第22章一元二次方程（单元测试·提升卷）数学华东师大版九年级上册

2025-2026学年九年级上册数学单元测验卷 第22章 一元二次方程 建议用时：120分钟，满分：150分 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1．下列方程中，一定是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 2．关于x的一元二次方程无实数根，则k的最小整数是（    ） A．2 B．1 C．0 D． 3．若是方程的根，则的值为（  ） A．2037 B．2029 C．2025 D．2013 4．若关于x的一元二次方程的一次项系数为0，则a的值是（     ） A． B．2 C．或2 D．0 5．如图，有一张长方形桌子的桌面长，宽．有一块长方形台布的面积是桌面面积的2倍，并且铺在桌面上时，各边垂下的长度相等．设台布各边垂下的长度为，则根据题意所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 6．若将一元二次方程化成的形式，则的值为（    ） A． B． C．5 D．17 7．根据下列表格的对应值：判断方程一个解的取值范围是（   ）                                         A． B． C． D． 8．已知实数满足，则的值为（   ） A． B．4 C．或4 D．2 9．阅读材料：方程（b，c为常数）的两实根为，，所以方程可表示为．将等号左边展开得，与原方程对比，得到，．根据材料解决问题：一元三次方程（b，c，d为常数）的三个实根分别为，，，则（   ） A． B． C． D． 10．已知整式，其中，，，，，均为自然数．则下列说法，正确的个数为（    ） ①若，则； ②，，，，，中必有两个数的差是5的倍数； ③当时，该方程存在5个实数解记为，，，，，若存在整数，使，且，，则存在最大值为25． A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．一元二次方程的常数项为 ． 12．已知等腰三角形的两边长分别是一元二次方程的两根，则该三角形的周长为 ． 13．若关于的方程（其中h、k均为常数）的解是，则关于的方程的解是 ． 14．定义：对于函数，随的增大而增大，且，，．若，则的最大值为 ． 15．燕几（即宴几）是世界上最早的一套组合桌，设计者是北宋进士黄伯思.全套燕几一共有七张桌子，每张桌子高度相同.其桌面共有三种尺寸，包括2张长桌、2张中桌和3张小桌，它们的宽都相同.七张桌面可以拼成一个大的长方形，或者分开组合成不同的图形，其方式丰富多样，燕几也被认为是现代七巧板的前身.下图给出了《燕几图》中列出的名称为“函三”和“回文”的两种桌面拼合方式.若全套七张桌子桌面的总面积为61.25平方尺，则长桌的长度为 尺. 16．已知为实数，满足，那么的最小值为 ． 17．已知，则的值等于 ． 18．如图，在平行四边形中，，分别从同时出发，向运动，当一个点到达终点时，两个点同时停止运动，已知点的速度为，在运动的过程中，若存在使四边形是邻边之比为的平行四边形时刻，则点的速度为 ． 三、解答题（共8小题，8+10+10+10+10+10+10+10=78分） 19．解下列方程： (1) (2) 20．已知：关于的一元二次方程． (1)求证：无论为何值，方程总有两个实数根； (2)若为方程的一个根，求的值及方程的另一个根． 21．已知方程的两个根是，，其中 (1)比较与的大小； (2)求的值． 22．为了提高公众对创建文明城市工作的支持，市文明办在某社区开展“创文”宣传工作．据了解，该社区居民共有18000人，分南、北两个区域，南区居民数量不超过北区居民数量的3倍． (1)求北区居民至少有多少人？ (2)通过调查发现：南、北两区居民了解“创文”工作的人数分别为1500人和2700人．为了提高居民对“创文”工作的支持，工作人员用了两个月的时间加强社区宣传．南区居民了解“创文”工作的人数月平均增长率为m．北区居民了解的人数两个月的增长率为4m．两个月后，该社区居民中了解“创文”工作的人数达到90%，求m的值． 23．阅读材料：如果，是一元二次方程的两个实数根，且，，若其中一个根是另外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”；例如：1，2是方程的两根，2是1的2倍，则这是一个“倍根方程”． (1)解方程：，并判断该方程是否属于“倍根方程”． (2)已知关于的一元二次方程． ①求证：该方程必有两个不相等的实数根； ②若该方程是“倍根方程”，求的值． 24．【观察思考】 烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物质，如图是这类物质前四种化合物的分子结构模型图，其中灰球代表碳原子，白球代表氢原子．第1种如图1有4个氢原子，1个碳原子；第2种如图2有6个氢原子，2个碳原子；第3种如图3有8个氢原子，3个碳原子；第4种如图4有10个氢原子，4个碳原子；……， （1）直接写出第5种化合物的分子结构模型图有 个氢原子， 个碳原子； 【规律发现】 请用含 n 的式子填空： （2）第n种化合物的分子结构模型图中碳原子的个数为 ； （3）第n种化合物的分子结构模型图中氢原子的个数为 ； 【规律应用】 （4）求正整数n，使得连续的正整数之和等于第n种化合物的分子结构模型图中氢原子的个数的3倍． 25．某校为培育青少年科技创新能力，举办了动漫制作活动，小明设计了点做圆周运动的一个雏形，如图所示，甲、乙两点分别从直径的两端点A，B同时出发，以顺时针、逆时针的方向沿圆周运动，甲以的速度匀速运动，乙运动的路程s（cm）与时间t（s）满足关系：，整个圆周的长度为84cm．    (1)填空：甲运动2 s后经过的路程是___________cm； (2)甲、乙从开始运动到第一次相遇时，它们运动了多少时间？ (3)甲、乙从开始运动到第二次相遇时，它们运动了多少时间？ 26．阅读下列材料：我们发现，关于x的一元二次方程，如果的值是一个完全平方数时，一元二次方程的根不一定都为整数，但是如果一元二次方程的根都为整数，的值一定是一个完全平方数． 定义：两根都为整数的一元二次方程称为“友好方程”，代数式的值为该“友好方程”的“超强代码”，用表示，即；若另一关于x的一元二次方程也为“友好方程”，其“超强代码”记为，当满足时，则称一元二次方程是一元二次方程的“最佳搭子方程”． (1)“友好方程”的“超强代码”是________； (2)关于x的一元二次方程（m为整数，且）是“友好方程”，请求出该方程的“超强代码”； (3)若关于x的一元二次方程是（m，n均为正整数，且）的“最佳搭子方程”，且的一个根是的一个根的2倍，求m和n的值 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年九年级上册数学单元测验卷 第22章 一元二次方程（参考答案） 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 B A A A D C C B C B 二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．3 12． 10 13． ， 14．1 15．7 16．14 17． 18．0.5或5 三、解答题（共8小题，共78分） 19．（8分） 【解析】（1）解： ∴（2分） ∴ 解得：；（4分） （2）解： ∴ ∴ ∴（6分） ∴或 解得：．（8分） 20．（10分） 【解析】 （1）证明：由题意得， ，（3分） ∵， ∴， ∴无论为何值，方程总有两个实数根；（5分） （2）解：∵为方程的一个根， ∴， 解得，（8分） ∴原方程为， 解得或， ∴原方程的另一个根为．（10分） 21．（10分） 【解析】 （1）根据根与系数的关系得，，（2分） ，， ；（5分） （2），（7分） （10分） 22．（10分） 【解析】 （1）设北区居民有x人，则南区居民有（18000﹣x）人，（1分） 依题意得：18000﹣x≤3x，（2分） 解得：x≥4500．（4分） 答：北区居民至少有4500人．（5分） （2）依题意得：1500（1+m）2+2700（1+4m）＝18000×90%，（6分） 整理得：5m2+46m﹣40＝0，（7分） 解得：m1＝0.8＝80%，m2＝﹣10（不合题意，舍去）．（8分） 答：m的值为80%．（10分） 23．（10分） 【解析】 （1）解：是，理由如下： ， 解得，（2分） ∵， ∴这个方程是倍根方程；（4分） （2）①证明：一元二次方程中， ∴．（6分） ∵， ∴， ∴该方程有两个不相等的实数根；（7分） ②∵一元二次方程是“倍根方程”，设一个根是a，则另一根是， ∴， 解得或．（10分） 24．（10分） 【解析】 解：（1）第1种化合物的分子模型中，碳原子个数为1，氢原子的个数为， 第2种化合物的分子模型中，碳原子个数为2，氢原子的个数为， 第3种化合物的分子模型中，碳原子个数为3，氢原子的个数为， 第4种化合物的分子模型中，碳原子个数为4，氢原子的个数为， ， ∴第种化合物的分子模型中，碳原子个数为n，氢原子的个数为， ∴第5种化合物的分子结构模型图有个氢原子，5个碳原子， 故答案为：12，5；（3分） （2）由（1）可得第种化合物的分子模型中，碳原子个数为n， 故答案为：；（5分） （3）由（1）可得第种化合物的分子模型中，氢原子的个数为， 故答案为：；（7分） （4）由题意得，， ∴， ∴， 解得或（舍去）．（10分） 25．（10分） 【解析】 （1）解：由题意得：甲运动2 s后经过的路程为； 故答案为16；（2分） （2）解：由图可知，甲乙第一次相遇时走过的路程为半圆，甲走过的路程为， 乙走过的路程为，则，（4分） 解得：，（不合题意，舍去）． 答：甲、乙从开始运动到第一次相遇时，它们运动了．（6分） （3）解：由图可知，甲乙第二次相遇时走过的路程为三个半圆， 则，（8分） 解得：或（不合题意，舍去）． 答：甲、乙从开始运动到第二次相遇时，它们运动了．（10分） 26．（10分） 【解析】 （1）解：“友好方程”的“超强代码”是：， 故答案为：；（2分） （2）解：∵是“友好方程”， ∴且为完全平方数， ∵， ∴， ∴=36或49或64， ∴或或，（4分） ∵为整数， ∴， 将代入原方程，则， ∴， ∴方程的“超强代码”为；（6分） （3）解：方程的“超强代码”为： ， 由得： 方程的“超强代码”为： ， 由得： ∵是的“最佳搭子方程”， ∴， 即， 整理得，，（8分） ∵，均为正整数且， ∴， ∴， 即， 又∵的一个根是的一个根的2倍， ∴①当时，得：，， ②当时，，，（舍）， ③当时，得：（舍）， 综上所述：，．（10分） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年九年级上册数学单元测验卷 第22章 一元二次方程 建议用时：120分钟，满分：150分 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1．下列方程中，一定是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，解题的关键在于熟知只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程． 【详解】A、：当时，方程变为一次方程，因此不一定是一元二次方程，不符合题意； B、：移项整理为，满足只含一个未知数且最高次数为2，二次项系数，为一元二次方程，符合题意； C、：未知数最高次数为3，是三次方程，不符合题意； D、：含有两个未知数和，是二元方程，不符合题意； 故选：B． 2．关于x的一元二次方程无实数根，则k的最小整数是（    ） A．2 B．1 C．0 D． 【答案】A 【分析】由根的判别式与方程根的情况，可得Δ＜0，从而求出k的取值范围，再确定k的最小整数．要保证二次项系数不为0． 【详解】解：∵一元二次方程无实数根， ∴，且k-1≠0， 解得：且k≠1， ∴k的最小整数是2， 故选A． 【点睛】本题考查了由根的判别式确定根的情况：Δ＞0，有两个不等实根；Δ=0，有两个相等实根；Δ＜0，无实根． 3．若是方程的根，则的值为（  ） A．2037 B．2029 C．2025 D．2013 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的解，由题意，将代入方程可得，进而将所求代数式变形为，整体代入计算即可． 【详解】解：是方程的根， ，即． 因此，． 故选：A． 4．若关于x的一元二次方程的一次项系数为0，则a的值是（     ） A． B．2 C．或2 D．0 【答案】A 【分析】由题意得且，解方程及不等式即可求出a的值． 【详解】解：由题意得：且， 解得：， 故选：． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的定义，一元二次方程的一般形式，直接开平方法解一元二次方程，解一元一次不等式等知识点，熟练掌握一元二次方程的定义及一元二次方程的一般形式是解题的关键． 5．如图，有一张长方形桌子的桌面长，宽．有一块长方形台布的面积是桌面面积的2倍，并且铺在桌面上时，各边垂下的长度相等．设台布各边垂下的长度为，则根据题意所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．根据各边之间的关系，可得出台布的长为，宽为，利用台布的面积是桌面面积的2倍，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：∵垂下的长度为， ∴台布的长为，宽为， 又∵台布的面积是桌面面积的2倍， ∴． 故选：D． 6．若将一元二次方程化成的形式，则的值为（    ） A． B． C．5 D．17 【答案】C 【分析】本题主要考查了利用配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法是解题关键．先利用配方法将方程化成的形式，从而可得的值，再代入计算即可得． 【详解】解：， ， ， ∵将一元二次方程化成的形式， ∴， ∴， 故选：C． 7．根据下列表格的对应值：判断方程一个解的取值范围是（   ）                                         A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了求一元二次方程的近似根，掌握函数的图象与轴的交点与方程的根的关系是解决此题的关键所在． 根据函数的图象与轴的交点横坐标就是方程的根，结合表格中数据即可判断方程的一个解的范围． 【详解】解：由表中数据可知：当时，； 当时，， ∴当时，在与之间， ∴方程一个解的取值范围为， 故选：C． 8．已知实数满足，则的值为（   ） A． B．4 C．或4 D．2 【答案】B 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的常用方法（直接开平方法、配方法、公式法、换元法、因式分解法等）是解题关键．设，则原方程可化为，利用因式分解法解方程可得的值，由此即可得． 【详解】解：设， ∴， ∴， ∵，即， ∴，即， 解得或， ∴当，即时，此时方程无解， ∴， 故选：B． 9．阅读材料：方程（b，c为常数）的两实根为，，所以方程可表示为．将等号左边展开得，与原方程对比，得到，．根据材料解决问题：一元三次方程（b，c，d为常数）的三个实根分别为，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查根与系数的关系，熟练掌握题干中给出的方程的表示方法，是解题的关键，根据题意，将一元三次方程，表示为，然后将左边展开，进行判断即可． 【详解】解：∵一元三次方程（b，c，d为常数）的三个实根分别为，，， ∴方程可表示为：， ∴， ∴， ∴，，；故选项C正确，选项B，D错误； ∵， ∴；故选项A错误； 故选C． 10．已知整式，其中，，，，，均为自然数．则下列说法，正确的个数为（    ） ①若，则； ②，，，，，中必有两个数的差是5的倍数； ③当时，该方程存在5个实数解记为，，，，，若存在整数，使，且，，则存在最大值为25． A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【答案】B 【分析】表示出当时，当时的值，再进行加法运算即可判断①；令，则，令，则，表示出，，结合题意即可判断②；由题意结合一元二次方程的解以及一元二次方程根与系数的关系得出，即，从而得出，计算即可判断③，从而得解． 【详解】解：①当时，，即， 当时，，即， ∴由可得：， ∴，故①错误； ②令，则， 令，则， 令，则， ∴，， ∵，，，，，均是自然数， ∴，均为整数， ∴与必有一个为5的倍数， ∴，，，，，中必有两个数的差是5的倍数，所以②正确； ③由题意，得，，，，为方程的五个解， ∴， ∵，， ∴，即， ∵， ∴， ∴当或时，有最大值25， ∵， ∴当时，的最大值为25， 所以③正确， 综上所述，正确的有②③，共个， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了整数的混合运算，代数式求值，一元二次方程的解，一元二次方程根与系数的关系，正确计算是解此题的关键． 二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．一元二次方程的常数项为 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 利用一元二次方程的定义进行判断即可． 【详解】解：一元二次方程的常数项为3， 故答案为：3． 12．已知等腰三角形的两边长分别是一元二次方程的两根，则该三角形的周长为 ． 【答案】10 【分析】本题考查了解一元二次方程，三角形三边关系定理； 求出一元二次方程的解，根据三角形三边关系定理得出等腰三角形的三边为2，4，4，即可得出答案． 【详解】解：， 因式分解得：， ∴或， 解得：，， 当等腰三角形的三边为2，2，4时，不符合三角形三边关系定理； 当等腰三角形的三边为2，4，4时，符合三角形三边关系定理，此时能组成三角形，周长为， ∴该三角形的周长为10， 故答案为：10． 13．若关于的方程（其中h、k均为常数）的解是，则关于的方程的解是 ． 【答案】， 【分析】此题考查解一元二次方程，设看成一个整体，根据方程的解解方程即可． 【详解】解：令，则方程化为， ∵方程的解是， ∴或， 解得，， 故答案为：，． 14．定义：对于函数，随的增大而增大，且，，．若，则的最大值为 ． 【答案】1 【分析】本题考查了新定义，不等式的性质，配方法求最值的计算，理解新定义运算，掌握不等式的性质，配方法求最值的计算方法是解题的关键． 根据题意得到，，，则，，由此得到当时，有最大值，代入计算即可求解． 【详解】解：已知， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， 解得，， ∴， ∴， ∵， ∴当时，有最大值， ∴， 故答案为：1 ． 15．燕几（即宴几）是世界上最早的一套组合桌，设计者是北宋进士黄伯思.全套燕几一共有七张桌子，每张桌子高度相同.其桌面共有三种尺寸，包括2张长桌、2张中桌和3张小桌，它们的宽都相同.七张桌面可以拼成一个大的长方形，或者分开组合成不同的图形，其方式丰富多样，燕几也被认为是现代七巧板的前身.下图给出了《燕几图》中列出的名称为“函三”和“回文”的两种桌面拼合方式.若全套七张桌子桌面的总面积为61.25平方尺，则长桌的长度为 尺. 【答案】7 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，结合图形表示出小桌、中桌、长桌的长是解题的关键． 设每张桌面的宽为尺，结合图形分别表示出小桌、中桌、长桌的长，根据题意列出方程，解方程即可求解． 【详解】解：设每张桌面的宽为尺， 根据图形可得：小桌的长为尺，中桌的长为尺，长桌的长为尺， 故可得， 解得：，（舍去）， ∴， 故答案为：7． 16．已知为实数，满足，那么的最小值为 ． 【答案】14 【分析】本题考查解三元一次方程组、配方法的应用．解方程组转化为只含的代数式，利用配方法求最值，是解题的关键．用含的式子表示出，将转化为只含的代数式，利用配方法，求出最值即可． 【详解】解：， ，得，则③， ，得，则④， 把③④代入得， ； ∵， ∴的最小值是14， 故答案为：14． 17．已知，则的值等于 ． 【答案】 【分析】本题考查了裂项法求和、配方法的应用，学会利用配方法求出未知数的值是解题的关键．利用配方法把方程变形为，求出的值，再代入到题目中的式子，利用裂项法求和即可解答． 【详解】解：， ， ， ，， ，， ， ， ， ， ． 故答案为：． 18．如图，在平行四边形中，，分别从同时出发，向运动，当一个点到达终点时，两个点同时停止运动，已知点的速度为，在运动的过程中，若存在使四边形是邻边之比为的平行四边形时刻，则点的速度为 ． 【答案】0.5或5 【分析】本题考查动点问题应用，注意分类思想应用，平行四边形的性质，掌握速度时间与路程的关系，以及分类思想应用是解题关键．平行四边形的长宽之比为，分两种情况，当时，，，，利用求出t，求出的长，利用求解即可． 【详解】解：平行四边形的长宽之比为， 当时，， ∴， ∵点的速度为， ∴秒， 设Q的速度为， ∴，解得， 当， ∴， ∴秒， ∴， ∴， ∴Q点运动的速度或5cm/秒． 三、解答题（共8小题，8+10+10+10+10+10+10+10=78分） 19．解下列方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一元二次方程的求解，正确的计算是解决本题的关键． （1）根据配方法进行求解即可； （2）先移项再提公因式进行求解即可． 【详解】（1）解： ∴ ∴ 解得：； （2）解： ∴ ∴ ∴ ∴或 解得：． 20．已知：关于的一元二次方程． (1)求证：无论为何值，方程总有两个实数根； (2)若为方程的一个根，求的值及方程的另一个根． 【答案】(1)见解析 (2)； 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，一元二次方程的解的定义，一元二次方程根的判别式，熟知一元二次方程的相关知识是解题的关键． （1）只需要证明即可证明结论； （2）把代入原方程求出m的值，进而可得到原方程，再解原方程即可得到答案． 【详解】（1）证明：由题意得， ， ∵， ∴， ∴无论为何值，方程总有两个实数根； （2）解：∵为方程的一个根， ∴， 解得， ∴原方程为， 解得或， ∴原方程的另一个根为． 21．已知方程的两个根是，，其中 (1)比较与的大小； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，， （1）先利用根与系数的关系得到，，则，，从而可判断与相等； （2）先把代入所求的代数式中，然后进行分式的化简即可． 【详解】（1）根据根与系数的关系得，， ，， ； （2）， 22．为了提高公众对创建文明城市工作的支持，市文明办在某社区开展“创文”宣传工作．据了解，该社区居民共有18000人，分南、北两个区域，南区居民数量不超过北区居民数量的3倍． (1)求北区居民至少有多少人？ (2)通过调查发现：南、北两区居民了解“创文”工作的人数分别为1500人和2700人．为了提高居民对“创文”工作的支持，工作人员用了两个月的时间加强社区宣传．南区居民了解“创文”工作的人数月平均增长率为m．北区居民了解的人数两个月的增长率为4m．两个月后，该社区居民中了解“创文”工作的人数达到90%，求m的值． 【答案】(1)北区居民至少有4500人； (2)m的值为80% 【分析】（1）设北区居民有x人，则南区居民有（18000﹣x）人，根据南区居民数量不超过北区居民数量的3倍，即可得出关于x的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论； （2）由“两个月后，该社区居民中了解“创文”工作的人数达到90%”，即可得出关于m的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 【详解】（1）设北区居民有x人，则南区居民有（18000﹣x）人， 依题意得：18000﹣x≤3x， 解得：x≥4500． 答：北区居民至少有4500人． （2）依题意得：1500（1+m）2+2700（1+4m）＝18000×90%， 整理得：5m2+46m﹣40＝0， 解得：m1＝0.8＝80%，m2＝﹣10（不合题意，舍去）． 答：m的值为80%． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 23．阅读材料：如果，是一元二次方程的两个实数根，且，，若其中一个根是另外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”；例如：1，2是方程的两根，2是1的2倍，则这是一个“倍根方程”． (1)解方程：，并判断该方程是否属于“倍根方程”． (2)已知关于的一元二次方程． ①求证：该方程必有两个不相等的实数根； ②若该方程是“倍根方程”，求的值． 【答案】(1)是，理由见解析 (2)①证明见解析 ②或 【分析】本题主要考查了因式分解法一元二次方程，一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的判别式， 对于（1），求出方程的两个根，再根据“倍根方程”的定义解答即可； 对于（2），①求出，再根据结果证明； ②根据“倍根方程”的定义设两个根，再根据一元二次方程根与系数的关系得出方程，求出解即可． 【详解】（1）解：是，理由如下： ， 解得， ∵， ∴这个方程是倍根方程； （2）①证明：一元二次方程中， ∴． ∵， ∴， ∴该方程有两个不相等的实数根； ②∵一元二次方程是“倍根方程”，设一个根是a，则另一根是， ∴， 解得或． 24．【观察思考】 烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物质，如图是这类物质前四种化合物的分子结构模型图，其中灰球代表碳原子，白球代表氢原子．第1种如图1有4个氢原子，1个碳原子；第2种如图2有6个氢原子，2个碳原子；第3种如图3有8个氢原子，3个碳原子；第4种如图4有10个氢原子，4个碳原子；……， （1）直接写出第5种化合物的分子结构模型图有 个氢原子， 个碳原子； 【规律发现】 请用含 n 的式子填空： （2）第n种化合物的分子结构模型图中碳原子的个数为 ； （3）第n种化合物的分子结构模型图中氢原子的个数为 ； 【规律应用】 （4）求正整数n，使得连续的正整数之和等于第n种化合物的分子结构模型图中氢原子的个数的3倍． 【答案】（1）12，5；（2）n；（3）；（4） 【分析】本题主要考查了图形类的规律探索，一元二次方程的应用，正确找到图形之间的规律是解题的关键． （1）观察前面四幅图可知碳原子个数为序号，氢原子的个数是序号的2倍加2，据此规律求解即可； （2）根据（1）所求即可得到答案； （3）根据（1）所求即可得到答案； （4）根据（1）所求结合题意可得方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：（1）第1种化合物的分子模型中，碳原子个数为1，氢原子的个数为， 第2种化合物的分子模型中，碳原子个数为2，氢原子的个数为， 第3种化合物的分子模型中，碳原子个数为3，氢原子的个数为， 第4种化合物的分子模型中，碳原子个数为4，氢原子的个数为， ， ∴第种化合物的分子模型中，碳原子个数为n，氢原子的个数为， ∴第5种化合物的分子结构模型图有个氢原子，5个碳原子， 故答案为：12，5； （2）由（1）可得第种化合物的分子模型中，碳原子个数为n， 故答案为：； （3）由（1）可得第种化合物的分子模型中，氢原子的个数为， 故答案为：； （4）由题意得，， ∴， ∴， 解得或（舍去）． 25．某校为培育青少年科技创新能力，举办了动漫制作活动，小明设计了点做圆周运动的一个雏形，如图所示，甲、乙两点分别从直径的两端点A，B同时出发，以顺时针、逆时针的方向沿圆周运动，甲以的速度匀速运动，乙运动的路程s（cm）与时间t（s）满足关系：，整个圆周的长度为84cm．    (1)填空：甲运动2 s后经过的路程是___________cm； (2)甲、乙从开始运动到第一次相遇时，它们运动了多少时间？ (3)甲、乙从开始运动到第二次相遇时，它们运动了多少时间？ 【答案】(1)16 (2)甲、乙从开始运动到第一次相遇时，它们运动了 (3)甲、乙从开始运动到第二次相遇时，它们运动了 【分析】（1）直接利用路程等于速度乘以时间即可解答； （2）直接利用甲、乙的运动路程和，进而得出的值； （3）直接利用甲、乙的运动路程和，进而得出的值． 【详解】（1）解：由题意得：甲运动2 s后经过的路程为； 故答案为16； （2）解：由图可知，甲乙第一次相遇时走过的路程为半圆，甲走过的路程为， 乙走过的路程为，则， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：甲、乙从开始运动到第一次相遇时，它们运动了． （3）解：由图可知，甲乙第二次相遇时走过的路程为三个半圆， 则， 解得：或（不合题意，舍去）． 答：甲、乙从开始运动到第二次相遇时，它们运动了． 【点睛】此题主要考查了二次函数与一元二次方程的应用，正确表示出甲、乙运动的路程是解题关键． 26．阅读下列材料：我们发现，关于x的一元二次方程，如果的值是一个完全平方数时，一元二次方程的根不一定都为整数，但是如果一元二次方程的根都为整数，的值一定是一个完全平方数． 定义：两根都为整数的一元二次方程称为“友好方程”，代数式的值为该“友好方程”的“超强代码”，用表示，即；若另一关于x的一元二次方程也为“友好方程”，其“超强代码”记为，当满足时，则称一元二次方程是一元二次方程的“最佳搭子方程”． (1)“友好方程”的“超强代码”是________； (2)关于x的一元二次方程（m为整数，且）是“友好方程”，请求出该方程的“超强代码”； (3)若关于x的一元二次方程是（m，n均为正整数，且）的“最佳搭子方程”，且的一个根是的一个根的2倍，求m和n的值 【答案】(1) (2) (3)， 【分析】本题考查了一元二次方程的新定义运算． （1）直接根据“超强代码”的定义作答即可； （2）先根据“友好方程”的定义求出m的范围，进而求出，再根据“超强代码”的定义计算即可； （3）先分别求出两方程的“超强代码”，再根据“最佳搭子方程”得到，可知，再根据“的一个根是的一个根的2倍”列出所有情况，判断是否符合题意即可． 【详解】（1）解：“友好方程”的“超强代码”是：， 故答案为：； （2）解：∵是“友好方程”， ∴且为完全平方数， ∵， ∴， ∴=36或49或64， ∴或或， ∵为整数， ∴， 将代入原方程，则， ∴， ∴方程的“超强代码”为； （3）解：方程的“超强代码”为： ， 由得： 方程的“超强代码”为： ， 由得： ∵是的“最佳搭子方程”， ∴， 即， 整理得，， ∵，均为正整数且， ∴， ∴， 即， 又∵的一个根是的一个根的2倍， ∴①当时，得：，， ②当时，，，（舍）， ③当时，得：（舍）， 综上所述：，． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $$………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年九年级上册数学单元测验卷 第22章 一元二次方程 建议用时：120分钟，满分：150分 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1．下列方程中，一定是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 2．关于x的一元二次方程无实数根，则k的最小整数是（    ） A．2 B．1 C．0 D． 3．若是方程的根，则的值为（  ） A．2037 B．2029 C．2025 D．2013 4．若关于x的一元二次方程的一次项系数为0，则a的值是（     ） A． B．2 C．或2 D．0 5．如图，有一张长方形桌子的桌面长，宽．有一块长方形台布的面积是桌面面积的2倍，并且铺在桌面上时，各边垂下的长度相等．设台布各边垂下的长度为，则根据题意所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 6．若将一元二次方程化成的形式，则的值为（    ） A． B． C．5 D．17 7．根据下列表格的对应值：判断方程一个解的取值范围是（   ）                                         A． B． C． D． 8．已知实数满足，则的值为（   ） A． B．4 C．或4 D．2 9．阅读材料：方程（b，c为常数）的两实根为，，所以方程可表示为．将等号左边展开得，与原方程对比，得到，．根据材料解决问题：一元三次方程（b，c，d为常数）的三个实根分别为，，，则（   ） A． B． C． D． 10．已知整式，其中，，，，，均为自然数．则下列说法，正确的个数为（    ） ①若，则； ②，，，，，中必有两个数的差是5的倍数； ③当时，该方程存在5个实数解记为，，，，，若存在整数，使，且，，则存在最大值为25． A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．一元二次方程的常数项为 ． 12．已知等腰三角形的两边长分别是一元二次方程的两根，则该三角形的周长为 ． 13．若关于的方程（其中h、k均为常数）的解是，则关于的方程的解是 ． 14．定义：对于函数，随的增大而增大，且，，．若，则的最大值为 ． 15．燕几（即宴几）是世界上最早的一套组合桌，设计者是北宋进士黄伯思.全套燕几一共有七张桌子，每张桌子高度相同.其桌面共有三种尺寸，包括2张长桌、2张中桌和3张小桌，它们的宽都相同.七张桌面可以拼成一个大的长方形，或者分开组合成不同的图形，其方式丰富多样，燕几也被认为是现代七巧板的前身.下图给出了《燕几图》中列出的名称为“函三”和“回文”的两种桌面拼合方式.若全套七张桌子桌面的总面积为61.25平方尺，则长桌的长度为 尺. 16．已知为实数，满足，那么的最小值为 ． 17．已知，则的值等于 ． 18．如图，在平行四边形中，，分别从同时出发，向运动，当一个点到达终点时，两个点同时停止运动，已知点的速度为，在运动的过程中，若存在使四边形是邻边之比为的平行四边形时刻，则点的速度为 ． 三、解答题（共8小题，8+10+10+10+10+10+10+10=78分） 19．解下列方程： (1) (2) 20．已知：关于的一元二次方程． (1)求证：无论为何值，方程总有两个实数根； (2)若为方程的一个根，求的值及方程的另一个根． 21．已知方程的两个根是，，其中 (1)比较与的大小； (2)求的值． 22．为了提高公众对创建文明城市工作的支持，市文明办在某社区开展“创文”宣传工作．据了解，该社区居民共有18000人，分南、北两个区域，南区居民数量不超过北区居民数量的3倍． (1)求北区居民至少有多少人？ (2)通过调查发现：南、北两区居民了解“创文”工作的人数分别为1500人和2700人．为了提高居民对“创文”工作的支持，工作人员用了两个月的时间加强社区宣传．南区居民了解“创文”工作的人数月平均增长率为m．北区居民了解的人数两个月的增长率为4m．两个月后，该社区居民中了解“创文”工作的人数达到90%，求m的值． 23．阅读材料：如果，是一元二次方程的两个实数根，且，，若其中一个根是另外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”；例如：1，2是方程的两根，2是1的2倍，则这是一个“倍根方程”． (1)解方程：，并判断该方程是否属于“倍根方程”． (2)已知关于的一元二次方程． ①求证：该方程必有两个不相等的实数根； ②若该方程是“倍根方程”，求的值． 24．【观察思考】 烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物质，如图是这类物质前四种化合物的分子结构模型图，其中灰球代表碳原子，白球代表氢原子．第1种如图1有4个氢原子，1个碳原子；第2种如图2有6个氢原子，2个碳原子；第3种如图3有8个氢原子，3个碳原子；第4种如图4有10个氢原子，4个碳原子；……， （1）直接写出第5种化合物的分子结构模型图有 个氢原子， 个碳原子； 【规律发现】 请用含 n 的式子填空： （2）第n种化合物的分子结构模型图中碳原子的个数为 ； （3）第n种化合物的分子结构模型图中氢原子的个数为 ； 【规律应用】 （4）求正整数n，使得连续的正整数之和等于第n种化合物的分子结构模型图中氢原子的个数的3倍． 25．某校为培育青少年科技创新能力，举办了动漫制作活动，小明设计了点做圆周运动的一个雏形，如图所示，甲、乙两点分别从直径的两端点A，B同时出发，以顺时针、逆时针的方向沿圆周运动，甲以的速度匀速运动，乙运动的路程s（cm）与时间t（s）满足关系：，整个圆周的长度为84cm．    (1)填空：甲运动2 s后经过的路程是___________cm； (2)甲、乙从开始运动到第一次相遇时，它们运动了多少时间？ (3)甲、乙从开始运动到第二次相遇时，它们运动了多少时间？ 26．阅读下列材料：我们发现，关于x的一元二次方程，如果的值是一个完全平方数时，一元二次方程的根不一定都为整数，但是如果一元二次方程的根都为整数，的值一定是一个完全平方数． 定义：两根都为整数的一元二次方程称为“友好方程”，代数式的值为该“友好方程”的“超强代码”，用表示，即；若另一关于x的一元二次方程也为“友好方程”，其“超强代码”记为，当满足时，则称一元二次方程是一元二次方程的“最佳搭子方程”． (1)“友好方程”的“超强代码”是________； (2)关于x的一元二次方程（m为整数，且）是“友好方程”，请求出该方程的“超强代码”； (3)若关于x的一元二次方程是（m，n均为正整数，且）的“最佳搭子方程”，且的一个根是的一个根的2倍，求m和n的值 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $$