第二章 一元二次方程（复习课件）数学北师大版九年级上册

该初中数学单元复习课件系统梳理了一元二次方程的定义、解法、根的判别式、根与系数关系及实际应用，通过知识图谱构建“概念-解法-应用”逻辑脉络，将直接开平方法等四种解法与传播问题等实际场景关联，形成完整知识网络。 其特色在于“考点分类-题型剖析-分层训练”的复习策略，如针对方程识别设计三要素判断训练，结合根的判别式参数问题培养推理意识，通过销售利润问题强化数学建模能力。这种设计帮助学生巩固知识，教师可精准把握学情，提升复习效率。

单元复习课件 第二章 一元二次方程 北师大版·九年级上册 学习内容导览 单元知识图谱 2 单元复习目标 1 3 考点串讲 5 题型剖析/针对训练 4 6 课堂总结 难点突破 1.了解一元二次方程的定义、一般形式、解(根)的意义，体会一元二次方程概念、解法、应用之间的整体联系。 2.能用直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程。 3.理解一元二次方程“一定有两个解，但不一定有两个实数解”，利用其解法解决实际问题，掌握列方程解应用题的步骤，解决常见应用问题。 1.灵活运用合适的方法解一元二次方程。 2.从实际场景中抽象等量关系，且解需符合实际。 1.能够运用根的判别式，判断一元二次方程根的情况。 2.了解一元二次方程根与系数的关系。 单元学习目标 画框内容为易错点 单元知识图谱 1.一元二次方程的定义：等号两边都是_______，只含有一个________________，且未知数的最高次数是___________的方程，叫做一元二次方程. 2.一元二次方程的一般形式： ，其中：是______，a是_________，是________，b是_________，c是_______. 它的特征：等号左边是一个关于未知数的二次多项式，等号右边是0. 3.一元二次方程的根的定义：使一元二次方程左、右两边____________的未知数的值，叫做一元二次方程的解，也叫一元二次方程的根. 考点一 一元二次方程的基础 整式 未知数（一元） 2 二 二次项系数 一次项 一次项系数 常数 相等 考点串讲 题型一 一元二次方程的基础 类型一 一元二次方程的识别 例1．下列方程中，属于一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 解题方法：首先将方程化为一般形式，然后同时满足：①整式方程.②只含有一个未知数.③未知数的最高次数是2. 【详解】解：A、整理得 ，为一次方程，不符合题意； B、仅含未知数，等式两边为整式，且未知数最高次数为2，为一元二次方程，符合题意； C、含两个未知数和，不是一元二次方程，不符合题意； D、中，若时不是一元二次方程，不符合题意； 故选：B． 题型剖析 1．下列方程中，是一元二次方程的有（　　） ①；②；③；④；⑤；⑥． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 2．下列方程①；②；③；④；⑤；⑥；⑦．其中一定是一元二次方程的有（   ）个 A．2 B．3 C．4 D．5 【详解】符合条件的方程有⑤和⑥，共2个．故选C． 【详解】一元二次方程有②⑥，共2个．故选：A． 针对训练 题型一 一元二次方程的基础 类型二 一元二次方程的一般式 例2．将方程化为一元二次方程的一般形式，其中二次项系数为1，一次项系数，常数项分别是（   ） A． B． C． D．2，10 【解题方法】二次项系数、一次项系数和常数项都是在一般形式下定义的，所以在确定一元二次方程各项的系数时，应先将方程化为一般形式，并且在说明各项系数的时，一定要带上前面的符号.特殊情况：①若二次项系数为负，则要把它转化为正数，注意其他项的符号均需要改变； ②若有的项系数为分数，则要把它转化为整数. 【详解】解：原方程为， 移项得：，此时二次项系数为1，一次项系数为，常数项为， 故选：A． 题型剖析 1．关于x的一元二次方程常数项为0，则k值为（　　） A．3 B． C． D．9 2．把方程化成一般形式是 ，其中 3．关于x的一元二次方程中不含x的一次项，则此方程的解为 ． 【易错点】忽视一元二次方程二次项系数不能为0的隐含条件 【详解】解：根据题意得，且， 解得且，∴，故选：B 【详解】解：∵一元二次方程中不含x的一次项， 即不含x的一次项， ∴，∴，∴原方程为， 解得：， 故答案为：． 针对训练 题型一 一元二次方程的基础 类型三 根据一元二次方程的定义求参数 例3．若关于的方程（为常数）是一元二次方程，则的取值范围为 ． 解题思路： 1）只含有一个未知数; 2）未知数的最高次数是2，且系数不为0； 3) 高于二次的项系数为0. 【易错】如果明确了为一元二次方程，就隐含了这个条件. 【详解】解：∵关于的方程（为常数）是一元二次方程， ∴， ∴； 故答案为：． 题型剖析 1．已知关于的方程 (1)为何值时，此方程是一元一次方程？ (2)为何值时，此方程是一元二次方程？并写出一元二次方程的二次项系数及常数项． 【详解】（1）解：由题意得：， ．当时此方程是一元一次方程； （2）由题意得：，． 当时，此方程是一元二次方程． 此一元二次方程的二次项系数为，常数项为m. 针对训练 题型一 一元二次方程的基础 类型四 一元二次方程的根及其应用 例4．若m是一元二次方程的一个实数根，则的值是（    ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 解题方法： 1）判断已知值是否为方程的根:分别将未知数的值代入原方程，看左右两边是否相等.相等则是，否则不是. 2）已知方程的根求字母的值:根据方程根的定义，将方程的根代入原方程求解，从而确定某些字母的取值或求出给定代数式的值. 【详解】解：∵m是一元二次方程 的一个实数根， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 题型剖析 1．若关于的一元二次方程有一个根为2025，则方程必有一个根为（   ） A．2024 B．2023 C．2022 D．2021 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有一个根为2025， ∴关于的一元二次方程有一个根为2025， 即，解得：，∴方程必有一个根为2024．故选：A． 2．若是方程的一个根，则代数式的值为 ． 【详解】解；∵m是方程的一个根， ∴，∴， ∴，故答案为：． 针对训练 3．若是方程的一个根，则的值为（　　） A． B． C． D． 【详解】解：是方程的一个根， ，，， ， ．故选：A． 4．先化简，再求值： ．其中m是方程的根 【详解】解：  ．         ∵是方程的根，∴，∴原式． 针对训练 考点二 解一元二次方程 解一元二次方程的基本思路：通过“__________”，将一元二次方程转化为_________一元一次方程，分别解两个一元一次方程，得到的两个解就是原方程的解. 1. 直接开平方法定义：先把方程化为 的形式，那么可得 .像这样利用_________的定义通过_____________求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法. 降次 两个 平方根 直接开平方 常见类型 结论 考点串讲 配方的实质：对一元二次方程进行变形，使其转化为能够直接开平方的形式，从而把一元二次方程转化成两个一元一次方程求解.即将方程化为 的形式，当m≥0时，直接用直接开平方法求解. 考点二 解一元二次方程 2. 配方法的定义：通过配成________形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法.用配方法解方程是以_______为手段，以______________为基础的一种解一元二次方程的方法. 完全平方 配方 直接开平方法 用配方法解一元二次方程的一般步骤： 1）移项：将常数项移到等号_______，含未知数的项移到等号______； 2）二次项系数化为1：如果二次项系数不是1，将方程两边同时除以____________； 3）配方：方程两边都加上一次项系数___________，把方程化为 的形式； 【易错点】在配方过程中忽视等式的性质而导致错误. 4）求解：利用直接开平方法求方程的解. 右边 左边 二次项系数 一半的平方 考点串讲 考点二 解一元二次方程 3. 公式法的定义：一般地，对于一元二次方程，当____________时，方程的实数根可以写为_____________________的形式，这个式子叫做一元二次方程的求根公式，这种解一元二次方程的方法叫做公式法. 【易错点】1）求根公式使用的前提条件是a≠0且 2）代入求根公式时，忽略系数前面的符号 4.因式分解法的定义：将一元二次方程因式分解，使方程化为两个一次因式_________等于0的形式，再使这两个一次因式分别等于0，从而实现降次，这种解法叫做因式分解法. 乘积 考点串讲 题型二 解一元二次方程 类型一 解一元二次方程 例1．若关于x的一元二次方程可以用直接开平方法解，则c的取值范围是（   ） A． B． C． D． 例2．用配方法解方程时，变形结果正确的是（   ） A． B． C． D． 例3．若是某个一元二次方程的一个根，则这个一元二次方程可以是（　　） A． B．C． D． A D 注意符号 A 题型剖析 1．若关于x的一元二次方程 的左边可以写成一个完全平方式，则常数m的值为（  ） A．7 B．7或 C．6 D．6或 【详解】解：∵， ∴，解得或， 即的值为或，故选：B． 2．的三边长都是方程的解，则的周长是（   ） A．4 B．5 C．3或5或6 D．3或4或5或6 【详解】解得，． ∴三角形的边长可能为1或2． ∴当边长为1，1，1时，，符合题意，∴周长为； 当边长为2，2，2时，，符合题意，∴周长为； 当边长为1，2，2时，，符合题意，∴周长为； 当边长为1，1，2时，此时，不满足两边之和大于第三边，不符合题意； 综上所述，的周长是3或5或6．故选：C． 注意三角形的三边关系 针对训练 3．已知关于的方程与的解完全相同，则常数的值为（　　） A． B． C．1 D．4 【解读】本题考查一元二次方程的解，根据两个方程解完全相同，确定根的和与积相等，进而求解参数． 【详解】解：方程的解为和， 方程的解为（需）， 因为两方程解完全相同，故根的和与积相等： ∴，解得：， ， 代入得：，解得，故选：B． 针对训练 【学会总结】选择一元二次方程解法的技巧 1)选择顺序:直接开方法→_________________→公式法→配方法 2)若方程为 型时，用_________________ 3)若方程右边为0，而左边易于分解成两个一次因式的积时，可用_________________ 4)若方程二次项系数为1，一次项系数为偶数，可用_________________ 5)若用直接开平方法和因式分解法不能求解时，可用_________________ 题型二 解一元二次方程 类型二 选用合适的方法解一元二次方程 例4．选用合适的方法解方程： (1)； (2)． (3) 因式分解法 直接开平方法 因式分解法 配方法 公式法 题型剖析 题型二 解一元二次方程 类型二 选用合适的方法解一元二次方程 例4．选用合适的方法解方程： (1)； (2)． (3) 解：（1）， ， ， ， ∴或， 解得，． （2）， ， ， ∴或， 解得，． （3） ，， 即 ∴， 题型剖析 1．用合适的方法解方程： (1)； (2)． (3) 解： （1） 配方，得，． ，； （2） ． ， ． ，或． ，． （3）原方程可化为． ，，， ， ， ，， 针对训练 题型二 解一元二次方程 类型二 配方法的应用-比较大小 例5．已知．若，，则与的大小关系是（   ） A． B． C． D． 解题方法：比较两个多项式的大小时，一般运用_________法，再利用________法确定差的正负. 例如，比较两个多项式A，B的大小可以运用作差法.若A-B＞0，则A____B；若A-B＜0，则A____B；若A-B=0，则A____B. 作差 配方 ＞ = ＜ 【详解】， ，，即，故选：A 题型剖析 1．我们知道：对于任何实数， ①，；②，． 请模仿上述方法解答： (1)求证：对于任何实数，都有； (2)不论为何实数，请通过运算，比较多项式与的值的大小． （1）证明：，； （2）解： ， ， ，． ． 针对训练 题型二 解一元二次方程 类型二 配方法的应用-求最值 例6．“”这个结论在数学中非常有用，有时我们需要将代数式配方，即可求出代数式的最大值或最小值． 例：． ，，即，的最小值为1． 参照以上方法，对于代数式的最值，下列说法正确的是（   ） A．最大值为13 B．最大值为 C．最小值为13 D．最小值为 解题方法： 若a＞0，则该多项式有最小值；若a＜0，则该多项式有最大值. 【详解】解： ∵ ∴ ∴，∴对于代数式的最值，最大值为13，故选：A． 题型剖析 1.在实数范围内，代数式的值不可能为（　　） A． B． C． D． 【详解】解：∵， ∴选项D不可能，故选：D． 2. 代数式的最小值是 ． 【详解】 = 因为任何数的平方都大于等于0， 所以 ，那么， 当，时，代数式取得最小值． 此时．综上，该代数式的最小值是．故答案为： 针对训练 【注意】 1）使用一元二次方程根的判别式时，应先将方程整理成一般形式，再确定a，b，c的方程； 2）当 时，方程有两个相等的实数根，不能说方程只有一个实数根. 一元二次方程根的情况与判别式的关系： 1） 方程 有两个_______________的实数根:； 2） 方程 有两个___________的实数根：； 3） 方程 _______________实数根. 一元二次方程根的判别式的定义：一般地，式子_____________叫做一元二次方程 根的判别式，通常用希腊字母Δ表示，即___________________. 考点三 根的判别式 不相等 相等 没有 考点串讲 题型三 根的判别式 类型一 不解方程，由根的判别式的正负性可直接判定根的情况 例1．下列一元二次方程中，有两个不相等的实数根的是（   ） A． B．C． D． 解题方法：一元二次方程根的情况由 确定. 易错点：取各项系数时未注意前面的符号. 【详解】解：A：，，，，无实数根； B：，，，，有两个相等实数根； C：，，，，无实数根； D：，，，，有两个不相等实数根；故选：D． 题型剖析 1．关于一元二次方程的根的情况，下列说法正确的是（    ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．只有一个实数根 2．定义运算：．例如：．则方程的根的情况为（   ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．无实数根 D．无法确定 3．不解方程，判断一元二次方程的根的情况是 ． 【详解】解：方程，其中 判别式，由于，方程有两个不相等的实数根，故选：B． 【详解】解：根据定义，将原方程整理为： ∵，∴方程无实数根．故选C． 有两个不相等的实数根 针对训练 题型三 根的判别式 类型二 根据方程根的情况，确定方程中字母的系数的取值范围 例2．关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是 ． 【解题方法】解决此类问题的关键是熟练掌握： 1）当时，方程有两个不相等的实数根； 2）当时，方程有两个相等的实数根； 3）当时，方程没有实数根． 【易错点】 1）一元二次方程有解分两种情况：①有两个相等的实数根；②有两个不相等的实数根． 2）一元二次方程根的判别式只运用于一元二次方程，当无法判定方程是不是一元二次方程时应对方程进行分类讨论. 【详解】解：∵关于的一元二次方程有实数根， ∴， 解得：， 故答案为：． 题型剖析 1．若关于x的一元二次方程无实数根，则c的取值范围是 ． 2．若关于x的方程有两个实数根，则a的取值范围为 ． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程无实数根， ∴， 解得：．故答案为：． 【易错点】忽视根的判别式的使用前提. 【详解】解：∵关于x的方程有两个实数根， ∴，且，∴且． 故答案为：且 针对训练 题型三 根的判别式 类型三 应用判别式证明方程根的情况 例3．已知关于的一元二次方程，求证：该方程一定有两个实数根． 【详解】证明：，，， ， 该方程一定有两个实数根． 题型剖析 1．已知关于x的一元二次方程． (1)求证：无论m取何值，原方程总有两个实数根； (2)若方程有一根不小于2，求m的取值范围． 【详解】（1）解：∵关于x的一元二次方程， ∴， ∴， ∵，∴，∴无论m取何值，原方程总有两个实数根； （2）解：∵， ∴，∴，， ∵方程有一根不小于2，∴，解得：， ∴m的取值范围：． 针对训练 2．【热考】已知关于x的一元二次方程． (1)求证：无论k取任何实数值，方程总有实数根； (2)若等腰的一边长为6，另两边长恰好是这个方程的两个根，求的周长． 【考情分析】根的判别式与几何的综合问题在中考及各类数学考试中较为常见，通常将一元二次方程根的判别式与几何图形的性质相结合，旨在考查学生综合运用代数与几何知识解决问题的能力。以下是具体的考情分析： 与三角形结合：常以等腰三角形、直角三角形为背景。如已知等腰三角形的一边长，另外两边长是某一元二次方程的两个根，利用根的判别式求出方程中参数的取值，再根据三角形三边关系确定三角形的边长，进而求出周长；或已知直角三角形的斜边，两条直角边是方程的两根，通过根的判别式及勾股定理求解相关问题。 与四边形结合：常见的是平行四边形，如已知平行四边形的两边长是关于某一元二次方程的两根，根据平行四边形边的性质，结合根的判别式求方程中参数的值或取值范围，有时也会涉及到四边形的周长、面积等相关计算。 （1）证明：， ∴无论取何值，方程总有实数根； （2）设 ，另两边长为、， ①若为底边，则，为腰长，则则，解得：， 此时原方程化为，即， 此时三边为，，不能构成三角形，故舍去； ②若为腰， 则，中一边为腰，不妨设，代入方程：，解得或， 则原方程化为或解得或，即 或 ， 此时三边为， ， 或，， 能构成三角形，周长为或． 针对训练 【补充说明】 1）一元二次方程的根与系数的关系又称之为“韦达定理”； 2）一元二次方程根与系数关系的使用条件：. 3）运用根与系数的关系和运用根的判别式一样，都必须先把方程化为一般形式，以便正确确定a、b、c的值. 一元二次方程根与系数的关系：若一元二次方程 的两个根是 ，则有：+＝________，＝________.特别地，如果方程 的两个根为 ，则有+＝_______， ＝_________ 考点四 根与系数的关系 考点串讲 题型四 根与系数的关系 类型一 不解方程，已知方程一个根，求另一个根 例1．已知2是方程的一个根，则另一个根为 ． 【解题方法】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系．设另一个根为a，根据一元二次方程根与系数的关系可得，即可求解． 【详解】解：设另一个根为a，根据题意得：， ∴．故答案为：3 1．关于x的方程有一根，那么这个方程的另一个根是____,k的值为_____ 【详解】解：∵关于x的方程有一根，设另一个根为 ∴， 解得：， ∴k= -5 题型剖析 题型四 根与系数的关系 类型二 利用根与系数的关系求解 例2．已知关于t的一元二次方程的两根分别为m，n，则的值为 ． 【详解】解：根据一元二次方程的根与系数的关系，得， 所以 1．已知方程的两根分别为，，则的值为 ． 【详解】解：由题意，得：， ∴；故答案为：． 题型剖析 题型四 根与系数的关系 类型三 已知方程两个根满足某种关系，确定方程中字母系数的值或取值范围 例3．已知关于x的一元二次方程有两个同正的实数根，则m的取值范围是 ． 【解题方法】 1）一元二次方程有两个正实数根；两根之和大于0，两根之积大于0. 2）一元二次方程有两个负实数根：两根之和小于0，两根之积大于0. 【详解】解：一元二次方程有两个的实数根， ，， 两个实数根同正，，， ， m的取值范围是是． 题型剖析 1．已知关于x的一元二次方程有两个实数根，． (1)求m的取值范围； (2)当时，求m的值． 【详解】（1）解：由题意得，，且 ∴且； （2）由题意得，，， ∵， ∴，即， 整理得：，解得：或（舍）， ∴． 针对训练 2．关于的方程为，其中为实数． (1)判断方程根的情况，并说明理由． (2)当原方程的两根满足时，求的值． 【详解】（1）方程总有两个不相等的实数根． 理由：原方程为一元二次方程． 方程总有两个不相等的实数根． （2）解：由根系关系，得． ， 配方，得． 整理，得解得，或． 针对训练 3．已知关于x的一元二次方程． (1)求证：无论m取何值，此方程总有两个不相等的实数根； (2)若，是该方程的两根，且满足，求m的值． 【详解】（1）证明： ， 故无论m取何值，原方程总有两个不相等的实数根； （2）解：，， ， ， ， ，． 故m的值为或． 针对训练 考点五 实际问题与一元二次方程 用一元二次方程解决实际问题的步骤： 审：理解并找出实际问题中的等量关系； 设：用代数式表示实际问题中的基础数据； 列：找到所列代数式中的等量关系，以此为依据列出方程； 解：求解方程； 验：考虑求出的解是否具有实际意义； 答：实际问题的答案. 考点串讲 题型五 实际问题与一元二次方程 类型一 传播问题 例1．春季流感爆发，有一人患了流感，经过两轮传染后共有人患了流感． (1)每轮传染中平均一个人传染了几个人？ (2)经过三轮传染后共有多少人患了流感？ 解题策略：传染源+第一轮被传染数+第二轮被传染数=第二轮被传染的总数. 【详解】（1）设每轮传染中平均一个人传染了个人， 根据题意得：， ，（不合题意，舍去）， 每轮传染中平均一个人传染了个人； （2）（人）， 答：经过三轮传染后共有人会患流感． 题型剖析 类型二 循环问题 题型五 实际问题与一元二次方程 例2．作为国内围棋顶级职业联赛，2025“三国赤壁古战场杯”中国围棋甲级联赛吸引了众多爱好者关注．联赛采用循环赛制．每支队伍需与其余所有队伍各赛一场，充分展现各队实力．已知本次联赛共进行了120场激烈对决，求有多少支参赛队伍？ 【详解】解：设有支参赛队伍 解得（舍去） 答：有16支参赛队伍 解题方法： 1）若甲乙两个个体，要考虑顺序的话，也就是说，甲碰面乙和乙碰面甲应算作两次碰面. 2）若甲乙两个个体，不考虑顺序的话，也就是说，甲碰面乙和乙碰面甲是一样的，算作一次碰面. 常见类型：双循环/单循环比赛，互送贺卡，握手等. 题型剖析 类型三 变化率问题 题型五 实际问题与一元二次方程 例3．某电冰箱生产企业原生产一台电冰箱的能耗为，为了响应“十四五计划”国家关于生产总值能源消耗降低的目标，该企业自年开始进行技术改革，计划到年实现生产一台电冰箱的能耗不超过的目标． (1)实际到年，该企业生产一台电冰箱的能耗降低到，求该企业从年到年生产一台电冰箱能耗的年平均降低率； (2)年是“十四五计划”的收官之年，按照（1）中的年平均降低率，该企业能否实现原定目标？ 【详解】（1）设该企业从年到年生产一台电冰箱能耗的年平均降低率为， 根据题意得：， 解得：，不合题意，舍去， 答：该企业从年到年生产一台电冰箱能耗的年平均降低率为； （2）根据题意可知，年生产一台电冰箱的能耗为， ，该企业能实现原定目标． 题型剖析 解题方法： 1）商品现在售价为m元，销量为p，售价每增加n元，销量减少q，则售价增加t元后的销量为: ，售价为: . 2）商品现在售价为m元，销量为p，售价每减少n元，销量增加q，则售价减少t元后的销量为: ，售价为:. 类型四 销售利润问题 题型五 实际问题与一元二次方程 例4．“端午杨梅挂篮头，夏至杨梅满山头”．端午期间，某水果店以每千克60元的价格出售杨梅，每天可卖出150千克，后期因杨梅的大量上市，水果店决定采用降价促销的方式吸引顾客，若已知杨梅售价每千克下降1元，则每天能多售出3千克（同一天中售价不变）． (1)设售价每千克下降元，则每天能售出_______千克（用含的代数式表示）； (2)当杨梅每千克售价为多少元时，每天能获得9072元的销售额； （2）解∶ 设售价每千克下降元 由题意得： 整理得： 解得：， ∴或 答：每千克售价为54元或56元时，每天能获得9072元的销售额 题型剖析 类型四 销售利润问题 题型五 实际问题与一元二次方程 例4．“端午杨梅挂篮头，夏至杨梅满山头”．端午期间，某水果店以每千克60元的价格出售杨梅，每天可卖出150千克，后期因杨梅的大量上市，水果店决定采用降价促销的方式吸引顾客，若已知杨梅售价每千克下降1元，则每天能多售出3千克（同一天中售价不变）． (3)水果店定了“每天售出杨梅的销售额为10000元”的“小目标”，按题目的条件能否达成这个“小目标”？若能达成，求出达成时的售价；若不能达成，请说明理由． （3）解∶ 按题目的条件不能达成这个“小目标”，理由如下： 设售价每千克下降元 由题意得： 整理得： ∴ ∴不能达到这个“小目标”． 题型剖析 例5．在劳动实践活动中，小亮同学想用木栅栏为班级围一块矩形形状的花园，花园背靠着学校院墙，购买了米的木栅栏，如图所示． (1)若，，直接写出y与x的函数关系式； (2)若要围出的矩形的面积为平方米，求的长为多少米？ (3)若要围出的矩形的面积为平方米，他的这个想法能实现吗？请说明理由． 类型五 几何问题 题型五 实际问题与一元二次方程 【详解】（1）解：∵木栅栏长20米，； （2）∵矩形的面积为平方米，列方程得： 解得：米； （3）∵矩形的面积为平方米，列方程得： ，整理得， ，方程无实根， 因此他的想法不能实现． 解题方法：几何图形问题，一般是从面积(或体积)等方面找相等关系，规则的几何图形直接利用面积(或体积)公式列方程即可，不规则图形一般通过分割或组合成规则图形，再运用规则图形的面积(或体积)公式列方程. 题型剖析 类型六 动态几何问题 题型五 实际问题与一元二次方程 例6．如图，在中，，，，点从点开始沿边向终点以的速度移动．与此同时，点从点开始沿边向终点以的速度移动．点、分别从点，同时出发，当点移动到点时，两点停止移动．设移动时间为 ． (1)填空：___________，___________；（用含的代数式表示） (2)是否存在的值，使得的面积为？若存在请求出此时的值；若不存在，请说明理由． 【详解】（1）解：由题意得：，， 故答案为：，； （2）解：存在，理由如下： 由题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 存在的值，使得的面积等于，此时的值为1． 题型剖析 1．某云平台的网络安全事件中，最初有4台服务器遭受攻击并感染病毒．两轮传播后共有196台服务器被控制，则每轮中平均每台服务器传播设备的台数为 ． 6 2．小王家今年月份的用电量情况如图所示，则月到月之间月用电量的增长率为 ． 10% 3．已知两个连续正奇数的积是，设其中较小的正奇数是x，可列方程 ． 4．某学习小组为了在学习上更好地互帮互助，每位组员都给同组的其他同学各提一条建议，该小组一共收到72条建议．若设这个小组有人，则应列方程为 ． 针对训练 5．某文具店销售一种每个进价是12元的口风琴．经调查发现，当每个口风琴的售价为20元时，平均每天能够售出8个；售价每降低0.5元，平均每天能多售出4个．现在，该文具店希望这种口风琴每天的销售利润为144元，并且要尽可能多地让利给消费者，那么每个口风琴的定价应该是 元． 【详解】解：设每个口风琴的定价应该是元， ，解得：，， ∵尽可能多地让利给消费者，∴，故答案为：． 6．用一面足够长的墙为一边，其余各边用总长42米的围栏，建成如图所示的黄河特色文化生态园，中间用围栏隔开．由于场地限制，垂直于墙的一边长不超过7米（围栏自身的宽忽略不计）．若生态园的面积为144平方米，生态园垂直于墙的边长 米． 【详解】解：设生态园垂直于墙的边长为x米，则平行于墙的边长为米， 依题意，得，解得，， ∵，∴不合题意，舍去，符合题意， 答：生态园垂直于墙的边长为6米． 针对训练 题型一 整体换元法 1．请运用“整体换元法”解方程：(1)． (2)． 【详解】（1）解：设， 则原方程可化为， 解得． 当时，； 当时，，此方程无解． 综上所述，原方程的解为． （2）解：设，则原方程可化为， 解得． 当时，； 当时，． 综上所述，原方程的解为． 重难点突破 题型一 整体换元法 2．解方程：(1)(2) 【详解】（1）设， 则原方程可化为， 解得， 当时，， ， 解得， 当时，，此方程无解， 所以经检验原方程的解为； （2）当时，或， 所以， 整理得， 解得， 当时，， 所以， 整理得， 解得（舍去），， 综上所述，原方程的解为． 重难点突破 题型二 新定义问题 1．对于实数定义新运算：※．例如：3※ ，若关于的方程※有两个不相等的实数根，则的取值范围是 ． 【详解】解： ※，，即． 关于的方程※有两个不相等的实数根，， 解得．故答案为：． 2．在实数范围内定义运算“”和“”，其规则为：，，则方程的解为 ． 【详解】解： 变形 ， 故答案为：． 重难点突破 题型二 新定义问题 3．定义：若是方程的两个整数根，且满足，则称此类方程为“差1方程”．例如：是“差1方程”． (1)下列方程是“差1方程”的是______ ；（填序号） ①；②；③． (2)若方程是“差1方程”，求的值． ② （2）解： ， 解得：，. ∵方程为“差方程”，m为整数， ∴， 解得：或． 重难点突破 一、易错点分析 1. 忽略一元二次方程中二次项系数a≠0的条件，在解题过程中导致错误。 2. 在使用求根公式时，计算错误，特别是符号错误和开方错误。 3. 在应用根与系数关系时，忘记先判断方程是否有实数根。 4. 在因式分解法中，分解不彻底或错误分解导致无法正确求解方程。 二、本章热考题型 1. 求解一元二次方程：根据不同方程的特点，选择合适的解法求解方程。 2. 判断方程根的情况：利用根的判别式判断一元二次方程的实数根的个数。 3. 已知方程根的情况求参数取值范围：根据根的判别式的符号或根与系数的关系，建立关于参数的不等式或方程，求解参数的取值范围。 4. 根与系数关系的应用：已知方程的一个根或两根的关系，求方程的另一个根或参数的值；利用根与系数的关系求代数式的值等。 课堂总结 三、学习方法建议 1. 理解概念本质：深入理解一元二次方程的概念、解法和相关定理，掌握其内涵和外延，避免概念混淆。 2. 多做练习：通过大量的练习，熟练掌握各种解法的步骤和技巧，提高解题速度和准确性。同时，要注意总结解题经验和规律，形成自己的解题思路和方法。 3. 归纳总结：对重点题型和易错点进行归纳总结，分析错误原因，找出解决方法，避免重复犯错。 4. 建立知识联系：将一元二次方程与其他数学知识（如函数、不等式等）联系起来，形成知识网络，提高综合运用知识的能力。 课堂总结 感谢聆听! $$