数． 【详解】解： 故答案为：． 【变式4-1】（24-25七年级上·上海·阶段练习）计算： ．（结果只含正整数指数幂） 【答案】 【分析】本题主要考查了负整数指数幂，分式的乘方运算，根据负整数指数幂，分式的乘方运算以及除法运算法则计算即可． 【详解】解：． 故答案为：． 【变式4-2】将代数式化为只含有正整数指数幂的形式 . 【答案】 【分析】根据负指数幂的性质即可求解. 【详解】化为只含有正整数指数幂的形式为： 故填：. 【点睛】此题主要考查负指数幂的运算，解题的关键是熟知负指数幂的性质. 【变式4-2】（24-25七年级上·上海虹口·阶段练习）将分式表示成不含分母的形式 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的性质，负指数幂的计算，掌握负指数幂的计算方法是关键． 根据负指数幂的计算方法“”求解即可． 【详解】解：, 故答案为： ． 【变式4-3】（24-25七年级上·上海浦东新·阶段练习）将分式表示成只含有正整数指数幂的形式 ． 【答案】 【分析】本题考查分式的乘除，负整数指数幂，先根据负整数指数幂的运算法则化为正整数指数幂，再根据分式的乘除运算法则进行化简即可．解题的关键是掌握负整数指数幂的运算法则：一个数（零除外）的负整数指数幂等于这个数的正整数指数幂的倒数． 【详解】解： ． 故答案为：． 【题型5 用科学记数法表示绝对值小于1的数】 【例5】（24-25七年级下·全国·假期作业）石墨烯材料可能会成为制造芯片的关键材料，如图是二维石墨烯的晶格结构，图中标注出了石墨烯每两个相邻碳原子间的键长，将用科学记数法表示为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，熟练掌握科学记数法的定义是解答本题的关键．根据科学记数法的定义解答即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【变式5-1】（23-24八年级下·全国·单元测试）用科学记数法表示： (1)0.00003； (2)； (3)0.0000314． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．据此求解即可． （1）中，将小数点向右移动5位，到3后面，得出结果； （2）中，将小数点向右移动6位，到6后面，得出结果； （3）中，将小数点向右移动5位，到3后面，得出结果； 【详解】（1） （2） （3） 【变式5-2】（24-25七年级下·江苏泰州·期中）深度求索（）是一家专注实现的中国人工智能公司．在研发人工智能模型时，常需处理一些数据，例如权重参数．将数据用科学记数法表示为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了用科学记数法表示绝对值较小的数，一般形式为，其中，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的个数所决定．确定a与n的值是解题的关键． 这里的． 【详解】解：． 故答案为：． 【变式5-3】（23-24七年级下·宁夏银川·阶段练习）一个正方体集装箱的棱长为米． (1)这个集装箱的体积是多少？（用科学记数法表示） (2)若有一个小立方块的棱长为米，则需要多少个这样的小立方块才能将集装箱装满？ 【答案】(1)这个集装箱的体积是； (2)需要个小立方块才能将集装箱装满． 【分析】本题考查的知识点是用科学记数法表示绝对值小于的数、同底数幂的除法运算，解题关键是熟练掌握同底数幂的除法运算． （1）先根据正方体体积的计算方法求出集装箱体积，再根据科学记数法进行转换即可； （2）根据小立方体的个数正方体集装箱体积小立方块体积和同底数幂相除法则即可求解． 【详解】（1）解：正方体集装箱的棱长为米， 该集装箱的体积为． 答：该集装箱的体积为． （2）解：小立方块的棱长为米， 装满集装箱需要个小立方块． 答：需要个小立方块才能将集装箱装满． 【题型6 还原用科学记数法表示的小数】 【例6】（24-25七年级下·江苏南京·期中）已知，，，，则，，，的大小关系为 （用“<”号连接）． 【答案】 【分析】本题主要考查了科学记数法，负整数指数幂，实数大小的比较，熟练掌握科学记数法的表示形式是解题关键． 根据科学记数法表示出原数，再比较大小即可． 【详解】解：，，，， ． 故答案为：． 【变式6-1】（23-24八年级上·全国·课后作业）将下列用科学记数法表示的数还原． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）将小数点向左移动4位即可； （2）将小数点向左移动5为即可； （3）将小数点向左移动6为即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：． 【点睛】本题主要考查了将用科学记数法表示绝对值小于1的数还原，解题的关键是掌握用还原科学记数法表示绝对值小于1的数的方法：，将小数点向左移动n为移动的位数即可还原． 【变式6-2】（2025七年级下·全国·专题练习）计算：，结果用科学记数法可以表示为 ． 【答案】 【分析】此题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值，先把科学记数法表示的数还原，再计算，再利用科学记数法表示即可． 【详解】解：， 用科学记数法可以表示为， 故答案为：． 【变式6-3】（2024·河北保定·一模）已知，，则数a，b在数轴上的位置大致是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】此题主要考查了数轴及科学记数法，关键是掌握数轴上的数，负数在原点左边，正数在原点右边．先还原小数，再进行选择即可． 【详解】解：，， ，且b靠近原点， 故选：B 【题型7 含负整数指数幂的计算】 【例7】计算的结果是 【答案】 【分析】本题考查分式的乘方，负整指数幂，幂的乘方与积的乘方，熟练掌握分式的乘方、负整指数幂、幂的乘方与积的乘方运算法则是解题的关键． 先根据分式的乘方法则，幂的乘方与积的乘方法则计算，再根据负整指数幂的运算法则计算即可． 【详解】解： 故答案为：． 【变式7-1】（22-23八年级上·四川绵阳·期末）计算： ． 【答案】2 【分析】本题考查了积的乘方、负整数指数幂、单项式的乘除，先根据积的乘方和负整数指数幂进行计算，再根据单项式的乘除运算法则计算即可得出答案． 【详解】解：， 故答案为：． 【变式7-2】（24-25七年级上·上海静安·期末）计算： ．（结果不含负整数指数幂） 【答案】 【分析】本题考查了负整数指数幂的运算以及分式的化简知识点，解题的关键是熟练掌握负整数指数幂的运算法则，并能正确运用平方差公式对式子进行化简。 先将原式中各项的负整数指数幂化为正整数指数幂的形式，再对分子进行变形，利用平方差公式因式分解，然后通过约分消去公因式，将结果化为不含负整数指数幂的形式。 【详解】原式 = 故答案为： 【变式7-3】（2025八年级下·全国·专题练习）计算： (1)； (2) (3) (4) (5)． (6)． 【答案】(1)； (2)x10； (3)； (4)； (5)； (6) 【分析】本题主要考查了负整数指数幂，整数指数幂的运算，解题的关键是熟记负整数幂的法则及同底数幂的乘除法则． （1）根据整数指数幂的运算法则进行计算，再化为正整数指数幂的形式即可得解． （2）根据整数指数幂的运算法则进行计算，再化为正整数指数幂的形式即可得解． （3）根据整数指数幂的运算法则进行计算，再化为正整数指数幂的形式即可得解． （4）根据整数指数幂的运算法则进行计算，再化为正整数指数幂的形式即可得解． （5）根据整数指数幂的运算法则进行计算，再化为正整数指数幂的形式即可得解． （6）根据整数指数幂的运算法则进行计算，再化为正整数指数幂的形式即可得解． 【详解】（1）解：； （2）解： ． （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ； （6）解： 【题型8 根据整数指数幂的性质求值】 【例8】（23-24七年级下·全国·单元测试）若，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了单项式乘单项式，整数指数幂的运算，负指数幂，解二元一次方程组等，熟练掌握运算法则是解题的关键． 根据单项式乘法法则及整数指数幂的法则分别计算等式左右两边，即可求得m、n的值，再代入所求式子计算即可． 【详解】解：∵，， ， 解得： ， 故答案为：． 【变式8-1】（23-24八年级上·上海徐汇·阶段练习）若，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题看考查了负整数指数幂，完全平方公式的应用，根据完全平方公式进行计算即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 【变式8-2】（2022·河北·二模）若，则m的值为 ． 【答案】 【分析】根据同底数幂的乘法法则运算即可． 【详解】∵ ∴ ∴ 解得 故答案为：． 【点睛】本题考查同底数幂的乘法法则和负整数指数幂，解题的关键是负整数指数幂运算时一样适用于同底数幂乘法． 【变式8-3】若，，则的值为 ． 【答案】 【分析】逆向运用幂的乘方运算法则可得，根据同底数幂的乘法法则可得①，逆向运用幂的乘方运算法则可得，根据同底数幂的除法法则可得②，①②可得，据此可得的值． 【详解】解：， ， ①， ， ， ②， ①②得， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了同底数幂的乘除法以及幂的乘方，熟练掌握幂的运算性质是解答本题的关键． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$