第21章 二次根式（单元测试·提升卷）数学华东师大版九年级上册

2025-2026学年九年级上册数学单元测验卷 第21章 二次根式（参考答案） 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 D C C B B A A C D C 二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．3 12． 13． 14．/ 15． 16．/ 17． 18． 三、解答题（共8小题，共78分） 19．（12分） 【解析】（1）解： （2分） （4分） （6分） （2）解： （3分） （6分） 20．（8分） 【解析】解： （2分） （4分） ＝1－a（6分） 当时，原式（8分） 21．（10分） 【解析】 （1）解：，，（2分） ∴ ；（5分） （2）解：，，（7分） ∴ ．（10分） 22．（10分） 【解析】 解：（）当时，，，，则； 当时，，，则； 当时，，，则； 故答案为：；；； （3分） （）． 证明：∵， ∴， ∴；（6分） （）设矩形花坛的长为，宽是，则， ∵， ∴， ∴， 即在尽量节省篱笆长度的前提下，此时花坛的周长是．（10分） 23．（10分） 【解析】 （1）解：，， ∵， ∴，（2分） ∴．（4分） （2）解：，， ，， ∵， ∴，（6分） ∴， ∴．（10分） 24．（10分） 【解析】 （1）解：由题意，，， ， 答：落到地面的时间为；（5分） （2）由题意，，， （8分） ， 这串钥匙在下落后会对人体造成危害．（10分） 25．（8分） 【解析】由, 得到， ∴，（2分） ∴，， 解得：，，（4分） ∴，，， ∴（6分） ．（8分） 26．（10分） 【解析】 （1）解：设这个长方形垂直于墙的一边的长为x米，则平行于墙的一边为米， 则， ∴， ∴所用篱笆的长为米， ，（3分） ∵当且仅当时，的值最小，最小值为， ∴或（舍去）， ∴这个长方形的两边分别为米，米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是米；（5分） （2）解：设的面积为a， ∵， ∴，（6分） ∴， ∴四边形的面积：，（8分） ∵， ∴当，即时，四边形的面积的最小值为：．（10分） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年九年级上册数学单元测验卷 第21章 二次根式 建议用时：120分钟，满分：150分 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1．在下列四个式子中，最简二次根式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了最简二次根式的定义，解题的关键是准确掌握该定义． 根据最简二次根式的定义，需满足：①被开方数不含能开得尽方的因数；②被开方数不含分母，且分母中不含根号，逐一分析选项即可求解． 【详解】解：A. ，该选项不是最简二次根式，不符合题意， B. ，该选项不是最简二次根式，不符合题意， C. ，该选项不是最简二次根式，不符合题意， D.该选项被开方数为质数，无法分解为平方数的乘积，且不含分母，符合最简二次根式的定义，故该选项符合题意． 故选：D． 2．若最简二次根式能与合并，则的值为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题考查最简二次根式与同类二次根式，解题关键是理解同类二次根式的概念．两个最简二次根式能够合并的条件是它们的被开方数相同，先将化简为最简形式，再令的被开方数与之相等，结合最简二次根式的定义求解． 【详解】解：，被开方数为3， ∵最简二次根式能与合并， ∴， ∴． 故选：C． 3．函数的自变量x的取值范围是（   ） A． B．且 C． D．且 【答案】C 【分析】本题考查了分式分母不为零和零指数幂的底数不为零的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； 根据分式分母不为零和零指数幂的底数不为零的条件，确定自变量的取值范围，然后即可求解； 【详解】解：函数中： 分子部分要求底数，即， 分母部分要求被开方数（分母不能为零），解得， 结合两个条件： 时，的值必然大于，此时自动成立， ∴自变量的取值范围是，对应选项C， 故选：C． 4．实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是（　　） A．0 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，实数与数轴，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键． 由数轴得，继而得出，再根据二次根式的性质化简即可． 【详解】解：由数轴得， ∴， ∴ ， 故选：B． 5．已知，则（   ） A．2025 B． C． D．5050 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次根式的意义和性质，正确掌握二次根式的意义和性质是解题的关键．根据二次根式的被开方数非负性，确定x的值，进而求出y的值，代入所求表达式即可求解． 【详解】解：由和的被开方数非负性，得， 解得：， 将代入原方程，得， ， 将和代入，得， 故选：B． 6．将化简后的结果正确的答案是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式的性质和化简， 根据二次根式的性质，被开方数必须非负，确定a的取值范围，再对原式进行化简． 【详解】解：∵有意义， ∴，故． ∴ 故选A． 7．已知，则下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了分母有理化的应用、二次根式的大小比较等知识点，灵活分母有理化成为解题的关键． 先对a、b、c进行分母有理数，然后根据分子相同、分母越大、该数越小求解即可． 【详解】解：； 同理，，． ∵， ∴． 故选：A． 8．已知，则的值是（   ） A．13 B．15 C．17 D．19 【答案】C 【分析】本题主要考查完全平方公式的应用、二次根式的性质、代数式求值等知识点，灵活运用完全平方公式成为解题的关键． 由完全平方公式可得，再对变形后将整体代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴，即， ∴． 故选：C． 9．若的值为（    ） A．3 B．5 C．7 D．9 【答案】D 【分析】本题考查了因式分解的应用，二次根式的有意义的条件，正确对根号下面部分式子进行因式分解是解题的关键． 【详解】解：原式根号下面部分为， ， ， ， ， ∴， ， ， ，，， ，当且仅当或时，取到等号， 根据二次根式的性质只能等于0， ， 当时，； 当时，； 原式， 故选：D． 10．对两个整式M，N，称为整式M与整式N的求和运算，记作第一次求和操作；将第一次求和操作的结果A1加上的结果记为，记作第二次求和操作；将第二次求和操作的结果 加上的结果记为 ，记作第三次求和操作；将第三次操作的结果 加上 的结果记为，记作第四次求和操作，…，以此类推．下列说法正确的个数是（     ） ①第五次求和操作的结果为 ②若 ，则 ； ③若 ，则对正整数 有 个值． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题考查了整式的操作，整式的加减乘除，二次函数的性质，代数式规律探索．①通过逐次计算验证的表达式；②通过代数运算分析方程是否必然导致；③利用平方根条件确定M和N，转化为二次函数分析不同值的个数． 【详解】解：由题意得：， ， ， ， ， ∴， ∴，故结论①正确； ∵， ∴左边： ， 右边：， ∴当时，方程恒成立（与无关），故结论②错误； ∵，∴，， ∵ ， 当时，的取值对称且唯一，共1012个不同值，结论③正确． 综上，①③正确， 故选：C． 二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．已知最简二次根式与二次根式是同类二次根式，则 ． 【答案】3 【分析】本题考查了最简二次根式和同类二次根式的概念，根据题意先化简，再根据同类二次根式的最简二次根式的被开方数相等列关系式，求解即可． 【详解】解：， 又最简二次根式与二次根式是同类二次根式， ， 解得． 故答案为：3 ． 12．定义新运算：对于任意实数a、b，都有． 例如：，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了新运算问题，二次根式的运算，解题的关键是利用定义进行运算即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 13．观察下列各式： ， ， ．．． 请你将发现的规律用含自然数的等式表示出来 【答案】 【分析】本题考查的是规律探索，解决此类找规律的题目一般从特殊的数据入手，根据前后式子之间的异同推断出规律，再利用发现的规律解决相关问题． 【详解】解：由题意得：， 故答案为：． 14．在数轴上表示、的点分别为，，点关于点的对称点为，则点表示的数是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了二次根式的加减，解题的关键是根据题意列出算式． 先根据题意，列出算式，再计算． 【详解】解：∵在数轴上表示、的点分别为，，点关于点的对称点为， ∴点表示的数是． 故答案为：． 15．南宋数学家秦九韶在《数书九章》记载三角形面积的独特求法——三斜求积，其求三角形面积的方法用现在的语言表达如下：的三边为，．若的三边，，，则的面积 7.5（填“＞”“＜”或“＝”）． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的化简，先将，，代入求出三角形的面积，再进行比较即可． 【详解】解：将，，代入得出 ， 因为， 所以的面积7.5， 故答案为：． 16．如图，将面积分别为2和16的两个小正方形放入面积为25的大正方形中，两个小正方形的重叠部分（阴影部分）的面积为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查的是求算术平方根、二次根式计算的应用，先求出三个正方形的边长，再根据图形求出阴影部分的长和宽，即可求出面积． 【详解】解：将面积分别为2和16的两个小正方形放入面积为25的大正方形中， ∴三个正方形的边长分别为，，， 阴影部分长为，宽为， 阴影部分面积为， 故答案为：． 17．【教材变式】已知为正整数，若是整数，则根据可知有最小值．设为正整数，若是大于1的整数，则的最小值与最大值的和是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的乘除法，二次根式的性质与化简，先将化简为，可得最小为3，由是大于1的整数可得越小，越小，则越大，当时，即可求解，解题的关键是读懂题意，根据关键词“大于”，“整数”进行求解． 【详解】解：，且为整数， 最小为3， 是大于1的整数， 越小，越小，则越大， 当时，， ，即最大为75， 故的最小值与最大值的和是， 故答案为：． 18．已知x、y满足：1＜x＜y＜100，且=2009，则= ． 【答案】． 【分析】把已知的等式变形分解后，得到xy的值． 【详解】∵=2009， ∴+ ++=0， ∴（++）（﹣）=0， ∵1＜x＜y＜100， ∴﹣=0， ∴= 故答案为：． 【点睛】本题主要考查因式分解和二次根式的加减法，分解因式是解本题的关键． 三、解答题（共8小题，12+8+10+10+10+10+8+10=78分） 19．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次根式的混合运算，完全平方公式，平方差公式，正确计算是解题的关键： （1）先根据二次根式的性质化简，再根据二次根式的混合运算法则计算即可； （2）先根据二次根式的性质、完全平方公式，平方差公式化简，再根据二次根式的混合运算法则计算即可 【详解】（1）解： （2）解： 20．先化简，再求值：，其中． 【答案】1－a；． 【分析】先将分式化简，再把的值代入求解即可 【详解】解： ＝1－a 当时，原式 【点睛】本题考查了分式的化简，实数的运算，利用因式分解化简是解题的关键． 21．已知，，求下列各式的值： (1) (2)． 【答案】(1)16 (2)． 【分析】（1）根据完全平方公式写成，把x、y的值代入计算即可； （2）根据平方差公式写成(x+y)(x-y)，把x、y的值代入计算即可． 【详解】（1）解：，， ∴ ； （2）解：，， ∴ ． 【点睛】本题主要考查利用乘法公式进行二次根式的化简，熟记乘法公式是解题的关键． 22．（1）填空：（只填写符号：，，） ①当时，_________； ②当时，_________； ③当时，_________； （2）观察以上式子，猜想与的数量关系，并证明；（提示：） （3）实践应用：现在要用篱笆围一个面积为16的矩形花坛，在尽量节省篱笆长度的前提下，此时花坛的周长是多少？ 【答案】（1）；；；（2）；证明见解析；（3）16 【分析】本题考查了二次根式非负性的应用，掌握二次根式的非负性是解题的关键． （）把各组的值分别代入和中计算，即可判断它们的大小关系； （）由，利用完全平方公式展开，变形后即可得到 ； （）设长方形的长宽分别为，则，利用()中的结论得到，则，进而可确定花坛周长的最小值； 【详解】解：（）当时，，，，则； 当时，，，则； 当时，，，则； 故答案为：；；； （）． 证明：∵， ∴， ∴； （）设矩形花坛的长为，宽是，则， ∵， ∴， ∴， 即在尽量节省篱笆长度的前提下，此时花坛的周长是． 23．综合实践活动课上，老师给出一个结论：对于任意两个正数a，b，若，则．随后讲解了一道例题：试比较与的大小． 解：∵，， 而， ∴． 参考上面例题的解法，回答下列问题： (1)试比较与的大小； (2)试比较与的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了实数的大小比较，熟练的利用平方的方法比大小是解题的关键， （1）先分别求出两个数的平方，再根据平方的大小进行比较即可； （2）先分别求出两个数的平方，然后根据平方的大小进行比较，再利用不等式两边同时加上一个数，不等号方向不变，即可得到答案． 【详解】（1）解：，， ∵， ∴， ∴． （2）解：，， ，， ∵， ∴， ∴， ∴． 24．高空抛物是一种不文明的危险行为，被称为“悬在城市上空的痛”，是我们必须杜绝的行为．物理兴趣小组通过查阅相关资料了解到，物品从离地面为的高处自由落下，落到地面的时间为，满足不考虑阻力的影响 (1)求物体从的高空落到地面的时间结果保留根号； (2)已知从高空坠落的物体所带能量单位：物体质量高度，一串质量为的钥匙经过3落在地上，这串钥匙在下落过程中所带能量会对楼下行人产生危害吗？注：人体只需要的能量就会对人体造成危害 【答案】(1)落到地面的时间为； (2)这串钥匙在下落后会对人体造成危害，理由见解析． 【分析】本题主要考查了二次根式的应用，解题时要熟练掌握并能根据题意列出关系式是关键． （1）依据题意，由，，则，进而可以得解； （2）依据题意，由，，则，从而，结合人体只需要的能量就会对人体造成危害，即可判断得解． 【详解】（1）解：由题意，，， ， 答：落到地面的时间为； （2）由题意，，， ， 这串钥匙在下落后会对人体造成危害． 25．如果，试求的值． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的化简求值，将已知转化为，根据平方的非负性质得，，继而得到，，，再将化为，然后整体代入进行化简即可．掌握平方的非负性，完全平方公式，分式的运算法则，二次根式运算法则是解题的关键． 【详解】由得到， ∴， ∴，， 解得：，， ∴，，， ∴ ． 26．【阅读下列材料】： 若，，则，，∴．（注：）∵，，∴．“”称为“基本不等式”，利用它可求一些代数式的最值及解决一些实际问题．（a、b为正数；积定和最小；和定积最大；当时，取等号．） 【例】：若，，，求的最小值． 解：∵，， ∴， ∴． ∴时，的最小值为8 【解决问题】 (1)用篱笆围成一个面积为的长方形菜园（一面靠墙，墙足够长），当这个长方形的边长为多少时，所用篱笆最短？最短篱笆的长是多少； (2)如图，四边形的对角线相交于点O，、的面积分别为2和3，求四边形面积的最小值． 【答案】(1)这个长方形的长、宽分别为米，米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是米 (2) 【分析】本题主要考查完全平方公式的应用，二次根式的应用． （1）设这个长方形垂直于墙的一边的长为x米，则平行于墙的一边为米，则，，所以所用篱笆的长为米，再根据材料提供的信息求出的最小值即可； （2）设点B到的距离为，点D到的距离为，又、的面积分别是2和3，则，，，从而求得，然后根据材料提供的信息求出最小值即可． 【详解】（1）解：设这个长方形垂直于墙的一边的长为x米，则平行于墙的一边为米， 则， ∴， ∴所用篱笆的长为米， ， ∵当且仅当时，的值最小，最小值为， ∴或（舍去）， ∴这个长方形的两边分别为米，米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是米； （2）解：设的面积为a， ∵， ∴， ∴， ∴四边形的面积：， ∵， ∴当，即时，四边形的面积的最小值为：． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $$………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年九年级上册数学单元测验卷 第21章 二次根式 建议用时：120分钟，满分：150分 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1．在下列四个式子中，最简二次根式为（    ） A． B． C． D． 2．若最简二次根式能与合并，则的值为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 3．函数的自变量x的取值范围是（   ） A． B．且 C． D．且 4．实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是（　　） A．0 B． C． D． 5．已知，则（   ） A．2025 B． C． D．5050 6．将化简后的结果正确的答案是（　　） A． B． C． D． 7．已知，则下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 8．已知，则的值是（   ） A．13 B．15 C．17 D．19 9．若的值为（    ） A．3 B．5 C．7 D．9 10．对两个整式M，N，称为整式M与整式N的求和运算，记作第一次求和操作；将第一次求和操作的结果A1加上的结果记为，记作第二次求和操作；将第二次求和操作的结果 加上的结果记为 ，记作第三次求和操作；将第三次操作的结果 加上 的结果记为，记作第四次求和操作，…，以此类推．下列说法正确的个数是（     ） ①第五次求和操作的结果为 ②若 ，则 ； ③若 ，则对正整数 有 个值． A．0 B．1 C．2 D．3 二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．已知最简二次根式与二次根式是同类二次根式，则 ． 12．定义新运算：对于任意实数a、b，都有． 例如：，则的值为 ． 13．观察下列各式： ， ， ．．． 请你将发现的规律用含自然数的等式表示出来 14．在数轴上表示、的点分别为，，点关于点的对称点为，则点表示的数是 ． 15．南宋数学家秦九韶在《数书九章》记载三角形面积的独特求法——三斜求积，其求三角形面积的方法用现在的语言表达如下：的三边为，．若的三边，，，则的面积 7.5（填“＞”“＜”或“＝”）． 16．如图，将面积分别为2和16的两个小正方形放入面积为25的大正方形中，两个小正方形的重叠部分（阴影部分）的面积为 ． 17．【教材变式】已知为正整数，若是整数，则根据可知有最小值．设为正整数，若是大于1的整数，则的最小值与最大值的和是 ． 18．已知x、y满足：1＜x＜y＜100，且=2009，则= ． 三、解答题（共8小题，12+8+10+10+10+10+8+10=78分） 19．计算： (1) (2) 20．先化简，再求值：，其中． 21．已知，，求下列各式的值： (1) (2)． 22．（1）填空：（只填写符号：，，） ①当时，_________； ②当时，_________； ③当时，_________； （2）观察以上式子，猜想与的数量关系，并证明；（提示：） （3）实践应用：现在要用篱笆围一个面积为16的矩形花坛，在尽量节省篱笆长度的前提下，此时花坛的周长是多少？ 23．综合实践活动课上，老师给出一个结论：对于任意两个正数a，b，若，则．随后讲解了一道例题：试比较与的大小． 解：∵，， 而， ∴． 参考上面例题的解法，回答下列问题： (1)试比较与的大小； (2)试比较与的大小． 24．高空抛物是一种不文明的危险行为，被称为“悬在城市上空的痛”，是我们必须杜绝的行为．物理兴趣小组通过查阅相关资料了解到，物品从离地面为的高处自由落下，落到地面的时间为，满足不考虑阻力的影响 (1)求物体从的高空落到地面的时间结果保留根号； (2)已知从高空坠落的物体所带能量单位：物体质量高度，一串质量为的钥匙经过3落在地上，这串钥匙在下落过程中所带能量会对楼下行人产生危害吗？注：人体只需要的能量就会对人体造成危害 25．如果，试求的值． 26．【阅读下列材料】： 若，，则，，∴．（注：）∵，，∴．“”称为“基本不等式”，利用它可求一些代数式的最值及解决一些实际问题．（a、b为正数；积定和最小；和定积最大；当时，取等号．） 【例】：若，，，求的最小值． 解：∵，， ∴， ∴． ∴时，的最小值为8 【解决问题】 (1)用篱笆围成一个面积为的长方形菜园（一面靠墙，墙足够长），当这个长方形的边长为多少时，所用篱笆最短？最短篱笆的长是多少； (2)如图，四边形的对角线相交于点O，、的面积分别为2和3，求四边形面积的最小值． 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第1页（共6页） 试题 第2页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年九年级上册数学单元测验卷 第21章 二次根式 建议用时：120分钟，满分：150分 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1．在下列四个式子中，最简二次根式为（    ） A． B． C． D． 2．若最简二次根式能与合并，则的值为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 3．函数的自变量x的取值范围是（   ） A． B．且 C． D．且 4．实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是（　　） A．0 B． C． D． 5．已知，则（   ） A．2025 B． C． D．5050 6．将化简后的结果正确的答案是（　　） A． B． C． D． 7．已知，则下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 8．已知，则的值是（   ） A．13 B．15 C．17 D．19 9．若的值为（    ） A．3 B．5 C．7 D．9 10．对两个整式M，N，称为整式M与整式N的求和运算，记作第一次求和操作；将第一次求和操作的结果A1加上的结果记为，记作第二次求和操作；将第二次求和操作的结果 加上的结果记为 ，记作第三次求和操作；将第三次操作的结果 加上 的结果记为，记作第四次求和操作，…，以此类推．下列说法正确的个数是（     ） ①第五次求和操作的结果为 ②若 ，则 ； ③若 ，则对正整数 有 个值． A．0 B．1 C．2 D．3 二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．已知最简二次根式与二次根式是同类二次根式，则 ． 12．定义新运算：对于任意实数a、b，都有． 例如：，则的值为 ． 13．观察下列各式： ， ， ．．． 请你将发现的规律用含自然数的等式表示出来 14．在数轴上表示、的点分别为，，点关于点的对称点为，则点表示的数是 ． 15．南宋数学家秦九韶在《数书九章》记载三角形面积的独特求法——三斜求积，其求三角形面积的方法用现在的语言表达如下：的三边为，．若的三边，，，则的面积 7.5（填“＞”“＜”或“＝”）． 16．如图，将面积分别为2和16的两个小正方形放入面积为25的大正方形中，两个小正方形的重叠部分（阴影部分）的面积为 ． 17．【教材变式】已知为正整数，若是整数，则根据可知有最小值．设为正整数，若是大于1的整数，则的最小值与最大值的和是 ． 18．已知x、y满足：1＜x＜y＜100，且=2009，则= ． 三、解答题（共8小题，12+8+10+10+10+10+8+10=78分） 19．计算： (1) (2) 20．先化简，再求值：，其中． 21．已知，，求下列各式的值： (1) (2)． 22．（1）填空：（只填写符号：，，） ①当时，_________； ②当时，_________； ③当时，_________； （2）观察以上式子，猜想与的数量关系，并证明；（提示：） （3）实践应用：现在要用篱笆围一个面积为16的矩形花坛，在尽量节省篱笆长度的前提下，此时花坛的周长是多少？ 23．综合实践活动课上，老师给出一个结论：对于任意两个正数a，b，若，则．随后讲解了一道例题：试比较与的大小． 解：∵，， 而， ∴． 参考上面例题的解法，回答下列问题： (1)试比较与的大小； (2)试比较与的大小． 24．高空抛物是一种不文明的危险行为，被称为“悬在城市上空的痛”，是我们必须杜绝的行为．物理兴趣小组通过查阅相关资料了解到，物品从离地面为的高处自由落下，落到地面的时间为，满足不考虑阻力的影响 (1)求物体从的高空落到地面的时间结果保留根号； (2)已知从高空坠落的物体所带能量单位：物体质量高度，一串质量为的钥匙经过3落在地上，这串钥匙在下落过程中所带能量会对楼下行人产生危害吗？注：人体只需要的能量就会对人体造成危害 25．如果，试求的值． 26．【阅读下列材料】： 若，，则，，∴．（注：）∵，，∴．“”称为“基本不等式”，利用它可求一些代数式的最值及解决一些实际问题．（a、b为正数；积定和最小；和定积最大；当时，取等号．） 【例】：若，，，求的最小值． 解：∵，， ∴， ∴． ∴时，的最小值为8 【解决问题】 (1)用篱笆围成一个面积为的长方形菜园（一面靠墙，墙足够长），当这个长方形的边长为多少时，所用篱笆最短？最短篱笆的长是多少； (2)如图，四边形的对角线相交于点O，、的面积分别为2和3，求四边形面积的最小值． 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $$