15.1 轴对称图形（题型专练）数学新教材沪科版八年级上册

15.1 轴对称图形 题型一 轴对称图形的识别 1．（24-25七年级下·山东济南·期末）第届世界乒乓球锦标赛于年月日至日在卡塔尔多哈举办，我国乒乓球运动员在比赛中取得优异成绩，下列世乒赛标识中，是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·河南周口·期末）下列几何图形：①等腰三角形；②直角三角形；③角；④线段；⑤任意三角形．其中，一定是轴对称图形的有 ．（填序号） 3．（24-25七年级下·全国·假期作业）若阿光以四种不同的方式连结正六边形的两条对角线，连结后的情形如下列选项中的图形所示，则下列哪一个图形不是轴对称图形（    ） A． B． C． D． 4．（23-24八年级上·广东湛江·期中）如图四个图案中，具有一个共有的性质．则下面四个数字中，满足上述性质的一个是（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 题型二 求对称轴条数 5．（2025·福建漳州·模拟预测）下列四个轴对称图形中，对称轴条数最少的是（   ） A． B． C． D． 6．（2025·北京·模拟预测）下列图形都是轴对称图形，其中恰有2条对称轴的图形是（   ） A．B．C． D． 7．（24-25八年级上·河北邯郸·阶段练习）如图，每个小方格均为边长为1的正方形，四个涂色的小正方形组成的图形的对称轴有m条，再将剩余的五个小正方形中的一个涂色，若由这五个涂色的小正方形组成的新图形的对称轴的条数也为m，则涂色的正方形是 ． 8．（24-25七年级下·全国·随堂练习）指出下列轴对称图形各有几条对称轴，并把它们作出来． 9．（23-24七年级上·山东烟台·期中）（1）如图所示的正多边形的对称轴有几条？把答案写在图下方的横线上：    正三角形有______条对称轴，正四边形有______条对称轴， 正五边形有______条对称轴，正六边形有______条对称轴， 正七边形有______条对称轴，正八边形有______条对称轴； （2）一个正n边形有______条对称轴； （3）在图①中画出正六边形的一条对称轴l；    在图②中，只能用无刻度的直尺，准确画出正五边形的一条对称轴m．（不写画法，保留画图痕迹）    题型三 根据成轴对称图形的特征进行判断 10．（24-25七年级下·山西晋中·期末）如图1是山西博物院主馆，整体外观造型“如斗似鼎”．小明绘制了从正面看到的主馆图（图2），该图形是一个轴对称图形，直线是它的对称轴，则下列说法错误的是（   ） A． B．线段被直线垂直平分 C． D． 11．（24-25八年级上·内蒙古通辽·期中）如图，与关于直线对称，P为上任一点（与共线），下列结论中错误的是（  ） A． B．垂直平分， C．与面积相等 D．直线、的交点不一定在上 12．（2025·河北邢台·三模）剪纸是我国传统民间艺术之一．嘉嘉将一张圆形纸片按图3的流程进行操作，即先沿虚线对折两次，再沿虚线剪开，则展开后的剪纸形状是（   ） A． B． C． D． 13．（24-25八年级上·全国·期中）如图，和关于直线对称，下列结论中不正确的（　　） （1）． （2）． （3）直线l垂直平分． （4）直线和的交点不一定在直线l上． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 题型四 根据成轴对称图形的特征进行求解 14．（24-25七年级下·江苏徐州·期中）如图，已知，D为内一点，且，若点D关于的对称点分别记作点E，F，连接，则的面积为 ． 15．（24-25八年级下·广东茂名·阶段练习）如图，一种滑翔伞的形状是左右对称的四边形，其中，，则的度数是 ； 16．如图，正方形的边长为4，则图中阴影部分的面积为 ． 17．（24-25八年级下·上海·期中）在中，点的坐标为、点的坐标为，点的坐标为，要使以点、、为顶点的三角形与全等（与不重合），则点的坐标为 ． 题型五 画轴对称图形 17．（24-25八年级上·广东东莞·阶段练习）在直角坐标系中，的位置如图所示． (1)请画出关于x轴对称的； (2)写出点的坐标（  ，  ），（  ，  ） 18．（24-25八年级上·湖北恩施·阶段练习）如图，在下列带有坐标系的网格中，的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上，．仅用无刻度的直尺在给定网格中画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示，并完成下列问题． (1)在图1中，画出关于y轴对称的（点D与点A对应），点E的坐标为______； (2)在图1中，画出的中线，点M的坐标为______； (3)在图2中，画出的高；（保留作图痕迹） (4)在图2中，P为线段上任一点，画出点P关于y轴对称的点． 19．（24-25八年级上·河南郑州·阶段练习）在边长为个单位长度的正方形网格中建立如图所示的平面直角坐标系，的顶点都在格点上(小正方形的顶点称为格点),请解答下列问题： (1)画出关于轴对称的，并写出点为（___________，___________）； (2)求出的面积为___________； (3)在轴上存在一点使得最小，在图中画出点的位置，则点为（___________，___________）． 题型六 轴对称图形的设计 20．（24-25八年级上·吉林·期中）轴对称（或称对称轴）的概念早在古希腊时期就已经出现．古希腊哲学家柏拉图在其著作《会晤篇》中，就提到了“对称”的概念，并阐述了对称的重要性．在数学和物理学等领域中，轴对称一直都是一个重要的概念，被广泛应用于各种理论和实践中．如图是由三个阴影的小正方形组成的图形，请你在三个网格图中，各补画出一个有阴影的小正方形，使补画后的图形为轴对称图形． 21．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）在图分别补充个小方块，在图中分别补充个小方块，分别使它们成为轴对称图形． 22．（24-25八年级上·四川广安·期中）如图甲，正方形被划分成16个全等的三角形，将其中若干个三角形涂黑，且满足下列条件： （1）涂黑部分的面积是原正方形面积的一半； （2）涂黑部分成轴对称图形． 图乙与图丙是一种涂法，请在图中分别设计另外三种涂法．（注：在所设计的图案中，若涂黑部分全等，则认为是同一种涂法，如图乙与图丙） 23．（24-25八年级上·四川广安·阶段练习）如图所示，在的方格内，已将其中的2个小正方形涂成黑色，请你分别在图①、图②、图③、图④中再将两个空白的小正方形涂成黑色，使4个黑色小正方形组成一个轴对称图形，画出与示意图不同的4种方案．（每个的方格内限画一种） 要求： （1）4个黑色小正方形必须相连；（有公共边或公共顶点视为相连） （2）将选中的小正方形方格用黑色签字笔涂成阴影图形．（若两个方案的图形经过翻折、平移、旋转后能够重合，均视为一种方案） ． 题型一 折叠问题 1．（24-25八年级上·辽宁大连·阶段练习）如图，在中，点D在上，，，将沿着翻折得到，则的度数是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·内蒙古包头·期末）如图，将平行四边形沿对角线折叠，点恰好落在延长线上的点处，若交于点，则下列结论一定正确的是（   ） A． B．是直角三角形 C．平分 D． 3．（24-25八年级下·河南开封·期末）在学习《三角形的证明》这一章的内容时，小强认为“在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°，为了证明这个命题的准确性，他画出了如图1所示的图形，并写出了已知和求证． (1)在证明这个命题时，小强联想到“在直角三角形中，如果一个锐角等于30，那么它所对的直角边等于斜边的一半”这个命题，由于这两个命题是互逆命题，就想着在方法上有可借鉴的地方，尝试着做了下面的辅助线：延长到，使，连接．请在小强思路的基础上完成证明过程． 已知：中，，， 求证：， 证明：延长到，使，连接． … (2)如图2，小强取了一张长方形纸片，且，沿过点的折痕将翻折，使得点落在上的点处，折痕交于点，则的度数为 ． 题型二 镜面对称 1．（24-25七年级下·江苏盐城·期中）若看到镜子中的一串数字为  ，则这串数字实际是 ． 2．（24-25八年级上·江苏连云港·期中）小强从镜子中看到的电子表的度数如图所示，则电子表的实际读数是 ． 3．（24-25八年级上·全国·单元测试）雨后，地上的积水犹如一块澄澈的平面镜，某路段监控摄像头在雨后拍摄，由于位置偏离，拍摄中心聚集在了水面上，摄像头侦测到一小轿车超速行驶，积水中倒映的车牌为“”，那么该小轿车的真实车牌号为 ． 4．（24-25八年级上·广东珠海·期中）明明在镜中看到身后墙上的时钟如下，你认为实际时间最接近的是（   ） A． B． C． D． 5．（23-24八年级上·全国·单元测试）如图，，，，是四面互相垂直摆放的镜子，镜面向内，在镜面上放了写有字母“”的纸片，某人站在处可以看到镜面上的字母在镜面，，中的影像，则下列判断中正确的是（　　）    A．镜面与中的影像一致 B．镜面与中的影像一致 C．镜面与中的影像一致 D．在镜面中的影像是“” 题型三 台球桌面的轴对称图形 1．（22-23八年级上·广东深圳·期中）如图动点从出发，沿如图所示方向运动，每当碰到矩形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当点第2014次碰到长方形的边时，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·辽宁铁岭·期中）2005年4月3日，斯诺克中国公开赛，中国江苏神奇小子丁俊晖奇迹般地战胜了世界头号选手亨德利，夺得了自己首个世界台球职业排名赛冠军，如图，是一个经过改造的台球桌面的示意图，图中阴影部分分别表示六个入球孔，如果一个球按图中所示的方向被击出（球可以经过多次反射），那么该球最后将落入的球袋是 号袋． 3．（22-23八年级上·江苏徐州·阶段练习）如图，桌面上有A、B两球，若要将B球射向桌面的任意一边，使一次反弹后击中A球，则如图所示8个点中，可以瞄准的点有 个． 4．（23-24八年级上·江苏南京·阶段练习）【情境】2023年3月11日，2023斯诺克6红球世锦赛决赛，丁俊晖以8﹣6击败本土作战的塔猜亚•乌诺，继2016年后第二次夺得冠军．在台球比赛中，球台边也叫“库”，球撞击一次球台边叫做“一库”，球撞击两次球台边叫做“两库”，以此类推… 【建模】（1）在台球桌上也有我们熟悉的数学模型：如图①，在长方形球台内有白球B、红球H两点，从点B出发，击中球台边，反弹击中点H（“一库”）．请画出白球B的路径，并用箭头标出方向． 【应用】（2）若让白球B弹“两库”击中红球H会有_____种情况，请选择一种情况在图②中画出白球B的路径，并用箭头标出方向． 【拓展】（3）若让白球B弹“三库”击中红球H会有_______种情况，请在图③中画出白球B的路径，并用箭头标出方向． 题型三 轴对称中的光线反射问题 1．（2025·山西吕梁·二模）如图，为平面镜，为水面，．一束光线从点射入，经过平面镜反射后，从光线变成光线，再经过水面折射，从光线变成光线．若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．（2024·江西·二模）我们知道光的反射是一种常见的物理现象.如图，某 V 型路口放置如图所示的两个平面镜，，两个平面镜所成的夹角为，位于点 D 处的甲同学在平面镜 中看到位于点A处的乙同学的像，其中光的路径为入射光线 经过平面镜反射后，又沿射向平面镜，在点 C 处再次反射，反射光线为，已知入射光线，反射光线 ，则等于（    ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级上·陕西西安·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴交于两点，一束光从点发出，射向轴上的点，经点反射后经过上一点，则点的坐标是(    )    A． B． C． D． 4．（24-25八年级下·安徽阜阳·期末）如图，一束光线从点出发，经过轴上的点反射后经过点，则的值是 ． 5．（22-23八年级上·全国·课后作业）当光线经过镜面反射时，入射光线、反射光线与镜面所夹的角对应相等．例如：在图①、图②中都有．设镜子与的夹角． (1)如图①，若，判断入射光线与反射光线的位置关系，并说明理由． (2)如图②，若，入射光线与反射光线的夹角．探索与的数量关系，并说明理由． (3)如图③，若，设镜子与的夹角为钝角，入射光线与镜面的夹角．已知入射光线从镜面开始反射，经过为正整数，且）次反射，当第次反射光线与入射光线平行时，请直接写出的度数（可用含的代数式表示）． 1．（24-25七年级下·湖北襄阳·期末）学科融合：物理学中把经过入射点O并垂直于反射面的直线叫作法线，入射光线与法线的夹角i叫入射角，反射光线与法线的夹角r叫作反射角（如图1）．在反射现象中，反射光线、入射光线和法线都在同一个平面内；反射光线和入射光线分别位于法线的两侧；入射角等于反射角．这就是光的反射定律． 问题解决： （1）如图2，潜望镜中的两面镜子是互相平行放置的，已知入射光线与平面镜的夹角，那么入射光线经过两次反射后，两反射光线形成的夹角， ； （2）如图3，当两个平面镜，的夹角是多少度时，可以使任何射到平面镜上的入射光线，经过平面镜，两次反射后，得到．请说明理由； 尝试探究： （3）人们发现了一种曲面的反射光罩，使汽车灯泡在点O处发出的光线反射后都能平行射出，在如图4所示的截面内，已知入射光线的反射光线为，．若一入射光线（点D是入射光线与反射光罩的交点）经反射光罩后沿射出，且，请求出的度数． 2．（24-25七年级下·山西晋中·期末）项目化学习：万花筒是一种通过光的反射产生对称图形的光学玩具．是1816年苏格兰物理学家大卫·布鲁斯特发明． 为了寻找万花筒成像完整的方法，项目化小组将两面镜的背面用胶带粘贴形成一个可以自由开合的“镜子门”，通过实验探究“镜子门”张角的大小对成像完整的影响，发现了一些规律，请你协助他们完成下列数据的填写． 【实验一】如图（1）当“镜子门”张角的大小为时，在两镜面夹角的平分线上放一个小球，可以在两平面镜中看到完整的2个小球． （1）【实验二】如图（2），当“镜子门”张角的大小为时，在两镜面夹角的平分线上放一个小球，可以在两平面镜中看到完整的______个小球． 项目化小组成员通过查阅资料，了解到其中的原理：左边的镜子成一个像，右边的镜子成一个像，这是两个基本像点，只要它们落在另一镜前就会相互反射形成多个镜像，因此左边的镜像在右边的镜子里又成一个像，右边的镜像在左边的镜子里也成一个像，但是由于角度问题这两个像是重合的． 如图（3），当镜子M，N形成的“镜子门”张角大小为时，在两镜面夹角的平分线上放一个小球S，小球S在平面镜中所成的像为，，像在镜面N里又成像同理在镜面M里又成像，由角度可以推算出，，是重合的． （2）【实验三】如图（4），当“镜子门”张角的大小为时，在两镜面夹角的平分线上放一个小球，它在两平面镜中所成完整像的个数为______． （3）【实验四】当“镜子门”张角的大小为时，在两镜面夹角的平分线上放一个小球，它在两平面镜中所成完整像的个数为______．…… （4）【规律总结】当“镜子门”张角的大小为（且能被整除）时，在两镜面夹角的平分线上放一个小球，它在两平面镜中所成完整像的个数为______．（用含n的式子表示） 3．（24-25八年级下·甘肃平凉·期末）如图，已知一次函数图象分别与轴交于点两点，正比例函数图象与交于点，已知点的横坐标是． (1)求该一次函数的关系式； (2)若轴正半轴上有一点，过点作直线轴，交直线于点，交直线于点，若的长为6，求点的坐标； (3)轴上有一动点，连接，，求当周长取最小值时点的坐标． 4．（24-25七年级下·广东深圳·期末）折纸中的数学 【知识背景】我们在第五章《图形的轴对称》中学习了角的平分线，并会用折纸的方法作角平分线． 如图，将纸片折叠使与重合，得到折痕，此时与重合，即，所以射线是的平分线． 【知识初探】 （1）如图1．小明发现通过折纸的方法可以得到两条互相垂直的线段（长方形自有的直角的两边除外），他的做法是指长方形纸片分别沿射线，折叠成如图所示的样子，此时点B，C，D分别落在点，，处，且和在同一条直线上，这样就得到了两条相互垂直的线段，请你写出这两条互相垂直的线段，并说明理由； 【类比再探】 （2）如图2，在四边形的纸片中，，，，连接，小亮将四边形的纸片进行折叠，首先折出了的角平分线，又将沿折叠，点的对应点恰好落在射线上，求线段的长度． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 15.1 轴对称图形 题型一 轴对称图形的识别 1．（24-25七年级下·山东济南·期末）第届世界乒乓球锦标赛于年月日至日在卡塔尔多哈举办，我国乒乓球运动员在比赛中取得优异成绩，下列世乒赛标识中，是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了轴对称图形的定义，熟练掌握轴对称图形的定义是解答本题的关键，根据轴对称图形的定义逐项分析即可． 【详解】解：选项B，C，D的图形均不能找到一条直线，使图形沿该直线对折后直线两旁的部分能够完全重合，所以不是轴对称图形； 选项A的图形能找到这样的一条直线，使图形沿该直线对折后直线两旁的部分能够完全重合，所以是轴对称图形． 故选：A ． 2．（24-25七年级下·河南周口·期末）下列几何图形：①等腰三角形；②直角三角形；③角；④线段；⑤任意三角形．其中，一定是轴对称图形的有 ．（填序号） 【答案】①③④ 【分析】本题考查了轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称．直接利用轴对称图形的概念分析得出答案． 【详解】解：一定是轴对称图形的有：①等腰三角形；③角；④线段； 故答案为：①③④． 3．（24-25七年级下·全国·假期作业）若阿光以四种不同的方式连结正六边形的两条对角线，连结后的情形如下列选项中的图形所示，则下列哪一个图形不是轴对称图形（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查轴对称图形的定义，熟记定义并掌握图形的特征是解题的关键. 沿着一条直线翻折后两侧能够完全重合的图形是轴对称图形，根据轴对称的定义依次判断. 【详解】A、是轴对称图形； B、是轴对称图形； C、是轴对称图形； D、不是轴对称图形， 故选：D. 4．（23-24八年级上·广东湛江·期中）如图四个图案中，具有一个共有的性质．则下面四个数字中，满足上述性质的一个是（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称图形，解题关键是掌握轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．题目中的四个图形都是轴对称图形，据此即可作出判断． 【详解】解：四个图形都是轴对称图形，在6，7，8，9中是轴对称图形的只有8． 故选C． 题型二 求对称轴条数 5．（2025·福建漳州·模拟预测）下列四个轴对称图形中，对称轴条数最少的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查轴对称图形的知识，要求掌握好轴对称的概念．轴对称的关键是寻找对称轴，图形折叠后直线两旁的部分能够互相重合．根据轴对称图形的概念求解，确定各个图形有几条对称轴，然后即可得出答案． 【详解】解：选项A的图形有1条对称轴，选项B的图形有无数条对称轴，选项C的图形均有2条对称轴，选项D的图形有3条对称轴， 所以对称轴条数最少的图形是A． 故选：A． 6．（2025·北京·模拟预测）下列图形都是轴对称图形，其中恰有2条对称轴的图形是（   ） A．B．C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称图形的对称轴，掌握轴对称图形定义，确定对称轴是关键． 轴对称图形是在平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，由此确定对称轴即可求解． 【详解】解：A、，有3条对称轴，不符合题意； B、，有4条对称轴，不符合题意； C、，有2条对称轴，符合题意； D、，有6条对称轴，不符合题意； 故选：C ． 7．（24-25八年级上·河北邯郸·阶段练习）如图，每个小方格均为边长为1的正方形，四个涂色的小正方形组成的图形的对称轴有m条，再将剩余的五个小正方形中的一个涂色，若由这五个涂色的小正方形组成的新图形的对称轴的条数也为m，则涂色的正方形是 ． 【答案】③ 【分析】本题考查了对称轴的数量，根据对称轴的定义逐一判断即可． 【详解】解：由题意可知，四个涂色的小正方形组成的图形的对称轴有条，即， 涂色的正方形是①，组成的图形的对称轴有条，不符合题意； 涂色的正方形是②，组成的图形的对称轴有条，不符合题意； 涂色的正方形是③，组成的图形的对称轴有条，符合题意； 涂色的正方形是④，组成的图形的对称轴有条，不符合题意； 故答案为：③． 8．（24-25七年级下·全国·随堂练习）指出下列轴对称图形各有几条对称轴，并把它们作出来． 【答案】对称轴的条数分别为1条、2条、2条、4条，图见解析 【分析】本题主要考查画轴对称图形的对称轴，解题的关键是熟练掌握轴对称的定义．如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形．根据轴对称图形的定义进行逐一解答即可． 【详解】解：4个图形对称轴的条数分别为1条、2条、2条、4条．如答图所示． 9．（23-24七年级上·山东烟台·期中）（1）如图所示的正多边形的对称轴有几条？把答案写在图下方的横线上：    正三角形有______条对称轴，正四边形有______条对称轴， 正五边形有______条对称轴，正六边形有______条对称轴， 正七边形有______条对称轴，正八边形有______条对称轴； （2）一个正n边形有______条对称轴； （3）在图①中画出正六边形的一条对称轴l；    在图②中，只能用无刻度的直尺，准确画出正五边形的一条对称轴m．（不写画法，保留画图痕迹）    【答案】（1）3， 4，5， 6，7， 8；（2）n；（3）见解析 【分析】（1）由正多边形有几个顶点，就有几条对称轴，从而可得答案； （2）由正多边形有几个顶点，就有几条对称轴，从而可得答案； （3）利用正六边形有偶数条边，画出正六边形的对称轴即可，利用全等三角形的性质或等腰三角形的性质画正五边形的对称轴即可． 【详解】解：（1）正三角形有3条对称轴，正四边形有4条对称轴， 正五边形有5条对称轴，正六边形有6条对称轴， 正七边形有7条对称轴，正八边形有8条对称轴； （2）一个正n边形有条对称轴； （3）如图所示，在图①中直线l即为所求；在图②中直线m即为所求．    图②也可以如下作法．    【点睛】本题考查的是正多边形的性质，理解正多边形是轴对称图形，正多边形有几个顶点就有几条对称轴是解本题的关键． 题型三 根据成轴对称图形的特征进行判断 10．（24-25七年级下·山西晋中·期末）如图1是山西博物院主馆，整体外观造型“如斗似鼎”．小明绘制了从正面看到的主馆图（图2），该图形是一个轴对称图形，直线是它的对称轴，则下列说法错误的是（   ） A． B．线段被直线垂直平分 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是轴对称图形，熟知关于轴对称图形的相关性质是解题的关键，利用性质逐一对选项进行判断． 【详解】A选项，轴对称图形对应角相等A选项，所以，故A正确； B选项，轴对称图形对应点所连线段被对称轴垂直平分，因为，是对应点，所以线段被直线垂直平分，故B正确； C选项，由图可知，和为一组对应角，所以，故C错误； D选项，轴对称图形对应线段相等，所以，故D正确． 故答案选：C． 11．（24-25八年级上·内蒙古通辽·期中）如图，与关于直线对称，P为上任一点（与共线），下列结论中错误的是（  ） A． B．垂直平分， C．与面积相等 D．直线、的交点不一定在上 【答案】D 【分析】本题考查轴对称的性质与运用，对应点的连线与对称轴的位置关系是互相垂直，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，对应的角、线段都相等．据对称轴的定义，与关于直线对称，P为上任意一点，可以判断出图中各点或线段之间的关系． 【详解】解：∵与关于直线对称，P为上任意一点， ∴，垂直平分，，这两个三角形的面积相等，A、B、C选项正确； 直线、关于直线对称，因此交点一定在上，D错误； 故选：D． 12．（2025·河北邢台·三模）剪纸是我国传统民间艺术之一．嘉嘉将一张圆形纸片按图3的流程进行操作，即先沿虚线对折两次，再沿虚线剪开，则展开后的剪纸形状是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了轴对称的性质，熟练掌握轴对称图形的特点是解题的关键．根据轴对称的性质，观察选项中右下角的图是否符合图3最右边的图即可得出答案． 【详解】 解：A、中右下角的图符合图3最右边的图，符合题意； B、中右下角的图不符合图3最右边的图，不符合题意； C、中右下角的图不符合图3最右边的图，不符合题意； D、中右下角的图不符合图3最右边的图，不符合题意； 故选：A． 13．（24-25八年级上·全国·期中）如图，和关于直线对称，下列结论中不正确的（　　） （1）． （2）． （3）直线l垂直平分． （4）直线和的交点不一定在直线l上． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】D 【分析】本题主要考查了轴对称的性质、全等三角形的判定及线段垂直平分线的性质，熟知轴对称的性质是解题的关键．根据轴对称的性质，依次对所给结论进行判断即可． 【详解】解：因为和关于直线对称， 所以和能完全重合， 则． 故（1）正确． 由（1）可知， ． 故（2）正确． 因为点和点关于直线对称， 所以直线垂直平分． 故（3）正确． 因为直线和直线关于直线对称， 所以当直线与直线有交点时，此交点一定在对称轴上． 故（4）错误． 故选：D． 题型四 根据成轴对称图形的特征进行求解 14．（24-25七年级下·江苏徐州·期中）如图，已知，D为内一点，且，若点D关于的对称点分别记作点E，F，连接，则的面积为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了轴对称的性质及三角形的面积，熟知轴对称的性质是解题的关键．根据轴对称的性质得出及，再结合三角形的面积公式即可解决问题． 【详解】解：如图所示， ∵点D关于的对称点分别记作点E，F， ∴， 又∵， ∴， ∴的面积为． 故答案为：． 15．（24-25八年级下·广东茂名·阶段练习）如图，一种滑翔伞的形状是左右对称的四边形，其中，，则的度数是 ； 【答案】/65度 【分析】本题考查了轴对称的性质以及多边形的内角和定理，掌握四边形内角和是 360 度是解决问题的关键． 利用四边形内角和定理求出的度数即可． 【详解】解：∵滑翔伞的形状是左右成轴对称的四边形， ， ∴， 故答案为：． 16．如图，正方形的边长为4，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】8 【分析】本题主要考查了轴对称的性质，根据轴对称图形的性质可得下方的阴影部分的梯形面积等于上方空白部分的梯形面积，则阴影部分面积等于的面积，据此求解即可． 【详解】解：由轴对称图形的性质可得， 故答案为：； 17．（24-25八年级下·上海·期中）在中，点的坐标为、点的坐标为，点的坐标为，要使以点、、为顶点的三角形与全等（与不重合），则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】此题考查了轴对称的性质、全等三角形的性质等知识，根据题意可得与关于直线成轴对称，据此即可求出的坐标． 【详解】解：∵以点、、为顶点的三角形与全等（与不重合）， ∴与关于直线成轴对称， ∴与关于直线成轴对称， 由题意可得直线为， ∵的坐标为 ∴的坐标为， 故答案为： 题型五 画轴对称图形 17．（24-25八年级上·广东东莞·阶段练习）在直角坐标系中，的位置如图所示． (1)请画出关于x轴对称的； (2)写出点的坐标（  ，  ），（  ，  ） 【答案】(1)见解析 (2)， 【分析】本题考查平面直角坐标系中作关于x轴的对称图形，点的坐标，掌握知识点是解题的关键． （1）根据轴对称的定义，即可解答； （2）根据平面直角坐标系中的点的坐标，即可解答． 【详解】（1）解：作图如图 （2）由图可知，，． 18．（24-25八年级上·湖北恩施·阶段练习）如图，在下列带有坐标系的网格中，的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上，．仅用无刻度的直尺在给定网格中画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示，并完成下列问题． (1)在图1中，画出关于y轴对称的（点D与点A对应），点E的坐标为______； (2)在图1中，画出的中线，点M的坐标为______； (3)在图2中，画出的高；（保留作图痕迹） (4)在图2中，P为线段上任一点，画出点P关于y轴对称的点． 【答案】(1)图见解析， (2)图见解析， (3)见解析 (4)见解析 【分析】本题主要考查了在网格中作三角形的高和中线以及作轴对称图形，解题的关键是作出对应点，掌握网格的结构特点． （1）作出点A、B关于y轴的对称点D、E，然后顺次连接即可，写出点E的坐标； （2）连接，交于一点M，连接即可，根据点M为的中点，写出点M的坐标即可； （3）连接，交于一点F，则即为的高； （4）作出点关于轴对称的点，连接，即可得到答案． 【详解】（1）解：作出点A、B关于y轴的对称点D、E，则即为所求作的三角形． 点E的坐标为：． 故答案为：． （2）解：连接，交于一点M，连接，点M即为所求， 根据作图可知，点M为所在方格的中点上，点M的坐标为． 故答案为：； （3）解：连接，交于一点F，如图所示： （4）作出点关于轴对称的点，连接，即可得到点． 19．（24-25八年级上·河南郑州·阶段练习）在边长为个单位长度的正方形网格中建立如图所示的平面直角坐标系，的顶点都在格点上(小正方形的顶点称为格点),请解答下列问题： (1)画出关于轴对称的，并写出点为（___________，___________）； (2)求出的面积为___________； (3)在轴上存在一点使得最小，在图中画出点的位置，则点为（___________，___________）． 【答案】(1)画图见解析，， (2) (3)画图见解析，， 【分析】（）根据轴对称的性质作出图形，再根据图形写出坐标即可； （）利用割补法求三角形的面积即可； （）连接，交轴于点，由轴对称性可得，进而得，根据两点之间线段最短，可知此时的值最小，故点即为所求，再根据图形写出点的坐标即可； 本题考查了作图轴对称变换，轴对称最短路线问题，坐标与图形，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求， 由图可得，点的坐标为， 故答案为：，； （2）解：的面积， 故答案为：； （3）解：如图所示，点即为所求，由图可得，点的坐标为， 故答案为：，． 题型六 轴对称图形的设计 20．（24-25八年级上·吉林·期中）轴对称（或称对称轴）的概念早在古希腊时期就已经出现．古希腊哲学家柏拉图在其著作《会晤篇》中，就提到了“对称”的概念，并阐述了对称的重要性．在数学和物理学等领域中，轴对称一直都是一个重要的概念，被广泛应用于各种理论和实践中．如图是由三个阴影的小正方形组成的图形，请你在三个网格图中，各补画出一个有阴影的小正方形，使补画后的图形为轴对称图形． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了轴对称图形，如果一个图形沿着某条直线折叠后，直线两旁的部分可以完全重合，这个图形就是轴对称图形，解决本题的关键是根据图形中已有的阴影正方形的位置和轴对称图形的定义作图． 【详解】解：如下图所示， （答案不唯一） 21．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）在图分别补充个小方块，在图中分别补充个小方块，分别使它们成为轴对称图形． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了轴对称图形，根据轴对称图形的定义解答即可，解题的关键是掌握轴对称图形的定义，轴对称图形的定义：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴． 【详解】解：如图，（答案不唯一） 22．（24-25八年级上·四川广安·期中）如图甲，正方形被划分成16个全等的三角形，将其中若干个三角形涂黑，且满足下列条件： （1）涂黑部分的面积是原正方形面积的一半； （2）涂黑部分成轴对称图形． 图乙与图丙是一种涂法，请在图中分别设计另外三种涂法．（注：在所设计的图案中，若涂黑部分全等，则认为是同一种涂法，如图乙与图丙） 【答案】见解析 【分析】本题考查了作图轴对称图形，掌握轴对称的性质是解题关键．根据轴对称的性质作图即可． 【详解】解：如图所示， 23．（24-25八年级上·四川广安·阶段练习）如图所示，在的方格内，已将其中的2个小正方形涂成黑色，请你分别在图①、图②、图③、图④中再将两个空白的小正方形涂成黑色，使4个黑色小正方形组成一个轴对称图形，画出与示意图不同的4种方案．（每个的方格内限画一种） 要求： （1）4个黑色小正方形必须相连；（有公共边或公共顶点视为相连） （2）将选中的小正方形方格用黑色签字笔涂成阴影图形．（若两个方案的图形经过翻折、平移、旋转后能够重合，均视为一种方案） 【答案】见解析 【分析】此题主要考查了利用旋转设计图案，正确掌握相关图形性质是解题关键．利用轴对称图形的性质以及旋转的性质、平移的性质分别得出符合题意的答案． 【详解】解：如图所示： ． 题型一 折叠问题 1．（24-25八年级上·辽宁大连·阶段练习）如图，在中，点D在上，，，将沿着翻折得到，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了翻折变换的性质、等腰三角形的性质、三角形的外角性质等知识，熟练掌握翻折变换的性质和等腰三角形的性质是解题的关键．由等腰三角形的性质得，再由三角形的外角性质得，则，然后由折叠的性质得，即可求解． 【详解】解：， ， ， ， 由折叠的性质得：， ， 故选：A． 2．（24-25八年级下·内蒙古包头·期末）如图，将平行四边形沿对角线折叠，点恰好落在延长线上的点处，若交于点，则下列结论一定正确的是（   ） A． B．是直角三角形 C．平分 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查平行四边形的性质，折叠的性质，掌握以上知识，数形结合分析是关键． 根据平行四边形的性质，折叠的性质，数形结合分析逐一判定即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵折叠， ∴， ∴，， ∴，，则， ∴， ∴，即， ∴点是的中点， ∴，故D选项正确，符合题意； ∴是等腰三角形， ∵， ∴是直角三角形，错误，故B选项不符合题意； 如图所示，连接， ∴四边形是矩形， ∵的数量关系不确定， ∴平分错误，故C选项不符合题意； ∵，但的位置关系不确定， ∴， ∴，故A选项不符合题意； 综上所述，只有D选项正确， 故选：D． 3．（24-25八年级下·河南开封·期末）在学习《三角形的证明》这一章的内容时，小强认为“在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°，为了证明这个命题的准确性，他画出了如图1所示的图形，并写出了已知和求证． (1)在证明这个命题时，小强联想到“在直角三角形中，如果一个锐角等于30，那么它所对的直角边等于斜边的一半”这个命题，由于这两个命题是互逆命题，就想着在方法上有可借鉴的地方，尝试着做了下面的辅助线：延长到，使，连接．请在小强思路的基础上完成证明过程． 已知：中，，， 求证：， 证明：延长到，使，连接． … (2)如图2，小强取了一张长方形纸片，且，沿过点的折痕将翻折，使得点落在上的点处，折痕交于点，则的度数为 ． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查翻折的性质，等边三角形的性质与判定，命题与定理，含度的直角三角形，解题的关键是掌握相关知识解决问题． （1）延长到，使，连接．证明是等边三角形可得结论； （2）证明可得结论． 【详解】（1）证明：延长到，使，连接． ， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ； （2）解：四边形是长方形， ，，， ，， ， 由（1）可得， ， ． 故答案为：． 题型二 镜面对称 1．（24-25七年级下·江苏盐城·期中）若看到镜子中的一串数字为  ，则这串数字实际是 ． 【答案】 【分析】本题考查镜面反射的原理与性质，根据镜面对称的性质，在平面镜中的像与现实中的事物恰好顺序颠倒，且关于镜面对称．解决此类题应认真观察，注意技巧． 【详解】 解：若看到镜子中的一串数字为  ，则这串数字实际是， 故答案为：． 2．（24-25八年级上·江苏连云港·期中）小强从镜子中看到的电子表的度数如图所示，则电子表的实际读数是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是镜面成像原理，根据镜面成像原理，所成的像为反像，可判断电子表的实际读数． 【详解】解：∵镜面所成的像为反像， ∴此时电子表的实际读数是． 故答案为：． 3．（24-25八年级上·全国·单元测试）雨后，地上的积水犹如一块澄澈的平面镜，某路段监控摄像头在雨后拍摄，由于位置偏离，拍摄中心聚集在了水面上，摄像头侦测到一小轿车超速行驶，积水中倒映的车牌为“”，那么该小轿车的真实车牌号为 ． 【答案】苏 【分析】本题考查了镜面对称，解决本题的关键是找到相应的对称轴；难点是作出相应的对称图形．根据成轴对称的性质求解即可． 【详解】由轴对称的性质可得，该小轿车的真实车牌号为苏． 故答案为：苏． 4．（24-25八年级上·广东珠海·期中）明明在镜中看到身后墙上的时钟如下，你认为实际时间最接近的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了镜面对称的性质，根据镜面对称的性质，在平面镜中的钟面上的时针、分针的位置和实物应关于过12时、6时的直线成轴对称，然后分别求出每个选项中的时间，进而求解即可． 【详解】解：A、实际时间大约为； B、实际时间大约为； C、实际时间大约为； D、实际时间大约为； ∴实际时间最接近的是． 故选：D． 5．（23-24八年级上·全国·单元测试）如图，，，，是四面互相垂直摆放的镜子，镜面向内，在镜面上放了写有字母“”的纸片，某人站在处可以看到镜面上的字母在镜面，，中的影像，则下列判断中正确的是（　　）    A．镜面与中的影像一致 B．镜面与中的影像一致 C．镜面与中的影像一致 D．在镜面中的影像是“” 【答案】C 【分析】本题考查镜面反射的原理与性质．根据镜面对称的性质，在平面镜中的像与现实中的事物恰好顺序颠倒，且关于镜面对称，可求得镜面与中的影像一致． 【详解】解：根据题意得： 在处可以看到镜面上的字母在镜面与中的影像都是“”， 镜面与中的影像一致． 故选：C． 题型三 台球桌面的轴对称图形 1．（22-23八年级上·广东深圳·期中）如图动点从出发，沿如图所示方向运动，每当碰到矩形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当点第2014次碰到长方形的边时，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据反弹时反射角等于入射角作出图形，可知每6次反弹为一个循环组依次循环，用2014除以6，根据商和余数的情况确定所对应的点的坐标即可． 【详解】解：如图，经过6次反弹后点回到出发点， ∵， ∴当点P第2014次碰到矩形的边时为第336个循环组第4次碰到矩形的边， ∴点P的坐标为． 故选：B． 【点睛】此题主要考查了点坐标的规律探索，作出图形，观察出每6次反弹为一个循环组依次循环是解题的关键． 2．（23-24八年级上·辽宁铁岭·期中）2005年4月3日，斯诺克中国公开赛，中国江苏神奇小子丁俊晖奇迹般地战胜了世界头号选手亨德利，夺得了自己首个世界台球职业排名赛冠军，如图，是一个经过改造的台球桌面的示意图，图中阴影部分分别表示六个入球孔，如果一个球按图中所示的方向被击出（球可以经过多次反射），那么该球最后将落入的球袋是 号袋． 【答案】3 【分析】主要考查了轴对称的性质．根据题意画出图形，由轴对称的性质判定正确选项． 【详解】解：根据轴对称的性质可知，台球走过的路径为： ∴该球最后将落入的球袋是3号． 故答案为：3． 3．（22-23八年级上·江苏徐州·阶段练习）如图，桌面上有A、B两球，若要将B球射向桌面的任意一边，使一次反弹后击中A球，则如图所示8个点中，可以瞄准的点有 个． 【答案】2 【分析】根据入射角等于反射角，结合网格特点即可求解． 【详解】解：如图，将B球射向桌面的点1和点6，可使一次反弹后击中A球，故可以瞄准的点有2个， 故答案为：2． 【点睛】本题考查轴对称的性质，解题关键是根据轴对称性质找到使入射角等于反射角相等的点． 4．（23-24八年级上·江苏南京·阶段练习）【情境】2023年3月11日，2023斯诺克6红球世锦赛决赛，丁俊晖以8﹣6击败本土作战的塔猜亚•乌诺，继2016年后第二次夺得冠军．在台球比赛中，球台边也叫“库”，球撞击一次球台边叫做“一库”，球撞击两次球台边叫做“两库”，以此类推… 【建模】（1）在台球桌上也有我们熟悉的数学模型：如图①，在长方形球台内有白球B、红球H两点，从点B出发，击中球台边，反弹击中点H（“一库”）．请画出白球B的路径，并用箭头标出方向． 【应用】（2）若让白球B弹“两库”击中红球H会有_____种情况，请选择一种情况在图②中画出白球B的路径，并用箭头标出方向． 【拓展】（3）若让白球B弹“三库”击中红球H会有_______种情况，请在图③中画出白球B的路径，并用箭头标出方向． 【答案】（1）见解析；（2）6，见解析；（3）4，见解析 【分析】本题考查了轴对称的运用，轴对称的性质，线段垂直平分线的性质，镜面对称，轴对称最短路线问题等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行画图和推理是解此题的关键． （1）按要求作图即可； （2）根据要求画出6种路径即可； （3）根据要求画出4种路径即可． 【详解】解：（1）作点关于的对称点，连接交于，连接， 则为白球的路径，如图①所示． ； （2）如图②⑦共6种情况， 故答案为：6． （3）如图所示，共有4种， 故答案为：4． 题型三 轴对称中的光线反射问题 1．（2025·山西吕梁·二模）如图，为平面镜，为水面，．一束光线从点射入，经过平面镜反射后，从光线变成光线，再经过水面折射，从光线变成光线．若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查求角度，涉及反射性质、平行线性质、对顶角相等等知识，如图所示，由反射性质得到，再由平行线性质、对顶角相等确定，最后数形结合表示出即可得到答案．数形结合，掌握反射性质、平行线性质、对顶角相等等知识是解决问题的关键． 【详解】解：如图所示： 由反射性质可知，， ， ，则， ， ， ， ， ， 故选：B． 2．（2024·江西·二模）我们知道光的反射是一种常见的物理现象.如图，某 V 型路口放置如图所示的两个平面镜，，两个平面镜所成的夹角为，位于点 D 处的甲同学在平面镜 中看到位于点A处的乙同学的像，其中光的路径为入射光线 经过平面镜反射后，又沿射向平面镜，在点 C 处再次反射，反射光线为，已知入射光线，反射光线 ，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了光的反射定律，平行线的性质，三角形的内角和定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键．由光的反射定律以及平行线的性质，推出，再结合三角形内角和，推出的度数． 【详解】如图所示，由光的反射定律，可以知道， ， ， 故选：C ． 3．（23-24八年级上·陕西西安·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴交于两点，一束光从点发出，射向轴上的点，经点反射后经过上一点，则点的坐标是(    )    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】在上方取点，使，过作轴交延长线于，证明，可求出，直线函数表达式为，联立解析式，即可求解． 【详解】解：在上方取点，使，过作轴交延长线于，如图：    由反射定律可得，， ．， ， ， ， 由，得直线函数表达式为， 解得： ∴ 故选：B． 【点睛】本题考查一次函数的应用，解题的关键是根据反射定律，构造三角形全等解决问题． 4．（24-25八年级下·安徽阜阳·期末）如图，一束光线从点出发，经过轴上的点反射后经过点，则的值是 ． 【答案】2 【分析】本题考查一次函数的应用，掌握待定系数法求一次函数的关系式及光的反射定律是解题的关键． 求出点关于轴的对应点的坐标，根据光的反射定律，点在所在的直线上，根据待定系数法求出所在的直线对应的函数关系式，将点的坐标代入该函数，从而求出的值即可． 【详解】解：设点关于轴的对应点为，则，根据光的反射定律，点在所在的直线上， 设所在的直线对应的函数关系式为、为常数，且， 将坐标和分别代入， 得， 解得， 所在的直线对应的函数关系式为， 将代入，得， 经整理，得． 故答案为：2． 5．（22-23八年级上·全国·课后作业）当光线经过镜面反射时，入射光线、反射光线与镜面所夹的角对应相等．例如：在图①、图②中都有．设镜子与的夹角． (1)如图①，若，判断入射光线与反射光线的位置关系，并说明理由． (2)如图②，若，入射光线与反射光线的夹角．探索与的数量关系，并说明理由． (3)如图③，若，设镜子与的夹角为钝角，入射光线与镜面的夹角．已知入射光线从镜面开始反射，经过为正整数，且）次反射，当第次反射光线与入射光线平行时，请直接写出的度数（可用含的代数式表示）． 【答案】(1)，见解析 (2)，见解析 (3)或 【分析】（1）根据，可得，进而得出利用同旁内角互补，两直线平行加以证明； （2）根据，得出利用三角形的外角性质证明即可； （3）分两个镜面夹角为直角和钝角两种情形求解即可． 【详解】（1）解： 理由如下：在中， ， ， ， ； （2）． 理由如下：在中， 在中， ； （3）或 如图，当夹角为钝角时，根据（2）中的结论，得 ， 根据平行线性质，得： ， ∴； 如图，当夹角为直角时，根据（1）中的结论，得 ， 根据三角形外角性质，得： ∴． ∴的度数为或． 【点睛】本题考查了平行线的性质，轴对称的性质，数学的分类思想，三角形内角和定理，类比思想，根据前面的结论，灵活进行分类求解是解题的关键． 1．（24-25七年级下·湖北襄阳·期末）学科融合：物理学中把经过入射点O并垂直于反射面的直线叫作法线，入射光线与法线的夹角i叫入射角，反射光线与法线的夹角r叫作反射角（如图1）．在反射现象中，反射光线、入射光线和法线都在同一个平面内；反射光线和入射光线分别位于法线的两侧；入射角等于反射角．这就是光的反射定律． 问题解决： （1）如图2，潜望镜中的两面镜子是互相平行放置的，已知入射光线与平面镜的夹角，那么入射光线经过两次反射后，两反射光线形成的夹角， ； （2）如图3，当两个平面镜，的夹角是多少度时，可以使任何射到平面镜上的入射光线，经过平面镜，两次反射后，得到．请说明理由； 尝试探究： （3）人们发现了一种曲面的反射光罩，使汽车灯泡在点O处发出的光线反射后都能平行射出，在如图4所示的截面内，已知入射光线的反射光线为，．若一入射光线（点D是入射光线与反射光罩的交点）经反射光罩后沿射出，且，请求出的度数． 【答案】（1）；（2），见解析；（3）或 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质、光线的反射问题等知识点，掌握平行线的判定与性质以及分类讨论思想成为解题的关键. （1）根据光的反射定律以及平行线的性质即可解答； （2）根据光的反射定律和平行线的判定和性质求解即可； （3）分点D在点C下方和上方两种情况，分别根据光的反射定律和平行线的性质求解即可． 【详解】解：（1）由光的反射定律可知， ∴， 又∵， ∴， ∴∠2=180°-2∠PCB=180°-100°=80°， 故答案为：． （2）时，可以使任何射到平面镜上的入射光线，经过平面镜，两次反射后，得到，理由如下： 根据光的反射定律及等角的余角相等，可得，， 如图，过点O作， ∵， ， ，，， ，，， ，， ，， ． （3）如图1所示，当点D在点C下方时， 由题意可知， ，， ，，， ； 如图2所示，当点D在点C上方时， 由题意可知， ，， ． 综上，的度数为或． 2．（24-25七年级下·山西晋中·期末）项目化学习：万花筒是一种通过光的反射产生对称图形的光学玩具．是1816年苏格兰物理学家大卫·布鲁斯特发明． 为了寻找万花筒成像完整的方法，项目化小组将两面镜的背面用胶带粘贴形成一个可以自由开合的“镜子门”，通过实验探究“镜子门”张角的大小对成像完整的影响，发现了一些规律，请你协助他们完成下列数据的填写． 【实验一】如图（1）当“镜子门”张角的大小为时，在两镜面夹角的平分线上放一个小球，可以在两平面镜中看到完整的2个小球． （1）【实验二】如图（2），当“镜子门”张角的大小为时，在两镜面夹角的平分线上放一个小球，可以在两平面镜中看到完整的______个小球． 项目化小组成员通过查阅资料，了解到其中的原理：左边的镜子成一个像，右边的镜子成一个像，这是两个基本像点，只要它们落在另一镜前就会相互反射形成多个镜像，因此左边的镜像在右边的镜子里又成一个像，右边的镜像在左边的镜子里也成一个像，但是由于角度问题这两个像是重合的． 如图（3），当镜子M，N形成的“镜子门”张角大小为时，在两镜面夹角的平分线上放一个小球S，小球S在平面镜中所成的像为，，像在镜面N里又成像同理在镜面M里又成像，由角度可以推算出，，是重合的． （2）【实验三】如图（4），当“镜子门”张角的大小为时，在两镜面夹角的平分线上放一个小球，它在两平面镜中所成完整像的个数为______． （3）【实验四】当“镜子门”张角的大小为时，在两镜面夹角的平分线上放一个小球，它在两平面镜中所成完整像的个数为______． …… （4）【规律总结】当“镜子门”张角的大小为（且能被整除）时，在两镜面夹角的平分线上放一个小球，它在两平面镜中所成完整像的个数为______．（用含n的式子表示） 【答案】 （1）3 （2）5 （3）7 （4） 【分析】本题考查了折射的提醒，在于观察生活以及对物体成像的理解，较为抽象，比较难懂，解题关键在于熟悉知识体系， 根据两个平面镜互相成像，所成像与小球将角分成几个均等的区域，并呈放射状，出现的像与小球就在每个区域上面，然后分别解答即可. 【详解】解：（1）原理：左边的镜子成一个像，右边的镜子成一个像，这是两个基本像点，只要它们落在另一镜前就会相互反射形成多个镜像，因此左边的镜像在右边的镜子里又成一个像，右边的镜像在左边的镜子里也成一个像，但是由于角度问题这两个像是重合的． 故答案为：3. （2）由题可知，当“镜子门”张角的大小为时，在两镜面夹角的平分线上放一个小球，它在两平面镜中所成完整像的个数为5． 故答案为：5. （3）如图：可知当“镜子门”张角的大小为时，在两镜面夹角的平分线上放一个小球，它在两平面镜中所成完整像的个数为7． 故答案为：7. （4）两个平面镜互相成像，所成像与小球将角分成几个均等的区域，并呈放射状，出现的像与小球就在每个区域上面，故当“镜子门”张角的大小为（且能被360整除）时，在两镜面夹角的平分线上放一个小球，它在两平面镜中所成完整像的个数为． 故答案为：. 3．（24-25八年级下·甘肃平凉·期末）如图，已知一次函数图象分别与轴交于点两点，正比例函数图象与交于点，已知点的横坐标是． (1)求该一次函数的关系式； (2)若轴正半轴上有一点，过点作直线轴，交直线于点，交直线于点，若的长为6，求点的坐标； (3)轴上有一动点，连接，，求当周长取最小值时点的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）设的关系式为，将和两点坐标代入解析式解答即可； （2）设点的坐标为，，解答即可． （3）作点关于轴对称点，连接交轴于点，则，当三点共线，即当在点处时，的周长最小，设直线的解析式为，将和坐标代入解答即可． 本题考查了待定系数法，轴对称的性质求最值，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：的横坐标是， 代入中得， ， 设的关系式为，将和两点坐标代入得， ， 解得， 一次函数的关系式为． （2）解：设点的坐标为， ， ， ， 解得， 点的坐标为． （3）解：在中，令， 解得， ， 作点关于轴对称点，连接交轴于点，则， 则，当三点共线，即当在点处时，的周长最小， 设直线的解析式为，将和坐标代入得， 解得 直线的解析式为， 是直线与轴交点， 令，得， ． 4．（24-25七年级下·广东深圳·期末）折纸中的数学 【知识背景】我们在第五章《图形的轴对称》中学习了角的平分线，并会用折纸的方法作角平分线． 如图，将纸片折叠使与重合，得到折痕，此时与重合，即，所以射线是的平分线． 【知识初探】 （1）如图1．小明发现通过折纸的方法可以得到两条互相垂直的线段（长方形自有的直角的两边除外），他的做法是指长方形纸片分别沿射线，折叠成如图所示的样子，此时点B，C，D分别落在点，，处，且和在同一条直线上，这样就得到了两条相互垂直的线段，请你写出这两条互相垂直的线段，并说明理由； 【类比再探】 （2）如图2，在四边形的纸片中，，，，连接，小亮将四边形的纸片进行折叠，首先折出了的角平分线，又将沿折叠，点的对应点恰好落在射线上，求线段的长度． 【答案】（1），理由见解析（2）10 【分析】本题考查折叠的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握折叠的性质，添加辅助线构造全等三角形，是解题的关键： （1）根据折叠的性质和平角的定义，推出，即可得出结论； （2）延长交于点，根据翻折的性质，角平分线的定义，推出，进而得到，推出，再证明，得到，即可得出结果． 【详解】解：（1），理由如下： ∵折叠， ∴， ∵， ∴， ∴，即：， ∴； （2）延长交于点，如图， ∵翻折， ∴， ∴， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$