专题01 正数与负数重难点题型专训（6个知识点+12大题型+3大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年七年级数学上册重难点专题提升精讲精练（苏科版2024）

专题01 正数与负数重难点题型专训 （6个知识点+12大题型+3拓展训练+自我检测） 题型一 正数与负数的定义 题型二 正数与负数的分类 题型三 具有相反意义的量 题型四 正负数的意义 题型五 有理数的定义 题型六 0的意义 题型七 有理数的分类 题型八 带“非”的有理数 题型九 正负数的应用之温差问题 题型十 正负数的应用之时差问题 题型十一 正负数的应用之误差问题 题型十二 正负数的应用之简单计算问题 拓展训练一 有理数的分类综合 拓展训练二 有理数说法正误问题 拓展训练三 正负数的实际应用综合 知识点一、正数与负数 正数：像3.5，2020，6.7，等这样的数都是正数，它们都是大于0的； 负数：像－154，－3.4，－3.5％等这样的数都是负数，它们都是小于0的； 0既不是正数，也不是负数. 1.一个数前面的“＋”号或“－”号叫做它的符号，其中“＋”号可以省略不写，“－”号不能省略； 2.0的意义不但可以表示“没有”，还可以表示一些特定的意义，如0℃是一个确定的温度，不能说0℃没有温度； 3.判断一个数是正数还是负数，不能仅由数字前面的符号判断，不能理解为带“＋”号就是正数，带“－”号就是负数，如后面要讲的就是一个正数. 【即时训练】 1．（24-25七年级上·江苏苏州·阶段练习）在，，，，中，负数有（    ）个． A．2 B．3 C．4 D．5 2．（24-25七年级上·江苏南京·阶段练习）在和2026这五个有理数中，正数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 知识点二、具有相反意义的量 1.具有相反意义的量包括两个因素：①有相反的意义，②有数量. （1）单独的一个量不能称为具有相反意义的量，即具有相反意义的量总是成对出现的； （2）具有相反意义的量必须是同类量，如盈利200元与向东走200米就不是具有相反意义的量； （3）具有相反意义的量只要求具有相反意义和数量即可，数量不一定要相等，例：与上升100米是相反意义的量有很多，如下降10米、下降120米、下降200米等； （4）常见的具有相反意义的量：以海平面为基准，高于海平面为正，则低于海平面为负；常见的还有前进与后退，上升和下降，盈利和亏损，向南和向北等. 2.当我们把其中一种意义的量规定为正，用正数表示，则与它具有相反意义的量直接可以用负数表示. 【即时训练】 3．（24-25七年级上·江苏盐城·阶段练习）一个物体先向右移动了3米，再向左移动了9米，那么这个物体又移动了米的意思是（   ） A．物体又向右移动了3米 B．物体又向右移动了6米 C．物体又向左移动了3米 D．物体又向左移动了6米 4．（24-25七年级上·江苏常州·阶段练习）下面不具有相反意义的量是（    ） A．身高增加和体重增长3千克 B．节约3吨水和浪费2吨水 C．存入800元和支出500元 D．前进和后退 知识点三、整数和分数 整数：正整数、负整数、零统称为整数； 分数：正分数、负分数统称为分数； 易错点： 1.0不是分数，0是整数； 2.零和正整数又叫自然数； 3.正数和零统称为非负数，负数和零统称为非正数，正整数和零统称为非负整数（自然数），负整数和零统称为非负整数； 4.有限小数和无线循环小数都可以化成分数（见知识点五的拓展）. 【即时训练】 5．（24-25七年级上·江苏无锡·阶段练习）（   ） A．是负数，但不是分数 B．不是分数，是有理数 C．是分数，不是有理数 D．是分数，也是负数 6．整数可以看作分母为 的分数．正整数、0、负整数、正分数、负分数都可以写成 的形式，这样的数称为 数． 知识点四、用正负数表示误差范围 一般情况下，我们常用“”这种形式来表示误差范围，其中a表示标准数量，表示在标准数量的基础上误差范围. 【即时训练】 7．（24-25七年级上·江苏镇江·阶段练习）【正、负数】一种袋装食品标准净重为，质监工作人员为了解该种食品每袋的净重与标准的误差，把食品净重记为，那么食品净重就记为（    ）g． A． B． C． D． 8．（24-25七年级上·江苏南京·阶段练习）一批螺帽产品的内径要求可以有±0.03mm的误差，现抽查5个样品，超过规定的毫米值记为正数，不足值记为负数，检查结果如下表． 1 2 3 4 5 ＋0.031 ＋0.017 ＋0.023 －0.021 －0.015 则合乎要求的产品数量为（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 知识点五、有理数的概念 我们把能够写成分数形式（m，n是整数，n≠0）的数叫做有理数. 1.有理数只包括整数和分数； 2.有限小数和无限循环小数都可以化成分数，所以它们都是有理数； 3.无限不循环小数不能化成分数，所以无限不循环小数不是有理数，如π，等. 拓展：循环小数化成分数如果一个无限小数的各数位上的数字，从小数部分的某一位起，按一定顺序不断重复出现，那么这样的小数叫做无限循环小数，简称循环小数，其中重复出现的一个或几个数字叫做它的一个循环节． 循环小数又可以分为纯循环小数和混循环小数. （1）纯循环小数化分数 从小数点后面第一位起就开始循环的小数，叫做纯循环小数．例如：0．666…、等，纯循环小数化为分数的方法是：分子是由一个循环节的数字组成的数；分母的各位数字都是9，9的个数等于一个循环节的位数．例如：. （2）混循环小数化分数 如果小数点后面的开头几位不循环，到后面的某一位才开始循环，这样的小数叫做混循环小数．例如：、等，混循环小数化为分数的方法是：分子是不循环部分和一个循环节的数字组成的数减去不循环部分的数字组成的数所得的差，分母就是按一个循环节的位数写几个9，再在后面按不循环部分的位数添写几个0组成的数．例如：，. 【即时训练】 9．（24-25七年级上·江苏苏州·阶段练习）关于有理数说法正确的是（ ） A．不是分数 B．不带“”号的数都是正数 C．是自然数也是正数 D．能写成分数形式的数称为有理数 10．（24-25七年级上·江苏无锡·阶段练习）下列说法中正确的是（   ） A．0不是有理数 B．在有理数中有最小的数 C．有理数不是整数就是分数 D．若是有理数，则一定是负数 知识点六、有理数的分类 由有理数的特征，一般会有以下两种分法. 1.按定义分 2.按正负分 补充：有理数的分类原则 1 标准要统一，必须按同一分类标准进行分类，如将有理数分为正有理数、0和负分数，分类标准就不统一； 2 分类不重合，所分的各类应互不包含，如有理数分为非负有理数、0和正有理数就违反了这一原则； 3 分类无遗漏，所分各类之“和”必须是原来的全部，如将有理数分为正有理数和负有理数就漏掉了0. 【即时训练】 11．（24-25七年级上·江苏连云港·阶段练习）将下列各数填在相应的大括号里： 整数：{    …}； 正分数：{    …}； 非正有理数：{    …}． 12．（24-25七年级上·江苏苏州·阶段练习）将下列各数填入它所属的集合内：，，2024，，0，，，，，． (1)正有理数集合：{              …}． (2)负有理数集合：{              …}． (3)整数集合：{                 …}． 【经典例题一 正数与负数的定义】 【例1】（2024七年级上·全国·专题练习）下列说法中正确的是（　　） A．不带“”的数都是正数 B．不存在既不是正数，也不是负数的数 C．如果a是正数，那么一定是负数 D．一个数不是正数就是负数 1．（24-25七年级上·内蒙古通辽·期中）下列说法：（1）正数前加上一个负号就是负数；（2）不是正数的数就是负数；（3）只有带“”号的数才是正数；（4）既不是正数也不是负数．其中正确的有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 2．（24-25七年级上·河南洛阳·阶段练习）下列说法正确的有（　　） ①加正号的数是正数，加负号的数是负数； ②任意一个正数，前面加上一个“”号，就是一个负数； ③大于零的数是正数； ④字母a既是正数，又是负数． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 3．（24-25七年级上·河北保定·阶段练习）下列说法中，正确的是（    ） A．若a≥0，则－a是负数 B．－a是非正数 C．若－a是非正数，则a是非负数 D．－a大于0 【经典例题二 正数与负数的分类】 【例2】（24-25六年级下·黑龙江哈尔滨·期末）《九章算术》记载了我国古代以斜放的筹表示负数的方法．书写时，在这个数的最后一个码上加一斜杠表示负数，如表示238，则表示．那么表示的数是（    ） A． B． C． D． 1．（24-25七年级上·广东深圳·阶段练习）下列各数中：5，，0，0.56，﹣25，，π，+2，其中正数有（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 2．（24-25七年级上·全国·课后作业）在下列8个数5，－2，－，0，＋，1，－3．2，0．15中，负数有　　　　个． 3．（2024七年级上·全国·专题练习）在中，哪些是正数，哪些是负数？ 【经典例题三 具有相反意义的量】 【例3】（24-25七年级上·山东聊城·期中）刘徽在《九章算术注》中有“今两算得失相反，要令正负以名之．”可翻译为“今有两数若其意义相反，则分别叫做正数和负数．”“如果水位上升”记作，那么“水位下降”应表示为（    ） A． B． C． D． 1．（24-25七年级上·山西太原·阶段练习）《九章算术》是《算经十书》中最重要的一部，成书于公元一世纪左右．全书共分为九章，总结了战国和秦汉时期的数学成就，内容十分丰富．在“方程”一章中，首次正式引入了负数的概念．如果将盈利500元记作元，那么元表示（    ） A．亏损700元 B．支出700元 C．亏损元 D．支出元 2．（2024七年级上·全国·专题练习）中国是最早采用正负数表示相反意义的量的国家．成都实行的“新中考”中“引体向上”项目男生满分标准为次，若在平时训练时小成把次记为，则应把次记为 ． 3．（24-25七年级上·全国·课后作业）某中学七（4）班的同学在体检中测量了自己的身高，并求出了该班同学的平均身高． （1）下表给出了该班5名同学的身高情况（单位：），试完成该表，并求出该班同学的平均身高； 姓名 刘杰 刘涛 李明 张春 刘建 身高 161 ______ ______ 163 156 身高与全班同学平均身高差 0 ______ ______ （2）谁最高？谁最矮？ （3）计算这5名同学的平均身高是多少？ 【经典例题四 正负数的意义】 【例4】（2025·云南楚雄·二模）中国是最早采用正负数表示相反意义的量，并进行负数运算的国家．若冰箱保鲜室的温度零上记作，则冷冻室的温度零下记作（    ） A． B． C． D． 1．（24-25七年级上·江西上饶·期末）我们知道字母可代表任何数，那么对下列各式的叙述一定正确的是（    ） A．一定是负数 B．一定是负数 C．一定是负数 D．一定是负数 2．（2025·广西来宾·模拟预测）我国是历史上最早认识和使用负数的国家，至迟成书于东汉早期（约公元1世纪）的我国古代数学著作《九章算术》，在“方程”一章中提出了正数、负数的概念及其加减运算法则，其中记录了一道关于家畜买卖的题目，若将卖出家畜获得1000元记为元，则买入家畜付出800元记为（   ） A．元 B．元 C．元 D．元 3．（2025·山西吕梁·三模）中国人很早就开始使用负数．魏晋时期的数学家刘徽在其著作《九章算术注》中用不同颜色的算筹分别表示正数和负数（红色为正，黑色为负）．若红色算筹“”表示的数是“”，则黑色算筹“”表示的数是（   ） A． B． C． D． 【经典例题五 有理数的定义】 【例5】（24-25七年级上·湖南长沙·阶段练习）下列说法中：是最小的整数；有理数不是正数就是负数；非负数就是正数；不是有理数．其中错误的说法个数为（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 1．（24-25七年级上·广东广州·阶段练习）下列说法：①既是负数、分数，也是有理数；②正整数和负整数统称为整数；③0是非正数；④既是负数，也是整数，但不是有理数；⑤自然数是整数，其中正确的个数有几个（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 2．（24-25七年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）下列说法中，其中错误的有 个 ①0是最小的整数； ②有理数不是正数就是负数； ③正整数、负整数、正分数、负分数统称为有理数； ④非负数就是正数； ⑤不仅是有理数，而且是分数； ⑥带“”号的数一定是负数； ⑦无限小数不都是有理数； ⑧正数中没有最小的数，负数中没有最大的数． 3．（24-25七年级上·四川甘孜·期中）下列说法中：①0是最小的整数；②有理数不是正数就是负数；③非负数就是正数；④不仅是有理数，而且是分数；⑤是无限不循环小数，所以不是有理数；⑥无限小数不都是有理数；⑦正数中没有最小的数，负数中没有最大的数．其中错误的说法的个数为 个． 【经典例题六 0的意义】 【例6】（24-25七年级上·江苏镇江·阶段练习）下列结论正确的是（   ） A．0既是正数，又是负数 B．0是最小的正数 C．0是最小的整数 D．0既不是正数也不是负数 1．（24-25七年级上·福建莆田·阶段练习）下列说法错误的是（　　） A．0是最小的自然数 B．0既不是正数，也不是负数 C．海拔高度是0米表示没有高度 D．0℃是零上温度和零下温度的分界线 2．（24-25七年级上·广东深圳·期中）下列说法：①零是正数；②零是整数；③零是最小的有理数；④零是最小的自然数；⑤零是最大的负数；⑥零是非负数；⑦零是偶数；其中正确的说法的个数为(   ). A．4 B．3 C．5 D．6 3．（24-25七年级上·全国·课后作业）下面关于“0”的叙述，正确的有(　　) ①0是正数与负数的分界；②0比任何正数都小；③0只表示没有；④0还常用来表示某种量的基准． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【经典例题七 有理数的分类】 【例7】（24-25七年级上·河南三门峡·期中）把下列各数的序号填在相应的大括号内： （1）27，（2），（3）8.5，（4），（5），（6）0 ，（7） 正有理数集合：{                         …}． 负有理数集合：{                         …}． 整数集合：{                         …}． 1．（24-25七年级上·江苏无锡·期中）把下列各数的序号分别填入相应的集合内：①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧，⑨． 整数集合_______________…； 正分数集合_______________…； 非正数集合_______________…． 2．（24-25七年级上·广东东莞·期中）把下列各数填入相应的大括号里：，，，，，，，，，． 正有理数集合｛            ｝；非负整数集合｛            ｝； 整数集合｛              ｝；负分数集合｛             ｝． 3．（24-25七年级上·广东惠州·期中）把下列各数分别填在相应的括号里. ，，，20，，0，，，，12，3.151151115… 正整数：（                             ） 负分数：（                             ） 非负有理数：（                         ） 非整数（                              ） 【经典例题八 带“非”的有理数】 【例8】（2024七年级上·全国·专题练习）下列说法：是非负整数；非正数包括和负数；非负数就是正整数和；正整数、正分数和都属于非负有理数．其中正确的个数是（    ） A． B． C． D． 1．（24-25七年级上·浙江台州·期中）下列说法中：①0是最小的整数；②有理数不是正数就是负数；③非负数就是正数；④整数和分数统称有理数，其中正确的是（　　 ） A．① B．② C．③ D．④ 2．（24-25七年级上·山东聊城·期中）在有理数：-12，71，-2.8，，0，34%，0.67，，中，非负数有（   ） A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 3．（24-25七年级上·江苏泰州·阶段练习）在，0，，，2024，，，中，非负整数有 个． 【经典例题九 正负数的应用之温差问题】 【例9】（24-25七年级上·湖南益阳·期中）中国载人登月工程计划在年前实现载人登月，月球昼夜温差大，白天温度能达到左右，记作，晚上降低到了零下左右，则可记作 ． 1．（2024七年级上·全国·专题练习）塔克拉玛干沙漠是中国最大的沙漠，昼夜温差大．某科学考察队测得其夏季某天中午的最高温度是零上，记为，测得其当天晚上的最低温度是零下，应记为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·四川达州·阶段练习）2024年3月石家庄和张家口的平均最低气温如下表所示，表示零上4摄氏度，下列说法正确的是（   ） 石家庄 张家口 A．表示下降3摄氏度 B．表示零下3摄氏度 C．表示零上3摄氏度 D．2024年3月石家庄与张家口平均最低气温的温差是1摄氏度 3．（24-25七年级上·内蒙古呼伦贝尔·阶段练习）探空气球的气象观测统计资料表明，海拔高度每升高1000米，气温就下降6℃，某时刻，甲市地面温度为20℃，有一架飞机飞过甲市上空时，机舱内仪表显示飞机外面的温度为-34℃，求飞机离地面的高度为多少千米？ 【经典例题十 正负数的应用之时差问题】 【例10】（24-25七年级上·辽宁抚顺·阶段练习）以下的四个时钟显示了同一时刻国外三个城市时间和北京时间，若表中给出的是国外三个城市与北京的时差，则这四个时钟对应的城市从左到右依次是（   ） 城市 纽约 悉尼 伦敦 时差/h A．北京、悉尼、伦敦、纽约 B．纽约、悉尼、伦敦、北京 C．伦敦、纽约、北京、悉尼 D．北京、伦敦、悉尼、纽约 1．（23-24七年级上·广东佛山·期中）新西兰南岛、墨西哥与北京的时差如下表（正数表示同一时刻比北京时间早的时数，负数表示同一时刻比北京时间晚的时数）： 当北京 6 月 15 日 23 时，新西兰南岛、墨西哥的 时间分别是（　） 城市 新西兰南岛 墨西哥 时差/时 +3 -14 A．6 月 15 日 20 时；6 月 15 日 9 时 B．6 月 15  日 20 时；6 月 16  日 12 时 C．6 月 16  日 2 时；6 月 15  日 9 时 D．6 月 16  日 2 时；6 月 14  日 9 时 2．（24-25七年级上·山西临汾·期末）第33届夏季奥林匹克运动会在法国巴黎举行，下表是几个城市与北京的时差（两个地区地方时之间的差别）（带“”号的数表示同一时刻该地区时间比北京时间早的小时数）： 城市 纽约 伦敦 巴黎 首尔 时差 奥运会开幕式的时间是巴黎时间7月26日19时30分，对应下列城市的时间是（   ） A．北京时间7月27日3时30分 B．伦敦时间7月26日18时30分 C．纽约时间7月26日14时30分 D．首尔时间7月27日5时30分 3．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，标号为①②③④的时钟准确显示了同一时刻的伦敦、悉尼、纽约和北京时间，根据如表给出伦敦悉尼、纽约与北京的时差（“”表示同一时刻比北京早的时间，“”表示同一时间比北京晚的时间），表示伦敦、悉尼、纽约和北京时间的时钟标号分别是 ． 城市 伦敦 悉尼 纽约 时差 【经典例题十一 正负数的应用之误差问题】 【例11】（24-25七年级·全国·单元测试）机床厂工人加工一种直径为的机器零件，要求误差不大于，质检员现抽取10个进行检测（超出部分记为正，不足部分记为负，单位：）得到数据如下： ，，，，，，，，，．其中不合格的零件有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 1．（24-25七年级上·四川·阶段练习）某圆形零件的直径要求是，下表是6个已生产出来的零件圆孔直径检测结果（以为标准则）则在这6个产品中合格的有（    ）． 序号 1 2 3 4 5 6 误差 0 A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．（24-25六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）一种袋装食品标准净重为100克，质监部门工作人员为了解该种食品每袋重与标准净重的误差，把食品净重克记为克，那么，食品净重99克就记为 克 3．（24-25七年级上·江西南昌·期中）工厂加工一批比赛用乒乓球，按国际比赛规定要求乒乓球的直径标准为40mm，但是实际生产的乒乓球直径可能会有一些偏差，以下是该工厂加工的20个乒乓球的直径检验记录：（“+”表示超出标准，“-”表示不足标准．） 个数 1 2 1 11 3 2 偏差/mm ﹣0.4 ﹣0.2 ﹣0.1 0 +0.3 +0.5 （1）其中偏差最大的乒乓球直径是　 　； （2）这20个乒乓球平均每个球的直径是多少mm？ （3）若误差在“±0.25”以内的球可以作为合格产品，若误差在“±0.15mm”以内的球可以作为良好产品，这些球的合格率是　 　，良好率是　 　． 【经典例题十二 正负数的应用之简单计算问题】 【例12】（2025·河北廊坊·一模）初中生佳佳为了美观，总是不喜欢穿厚裤子．妈妈规定；每天最低气温在以下或者最高气温在以下，必须穿保暖裤．按照本地天气预报，周一到周日佳佳有几天必须要穿保暖裤？分别是哪几天？ 周一 周二 周三 周四 周五 周六 周日 最高气温（） 最低气温（） 1．（24-25七年级上·广西桂林·期中）某体育用品店用400元购进了8套运动服，准备以一定价格出售．如果该店卖出每套运动服的价格以65元为标准，超出部分记做正数，不足部分记做负数，记录如下（单位：元）：，，，，，，0，． (1)你能求出销售后的总额吗？ (2)该店卖出这8套运动服后是盈利还是亏损？赢利（亏损）多少？ 2．（2024七年级上·云南·专题练习）生活情境·营业额某超市今年上半年的营业额与去年同月营业额相比的增长率如下表所示．请根据表格信息回答下列问题： 月份 1 2 3 4 5 6 比去年同月增长 0 0.2 0.3 0.4 (1)该超市今年上半年的营业额与去年同月营业额相比，哪几个月是增长的？ (2)今年1月和4月比去年同月增长率是负数表示什么意思？ (3)今年上半年与去年上半年同月相比，营业额没有增长的是哪个月？ 3．（24-25七年级上·吉林·期中）体育课上，教师对七年级（8）班的女生进行了仰卧起坐测试，以做个及以上为达标，超过个用正数表示，不足个用负数表示，第一组8名学生的成绩如下( 单位∶个)∶，3，4，，2，3，，0． (1)第一组 8 名学生的成绩中，“0”表示的是做了 个仰卧起坐． (2)第一组学生的达标率是 % ． (3)第一组 8 名学生共做了多少个仰卧起坐？ 【拓展训练一 有理数的分类综合】 【例1】（24-25七年级上·海南海口·期中）把下列各数填入相应的数集中： +1、-5％、200、-3、6.8、0、－、0.12003407、1、-43.555、77％、-3 （1）非负数集合：______________________（2）负有理数集合：________________________ （3）正整数集合：______________________（4）负分数集合：___________________________ 1．（24-25七年级上·江苏无锡·阶段练习）把下列各数填入相应的横线上． ． 正有理数：___________________________________________________ 负整数：_____________________________________________________ 负分数：_____________________________________________________ 非负有理数：_________________________________________________ 2．（24-25七年级上·山东临沂·阶段练习）将下列各数填入相应的集合中． ，，， ，0，1，，，． 整数集合：{ …}； 分数集合：{ …}； 有理数集合：{ …}； 非负数集合：{ …}． 3．（24-25七年级上·吉林长春·阶段练习）把下列各数填在相应集合中：，，0，，，2，，，． 分数集合：{ …}； 负整数集合：{ …}； 非负有理数集合：{ …}． 【拓展训练二 有理数说法正误问题】 【例2】（24-25七年级上·山东德州·阶段练习）下列说法中：①0是最小的整数；②有理数不是正数就是负数；③非负数就是正数；④不仅是有理数，而且是分数；⑤是无限循环小数，所以不是有理数；⑥绝对值等于本身的数是正数；⑦正数中没有最小的数，负数中没有最大的数．其中错误的说法的个数为（  ） A．7个 B．6个 C．5个 D．4个 1．（24-25七年级上·江苏苏州·阶段练习）下列说法中不正确的有（ ） ①既是负数，分数，也是有理数；②既不是正数，也不是负数，但是整数；③是正数和负数的分界；④既是负数，也是整数，但不是有理数． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（2022七年级上·全国·专题练习）下列说法中，正确的是 ． （1）整数就是正整数和负整数； （2）分数就是正分数和负分数； （3）一个数不是正有理数就是负有理数； （4）非负数就是正数； （5）若一个数是整数，则它一定是有理数； （6）若一个数不是有理数，则它一定不是整数； （7）存在最大的非正数； （8）零是最大的非正整数． 3．（24-25七年级上·江苏扬州·阶段练习）现有下列说法： ①有限小数一定是有理数； ②无限小数一定是无理数； ③无限不循环小数叫做无理数； ④任何一个有理数的绝对值一定是正数； ⑤倒数等于本身的数是±1． 其中正确说法的是 ． 【拓展训练三 正负数的实际应用综合】 【例3】（24-25七年级上·山东济南·阶段练习）某检修小组甲队乘一辆汽车沿公路检修线路，约定向东为正，某天从A地出发到收工时，行走记录为（单位：千米）：+15，﹣2，+5，﹣1，+10，﹣3，﹣2，+12，+4，﹣5，+6；另一小组乙队也从A地出发，在南北方向检修，约定向北为正，行走记录为：﹣17，+9，﹣2，+8，+6，+9，﹣5，﹣1，+4，﹣7，﹣8． （1）分别计算收工时，两组在A地的哪一边，距A地多远？ （2）若每千米汽车耗油量为0.06升，求出发到收工甲队耗油多少升？ 1．（24-25七年级上·湖北黄石·阶段练习）某出租车一天下午以车站为出发地在东西方向的大街上营运，规定向东为正，向西为负，行车里程（单位：）依先后次序记录如下：，，，，，，，，，+10. （1）将最后一名乘客送到目的地，出租车离车站出发点多远？在车站的什么方向？ （2）出租车在行驶过程中，离车站最远的距离是多少？ （3）出租车按物价部门规定，起步价（不超过千米）为元，超过3千米的部分每千米的价格为元，司机一个下午的营业额是多少？ 2．（24-25七年级上·江苏宿迁·阶段练习）小王师傅是一名出租车司机．一天下午，他在一条东西走向的马路上连续接送8次乘客，并把每个乘客的行程记录如下： ，，，，，，，． （注：向西记作“”，向东记作“+”，单位是千米）请同学们思考并回答下列问题： (1)小王师傅在A处接上第一名乘客出发，将最后一名乘客送到目的地时，他此时在出发地A处什么方向？距A处多远？ (2)公司规定每趟车的起步价是元，且每趟车3千米以内（含3千米）只收起步价；若超过3千米，除收起步价外，超过的每千米还需收2元钱，小王师傅接送8次乘客共收车费多少元？ 3．（23-24七年级上·陕西咸阳·阶段练习）近几年，全球的新能源汽车发展迅猛，尤其对于我国来说，新能源汽车产销量都大幅度增加．小明家新换了一辆新能源纯电汽车，他连续7天记录了每天行驶的路程（如表）．以为标准，多于的记为“＋”，不足的记为“－”，刚好的记为“0”． 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 路程（km） (1)请求出小明家的新能源汽车这7天一共行驶了多少千米？ (2)已知汽油车每行驶需用汽油升，汽油价为元/升，而新能源汽车每行驶耗电量为15度，每度电为元，小明家换成新能源汽车后这7天的行驶费用比原来节省多少钱？ 1．（2025七年级上·江苏·专题练习）某袋饼干标签上写着“净含量：（）克”，以下4袋饼干中不合格的是（ ）． A．145克 B．148克 C．150克 D．160克 2．（2025·江苏盐城·三模）《九章算术》记载的“余”和“不足”等概念，充分说明中国是世界上最早采用正负数表示相反意义量的国家，若将“收入80元”记作“元”，则“支出30元”记作（   ） A．50元 B．元 C．30元 D．元 3．（24-25七年级上·江苏南通·期末）在有理数，，，0，，，，中，可以写成负分数形式的数有（ ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 4．（24-25七年级上·河南南阳·期中）下列语句中正确的有(   )个． ①不带“”号的数都是正数；②如果是正数，那么一定是负数；③不存在既不是正数，也不是负数的数；④表示没有温度． A．1 B．2 C．3 D．4 5．（2024七年级上·江苏·专题练习）在下列选项中，具有相反意义的量是（    ） A．上升了6米和后退了7米 B．卖出10斤米和盈利10元 C．收入20元与支出30元 D．向东行30米和向北行30米 6．（24-25六年级下·全国·单元测试）下列各数：，，，0，，，11，，其中负分数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．（24-25六年级上·山东淄博·阶段练习）在东西走向的马路上，若把向东走记作，则向西走应记作 ． 8．（24-25七年级上·内蒙古包头·阶段练习）如表，表中列出了国外几个城市与北京的时差，其中带正号的数表示同一时刻比北京时间早的时数，则当北京的时间为时，纽约的时间是 ． 城市 纽约 巴黎 东京 芝加哥 时差/时 9．（24-25七年级上·浙江嘉兴·期中）把下列各数填入相应的横线内： ，，，，，． 自然数： ；负分数： ；正有理数： ． 10．（24-25七年级上·山西太原·阶段练习）下列各数，，0，21，，，中，属于分数的有 ．（填入符合条件的数） 11．（2024七年级上·江苏·专题练习）在…（每两个1之间0的个数逐次增加1）中正数有m个，非负整数有n个，正分数有k个，则 ． 12．（2024七年级上·全国·专题练习）把下列各数填在相应的集合中： ，，，，，，，，，，，，，． 正整数集：{    …}； 正数集：{    …}； 负分数集：{    …}； 负数集：{    …}； 非负整数集：{    …}； 分数集：{    …}． 13．（2025九年级下·北京·学业考试）某校举行“趣味运动会”，其中有一项目为“接棒过桥”，具体规则为：每组四人手持接力棒过一座独木桥，接力棒只有1根，每次过桥时最多允许两人同时握住接力棒出发（记过桥较慢的人的时间），要求不论去程或者返程时必须有接力棒，当四人全部过桥后记为游戏结束． 已知某组的甲，乙，丙，丁四位同学单独过桥所需时间（单位：分钟）分别为1，2，3，5，请写出一种该组同学完成项目可能需要的时间为 分钟，该组同学完成项目所需的最短时间为 分钟． 14．（24-25七年级上·广东东莞·期中）所有正有理数组成正有理数集合，所有负有理数组成负有理数集合．把下面的有理数填入它们属于的集合内． 正有理数集合{ 　                      　……}； 负有理数集合{ 　                      　……}； 整数集合{ 　                          　……}． 15．（24-25七年级上·青海西宁·期中）将下列各数填入合适的集合内． ． 正数集合： 正有理数集合： 整数集合： 分数集合： 16．（24-25七年级上·辽宁营口·阶段练习）把下面的数的序号填在相应的大括号里：（填序号） ①1，②，③0，④，⑤，⑥，⑦1.010010001…（每两个1之间依次多1），⑧ 正数集合：｛                       ｝；整数集合：｛                           ｝； 有理数集合：｛                    ｝；非负整数集合：｛                       ｝； 17．（2024七年级上·全国·专题练习）（1）仓库运进、运出物品均需登记．某仓库运进面粉7吨，记为，那么运出面粉应记为 ． （2）在知识抢答中，如果用表示得10分，那么扣20分表示为 ． （3）规定：表示向右移动2，记作，则表示向左移动3，记作 ． 18．（2024七年级上·全国·专题练习）某条河某周水位变化量比上周增加，接下来的第二周比上周减少，第三周与上周水位一样．用正数和负数表示这三周水位变化量比上周的增长量． 19．（2024七年级上·全国·专题练习）某校组织学生去劳动实践基地采摘橘子，并称重、封装．一盒橘子的标准质量为．如果用正数表示超过标准的质量，那么 (1)比标准质量多和比标准质量少各怎么表示？ (2)各表示什么意思？ 20．（2024七年级上·云南·专题练习）生活情境·营业额某超市今年上半年的营业额与去年同月营业额相比的增长率如下表所示．请根据表格信息回答下列问题： 月份 1 2 3 4 5 6 比去年同月增长 0 0.2 0.3 0.4 (1)该超市今年上半年的营业额与去年同月营业额相比，哪几个月是增长的？ (2)今年1月和4月比去年同月增长率是负数表示什么意思？ (3)今年上半年与去年上半年同月相比，营业额没有增长的是哪个月？ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 正数与负数重难点题型专训 （6个知识点+12大题型+3拓展训练+自我检测） 题型一 正数与负数的定义 题型二 正数与负数的分类 题型三 具有相反意义的量 题型四 正负数的意义 题型五 有理数的定义 题型六 0的意义 题型七 有理数的分类 题型八 带“非”的有理数 题型九 正负数的应用之温差问题 题型十 正负数的应用之时差问题 题型十一 正负数的应用之误差问题 题型十二 正负数的应用之简单计算问题 拓展训练一 有理数的分类综合 拓展训练二 有理数说法正误问题 拓展训练三 正负数的实际应用综合 知识点一、正数与负数 正数：像3.5，2020，6.7，等这样的数都是正数，它们都是大于0的； 负数：像－154，－3.4，－3.5％等这样的数都是负数，它们都是小于0的； 0既不是正数，也不是负数. 1.一个数前面的“＋”号或“－”号叫做它的符号，其中“＋”号可以省略不写，“－”号不能省略； 2.0的意义不但可以表示“没有”，还可以表示一些特定的意义，如0℃是一个确定的温度，不能说0℃没有温度； 3.判断一个数是正数还是负数，不能仅由数字前面的符号判断，不能理解为带“＋”号就是正数，带“－”号就是负数，如后面要讲的就是一个正数. 【即时训练】 1．（24-25七年级上·江苏苏州·阶段练习）在，，，，中，负数有（    ）个． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查了正负数的认识，根据小于的数是负数，即可求解． 【详解】在，，，，中，负数有，，，共3个， 故选：B． 2．（24-25七年级上·江苏南京·阶段练习）在和2026这五个有理数中，正数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查正数的定义，找出所有的正数即可得解，掌握正数的定义是解题的关键． 【详解】解：正数有：和2026，有2个正数． 故选：B． 知识点二、具有相反意义的量 1.具有相反意义的量包括两个因素：①有相反的意义，②有数量. （1）单独的一个量不能称为具有相反意义的量，即具有相反意义的量总是成对出现的； （2）具有相反意义的量必须是同类量，如盈利200元与向东走200米就不是具有相反意义的量； （3）具有相反意义的量只要求具有相反意义和数量即可，数量不一定要相等，例：与上升100米是相反意义的量有很多，如下降10米、下降120米、下降200米等； （4）常见的具有相反意义的量：以海平面为基准，高于海平面为正，则低于海平面为负；常见的还有前进与后退，上升和下降，盈利和亏损，向南和向北等. 2.当我们把其中一种意义的量规定为正，用正数表示，则与它具有相反意义的量直接可以用负数表示. 【即时训练】 3．（24-25七年级上·江苏盐城·阶段练习）一个物体先向右移动了3米，再向左移动了9米，那么这个物体又移动了米的意思是（   ） A．物体又向右移动了3米 B．物体又向右移动了6米 C．物体又向左移动了3米 D．物体又向左移动了6米 【答案】C 【分析】本题考查了正数和负数可以表示具有相反意义的量．根据一个物体向右移动为正，则负数表示向左移动． 【详解】解：根据题意向右移动为正， 一个物体先向右移动了3米，再向左移动了9米，那么这个物体又移动了米的意思是物体又向左移动了3米， 故选：C． 4．（24-25七年级上·江苏常州·阶段练习）下面不具有相反意义的量是（    ） A．身高增加和体重增长3千克 B．节约3吨水和浪费2吨水 C．存入800元和支出500元 D．前进和后退 【答案】A 【分析】本题考查了相反意义的量，理解相反意义的量是解题的关键． 根据两个量是否具有相反意义逐项判定即可． 判断是否为相反意义的量需满足两点：意义相反且为同一种类的量． 【详解】相反意义的量需为同一属性且方向相反． A．身高增加和体重增长属于不同类别的量（身高与体重），无法构成相反意义，故此选项符合题意； B．节约与浪费均针对水的用量，是同一种类的量，具有相反意义的量，故此选项不符合题意； C．存入与支出均针对资金流动，是同一种类的量，具有相反意义的量，故此选项不符合题意； D．前进与后退均针对方向，是同一种类的量，具有相反意义的量，故此选项不符合题意； 故选：A． 知识点三、整数和分数 整数：正整数、负整数、零统称为整数； 分数：正分数、负分数统称为分数； 易错点： 1.0不是分数，0是整数； 2.零和正整数又叫自然数； 3.正数和零统称为非负数，负数和零统称为非正数，正整数和零统称为非负整数（自然数），负整数和零统称为非负整数； 4.有限小数和无线循环小数都可以化成分数（见知识点五的拓展）. 【即时训练】 5．（24-25七年级上·江苏无锡·阶段练习）（   ） A．是负数，但不是分数 B．不是分数，是有理数 C．是分数，不是有理数 D．是分数，也是负数 【答案】D 【分析】本题考查了分数和负数的定义，根据分数和负数的定义即可得出答案，熟练掌握它们的定义是解题的关键． 【详解】解：根据分数及负数的定义可知，既是分数也是负数， 故选：D． 6．整数可以看作分母为 的分数．正整数、0、负整数、正分数、负分数都可以写成 的形式，这样的数称为 数． 【答案】 1 分数 有理 【分析】根据定义，即可得解. 【详解】根据定义，可直接得整数可以看作分母为1的分数．正整数、0、负整数、正分数、负分数都可以写成分数的形式，这样的数称为有理数. 【点睛】此题主要考查对整数和有理数的理解，熟练掌握，即可解题. 知识点四、用正负数表示误差范围 一般情况下，我们常用“”这种形式来表示误差范围，其中a表示标准数量，表示在标准数量的基础上误差范围. 【即时训练】 7．（24-25七年级上·江苏镇江·阶段练习）【正、负数】一种袋装食品标准净重为，质监工作人员为了解该种食品每袋的净重与标准的误差，把食品净重记为，那么食品净重就记为（    ）g． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要是考查正、负数的意义及应用．通过把多于标准质量的质量叫上偏差，低于标准质量的质量叫下偏差，上偏差、下偏差是两个具有相反意义的量，通常上偏差用“”表示，下偏差用“”表示，食品净重就是低于标准质量，即下偏差为，用“”表示． 【详解】解： 即低于标准，用负数表示为． 故选：D． 8．（24-25七年级上·江苏南京·阶段练习）一批螺帽产品的内径要求可以有±0.03mm的误差，现抽查5个样品，超过规定的毫米值记为正数，不足值记为负数，检查结果如下表． 1 2 3 4 5 ＋0.031 ＋0.017 ＋0.023 －0.021 －0.015 则合乎要求的产品数量为（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】根据题目已知条件可得误差在±0.03mm都可以满足要求． 【详解】解：5个样品中，第一个样品0.031>0.03，故不符合要求， 其他四个都在±0.03mm范围内， 故选：C 【点睛】本题主要考查有理数中的误差问题，正确的掌握误差范围是解题的关键． 知识点五、有理数的概念 我们把能够写成分数形式（m，n是整数，n≠0）的数叫做有理数. 1.有理数只包括整数和分数； 2.有限小数和无限循环小数都可以化成分数，所以它们都是有理数； 3.无限不循环小数不能化成分数，所以无限不循环小数不是有理数，如π，等. 拓展：循环小数化成分数如果一个无限小数的各数位上的数字，从小数部分的某一位起，按一定顺序不断重复出现，那么这样的小数叫做无限循环小数，简称循环小数，其中重复出现的一个或几个数字叫做它的一个循环节． 循环小数又可以分为纯循环小数和混循环小数. （1）纯循环小数化分数 从小数点后面第一位起就开始循环的小数，叫做纯循环小数．例如：0．666…、等，纯循环小数化为分数的方法是：分子是由一个循环节的数字组成的数；分母的各位数字都是9，9的个数等于一个循环节的位数．例如：. （2）混循环小数化分数 如果小数点后面的开头几位不循环，到后面的某一位才开始循环，这样的小数叫做混循环小数．例如：、等，混循环小数化为分数的方法是：分子是不循环部分和一个循环节的数字组成的数减去不循环部分的数字组成的数所得的差，分母就是按一个循环节的位数写几个9，再在后面按不循环部分的位数添写几个0组成的数．例如：，. 【即时训练】 9．（24-25七年级上·江苏苏州·阶段练习）关于有理数说法正确的是（ ） A．不是分数 B．不带“”号的数都是正数 C．是自然数也是正数 D．能写成分数形式的数称为有理数 【答案】D 【分析】本题主要考查有理数的分类，概念，掌握有理数的分类，概念是解题的关键．根据有理数的分类，概念即可求解． 【详解】解：A．是分数，故A不符合题意； B．0不带“−”号，但不是正数，故B不符合题意； C．0是自然数，但既不是正数，也不是负数，故C不符合题意； D．整数和分数统称为有理数，说法正确，故D符合题意． 故选：D． 10．（24-25七年级上·江苏无锡·阶段练习）下列说法中正确的是（   ） A．0不是有理数 B．在有理数中有最小的数 C．有理数不是整数就是分数 D．若是有理数，则一定是负数 【答案】C 【分析】本题主要考查了有理数的分类，有理数的定义．有理数可以分为正数、0、负数或分为正有理数、0、负有理数，整数和分数统称有理数，根据上面两种分类方法去判断正误即可． 【详解】解：A、0是有理数，故A错误，不符合题意； B、在有理数中没有最小的数，故B错误，不符合题意； C、有理数不是整数就是分数，故C正确，符合题意； D、a是有理数，则不一定是负数，如时，，故D错误，不符合题意． 故选：C． 知识点六、有理数的分类 由有理数的特征，一般会有以下两种分法. 1.按定义分 2.按正负分 补充：有理数的分类原则 1 标准要统一，必须按同一分类标准进行分类，如将有理数分为正有理数、0和负分数，分类标准就不统一； 2 分类不重合，所分的各类应互不包含，如有理数分为非负有理数、0和正有理数就违反了这一原则； 3 分类无遗漏，所分各类之“和”必须是原来的全部，如将有理数分为正有理数和负有理数就漏掉了0. 【即时训练】 11．（24-25七年级上·江苏连云港·阶段练习）将下列各数填在相应的大括号里： 整数：{    …}； 正分数：{    …}； 非正有理数：{    …}． 【答案】0，2021，；，，；0，，， 【分析】本题主要考查了有理数的分类，解题的关键是掌握有理数的定义．根据有理数的分类进行填写即可得． 【详解】解：整数：{0，2021，，}； 正分数：{，，， }； 非正有理数：{0，，，，}． 12．（24-25七年级上·江苏苏州·阶段练习）将下列各数填入它所属的集合内：，，2024，，0，，，，，． (1)正有理数集合：{              …}． (2)负有理数集合：{              …}． (3)整数集合：{                 …}． 【答案】(1)，2024，，， (2)，，， (3)，，2024，0 【分析】本题考查了有理数的分类．根据正有理数，负有理数和整数的定义即可． 【详解】（1）解：正有理数集合：{，2024，，，，…}． （2）解：负有理数集合：{，，，，…}． （3）解：整数集合：{，，2024，0，…}． 【经典例题一 正数与负数的定义】 【例1】（2024七年级上·全国·专题练习）下列说法中正确的是（　　） A．不带“”的数都是正数 B．不存在既不是正数，也不是负数的数 C．如果a是正数，那么一定是负数 D．一个数不是正数就是负数 【答案】C 【分析】本题考查正数与负数的定义，熟练掌握定义便不难解答． 根据大于0的数是正数，小于0的数是负数，对各选项分析判断后利用排除法求解. 【详解】A．正数是大于0的数，与带不带“”无关，故这种说法不正确； B．0既不是正数，也不是负数，故这种说法不正确； C． a是正数，那么表示a的相反数，一定是负数，正确； D．一个数可以为正数，也可以为0，也可以是负数，故这种说法不正确． 故选：C 1．（24-25七年级上·内蒙古通辽·期中）下列说法：（1）正数前加上一个负号就是负数；（2）不是正数的数就是负数；（3）只有带“”号的数才是正数；（4）既不是正数也不是负数．其中正确的有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】根据正数和负数的定义进行判断即可． 【详解】（1）正数前加上一个负号就是负数，说法正确； （2）不是正数的数就是负数，说法错误，0既不是正数，也不是负数； （3）只有带“”号的数才是正数，说法错误，如+（-2）是负数； （4）既不是正数也不是负数，说法正确． 综合上述可得：说法正确的有（1）、（4），共计2个． 故选：B． 【点睛】考查了正数与负数：像0.1、1、2、3…这样的数叫做正数，在正数前面加负号“-”，叫做负数，既不是正数也不是负数． 2．（24-25七年级上·河南洛阳·阶段练习）下列说法正确的有（　　） ①加正号的数是正数，加负号的数是负数； ②任意一个正数，前面加上一个“”号，就是一个负数； ③大于零的数是正数； ④字母a既是正数，又是负数． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】根据正负数的意义逐一判断即可． 【详解】解：加正号的数不一定是正数，如是负数，加负号的数不一定是负数，如是正数，故①错误； 任意一个正数，前面加上一个“”号，就是一个负数，故②正确； 大于零的数是正数，故③正确； 字母a既是正数，又是负数是错误的，如果a是正数，就一定不是负数，故④错误； 故选：C． 【点睛】本题考查了正负数的意义，解决本题的关键是掌握正负数的相关概念． 3．（24-25七年级上·河北保定·阶段练习）下列说法中，正确的是（    ） A．若a≥0，则－a是负数 B．－a是非正数 C．若－a是非正数，则a是非负数 D．－a大于0 【答案】C 【分析】根据正数和负数的定义判断． 【详解】解：A、若a≥0，则-a是零或负数，故错误； B、-a是正数，0或负数，故错误； C、若-a是非正数，则a是非负数，故正确； D、-a可能为正数，0或负数，故错误； 故选C． 【点睛】本题考查的是正数和负数的定义，属于基础知识，比较简单． 【经典例题二 正数与负数的分类】 【例2】（24-25六年级下·黑龙江哈尔滨·期末）《九章算术》记载了我国古代以斜放的筹表示负数的方法．书写时，在这个数的最后一个码上加一斜杠表示负数，如表示238，则表示．那么表示的数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查正数和负数，理解题意是解题的关键． 根据题意及负数的表示方法即可即可解答． 【详解】解：由题意可得图片中表示的数为． 故选：C． 1．（24-25七年级上·广东深圳·阶段练习）下列各数中：5，，0，0.56，﹣25，，π，+2，其中正数有（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】C 【分析】根据大于零的数是正数逐一进行判断即可得到答案. 【详解】下列各数5，，0，0.56，﹣25，，π，+2中正数有5，0.56，，π，+2， 共5个. 故选C. 【点睛】本题主要考查了正数的定义，即大于零的数是正数． 2．（24-25七年级上·全国·课后作业）在下列8个数5，－2，－，0，＋，1，－3．2，0．15中，负数有　　　　个． 【答案】3 【详解】试题解析：这8个数中，负数有－2，－ ，－3.2共3个． 3．（2024七年级上·全国·专题练习）在中，哪些是正数，哪些是负数？ 【答案】正数有：；负数有：． 【分析】本题是对正数和负数的区分，熟练掌握正数和负数的定义是解题的关键．正数前边有“”或省略“”的形式，比要大，根据定义可以找到符合条件的正数； 负数是比零小的数，有负号“”，据此可找到负数，注意既不是正数，也不是负数． 【详解】解：根据正数的定义可得正数有：； 根据负数的定义可得负数有：． 【经典例题三 具有相反意义的量】 【例3】（24-25七年级上·山东聊城·期中）刘徽在《九章算术注》中有“今两算得失相反，要令正负以名之．”可翻译为“今有两数若其意义相反，则分别叫做正数和负数．”“如果水位上升”记作，那么“水位下降”应表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要用正负数来表示具有意义相反的两种量，熟练掌握正负数的意义是解题的关键．根据正负数的意义即可得到答案． 【详解】解：“水位下降”应表示为， 故选B． 1．（24-25七年级上·山西太原·阶段练习）《九章算术》是《算经十书》中最重要的一部，成书于公元一世纪左右．全书共分为九章，总结了战国和秦汉时期的数学成就，内容十分丰富．在“方程”一章中，首次正式引入了负数的概念．如果将盈利500元记作元，那么元表示（    ） A．亏损700元 B．支出700元 C．亏损元 D．支出元 【答案】A 【分析】此题主要考查了正负数的意义，首先审清题意，明确“正”和“负”所表示的意义，再根据题意作答，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示． 【详解】解：根据题意，盈利500元记作元， ∴元表示亏损700元， 故选：A． 2．（2024七年级上·全国·专题练习）中国是最早采用正负数表示相反意义的量的国家．成都实行的“新中考”中“引体向上”项目男生满分标准为次，若在平时训练时小成把次记为，则应把次记为 ． 【答案】 【分析】本题考查了运用正数和负数表示两个相反意义的量．正确理解正、负数的意义是解题的关键．根据正负数的意义求解即可． 【详解】解：∵“新中考”中“引体向上”项目男生满分标准为次，若在平时训练时小成把次记为， ∴应把次记为， 故答案为：． 3．（24-25七年级上·全国·课后作业）某中学七（4）班的同学在体检中测量了自己的身高，并求出了该班同学的平均身高． （1）下表给出了该班5名同学的身高情况（单位：），试完成该表，并求出该班同学的平均身高； 姓名 刘杰 刘涛 李明 张春 刘建 身高 161 ______ ______ 163 156 身高与全班同学平均身高差 0 ______ ______ （2）谁最高？谁最矮？ （3）计算这5名同学的平均身高是多少？ 【答案】（1）；平均身高为；（2），张春最高，刘建最矮；（3） 【分析】（1）根据刘杰的身高及其身高与全班平均身高的差可求出全班的平均身高， （2）根据（1）所求的全班的平均身高可以完成表格； （3）根据平均数的定义可得出这5名同学的平均身高． 【详解】解：（1）该班同学的平均身高为， 从左到右，依次填入表格的是157,158，+5，﹣2，如图所示： 姓名 刘杰 刘涛 李明 张春 刘建 身高 161 157 158 163 156 身高与全班同学平均身高差 0 +5 ﹣2 （2）由题（1）表可知，张春最高，刘建最矮； （3）， 答：这5名同学的平均身高为159厘米． 【点睛】本题考查平均数的知识，难度适中，关键在于准确理解身高及其与全班的平均身高差求出全班的平均身高． 【经典例题四 正负数的意义】 【例4】（2025·云南楚雄·二模）中国是最早采用正负数表示相反意义的量，并进行负数运算的国家．若冰箱保鲜室的温度零上记作，则冷冻室的温度零下记作（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查正负数的意义，根据正负数表示一对相反意义的量，零上为正，则零下为负，进行作答即可． 【详解】解：冰箱保鲜室的温度零上记作，则冷冻室的温度零下记作， 故选：C． 1．（24-25七年级上·江西上饶·期末）我们知道字母可代表任何数，那么对下列各式的叙述一定正确的是（    ） A．一定是负数 B．一定是负数 C．一定是负数 D．一定是负数 【答案】C 【分析】根据平方、正数和负数即可做出判断． 【详解】解：A、当x为负数时，-x为正数，所以-x不一定是负数，故选项错误； B、当x=0时，-x2=0，所以-x不一定是负数，故选项错误； C、当x为任何数时，-x2-1＜0，所以-x一定是负数，故选项正确； D、因为x不一定是负数，所以选项错误． 故选：C． 【点睛】本题考查了平方以及正数和负数，理解平方以及正数和负数的意义是解题关键． 2．（2025·广西来宾·模拟预测）我国是历史上最早认识和使用负数的国家，至迟成书于东汉早期（约公元1世纪）的我国古代数学著作《九章算术》，在“方程”一章中提出了正数、负数的概念及其加减运算法则，其中记录了一道关于家畜买卖的题目，若将卖出家畜获得1000元记为元，则买入家畜付出800元记为（   ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】B 【分析】本题考查正负数的实际应用，需根据题意确定正负号的意义． 【详解】解：根据题意，卖出家畜获得的1000元记为元，说明“收入”用正数表示，对应的“支出”应用负数表示， ∴买入家畜需付出800元，属于支出，因此应记为元． 故选：B． 3．（2025·山西吕梁·三模）中国人很早就开始使用负数．魏晋时期的数学家刘徽在其著作《九章算术注》中用不同颜色的算筹分别表示正数和负数（红色为正，黑色为负）．若红色算筹“”表示的数是“”，则黑色算筹“”表示的数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正数和负数，根据例题的思路，以及正数和负数的意义，即可解答． 【详解】 解：若红色算筹“”表示的数是“”，则黑色算筹“”表示的数是， 故选：C． 【经典例题五 有理数的定义】 【例5】（24-25七年级上·湖南长沙·阶段练习）下列说法中：是最小的整数；有理数不是正数就是负数；非负数就是正数；不是有理数．其中错误的说法个数为（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】A 【分析】本题考查了有理数分类，非负数的概念根据有理数的定义、分类，非负数的概念，依此作出判断，即可得出答案，正确理解概念和有理数分类是解题的关键． 【详解】解：没有最小的整数，故错误； 有理数包括正有理数，和负有理数，故错误； 非负数就是正数和，故错误； 是有理数，故错误； 则错误的说法个数有个， 故选：． 1．（24-25七年级上·广东广州·阶段练习）下列说法：①既是负数、分数，也是有理数；②正整数和负整数统称为整数；③0是非正数；④既是负数，也是整数，但不是有理数；⑤自然数是整数，其中正确的个数有几个（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的概念、正负数的意义，根据有理数的概念，正负数的意义逐项分析即可得出答案，熟练掌握相关知识点是解此题的关键． 【详解】解：：①既是负数、分数，也是有理数，原说法正确； ②正整数、零和负整数统称为整数，原说法错误； ③0是非正数，原说法正确； ④既是负数，也是整数，也是有理数，原说法错误； ⑤自然数是整数，原说法正确； 综上所述，正确的有①③⑤，共个， 故选：B． 2．（24-25七年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）下列说法中，其中错误的有 个 ①0是最小的整数； ②有理数不是正数就是负数； ③正整数、负整数、正分数、负分数统称为有理数； ④非负数就是正数； ⑤不仅是有理数，而且是分数； ⑥带“”号的数一定是负数； ⑦无限小数不都是有理数； ⑧正数中没有最小的数，负数中没有最大的数． 【答案】①②③④⑤⑥ 【分析】本题考查了正负数的定义以及有理数的分类，熟练掌握相关概念和有理数分类解题关键．正数比0大，0比负数大；有理数的分类有两种，第一种是整数和分数，第二种是正有理数，0，负有理数．根据正负数的定义以及有理数的分类进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：负整数小于0，故0不是最小的整数，说法①错误； 有理数包括正数、负数和0，故说法②错误； 正整数、负整数、正分数、负分数和0统称为有理数，故说法③错误； 非负数就是0和正数，故说法④错误； 不是有理数，故说法⑤错误； 如不是负数，带“”号的数不一定是负数，说法⑥错误； 无限小数包括无限不循环小数，无限不循环小数不是有理数，故说法⑦正确； 正数中没有最小的数，负数中没有最大的数，说法⑧正确． 综上所述，错误的有①②③④⑤⑥． 故答案为：①②③④⑤⑥． 3．（24-25七年级上·四川甘孜·期中）下列说法中：①0是最小的整数；②有理数不是正数就是负数；③非负数就是正数；④不仅是有理数，而且是分数；⑤是无限不循环小数，所以不是有理数；⑥无限小数不都是有理数；⑦正数中没有最小的数，负数中没有最大的数．其中错误的说法的个数为 个． 【答案】5 【分析】根据有理数的分类作出判断，即可得出答案． 【详解】解：①没有最小的整数，故该项说法错误； ②有理数包括正数、0和负数，故该项说法错误； ③非负数就是正数和0，故该项说法错误； ④是无理数，故该项说法错误； ⑤是无限循环小数，所以是有理数，故该项说法错误； ⑥无限小数不都是有理数，故该项说法正确； ⑦正数中没有最小的数，负数中没有最大的数，，故该项说法正确； 所以其中错误的说法的个数为5个， 故答案为：5． 【点睛】本题考查了有理数的分类，掌握正数、负数、整数、分数、正有理数、负有理数、非负数的定义与特点是解题的关键．注意整数和正数的区别，注意0是整数，但不是正数． 【经典例题六 0的意义】 【例6】（24-25七年级上·江苏镇江·阶段练习）下列结论正确的是（   ） A．0既是正数，又是负数 B．0是最小的正数 C．0是最小的整数 D．0既不是正数也不是负数 【答案】D 【分析】根据0的概念逐项判断即可得． 【详解】A、既不是正数，也不是负数，则此项错误； B、不是正数，则此项错误； C、整数包括负整数、和正整数，且没有最小的整数，则此项错误； D、既不是正数也不是负数，则此项正确； 故选：D． 【点睛】本题考查了0的概念，掌握理解0的概念是解题关键． 1．（24-25七年级上·福建莆田·阶段练习）下列说法错误的是（　　） A．0是最小的自然数 B．0既不是正数，也不是负数 C．海拔高度是0米表示没有高度 D．0℃是零上温度和零下温度的分界线 【答案】C 【分析】在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示，据此可以得到正确答案． 【详解】A、0是最小的自然数，正确，故本选项不符合题意， B、0既不是正数，也不是负数，正确，故不符合题意； C、海拔高度为0米表示高度和参考高度相等，故本选项符合题意， D、0℃是零上温度和零下温度的分界线，正确，故本选项不符合题意， 故选C． 【点睛】此题考查了有理数，正数和负数的知识点，解题关键是理解“正”和“负”的相对性． 2．（24-25七年级上·广东深圳·期中）下列说法：①零是正数；②零是整数；③零是最小的有理数；④零是最小的自然数；⑤零是最大的负数；⑥零是非负数；⑦零是偶数；其中正确的说法的个数为(   ). A．4 B．3 C．5 D．6 【答案】A 【分析】用有理数的概念对各个小项进行判断即可. 【详解】解：：①零不是正数，故该说法错误； ②零是整数，故该说法正确； ③没有最小的有理数，故该说法错误； ④零是最小的自然数，该说法正确； ⑤零不是负数，故该说法错误； ⑥零是非负数，该说法正确； ⑦零是偶数，该说法正确； 故说法正确的个数有：4个 故选A 【点睛】本题考查了对零的认识，熟悉有理数的各种概念是解题的关键. 3．（24-25七年级上·全国·课后作业）下面关于“0”的叙述，正确的有(　　) ①0是正数与负数的分界；②0比任何正数都小；③0只表示没有；④0还常用来表示某种量的基准． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据0不是正数也不是负数，是自然数，是整数，是有理数的知识点找到正确选项即可． 【详解】①0是正数与负数的分界，正确； ②0比任何正数都小，正确； ③在有理数中，0的意义不仅表示没有，在进行运算时，0还有表示占位的意义，0还表示正整数与负整数的分界等，故错误； ④0还常用来表示某种量的基准，正确． 正确的有3个． 故选C． 【点睛】本题考查了0的意义；掌握0的相关知识点是解决本题的关键． 【经典例题七 有理数的分类】 【例7】（24-25七年级上·河南三门峡·期中）把下列各数的序号填在相应的大括号内： （1）27，（2），（3）8.5，（4），（5），（6）0 ，（7） 正有理数集合：{                         …}． 负有理数集合：{                         …}． 整数集合：{                         …}． 【答案】（1），（2），（3），（7）；（4），（5）；（1），（4），（6） 【分析】本题主要考查了有理数的分类，掌握有理数的定义是解题的关键． 根据有理数的分类逐个解答即可． 【详解】解：正有理数集合：{（1），（2），（3），（7）…}． 负有理数集合：{（4），（5）…}． 整数集合：{（1），（4），（6）…}． 故答案为：（1），（2），（3），（7）；（4），（5）；（1），（4），（6）． 1．（24-25七年级上·江苏无锡·期中）把下列各数的序号分别填入相应的集合内：①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧，⑨． 整数集合_______________…； 正分数集合_______________…； 非正数集合_______________…． 【答案】①④⑧；②⑤⑥⑨；①③④⑦ 【分析】根据各自的定义：整数（正整数、零和负整数），正分数，非正数，即可求解． 【详解】负整数；3.5是小数也是分数；是负数，也是小数；0是整数；是分数；0.03是小数也是分数；是带分数，也是负数；10是正整数，是循环小数，也是有理数；即有： 整数集合：{①④⑧}； 正分数集合：{②⑤⑥⑨}； 非正数集合：{①③④⑦}； 故答案为：①④⑧；②⑤⑥⑨；①③④⑦ 【点睛】本题主要考查了有理数，熟练掌握掌握正数、负数、整数、分数、非正数的定义与特点，注意整数和正数的区别，注意0是整数，但不是正数．正分数是首先是分数，即是有理数，再是正数． 2．（24-25七年级上·广东东莞·期中）把下列各数填入相应的大括号里：，，，，，，，，，． 正有理数集合｛            ｝；非负整数集合｛            ｝； 整数集合｛              ｝；负分数集合｛             ｝． 【答案】， ，，，；，；，，；，． 【分析】本题考查了正有理数、非负整数、整数、负分数的定义，根据定义直接求解即可，解题的关键是熟悉正有理数、非负整数、整数、负分数的定义，熟练掌握此题的特点并能熟练运用． 【详解】解：正有理数集合｛， ，，，，｝； 非负整数集合｛，，｝； 整数集合｛，，，｝； 负分数集合｛，，｝ 故答案为：， ，，，；，；，，；，． 3．（24-25七年级上·广东惠州·期中）把下列各数分别填在相应的括号里. ，，，20，，0，，，，12，3.151151115… 正整数：（                             ） 负分数：（                             ） 非负有理数：（                         ） 非整数（                              ） 【答案】正整数：（ 20， 12） 负分数：（ ，， ） 非负有理数：（ ， 20， 0，， 12  ） 非整数（，，，，，，3.151151115…） 【分析】本题主要考查了有理数的分类，根据正整数，负分数，非负有理数，非整数的定义解答即可． 【详解】解：正整数：（ 20， 12）； 负分数：（ ，， ）； 非负有理数：（ ， 20， 0，， 12  ）； 非整数（，，，，，，3.151151115…）． 【经典例题八 带“非”的有理数】 【例8】（2024七年级上·全国·专题练习）下列说法：是非负整数；非正数包括和负数；非负数就是正整数和；正整数、正分数和都属于非负有理数．其中正确的个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了非负整数、非正数、非负数以及非负有理数的概念，掌握以上知识点是解答本题的关键． 根据非负整数、非正数、非负数以及非负有理数的概念逐个判断即可解答． 【详解】解：是负整数，错误； 非正数包括和负数，正确； 非负数就是正数和，错误； 正整数、正分数和都属于非负有理数，正确； 其中正确的个数是个， 故选：C． 1．（24-25七年级上·浙江台州·期中）下列说法中：①0是最小的整数；②有理数不是正数就是负数；③非负数就是正数；④整数和分数统称有理数，其中正确的是（　　 ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】D 【分析】根据有理数的分类依此作出判断，即可得出答案． 【详解】解：①、0是最小的整数，说法错误，因为整数有正、负、0之分； ②、一个有理数不是正数就是负数，说法错误，0既不是正数也不是负数； ③、非负数指的是正数和0，说法错误； ④、整数和分数统称有理数，说法正确； 故选：D． 【点睛】本题考查了有理数的分类以及正数负数的有关概念，正确理解有理数的分类是解题的关键． 2．（24-25七年级上·山东聊城·期中）在有理数：-12，71，-2.8，，0，34%，0.67，，中，非负数有（   ） A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 【答案】B 【分析】要做此题，必须弄清正数和负数的定义，理解非负数就是正数和0． 【详解】解：根据正数和负数的定义可知，在这一组数中非负数有71，，0，34%，0.67，，共6个． 故选：B． 【点睛】本题考查了正数和负数的定义，熟练掌握是解题的关键． 3．（24-25七年级上·江苏泰州·阶段练习）在，0，，，2024，，，中，非负整数有 个． 【答案】 【分析】本题主要考查非负整数，熟练掌握非负整数的分类是解题的关键．根据非负整数即正整数以及即可得到答案． 【详解】解：非负整数有，0，2024． 故答案为：． 【经典例题九 正负数的应用之温差问题】 【例9】（24-25七年级上·湖南益阳·期中）中国载人登月工程计划在年前实现载人登月，月球昼夜温差大，白天温度能达到左右，记作，晚上降低到了零下左右，则可记作 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了相反意义的量，正负数的实际应用等知识点，熟练掌握相反意义的量的概念是解题的关键：用正负数表示两种具有相反意义的量，具有相反意义的量都是相互依存的两个量，它包含两个要素，一是它们的意义相反，二是它们都是数量；按照指定方向的标准来划分，规定指定方向为正方向的数用正数表示，则向指定方向相反的方向变化用负数表示，正与负是相对的． 根据相反意义的量的概念即可直接得出答案． 【详解】解：若零上记作，则零下应记作， 故答案为：． 1．（2024七年级上·全国·专题练习）塔克拉玛干沙漠是中国最大的沙漠，昼夜温差大．某科学考察队测得其夏季某天中午的最高温度是零上，记为，测得其当天晚上的最低温度是零下，应记为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了正数和负数的意义，在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示． 【详解】解：零上，记为，零下，应记为：， 故选：A． 2．（24-25七年级上·四川达州·阶段练习）2024年3月石家庄和张家口的平均最低气温如下表所示，表示零上4摄氏度，下列说法正确的是（   ） 石家庄 张家口 A．表示下降3摄氏度 B．表示零下3摄氏度 C．表示零上3摄氏度 D．2024年3月石家庄与张家口平均最低气温的温差是1摄氏度 【答案】B 【分析】本题考查了相反意义的量，正确理解相反意义的量是解题的关键．根据相反意义的量的含义，即可判断答案． 【详解】A、表示不表示下降3摄氏度，所以A选项错误，不符合题意； B、该选项正确，符合题意； C、表示零下3摄氏度，所以C选项错误，不符合题意； D、2024年3月石家庄与张家口平均最低气温的温差是7摄氏度，所以D选项错误，不符合题意． 故选：B． 3．（24-25七年级上·内蒙古呼伦贝尔·阶段练习）探空气球的气象观测统计资料表明，海拔高度每升高1000米，气温就下降6℃，某时刻，甲市地面温度为20℃，有一架飞机飞过甲市上空时，机舱内仪表显示飞机外面的温度为-34℃，求飞机离地面的高度为多少千米？ 【答案】9千米 【分析】先计算出温度总共下降多少摄氏度，根据海拔高度每升高1000米，气温就下降6℃的比例关系即可求解. 【详解】∵20℃-（-34℃）=54℃， ∴54÷6×1000=9×1000=9000m ∵1000m=1km, ∴9000m=9km. 故飞机离地面的高度为9千米. 【点睛】此题考查正数和负数，解题关键在于结合题意列出相应计算式. 【经典例题十 正负数的应用之时差问题】 【例10】（24-25七年级上·辽宁抚顺·阶段练习）以下的四个时钟显示了同一时刻国外三个城市时间和北京时间，若表中给出的是国外三个城市与北京的时差，则这四个时钟对应的城市从左到右依次是（   ） 城市 纽约 悉尼 伦敦 时差/h A．北京、悉尼、伦敦、纽约 B．纽约、悉尼、伦敦、北京 C．伦敦、纽约、北京、悉尼 D．北京、伦敦、悉尼、纽约 【答案】B 【分析】本题主要考查了正负数的意义，根据各钟表的时差确定北京时间，进而得出答案． 【详解】因为北京和悉尼的时差是，所以北京的时间是6时（18时）或4（16时）时， 若北京时间是6时（18时），则（时），不符合题意． 所以北京时间是16时，悉尼时间为（时），伦敦时间为（时），纽约时间为（时）， 所以答案为：纽约，悉尼，伦敦，北京． 故选：B． 1．（23-24七年级上·广东佛山·期中）新西兰南岛、墨西哥与北京的时差如下表（正数表示同一时刻比北京时间早的时数，负数表示同一时刻比北京时间晚的时数）： 当北京 6 月 15 日 23 时，新西兰南岛、墨西哥的 时间分别是（　） 城市 新西兰南岛 墨西哥 时差/时 +3 -14 A．6 月 15 日 20 时；6 月 15 日 9 时 B．6 月 15  日 20 时；6 月 16  日 12 时 C．6 月 16  日 2 时；6 月 15  日 9 时 D．6 月 16  日 2 时；6 月 14  日 9 时 【答案】C 【分析】根据题意按正负数的加减法计算即可． 【详解】解：新西兰南岛同一时刻比北京时间早3个小时，即6月15日23时加3小时为6月16日2时； 墨西哥同一时刻比北京时间晚14个小时，即6月15日23时减14小时为6月15日9时； 故选：C． 【点睛】本题考查的是正数和负数的意义，正确理解表中正数和负数的意义是解题的关键． 2．（24-25七年级上·山西临汾·期末）第33届夏季奥林匹克运动会在法国巴黎举行，下表是几个城市与北京的时差（两个地区地方时之间的差别）（带“”号的数表示同一时刻该地区时间比北京时间早的小时数）： 城市 纽约 伦敦 巴黎 首尔 时差 奥运会开幕式的时间是巴黎时间7月26日19时30分，对应下列城市的时间是（   ） A．北京时间7月27日3时30分 B．伦敦时间7月26日18时30分 C．纽约时间7月26日14时30分 D．首尔时间7月27日5时30分 【答案】B 【分析】本题考查了正负数在实际生活中的意义，熟练掌握正负数的意义是解题关键．根据“”号的数表示同一时刻该地区时间比北京时间早的小时数，先求出北京时间，再求出其他城市时间，即可得出答案． 【详解】解：奥运会开幕式的时间是巴黎时间7月26日19时30分， 因为，巴黎与北京的时差为， 所以，北京时间为7月26日19时30分小时，即7月27日2时30分，A选项错误； 因为，伦敦与北京的时差为， 所以，伦敦时间为7月27日2时30分小时，即7月26日18时30分，B选项正确； 因为，纽约与北京的时差为， 所以，纽约时间为7月27日2时30分小时，即7月26日13时30分，C选项错误； 因为，首尔与北京的时差为， 所以，首尔时间为7月27日2时30分小时，即7月27日3时30分，D选项错误； 故选：B． 3．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，标号为①②③④的时钟准确显示了同一时刻的伦敦、悉尼、纽约和北京时间，根据如表给出伦敦悉尼、纽约与北京的时差（“”表示同一时刻比北京早的时间，“”表示同一时间比北京晚的时间），表示伦敦、悉尼、纽约和北京时间的时钟标号分别是 ． 城市 伦敦 悉尼 纽约 时差 【答案】①④②③ 【分析】此题考查了正数与负数，根据伦敦、悉尼、纽约，与北京的时差，结合钟表确定出对应的城市即可． 【详解】解：依题意，得： 标记①②③④的时钟均为12小时制时钟． 标记①时钟表示8:00；②时钟表示3:00；③时钟表示4:00；④时钟表示6:00． （1）若①时钟8:00表示悉尼时间，则北京时间为6:00（能找到④时钟）；进而可知：纽约时间为4:00，伦敦时间为10:00，找不到对应的时钟． ∴标记①的时钟不能表示悉尼时间． （2）若②时钟3:00表示悉尼时间，则北京时间为1:00，①、③、④时钟均找不到． ∴标记②的时钟不能表示悉尼时间． （3）若③时钟4:00表示悉尼时间，则北京时间为2:00，①、②、④时钟均找不到． ∴标记③的时钟不能表示悉尼时间． （4）若④时钟6:00表示悉尼时间，则北京时间为4:00，找到③时钟；纽约时间为3:00，找到②时钟；伦敦时间为8:00，找到①时钟． ∴表示伦敦、悉尼、纽约和北京时间的时钟标号分别为①、④、②、③． 故答案为：①④②③． 【经典例题十一 正负数的应用之误差问题】 【例11】（24-25七年级·全国·单元测试）机床厂工人加工一种直径为的机器零件，要求误差不大于，质检员现抽取10个进行检测（超出部分记为正，不足部分记为负，单位：）得到数据如下： ，，，，，，，，，．其中不合格的零件有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题主要考查了正负数的实际应用，首先审清题意，明确“正”和“负”所表示的意义，找到数值大于的零件数即可得到答案． 【详解】解：∵要求误差不大于， ∴只有和误差大于， ∴不合格的零件有2个， 故选：B． 1．（24-25七年级上·四川·阶段练习）某圆形零件的直径要求是，下表是6个已生产出来的零件圆孔直径检测结果（以为标准则）则在这6个产品中合格的有（    ）． 序号 1 2 3 4 5 6 误差 0 A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】某圆形零件的直径要求是50±0.2mm，即可得都合格，一一进行判断即可． 【详解】，即都合格，内都可合格， ∴有4个． 【点睛】本题主要考查有理数正负数在生活中的实际运用，正确理解正负数的性质是本题的解题关键． 2．（24-25六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）一种袋装食品标准净重为100克，质监部门工作人员为了解该种食品每袋重与标准净重的误差，把食品净重克记为克，那么，食品净重99克就记为 克 【答案】 【分析】本题考查了正数和负数，根据正数和负数是一组相反意义的量即可求得答案，理解正数和负数是一组相反意义的量是解题的关键． 【详解】解：∵食品净重克记为克， ∴食品净重99克就记为克， 故答案为：． 3．（24-25七年级上·江西南昌·期中）工厂加工一批比赛用乒乓球，按国际比赛规定要求乒乓球的直径标准为40mm，但是实际生产的乒乓球直径可能会有一些偏差，以下是该工厂加工的20个乒乓球的直径检验记录：（“+”表示超出标准，“-”表示不足标准．） 个数 1 2 1 11 3 2 偏差/mm ﹣0.4 ﹣0.2 ﹣0.1 0 +0.3 +0.5 （1）其中偏差最大的乒乓球直径是　 　； （2）这20个乒乓球平均每个球的直径是多少mm？ （3）若误差在“±0.25”以内的球可以作为合格产品，若误差在“±0.15mm”以内的球可以作为良好产品，这些球的合格率是　 　，良好率是　 　． 【答案】（1）40.5mm（2）40.05mm（3）70%，60%． 【分析】（1）根据题意列式计算即可； （2）根据平均数的定义即可得到结论； （3）根据误差在“±0.25”以内的球可以作为合格产品，若误差在“±0.15mm”以内的球可以作为良好产品分别占总数的百分比即可得到结论． 【详解】（1）其中偏差最大的乒乓球直径是40mm＋0.5mm＝40.5mm， 故答案为：40.5mm； （2）这20个乒乓球平均每个球的直径是40＋（1×（−0.4）＋2×（−0.2）＋1×（−0.1）＋11×0＋3×0.3＋2×0.5）＝40.05mm； （3）这些球的合格率是×100%＝70%，良好率是×100%＝60%， 故答案为：70%，60%． 【点睛】此题考查了正数和负数，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量． 【经典例题十二 正负数的应用之简单计算问题】 【例12】（2025·河北廊坊·一模）初中生佳佳为了美观，总是不喜欢穿厚裤子．妈妈规定；每天最低气温在以下或者最高气温在以下，必须穿保暖裤．按照本地天气预报，周一到周日佳佳有几天必须要穿保暖裤？分别是哪几天？ 周一 周二 周三 周四 周五 周六 周日 最高气温（） 最低气温（） 【答案】周一到周日佳佳有天必须要穿保暖裤，分别周三、周四、周五、周六 【分析】本题考查了有理数的应用，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 对周一到周日的气温数据逐一比对，即可得到答案． 【详解】解：根据表格数据得， 周一：最高气温，最低气温，故佳佳可以不穿保暖裤； 周二：最高气温，最低气温，故佳佳可以不穿保暖裤； 周三：最高气温，故佳佳必须穿保暖裤； 周四：最高气温，最低气温，故佳佳必须穿保暖裤； 周五：最高气温，最低气温，故佳佳必须穿保暖裤； 周六：最高气温，最低气温，故佳佳必须穿保暖裤； 周日：最高气温，最低气温，故佳佳可以不穿保暖裤； 周一到周日佳佳有天必须要穿保暖裤，分别周三、周四、周五、周六． 1．（24-25七年级上·广西桂林·期中）某体育用品店用400元购进了8套运动服，准备以一定价格出售．如果该店卖出每套运动服的价格以65元为标准，超出部分记做正数，不足部分记做负数，记录如下（单位：元）：，，，，，，0，． (1)你能求出销售后的总额吗？ (2)该店卖出这8套运动服后是盈利还是亏损？赢利（亏损）多少？ 【答案】(1)元 (2)盈利，元 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，正数和负数的实际应用，结合已知条件列出正确的算式是解题的关键． （1）根据正数和负数的实际意义列算式即可； （2）结合（1）中所求列式计算即可． 【详解】（1）解： （元）； 即销售后的总额为元； （2）解：， 该店卖出这8套运动服后是盈利， 盈利元． 2．（2024七年级上·云南·专题练习）生活情境·营业额某超市今年上半年的营业额与去年同月营业额相比的增长率如下表所示．请根据表格信息回答下列问题： 月份 1 2 3 4 5 6 比去年同月增长 0 0.2 0.3 0.4 (1)该超市今年上半年的营业额与去年同月营业额相比，哪几个月是增长的？ (2)今年1月和4月比去年同月增长率是负数表示什么意思？ (3)今年上半年与去年上半年同月相比，营业额没有增长的是哪个月？ 【答案】(1)3月、5月、6月 (2)今年1月和4月的营业额与去年1月和4月的营业额相比降低； (3)月，月，月 【分析】本题考查了正数，负数的应用，熟练掌握正数和负数的意义是解题的关键． （1）找出表格中增长率为正数的即可得到答案； （2）根据负数的意义即可得到答案； （3）找出表格中增长率为负数和的即可得出的． 【详解】（1）解：∵是正数， ∴月，月，月是增长的； （2）解：今年月和月相比去年同月增长率是负数表示营业额下降； （3）解：∵和是负数，表示不变， ∴营业额没有增长的是月． 3．（24-25七年级上·吉林·期中）体育课上，教师对七年级（8）班的女生进行了仰卧起坐测试，以做个及以上为达标，超过个用正数表示，不足个用负数表示，第一组8名学生的成绩如下( 单位∶个)∶，3，4，，2，3，，0． (1)第一组 8 名学生的成绩中，“0”表示的是做了 个仰卧起坐． (2)第一组学生的达标率是 % ． (3)第一组 8 名学生共做了多少个仰卧起坐？ 【答案】(1) (2) (3)个 【分析】本题考查了正数和负数，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示． （1）根据超过的记作正数，不足的记作负数直接加上基础数量即可得到答案； （2）利用达标的人数除以总人数即可得到答案； （3）利用乘以8加上记录的成绩即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意可得， “0”表示的是做了个仰卧起坐， 故答案为：； （2）解：由题意可得， 3，4， 2，3， 0几个计数的人是达标的，共5人， ∴第一组学生的达标率是：， 故答案为：； （3）解：由题意可得， （个）， ∴第一组 8 名学生共做了个仰卧起坐． 【拓展训练一 有理数的分类综合】 【例1】（24-25七年级上·海南海口·期中）把下列各数填入相应的数集中： +1、-5％、200、-3、6.8、0、－、0.12003407、1、-43.555、77％、-3 （1）非负数集合：______________________（2）负有理数集合：________________________ （3）正整数集合：______________________（4）负分数集合：___________________________ 【答案】（1）+1、200、6.8、0、0.12003407、1、77％； （2）-5％、-3、－、-43.555、-3； （3）200、1； （4）-5％、－、-43.555、-3. 【分析】根据有理数的分类，可得答案 【详解】解：（1）非负数集合：+1、200、6.8、0、0.12003407、1、77％； （2）负有理数集合：-5％、-3、－、-43.555、-3； （3）正整数集合：200、1； （4）负分数集合：-5％、－、-43.555、-3. 【点睛】本题考查了有理数，熟知有理数的分类是解题关键． 1．（24-25七年级上·江苏无锡·阶段练习）把下列各数填入相应的横线上． ． 正有理数：___________________________________________________ 负整数：_____________________________________________________ 负分数：_____________________________________________________ 非负有理数：_________________________________________________ 【答案】，，，；，；，，，；，， 【分析】本题考查了有理数的分类，认真掌握正数、负数、整数、分数、正有理数、负有理数、非负数的定义与特点．注意整数和正数的区别，注意0是整数，但不是正数． 根据正有理数，负整数，负分数，非负有理数的定义分别填空即可． 【详解】解：正有理数：，，，； 负整数：，； 负分数：，，，； 非负有理数：，，； 故答案为：，，，；，；，，，；，，． 2．（24-25七年级上·山东临沂·阶段练习）将下列各数填入相应的集合中． ，，， ，0，1，，，． 整数集合：{ …}； 分数集合：{ …}； 有理数集合：{ …}； 非负数集合：{ …}． 【答案】；；；． 【分析】本题考查有理数的分类，整数和分数统称有理数，有限小数和无限循环小数都可以化成分数，也属于有理数，非负数包括正数和0，掌握相关知识是解题的关键．． 【详解】解：根据题意可得： 整数集合：； 分数集合：； 有理数集合：； 非负数集合：． 故答案为：；；；． 3．（24-25七年级上·吉林长春·阶段练习）把下列各数填在相应集合中：，，0，，，2，，，． 分数集合：{ …}； 负整数集合：{ …}； 非负有理数集合：{ …}． 【答案】，，， ；，；0，2， 【分析】此题考查有理数的分类，注意解题技巧，正整数、负整数在对应的正数、负数里面找，注意是无理数．根据分数、负整数、非负有理数的意义直接把数据分类即可． 【详解】解：分数集合：{，，，…}； 负整数集合：{，…}； 非负有理数集合：{0，2，…}． 故答案为：，，， ；，；0，2，． 【拓展训练二 有理数说法正误问题】 【例2】（24-25七年级上·山东德州·阶段练习）下列说法中：①0是最小的整数；②有理数不是正数就是负数；③非负数就是正数；④不仅是有理数，而且是分数；⑤是无限循环小数，所以不是有理数；⑥绝对值等于本身的数是正数；⑦正数中没有最小的数，负数中没有最大的数．其中错误的说法的个数为（  ） A．7个 B．6个 C．5个 D．4个 【答案】B 【分析】根据有理数的定义、分类依此作出判断，即可得出答案． 【详解】解：①没有最小的整数；错误； ②有理数包括正有理数数、0和负有理数；错误； ③非负数就是正数和0；错误； ④是无理数；错误； ⑤是无限循环小数，所以是有理数；错误； ⑥绝对值等于本身的数有正数和0；错误； ⑦正数中没有最小的数，负数中没有最大的数．正确； 故选：B． 【点睛】本题考查有理数的分类，认真掌握正数、负数、整数、分数、正有理数、负有理数、非负数的定义与特点是解题关键．注意整数和正数的区别，注意0是整数，但不是正数． 1．（24-25七年级上·江苏苏州·阶段练习）下列说法中不正确的有（ ） ①既是负数，分数，也是有理数；②既不是正数，也不是负数，但是整数；③是正数和负数的分界；④既是负数，也是整数，但不是有理数． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】根据负数、分数、有理数的定义可以判断﹣3.14，0，﹣200各属于哪些数，从而可以判断题目中的四个结论是否正确，从而可以解答本题． 【详解】﹣3.14既是负数，分数，也是有理数，故①正确； 　0既不是正数，也不是负数，但是整数，故②正确； 　0是正数和负数的分界，故③正确； ④﹣200既是负数，是整数，也是有理数，故④不正确． 故选A． 【点睛】本题考查了有理数，解题的关键是明确负数、分数、有理数的定义． 2．（2022七年级上·全国·专题练习）下列说法中，正确的是 ． （1）整数就是正整数和负整数； （2）分数就是正分数和负分数； （3）一个数不是正有理数就是负有理数； （4）非负数就是正数； （5）若一个数是整数，则它一定是有理数； （6）若一个数不是有理数，则它一定不是整数； （7）存在最大的非正数； （8）零是最大的非正整数． 【答案】（2）、（5）、（6）、（7）、（8） 【分析】按照有理数的分类对各项进行逐一分析即可． 【详解】解：整数包括正整数、0和负整数；故（1）错误； 分数包括正分数和负分数；故（2）正确； 一个数不是正有理数就是0和负有理数；故（3）错误； 非负数包括正数和0，故（4）错误； 有理数包括整数和分数；故（5）、（6）正确； 最大的非正数是0，0也是最大的非正整数；故(7)、(8)正确 故答案为：（2）、（5）、（6）、（7）、（8） 【点睛】本题考查了有理数．认真掌握正数、负数、整数、分数、正有理数、负有理数、非负数的定义与特点是解题的关键．注意整数和正数的区别，注意0是整数，但不是正数． 3．（24-25七年级上·江苏扬州·阶段练习）现有下列说法： ①有限小数一定是有理数； ②无限小数一定是无理数； ③无限不循环小数叫做无理数； ④任何一个有理数的绝对值一定是正数； ⑤倒数等于本身的数是±1． 其中正确说法的是 ． 【答案】①③⑤ 【详解】试题解析：①有限小数一定是有理数，故①正确； ②无限不循环小数一定是无理数，故②错误； ③无限不循环小数叫做无理数，故③正确； ④任何一个有理数的绝对值一定是非负数，故④错误； ⑤倒数等于本身的数是±1，故⑤正确． 其中正确说法的是 ①③⑤， 【拓展训练三 正负数的实际应用综合】 【例3】（24-25七年级上·山东济南·阶段练习）某检修小组甲队乘一辆汽车沿公路检修线路，约定向东为正，某天从A地出发到收工时，行走记录为（单位：千米）：+15，﹣2，+5，﹣1，+10，﹣3，﹣2，+12，+4，﹣5，+6；另一小组乙队也从A地出发，在南北方向检修，约定向北为正，行走记录为：﹣17，+9，﹣2，+8，+6，+9，﹣5，﹣1，+4，﹣7，﹣8． （1）分别计算收工时，两组在A地的哪一边，距A地多远？ （2）若每千米汽车耗油量为0.06升，求出发到收工甲队耗油多少升？ 【答案】（1）甲队在A地的正东方向39米，乙队在A地的正南方向4米；（2）3.9升． 【分析】（1）分别将两组记录的数据相加，分别求出两组距离A地的距离即可； （2）将甲队行走记录的绝对值相加即为总路程，然后根据每千米的耗油量列式计算即可． 【详解】解：（1）甲队离A地为：+15-2+5-1+10-3-2+12+4-5+6=39，即甲队在A地的正东方向，距离A地39千米； 乙队离A地为：-17+9-2+8+6+9-5-1+4-7-8=-4，即乙队在A地的正南方向，距离A地4千米； （2）队走总路程为：15+2+5+1+10+3+2+12+4+5+6=65千米 所以甲队出发到收工共耗油：65×0.06=3.9升． 答：从出发到收工甲队耗油3.9升． 【点睛】本题主要考查了正负数的应用和意义，理解绝对值的意义并根据题意列出算式是解答本题的关键． 1．（24-25七年级上·湖北黄石·阶段练习）某出租车一天下午以车站为出发地在东西方向的大街上营运，规定向东为正，向西为负，行车里程（单位：）依先后次序记录如下：，，，，，，，，，+10. （1）将最后一名乘客送到目的地，出租车离车站出发点多远？在车站的什么方向？ （2）出租车在行驶过程中，离车站最远的距离是多少？ （3）出租车按物价部门规定，起步价（不超过千米）为元，超过3千米的部分每千米的价格为元，司机一个下午的营业额是多少？ 【答案】（1）出租车离车站出发点，出租车在车站；（2）10km；（3）122元. 【分析】（1）直接把各数相加即可得出结论； （2）分步求出记录的数字的结果，比较绝对值的大小即可求解； （3）把各数的绝对值相加即可得出出租车行驶的距离，进而可得出结论． 【详解】（1） 故出租车离车站出发点，出租车在车站； （2），，，，，，，，. 故离车站最远的距离是； （3）（元）. 故司机一个下午的营业额是122元. 【点睛】本题考查的是正数和负数，熟知用正负数表示两种具有相反意义的量．具有相反意义的量都是互相依存的两个量，它包含两个要素，一是它们的意义相反，二是它们都是数量． 2．（24-25七年级上·江苏宿迁·阶段练习）小王师傅是一名出租车司机．一天下午，他在一条东西走向的马路上连续接送8次乘客，并把每个乘客的行程记录如下： ，，，，，，，． （注：向西记作“”，向东记作“+”，单位是千米）请同学们思考并回答下列问题： (1)小王师傅在A处接上第一名乘客出发，将最后一名乘客送到目的地时，他此时在出发地A处什么方向？距A处多远？ (2)公司规定每趟车的起步价是元，且每趟车3千米以内（含3千米）只收起步价；若超过3千米，除收起步价外，超过的每千米还需收2元钱，小王师傅接送8次乘客共收车费多少元？ 【答案】(1)他此时在出发地A处东边，距A处8千米； (2)小王师傅接送8次乘客共收车费元； 【分析】（1）根据有理数的加法，把相反意义的行程理数相加求和，根据正数在东，负数在西方可得答案； （2）判断出大于3千米与小于3千米的，根据收费标准列式求解即可得到答案； 【详解】（1）解：由题意可得， ， ∴他此时在出发地A处东边，距A处8千米； （2）解：由题意可得， 只有，，，四次大于3千米， 分别超过：2千米，5千米，1千米，4千米， ∴费用为：（元）， ∴小王师傅接送8次乘客共收车费元． 3．（23-24七年级上·陕西咸阳·阶段练习）近几年，全球的新能源汽车发展迅猛，尤其对于我国来说，新能源汽车产销量都大幅度增加．小明家新换了一辆新能源纯电汽车，他连续7天记录了每天行驶的路程（如表）．以为标准，多于的记为“＋”，不足的记为“－”，刚好的记为“0”． 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 路程（km） (1)请求出小明家的新能源汽车这7天一共行驶了多少千米？ (2)已知汽油车每行驶需用汽油升，汽油价为元/升，而新能源汽车每行驶耗电量为15度，每度电为元，小明家换成新能源汽车后这7天的行驶费用比原来节省多少钱？ 【答案】(1)小明家的新能源汽车这7天一共行驶了300千米 (2)小明家换成新能源汽车后这7天的行驶费用比原来节省110.1元 【分析】本题主要考查正负数的实际应用及有理数的混合运算， （1）计算出表格中的和再加上7天每天求出总路程即可； （2）利用（1）中的总路程计算总费用即可． 【详解】（1）解：（千米）， 答：小明家的新能源汽车这7天一共行驶了300千米． （2）解：（元）， （元）， （元）， 答：小明家换成新能源汽车后这7天的行驶费用比原来节省元． 1．（2025七年级上·江苏·专题练习）某袋饼干标签上写着“净含量：（）克”，以下4袋饼干中不合格的是（ ）． A．145克 B．148克 C．150克 D．160克 【答案】D 【分析】根据“净含量：（）克”，计算得合格质量范围为克到克，比较判断即可． 本题考查了有理数加减的应用，正确理解计算方法是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得“净含量：（）克”， 故合格质量范围为克到克， 故A，B，C都合格，D不合格． 故选：D． 2．（2025·江苏盐城·三模）《九章算术》记载的“余”和“不足”等概念，充分说明中国是世界上最早采用正负数表示相反意义量的国家，若将“收入80元”记作“元”，则“支出30元”记作（   ） A．50元 B．元 C．30元 D．元 【答案】D 【分析】本题主要考查了具有相反意义的量，正负数是一对具有相反意义的量，若收入用“”表示，那么支出就用“”表示，据此求解即可． 【详解】解：若将“收入80元”记作“元”，则“支出30元”记作元， 故选：D． 3．（24-25七年级上·江苏南通·期末）在有理数，，，0，，，，中，可以写成负分数形式的数有（ ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】D 【分析】根据有理数的相关定义进行判断即可． 本题考查有理数，熟练掌握其定义是解题的关键． 【详解】解：依题意，，， 则可以写成负分数形式的数有2个， 故选：D 4．（24-25七年级上·河南南阳·期中）下列语句中正确的有(   )个． ①不带“”号的数都是正数；②如果是正数，那么一定是负数；③不存在既不是正数，也不是负数的数；④表示没有温度． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题主要考查正数与负数的意义，根据正数与负数的性质及的意义可求解． 【详解】解：①0不带“”号但不是正数，故原说法错误； ②如果是正数，那么一定是负数，故正确； ③0既不是正数，也不是负数的数，故原说法错误； ④表示温度为℃，故原说法错误． 故正确的有1个． 故选：A． 5．（2024七年级上·江苏·专题练习）在下列选项中，具有相反意义的量是（    ） A．上升了6米和后退了7米 B．卖出10斤米和盈利10元 C．收入20元与支出30元 D．向东行30米和向北行30米 【答案】C 【分析】本题考查了对正负数概念的理解，关键明确正负数是表示一对意义相反的量．根据相反意义的量的概念，逐项判断分析即可解题． 【详解】解：A.不是一对具有相反意义的量，不符合题意； B.不是一对具有相反意义的量，不符合题意； C.是一对具有相反意义的量，符合题意； D.不是一对具有相反意义的量，不符合题意． 故本题选：C． 6．（24-25六年级下·全国·单元测试）下列各数：，，，0，，，11，，其中负分数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】有限小数、无限循环小数都可以化为分数，从中找出负分数即可． 【详解】解：，是负分数，有2个． 故选：B． 【点睛】本题考查有理数的意义，掌握有理数的分类、理解有理数的意义和形式是解题的关键． 7．（24-25六年级上·山东淄博·阶段练习）在东西走向的马路上，若把向东走记作，则向西走应记作 ． 【答案】 【分析】本题考查了正数和负数的意义，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，确定一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示． 【详解】解：向东走记作，则向西走应记作： ， 故答案为：． 8．（24-25七年级上·内蒙古包头·阶段练习）如表，表中列出了国外几个城市与北京的时差，其中带正号的数表示同一时刻比北京时间早的时数，则当北京的时间为时，纽约的时间是 ． 城市 纽约 巴黎 东京 芝加哥 时差/时 【答案】前一日 【分析】本题主要考查正负数的实际运用，准确熟练地进行计算是解题的关键．根据正数和负数的实际意义，结合表格信息即可求得答案． 【详解】解：由题意得：（时），（时）， 则当北京的时间为时，纽约的时间是前一日， 故答案为：前一日． 9．（24-25七年级上·浙江嘉兴·期中）把下列各数填入相应的横线内： ，，，，，． 自然数： ；负分数： ；正有理数： ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的分类，掌握自然数，负数，正有理数的定义是解题的关键．根据定义，自然数：如的数是自然数；负分数：正分数前面加一个负号的数是负分数；正有理数包括正分数、正整数，由此即可求解． 【详解】解：∵， ∴自然数有：； 负分数有：； 正有理数有：； 故答案为：；；． 10．（24-25七年级上·山西太原·阶段练习）下列各数，，0，21，，，中，属于分数的有 ．（填入符合条件的数） 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数分类，掌握整数、0、正数之间的区别以及有限小数属于分数是解题的关键． 根据有理数的分类解答即可． 【详解】解：与都是有限小数，可以化为分数，属于分数；0、21、、都是整数；虽然具有分数的形式，但分子中的不是有理数，不是分数．综上属于分数的有，． 故答案为：． 11．（2024七年级上·江苏·专题练习）在…（每两个1之间0的个数逐次增加1）中正数有m个，非负整数有n个，正分数有k个，则 ． 【答案】0 【分析】本题考查了有理数的分类，注意不要漏写或写错．注意整数和正数的区别，注意0是整数，但不是正数．根据实数的分类：实数是有理数和无理数的统称，整数包括正整数、0和负整数，有理数是正有理数、0和负有理数的统称，即可得出答案． 【详解】解：在（每两个1之间的个数逐次增加中， 正数有（每两个1之间的0个数逐次增加，有5个，则； 非负整数有0，21，有2个，则； 正分数有，有3个，则； 则． 故答案为：0． 12．（2024七年级上·全国·专题练习）把下列各数填在相应的集合中： ，，，，，，，，，，，，，． 正整数集：{    …}； 正数集：{    …}； 负分数集：{    …}； 负数集：{    …}； 非负整数集：{    …}； 分数集：{    …}． 【答案】，，；，，，，，；，，，，；，，，，，，；，，，； ，，，，，，， 【分析】本题主要考查了有理数的分类，掌握正整数、正数，负分数、负数、非负整数、和分数的定义与特点是解题的关键． 直接利用有理数的相关概念分析得出答案，特别注意整数和正数的区别，注意是整数，但不是正数． 【详解】解：正整数集：{，，}； 正数集：{，，，，，}； 负分数集：{，，，，}； 负数集：{，，，，，，}； 非负整数集：{，，，}； 分数集：{，，，，，，，} 故答案为：，，；，，，，，；，，，，；，，，，，，；，，，； ，，，，，，， 13．（2025九年级下·北京·学业考试）某校举行“趣味运动会”，其中有一项目为“接棒过桥”，具体规则为：每组四人手持接力棒过一座独木桥，接力棒只有1根，每次过桥时最多允许两人同时握住接力棒出发（记过桥较慢的人的时间），要求不论去程或者返程时必须有接力棒，当四人全部过桥后记为游戏结束． 已知某组的甲，乙，丙，丁四位同学单独过桥所需时间（单位：分钟）分别为1，2，3，5，请写出一种该组同学完成项目可能需要的时间为 分钟，该组同学完成项目所需的最短时间为 分钟． 【答案】 14（答案不唯一） 12 【分析】根据规则解答即可． 本题的关键在于每次两人拿接力棒过桥后，必须还要有一人拿接力棒返回，（明确游戏规则）然后继续两人拿接力棒过桥后一人返回，直到四人全部过桥，因此若想时间最短，每次返程的人所用时间应尽可能地短． 【详解】解：每次两人拿接力棒过桥后，必须还要有一人拿接力棒返回，（明确游戏规则）然后继续两人拿接力棒过桥后一人返回，直到四人全部过桥，因此若想时间最短，每次返程的人所用时间应尽可能地短． 该组同学完成项目所需的时间规划可以为：甲、乙拿接力棒一起过桥（计时2分钟），甲拿接力棒返回（计时1分钟）；丙、丁拿接力棒过桥（计时5分钟），丙拿接力棒返回（计时3分钟）；甲、丙拿接力棒过桥（计时3分钟），此时全部过桥，所用时间为：（分钟）；该组完成项目需要的最短时间为：甲、乙一起过桥（计时2分钟），甲返回（计时1分钟），甲、丙一起过桥（计时3分钟），甲返回（计时1分钟），最后甲、丁再一起过桥（计时5分钟），共需要：（分钟） 故答案为：14，12． 14．（24-25七年级上·广东东莞·期中）所有正有理数组成正有理数集合，所有负有理数组成负有理数集合．把下面的有理数填入它们属于的集合内． 正有理数集合{ 　                      　……}； 负有理数集合{ 　                      　……}； 整数集合{ 　                          　……}． 【答案】；； 【分析】本题考查了有理数的分类，熟练掌握有理数的分类方式是解答本题的关键．有理数可分为整数和分数，整数分正整数，零和负整数；分数分正分数和负分数．有理数也可分为正有理数，零和负有理数，正有理数分为正整数和正分数，负有理数分为负整数和负分数．据此解答即可． 【详解】解：正有理数集合{，……}； 负有理数集合{，……}； 整数集合{，……}． 故答案为：；；． 15．（24-25七年级上·青海西宁·期中）将下列各数填入合适的集合内． ． 正数集合： 正有理数集合： 整数集合： 分数集合： 【答案】；；； 【分析】本题考查了实数的分类，解决本题的关键是熟记有理数的分类． 根据正数、正有理数、整数、分数的定义即可解答． 【详解】解：正数集合： 正有理数集合： 整数集合： 分数集合： 16．（24-25七年级上·辽宁营口·阶段练习）把下面的数的序号填在相应的大括号里：（填序号） ①1，②，③0，④，⑤，⑥，⑦1.010010001…（每两个1之间依次多1），⑧ 正数集合：｛                       ｝；整数集合：｛                           ｝； 有理数集合：｛                    ｝；非负整数集合：｛                       ｝； 【答案】①，②，⑥，⑦，⑧；①，③，⑤，⑥；①，②，③，⑤，⑥，⑧；①，③，⑥ 【分析】本题考查了对正数、负数、有理数等知识点的理解和运用，分别根据正数、负数、有理数的定义选出后分别填上即可． 【详解】解：， 正数集合{①，②，⑥，⑦，⑧，…}； 整数集合{①，③，⑤，⑥，…}； 有理数集合{①，②，③，⑤，⑥，⑧，…}； 非负整数集合{①，③，⑥，…}； 故答案为：①，②，⑥，⑦，⑧；①，③，⑤，⑥；①，②，③，⑤，⑥，⑧；①，③，⑥． 17．（2024七年级上·全国·专题练习）（1）仓库运进、运出物品均需登记．某仓库运进面粉7吨，记为，那么运出面粉应记为 ． （2）在知识抢答中，如果用表示得10分，那么扣20分表示为 ． （3）规定：表示向右移动2，记作，则表示向左移动3，记作 ． 【答案】，， 【分析】本题考查的是正负数，具有相反意义的量，规定一方即为正，另一方即为负．根据此逐项求解即可． 【详解】解：具有相反意义的量，规定一方即为正，另一方即为负， ∵运进面粉7吨，记为， ∴运出面粉应记为， 故答案为：； ∵表示得10分， ∴扣20分表示为， 故答案为：； ∵表示向右移动2，记作， ∴表示向左移动3，记作， 故答案为：． 18．（2024七年级上·全国·专题练习）某条河某周水位变化量比上周增加，接下来的第二周比上周减少，第三周与上周水位一样．用正数和负数表示这三周水位变化量比上周的增长量． 【答案】第一周：，第二周：，第三周： 【分析】本题考查了正负数的应用，根据题意用正数和负数表示这三周水位变化量比上周的增长量． 【详解】解：依题意，第一周：，第二周：，第三周： 19．（2024七年级上·全国·专题练习）某校组织学生去劳动实践基地采摘橘子，并称重、封装．一盒橘子的标准质量为．如果用正数表示超过标准的质量，那么 (1)比标准质量多和比标准质量少各怎么表示？ (2)各表示什么意思？ 【答案】(1)， (2)见解析 【分析】此题考查了正数和负数，弄清题目中正数和负数的意义是解本题的关键． （1）依据正数和负数的意义进行判断即可； （2）依据正数和负数的意义进行判断即可． 【详解】（1）解：如果用正数表示超过标准质量的克数，那么比标准质量多记作：，比标准质量少记作：； （2）如果用正数表示超过标准质量的克数，那么表示比标准质量多，表示比标准质量少． 20．（2024七年级上·云南·专题练习）生活情境·营业额某超市今年上半年的营业额与去年同月营业额相比的增长率如下表所示．请根据表格信息回答下列问题： 月份 1 2 3 4 5 6 比去年同月增长 0 0.2 0.3 0.4 (1)该超市今年上半年的营业额与去年同月营业额相比，哪几个月是增长的？ (2)今年1月和4月比去年同月增长率是负数表示什么意思？ (3)今年上半年与去年上半年同月相比，营业额没有增长的是哪个月？ 【答案】(1)3月、5月、6月 (2)今年1月和4月的营业额与去年1月和4月的营业额相比降低； (3)月，月，月 【分析】本题考查了正数，负数的应用，熟练掌握正数和负数的意义是解题的关键． （1）找出表格中增长率为正数的即可得到答案； （2）根据负数的意义即可得到答案； （3）找出表格中增长率为负数和的即可得出的． 【详解】（1）解：∵是正数， ∴月，月，月是增长的； （2）解：今年月和月相比去年同月增长率是负数表示营业额下降； （3）解：∵和是负数，表示不变， ∴营业额没有增长的是月． 学科网（北京）股份有限公司 $$