第十章 分式（复习课件）数学北京版2024八年级上册

该初中数学单元复习课件系统梳理了分式的概念、性质、运算及分式方程等核心内容，通过单元知识图谱将分式辨别、基本性质、四则运算、方程解法与实际应用串联，帮助学生构建完整的分式知识网络。 其特色在于采用“考点串讲-题型剖析-难点突破”三阶复习策略，如分式值为0的条件辨析培养抽象能力，分式混合运算训练提升运算能力，实际应用题设计强化模型意识。分层例题与针对训练让不同水平学生巩固提升，教师可依托资料精准实施复习教学。

单元复习课件 第十章 分式 北京版2024·八年级上册 学习内容导览 单元知识图谱 2 单元复习目标 1 3 考点串讲 5 题型剖析/针对训练 4 6 课堂总结 难点突破 1.了解分式的概念，知道分式的分母不能为零。 2.探索分式的基本性质，能用分式的基本性质进行约分、通分、并化简分式。 3.能对简单的分式进行加、减、乘、除四则运算并将结果化为最简分式，发展运算能力。 4.学会解分式方程，并能掌握含参的分式方程的解题技巧。 5.能运用分式方程解决一些简单的实际问题，发展应用意识，体会模型思想。 1.会进行简单的分式加减、乘、除运算。 2.会解可化为一元一次方程的分式方程，理解增根产生的原因。 1.理解分式的意义。 2.会利用分式的基本性质进行约分和通分。 3.会进行简单的分式加减、乘、除运算。 4.会解可化为一元一次方程的分式方程，能够用它解决实际问题。 单元学习目标 画框内容为易错点 单元知识图谱 分式辨别的“两关键”和“两误区” 1.“两关键”：1）的形式(A，B都是____________) 2）B中必须含有____________ 2.“两误区”:1）含分母的不一定是分式.如分母是数或π. 2）只看形式，不能看化简后的结果，如是____________，而不是整式. 考点一 分式的基础 整式 字母 分式 【名师解读】分式的三个特征：①形如的形式；②A、B都是整式；③分母中必须含有字母，而对分子不作要求，即分子可含字母，也可以不含字母. 考点串讲 考点一 分式的基础 分式有意义、无意义即分式值为0的条件 分式 条件 示例 总结 分式有意义 分母________零， 即B_____0 分式有意义的条件是___，x的取值范围为______ 分式无意义 分母____零，即B__0     分式值为0 分子____零且分母_____零，即A___0且B___0 [易错]使值为0的条件为___ 不等于 ≠ x≠-5 x≥0 1）分式有无意义，取决于分母，与分子无关； 2）分母不为0，并不是说分母中的字母不能为0. 而是表示分母的整式的值不能为0，二者不能混淆. 等于 = 等于 不等于 = ≠ x=1 1）要使分式的值为0，必须同时满足两个条件： ①分母不为0；②分子为0，两者缺一不可； 2）分式值为0，必须保证分母≠0，否则分式无意义. 考点串讲 题型一 分式的基础 类型一 分式的识别 例1 在式子，，，，，，中，分式的个数是（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【总结】判别一个代数式是分式还是整式，关键看分母，若分母中含有字母且字母不等于0，则这个式子是分式;若分母中不含有字母，则这个式子是整式.注意圆周率π是常数，不是字母. 1． 在，，，，，，，中，分式有（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 2． 在式子：、、、、中，分式的个数是 ． 【详解】解：、、、、中，分式有、、，共3个．故答案为：3． 【详解】解：，，，是分式，有4个，故选：B． 【详解】分式有∶，，，，，共5个，故选：B． 题型剖析 题型一 分式的基础 类型二 分式有/无意义、值为0的条件 例2． 若分式的值为0，则x的值是 ；若分式有意义，则实数x的取值范围是 ；当x= 时，分式无意义． 【详解】解：若分式的值为0，则且，解得； 若分式有意义，则实数，解得； 若分式无意义，则，解得； 故答案为：． 【方法总结】本题考了分式的值为零的条件， 1）分式有意义的条件，分式的值为零即分子为0且分母不为0； 2）分式有意义即分母不为0； 3）分式无意义即分母为0． 题型剖析 1． 如果分式无意义，的值为0，求的值． 【详解】解：∵分式无意义， ∴， ∴； ∵的值为0， ∴且，∴； ∴． 针对训练 题型一 分式的基础 类型三 分式取正值或负值的判断 例3． 如果分式的值为负数，那么x应满足的条件是 ． 解题方法：1）先将分式整理为的形式，根据除法法则可知，当A，B取值同号时，原式值为正；当A，B取值异号时，原式值为负，两种情况不能遗漏. 【详解】解：∵分式的值为负数，∴，故答案为：． 1． 若分式的值为正数，则x的取值范围为 ． 【详解】解：由题意可知： 解得，或， 故本题答案为：或． 或 题型剖析 分式的基本性质：分式的分子和分母同乘（或除以）一个_____________________，分式的值不变. 字母表示： 考点二 分式的性质 （C≠0），(C≠0)，其中A，B，C是整式. 【易错易混】运用分式的基本性质时，要注意： ①限制条件：同乘（或除以）一个不等于0的整式； ②隐含条件：分式的分母不等于0； ③要注意避免犯只乘分子或只乘分母的错误. 分式符号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何____________，分式的值不变. 即： 【补充】改变其中一个或三个，分式变为原分式的___________. 不等于0的整式 两项 . 相反数 分式的约分的定义：根据分式的基本性质，约去分子和分母的__________，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分. 最简分式：分子与分母______________的分式叫做最简分式. 公因式 没有公因式 考点串讲 题型二 分式的基本性质 类型一 利用分式的性质变形 例1． 不改变分式的值，下列各式中变形正确的是（   ） A． B．C． D． D 【解题方法】根据分式的基本性质：分式的分子与分母同时乘以或除以一个不等于的整式，分式值不变，即可得出答案． 例2． 不改变分式的值，把它的分子分母的各项系数都化为整数， 【详解】解：把分式的分子分母同时乘以10得，∴，故答案为：（答案不唯一）． 题型剖析 1． 下列分式变形正确的是（   ） A． B．C． D． 2． 将分式的分子、分母中各项系数都化为整数，且分式的值不变，则变形后的分式为 ． D 针对训练 题型二 分式的基本性质 类型二 利用分式的基本性质判断分式值的变化（改变符号） 例3． 如图，对于分式中的四个符号，任意改变其中的两个，分式的值不变的是（　　） A．①② B．②③ C．①③ D．②④ A 1． 与分式的值相等的是（    ） A． B． C． D． 2． 与分式相等的是（    ） A． B． C． D． C B 题型剖析 题型二 分式的基本性质 类型三 利用分式的基本性质判断分式值的变化（所含字母括号同时扩大n倍） 例4． 将分式中的m，n的值都扩大为原来的2倍，则分式的值（    ） A．不变 B．扩大为原来的2倍 C．缩小为原来的 D．扩大为原来的4倍 解题方法：1）分子分母次数相同时，分式的值不变； 2）分子比分母次数高n，则分式的值扩大倍； 3）分母比分子次数高n，则分式的值缩小为原来的. A 题型剖析 1． 分式的值为，将，都扩大倍，则变化后分式的值为（ ） A． B． C． D． 2． 若分式中的和都扩大为原来的3倍后，分式的值不变，则可能是（   ） A． B． C． D．3 3． 若将、的值扩大3倍，分式的值（　　） A．缩小3倍 B．不变 C．扩大3倍 D．扩大9倍 D B 【详解】解：将、的值扩大倍，则变为，变为，代入分式可得： ∵分子分母可提取公因式，∴ 新分式与原分式相同，所以分式的值不变．故选：B． 针对训练 题型二 分式的基本性质 类型四 约分与最简分式 例5． 在分式，，，中，最简分式有 个 [学会总结]找最简公分母的方法 1.找系数:如果各分母的系数都是整数，那么取它们的_______________； 2.找字母:凡各分母因式中出现的所有字母或含字母的式子都要选取； 3.找指数:取分母因式中出现的所有字母或含字母的式子中指数的_____________. 最小公倍数 最大值 【详解】解：，故不是最简分式； ，故不是最简分式； ，不能继续化简，是最简分式．∴最简分式有2个．故答案为：2． 题型剖析 1． 下列分式中，哪些是最简分式？若不是最简分式，请化为最简分式． (1)； (2)． 【详解】（1）解：；则不是最简分式； （2）解：．则不是最简分式． 针对训练 题型二 分式的基本性质 类型四 约分与最简分式 例6． 约分：(1)； (2)； (3)； (4)． 【详解】（1）解：；（2）解：； （3）解：；（4）解：． 1． 约分：(1)； (2)； (3)． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：． 题型剖析 考点三 分式的乘除法 1）分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母，即 2）分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘，即 3）分式的乘方运算法则：分式的乘方是把分子、分母分别乘方，即 4）分式乘除运算的“三注意” （1）运算顺序：分式的乘除运算要____________依次运算； （2）运算技巧：乘除混合运算，先统一成____________运算，能约分的要先____________ ，以减少运算量； （3）代入求值时，选取的字母值一定要使原式中每个分式____________. 从左到右 乘法 约分 都有意义 考点串讲 题型三 分式的乘除法 类型一 分式的乘除运算 例1． 计算：（1）= ；（2）= ；（3） ． 【方法总结】分式乘除运算的“三注意” 1）运算顺序：分式的乘除运算要____________依次运算； 2）运算技巧：乘除混合运算，先统一成____________运算，能约分的要先____________ ，以减少运算量； 3）代入求值时，选取的字母值一定要使原式中每个分式____________. 从左到右 乘法 约分 都有意义 【方法总结】分式乘方的“三注意” 1）要把分式加上______________，分式中分子、分母的___________也要乘方； 2）分式乘方时，分式本身的______________，也要同时乘方； 3）注意分子、分母乘方后的符号. 括号 系数 符号 题型剖析 1．（24-25八年级上·北京·期中）计算：． 解：． 2．（22-23八年级上·北京朝阳·期末）计算：． 解：原式，． 针对训练 题型三 分式的乘除法 类型二 分式的乘除混合运算 【总结】分式乘除混合运算的一般解题步骤： 1)分解因式：将分式分子、分母中的多项式分解因式； 2)化除为乘：将除法统一转化为乘法； 3)约分：将分式分子、分母中相同的因式进行约分； 4)整理结果：将分式分子、分母中剩下因式分别相乘，并整理结果. 注意：乘除是同一级运算，如果没有其他附加条件(如括号等)，应按照从左到右的顺序进行计算. 例2．（22-23八年级上·北京海淀·阶段练习）化简：． 解： ． 题型剖析 1．（24-25八年级上·北京·期中）计算： (1)(2)(3)． 【详解】（1）解：； （2）． （3）． 针对训练 考点四 分式的加减法 分式的加减法法则 分母类别 文字表述 数字语言 同分母分式 分母__________，把分子______________ 异分母分式 先通分，变为___________的分式，再加减 不变 相加减 同分母 分式的通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式________的同分母分式，这一过程叫做分式的通分. 最简公分母：一般取各分母的所有因式的_____________的积作为公分母，叫做最简公分母. 相等 最高次幂 分式的混合运算的运算顺序：分式的混合运算顺序与实数类似，即先乘方，再乘除，最后加减；有括号时，先进行括号内的运算；同级运算，按照从左到右的顺序进行. 考点串讲 题型四 分式的加减法 类型一 通分与最简公分母 例1． 分式、的最简公分母是 __________，通分为_____________． [学会总结]找最简公分母的方法 1.找系数：如果各分母的系数都是整数，那么取它们的_______________； 2.找字母：凡各分母因式中出现的所有字母或含字母的式子都要选取； 3.找指数：取分母因式中出现的所有字母或含字母的式子中指数的_____________. 最小公倍数 最大值 、 题型剖析 1． 分式和的最简公分母是 ． 2． 通分：，，． 3． 下列通分是否合理？若不合理，请改正． (1)；解：，． (2)．解  ，． / 【详解】解：最简公分母是， 则，，． 【详解】（1）解：原式通分不合理，改正：，； （2）解：原式通分不合理，改正：，． 针对训练 题型四 分式的加减法 类型二 分式加减混合运算 例2． 计算： (1)；(2)； (3)． 【名师总结】同分母分式加减的“两注意” 1）分子加减时，特别是分子相减，一定要把减式的分子加上___________，否则易出现符号错误； 2）最后的结果必须 ___________. 括号 最简分式 【名师总结】异分母分式加减的“两步骤” 1）通分:(1)找各分式的___________； (2)确定各分式的分子、分母通分后需要乘的式子. 2）化简:通分后，按___________分母分式的加减法法则进行运算. 最简公分母 同 【详解】解： （1）原式； （2）原式 ； （3）原式． 题型剖析 1． 计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【详解】原式，故答案为：A． 2． 已知为整式，若计算的结果为，则（   ） A． B． C． D． 【详解】解： ， ，， ，；故选D． 3． 如果，那么 ， ． 【详解】解：， ∴，∴ 解得： ，故答案为：，． 针对训练 题型四 分式的加减法 类型三 分式混合运算 例3． 分式计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 解题方法：按顺序进行计算：分式的混合运算顺序与实数类似，即先乘方，再乘除，最后加减；有括号时，先进行括号内的运算；同级运算，按照从左到右的顺序进行.此外，也应仔细观察式子的特点，灵活选择简便的方法计算，如使用运算律、公式等.最后将运算结果化为最简分式. 【详解】解：（1） ； （2） ； 题型剖析 题型四 分式的加减法 类型三 分式混合运算 例3． 分式计算： (3)； (4)． 解题方法：按顺序进行计算：分式的混合运算顺序与实数类似，即先乘方，再乘除，最后加减；有括号时，先进行括号内的运算；同级运算，按照从左到右的顺序进行.此外，也应仔细观察式子的特点，灵活选择简便的方法计算，如使用运算律、公式等.最后将运算结果化为最简分式. （3）原式 ； （4） ． 题型剖析 1． 化简： ． 2． 化简分式 ． 3． 计算： ． 【详解】解：原式． 【详解】解：原式； 【详解】解： 针对训练 题型四 分式的加减法 类型四 分式的化简求值 例4． 先化简：，再从中选出一个合适的整数的值，代入求值． 解题思路：分式化简求值是代数式化简求值的常见题型之一，也是中考的固定题型，其基本步骤是先化简，再把字母的值或条件中所含关系代入计算. 分式求值中所含知识覆盖面广，解法灵活，可根据所给条件和求值式的特征进行适当的变形、转化. 【详解】解： ， 对于，则或1或2， 当或1的时候，原分式无意义， ∴，则原式． 题型剖析 1． 小颖和小红在化简的过程中，分别给出如下的部分运算过程． 小颖：原式… 小红：原式… (1)小颖解法的依据是______，小红解法的依据是______． A．分式的基本性质    B．等式的基本性质    C．乘法结合律    D．乘法分配律 (2)请你选择一种解法，写出完整的解答过程，并从“，，”中选一个合适的数作为的值，代入求该分式的值． （2）解：选择小颖的解法： ， ∵， ∴， ∴，则原式； 针对训练 1． 小颖和小红在化简的过程中，分别给出如下的部分运算过程． 小颖：原式… 小红：原式… (1)小颖解法的依据是______，小红解法的依据是______． A．分式的基本性质    B．等式的基本性质    C．乘法结合律    D．乘法分配律 (2)请你选择一种解法，写出完整的解答过程，并从“，，”中选一个合适的数作为的值，代入求该分式的值． 选择小红的解法， ， ； ∵当为，时，原式无意义， ∴当时，原式． 针对训练 考点五 解分式方程 解分式方程的基本思路：将分式方程转化为整式方程，即 解分式方程的步骤 1）去分母化为_________________方程. 2）解整式方程. 3）检验整式方程的解是否使最简公分母等于_______________. 注意:检验是解分式方程的必要步骤，当整式方程的解不使最简公分母为___________时，它是原分式方程的解，否则就是原分式方程的____________，原分式方程无解. 整式 0 0 增根 【易错点】 1）去分母时漏乘某些项而导致计算结果错误. 2）方程两边同乘最简公分母时，最简公分母有可能为０，这样就产生了增根，因此分式方程一定要验根． 【注意事项】分式方程有增根与无解并非是同一个概念．分式方程无解，需分类讨论：可能是解为增根，也可能是去分母后的整式方程无解. 考点串讲 题型五 解分式方程 类型一 解分式方程 例1． 解方程： (1) (2) 【详解】（1）解：， 方程两边同乘，得， 解得， 检验：当时，， ∴是该分式方程的解． （2）解：， 方程两边同乘，得， 解得， 检验：当时，， ∴不是该分式方程的解，原分式方程无解． 题型剖析 习题：计算： 解：原式…第一步 ……………………………第二步 ………………………………………第三步 习题：解方程： 解：方程两边同乘，得……第一步 解得……………………………………第二步 经检验，是分式方程的解……………第三步 1． 在数学课上，老师展示两道习题的解答过程： (1)解答过程中，习题1从第______步开始出现错误，习题2从第______步开始出现错误； (2)任选一个习题写出正确的解答过程． 二 一 （2）解：习题：原式； 习题：方程两边同乘，得，解得， 检验：当时，，是原方程的解． 针对训练 题型五 解分式方程 类型二 根据分式方程的解的情况求字母参数 例2． 在去分母解关于x的分式方程的过程中产生增根，则 ． 解题思路： 1）分式方程有解，说明：①原方程去分母后的整式方程有解；②所求得的解不是增根. 2）分式方程无解，说明： ①原方程去分母后的整式方程无解； ②原方程去分母后的整式方程有解，但这个解使原方程的分母为0，它是原方程的增根，从而原方程无解. 3）分式方程有增根，说明：①原分式方程中的字母为0；②增根为原方程去分母后的整式方程的根. 【详解】解：方程两边同乘得： ， 解得：， 关于的分式方程有增根， ， 解得：， 将代入方程， 解得：． 故答案为：4 题型剖析 题型五 解分式方程 类型二 根据分式方程的解的情况求字母参数 例3． 关于x的分式方程无解，则 ． 【详解】解： 解得：， 由于分式方程无解，即分式方程有增根，故当时，， 解得：，故答案为：． 题型剖析 1． 关于的方程的解是负数，则的取值范围是 【详解】解：，解得：， ，，，， 方程的解是负数，，，即，的取值范围为且． 2． 已知关于x的方程的解为正数，则m的取值范围是 ． 【详解】解：去分母，得， 移项、合并同类项，得， ∵方程的解为正数，∴，∴， ∵，∴，∴m的取值范围是且． 针对训练 3． 若关于的方程无解，求的值． 【详解】解：， ∴， ∴， ∴，∴， 当整式方程无解时，，即； 当产生增根时，即时，，解得：； 综上，当方程无解时，或． 针对训练 题型五 解分式方程 类型三 分式方程的实际应用（列方程） 例3．（24-25八年级上·北京丰台·期末）在物理学中，物质的密度等于由物质组成的物体的质量与它的体积之比，即．已知A，B两个物体的密度之比为，当物体A的质量是，物体B的质量是时，物体B的体积比物体A的体积大．如果设物体A的体积是，那么根据题意列方程为（   ） A． B． C． D． A 题型剖析 题型五 解分式方程 类型三 分式方程的实际应用（列方程） 1．在“国庆畅游房山”系列活动中，某景点为游客定制了A，B两种文创产品，其中A种文创产品的单价比B种文创产品的单价低5元，用1200元购进A种文创产品的数量，是用1000元购进B种文创产品数量的1.5倍，求A种文创产品的单价．若设A种文创产品的单价为x元，那么依题意可列方程为（   ） A． B． C． D． 2．数学家斐波那契编写的《算经》中有如下问题：一组人平分元钱，每人分得若干；若再加上人，平分元钱，则第二次每人所得与第一次相同，求第一次分钱的人数．设第一次分钱的人数为人，则可列方程（   ） A． B． C． D． A D 题型剖析 题型五 解分式方程 类型三 分式方程的实际应用 例4．（24-25八年级上·北京·期末）列分式方程解应用题： 为更好地开展党史教育，激发中学生爱党爱国的深厚情感，我校组织初二年级同学参观中国共产党历史展览馆，师生统一坐大巴车前往，从我校到展览馆计划行驶12千米，活动当天由于天气原因，下雨造成道路湿滑，大巴车平均行驶速度降为原计划的，途中又遇到交通管制，临时改变了行车路线，最终全程行驶了18千米，比计划行驶时间多用20分钟．请问原计划大巴车平均每小时行驶多少千米？ 【详解】解：设原计划大巴车平均每小时行驶千米，则 ， 解得：， 经检验符合题意； 答：原计划大巴车平均每小时行驶45千米． 题型剖析 1．（22-23八年级上·北京海淀·期末）随着科技的发展，人工智能使生产生活更加便捷高效．某科技公司生产了一批新型搬运机器人，打出了如下的宣传：根据该宣传，求新型机器人每天搬运的货物量． 【详解】解：设新型机器人每天搬运的货物量为x吨，则旧型机器人每天搬运的货物量为吨， 根据题意得：， 方程两边同乘， 得， 解得， 经检验，是分式方程的解； 答：新型机器人每天搬运的货物量为80吨． 针对训练 2． 为了加强学生的体育锻炼，某学校需要购买篮球和足球两种体育用品，已知每个足球的进价是每个篮球进价的倍，用1200元购进篮球的数量比用2100元购进足球的数量少20个．求：每个篮球、足球的进价分别为多少元？ 【详解】解：设每个篮球的进价为x元，则每个足球的进价为元． 根据题意得：， 解得， 经检验是原分式方程的解，且符合实际， ∴． 答：每个篮球的进价为80元，则每个足球的进价为60元． 针对训练 3．（2025·北京石景山·二模）某科技公司正在研发两款神经形态计算机，一款是基于传统半导体工艺的A型计算机，另一款是基于新兴材料的B型计算机．在一次图像识别测试任务中，A型计算机处理张图像需要的时间比B型计算机处理同样数量的图像多5分钟．已知两款计算机处理图像的速度恒定，B型计算机处理图像的速度是A型计算机的8倍．现有张图像要紧急处理，若使用B型计算机，判断能否在分钟内处理完，并说明理由． 【详解】解：使用型计算机，能在分钟内处理完，理由如下： 设型计算机处理图像的速度是张/分钟，则型计算机处理图像的速度是张/分钟． 由题意可知，． 解得．经检验：是原方程的解且符合实际意义． 所以． 因为，，所以使用型计算机，能在分钟内处理完张图像． 针对训练 题型一 裂项相消法 1． 观察下列各式：；；； 请你根据上面三个等式反映的规律，回答下列问题： (1)________； (2)请你按利用发现的规律计算：； (3)利用上面规律解方程：． （2）解：原式； （3）解：， ， ， 解得：，经检验，是原方程的解，原方程的解是． 重难点突破 题型二 新定义问题 1． 定义一种新运算：，例：．根据这种运算法则，完成下列各题： (1)计算：； (2)计算：； (3)计算：． 【详解】（1）解：； （2） ； （3）解： ． 重难点突破 题型二 新定义问题 2． 现定义一种新的运算：，例如：，若关于x的方程的解为非负数，求m的取值范围． 【详解】解：由题意得：， ∴， ∴， ∵关于x的方程的解为非负数， ∴， ∴ ， ∵，即，解得， ∴m的取值范围为：且． 重难点突破 一、核心概念 分式定义：形如（A、B是整式，B含字母且B≠0）的式子。 关键条件：分式有意义：分母B≠0；分式无意义：分母B=0；分式值为0： 分子A=0且分母B ≠ 0。 二、基本性质 性质：分式的分子和分母同乘（或除以）一个不为0的整式，分式值不变，即(C≠0) 。 主要应用： 1）约分：分子分母同除以最大公因式，将分式化为最简分式（分子分母没有公因式）。 2）通分：找最简公分母（各分母所有因式最高次幂的积），再将异分母分式化为同分母分式。 课堂总结 三、运算规则 1）乘除法：乘法： 除法： 2）加减法：同分母： 异分母：先通分，再按同分母法则计算 3）乘方： （n为正整数） 课堂总结 四、解分式方程的步骤 五、常见误区 1）忽略分母不为0的前提，直接代入数值计算。 2）约分时错误删除分母（分式不同于整式）。- 3）通分时最简公分母找错，导致计算复杂。 4）运算结果未化为最简分式。 5）解分式方程忘记验根. 课堂总结 感谢聆听! $$