2.7 弧长与扇形的面积（教学课件）数学苏科版九年级上册

该初中数学课件聚焦苏科版九年级上册“弧长与扇形面积”，核心知识点包括弧长公式、扇形的两个面积公式及阴影面积的和差法、割补法。课堂导入通过定滑轮转动实例，从转动一周到n度推导弧长公式，结合知识回顾中弧与扇形的定义，搭建前后知识联系的学习支架。 其亮点在于以生活实例（如定滑轮、勒洛三角形）和极限思想（类比三角形面积推导扇形面积公式），培养学生数学眼光中的抽象能力与空间观念，提升数学思维的推理意识。典例与题型探究结合具体情境，帮助学生用数学语言表达公式应用，增强应用意识。学生能直观理解抽象公式，教师可借助清晰结构与实例提升教学效率。

苏科版·九年级上册 2.7 弧长与扇形面积 第二章 对称图形——圆 章节导读 学 习 目 标 1 2 熟记弧长公式，并灵活运用 熟记扇形的两个面积公式，并灵活运用 3 能用和差法、割补法解决常见的阴影面积问题 知识回顾 弧的定义？ O 解：如图，圆上任意两点之间的部分叫做弧。 进一步，一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成的图形叫做扇形。 新知探究 如图，定滑轮的半径为R，边缘上一点A绕中心O逆时针转动 ( 绳索与滑轮之间没有滑动 )， 1. 若转动一周，则重物上升的高度为___________； 2. 若转动1°，则重物上升的高度为_______________； 3. 若转动n°，则重物上升的高度为_______________。 解：重物上升的高度即为转过的弧长。 2πR × 2πR = × 2πR = 当圆的半径R确定时，扇形的弧长随所对圆心角大小的变化而变化， 设n°的圆心角所对的弧长为l，则l = × 2πR = 。 新知探究 弧长公式： 在半径R的圆中，弧长l与所对的圆心角度数n之间有如下关系：l = 。 注意：在弧长的计算公式中，n和180都不要带单位。 在这个关系式中，当R为常数时，l是关于n的正比例函数； 当n为常数时，l是关于R的正比例函数。 知识要点 典例分析 6 解：设扇形的半径为R， 由题意可知： = ，解得：R = 6。 方法技巧 解题关键：套弧长公式。 典例1 75°的圆心角所对的弧长是， 则此弧所在圆的半径为________。 新知探究 仿照弧长公式的推导过程，探究当圆的半径R确定时， 扇形的面积与扇形的圆心角度数n之间的数量关系~ 圆心角为360°的扇形的面积就是圆的面积πR2 圆心角为1°的扇形的面积为πR2 圆心角为n°的扇形的面积为πR2 新知探究 扇形的面积公式1： 在半径R的圆中，扇形的面积与圆心角度数n之间有如下关系： S扇形 = πR2。 注意：在扇形面积的计算公式中，n和360都不要带单位。 知识要点 新知探究 上述公式揭示了S扇形与n、R之间的数量关系，试探索S扇形与l、R之间的数量关系。 解：∵S扇形 = πR2 = ··R， ∴S扇形 = lR。 新知探究 知识要点 扇形的面积公式2： 在半径R的圆中，扇形的面积与弧长l之间有如下关系：S扇形 = lR。 新知探究 如何快速记忆公式：S扇形 = lR？ 过点O对扇形进行无限切割，从微元的角度来看，扇形被切割成无限个等腰三角形，每个等腰三角形的底边长无穷小，高长无限接近于R，且这些等腰三角形的底边长之和为l，故这些三角形的面积之和为lR，即扇形的面积为lR a h 三角形的面积公式：S三角形 = ah R l O …… 新知探究 知识要点 扇形的面积公式 公式中的未知量 S扇形 = πR2 n、R S扇形 = lR l、R 注意：无论用哪个公式求扇形的面积，都必须先求R。 典例分析 解：扇形的面积 = = 2π ( cm2 )。 典例2 已知扇形的圆心角为80°，半径为3cm，则这个扇形的面积是________cm2。 2π 方法技巧 解题关键： 若涉及圆心角度数和半径，则套扇形的面积公式1。 典例分析 解：由题意可知： 240π = × 20π·R，解得：R = 24。 典例3 已知一个扇形的面积是240π，弧长是20π，则这个扇形的半径为（　　） A．22 B．22π C．24 D．24π C 方法技巧 解题关键： 若涉及弧长和半径， 则套扇形的面积公式2。 新知探究 1. 弓形的定义？ 解：如图，一条弦和这条弦所对的弧组成的图形叫做弓形。 O 新知探究 2. 以下三种类型的弓形的面积 ( 阴影部分的面积 ) 如何计算？ O A B O A B S弓形 = S扇形AOB - S△AOB S弓形 = S扇形AOB + S△AOB S弓形 = S圆 和差法 新知探究 和差法： 有一些图形结构复杂，通过观察，分析出不规则图形的面积是由哪些规则图形的面积的和或差组成，从而达到化繁为简的目的。 知识要点 典例分析 典例4 如图，有一个半径为2的圆形时钟，其中每个相邻刻度间的弧长均相等，过9点和11点的位置作一条线段，则钟面中阴影部分的面积为________。 解：由题意可知：∠AOB = 60°， ∵OA = OB，∴△AOB为等边三角形， ∴AB = AO = BO = 2， ∴S△AOB = × 22 = ，S扇形AOB = = π， ∴S阴 = S扇形AOB - S△AOB = π - 。 A B O π - 方法技巧 解题关键：掌握和差法。 新知探究 割补法： 将不规则图形拆开，根据具体情况和计算上的需要，重新组合成一个新图形，设法求出这个新图形的面积即可。 知识要点 典例分析 典例5 如图，将半径为2cm的圆形纸片翻折，使得，恰好都经过圆心O，折痕为AB，BC，则阴影部分的面积为________。 解：如图，作OD⊥AB于点D， 连接AO，BO，CO， ∵OD = AO，∴∠OAD = 30°，∠AOD = 60°， ∴∠AOB = 2∠AOD = 120°， 同理：∠BOC = 120°，∴∠AOC = 120°， ∴S阴 = S扇形AOC = = π ( cm2 )。 π 方法技巧 解题关键： 掌握割补法。 D 题型探究 弧长公式的应用 题型一 【例1】如图，四边形ABCD是O的内接四边形， O的半径为2，∠D = 110°，则的长为________。 解：如图，连接OA、OC， ∵四边形ABCD是O的内接四边形，∠D = 110°， ∴∠B = 180° - ∠D = 180° - 110° = 70°， ∴∠AOC = 2∠B = 140°， ∴的长 = = 。 O A C B D 题型探究 弧长公式的应用 题型一 【例2】如图，分别以等边三角形的每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形称为勒洛三角形。若等边三角形的边长为3，则勒洛三角形的周长为________。 解：如图，∵△ABC是等边三角形， ∴∠A = ∠B = ∠C = 60°，AB = BC = CA = 3， ∴的长 = 的长 = 的长 = = π， ∴勒洛三角形的周长为π × 3 = 3π。 3π A B C 题型探究 扇形面积公式的应用 题型二 【例3】扇形的圆心角为72°，面积为5π，则此扇形的弧长为________。 解：设半径为R， ∵扇形的圆心角为72°，面积为5π， ∴5π = ，解得：R = 5； 法一：∴l = = 2π。 法二：∴5π = ·l·5，解得：l = 2π。 2π 题型探究 扇形面积公式的应用 题型二 【例4】如图，一只羊被4米长的绳子拴在长为3米，宽为2米的长方形封闭围墙的一个顶点上，则这头羊活动范围的最大面积是________米2。 解：这头羊活动范围由3部分组成： ① 半径为4，圆心角为270°的扇形； ② 半径为2，圆心角为90°的扇形； ③ 半径为1，圆心角为90°的扇形。 S = + + = ( 米2 )。 题型探究 和差法与割补法的综合应用 题型三 【例5】如图，在▱ABCD中，AB = 4cm，BC = 2cm，∠ABC = 135°，将▱ABCD绕点A逆时针旋转一定的角度，使点B的对应点B'恰好落在CD边上，则边BC扫过的面积 ( 图中阴影部分 ) 是________cm2。 解：如图，连接AC，AC′， 过C点作CE⊥AB交AB的延长线于E， 过B′点作B′F⊥AB交AB于F， ∵∠ABC = 135°，∴∠CBE = 45°， ∵BC = 2cm，CE⊥AB，∴CE = BE = 2cm， ∵AB = 4cm，∴AC = = 2(cm)， E F 题型探究 和差法与割补法的综合应用 题型三 【例5】如图，在▱ABCD中，AB = 4cm，BC = 2cm，∠ABC = 135°，将▱ABCD绕点A逆时针旋转一定的角度，使点B的对应点B'恰好落在CD边上，则边BC扫过的面积 ( 图中阴影部分 ) 是________cm2。 E F ∵CE⊥AB，B′F⊥AB，∴CE∥B′F， ∴四边形B′FEC是平行四边形，∴B′F = CE = 2cm， 由旋转可知：AB′ = AB = 4cm， ∴AB′ = B′F，∴∠BAB′ = 30°， 题型探究 和差法与割补法的综合应用 题型三 【例5】如图，在▱ABCD中，AB = 4cm，BC = 2cm，∠ABC = 135°，将▱ABCD绕点A逆时针旋转一定的角度，使点B的对应点B'恰好落在CD边上，则边BC扫过的面积 ( 图中阴影部分 ) 是________cm2。 由旋转可知：∠B′AC′ = ∠BAC， ∴∠CAC′ = ∠B′AC + ∠B′AC′ = ∠B′AC + ∠BAC = ∠BAB′ = 30°， 由旋转可知：△AB′C′的面积等于△ABC的面积， ∴S阴 = S扇形ACC′ - S扇形ABB′ = = 2π ( cm2 )。 E F 2π 课堂小结 弧长公式：l = ； 扇形面积公式：( 1 ) S扇形 = πR2；( 2 ) S扇形 = lR。 注意：( 1 ) 公式中的n、180和360都不要带单位； ( 2 ) 无论用哪个公式求扇形的面积，都必须先求R。 感谢聆听! $$