专题02 数轴重难点题型专训（5个知识点+10大题型+5大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年七年级数学上册重难点专题提升讲练（苏科版2024）

专题02 数轴重难点题型专训 （3个知识点+10大题型+5拓展训练+自我检测） 题型一 数轴的三要素及其画法 题型二 用数轴上的点表示有理数 题型三 利用数轴比较有理数的大小 题型四 数轴上两点之间距离的表示 题型五 数轴上点的简单平移 题型六 数轴上与原点有关的计算 题型七 数轴上整点覆盖问题 题型八 关于数轴的说法正误判断问题 题型九 数轴上的翻折问题 题型十 根据点所在数轴的位置判断式子的正负 拓展训练一 数轴上两点之间的距离综合 拓展训练二 数轴上点运动规律探究 拓展训练三 数轴上的双动点问题 拓展训练四 数轴上的多动点问题 拓展训练五 有关数轴的新定义问题 知识点01 数轴的概念与画法 1.数轴定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴. （1）数轴是一条可以向两端无限延伸的直线； （2）数轴有三要素：原点、正方向、单位长度，缺一不可； （3）数轴三要素是“规定”的，通常，我们习惯性向右为正方向，原点的位置和单位长度的大小要依据实际情况灵活选取，但是，一旦选定后就不能随意改变； （4）在同一条数轴上，单位长度的大小必须统一，要根据实际问题灵活选取单位长度的大小. 2.数轴的画法 （1）画一条直线（通常画成水平位置）； （2）在这条直线上取一点作为原点，这点表示0； （3）确定正方向：规定直线上向右为正方向，画上箭头； （4）选取适当的长度，从原点向右每隔一个单位长度取一点，依次标上1，2，3，…从原点向左，每隔一个单位长度取一点，依次标上-1，-2，-3，… 【即时训练】 1．（24-25七年级上·江苏淮安·阶段练习）以下数轴画法正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查数轴，了解数轴三要素是关键.根据数轴三要素：原点，正方向，单位长度，逐一排除即可． 【详解】A.没有方向，数轴画法不正确，故该选项不符合题意； B.单位长度不相等，数轴画法不正确，故该选项不符合题意； C.数轴画法正确，故该选项符合题意； D.没有原点，数轴画法不正确，故该选项不符合题意． 故选：C 2．（24-25七年级上·江苏无锡·阶段练习）补全数轴，并在数轴上表示下列各数．1.5，0.4，，． 【答案】见解析 【分析】本题考查了有理数与数轴，根据数轴的定义，先补全数轴，再表示出各个数即可． 【详解】解：把各数在数轴上表示出来，如图所示： ． 知识点02 有理数与数轴上点的对应关系 1.所有的有理数都可以用数轴上的点表示. （1）正数可以用数轴上原点右边的点表示； （2）负数可以用数轴上原点左边的点表示； （3）0用原点表示. 2.所有的有理数都可以用数轴上的点来表示，但数轴上的点不一定表示有理数. 3.数轴上的点与有理数建立了一一对应的关系，揭示了数与形的联系，是数形结合的基础. 【即时训练】 3．（24-25七年级上·江苏连云港·期末）如图，数轴上点所表示的数可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是数轴的特点，能根据数轴的特点确定出A的取值范围是解答此题的关键．先根据数轴上A点的位置确定A的取值范围，再根据每个选项中的数值进行判断即可． 【详解】解：由数轴上A点所表示的位置可知，，且点A靠近， 只有选项A满足条件． 故选：A． 4．（24-25七年级上·江苏南京·阶段练习）数轴上与表示的点的距离等于的点表示的有理数是 ． 【答案】或 【分析】本题考查用数轴是的点表示有理数，数轴上两点间的距离，分在的左边和右边两种情况讨论，即可得出结果．利用分类讨论的思想解决问题是解题的关键． 【详解】解：当点在表示的点的左边时，该点为：， 当点在表示的点的右边时，该点为：， ∴数轴上与表示的点的距离等于的点表示的有理数是或． 故答案为：或． 知识点03 利用数轴比较有理数的大小 1.在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大； 2.正数都大于0，负数都小于0，正数大于负数. 正确画出数轴后，将各个有理数在数轴上表示出来，按照从左到右顺序用“＜”号或者按照从右到左顺序用“＞”号连接起来，注意不要漏数. 有理数大小关系的传递性 对于有理数a、b、c， 若a＞b，且b＞c，那么a＞c； 若a＜b，且b＜c，那么a＜c； 【即时训练】 5．（24-25七年级上·江苏南通·阶段练习）有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，则 0．（填“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查利用数轴判断式子的符号，数轴上右边的点表示的数大于左边的点表示的数，由此可解． 【详解】解：由图可知，数轴上c在b的右侧， ， ， 故答案为：． 6．（24-25七年级上·江苏扬州·阶段练习）画出数轴，在数轴上把下列各数表示出来，并比较它们的大小，用“”连接起来． 3 ， ，1.5 ， ，0． 【答案】画图见解析， 【分析】本题考查了利用数轴上的点表示有理数、利用数轴比较有理数的大小，先将各数表示在数轴上，结合数轴即可得解，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：将各数表示在数轴上如图所示： ， 则． 【经典例题一 数轴的三要素及其画法】 【例1】（2024七年级上·全国·专题练习）小马和他的同学们各画了一条数轴，其中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了数轴的概念：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫数轴．特别注意数轴的三要素缺一不可．根据数轴的概念判断所给出的四个数轴哪个正确． 【详解】解：A，位置错误，故此选项错误，不符合题意； B、单位长度不统一，故此选项错误，不符合题意； C、符合数轴三要素，故此选项正确，符合题意； D、没有原点，故此选项错误，不符合题意． 故选：C． 1．（24-25七年级上·福建龙岩·期中）下列图形是四位同学画的数轴，其中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了数轴的画法， 由数轴的定义可知，数轴是规定了原点、正方向和单位长度的直线，由此可解． 【详解】解：A，正方向标注反了，数轴不正确； B，三个负数位置反了，数轴不正确； C，没有标注正方向，数轴不正确； D，数轴正确，符合题意； 故选：D． 2．（23-24七年级上·山东菏泽·阶段练习）请把下面不完整的数轴画完整，并在数轴上标出下列各数： ，，4，．    【答案】见详解 【分析】此题考查了数轴的基本知识，根据数轴的三要素，原点、正方向、单位长度，在数轴上补充完整，在数轴上标出各数即可． 【详解】解：如图， 3．（2022七年级·全国·专题练习）观察下列图形，指出哪条数轴画得正确，其余错在哪里？ 【答案】见解析 【分析】根据数轴三要素和画法解题即可． 【详解】解：D正确， A：没有原点，B：没有方向； C：单位长度不统一；E：负半轴数字倒置． 【点睛】本题考查数轴三要素及画法，画数轴时原点，正方向和单位长度缺一不可，且左边的数要比右边的小。单位长度的大小可以根据不同的需要选择． 【经典例题二 用数轴上的点表示有理数】 【例2】（24-25七年级上·河北唐山·期末）在数轴上有A，B，C三点，其中点A表示的数是2，点B表示的数是，如果其中一点为另外两点形成的线段的中点，则点C表示的数是（   ） A．或 B．或8或2 C．或8或1 D．或或8 【答案】D 【分析】本题考查了数轴的基本性质和数轴上两点间的距离计算，本题的解题关键是数轴上两点间的距离计算，根据数轴的基本性质和数轴上两点间的距离即可求解． 【详解】解：、、是数轴上三点，且点表示的数是，点表示的数为1， 设点表示的数为， 当其中一点是另外两点构成的线段中点， ①为线段的中点， 的值为：； ②为线段的中点， 的值为：； ③为线段的中点， 的值为：； 则点C表示的数是或或8， 故选：D． 1．（24-25七年级上·浙江温州·期末）如图，数轴上点表示的数是2，点，到点的距离均为4个单位长度，则数轴上表示的点落在（   ） A．点左侧 B．线段上 C．线段上 D．点右侧 【答案】A 【分析】本题考查了用数轴上的点表示有理数，解题的关键是用数形结合的思想去解题． 先计算出点A、B表示的数，再与比较大小，即可得出答案． 【详解】解：由题可知，数轴上点C表示的数是2，点A，B到点C的距离均为4个单位长度， ∴点A表示的数为，点，B表示的数为， ∵， ∴数轴上表示的点落在点A左侧， 故选：A． 2．（24-25七年级下·浙江杭州·开学考试）下图中，如果A点表示0，点表示1，则点表示 ；如果点表示0，点表示1，则A点表示 ． 【答案】 1.5 【分析】本题考查了数轴的认识，结合正负数知识解答即可． 根据图示，结合数轴知识，如果A点表示0，E点表示1，则每个小格表示0.25，所以G点表示1.5；如果D点表示0，G点表示1，结合正负数知识可知A点表示． 【详解】解：如果A点表示0，E点表示1，则G点表示1.5； 如果D点表示0，G点表示1， 由图知： 所以A点表示． 故答案为：1.5；． 3．（24-25七年级上·福建福州·期中）如图，在数轴上有三个点A、B、C，请回答问题： (1)将A点向左移动5个单位长度，这是的点表示的数是___________； (2)怎样移动A、B、C的其中个点，才能使点C恰好是线段的中点？请写出三种移动的方法． 方法一（移动A点）：___________， 方法二（移动B点）：___________， 方法三（移动C点）：___________． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题主要考查了用数轴上点表示有理数、数轴上两点之间、数轴上点的平移是距离等知识点，掌握数形结合思想是解题的关键． （1）根据平移特点列式计算即可； （2）根据三种方法，分别运用平移法则解答即可． 【详解】（1）解：∵点A表示的数为4， ∴将点A向左移动5个单位长度，这时的点表示的数是． 故答案为：． （2）解：当点A移动时，此时只需将A向左移动8个单位即可． 当点B移动时，此时只需将B向左移动8个单位即可． 当点C移动时，此时只需要将C向右移动4个单位即可． 【经典例题三 利用数轴比较有理数的大小】 【例3】（24-25七年级上·广东广州·期中）已知有理数、在数轴上的位置如图所示，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了数轴，利用数轴比大小，利用数形结合的数学思想解答是解题的关键． 观察数轴可得，，，即可求解． 【详解】解：观察数轴得：，， ，， ， 故选：A． 1．（24-25七年级上·辽宁大连·期末）如图，若点、、在数轴上所对应的数分别为、、，则下列大小关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的大小比较，相反数的含义，把表示在数轴上，根据数轴上右边的数大于左边的数，即可求解． 【详解】解：由题意可知，，且， 如图所示，把表示在数轴上， ∴， 故选：B． 2．（24-25七年级上·北京·期中）有理数a，b，c，d在数轴上的对应点的位置如图所示． 下面有四个推断： ①如果，则一定会有； ②如果，则一定会有； ③如果，则一定会有； ④如果，则一定会有． 所有合理推断的序号是 . 【答案】①③/③① 【分析】利用数形结合思想，根据同号得正，异号得负，数轴上靠近右边的数大于左边的数等知识推理判断说明即可． 【详解】解：如图， 因为， 所以同号， 因为， 所以同号， 所以， 所以①正确； 因为， 所以同号， 因为， 所以可能同号，也可能异号， 所以②错误； 因为， 所以异号， 因为， 所以异号， 所以， 所以③正确； 因为， 所以异号， 因为， 所以可能同号，也可能异号， 所以④错误； 故答案为：①③． 【点睛】本题考查了数形结合思想，根据同号得正，异号得负，数轴上靠近右边的数大于左边的数，熟练掌握上述知识是解题的关键． 3．（24-25七年级上·海南省直辖县级单位·期中）在所给数轴上画出表示下列各数的点，并用“＜”连接：，，， ，，． 【答案】数轴见解析， 【分析】本题主要考查了数轴，正确的在数轴上表示出有理数是解题的关键． 在数轴上表示出各数，即可得到答案． 【详解】解：如图，，，， ，，，在数轴上表示如下， ． 【经典例题四 数轴上两点之间距离的表示】 【例4】（24-25七年级上·全国·课后作业）已知在数轴上有三个点，点A表示的数是，点B表示绝对值最小的数，点C表示的数是最大的负整数． (1)在数轴上把三点表示出来，并比较这三个点表示的数的大小；（用“＜”号连接） (2)直接写出如何移动点C，可以使它到点A和点B的距离相等． 【答案】(1)见解析， (2)见解析 【分析】本题考查了绝对值的意义，数轴上表示有理数，数轴上两点间的距离，运用数轴比较有理数的大小，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先得出点B表示的数是0，点C表示的数是再在表示数轴表示各个数，最后比较大小，即可作答． （2）依题意，点C向左移动1个单位长度后，即移动后点C表示的数是即可满足到点A和点B的距离相等． 【详解】（1）解：∵点B表示绝对值最小的数，点C表示的数是最大的负整数， ∴点B表示的数是0，点C表示的数是 ∵点A表示的数是， 则三点在数轴上表示如图所示． 根据数轴上左边的数小于右边的数可知，． （2）解：∵点B表示的数是0，点C表示的数是点A表示的数是 ∴点C向左移动1个单位长度后，即移动后点C表示的数是可以使它到点A和点B的距离相等． 1．（24-25七年级上·江西南昌·阶段练习）已知表示数a的点在数轴上的位置如图所示． (1)在数轴上表示出数a的相反数的位置． (2)若数a与其相反数相距20个单位长度，求数a的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了数轴，相反数，两点间的距离的应用，关键是能根据题意列出算式和方程． （1）在数轴上表示出来即可； （2）根据题意得出方程，求出方程的解即可； 【详解】（1）解：如图： （2）解：根据题意得，， 解得，． 2．（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知在纸面上有一个数轴（如图），折叠纸面． (1)若表示的点与表示2的点重合，则表示1的点与表示______的点重合； (2)若表示1的点与表示的点重合，回答下列问题： ①表示3的点与表示______的点重合； ②若数轴上、两点之间的距离为10，（在的左侧），且、两点经折叠后重合，求、两点表示的数多少？ 【答案】(1) (2)①；②，4 【分析】此题考查数轴上的点和数之间的对应关系，结合数轴，找到对称中心是解决问题的关键． （1）根据对称的知识，表示的点与表示2的点重合，则对称中心是原点，从而找到1的对称点； （2）由题意可确定对称点是表示的点，则： ①表示3的点与对称点距离为4，与左侧与对称点距离为4的点重合； ②由题意可得，A、B两点距离对称点的距离为5，据此求解 【详解】（1）解：根据题意得对折点是， 则1表示的点与数表示的点重合． 故答案为：； （2）解：①根据题意得对折点是， ∴和表示3的点重合的， ② 故点表示的数是， 点表示的数是． 3．（23-24七年级上·山东德州·阶段练习）阅读理解： 数轴上线段的长度可以用线段端点表示的数进行减法运算得到，如图，线段；线段． 问题： (1)数轴上点M、N代表的数分别为和3，则线段_______； (2)数轴上点E、F代表的数分别为和，则线段_______； (3)数轴上的两个点之间的距离为5，其中一个点表示的数为，求另一个点表示的数． 【答案】(1)7 (2)4 (3)另一个点表示的数为2或 【分析】本题考查了数轴上两点间的距离，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）直接根据数轴上两点间的距离求解即可； （2）直接根据数轴上两点间的距离求解即可； （3）分两种情况讨论，当另一个点在右侧或当另一个点在左侧，再根据数轴上两点间的距离求解即可． 【详解】（1）数轴上点M、N代表的数分别为和3，则线段， 故答案为：7； （2）数轴上点E、F代表的数分别为和，则线段， 故答案为：4； （3）由题可得：①当另一个点在右侧时，； ②当另一个点在左侧时，， 综上，另一个点表示的数为2或． 【经典例题五 数轴上点的简单平移】 【例5】（24-25七年级上·福建厦门·期中）在数轴上，把表示的点移动5个单位长度后的点表示的数是（     ） A．5或 B．3 C．3或 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查数轴上的点表示的数．根据题意进行分类讨论，再分别进行讨论． 【详解】解：当表示的点向左移动5个单位长度，得到的对应点表示的数是； 当表示的点向右移动5个单位长度，得到的对应点表示的数是； 综上：所得到的对应点表示的数是或3． 故选：C． 1．（23-24七年级上·江西南昌·期末）如图，点和在数轴上表示的数分别是和40，点在线段上移动，图中的三条线段和，当其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍时，则点在数轴上表示的数为 ． 【答案】0或10或20 【分析】本题考查了两点间的距离，解题的关键是要读懂题目的意思，利用分论讨论的思想求解．分，，，进行讨论求解即可． 【详解】解：， ①当，则，则点C所表示的数为； ②当，则，则点C所表示的数为； ③当，则，则点C所表示的数为； 综上，点在数轴上表示的数为：0或10或20， 故答案为：0或10或20． 2．（24-25七年级上·江苏盐城·期末）如图，数轴上A、B两点之间的距离AB＝12，有一根木棒PQ，PQ在数轴上移动，当Q移动到与A、B其中一个端点重合时，点P所对应的数为5，且点P始终在点Q的左侧，当Q移动到线段AB的中点时，点P所对应的数为 ． 【答案】11或-1/-1或11 【分析】设PQ的长度为m，当点Q与点A重合时，此时点P对应的数为5，则点A对应的数为m+5，点B对应的数为m+17，由此即可求解；当点Q与点B重合时，同理可得，点B对应的数为m+5，点A对应的数为m-7，由此即可求解． 【详解】解：设PQ的长度为m， 当点Q与点A重合时，此时点P对应的数为5，则点A对应的数为m+5，点B对应的数为m+17 ∴当点Q到AB中点时，点P此时对应的数为：， 当点Q与点B重合时，同理可得，点B对应的数为m+5，点A对应的数为m-7， ∴点Q到AB中点时，点P此时对应的数为：， 故答案为：11或-1． 【点睛】此题综合考查了数轴上两点的距离，用几何方法借助数轴来求解，非常直观，且不容易遗漏，体现了数形结合的优点． 3．（24-25七年级上·全国·随堂练习）如图，数轴上有三点A，B，C． (1)将点A向右移动4个单位长度后，A，B，C三个点所表示的数中最小的数是多少？ (2)点B向左移动2个单位长度，点C向左移动8个单位长度，A，B，C三个点所表示的数中最大的数是多少？ (3)怎样移动A，B，C三点中的两点，才能使三个点表示的数相同？有几种移动的方法？ 【答案】(1) (2) (3)见解析，三种 【分析】本题考查了数轴，牢记数轴上点的移动规律：向左移动减，向右移动加是解题关键． （1）根据向右移动加，求出点A表示的数，然后作出判断即可； （2）根据向左移动减，求出点B、C表示的数，然后作出判断即可； （3）根据要使三个点表示的数相同，由向左移动减，向右移动加，在三个点中任取两点，使得三点中的两个点到另外一点，由此写出所有移动的方法即可． 【详解】（1）点A向右移动4个单位长度后，表示的数是0， 由A、B、C三点所表示的数可知，此时点B表示的数最小，是； （2）点B向左移动2个单位长度后，表示的数是，C点向左移动8个单位后，表示的数是， 由A、B、C三点所表示的数可知，此时点B表示的数最大，是； （3）有三种移动方法： ①点A向右移动6个单位长度，点B向右移动3个单位长度； ②点A向右移动3个单位长度，点C向左移动3个单位长度； ③点B向左移动3个单位长度，点C向左移动6个单位长度． 【经典例题六 数轴上与原点有关的计算】 【例6】（23-24七年级上·全国·单元测试）数轴上点，，，对应的有理数都是整数．若点对应有理数，点对应有理数，且，则数轴上原点应是（    ） A．A点 B．B点 C．C点 D．D点 【答案】C 【分析】本题主要考查了数轴上点表示数的运用，熟练掌握相关概念是解题关键．由数轴可知，结合即可求出与的值，从而进一步确定原点的位置即可． 【详解】由数轴可得：点在点右侧且距离点个单位长度， ∴，即：， ∵， ∴，即， ∴， ∴点表示的数为，点表示的数为， ∴点表示， ∴数轴上原点为点， 故选：． 1．（2024七年级·全国·竞赛）如图，数轴上标出若干个点，每相邻两点相距个单位，点A、B、C、D对应的数分别是a、b、c、d，且，那么数轴上的原点应是（    ）． A．点A B．点B C．点C D．点D 【答案】A 【分析】本题考查了数轴，熟练掌握数轴上点之间的关系是解题的关键； 有图可知C与D之间相隔7个单位，即，根据，求的c，然后求得，即可得出结论． 【详解】C与D之间相隔7个单位， 相距， ，即 ， ， 解得：， ， ， ， 原点在为点A． 故选：A 2．（24-25七年级下·广西河池·阶段练习）如图，直径为1个单位长度的圆从原点沿数轴向右滚动二圈，圆上一点由原点转到点，这个点表示的数为 ． 【答案】 【分析】根据圆的周长公式计算出直径为1个单位长度的圆的周长为，由圆从原点沿数轴向右滚动二圈可得点滚过的距离就是两个圆周的长，即可得到答案． 【详解】解：圆的周长为， 圆从原点沿数轴向右滚动二圈， 点表示的数为：， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了实数与数轴，圆的周长的计算，圆的周长公式为：． 3．（24-25七年级上·江苏无锡·阶段练习）数轴上从左到右的三个点A，B，C所对应的数分别为a，b，c，其中点A与点B之间的距离，点B与点C之间的距离，如图所示． (1)若以B为原点，则点A对应的数为__________，并计算的值． (2)若O是原点，且点O和点B之间的距离为18，求的值． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查数轴与数轴上两点间的距离，熟练掌握数轴上点的特征，两点间距离的求法是解题的关键． （1）根据题意分别求出、、的值，再代入计算即可； （2）根据题意分别求出、、的值，再代入计算即可． 【详解】（1）若以为原点，则，，， ， 故答案为：； （2）若是原点，且， 则，，， 此时； 【经典例题七 数轴上整点覆盖问题】 【例7】（24-25七年级上·广西桂林·阶段练习）在数轴上任取一条长度为的线段，则此线段在这条数轴上最多能盖住的整数点的个数是（　　） A．2012 B．2013 C．2014 D．2015 【答案】C 【分析】本题主要考查了用数轴上的点表示有理数，能够理解什么情况最多是解决本题的关键． 令这条线段的一端与某一整数点对齐，此线段能够盖住的整数点的个数最多，据此作答即可． 【详解】解：， 把这条线段的一个端点覆盖第一个整数点若记作0，则覆盖的最后一个数是2013，因而共有从0到2013共有2014个数， 此线段在这条数轴上最多能盖住的整数点的个数是2014个． 故选：C． 1．（24-25七年级上·安徽马鞍山·期中）如图所示，小明在写作业时不慎将墨水滴在数轴上，根据图中的数值，墨迹盖住的整数共有 个． 【答案】7 【分析】本题主要考查了有理数与数轴，根据数轴找到所有被盖住的整数即可得到答案． 【详解】解：由数轴可知，被盖住的整数有，共7个整数， 故答案为：7． 2．（24-25七年级上·黑龙江大庆·阶段练习）数轴上表示整数的点称为整点．某数轴的单位长度是，若在这个数轴上任意画出一条长的线段，则线段盖住的整点的个数是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了数轴，熟练掌握数轴，并利用分类讨论是解题关键．分类讨论：从整点到整点，从不整点到不整点，可得答案． 【详解】解：从整点到整点，线段盖住的整点个数为个， 从不整点到不整点，线段盖住的整点个数为个， 则线段盖住的整点的个数是或， 故答案为：或． 3．（24-25七年级上·全国·随堂练习）定义：数轴上表示整数的点称为整点．在数轴上随意画出一条长为2020的线段． (1)某数轴的单位长度是1，求盖住的整点的个数； (2)若将数轴的单位长度改为2，求盖住的整点的个数． 【答案】(1)2021或2020个 (2)1011或1010个 【分析】本题主要考查了数轴的应用．对于多解问题要注意分类讨论． （1）以线段的端点与数轴上的整点是否重合进行讨论可得结论． （2）先用，得出相当于多少个单位，再进行分类讨论即可得出结论． 【详解】（1）∵数轴的单位长度是1，， ∴若点A与一整点重合，则B点也与一整点重合，两点之间有2019个整点． ∴线段共盖住了2021个整点． 若点A不与整点重合，则点B也不与整点重合，两点之间有2020个整点． 综上，线段盖住的整点的个数为2021或2020个． （2）（个单位）， ∴若点A与一整点重合，则B点也与一整点重合，两点之间有1009个整点． ∴线段共盖住了1011个整点． 若点A不与整点重合，则点B也不与整点重合，两点之间有1010个整点． 综上，线段盖住的整点的个数为1011或1010个． 【经典例题八 关于数轴的说法正误判断问题】 【例8】（24-25七年级上·全国·课后作业）下列说法错误的是（   ） A．所有的有理数都可以用数轴上的点表示 B．数轴上的原点表示0 C．数轴上的点不能表示分数 D．数轴上表示的点在原点左边 【答案】C 【分析】本题考查了数轴，直接利用数轴的性质分别分析得出答案． 【详解】解：A、所有的有理数都可以用数轴上的点表示，说法正确，故选项A不合题意； B、数轴上的原点表示0，说法正确，故选项B不合题意； C、分数属于有理数，可以用数轴上的点表示，故原说法错误，选项C符合题意； D、数轴上表示的点在原点左边，说法正确，故选项D不合题意． 故选：C． 1．（24-25七年级上·北京顺义·期末）在数轴上从左到右有三点，其中，如图所示．设点所对应数的和是，则下列说法错误的是（　　） A．若以点为原点，则的值是4 B．若以点为原点，则的值是1 C．若以点为原点，则的值是 D．若以的中点为原点，则的值是 【答案】C 【分析】利用数轴的意义将各选项进行分析判断即可． 【详解】解：A．若以为原点，则对应的数为，则，故选项A正确，不符合题意； B．若以为原点，则对应的数为，则，故选项正确，不符合题意； C．若以为原点，则对应的数为，则，故选项C错误，符合题意； D． 若以的中点为原点，由于，，故对应的数为，因为，所以的对应数为，则，故选项D正确，不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查数轴表示数的意义和方法，理解有理数的意义，确定点所表示的数是正确解答的关键． 2．（24-25七年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）下列说法中，①数轴上的点只能表示整数；②数轴是一条线段；③数轴上的一个点只能表示一个数；④数轴也可以箭头竖直向上画；⑤数轴上找不到既不表示正数，又不表示负数的点；⑥数轴上的点所表示的数都是有理数．正确的有 个． 【答案】2 【分析】根据数轴上的点与实数一一对应，数轴是一条规定了原点、方向和单位长度的直线，以及数轴的意义逐一分析可得答案．本题考查了数轴，注意数轴上的点与实数一一对应． 【详解】解：数轴上的点与实数一一对应，故①⑥是错误的； 数轴是一条直线的说法正确；故②是错误的； 数轴上的一个点只能表示一个数；故③是正确的； 数轴也可以箭头竖直向上画；故④是正确的； ⑤数轴上既不表示正数，又不表示负数的点是0，故⑤是错误； 故正确的说法有2个． 故答案为：2． 3．（24-25七年级上·广东佛山·阶段练习）下列说法中，正确的是（    ） ①在3和4之间没有数； ②在0和之间没有负数； ③在9和10之间有无数个正数； ④数轴上，在表示和的两点之间的整数有6个． A．③ B．④ C．①②③ D．③④ 【答案】D 【分析】根据有理数和数轴上的相关概念判断即可． 【详解】①在3和4之间有数，故说法错误； ②在0和之间有负数，说法错误； ③在9和10之间有无数个正数，正确； ④数轴上，在表示和的两点之间的整数有6个，正确． 故选：D． 【点睛】此题考查了有理数和数轴，解题的关键是熟悉有理数和数轴的相关知识． 【经典例题九 数轴上的翻折问题】 【例9】（24-25七年级上·陕西西安·阶段练习）长方形纸片上有一数轴，剪下个单位长度（从到）的一条线段，并把这条线段沿某点折叠，然后在重叠部分某处剪一刀得到三条线段（如图所示）．若这三条线段的长度之比为，则折痕处对应的点所表示的数可能是 【答案】或或 【分析】本题考查实数与数轴，熟练掌握数轴上点的特征，两点间距离的求法，折叠的性质，利用中点公式解决折叠问题是解题的关键．设三条线段的长分别是，，，由题意可得，求出，再分三种情况讨论：①当时；②当时；③当时；分别求解即可． 【详解】解：三条线段的长度之比为， 设三条线段的长分别是，，， 到的距离是， ， 解得， 三条线段的长分别为，，， 当时，折痕点表示的数是； ②当时，折痕点表示的数是； ③当时，折痕点表示的数是； 综上所述：折痕处对应的点表示的数可能或或． 故答案为：或或． 1．（24-25七年级上·浙江杭州·期末）根据下面给出的数轴，解答下面的问题： （1）请你根据图中A、B（在，的正中间）两点的位置，分别写出它们所表示的有理数A： ，B： ； （2）若这条数轴可以折叠，那么折叠后A点与表示的点重合，则B点与数 表示的点重合； （3）若数轴上M，N两点之间的距离为9（M在N的左侧），且M、N两点经过（2）中折叠后重合，则M、N两点表示的数分别是：M： ，N： ． 【答案】 1 -2.5 0.5 -5.5 3.5 【分析】（1）根据数轴上的点表示的数，可得答案； （2）根据A点与-3表示的点重合，可得对称点，可得对应点； （3）根据对称的关系：对应点到对称点的距离相等，可得答案． 【详解】解：（1）观察图象可知A表示1，B表示-2.5． 故答案为：1，-2.5； （2）∵经过折叠，A点与-3表示的点重合， ∴两点的对称点是-1， -1×2-（-2.5）=0.5， ∴B点与数0.5重合； （3）∵两点的对称点是-1，数轴上M、N两点之间的距离为9（M在N的左侧）， ∴M、N两点表示的数分别是：-4.5-1=-5.5，4.5-1=3.5． 【点睛】本题考查数轴、两点间距离等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 2．（24-25七年级上·重庆·阶段练习）【操作探究】已知在纸面上有一数轴（如图所示）． 【操作一】 （1）折叠纸面，使表示1的点与表示的点重合，则表示的点与表示______的点重合； 【操作二】 （2）折叠纸面，使表示的点与表示3的点重合，那么表示5的点与表示______的点重合，此时若数轴上两点（在的左侧）之间的距离为9，且两点经折叠后重合，则，两点表示的数分别是多少？ 【答案】（1）2；（2），点表示的数为，点表示的数为 【分析】本题考查了数轴说两点之间的距离，轴对称的性质，利用轴对称性质是解答关键． （1）利用轴对称的性质解答即可； （2）利用轴对称的性质求得折痕处对应的数，再利用轴对称的性质解答即可；利用轴对称的性质可得两点距离折痕处的距离分别为，结合数轴解答即可． 【详解】解：（1）由题意可得：对称中心是原点， 示的点与数2表示的点重合； （2）表示的点与3表示的点重合， 对称中心是1表示的点， 5表示的点与数表示的点重合， 数轴上A、两点之间的距离为9（在的左侧）， 点A表示的数是， 点表示的数是． 3．（24-25七年级上·福建厦门·期中）数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和点建立起一一对应的关系，揭示了代数与几何之间的内在联系，它是“数形结合”的基础，小安在一张长方形纸条上画了一条数轴，然后进行了实践探究： (1)折叠纸条，使表示1的点与表示的点重合，则表示的点与表示___________的点重合． (2)在数轴上A，B两点之间的距离为2024（点A在点B的左侧），折叠纸条，使表示6的点与表示的点重合．此时A，B两点也重合，则点A表示的数是___________． (3)定义：P，Q为数轴上任意两点，若折叠纸条使点P，Q重合，折痕与数轴的交点为点M，则称点M为点P和点Q的“叠点”． 点C，D，O在数轴上，点C是数轴上最大的负整数点，点O是原点，点D在点O的右侧且到点O的距离是7．折叠纸条使点C和点D重合，点E是点C和点D的“叠点”．若存在点F在点C与点D之间，且其在数轴上对应的数为m，．求点F到“叠点”E的距离． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查有理数与数轴；熟练掌握数轴上点的特征，两点间距离的求法，折叠的性质，利用中点公式解决折叠问题是解题的关键． （1）利用中点坐标公式求出折痕点，再求解即可； （2）①利用中点坐标公式求出折痕点，设A点表示的数是x，则B点表示的数是，根据中点坐标公式求出x，即可求解； （3）根据题意分别求得表示的数，进而即可求解． 【详解】（1）解：∵1表示的点和表示的点重合， ∴折叠点对应的数是0， ∴表示的点与表示的点重合， 故答案为：； （2）解：∵表示的点和表示的点重合， ∴折叠的点表示的数是， 设点表示的数是，则B点表示的数是， ∴， 解得， ∴点A表示的数， 故答案为：； （3）解：∵点C是数轴上最大的负整数点， ∴点C表示的数是， ∵点O是原点，点D在点O的右侧且到点O的距离是7， ∴点D表示的数是， ∵折叠纸条使点C和点D重合，点E是点C和点D的“叠点”． ∴点E表示的数是； ∵存在点F在点C与点D之间，且其在数轴上对应的数为m，． ∴，即点F表示的数是， ∴点F到“叠点”E的距离为． 【经典例题十 根据点所在数轴的位置判断式子的正负】 【例10】（24-25七年级上·山西晋中·期中）有理数a，b在数轴上对应的位置如图所示，则下列结论成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了有理数与数轴、有理数的四则运算法则等知识点，掌握数形结合思想是解题的关键． 根据数轴上点的位置可得，，再根据有理数四则运算法则逐项判断即可． 【详解】解：由题意得，， A.∴，即此选项不符合题意； B.，即此选项不符合题意； C.，即此选项不符合题意； D.，即此选项符合题意． 故选∶D． 1．（2024九年级下·浙江·专题练习）实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，比较大小： 0．（填“”“”或“”） 【答案】 【分析】由数轴可得，则，，从而求得答案． 本题主要考查了根据点在数轴上的位置判断式子的正负，有理数的乘法法则，解题的关键是根据实数在数轴上的位置，正确判断出和的符号． 【详解】由数轴可得， 则，， 那么， 故答案为：． 2．（23-24七年级上·浙江湖州·期末）如图，数轴上A，B两点所表示的数分别为a，b，下列各式中：①；②；③；④．其中正确式子的序号是 ． 【答案】①④/④① 【分析】本题考查了数轴上数的大小比较，有理数的乘法法则． 根据表示数a，b的点在数轴上的位置可确定a，b与1，的大小关系，从而确定，，，的符号，进而根据有理数的乘法法则判断各式子的符号，即可解答． 【详解】由数轴可得：，， ∴，，，， ∴，故式子①正确； ，故式子②错误； ，故式子③错误； ，故式子④正确． ∴正确的式子是①④． 故答案为：①④ 3．（23-24七年级上·湖南衡阳·阶段练习）有理数在数轴上的位置如图．    (1)把这七个数用“”连起来； (2)判断正负，用“”或“”填空：_______________________0． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由数轴可得且，由此即可得到答案； （2）由数轴可得且，由此逐个判断即可得到答案． 【详解】（1）解：由数轴可得：且， ； （2）解：由数轴可得且， ，，，， 故答案为：． 【点睛】本题考查了利用数轴比较有理数的大小、根据点在数轴的位置判断式子的正负，根据数轴得出且是解此题的关键． 【拓展训练一 数轴上两点之间的距离综合】 【例1】（24-25七年级上·吉林·期中）阅读材料：点，在数轴上对应的数分别为，，当点在点的左侧时，我们把数轴上，两点之间的距离表示为．如可以表示为3与1两数在数轴上所对应的两点之间的距离． 探索： 若点，在数轴上对应的数分别为，6． (1)，两点之间的距离是________； (2)点以每秒2个单位长度沿数轴向左运动，点对应的数为________（用含的代数式表示）；2秒后，两点间距离为______； (3)点以每秒2个单位长度沿数轴向左运动，点以每秒3个单位长度同时沿数轴向右运动，求秒后，两点间距离．（用含的代数式表示） 【答案】(1) (2)； (3) 【分析】本题考查数轴上两点间的距离，和数轴上的动点问题． （1）根据数轴上两点距离的计算方法进行计算即可； （2）先求得秒后点A表示的数，再根据数轴上两点距离的计算方法进行计算，然后代入数值即可； （3）先求得t秒后点A和点B表示的数，再根据数轴上两点距离的计算方法进行计算即可． 【详解】（1）解：，两点之间的距离是， 故答案为：． （2）解：点对应的数为； 2秒后点表示的数为，， ∴2秒后，两点间距离为； 故答案为：；； （3）解：秒后，两点间距离为． 1．（24-25七年级上·广东汕头·期中）如图1，点A，B，C是数轴上从左到右排列的三个点，分别对应的数为，b，2．某同学将刻度尺按如图2所示的方式放置，使刻度尺上的数字0对齐数轴上的点A，发现点B对齐刻度，点C对齐刻度． (1)在图1的数轴上，____________个单位长度，点B所对应的数b为____________；数轴上的一个单位长度对应刻度尺上的____________． (2)若Q是数轴上一点，且满足，通过计算，求点Q所对应的数． 【答案】(1)9；； (2)或 【分析】本题考查了数轴，两点之间的距离，掌握用数轴上的点表示数的方法是解题的关键． （1）根据图1和图2中的数据可直接得出和一个单位长度对应刻度尺上的答案；求出在数轴上的距离，即可得出数b答案； （2）求出，然后分情况求解即可． 【详解】（1）解：在图1的数轴上，个单位长度；在图2中； 数轴上的一个单位长度对应刻度尺上的； 由图2得：， ∴在数轴上的距离为个单位长度， ∴在数轴上点B所对应的数；， 故答案为：9；；； （2）解：，， ， 点A所表示数为， 点Q表示的数为，． 2．（24-25六年级上·山东泰安·期中）如图，在数轴上，点表示的数是20，点表示的数为60，点是数轴上的动点．点沿数轴的负方向运动，在运动过程中，当线段和的大小关系满足时，求点表示的是哪个数． 【答案】35或 【分析】本题考查了数轴上的动点问题，数轴上两点间的距离，根据题意可得该问题可分为两种情况，即可得到等式，求解即可得到结果，根据数轴得到两点间的距离是解题的关键． 【详解】解：在点运动过程中，分两种情况： ①当点运动到点右侧时， ∵， ∴， 此时点表示的数是； ②当点运动到点左侧时， ∵， ∴， ∴， ∴点表示的数是， 综上所述，点表示的数是35或． 3．（24-25七年级上·河南开封·阶段练习）数轴上线段的长度可以用线段右端点表示的数减去线段的左端点表示的数得到，如图，线段，线段，线段． (1)数轴上点、表示的数分别为和1，则线段_________． (2)数轴上点表示的数为，线段，那么点表示的数为_________． (3)数轴上的两个点、之间的距离为6，如果点到原点的距离为4，点表示的数为，求的值． 【答案】(1) (2)或； (3)或或或． 【分析】本题考查了数轴上两点距离公式，利用分类讨论的思想是解题关键． （1）根据数轴上两点距离公式计算即可； （2）根据数轴上两点距离公式计算即可； （3）根据点到原点的距离，得到点表示的数，再根据数轴上两点距离公式，求出的值即可． 【详解】（1）解：， 故答案为： （2）解：数轴上点表示的数为，线段，则点表示的数为或， 故答案为：或； （3）解：点到原点的距离为4， 点表示的数为或， 数轴上的两个点、之间的距离为6，点表示的数为， 当点表示的数为时，点表示的数为或； 当点表示的数为时，点表示的数为或； 的值为或或或． 【拓展训练二 数轴上点运动规律探究】 【例2】（24-25七年级上·河南洛阳·阶段练习）一个电子跳蚤在一条数轴上从原点开始，第一次向右跳1个单位长度，紧接着第二次向左跳2个单位长度，第三次向右跳3个单位长度，第四次向左跳4个单位长度…以此规律跳下去，当它跳第100次落下时，落点处距离原点（    ）个单位长度． A．0 B．100 C．50 D．－50 【答案】C 【分析】数轴上点的移动规律是“左减右加”．依据规律计算即可． 【详解】解：0＋1﹣2＋3﹣4＋5﹣6＋…＋99﹣100＝﹣50，所以落点处离0的距离是50个单位． 故答案为：C． 【点睛】主要考查了数轴，要注意数轴上点的移动规律是“左减右加”．把数和点对应起来，也就是把“数”和“形”结合起来，二者互相补充，相辅相成，把很多复杂的问题转化为简单的问题，在学习中要注意培养数形结合的数学思想． 1．（24-25七年级上·湖北武汉·期末）如图，在数轴上，点表示数现将点沿数轴作如下移动，第一次将点向左移动个单位长度到达点，第二次将点向右移动个单位长度到达点，第三次将点向左移动个单位长度到达点，…，按照这种移动规律进行下去，第次移动到点，那么点所表示的数为（　　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】从A的序号为奇数的情形中，寻找解题规律求解即可. 【详解】∵A表示的数为1， ∴=1+（-3）×1=-2， ∴=-2+（-3）×（-2）=4， ∴=4+（-3）×3=-5= -2+（-3）， ∴=-5+（-3）×（-4）=7， ∴=7+（-3）×（-5）=-8= -2+（-3）×2， ∴= ， 故选B. 【点睛】本题考查了数轴上动点运动规律，抓住序号为奇数时数的表示规律是解题的关键. 2．（2024·河北·一模）如图，在数轴上，点表示，现将点沿数轴做如下移动：第一次将点向左移动个单位长度到达点，第次将点向右平移个单位长度到达点，第次将点向左移动个单位长度到达点则第次移动到点时，点在数轴上对应的实数是 ；按照这种规律移动下去，至少移动 次后该点到原点的距离不小于． 【答案】 【分析】序号为奇数的点在点的左边，各点所表示的数依次减少3，序号为偶数的点在点的右侧，各点所表示的数依次增加3，即可解答． 【详解】解：第一次点向左移动个单位长度至点，则表示的数，； 第次从点向右移动个单位长度至点，则表示的数为； 第次从点向左移动个单位长度至点，则表示的数为； 第次从点向右移动个单位长度至点，则表示的数为； 第次从点向左移动个单位长度至点，则表示的数为； 第次从点向左移动个单位长度至点，则表示的数为； ； 则表示的数为，表示的数为，表示的数为，表示的数为，表示的数为，表示的数为，表示的数为，表示的数为，表示的数为，表示的数为，表示的数为， 所以至少移动次后该点到原点的距离不小于． 故答案为；． 【点睛】此题考查了数轴，解答此题的关键是先求出前五次这个点移动后在数轴上表示的数，再根据此数值找出规律即可解答． 3．（24-25七年级上·江苏扬州·阶段练习）一个小球落在数轴上的某点，第一次从点向左跳1个单位长度到点，第二次从点向右跳2个单位长度到点，第三次从点向左跳3个单位长度到点，第四次从点向右跳4个单位长度到点，...，按以上规律跳了100次时，它落在数轴上的点所表示的数恰好是2018，则这个小球的初始位置点所表示的数是 ． 【答案】1968 【分析】根据向左为负，向右为正，列出算式计算即可． 【详解】解：设P0所表示的数是a，则a-1+2-3+4-…-99+100=2018， 则a+（-1+2）+（-3+4）+…+（-99+100）=2018． a+50=2018， 解得：a=1968． 点P0表示的数是1968． 故答案为:1968 【点睛】此题考查数字的变化规律，数轴的认识、有理数的加减，根据题意列出算式，找出简便计算方法是解题的关键． 【拓展训练三 数轴上的双动点问题】 【例3】（23-24七年级上·全国·期末）如图，O是数轴的原点，A、B是数轴上的两个点，A点对应的数是，B点对应的数是8，C是线段上一点，满足． (1)求C点对应的数； (2)动点M从A点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，当点M到达C点后停留2秒钟，然后继续按原速沿数轴向右匀速运动到B点后停止．在点M从A点出发的同时，动点N从B点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴匀速向左运动，一直运动到A点后停止．设点N的运动时间为t秒． ①当时，求t的值； ②在点M，N出发的同时，点P从C点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，当点P与点M相遇后，点P立即掉头按原速沿数轴向右匀速运动，当点P与点N相遇后，点P又立即掉头按原速沿数轴向左匀速运动到A点后停止．当时，请直接写出t的值． 【答案】(1)4 (2)①或；②t的值为或或5.5 【分析】（1）根据A点，B点对应的数，得到，根据与的比值，得到，，得到C点对应的数是； （2）①当M、N未相遇， M表示的数是， N表示的数是，得到，解得；当M、N相遇后，M在上运动，M表示的数是， N表示的数是，得到，解得；②当P与M还未第一次相遇时，P表示的数是，M表示的数是，N表示的数是，得到，解得，此种情况不存在；当P与M第一次相遇后，相遇后P掉头按原速沿数轴向右匀速运动，在未遇到N前，P表示的数是，得到，解得；当P与N相遇后，未与M第二次相遇时，P表示的数是，，解得；当P与M在点C处第二次相遇后直到到达A点前，P表示的数是， M表示的数是4，得到，解得，根据，得到这种情况不存在；当P运动到A后，若N为的中点，此时，，解得． 本题主要考查了数轴上动点问题，熟练掌握数轴上动点表示的数，两点间的距离公式，相遇与追及问题，列代数式，列方程，分类考虑动点的位置，是解题关键． 【详解】（1）∵A点对应的数是，B点对应的数是8， ∴， ∵， ∴，， ∴C点对应的数是， 答：C点对应的数是4； （2）①∵运动t秒时， 当M、N未相遇，则M在上运动，M表示的数是，N在上运动，N表示的数是， ∴， 解得， 当M、N相遇后，M在上运动，M表示的数是，N在上运动，N表示的数是， ∴， 解得， 综上所述，t的值为或； ②当P与M还未第一次相遇时，P表示的数是，M表示的数是，N表示的数是， ∵ ∴， 解得（舍去），此种情况不存在， 由已知得，P与M在时第一次相遇，相遇后P掉头按原速沿数轴向右匀速运动，在未遇到N前，P表示的数是， ∴， 解得， 由已知可知，当P与M在表示1的点处相遇，此时N运动到表示7的点处，再经过秒，即时，P与N相遇，此时M正好运动到C，P与N相遇后又立即掉头按原速沿数轴向左匀速运动，未与M第二次相遇，此时P表示的数是， ∴， 解得， 当P与M在点C处第二次相遇后直到到达A点前，P表示的数是，M在C点处，M表示的数是4， 次情况， ∴， 解得，不合， ∴这种情况不存在， 当P运动到A后，若N为的中点，此时， ∴， 解得， 综上所述，t的值为，或，或5.5． 1．（24-25七年级上·吉林松原·期末）如图，已知数轴上点表示的数为，点与点距离个单位，且在点的左边，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒． (1)数轴上点表示的数为___________，点表示的数为___________（用含的式子表示）； (2)动点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点，同时出发． ①求点运动多少秒追上点？ ②求点运动多少秒时与点相距个单位？并求出此时点表示的数． 【答案】(1)， (2)①点P运动秒追上点；②点表示的数为或点表示的数为 【分析】（1）由已知得，则，即得出数轴上点B所表示的数；由动点P从点A出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，即可求出，从而可求出点P表示的数； （2）①设点P运动t秒时和Q相遇，根据等量关系得到，然后求解即可；②分点P未超过点Q和点P超过点Q两种情况讨论，设运动时间为，根据题意得到和两个方程，求解即可． 【详解】（1）∵数轴上点表示的数为， ∴， ∴． ∵点B在原点左边， ∴数轴上点B所表示的数为； ∵动点P从点A出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动， ∴， ∴点P所表示的数为． 故答案为：，； （2）①设点P运动t秒时和Q相遇， 则， 解得：， ∴点P运动秒追上点； ②设当点P运动时间为秒时，点P与点Q间的距离为个单位长度， 当P不超过Q，则， 解得：；此时点表示的数为 当P超过Q，则， 解得；此时点表示的数为 综上所述：点表示的数为或点表示的数为 【点睛】本题主要考查数轴上的动点问题，一元一次方程的应用．根据已知得出各线段之间的等量关系是解题关键． 2．（24-25七年级上·江西南昌·期中）如图，记数轴上A、B两点之间线段长为，（单位长度），（单位长度），在数轴上，点A在数轴上表示的数是，点D在数轴上表示的数是15． (1)点B在数轴上表示的数是_____，点C在数轴上表示的数是_____，线段BC的长＝_____． (2)若线段以1个单位长度/秒的速度向右匀速运动，同时线段以2个单位长度/秒的速度向左匀速运动，当点B与C重合时，点B与点C在数轴上表示的数是多少？ (3)若线段以1个单位长度/秒的速度向左匀速运动，同时线段以2个单位长度/秒的速度也向左匀速运动，设运动时间为t秒，当时，M为中点，N为中点． ①若数轴上两个数为a、b，则它们的中点可表示为．则点M表示的数为_____，点N表示的数为______．（用代数式表示） ②线段MN的长是否为定值，如果是，请求出这个值；如果不是，请说明理由． 【答案】(1)，14，24 (2)当点B与C重合时，点B与点C在数轴上表示的数是﹣2 (3)①；；②MN的长是定值， 【分析】（1）数轴上点A右边的点B表示的数是点A表示的数加上这两个点的距离，数轴上点D左边的点C表示的数是点D表示的数减去这两个点的距离，依此方法可求出点B和点C表示的数，因为点C在点B的右边，所以用点C表示的数减去点B表示的数即得到线段的长； （2）设运动的时间为t秒，先确定点B表示的数为，点B与点C相距24个单位长度，两个点相向运动，则点B与点C重合时，点B与点C运动的距离和为24，列方程求出t的值再求出点B表示的数即可； （3）①先用t的代数式表示出A、B、C、D四点对应的数，再根据中点公式即可求解； ②用两点间距离公式即可求解． 【详解】（1）解：因为点A表示的数是，点B在点A右侧，且， 所以， 所以点B表示的数是； 因为点D表示的数是15，点C在点D的左侧，且， 所以， 所以点C表示的数是14， 点B与点C的距离是（单位长度）， 所以线段BC的长为24个单位长度， 故答案为：，14，24． （2）设运动的时间为t秒，则点B表示的数是， 根据题意得， 解得， 所以， 答：当点B与C重合时，点B与点C在数轴上表示的数是． （3）①根据题意得，t秒后点A对应的数为：，点C对应的数为：， ∵M为中点， ∴点M对应的数为：， t秒后点B对应的数为：，点D对应的数为：， ∵N为中点， ∴点N对应的数为：， 故答案为：；； ②线段的长为定值， ∵点M对应的数为，点N对应的数为； ∴， ∴线段的长为定值． 【点睛】此题考查数轴上两点的距离的求法、解一元一次方程、列一元一次方程解应用题等知识与方法，解题的关键是正确理解行程问题中相遇问题和追及问题的数量关系并且用代数式和等式表示这些关系． 3．（24-25七年级上·广东广州·期末）如图，在数轴上点A表示的数为﹣6，点B表示的数为10，点M、N分别从原点O、点B同时出发，都向左运动，点M的速度是每秒1个单位长度，点N的速度是每秒3个单位长度，运动时间为t秒． （1）求点M、点N分别所对应的数（用含t的式子表示）； （2）若点M、点N均位于点A右侧，且AN＝2AM，求运动时间t； （3）若点P为线段AM的中点，点Q为线段BN的中点，点M、N在整个运动过程中，当PQ+AM＝17时，求运动时间t． 【答案】（1）点M、点N分别所对应的数分别为，；（2）；（3）t=1或18 【分析】（1）根据题意进行求解即可； （2）由（1）所求，根据数轴上两点距离公式可得，，再由，得到，由此即可得到答案； （3）分当M、N均在A点右侧时，当N在A点左侧，M在A点右侧时，当M、N都在A点左侧时，三种情况讨论求解即可． 【详解】解：（1）由题意得：点M、点N分别所对应的数分别为，； （2）∵点A表示的数为-6，点M、点N分别所对应的数分别为，， ∴，， ∵， ∴， ∴； （3）如图1所示，当M、N均在A点右侧时， 由（1）（2）得点M、点N分别所对应的数分别为，， ∵点P为线段AM的中点，点Q为线段BN的中点， ∴点P和点Q表示的数分别为，， ∴ ∵， ∴， ∴； 如图2所示，当N在A点左侧，M在A点右侧时， 同图1可知点P和点Q表示的数分别为，， ∴ ∵， ∴， ∴，不符合题意； 如图3所示，当M、N都在A点左侧时， 同图1可得点P和点Q表示的数分别为，， ∴，， ∵， ∴，此时方程无解； 如图4所示，当M、N都在A点左侧时， 同理可得点P和点Q表示的数分别为，， ∴，， ∵， ∴， 解得， ∴综上所述，当，t=1或18． 【点睛】本题主要考查了用数轴表示有理数，数轴上两点的距离，数轴上的动点问题，熟知数轴的相关知识是解题的关键． 【拓展训练四 数轴上的多动点问题】 【例4】（24-25七年级下·全国·假期作业）已知数轴上两点A、B对应的数分别为、3，点P为数轴上一动点，其对应的数为x． (1)若点P到点A，点B的距离相等，求点P对应的数； (2)数轴上是否存在点P，使点P到点A、点B的距离之和为6？若存在，请求出x的值；若不存在，说明理由； (3)点A、点B分别以2个单位长度/分、1个单位长度/分的速度向右运动，同时点P以6个单位长度/分的速度从O点向左运动．当遇到A时，点P立即以同样的速度向右运动，并不停地往返于点A与点B之间，求当点A与点B重合时，点P所经过的总路程是多少？ 【答案】(1)1 (2)或4 (3)点P所经过的总路程是个单位长度 【分析】（1）若点P对应的数与、3差的绝对值相等，则点P到点A，点B的距离相等． （2）根据当P在A的左侧以及当P在B的右侧分别求出即可； （3）设经过a分钟点A与点B重合，根据点A比点B运动的距离多4，列出方程，求出a的值，即为点P运动的时间，再乘以点P运动的速度，可得点P经过的总路程． 【详解】（1）∵，2的绝对值是2， ，的绝对值是2， ∴点P对应的数是1． （2）当P在之间，（不可能有） 当P在A的左侧，，得 当P在B的右侧，，得 故点P对应的数为或4； （3）设经过a分钟点A与点B重合，根据题意得： ， 解得． 则． 答：点P所经过的总路程是个单位长度． 【点睛】此题考查动点问题，解题关键是正确表示点和点直接的距离，以及根据数量关系列方程求解． 1．（24-25七年级上·四川绵阳·阶段练习）已知数轴上A、B两点对应的数分别为和4，P为数轴上一点，对应数为x． (1)请直接写出P所表示的数，使P到A点、B点距离的和为10． (2)若点A、点B和点P（点P在原点）同时向左运动，他们的速度分别为每秒1、2、1个（单位长度/秒）． ①几秒中后点P为线段的中点？并求出此时x的值； ②是否存在点P，使得点P为线段的三等分点，若存在请求出x的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)或 (2)①2秒中后点P为线段的中点；②或 【分析】(1)分计算即可． （2）①根据题意,点B表示的数为，点A表示的数为，点P表示的数为， 根据点P为线段的中点，得到，化简计算即可． ②分两种情况计算求解即可． 【详解】（1）因为数轴上A、B两点对应的数分别为和4，P为数轴上一点，对应数为x，P到A点、B点距离的和为10， 当时，则， 解得， 符合题意； 当时，则， 解得， 符合题意； 当时，则， 不符号题意， 故或． （2）①根据题意,点B表示的数为，点A表示的数为，点P表示的数为， 因为点P为线段的中点， 所以， 解得． ②因为数轴上A、B两点对应的数分别为和4， 所以， 当时， 则， 解得． 当时， 则， 解得． 当或时，点P为线段的三等分点． 【点睛】本题考查了数轴上的动点问题，两点间的距离，线段的中点即线段上一点把线段分成相等的两条相等，线段的三等分点，熟练掌握两点间的距离公式是解题的关键． 2．（24-25七年级上·湖南衡阳·期中）已知多项式的常数项是a，次数是在数轴上分别表示的点是（如图），点A与点B之间的距离记作． (1)求的值； (2)求的长； (3)动点P从数1对应的点开始向右运动，速度为每秒1个单位长度．同时点A，B在数轴上运动，点A，B的速度分别为每秒2个单位长度，每秒3个单位长度，运动时间为t秒．若点A向右运动，点B向左运动，，求t的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）根据多项式的次数和常数项的定义，即可进行解答； （2）用点A到原点的距离加上点B到原点的距离即可； （3）根据数轴上两点之间的距离，将和的长度表示出来，进行分类讨论即可． 【详解】（1）解：∵多项式，次数为30，常数项为， ∴． （2）∵， ∴点A表示，点B表示30， ∴． （3）∵经过t秒后，点P运动到数对应的点， 点A运动到数对应的点， 点B运动到数对应的点， ∴，， ∵， ∴， 解得：． 或， 则， 解得：． 综上：或． 【点睛】本题主要考查了用数轴上点表示数，数轴上两点之间的距离，解题的关键是熟练掌握数轴上两点之间距离的表示方法． 3．（24-25七年级上·广东广州·期中）如图，若点A在数轴上对应的数为a，点B在数轴上对应的数为b，且a，b满足|a＋2|＋（b﹣1）2＝0，点A与点B之间的距离表示为AB＝|a﹣b|． （1）求AB的长； （2）若点C在数轴上对应的数为，在数轴上是否存在点P，使得PA＋PB＝PC？若存在，求出点P对应的数；若不存在，说明理由； （3）在（1）、（2）的条件下，点A，B，C开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和C分别以每秒4单位长度和9个单位长度的速度向右运动，经过t秒后，请问：AB﹣BC的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其常数值． 【答案】（1）3；（2）存在，或；（3）不变，值为． 【分析】（1）先利用几个非负数的和为零，则每个数都为零，列式求出a，b的值，最后根据已知的关系式即可求出AB； （2）根据数轴上表示两点距离的方法设出P点代表的数字为x，再分别表示出对应的PA、PB、PC，最后代入关系式PA＋PB＝PC即可解答； （3）由于运动时间为t秒，A、B、C的运动方向和运动速度已知，利用路程＝速度×时间可表示出AB和BC，再计算出AB﹣BC的值，再与运动前AB﹣BC的值比较即可得出结论，进而求出这个常数值． 【详解】解：（1）∵|a＋2|＋（b﹣1）2＝0， 又∵|a＋2|≥0，（b﹣1）2≥0， ∴a＋2＝0，b﹣1＝0. ∴a＝﹣2，b＝1. ∵点A与点B之间的距离表示为AB＝|a﹣b|， ∴AB＝|﹣2﹣1|＝3 答：AB的长为3； （2）存在点P，使得PA＋PB＝PC． 设点P对应的数为x， 当点P在点A的左侧时，即x＜﹣2， ∴PA＝|﹣2﹣x|＝﹣2﹣x， PB＝|1﹣x|＝1﹣x， PC＝|﹣x|＝﹣x． ∵PA＋PB＝PC， ∴﹣2﹣x＋1﹣x＝﹣x． 解得：x＝﹣． 当点P在点A的右侧，点B的左侧时，即﹣2＜x＜1， ∴PA＝|﹣2﹣x|＝x＋2， PB＝|1﹣x|＝1﹣x， PC＝|﹣x|＝﹣x． ∴x＋2＋1﹣x＝﹣x． 解得：x＝﹣． 当点P在点B 的右侧时，PA＋PB＞PC，不合题意． 综上，点P对应的数为﹣或﹣； （3）AB﹣BC的值不随着时间t的变化而改变． 由（1）知：AB＝3， 由（2）知：BC＝﹣1＝， ∴AB﹣BC＝． ∵点A以每秒1个单位长度的速度向左运动， 同时，点B以每秒4单位长度的速度向右运动， ∴AB＝t＋3＋4t＝5t＋3. ∵点B和C分别以每秒4单位长度和9个单位长度的速度向右运动， ∴BC＝（9﹣4）t＋（﹣1）＝5t＋． ∴AB﹣BC＝（5t＋3）﹣（5t＋）＝． ∴AB﹣BC的值不随着时间t的变化而改变． ∴AB﹣BC的值不会随着时间t的变化而改变且这个常数的值为． 【点睛】本题主要考查了数轴两点之间的距离公式的应用，掌握根据数字的大小去掉绝对值符号，再结合已知条件列出方程并求解成为解答本题的关键． 【拓展训练五 有关数轴的新定义问题】 【例5】（24-25七年级上·江苏淮安·期中）定义：若，，为数轴上三点，若点到点的距离是点到点的距离倍，我们就称点是【，】的美好点．若规定、两点之间的距离为，即当时，我们称点是【，】的美好点． 例如：如图，点表示的数为，点表示的数为．表示的点到点的距离是，到点的距离是，那么点是【，】的美好点；又如，表示的点到点的距离是，到点的距离是，那么点就不是【，】的美好点，但点是【，】的美好点． 如图2，，为数轴上两点，点所表示的数为，点所表示的数为． (1)点，，表示的数分别是，，，其中是【，】美好点的是；写出【，】美好点所表示的数是______． (2)现有一只电子蚂蚁从点开始出发，以个单位每秒的速度向左运动．请你写出当为何值时，，和中恰有一个点为其余两点的美好点？ 【答案】(1)；或 (2)，，，，， 【分析】本题考查数轴上的动点问题、数轴上两点之间的距离、点是【M，N】的美好点的定义等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据美好点的定义，结合图，直观考察点，，到点，的距离，只有点符合条件．结合图，根据美好点的定义，在数轴上寻找到点的距离是到点的距离倍的点，在点的移动过程中注意到两个点的距离的变化． （2）根据美好点的定义，，和中恰有一个点为其余两点的美好点分种情况，须区分各种情况分别确定点的位置，进而可确定的值． 【详解】（1）解：根据美好点的定义，，，，只有点G符合条件， 故答案是：． 结合图，根据美好点的定义，在数轴上寻找到点的距离是到点的距离倍的点，点N的右侧不存在满足条件的点，点M和之间靠近点一侧应该有满足条件的点，进而可以确定符合条件．点的左侧距离点M的距离等于点和点的距离的点符合条件，进而可得符合条件的点是． 故答案为：或； （2）解：根据美好点的定义，，和中恰有一个点为其余两点的美好点分种情况， 第一情况：当为【，】的美好点，点在，之间，如图， 当时，则， 因此秒； 第二种情况，当为【，】的美好点，点在，之间，如图2， 当时，则， 因此秒； 第三种情况，为【N，M】的美好点，点在左侧，如图3， 当时，则， 因此秒； 第四种情况，M为【P，N】的美好点，点在左侧，如图4， 当时，则，点对应的数为， 因此秒； 第五种情况，M为【N，P】的美好点，点在左侧，如图5， 当时，则，点对应的数为， 因此秒； 第六种情况，M为【N，P】的美好点，点在，左侧，如图， 当时，则， 因此秒； 第七种情况，为【，】的美好点，点在左侧， 当时，则， 因此秒， 第八种情况，N为【M，P】的美好点，点在右侧， 当时，则， 因此秒， 综上所述，的值为：，，，，，． 1．（23-24七年级上·福建三明·阶段练习）数轴上有A，B，C 三点，给出如下定义：若其中一个点与其它两个点的距离恰好满足2倍的数量关系，则称该点是其它两个点的“关联点”. 例：如图1所示，数轴上点A，B，C 所表示的数分别为1，3，4，因为，所以称点B 是点A，C的“关联点”．                               图1 (1)如图2所示，点A表示数，点B 表示数1，下列各数2，4，6所对应的点分别是C1，C2，C3其中是点A，B  的“关联点”的是 ;                                        图2 (2)如图3所示，点A 表示数，点B 表示数15，P 为数轴上一个动点： ①若点P 在点B 的左侧，且P 是点A，B  的“关联点”，求此时点P 表示的数； ②若点P 在点B 的右侧，点P，A，B   中，有一个点恰好是其它两个点的“关联点”， 请求出此时点P 表示的数.                              图3 【答案】(1)C2 (2)①点P表示的数为，；②点P表示的数为 【分析】（1）分别求出点C1，C2，C3到两点间的距离，再进行验证即可； （2）①分类讨论点在之间和点在点左侧时的情况即可；②分类讨论点为点的“关联点”、点为点的“关联点”、点为点的“关联点”即可求解． 【详解】（1）解：∵ ∴点C1不是点A，B的“关联点” ∵ ∴ 即：点是点A，B的“关联点” ∵ ∴点不是点A，B的“关联点” 故答案为： （2）解：解：设点P在数轴上表示的数为 ①（i）当点在之间时， 若，则 解得： 若，则 解得： （ii）当点在点左侧时， 则，即： 解得： 故：点P表示的数为，； ②（i）当点为点的“关联点”时， 则，即： 解得： （ii）当点为点的“关联点”时， 则，即： 解得： 或,即： 解得： （iii）当点为点的“关联点”时， 则，即： 解得： 故：点P表示的数为 【点睛】本题以新定义题型为背景，考查了数轴上两点间的距离公式．掌握相关结论，进行分类讨论是解题关键． 2．（24-25七年级上·江苏·期末）对于数轴上的点M，线段AB，给出如下定义：P为线段AB上任意一点，如果M，P两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为点M，线段AB的“近距”，记作d1（点M，线段AB）；如果M，P两点间的距离有最大值，那么称这个最大值为点M，线段AB的“远距”，记作d2（点M，线段AB），特别的，若点M与点P重合，则M，P两点间距离为0，已知点A表示的数为﹣2，点B表示的数为3．如图，若点C表示的数为5，则d1（点C，线段AB）＝2，d2（点C，线段AB）＝7． (1)若点D表示的数为﹣3，则d1（点D，线段AB）＝　 　，d2（点D，线段AB）＝　 　； (2)若点E表示数为x，点F表示数为x+1．d2（点F，线段AB）是d1（点E，线段AB）的3倍．求x的值． 【答案】(1)1，6 (2)﹣4或6 【分析】（1）根据已知给出的定义，进行计算即可解答； （2）分两种情况，点E在点A的左侧，点E在点B的右侧． 【详解】（1）解：∵点D表示的数为﹣3， ∴d1（点D，线段AB）＝DA＝﹣2﹣（﹣3）＝﹣2+3＝1， d2（点D，线段AB）＝DB＝3﹣（﹣3）＝3+3＝6， 故答案为：1，6； （2）分两种情况： 当点E在点A的左侧， d2（点F，线段AB）＝BF＝3﹣（x+1）＝2﹣x， d1（点E，线段AB）＝AE＝﹣2﹣x， ∵d2（点F，线段AB）是d1（点E，线段AB）的3倍， ∴2﹣x＝3（﹣2﹣x）， ∴x＝﹣4， 当点E在点B的右侧， d2（点F，线段AB）＝AF＝x+1﹣（﹣2）＝x+3， d1（点E，线段AB）＝EB＝x﹣3， ∵d2（点F，线段AB）是d1（点E，线段AB）的3倍， ∴3+x＝3（x﹣3）， ∴x＝6， 综上所述：x的值为﹣4或6． 【点睛】本题考查了数轴，理解题目已知给出的定义是解题的关键． 3．（24-25七年级上·北京朝阳·期末）在数轴上，点表示的数为1，点表示的数为3，对于数轴上的图形，给出如下定义：为图形上任意一点，为线段上任意一点，如果线段的长度有最小值，那么称这个最小值为图形关于线段的极小距离，记作，线段；如果线段的长度有最大值，那么称这个最大值为图形关于线段的极大距离，记作，线段． 例如：点表示的数为4，则点，线段点，线段．    已知点为数轴原点，点为数轴上的动点． (1)（点，线段)=_________，（点，线段）_________； (2)若点表示的数，点表示数(线段，线段，求的值； (3)点C从原点出发，以每秒2个单位长度沿轴正方向匀速运动，点从表示数的点出发，第1秒以每秒2个单位长度沿轴正方向匀速运动，第2秒以每秒4个单位长度沿轴负方向匀速运动，第3秒以每秒6个单位长度沿轴正方向匀速运动，第4秒以每秒8个单位长度沿轴负方向匀速运动，……，按此规律运动，两点同时出发，设运动的时间为秒，若(线段，线段)小于或等于6，直接写出的取值范围（可以等于0）． 【答案】(1)1，3 (2)或 (3)或 【分析】（1）根据目中所给定义进行计算即可； （2）分为线段在线段左侧或线段在线段右侧两种情况进行讨论即可； （3）分别分析出每一秒的情况，再进行分类讨论即可． 【详解】（1）解：∵点O到线段AB的最小距离为：， ∴（点，线段)=1， ∵点O到线段AB的最小距离为：， ∴（点，线段)=3， 故答案为：1，3． （2）当线段在线段左侧时： （线段，线段）， 解得：， 当线段在线段右侧时： （线段，线段）， 解得：， 综上：或． （3）当时，点C表示的数为0，点D表示的数为-2，则， 当时，点C表示的数为2t,点D表示的数为,则，成立； 当时，点C表示：2，点D表示：， 此时：（线段，线段），符合题意； 当时，点C表示：4，点D表示：， 此时：（线段，线段），不符合题意； 当时，点C表示：，点D表示：， ∴此时：（线段，线段）， 解得：， ∴， ∵时，点C表示：6，点D表示：， ∴（线段，线段），符合题意； 当时，点C表示：，点D表示：， ∴此时：（线段，线段）， 解得：， ∵当时，点C表示：8，点D表示：， ∴（线段，线段），不符合题意； 当时，点C表示：，在6和8之间；点D表示：，在2和6之间， ∴此时：（线段，线段）， 或（线段，线段）， 解得：， ∴， 当时，点C表示：10，点D表示：， 此时：（线段，线段），不符合题意； 当时，点C表示：，在8和10之间；点D表示：，在和4之间， ∴此时，，则当时，（线段，线段）， 综上：或． 【点睛】本题主要考查了数轴上的点表示数，数轴上两点之间的距离，熟练掌握计算数轴上两点间的距离的方法，正确理解题意，进行分类讨论是解题的关键． 1．（24-25七年级上·广东江门·阶段练习）如图，数轴上被墨水遮盖的数可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了有理数与数轴，由数轴可知被遮住的数大于且小于，据此可得答案． 【详解】解：由数轴可知被遮住的数大于且小于，则四个选项中只有A选项中的数符合题意， 故选：A． 2．（24-25七年级上·甘肃武威·期中）如图，在数轴上，点A、B分别表示a、b，且．若，则点B表示的数为（   ） A． B． C．0 D．3 【答案】D 【分析】本题考查了数轴，相反数的定义，根据，得到点A、B分别表示a、b互为相反数，即点A、B到原点的距离相等，利用数轴上两点间距离即可求解． 【详解】解：∵点A、B分别表示数a、b，且， ∴a、b互为相反数， ∵， ∴A，B两点到原点的距离为3， ∵B点位于数轴上正半轴， ∴B点表示的数为3， 故选：D． 3．（24-25七年级上·福建莆田·期中）以下是四位同学画的数轴，其中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了数轴的三要素，根据数轴的“三要素”，原点，正方向，单位长度逐一判断即可，正确理解数轴的“三要素”是解题的关键． 【详解】解：、正方向反了，不符合题意； 、单位长度不统一，不符合题意； 、没有正方向，不符合题意； 、满足数轴的“三要素”，原点，正方向，单位长度，符合题意； 故选：． 4．（24-25七年级上·广东广州·期末）如图，数轴上表示有理数3的点是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查有理数在数轴上的表示， 结合数轴，由观察得到A、B、C、D每个点表示的数，找到数轴上表示有理数3的点即可． 【详解】解：数轴上表示有理数3的点是D． 故选：D． 5．（24-25七年级上·河南周口·期末）在数轴上点，点分别表示数是、6，则数轴上到点、点距离相等的点表示的数为（   ） A．0 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查数轴上中点表示的数．根据题意利用求中点数公式即可得到本题答案． 【详解】解：∵点，点分别表示数是、6， ∴到点A，点B距离相等的点表示的数：， 故选：D． 6．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）数轴上表示整数的点称为整点，某数轴的单位长度是1厘米，若在这条数轴上随意画出一条长2024厘米的线段，则线段盖住的整点个数是（   ） A．2020或2021 B．2021或2022 C．2022或2023 D．2024或2025 【答案】D 【分析】本题考查数轴表示数的意义和方法，理解线段及端点与数轴上点的对应关系是解决问题的前提．分线段的端点与整数点重合、不重合两种情况进行计算即可． 【详解】解：当长2024厘米的线段的端点与整数点重合时，两端与中间的整数点共有2025个， 当长2024厘米的线段的端点不与整数点重合时，中间的整数点只有2024个， 故选：D． 7．（23-24七年级上·浙江宁波·期中）如图所示，圆的周长为4个单位长度，在圆的4等分点处标上字母，，，，先将圆周上的字母对应的点与数轴上的数字1所对应的点重合，若将圆沿着数轴向左滚动，那么数轴上的所对应的点将与圆周上字母（   ）所对应的点重合． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了数轴上的规律探索； 根据圆的滚动可得四个字母一循环，被整除后余3，从点与数字0对应开始计算，然后即可求解； 【详解】解：圆的周长为4个单位长度， 个数字为一个循环， ∵点与数字0对应，， 对应的字母是． 故选：A． 8．（24-25七年级上·浙江宁波·期末）已知点、在数轴上对应的数为和，点对应的数为．点关于点的对称点为，点为线段的中点，当时，的值为（   ） A．或11 B．或29 C．29 D．11 【答案】B 【分析】本题考查数轴的性质，利用数形相结合是解题的关键．理解题意，根据题中所给条件分别求出相应的对应点，结合线段的和差即可得解． 【详解】解：∵点、在数轴上对应的数为和，点关于点的对称点为， ∴点表示的数为，， ∵， ∴， 如图，当在的右侧时，表示的数为， ∵点为线段的中点， ∴， 如图，当在的左侧时，表示的数为， ∵点为线段的中点， ∴， ∴的值为或， 故选：B． 9．（2025七年级上·浙江·专题练习）观察如图，如果点D表示25，则点B表示( )；如果点C表示，则点A表示( )． 【答案】 5 【分析】本题考查了数轴上的点表示有理数，分数的意义，确定单位”1”是解题的关键． 以0为原点，原点左边的是负数，原点右边的是正数；如果点D表示25，则从原点向右每个单位长度分别是5、10、15……；如果点C表示，则从原点向右每个单位长度分别是、、……，从原点向左每个单位长度分别是、、……，据此写出点B和点A表示的数． 【详解】解：观察如图，如果点D表示25，则点B表示5；如果点C表示，则点A表示． 故答案为：，． 10．（24-25七年级上·吉林·期中）如图，数轴上点A所表示的数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了数轴，根据数轴的定义即可得出答案． 【详解】解：由数轴可知，数轴上点A表示的数是． 故答案为：． 11．（24-25九年级下·福建泉州·期中）如图，A，B，C是数轴上的三个点，点C在点B的右侧，点A，B表示的数分别是1，3，若，则点C表示的数是 ． 【答案】4 【分析】本题考查了数轴，关键是要能求出和的长度． 先利用点A、B表示的数计算出，再计算出，然后计算点C到原点的距离即可得到C点表示的数． 【详解】解：∵点A，B表示的数分别是1，3， ， ， ∵点C在点B的右侧， ∴点C表示的数是 故答案为：4． 12．（24-25七年级上·福建福州·期中）已知是数轴上的一个点，把向左移动4个单位后，这时它到原点的距离是5个单位，则点表示的数是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了数轴上的动点问题，理解题意是解题的关键． 根据题意，平移之后到原点的距离是5个单位，即表示的是5或者，即可求得平移之前点表示的数． 【详解】解：依题意平移之后到原点的距离是5个单位，即表示的是5或者， 则． 故答案为：或． 13．（24-25七年级上·福建福州·期末）如图，点，在数轴上的位置如图所示，为原点，点在数轴上所表示的数为，，点为线段的中点，则点在数轴上所表示的数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了数轴，熟知数轴上的点所表示的数的特征是解答本题的关键． 根据题意先求出点表示的数，再结合点为线段的中点即可解决问题． 【详解】解：点在数轴上所表示的数为，， 点表示的数为， 又点为线段的中点， 点表示的数为， 故答案为：． 14．（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）在数轴上有一个动点从原点出发，以每秒1个单位长度的速度在数轴上运动，若点的运动规律是先向右运动1个单位长度，再向左运动2个单位长度，再向右运动3个单位长度，再向左运动4个单位长度，以此类推，每次运动单位长度依次递增，第113秒时，点在数轴上所对应的数是 ． 【答案】 【分析】本题考查数轴上点的运动规律问题，根据数轴上运动时“右加左减”计算即可． 【详解】解：∵，， ∴第113秒时，点在数轴上所对应的数是， 故答案为：． 15．（24-25六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）用直线上的点表示下面各数，并将这些数按照从小到大的顺序排列． ；1.5；； ______<______<______<______ 【答案】见解析； 【分析】本题主要考查了有理数的大小比较，解题关键是熟练掌握把各数表示在数轴上．先把各数表示在数轴上，然后按照从左到右的顺序排列起来，并用小于号连接起来即可． 【详解】解：各数在数轴上表示出来为： ，， 16．（24-25七年级上·陕西咸阳·期中）如图，数轴上从左到右依次有点A、B、C、D，其中点C为原点，点A、B、D所对应的数分别为、、1． (1)请在图中标出点B、C的位置； (2)一个点从点A出发，向左移动5个单位长度到达点E，求点E对应的数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了用数轴上点表示有理数，解题的关键是掌握数轴上点的特点． （1）根据、B、所对应的数，为原点，确定和B的位置即可； （2）利用两点间的距离公式，分点在点的右侧时或点在点的左侧，两种情况讨论． 【详解】（1）解：∵点C为原点， ∴点C在点D左侧1个单位处， ∵点B表示的数为， ∴点B在点C的坐标2个单位处， 点B、C的位置，如图所示． （2）解：∵一个点从点A出发，向左移动5个单位长度到达点E， ∴点E表示的数为． 17．（24-25七年级上·河北邯郸·期中）如图，图中数轴的单位长度为1．请回答下列问题： (1)如果点表示的数互为相反数，那么点表示的数是多少？ (2)如果点表示的数互为相反数．那么点表示的数是多少？ 【答案】(1) (2)1， 【分析】本题考查了相反数，数轴，熟练掌握相反数的定义并确定出原点的位置是解题的关键． （1）根据互为相反数的定义确定出点O的位置，再根据数轴写出点C表示的数即可； （2）根据互为相反数的定义确定出点O的位置，再根据数轴写出点C、D表示的数即可． 【详解】（1）解：因为点表示的数互为相反数，所以表示数0的点在点中点位置，如图1，所以点表示的数是； （2）解：因为点表示的数互为相反数，所以表示数0的点在点中点位置，如图2， 所以点表示的数是1，点表示的数是． 18．（24-25七年级上·河北秦皇岛·期末）一点从数轴上表示的点A开始移动，第一次先向左移动1个单位，再向右移动2个单位到达点；第二次从点先向左移动3个单位，再向右移动4个单位到达点C；第三次从点C先向左移动5个单位，再向右移动6个单位… (1)第一次移动后这个点在数轴上表示的数为 ；点与点间的距离为 ． (2)第二次移动后这个点在数轴上表示的数为 ；点A与点C间的距离为 ． (3)若第n次移动后到达N点则这个点在数轴上表示的数为 ；点与点间的距离为 ． (4)若第次移动后这个点在数轴上表示的数为78，求m的值． 【答案】(1)2；1 (2)3；2 (3) (4) 【分析】本题考查了数轴，数字的变化类—规律型，根据题意得出数轴上数字的变化规律是解题的关键． （1）点从数轴上表示的点先向左移动个单位，再向右移动个单位，等于向右移动个单位，移动后这个点表示的数为，； （2）第二次点先向左移动个单位，再向右移动个单位，等于向右移动个单位，移动后这个点表示的数为，； （3）根据题意得出规律：第次移动后点表示的数是，； （4）根据移动规律得出，计算即可得到答案． 【详解】（1）解：点表示的数为， ， 故答案为：； （2）解：点表示的数为， ， 故答案为：； （3）解：点表示的数为， ， 故答案为：； （4）解：∵， ∴． 19．（24-25七年级下·全国·假期作业）如图，以1厘米为1个单位长度用直尺画数轴时，数轴上的点A，B；C刚好对应着直尺上的刻度2，刻度8和刻度10．设点A，B，C所表示的数的和是m，该数轴的原点为O，向右为正方向． (1)若点A所表示的数是，则点所表示的数是_______； (2)若点A，C所表示的数互为相反数，则该数轴的原点O对应直尺上的刻度为_______； (3)若点B，O之间的距离为4，求m的值． 【答案】(1)5 (2)6 (3)或8 【分析】本题考查了数轴上两点的距离，有理数的加减法运算，数形结合是解题的关键． （1）根据数轴上两点距离进行计算即可求解； （2）根据的距离，得出点A表示是的数为，点C表示的数为4，由图中点C所在的位置为10，即可得出原点O对应直尺上的刻度为； （3）分当O在点B的左边和右边两种情况讨论即可求解． 【详解】（1）解：∵数轴上的点A，B，C对应着直尺上的刻度2，8和10， ∴， ∵点A所表示的数是， ∴点C所表示的数是， 故答案为：5； （2）解：∵，点A，C所表示的数互为相反数， ∴则点A表示是的数为，点C表示的数为4， ∵图中点C所在的位置为10， ∴数轴的原点O对应直尺上的刻度为， 故答案为：6； （3）解：∵点B，O之间的距离为4，点B对着直尺上的刻度8， ①当O在点B的左边时，即点O对着直尺上的刻度4， ∴B点表示的数为4， ∵， ∴此时点A表示的数为，点C表示的数为6， ∴； ②当O在点B的右边时，即点O对着直尺上的刻度12， ∴B点表示的数为， ∵， ∴此时点A表示的数为，点C表示的数为， ∴， 综上，m的值为或8． 20．（24-25七年级上·广东江门·阶段练习）如图，数轴上，两点对应的有理数分别为和，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴负方向运动，点同时从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴正方向运动，设运动时间为秒． (1)当时，数轴上的点、表示的数分别是______和______； (2)当时，求、两点间的距离； (3)在运动过程中是否存在时间使、两点间的距离与、两点间的距离相等，若存在，请求出此时t的值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2) (3)或 【分析】本题考查了数轴上的点的移动，距离，熟悉掌握数轴上点的特征是解题的关键． （1）列出点的表达式，代入运算即可； （2）根据表达式代入运算即可； （3）分类讨论点的位置，列出方程运算即可． 【详解】（1）解：由题意可得：， ∴当时，， 故答案为：；； （2）解：把代入，可得： ，， ∴； （3）解：∵点到点的时间为：；点到点的时间为：； ∴当时，大致如图所示： ∵，，，， ∴， ∴ 解得：； 当时，大致如图所示： ∴， ∴ 解得：； 当时，大致如图所示： ∴， ∴ 解得：（舍去）； 综上所述：或． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 数轴重难点题型专训 （3个知识点+10大题型+5拓展训练+自我检测） 题型一 数轴的三要素及其画法 题型二 用数轴上的点表示有理数 题型三 利用数轴比较有理数的大小 题型四 数轴上两点之间距离的表示 题型五 数轴上点的简单平移 题型六 数轴上与原点有关的计算 题型七 数轴上整点覆盖问题 题型八 关于数轴的说法正误判断问题 题型九 数轴上的翻折问题 题型十 根据点所在数轴的位置判断式子的正负 拓展训练一 数轴上两点之间的距离综合 拓展训练二 数轴上点运动规律探究 拓展训练三 数轴上的双动点问题 拓展训练四 数轴上的多动点问题 拓展训练五 有关数轴的新定义问题 知识点01 数轴的概念与画法 1.数轴定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴. （1）数轴是一条可以向两端无限延伸的直线； （2）数轴有三要素：原点、正方向、单位长度，缺一不可； （3）数轴三要素是“规定”的，通常，我们习惯性向右为正方向，原点的位置和单位长度的大小要依据实际情况灵活选取，但是，一旦选定后就不能随意改变； （4）在同一条数轴上，单位长度的大小必须统一，要根据实际问题灵活选取单位长度的大小. 2.数轴的画法 （1）画一条直线（通常画成水平位置）； （2）在这条直线上取一点作为原点，这点表示0； （3）确定正方向：规定直线上向右为正方向，画上箭头； （4）选取适当的长度，从原点向右每隔一个单位长度取一点，依次标上1，2，3，…从原点向左，每隔一个单位长度取一点，依次标上-1，-2，-3，… 【即时训练】 1．（24-25七年级上·江苏淮安·阶段练习）以下数轴画法正确的是（　　） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·江苏无锡·阶段练习）补全数轴，并在数轴上表示下列各数．1.5，0.4，，． 知识点02 有理数与数轴上点的对应关系 1.所有的有理数都可以用数轴上的点表示. （1）正数可以用数轴上原点右边的点表示； （2）负数可以用数轴上原点左边的点表示； （3）0用原点表示. 2.所有的有理数都可以用数轴上的点来表示，但数轴上的点不一定表示有理数. 3.数轴上的点与有理数建立了一一对应的关系，揭示了数与形的联系，是数形结合的基础. 【即时训练】 3．（24-25七年级上·江苏连云港·期末）如图，数轴上点所表示的数可能是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级上·江苏南京·阶段练习）数轴上与表示的点的距离等于的点表示的有理数是 ． 知识点03 利用数轴比较有理数的大小 1.在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大； 2.正数都大于0，负数都小于0，正数大于负数. 正确画出数轴后，将各个有理数在数轴上表示出来，按照从左到右顺序用“＜”号或者按照从右到左顺序用“＞”号连接起来，注意不要漏数. 有理数大小关系的传递性 对于有理数a、b、c， 若a＞b，且b＞c，那么a＞c； 若a＜b，且b＜c，那么a＜c； 【即时训练】 5．（24-25七年级上·江苏南通·阶段练习）有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，则 0．（填“”或“”） 6．（24-25七年级上·江苏扬州·阶段练习）画出数轴，在数轴上把下列各数表示出来，并比较它们的大小，用“”连接起来． 3 ， ，1.5 ， ，0． 【经典例题一 数轴的三要素及其画法】 【例1】（2024七年级上·全国·专题练习）小马和他的同学们各画了一条数轴，其中正确的是（   ） A． B． C． D． 1．（24-25七年级上·福建龙岩·期中）下列图形是四位同学画的数轴，其中正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·山东菏泽·阶段练习）请把下面不完整的数轴画完整，并在数轴上标出下列各数： ，，4，．    3．（2022七年级·全国·专题练习）观察下列图形，指出哪条数轴画得正确，其余错在哪里？ 【经典例题二 用数轴上的点表示有理数】 【例2】（24-25七年级上·河北唐山·期末）在数轴上有A，B，C三点，其中点A表示的数是2，点B表示的数是，如果其中一点为另外两点形成的线段的中点，则点C表示的数是（   ） A．或 B．或8或2 C．或8或1 D．或或8 1．（24-25七年级上·浙江温州·期末）如图，数轴上点表示的数是2，点，到点的距离均为4个单位长度，则数轴上表示的点落在（   ） A．点左侧 B．线段上 C．线段上 D．点右侧 2．（24-25七年级下·浙江杭州·开学考试）下图中，如果A点表示0，点表示1，则点表示 ；如果点表示0，点表示1，则A点表示 ． 3．（24-25七年级上·福建福州·期中）如图，在数轴上有三个点A、B、C，请回答问题： (1)将A点向左移动5个单位长度，这是的点表示的数是___________； (2)怎样移动A、B、C的其中个点，才能使点C恰好是线段的中点？请写出三种移动的方法． 方法一（移动A点）：___________， 方法二（移动B点）：___________， 方法三（移动C点）：___________． 【经典例题三 利用数轴比较有理数的大小】 【例3】（24-25七年级上·广东广州·期中）已知有理数、在数轴上的位置如图所示，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 1．（24-25七年级上·辽宁大连·期末）如图，若点、、在数轴上所对应的数分别为、、，则下列大小关系正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·北京·期中）有理数a，b，c，d在数轴上的对应点的位置如图所示． 下面有四个推断： ①如果，则一定会有； ②如果，则一定会有； ③如果，则一定会有； ④如果，则一定会有． 所有合理推断的序号是 . 3．（24-25七年级上·海南省直辖县级单位·期中）在所给数轴上画出表示下列各数的点，并用“＜”连接：，，， ，，． 【经典例题四 数轴上两点之间距离的表示】 【例4】（24-25七年级上·全国·课后作业）已知在数轴上有三个点，点A表示的数是，点B表示绝对值最小的数，点C表示的数是最大的负整数． (1)在数轴上把三点表示出来，并比较这三个点表示的数的大小；（用“＜”号连接） (2)直接写出如何移动点C，可以使它到点A和点B的距离相等． 1．（24-25七年级上·江西南昌·阶段练习）已知表示数a的点在数轴上的位置如图所示． (1)在数轴上表示出数a的相反数的位置． (2)若数a与其相反数相距20个单位长度，求数a的值． 2．（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知在纸面上有一个数轴（如图），折叠纸面． (1)若表示的点与表示2的点重合，则表示1的点与表示______的点重合； (2)若表示1的点与表示的点重合，回答下列问题： ①表示3的点与表示______的点重合； ②若数轴上、两点之间的距离为10，（在的左侧），且、两点经折叠后重合，求、两点表示的数多少？ 3．（23-24七年级上·山东德州·阶段练习）阅读理解： 数轴上线段的长度可以用线段端点表示的数进行减法运算得到，如图，线段；线段． 问题： (1)数轴上点M、N代表的数分别为和3，则线段_______； (2)数轴上点E、F代表的数分别为和，则线段_______； (3)数轴上的两个点之间的距离为5，其中一个点表示的数为，求另一个点表示的数． 【经典例题五 数轴上点的简单平移】 【例5】（24-25七年级上·福建厦门·期中）在数轴上，把表示的点移动5个单位长度后的点表示的数是（     ） A．5或 B．3 C．3或 D． 1．（23-24七年级上·江西南昌·期末）如图，点和在数轴上表示的数分别是和40，点在线段上移动，图中的三条线段和，当其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍时，则点在数轴上表示的数为 ． 2．（24-25七年级上·江苏盐城·期末）如图，数轴上A、B两点之间的距离AB＝12，有一根木棒PQ，PQ在数轴上移动，当Q移动到与A、B其中一个端点重合时，点P所对应的数为5，且点P始终在点Q的左侧，当Q移动到线段AB的中点时，点P所对应的数为 ． 3．（24-25七年级上·全国·随堂练习）如图，数轴上有三点A，B，C． (1)将点A向右移动4个单位长度后，A，B，C三个点所表示的数中最小的数是多少？ (2)点B向左移动2个单位长度，点C向左移动8个单位长度，A，B，C三个点所表示的数中最大的数是多少？ (3)怎样移动A，B，C三点中的两点，才能使三个点表示的数相同？有几种移动的方法？ 【经典例题六 数轴上与原点有关的计算】 【例6】（23-24七年级上·全国·单元测试）数轴上点，，，对应的有理数都是整数．若点对应有理数，点对应有理数，且，则数轴上原点应是（    ） A．A点 B．B点 C．C点 D．D点 1．（2024七年级·全国·竞赛）如图，数轴上标出若干个点，每相邻两点相距个单位，点A、B、C、D对应的数分别是a、b、c、d，且，那么数轴上的原点应是（    ）． A．点A B．点B C．点C D．点D 2．（24-25七年级下·广西河池·阶段练习）如图，直径为1个单位长度的圆从原点沿数轴向右滚动二圈，圆上一点由原点转到点，这个点表示的数为 ． 3．（24-25七年级上·江苏无锡·阶段练习）数轴上从左到右的三个点A，B，C所对应的数分别为a，b，c，其中点A与点B之间的距离，点B与点C之间的距离，如图所示． (1)若以B为原点，则点A对应的数为__________，并计算的值． (2)若O是原点，且点O和点B之间的距离为18，求的值． 【经典例题七 数轴上整点覆盖问题】 【例7】（24-25七年级上·广西桂林·阶段练习）在数轴上任取一条长度为的线段，则此线段在这条数轴上最多能盖住的整数点的个数是（　　） A．2012 B．2013 C．2014 D．2015 1．（24-25七年级上·安徽马鞍山·期中）如图所示，小明在写作业时不慎将墨水滴在数轴上，根据图中的数值，墨迹盖住的整数共有 个． 2．（24-25七年级上·黑龙江大庆·阶段练习）数轴上表示整数的点称为整点．某数轴的单位长度是，若在这个数轴上任意画出一条长的线段，则线段盖住的整点的个数是 ． 3．（24-25七年级上·全国·随堂练习）定义：数轴上表示整数的点称为整点．在数轴上随意画出一条长为2020的线段． (1)某数轴的单位长度是1，求盖住的整点的个数； (2)若将数轴的单位长度改为2，求盖住的整点的个数． 【经典例题八 关于数轴的说法正误判断问题】 【例8】（24-25七年级上·全国·课后作业）下列说法错误的是（   ） A．所有的有理数都可以用数轴上的点表示 B．数轴上的原点表示0 C．数轴上的点不能表示分数 D．数轴上表示的点在原点左边 1．（24-25七年级上·北京顺义·期末）在数轴上从左到右有三点，其中，如图所示．设点所对应数的和是，则下列说法错误的是（　　） A．若以点为原点，则的值是4 B．若以点为原点，则的值是1 C．若以点为原点，则的值是 D．若以的中点为原点，则的值是 2．（24-25七年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）下列说法中，①数轴上的点只能表示整数；②数轴是一条线段；③数轴上的一个点只能表示一个数；④数轴也可以箭头竖直向上画；⑤数轴上找不到既不表示正数，又不表示负数的点；⑥数轴上的点所表示的数都是有理数．正确的有 个． 3．（24-25七年级上·广东佛山·阶段练习）下列说法中，正确的是（    ） ①在3和4之间没有数； ②在0和之间没有负数； ③在9和10之间有无数个正数； ④数轴上，在表示和的两点之间的整数有6个． A．③ B．④ C．①②③ D．③④ 【经典例题九 数轴上的翻折问题】 【例9】（24-25七年级上·陕西西安·阶段练习）长方形纸片上有一数轴，剪下个单位长度（从到）的一条线段，并把这条线段沿某点折叠，然后在重叠部分某处剪一刀得到三条线段（如图所示）．若这三条线段的长度之比为，则折痕处对应的点所表示的数可能是 1．（24-25七年级上·浙江杭州·期末）根据下面给出的数轴，解答下面的问题： （1）请你根据图中A、B（在，的正中间）两点的位置，分别写出它们所表示的有理数A： ，B： ； （2）若这条数轴可以折叠，那么折叠后A点与表示的点重合，则B点与数 表示的点重合； （3）若数轴上M，N两点之间的距离为9（M在N的左侧），且M、N两点经过（2）中折叠后重合，则M、N两点表示的数分别是：M： ，N： ． 2．（24-25七年级上·重庆·阶段练习）【操作探究】已知在纸面上有一数轴（如图所示）． 【操作一】 （1）折叠纸面，使表示1的点与表示的点重合，则表示的点与表示______的点重合； 【操作二】 （2）折叠纸面，使表示的点与表示3的点重合，那么表示5的点与表示______的点重合，此时若数轴上两点（在的左侧）之间的距离为9，且两点经折叠后重合，则，两点表示的数分别是多少？ 3．（24-25七年级上·福建厦门·期中）数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和点建立起一一对应的关系，揭示了代数与几何之间的内在联系，它是“数形结合”的基础，小安在一张长方形纸条上画了一条数轴，然后进行了实践探究： (1)折叠纸条，使表示1的点与表示的点重合，则表示的点与表示___________的点重合． (2)在数轴上A，B两点之间的距离为2024（点A在点B的左侧），折叠纸条，使表示6的点与表示的点重合．此时A，B两点也重合，则点A表示的数是___________． (3)定义：P，Q为数轴上任意两点，若折叠纸条使点P，Q重合，折痕与数轴的交点为点M，则称点M为点P和点Q的“叠点”． 点C，D，O在数轴上，点C是数轴上最大的负整数点，点O是原点，点D在点O的右侧且到点O的距离是7．折叠纸条使点C和点D重合，点E是点C和点D的“叠点”．若存在点F在点C与点D之间，且其在数轴上对应的数为m，．求点F到“叠点”E的距离． 【经典例题十 根据点所在数轴的位置判断式子的正负】 【例10】（24-25七年级上·山西晋中·期中）有理数a，b在数轴上对应的位置如图所示，则下列结论成立的是（   ） A． B． C． D． 1．（2024九年级下·浙江·专题练习）实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，比较大小： 0．（填“”“”或“”） 2．（23-24七年级上·浙江湖州·期末）如图，数轴上A，B两点所表示的数分别为a，b，下列各式中：①；②；③；④．其中正确式子的序号是 ． 3．（23-24七年级上·湖南衡阳·阶段练习）有理数在数轴上的位置如图．    (1)把这七个数用“”连起来； (2)判断正负，用“”或“”填空：_______________________0． 【拓展训练一 数轴上两点之间的距离综合】 【例1】（24-25七年级上·吉林·期中）阅读材料：点，在数轴上对应的数分别为，，当点在点的左侧时，我们把数轴上，两点之间的距离表示为．如可以表示为3与1两数在数轴上所对应的两点之间的距离． 探索： 若点，在数轴上对应的数分别为，6． (1)，两点之间的距离是________； (2)点以每秒2个单位长度沿数轴向左运动，点对应的数为________（用含的代数式表示）；2秒后，两点间距离为______； (3)点以每秒2个单位长度沿数轴向左运动，点以每秒3个单位长度同时沿数轴向右运动，求秒后，两点间距离．（用含的代数式表示） 1．（24-25七年级上·广东汕头·期中）如图1，点A，B，C是数轴上从左到右排列的三个点，分别对应的数为，b，2．某同学将刻度尺按如图2所示的方式放置，使刻度尺上的数字0对齐数轴上的点A，发现点B对齐刻度，点C对齐刻度． (1)在图1的数轴上，____________个单位长度，点B所对应的数b为____________；数轴上的一个单位长度对应刻度尺上的____________． (2)若Q是数轴上一点，且满足，通过计算，求点Q所对应的数． 2．（24-25六年级上·山东泰安·期中）如图，在数轴上，点表示的数是20，点表示的数为60，点是数轴上的动点．点沿数轴的负方向运动，在运动过程中，当线段和的大小关系满足时，求点表示的是哪个数． 3．（24-25七年级上·河南开封·阶段练习）数轴上线段的长度可以用线段右端点表示的数减去线段的左端点表示的数得到，如图，线段，线段，线段． (1)数轴上点、表示的数分别为和1，则线段_________． (2)数轴上点表示的数为，线段，那么点表示的数为_________． (3)数轴上的两个点、之间的距离为6，如果点到原点的距离为4，点表示的数为，求的值． 【拓展训练二 数轴上点运动规律探究】 【例2】（24-25七年级上·河南洛阳·阶段练习）一个电子跳蚤在一条数轴上从原点开始，第一次向右跳1个单位长度，紧接着第二次向左跳2个单位长度，第三次向右跳3个单位长度，第四次向左跳4个单位长度…以此规律跳下去，当它跳第100次落下时，落点处距离原点（    ）个单位长度． A．0 B．100 C．50 D．－50 1．（24-25七年级上·湖北武汉·期末）如图，在数轴上，点表示数现将点沿数轴作如下移动，第一次将点向左移动个单位长度到达点，第二次将点向右移动个单位长度到达点，第三次将点向左移动个单位长度到达点，…，按照这种移动规律进行下去，第次移动到点，那么点所表示的数为（　　　） A． B． C． D． 2．（2024·河北·一模）如图，在数轴上，点表示，现将点沿数轴做如下移动：第一次将点向左移动个单位长度到达点，第次将点向右平移个单位长度到达点，第次将点向左移动个单位长度到达点则第次移动到点时，点在数轴上对应的实数是 ；按照这种规律移动下去，至少移动 次后该点到原点的距离不小于． 3．（24-25七年级上·江苏扬州·阶段练习）一个小球落在数轴上的某点，第一次从点向左跳1个单位长度到点，第二次从点向右跳2个单位长度到点，第三次从点向左跳3个单位长度到点，第四次从点向右跳4个单位长度到点，...，按以上规律跳了100次时，它落在数轴上的点所表示的数恰好是2018，则这个小球的初始位置点所表示的数是 ． 【拓展训练三 数轴上的双动点问题】 【例3】（23-24七年级上·全国·期末）如图，O是数轴的原点，A、B是数轴上的两个点，A点对应的数是，B点对应的数是8，C是线段上一点，满足． (1)求C点对应的数； (2)动点M从A点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，当点M到达C点后停留2秒钟，然后继续按原速沿数轴向右匀速运动到B点后停止．在点M从A点出发的同时，动点N从B点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴匀速向左运动，一直运动到A点后停止．设点N的运动时间为t秒． ①当时，求t的值； ②在点M，N出发的同时，点P从C点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，当点P与点M相遇后，点P立即掉头按原速沿数轴向右匀速运动，当点P与点N相遇后，点P又立即掉头按原速沿数轴向左匀速运动到A点后停止．当时，请直接写出t的值． 1．（24-25七年级上·吉林松原·期末）如图，已知数轴上点表示的数为，点与点距离个单位，且在点的左边，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒． (1)数轴上点表示的数为___________，点表示的数为___________（用含的式子表示）； (2)动点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点，同时出发． ①求点运动多少秒追上点？ ②求点运动多少秒时与点相距个单位？并求出此时点表示的数． 2．（24-25七年级上·江西南昌·期中）如图，记数轴上A、B两点之间线段长为，（单位长度），（单位长度），在数轴上，点A在数轴上表示的数是，点D在数轴上表示的数是15． (1)点B在数轴上表示的数是_____，点C在数轴上表示的数是_____，线段BC的长＝_____． (2)若线段以1个单位长度/秒的速度向右匀速运动，同时线段以2个单位长度/秒的速度向左匀速运动，当点B与C重合时，点B与点C在数轴上表示的数是多少？ (3)若线段以1个单位长度/秒的速度向左匀速运动，同时线段以2个单位长度/秒的速度也向左匀速运动，设运动时间为t秒，当时，M为中点，N为中点． ①若数轴上两个数为a、b，则它们的中点可表示为．则点M表示的数为_____，点N表示的数为______．（用代数式表示） ②线段MN的长是否为定值，如果是，请求出这个值；如果不是，请说明理由． 3．（24-25七年级上·广东广州·期末）如图，在数轴上点A表示的数为﹣6，点B表示的数为10，点M、N分别从原点O、点B同时出发，都向左运动，点M的速度是每秒1个单位长度，点N的速度是每秒3个单位长度，运动时间为t秒． （1）求点M、点N分别所对应的数（用含t的式子表示）； （2）若点M、点N均位于点A右侧，且AN＝2AM，求运动时间t； （3）若点P为线段AM的中点，点Q为线段BN的中点，点M、N在整个运动过程中，当PQ+AM＝17时，求运动时间t． 【拓展训练四 数轴上的多动点问题】 【例4】（24-25七年级下·全国·假期作业）已知数轴上两点A、B对应的数分别为、3，点P为数轴上一动点，其对应的数为x． (1)若点P到点A，点B的距离相等，求点P对应的数； (2)数轴上是否存在点P，使点P到点A、点B的距离之和为6？若存在，请求出x的值；若不存在，说明理由； (3)点A、点B分别以2个单位长度/分、1个单位长度/分的速度向右运动，同时点P以6个单位长度/分的速度从O点向左运动．当遇到A时，点P立即以同样的速度向右运动，并不停地往返于点A与点B之间，求当点A与点B重合时，点P所经过的总路程是多少？ 1．（24-25七年级上·四川绵阳·阶段练习）已知数轴上A、B两点对应的数分别为和4，P为数轴上一点，对应数为x． (1)请直接写出P所表示的数，使P到A点、B点距离的和为10． (2)若点A、点B和点P（点P在原点）同时向左运动，他们的速度分别为每秒1、2、1个（单位长度/秒）． ①几秒中后点P为线段的中点？并求出此时x的值； ②是否存在点P，使得点P为线段的三等分点，若存在请求出x的值；若不存在，请说明理由． 2．（24-25七年级上·湖南衡阳·期中）已知多项式的常数项是a，次数是在数轴上分别表示的点是（如图），点A与点B之间的距离记作． (1)求的值； (2)求的长； (3)动点P从数1对应的点开始向右运动，速度为每秒1个单位长度．同时点A，B在数轴上运动，点A，B的速度分别为每秒2个单位长度，每秒3个单位长度，运动时间为t秒．若点A向右运动，点B向左运动，，求t的值． 3．（24-25七年级上·广东广州·期中）如图，若点A在数轴上对应的数为a，点B在数轴上对应的数为b，且a，b满足|a＋2|＋（b﹣1）2＝0，点A与点B之间的距离表示为AB＝|a﹣b|． （1）求AB的长； （2）若点C在数轴上对应的数为，在数轴上是否存在点P，使得PA＋PB＝PC？若存在，求出点P对应的数；若不存在，说明理由； （3）在（1）、（2）的条件下，点A，B，C开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和C分别以每秒4单位长度和9个单位长度的速度向右运动，经过t秒后，请问：AB﹣BC的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其常数值． 【拓展训练五 有关数轴的新定义问题】 【例5】（24-25七年级上·江苏淮安·期中）定义：若，，为数轴上三点，若点到点的距离是点到点的距离倍，我们就称点是【，】的美好点．若规定、两点之间的距离为，即当时，我们称点是【，】的美好点． 例如：如图，点表示的数为，点表示的数为．表示的点到点的距离是，到点的距离是，那么点是【，】的美好点；又如，表示的点到点的距离是，到点的距离是，那么点就不是【，】的美好点，但点是【，】的美好点． 如图2，，为数轴上两点，点所表示的数为，点所表示的数为． (1)点，，表示的数分别是，，，其中是【，】美好点的是；写出【，】美好点所表示的数是______． (2)现有一只电子蚂蚁从点开始出发，以个单位每秒的速度向左运动．请你写出当为何值时，，和中恰有一个点为其余两点的美好点？ 1．（23-24七年级上·福建三明·阶段练习）数轴上有A，B，C 三点，给出如下定义：若其中一个点与其它两个点的距离恰好满足2倍的数量关系，则称该点是其它两个点的“关联点”. 例：如图1所示，数轴上点A，B，C 所表示的数分别为1，3，4，因为，所以称点B 是点A，C的“关联点”．                               图1 (1)如图2所示，点A表示数，点B 表示数1，下列各数2，4，6所对应的点分别是C1，C2，C3其中是点A，B  的“关联点”的是 ;                                        图2 (2)如图3所示，点A 表示数，点B 表示数15，P 为数轴上一个动点： ①若点P 在点B 的左侧，且P 是点A，B  的“关联点”，求此时点P 表示的数； ②若点P 在点B 的右侧，点P，A，B   中，有一个点恰好是其它两个点的“关联点”， 请求出此时点P 表示的数.                              图3 2．（24-25七年级上·江苏·期末）对于数轴上的点M，线段AB，给出如下定义：P为线段AB上任意一点，如果M，P两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为点M，线段AB的“近距”，记作d1（点M，线段AB）；如果M，P两点间的距离有最大值，那么称这个最大值为点M，线段AB的“远距”，记作d2（点M，线段AB），特别的，若点M与点P重合，则M，P两点间距离为0，已知点A表示的数为﹣2，点B表示的数为3．如图，若点C表示的数为5，则d1（点C，线段AB）＝2，d2（点C，线段AB）＝7． (1)若点D表示的数为﹣3，则d1（点D，线段AB）＝　 　，d2（点D，线段AB）＝　 　； (2)若点E表示数为x，点F表示数为x+1．d2（点F，线段AB）是d1（点E，线段AB）的3倍．求x的值． 3．（24-25七年级上·北京朝阳·期末）在数轴上，点表示的数为1，点表示的数为3，对于数轴上的图形，给出如下定义：为图形上任意一点，为线段上任意一点，如果线段的长度有最小值，那么称这个最小值为图形关于线段的极小距离，记作，线段；如果线段的长度有最大值，那么称这个最大值为图形关于线段的极大距离，记作，线段． 例如：点表示的数为4，则点，线段点，线段．    已知点为数轴原点，点为数轴上的动点． (1)（点，线段)=_________，（点，线段）_________； (2)若点表示的数，点表示数(线段，线段，求的值； (3)点C从原点出发，以每秒2个单位长度沿轴正方向匀速运动，点从表示数的点出发，第1秒以每秒2个单位长度沿轴正方向匀速运动，第2秒以每秒4个单位长度沿轴负方向匀速运动，第3秒以每秒6个单位长度沿轴正方向匀速运动，第4秒以每秒8个单位长度沿轴负方向匀速运动，……，按此规律运动，两点同时出发，设运动的时间为秒，若(线段，线段)小于或等于6，直接写出的取值范围（可以等于0）． 1．（24-25七年级上·广东江门·阶段练习）如图，数轴上被墨水遮盖的数可能为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·甘肃武威·期中）如图，在数轴上，点A、B分别表示a、b，且．若，则点B表示的数为（   ） A． B． C．0 D．3 3．（24-25七年级上·福建莆田·期中）以下是四位同学画的数轴，其中正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级上·广东广州·期末）如图，数轴上表示有理数3的点是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25七年级上·河南周口·期末）在数轴上点，点分别表示数是、6，则数轴上到点、点距离相等的点表示的数为（   ） A．0 B． C．2 D． 6．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）数轴上表示整数的点称为整点，某数轴的单位长度是1厘米，若在这条数轴上随意画出一条长2024厘米的线段，则线段盖住的整点个数是（   ） A．2020或2021 B．2021或2022 C．2022或2023 D．2024或2025 7．（23-24七年级上·浙江宁波·期中）如图所示，圆的周长为4个单位长度，在圆的4等分点处标上字母，，，，先将圆周上的字母对应的点与数轴上的数字1所对应的点重合，若将圆沿着数轴向左滚动，那么数轴上的所对应的点将与圆周上字母（   ）所对应的点重合． A． B． C． D． 8．（24-25七年级上·浙江宁波·期末）已知点、在数轴上对应的数为和，点对应的数为．点关于点的对称点为，点为线段的中点，当时，的值为（   ） A．或11 B．或29 C．29 D．11 9．（2025七年级上·浙江·专题练习）观察如图，如果点D表示25，则点B表示( )；如果点C表示，则点A表示( )． 10．（24-25七年级上·吉林·期中）如图，数轴上点A所表示的数是 ． 11．（24-25九年级下·福建泉州·期中）如图，A，B，C是数轴上的三个点，点C在点B的右侧，点A，B表示的数分别是1，3，若，则点C表示的数是 ． 12．（24-25七年级上·福建福州·期中）已知是数轴上的一个点，把向左移动4个单位后，这时它到原点的距离是5个单位，则点表示的数是 ． 13．（24-25七年级上·福建福州·期末）如图，点，在数轴上的位置如图所示，为原点，点在数轴上所表示的数为，，点为线段的中点，则点在数轴上所表示的数为 ． 14．（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）在数轴上有一个动点从原点出发，以每秒1个单位长度的速度在数轴上运动，若点的运动规律是先向右运动1个单位长度，再向左运动2个单位长度，再向右运动3个单位长度，再向左运动4个单位长度，以此类推，每次运动单位长度依次递增，第113秒时，点在数轴上所对应的数是 ． 15．（24-25六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）用直线上的点表示下面各数，并将这些数按照从小到大的顺序排列． ；1.5；； ______<______<______<______ 16．（24-25七年级上·陕西咸阳·期中）如图，数轴上从左到右依次有点A、B、C、D，其中点C为原点，点A、B、D所对应的数分别为、、1． (1)请在图中标出点B、C的位置； (2)一个点从点A出发，向左移动5个单位长度到达点E，求点E对应的数． 17．（24-25七年级上·河北邯郸·期中）如图，图中数轴的单位长度为1．请回答下列问题： (1)如果点表示的数互为相反数，那么点表示的数是多少？ (2)如果点表示的数互为相反数．那么点表示的数是多少？ 18．（24-25七年级上·河北秦皇岛·期末）一点从数轴上表示的点A开始移动，第一次先向左移动1个单位，再向右移动2个单位到达点；第二次从点先向左移动3个单位，再向右移动4个单位到达点C；第三次从点C先向左移动5个单位，再向右移动6个单位… (1)第一次移动后这个点在数轴上表示的数为 ；点与点间的距离为 ． (2)第二次移动后这个点在数轴上表示的数为 ；点A与点C间的距离为 ． (3)若第n次移动后到达N点则这个点在数轴上表示的数为 ；点与点间的距离为 ． (4)若第次移动后这个点在数轴上表示的数为78，求m的值． 19．（24-25七年级下·全国·假期作业）如图，以1厘米为1个单位长度用直尺画数轴时，数轴上的点A，B；C刚好对应着直尺上的刻度2，刻度8和刻度10．设点A，B，C所表示的数的和是m，该数轴的原点为O，向右为正方向． (1)若点A所表示的数是，则点所表示的数是_______； (2)若点A，C所表示的数互为相反数，则该数轴的原点O对应直尺上的刻度为_______； (3)若点B，O之间的距离为4，求m的值． 20．（24-25七年级上·广东江门·阶段练习）如图，数轴上，两点对应的有理数分别为和，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴负方向运动，点同时从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴正方向运动，设运动时间为秒． (1)当时，数轴上的点、表示的数分别是______和______； (2)当时，求、两点间的距离； (3)在运动过程中是否存在时间使、两点间的距离与、两点间的距离相等，若存在，请求出此时t的值，若不存在，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $$