4.2线段的垂直平分线（题型专练）数学青岛版2024八年级上册

4.2线段的垂直平分线 （5大题型基础达标练+能力提升练+拓展培优练） 题型一 垂直平分线的性质的应用 题型二 垂直平分线的判定的应用 题型三 垂直平分线的性质与判定的综合应用 题型四 尺规作图：作一条线段的垂直平分线 题型五 尺规作图：过一点作一条直线的垂线 题型一 垂直平分线的性质的应用 1．如图，D为上一点，垂直平分交于点E，已知，，则的长为（   ） A．3 B．5 C．8 D．18 2．如图，在中，E为的中点，交于点D，若的周长为26，，则 3．如图，在中，，是上的一点，O是上一点，且，若，则的长为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．如图，在中，是的垂直平分线，若，，求的周长． 5．如图，在四边形中，，，，点在的延长线上，连接交于点，连接，且垂直平分． (1)求证：； (2)求的长． 题型二 垂直平分线的判定的应用 1．如图，与相交于点，，，． 求证： (1)； (2)垂直平分． 2．风筝起源于东周春秋时期，距今已2000多年，到了宋代的时候，放风筝成为人们喜爱的户外活动．如图1，小祺制作了一个风筝．风筝的骨架示意图如图2所示，其中，．求证：垂直平分． 3．如图，已知，与相交于点E． (1)请你添加一个条件使，并加以证明， (2)在第（1）问的条件下延长、交于点P，直线是线段的垂直平分线吗？如果是，请证明；如果不是，请说明理由． 4．如图，在中，，是的角平分线， (1)尺规作图：求作的高线； (2)在（）的条件下，连接，求证：垂直平分． 题型三 垂直平分线的性质与判定的综合应用 1．已知两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．如图，四边形是一个筝形，其中，，在探究筝形的性质时，得出如下结论： ①；②；③；④，其中正确的结论有 ．（填序号） 2．如图，在中，点D是的中点，连接，垂直平分，垂足为E，F是的中点，连接，求证：是的垂直平分线．    3．如图，在中，的垂直平分线交于点M，交于点D，的垂直平分线交于点N，交于点E，与相交于点O，的周长为10． (1)求的长； (2)试判断点O是否在边的垂直平分线上，并说明理由． 4．如图，在中，是边上的高，的垂直平分线交于点，且，求证：． 题型四 尺规作图：作一条线段的垂直平分线 1．如图，在中，请根据尺规作图的痕迹，若，则的长为（　　） A．2 B．3 C．4 D．6 2．如图，已知，为边上一点，请用尺规作图的方法在上求作一点，使．（保留作图痕迹，不写作法） 3．如图，设三点表示三个村庄，为了解决村民子女就近入学问题，计划新建一所小学，要求三个村庄到学校的距离相等．请你通过尺规作图，在图中画出学校的位置．（保留作图痕迹，不写作法） 题型五 尺规作图：过一点作一条直线的垂线 1．观察图中尺规作图的痕迹，可得线段一定是的（    ） A．角平分线 B．高线 C．中位线 D．中线 2．如图，在中，请用尺规作图法，作边上的高．（保留痕迹，不写作法） 3．作图题：请尺规作图，不写做法，保留作图痕迹．已知，在边上求作一点P，使最短． 4．已知：射线，垂足为点O，点C是射线上一点． 求作：直线，使．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） 结论： 1．如图，在中，，，，EF垂直平分AC，点P为直线EF上一动点，则周长的最小值是（   ） A．8.5 B．9 C．12.5 D．15 2．作图题：（不写画法，保留作图痕迹） 如图，在小河的同旁有甲、乙两个村庄，现计划在河岸上建一个水泵站，向甲、乙两村供水，用以解决村民用水问题．    (1)如果要求水泵站到甲、乙两个村庄的距离相等，请你在图①中，确定水泵站M在河岸上建造的位置． (2)如果要求水泵站到甲、乙两个村庄的供水管道使用的建材最省，请你在图②中，确定水泵站M在河岸上建造的位置． 4．如图，是的角平分线，，，垂足分别是E，F，连接，与相交于点G． (1)求证：是的垂直平分线； (2)若，，求的面积． 5．画图题：如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的三个顶点A，B，C都在格点上，分别按下列要求在网格中作图： (1)画出关于直线l成轴对称的，并求的面积______． (2)在直线l上画出点P，使得最小． (3)在直线l上画出点Q，使得最小． 1．阅读下列材料，完成相应任务． 作一条直线平分三角形周长 尺规作图：如图1，已知．求作一条直线l，使直线l平分的周长． 分析：直线l平分的周长，那么l与相交，l可能经过的某一个顶点，也可能不经过任何顶点， 情况1：直线l经过点A． 如图2，第一步，在的延长线上截取，在的延长线上截取； 第二步，分别以点M和点N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于E，F两点，作直线，交于点D； 第三步，作直线平分的周长，即所求直线l． 情况2：直线l经过边上的点P …… (1)任务一：根据情况1中第二步的作图步骤及作图痕迹，证明直线是线段的垂直平分线； (2)任务二：类比情况1，请在图3中作一条直线l使直线l经过点P，且平分的周长．（要求保留作图痕迹，不写过程） (3)任务三：以上作图过程主要体现数学思想有 ． A．转化思想                    B．分类思想 C．从特殊到一般思想            D．类比思想 2．【知识生成】 我们在第一章已经学习了完全平方公式，，请结合完全平方公式解决以下问题： 【直接运用】 （1）若，则_____； 【转化应用】 （2）如图，已直角三角形和直角三角形中，，连接，点E是的垂直平分线与的交点，连接． ①试说明：； ②设，且．已知，求． 3．综合与实践 【模型背景】相传，有一位将军拜访古希腊数学家海伦，求教一个百思不得其解的问题：如图①，将军从A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地，到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？海伦利用轴对称的知识回答了这个问题，这个问题后来被称为“将军饮马问题”． 【模型解决】如图①，小明将A，B两地抽象为两个点，将河l抽象为一条直线．如图②，小明作点B关于直线l的对称点，连结与直线l交于点C，点C就是饮马的地方，此时所走的路程就是最短的，小明对此进行了说明，以下是说明过程： 如图③，在直线l上另取任意一点（与点C不重合），连接，，． 点B与点关于直线l对称， 直线l是的垂直平分线． ________，________， = ． 在中，， ，即最小． “将军饮马”问题本质上是运用转化思想，通过对称变换将直线l“同侧”两点距离之和最小这一难于解决的问题，转化为直线l“异侧”线段距离问题解决．小明在说明这个问题的过程中，用到的数学依据是________． 请你完成上面填空． 【模型应用】如图④，在中，直线m是边的垂直平分线，点P是直线m上的动点．若，，，则周长的最小值为________． 【模型拓展】如图⑤，已知，P为内一定点，上有一点A，上有一点B，当的周长取最小值时，的大小是为________度． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 4.2线段的垂直平分线 （5大题型基础达标练+能力提升练+拓展培优练） 题型一 垂直平分线的性质的应用 题型二 垂直平分线的判定的应用 题型三 垂直平分线的性质与判定的综合应用 题型四 尺规作图：作一条线段的垂直平分线 题型五 尺规作图：过一点作一条直线的垂线 题型一 垂直平分线的性质的应用 1．如图，D为上一点，垂直平分交于点E，已知，，则的长为（   ） A．3 B．5 C．8 D．18 【答案】A 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，利用线段垂直平分线的性质求出，然后利用线段和差关系求解即可． 【详解】解：∵垂直平分交于点E，， ∴， 又， ∴， 故选：A． 2．如图，在中，E为的中点，交于点D，若的周长为26，，则 【答案】8 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，解题的关键是掌握垂直平分线上的点到两端距离相等． 先推出，结合三角形的周长，即可得出，即可解答． 【详解】解：∵E为的中点，， ∴垂直平分， ∴， ∵的周长为， ∴， ∵， ∴， 故答案为：8． 3．如图，在中，，是上的一点，O是上一点，且，若，则的长为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了垂直平分线的判定与性质，先根据，，得出直线是线段的垂直平分线，结合垂直平分线的性质，即可作答． 【详解】解：∵， ∴直线是线段的垂直平分线， ∴是的中点 ∴ 故选：B 4．如图，在中，是的垂直平分线，若，，求的周长． 【答案】13 【分析】本题考查垂直平分线的性质，根据垂直平分线的性质可得，进而可得，即可求解． 【详解】解：∵是的垂直平分线， ∴， ∴， 故答案为：13． 5．如图，在四边形中，，，，点在的延长线上，连接交于点，连接，且垂直平分． (1)求证：； (2)求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质、全等三角形的判定与性质、平行线的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由线段垂直平分线的性质可得，由平行线的性质可得，最后利用“”即可证明； （2）由全等三角形的性质得出，推出，再由线段垂直平分线的性质即可得出答案． 【详解】（1）证明：∵垂直平分， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：由（1）可得， ∴， ∴， ∵垂直平分， ∴． 题型二 垂直平分线的判定的应用 1．如图，与相交于点，，，． 求证： (1)； (2)垂直平分． 【答案】(1)见解析； (2)见解析． 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，线段的垂直平分线的判定等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题． （1）证明，可得结论； （2）根据线段的垂直平分线的判定解决问题即可． 【详解】（1）证明：在与中， ， ∴， ∴． （2）证明：由（1）得， ∴， ∴点O在线段的垂直平分线上， ∵， ∴点E在线段的垂直平分线上， ∴垂直平分． 2．风筝起源于东周春秋时期，距今已2000多年，到了宋代的时候，放风筝成为人们喜爱的户外活动．如图1，小祺制作了一个风筝．风筝的骨架示意图如图2所示，其中，．求证：垂直平分． 【答案】见解析 【分析】此题考查了垂直平分线的判定，全等三角形的性质和判定， 首先证明出，得到，然后结合即可得到垂直平分． 【详解】∵，， ∴ ∴ 又∵ ∴垂直平分． 3．如图，已知，与相交于点E． (1)请你添加一个条件使，并加以证明， (2)在第（1）问的条件下延长、交于点P，直线是线段的垂直平分线吗？如果是，请证明；如果不是，请说明理由． 【答案】(1)添加条件为：，证明见解析 (2)是，证明见解析 【分析】此题考查了全等三角形的性质和判定，垂直平分线的判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点． （1）添加条件为：，然后证明出即可； （2）延长、交于点P，根据题意证明出，得到，，判断出点E在的垂直平分线上，然后证明出，得到，判断出点P在的垂直平分线上，即可证明直线是线段的垂直平分线． 【详解】（1）添加条件为： ∵，， ∴； （2）是，证明如下： 如图所示，延长、交于点P， ∵ ∴ ∵， ∴ ∴， ∴点E在的垂直平分线上 ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴点P在的垂直平分线上 4．如图，在中，，是的角平分线， (1)尺规作图：求作的高线； (2)在（）的条件下，连接，求证：垂直平分． 【答案】(1)作图见解析 (2)证明见解析 【分析】本题考查了经过一点作已知直线的垂线，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定，掌握以上知识点是解题的关键． （）过点作的垂线即可； （）证明，得到，，再根据线段垂直平分线的判定即可求证； 【详解】（1）解：如图所示，线段即为所求； （2）证明：由（）得是的高线， ∴， ∴， ∵， ∴, ∵是的角平分线， ∴, 在和中, ， ∴， ∴，， ∴点在的垂直平分线上，点在的垂直平分线上， ∴垂直平分． 题型三 垂直平分线的性质与判定的综合应用 1．已知两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．如图，四边形是一个筝形，其中，，在探究筝形的性质时，得出如下结论： ①；②；③；④，其中正确的结论有 ．（填序号） 【答案】3 【分析】本题考查了全等三角形的判定，垂直平分线的判定，根据即可求证，即可判断①；根据，可得垂直平分，即可判断②③；根据，即可判断④． 【详解】解：在和中， ， ∴，故①正确，符合题意； ∵，， ∴垂直平分， 即，故②③正确，符合题意； ，故④不正确，不符合题意； 综上：正确的有①②③． 故答案为：3． 2．如图，在中，点D是的中点，连接，垂直平分，垂足为E，F是的中点，连接，求证：是的垂直平分线．    【答案】证明过程见详解 【分析】本题主要考查线段垂直平分线的判定和性质，利用条件证得是解题的关键． 由垂直平分，可得，由D为中点，则可得，且F为的中点，则可证得结论． 【详解】证明：垂直平分， ， ∵D为的中点， ， ， ∵F为的中点， 即, 垂直平分． 3．如图，在中，的垂直平分线交于点M，交于点D，的垂直平分线交于点N，交于点E，与相交于点O，的周长为10． (1)求的长； (2)试判断点O是否在边的垂直平分线上，并说明理由． 【答案】(1) (2)点在边的垂直平分线上，理由见解析 【分析】此题考查了线段垂直平分线的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用． （1）根据线段垂直平分线的性质得到，同理，于是得到结论； （2）连接，，，根据线段垂直平分线的性质与判定即可得到结论． 【详解】（1）垂直平分， ， 同理， ； （2）点在边的垂直平分线上， 理由：连接，，， 与是，的垂直平分线， ，， ， 点在边的垂直平分线上． 4．如图，在中，是边上的高，的垂直平分线交于点，且，求证：． 【答案】见解析 【分析】连接，根据垂直平分线的判定和性质，证明即可． 本题考查了线段垂直平分线的判定和性质，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 【详解】证明：连接， ∵，， ∴直线是线段的垂直平分线， ∴， ∵的垂直平分线交于点， ∴， ∴， ∵， ∴． 题型四 尺规作图：作一条线段的垂直平分线 1．如图，在中，请根据尺规作图的痕迹，若，则的长为（　　） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】C 【分析】本题考查了作垂线，垂直平分线的性质等知识．熟练掌握作垂线，垂直平分线的性质是解题的关键． 由作图过程可知：是线段的垂直平分线，根据，求解作答即可． 【详解】解：由作图过程可知：是线段的垂直平分线， ∴， 故选：C． 2．如图，已知，为边上一点，请用尺规作图的方法在上求作一点，使．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见详解 【分析】作的垂直平分线交于点，则，所以．本题考查了作图复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了线段垂直平分线的性质． 【详解】解：作的垂直平分线交于点，如图， 则点为所作．    3．如图，设三点表示三个村庄，为了解决村民子女就近入学问题，计划新建一所小学，要求三个村庄到学校的距离相等．请你通过尺规作图，在图中画出学校的位置．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了基本作图．根据线段的垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，故作出的垂直平分线相交于点P，则点P是所求的点． 【详解】解：如图，点P就是学校的位置． ． 题型五 尺规作图：过一点作一条直线的垂线 1．观察图中尺规作图的痕迹，可得线段一定是的（    ） A．角平分线 B．高线 C．中位线 D．中线 【答案】B 【分析】本题考查的是三角形的高的定义，作线段的垂线，根据作图痕迹可得，从而可得答案． 【详解】解：由作图可得：， ∴线段一定是的高线； 故选B 2．如图，在中，请用尺规作图法，作边上的高．（保留痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【分析】根据三角形的高的定义以及垂线的作图方法画图即可． 【详解】解：如图，即为所求． 3．作图题：请尺规作图，不写做法，保留作图痕迹．已知，在边上求作一点P，使最短． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了基本作图−作垂线，过点A作的垂线段即可，熟练掌握五种基本作图是解决此题的关键． 【详解】如图，过点A作的垂线段，由垂线段最短知，此时最短， ∴点即为所求． 4．已知：射线，垂足为点O，点C是射线上一点． 求作：直线，使．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） 结论： 【答案】见解析 【分析】过C点作的垂线即可．此时，则∵，即．本题考查了作图−复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了平行线的性质． 【详解】解：如图，为所作． 1．如图，在中，，，，EF垂直平分AC，点P为直线EF上一动点，则周长的最小值是（   ） A．8.5 B．9 C．12.5 D．15 【答案】B 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，掌握垂直平分线的性质是解题的关键．设交于点，连接，，根据垂直平分线的性质得出，，当点与点重合时，的周长最小，据此即可求解． 【详解】解：如图所示，设交于点，连接，， 垂直平分， ，， 的周长为： ， 当点与点重合时，的周长最小， ，， 的周长最小值为：， 故选：B 2．作图题：（不写画法，保留作图痕迹） 如图，在小河的同旁有甲、乙两个村庄，现计划在河岸上建一个水泵站，向甲、乙两村供水，用以解决村民用水问题．    (1)如果要求水泵站到甲、乙两个村庄的距离相等，请你在图①中，确定水泵站M在河岸上建造的位置． (2)如果要求水泵站到甲、乙两个村庄的供水管道使用的建材最省，请你在图②中，确定水泵站M在河岸上建造的位置． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，轴对称的性质，熟练掌握性质是解答本题的关键． （1）连接甲、乙两点，作线段的垂直平分线，与的交点即为点M． （2）作甲关于的对称点，连接对称点和另一点，与的交点即为点M． 【详解】（1）如图①，点M即为所求；    （2）如图②，点M即为所求．    3．如图，在中，，点D、E分别在边上，，． (1)求证：； (2)连接，如果．求证：点F在的垂直平分线上． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定，熟记全等三角形的判定定理与性质定理是解题的关键． （1）利用证明，根据全等三角形的性质即可得证； （2）根据直角三角形的性质求出，利用证明，根据全等三角形的性质求出，结合即可得证． 【详解】（1）证明：∵， ∴是直角三角形， 在和中， ， ∴， ∴； （2）∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴点F在的垂直平分线上． 4．如图，是的角平分线，，，垂足分别是E，F，连接，与相交于点G． (1)求证：是的垂直平分线； (2)若，，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)9 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定等知识，解题的关键是： （1）根据证明，得出，，然后根据线段垂直平分线的判定即可得证； （2）根据割补法求解即可． 【详解】（1）证明：∵是的角平分线， ∴， ∵，， ∴， 又， ∴， ∴，， ∴A、D都在的垂直平分线上， ∴是的垂直平分线； （2）解：∵，， ∴ ． 5．画图题：如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的三个顶点A，B，C都在格点上，分别按下列要求在网格中作图： (1)画出关于直线l成轴对称的，并求的面积______． (2)在直线l上画出点P，使得最小． (3)在直线l上画出点Q，使得最小． 【答案】(1)图见解析；6 (2)图见解析 (3)图见解析 【分析】本题考查作图-轴对称变换、三角形的面积、轴对称-最短路线问题，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键． （1）根据轴对称的性质作图即可；利用割补法求三角形的面积即可． （2）连接，交直线l于点P，则点P即为所求． （3）作线段的垂直平分线，与直线l相交于点Q，则点Q即为所求． 【详解】（1）解：如图，即为所求． 的面积为： 故答案为：6． （2）解：如图，连接，交直线l于点P，连接， 根据轴对称性质可知：， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴此时最小，即最小， 则点P即为所求． （3）解：如图，作线段的垂直平分线，与直线l相交于点Q，则点Q即为所求． 根据线段垂直平分线的性质可知：， ∴， ∴此时最小． 1．阅读下列材料，完成相应任务． 作一条直线平分三角形周长 尺规作图：如图1，已知．求作一条直线l，使直线l平分的周长． 分析：直线l平分的周长，那么l与相交，l可能经过的某一个顶点，也可能不经过任何顶点， 情况1：直线l经过点A． 如图2，第一步，在的延长线上截取，在的延长线上截取； 第二步，分别以点M和点N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于E，F两点，作直线，交于点D； 第三步，作直线平分的周长，即所求直线l． 情况2：直线l经过边上的点P …… (1)任务一：根据情况1中第二步的作图步骤及作图痕迹，证明直线是线段的垂直平分线； (2)任务二：类比情况1，请在图3中作一条直线l使直线l经过点P，且平分的周长．（要求保留作图痕迹，不写过程） (3)任务三：以上作图过程主要体现数学思想有 ． A．转化思想                    B．分类思想 C．从特殊到一般思想            D．类比思想 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)ABCD 【分析】本题考查了尺规作图---作垂线，线段垂直平分线的判定等知识点： （1）由作图得，，则点E在线段的垂直平分线上，点F在线段的垂直平分线上，即可证明； （2）截取；截取；截取；作的垂直平分线；连接直线即可； （3）根据题干和解析过程即可判断． 【详解】（1）证明：∵ ∴点E在线段的垂直平分线上， ∵ ∴点F在线段的垂直平分线上， ∴是线段的垂直平分线； （2）解：截取；截取；截取；作的垂直平分线；连接直线，则点即为所求： （3）解：以上作图过程主要体现数学思想有转化思想、分类思想、从特殊到一般思想、类比思想， 故选：ABCD． 2．【知识生成】 我们在第一章已经学习了完全平方公式，，请结合完全平方公式解决以下问题： 【直接运用】 （1）若，则_____； 【转化应用】 （2）如图，已直角三角形和直角三角形中，，连接，点E是的垂直平分线与的交点，连接． ①试说明：； ②设，且．已知，求． 【答案】（1）11 （2）①详见解析；②9 【分析】本题考查完全平方公式，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，熟练掌握利用完全平方公式变形求值是解题的关键． （1）利用完全平方公式变形求解即可； （2）①用证明即可； ②由，得，，再根据，得出，又因，求得，然后根据求解． 【详解】解：（1）∵， ∴， 故答案为：11； （2）①∵， ∴， ∵， ∴， ∵点E是的垂直平分线与的交点， ∴， 在与中， ， ∴， ②∵， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴． ∴． 3．综合与实践 【模型背景】相传，有一位将军拜访古希腊数学家海伦，求教一个百思不得其解的问题：如图①，将军从A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地，到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？海伦利用轴对称的知识回答了这个问题，这个问题后来被称为“将军饮马问题”． 【模型解决】如图①，小明将A，B两地抽象为两个点，将河l抽象为一条直线．如图②，小明作点B关于直线l的对称点，连结与直线l交于点C，点C就是饮马的地方，此时所走的路程就是最短的，小明对此进行了说明，以下是说明过程： 如图③，在直线l上另取任意一点（与点C不重合），连接，，． 点B与点关于直线l对称， 直线l是的垂直平分线． ________，________， = ． 在中，， ，即最小． “将军饮马”问题本质上是运用转化思想，通过对称变换将直线l“同侧”两点距离之和最小这一难于解决的问题，转化为直线l“异侧”线段距离问题解决．小明在说明这个问题的过程中，用到的数学依据是________． 请你完成上面填空． 【模型应用】如图④，在中，直线m是边的垂直平分线，点P是直线m上的动点．若，，，则周长的最小值为________． 【模型拓展】如图⑤，已知，P为内一定点，上有一点A，上有一点B，当的周长取最小值时，的大小是为________度． 【答案】模型解决：，，，两点之间，线段最短或三角形两边之和大于第三边 模型应用：9 模型拓展：100 【分析】本题考查轴对称性质、垂直平分线性质、三角形三边关系及周长最值问题，解题关键是用轴对称转化线段，结合几何性质（垂直平分线、三角形三边关系等）求解最短路径与周长最值． 模型解决：利用点B与点关于直线l对称，根据垂直平分线性质得，，将转化为，再依据三角形三边关系，证得最小，核心是借轴对称和三角形性质转化、推导最短路径 ． 模型应用：根据题意知点C关于直线m的对称点为点B，故当点P与点D重合时，值的最小，周长有最小值，求出长度即可得到结论． 模型拓展：设点P关于、对称点分别为、，当点A、B在上时，周长为，此时周长最小．根据轴对称的性质，可求出的度数． 【详解】模型解决：如图③，在直线l上另取任意一点（与点C不重合），连接，，． 点B与点关于直线l对称， 直线l是的垂直平分线． ，， ． 在中，， ，即最小． “将军饮马”问题本质上是运用转化思想，通过对称变换将直线l“同侧”两点距离之和最小这一难于解决的问题，转化为直线l“异侧”线段距离问题解决．小明在说明这个问题的过程中，把A，B在直线同侧的问题转化为在直线的两侧，从而可利用“两点之间线段最短”，或即“三角形两边之和大于第三边”的问题加以解决． 故答案为：，，，两点之间，线段最短或三角形两边之和大于第三边； 模型应用：解：如图，直线m与交于点D， ∵直线m垂直平分， ∴B、C关于直线m对称， ∴当P和D重合时，的值最小，最小值等于的长， ∵，， ∴周长的最小值是． 故答案为：9； 模型拓展：分别作点P关于、的对称点P′、P″，连接、、，交、于点A、B，连接、，此时周长的最小值等于． 由轴对称性质可得，，，， ∴， ∴， 又∵，， ∴． 故答案为100． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$