专题01 不等式恒成立、有解问题大题（35题）（举一反三专项训练）高一数学苏教版必修第一册

专题01 不等式恒成立、有解问题大题（35题）（举一反三专项训练） 【苏教版（2019）】 姓名：___________班级：___________考号：___________ 题型一 基本不等式的恒成立问题 1．（24-25高一上·广东深圳·期中）已知满足. (1)求的最小值； (2)若恒成立，求的取值范围. 2．（24-25高一上·四川南充·期末）（1）已知a，b，c，d都是正实数，证明：； （2）已知x，y是正实数，，若恒成立，求实数m的取值范围． 3．（24-25高一上·广东深圳·期中）求下列代数式的最值： (1)已知，求的最小值； (2)已知，，且满足.求的最小值； (3)当时，不等式恒成立，求实数的最大值. 4．（24-25高一上·辽宁·阶段练习）已知，. (1)若，证明：； (2)若，求的最小值； (3)若恒成立，求x的取值范围. 5．（24-25高一上·四川达州·阶段练习）已知正数，满足. (1)求的最小值； (2)若恒成立，求实数的取值范围. 6．（24-25高一上·河南信阳·期中）已知，都是正数，且． (1)求的最小值及此时x，y的取值； (2)不等式恒成立，求实数m的取值范围． 7．（24-25高一上·湖北武汉·期中）已知x，y都是正数，且． (1)求的最小值； (2)已知不等式恒成立，求实数的取值范围． 题型二 一元二次不等式在实数集上恒成立问题 8．（24-25高一上·内蒙古包头·期末）已知关于的不等式. (1)若不等式恒成立，求实数的取值范围. (2)在（1）的条件下，解关于的不等式. 9．（24-25高一上·云南昆明·期末）已知． (1)若对恒成立，求的取值范围； (2)解关于的不等式：． 10．（24-25高一上·辽宁大连·阶段练习）已知关于的不等式. (1)若不等式的解集为或，求的值. (2)关于的不等式恒成立，求的取值范围. 11．（24-25高一上·江苏盐城·阶段练习）已知函数． (1)当时，求不等式的解集； (2)若不等式的解集为，求的取值范围； (3)对任意的，不等式恒成立，求的取值范围． 12．（24-25高一上·青海西宁·阶段练习）设． (1)若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围； (2)解关于的不等式． 13．（24-25高一上·河南商丘·期中）已知函数. (1)若的解集是或，求实数的值； (2)若，恒成立，求实数的取值范围； 14．（24-25高一上·广东深圳·期中）已知函数，满足 (1)求函数的解析式； (2)求不等式的解集； (3)对于，不等式恒成立，求实数的取值范围. 题型三 一元二次不等式在某区间上的恒成立问题 15．（24-25高一上·甘肃兰州·阶段练习）已知关于的函数. (1)当时，求不等式的解集； (2)若对任意的恒成立，求实数的最大值. 16．（2025高三·全国·专题练习）若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围. 17．（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知二次函数. (1)若时，不等式恒成立，求实数a的取值范围； (2)求解关于x的不等式的解集（其中）. 18．（24-25高一上·福建福州·期中）已知关于x的不等式． (1)当时，不等式恒成立，求实数a的取值范围； (2)当时，解关于x的不等式． 19．（24-25高一上·河南·期中）已知函数的图象与轴相交于点和，与轴相交于点. (1)求的解析式； (2)若当时，恒成立，求实数的取值范围. 20．（24-25高一上·广东广州·期中）设函数. (1)对，恒成立，求的取值范围. (2)解不等式. 21．（24-25高一上·北京·期中）已知二次函数的最小值为1，且． (1)求的解析式； (2)解关于的不等式：，其中； (3)当时，恒成立，试确定实数的取值范围． 题型四 一元二次不等式在某区间上有解问题 22．（24-25高一上·海南·阶段练习）已知函数． (1)若，求不等式的解集； (2)若，关于的不等式有实数解，求实数的取值范围． 23．（24-25高一上·福建福州·阶段练习）设． (1)当时，解关于x的不等式； (2)当时，解关于x的不等式； (3)若关于x的不等式在时有解，求实数a的取值范围． 24．（24-25高一上·福建福州·阶段练习）已知函数． (1)当时，解关于的不等式； (2)若，解关于的不等式； (3)若不等式在上有解，求实数的取值范围． 25．（24-25高一上·广西南宁·阶段练习）已知函数. (1)当时，解关于的不等式； (2)若存在，使得不等式成立，求实数的取值范围. 26．（24-25高一上·浙江宁波·阶段练习）设函数. (1)若命题：是假命题，求的取值范围； (2)若存在，使得成立，求实数的取值范围. 27．（24-25高二下·江苏常州·阶段练习）已知函数． (1)若，解关于的不等式； (2)若不等式在上有解，求实数的取值范围． 28．（24-25高一上·山东济南·阶段练习）已知函数. (1)若不等式的解集为，求实数的值； (2)当时， （i）解关于x的不等式； （i）若存在 ，使得，求实数a的取值范围. 题型五 一元二次不等式恒成立、有解问题综合 29．（24-25高一上·辽宁大连·阶段练习）（1）已知时，不等式恒成立，求的取值范围. （2）已知存在，使不等式成立，求的取值范围. 30．（24-25高一上·四川德阳·阶段练习）已知函数. (1)若不等式的解集为，求实数a的取值范围； (2)解关于的不等式； (3)，使得不等式有解，求实数的取值范围. 31．（24-25高一上·江西吉安·阶段练习）设二次函数. (1)若对任意实数，恒成立，求实数的取值范围； (2)若存在，使得函数值成立，求实数的取值范围. 32．（24-25高一上·全国·课后作业）已知函数，，. (1)若，，求实数的取值范围； (2)若，，求实数的取值范围； (3)若，或，求实数的取值范围. 33．（24-25高三上·贵州贵阳·阶段练习）已知关于的不等式的解集为． (1)求实数的值； (2)，都有，求实数的取值范围 (3)若存在实数，使不等式成立，求实数的取值范围． 34．（24-25高一上·河北张家口·阶段练习）已知函数，． (1)当时，解不等式； (2)若对任意，都有成立，求实数的取值范围； (3)若对，，使得不等式成立，求实数的取值范围． 35．（24-25高一上·山东青岛·阶段练习）已知不等式． (1)若，使不等式恒成立，求的取值范围； (2)若，使不等式能成立，求的取值范围； (3)是否存在实数，使不等式对恒成立．若存在，求出取值范围；若不存在，请说明理由． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 不等式恒成立、有解问题大题（35题）（举一反三专项训练） 【苏教版（2019）】 姓名：___________班级：___________考号：___________ 题型一 基本不等式的恒成立问题 1．（24-25高一上·广东深圳·期中）已知满足. (1)求的最小值； (2)若恒成立，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）变形后，利用基本不等式“1”的代换求出最小值； （2）先求出，参变分离得到，变形得到，利用基本不等式求出取得最小值，则， 【解答过程】（1） ， 当且仅当，即时取等号， 即取得最小值. （2）由，得，即， 不等式恒成立，即恒成立， ， 当且仅当，即时取等号， 因此当时，取得最小值，则， 所以的取值范围. 2．（24-25高一上·四川南充·期末）（1）已知a，b，c，d都是正实数，证明：； （2）已知x，y是正实数，，若恒成立，求实数m的取值范围． 【答案】（1）证明见解析 ；（2） ． 【解题思路】（1）法1：应用作差法比较大小即可证；法2：将不等式左侧展开并结合基本不等式证明结论即可； （2）问题化为，应用“1”的代换及基本不等式求左式最小值，可得，再解不等式求参数范围. 【解答过程】（1）方法1： ， ∴； 方法2：∵，，， ∴ ，当且仅当时，等号成立， 故. （2）由恒成立，知， ∵，，， ∴ ， 当且仅当，即时，等号成立，即， ∴，解得或， 故m的取值范围为. 3．（24-25高一上·广东深圳·期中）求下列代数式的最值： (1)已知，求的最小值； (2)已知，，且满足.求的最小值； (3)当时，不等式恒成立，求实数的最大值. 【答案】(1)最小值为5 (2)最小值为18 (3)最大值为9. 【解题思路】（1）利用基本不等式求最值； （2）利用基本不等式“1”的妙用求最小值； （3）将恒成立问题转化为的最值问题，然后利用基本不等式求最值即可. 【解答过程】（1）因为，则，由基本不等式得， ， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为5. （2）因为，， 所以， 当且仅当，即，时等号成立， 故的最小值为18. （3）不等式恒成立化为恒成立， 又因为，所以，因此 , 当且仅当，即时，等号成立， 所以， 即实数的最大值为9. 4．（24-25高一上·辽宁·阶段练习）已知，. (1)若，证明：； (2)若，求的最小值； (3)若恒成立，求x的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【解题思路】（1）利用基本不等式即可证明； （2）根据给定条件，利用基本不等式及“1”的妙用求出最值即可； （3）不等式可化为恒成立，求出最小值，再借助恒成立求解即得. 【解答过程】（1）因为，，所以， 则，故， 当且仅当，即，时取等号. （2）因为，所以，则， 则 ， 当且仅当，即时取得等号， 故的最小值为. （3）因为，，所以， 则可化为恒成立， 又，当且仅当时取得等号， 所以， 则， 故的取值范围为. 5．（24-25高一上·四川达州·阶段练习）已知正数，满足. (1)求的最小值； (2)若恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)25 (2) 【解题思路】（1）由已知等量关系化简代数值并转化“1”，然后利用基本不等式解得最小值； （2）不等式恒成立等价于求最值问题，先利用等量代换和基本不等式求出左边最小值，再解不等式即可得出范围. 【解答过程】（1）∵， ∴，，， ∴， 当且仅当，即，时取“=”， 所以的最小值为25. （2）∵，∴， ∴， ∵且，∴， ∴，当且仅当，即时取“=”， ∴， ∴恒成立，即，解得 ， 所以实数的取值范围为. 6．（24-25高一上·河南信阳·期中）已知，都是正数，且． (1)求的最小值及此时x，y的取值； (2)不等式恒成立，求实数m的取值范围． 【答案】(1)时，的最小值为9 (2) 【解题思路】（1）利用乘“1”法及基本不等式计算可得； （2）依题意可得，参变分离可得恒成立，利用基本不等式求出的最小值，即可得解. 【解答过程】（1）因为，都是正数，且， 所以， 当且仅当，即时取等号，此时的最小值为． （2）由，得， 故， 又， 当且仅当，即，时等号成立，取得最小值， 故的取值范围为． 7．（24-25高一上·湖北武汉·期中）已知x，y都是正数，且． (1)求的最小值； (2)已知不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)9 (2)． 【解题思路】（1）应用基本不等式“1”的代换求目标式的最小值，并确定取值条件. （2）将问题化为恒成立，利用基本不等式求右侧的最小值，即可得参数范围. 【解答过程】（1）， 当且仅当即时取等号，此时的最小值为9． （2）解法一：由题意知的最小值． 因为，，所以 ， 当且仅当，即，时，等号成立． 所以． 解法二：由，得，又恒成立， 所以的最小值，因为 ， 当且仅当，且，即，时等号成立．所以． 题型二 一元二次不等式在实数集上恒成立问题 8．（24-25高一上·内蒙古包头·期末）已知关于的不等式. (1)若不等式恒成立，求实数的取值范围. (2)在（1）的条件下，解关于的不等式. 【答案】(1)； (2). 【解题思路】（1）根据给定条件，按或分类讨论，列式求出的取值范围. （2）根据（1）中的取值范围可得到不等式对应方程的根的大小，进而求出不等式的解集. 【解答过程】（1）关于的不等式恒成立， 则当时，原不等式为恒成立； 当时，，解得， 所以的取值范围为. （2）不等式化为， 由（1）知，，则，解得， 所以原不等式的解集为. 9．（24-25高一上·云南昆明·期末）已知． (1)若对恒成立，求的取值范围； (2)解关于的不等式：． 【答案】(1) (2)答案见解析 【解题思路】（1）二次不等式恒成立，由判别式不大于0可得参数范围； （2）根据相应方程两根的大小分类讨论可得． 【解答过程】（1）对恒成立， 即恒成立， 所以， 整理得，解得， 所以的取值范围是． （2），即， 即，即， 当，即时解得； 当，即时解得或； 当，即时解得或． 综上，时，原不等式的解集为；时，原不等式的解集为；时，原不等式的解集为． 10．（24-25高一上·辽宁大连·阶段练习）已知关于的不等式. (1)若不等式的解集为或，求的值. (2)关于的不等式恒成立，求的取值范围. 【答案】(1) (2). 【解题思路】（1）利用韦达定理即可求解； （2）利用二次项系数为负，且判别式小于0列不等式求解即可. 【解答过程】（1）若不等式的解集为或， 则和是方程的两个实数根； 由韦达定理可知：， 解得. （2）关于的不等式恒成立， 则有且， 解得：. 11．（24-25高一上·江苏盐城·阶段练习）已知函数． (1)当时，求不等式的解集； (2)若不等式的解集为，求的取值范围； (3)对任意的，不等式恒成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）利用解不含参的一元二次不等式解法求解，即可； （2）对参数进行分类讨论，并结合一元二次函数性质即可求解； （3）转化为时，恒成立，分离参数，利用基本不等式求最值求解的取值范围． 【解答过程】（1）当时，， 由得，解集为． （2）当时，由，得到，所以，不合题意， 当时，不等式的解集为， 得，解得， 所以实数的取值范围为， （3）由不等式，得， 恒成立， ， 设，，则， ， ，当且仅当，即时取等号， 当时，， ． 12．（24-25高一上·青海西宁·阶段练习）设． (1)若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围； (2)解关于的不等式． 【答案】(1) (2)答案见解析 【解题思路】（1）由题意可知，不等式对一切实数恒成立，分、两种情况讨论，在时，直接检验即可；在时，根据二次不等式恒成立可得出关于的不等组，综合可得出实数的取值范围； （2）将原不等式变形为，对实数的取值进行分类讨论，利用二次不等式和一次不等式的解法可得出原不等式的解集. 【解答过程】（1）由题意可得对一切实数恒成立， 即不等式对一切实数恒成立， 当时，则有，不合乎题意， 当时，则有，解得. 综上所述，实数的取值范围是. （2）由，可得， 可化为. （i）当时，原不等式即为，解得， （ii）当时，原不等式可化为， 当时，即当时，原不等式即为，解得； 当时，即当时，解原不等式可得或； 当时，即当时，解原不等式可得或. 综上所述，当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. 13．（24-25高一上·河南商丘·期中）已知函数. (1)若的解集是或，求实数的值； (2)若，恒成立，求实数的取值范围； 【答案】(1). (2). 【解题思路】（1）根据一元二次不等式的解以及根与系数关系求得的值. （2）对进行分类讨论，结合判别式来求得正确答案. 【解答过程】（1）依题意，的解集是或， 所以，解得. （2）若恒成立，则恒成立. 当时，不恒成立； 当时，，解得：. 所以实数的取值范围为. 14．（24-25高一上·广东深圳·期中）已知函数，满足 (1)求函数的解析式； (2)求不等式的解集； (3)对于，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)或 (3) 【解题思路】（1）将已知条件代入求出即可求解； （2）由（1）可知，则解不等式即可求解； （3）将不等式转化为恒成立，因为开口向上，根据即可求解. 【解答过程】（1）由函数，满足， ，解得， 故函数的解析式为：. （2）由（1）知，即不等式转化为， 则， 所以不等式的解集或. （3）不等式转化为恒成立， 因为开口向上， 可得，解之可得， 所以实数的取值范围是. 题型三 一元二次不等式在某区间上的恒成立问题 15．（24-25高一上·甘肃兰州·阶段练习）已知关于的函数. (1)当时，求不等式的解集； (2)若对任意的恒成立，求实数的最大值. 【答案】(1)或 (2) 【解题思路】（1）根据一元二次不等式的求解即可得答案， （2）分离参数，即可根据基本不等式求解最值得解. 【解答过程】（1）当时，，故， 解得或， 故不等式的解为或 （2）由题意可知对任意的恒成立， 故对任意的恒成立， 由于，当且仅当时取等号， 故，因此最大值为. 16．（2025高三·全国·专题练习）若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围. 【答案】 【解题思路】由参变量分离法可得对任意恒成立，利用基本不等式求出函数在上的最小值，即可求得实数的取值范围. 【解答过程】不等式对任意的恒成立， 等价于对任意的恒成立， 记，等价于， 因为，由基本不等式可得， 当且仅当时，即当时，等号成立. 所以，，解得. 因此，实数的取值范围是. 17．（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知二次函数. (1)若时，不等式恒成立，求实数a的取值范围； (2)求解关于x的不等式的解集（其中）. 【答案】(1) (2)或 【解题思路】（1）分离参数构造函数，利用基本不等式求出最小值即得. （2）直接解一元二次不等式即可得解. 【解答过程】（1），不等式恒成立， 所以， 因为，当且仅当即时等号成立， 所以， 所以实数的取值范围是. （2）不等式， 由，得，所以不等式的解为或； 故原不等式的解集为或. 18．（24-25高一上·福建福州·期中）已知关于x的不等式． (1)当时，不等式恒成立，求实数a的取值范围； (2)当时，解关于x的不等式． 【答案】(1) (2)答案见解析 【解题思路】（1）不等式化为，求出的最小值即可； （2）不等式化为，求出不等式对应方程的根，讨论两根的大小，即可得出不等式的解集． 【解答过程】（1）不等式可化为， 当时，， 所以不等式化为，又因为，所以， 所以实数a的取值范围是； （2）不等式可化为， 因为，所以不等式对应方程的根为1和， 当时，， 所以时，不等式为，解得； 当时，，解不等式得； 当时，，解不等式得； 综上，时，解集为； 时，解集为； 时，解集为． 19．（24-25高一上·河南·期中）已知函数的图象与轴相交于点和，与轴相交于点. (1)求的解析式； (2)若当时，恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）把方程的根和已知点代入方程，解出各个系数； （2）参变分离，得到，根据恒成立问题，得到的最小值，利用基本不等式求出的最小值，即可得所求范围. 【解答过程】（1）由题意得， 解得， 所以； （2）由，整理可得 由条件知当时，恒成立. 因为，当且仅当时取等号，所以的最小值为， 因为恒成立，所以， 即实数的取值范围是. 20．（24-25高一上·广东广州·期中）设函数. (1)对，恒成立，求的取值范围. (2)解不等式. 【答案】(1)； (2)答案见解析. 【解题思路】（1）分类讨论结合分离参数法、基本不等式计算即可； （2）含参分类讨论解一元二次不等式即可. 【解答过程】（1）若，显然，符合题意； 若，则， 由，即在上恒成立， 即，， 令， 当且仅当，即时取得最小值，所以， 则的取值范围为； （2）根据题意可知， 若，则， 若， 当，即时，， 当，此时原不等式为，即， 当，此时，令， 此时不等式解集为， 若，此时，不等式解集为， 综上所述：当时，解集为R，当时，解集为， 当时，解集为， 当时，解集为. 21．（24-25高一上·北京·期中）已知二次函数的最小值为1，且． (1)求的解析式； (2)解关于的不等式：，其中； (3)当时，恒成立，试确定实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）根据题意，设，根据，求得，即可得到函数的解析式； （2）原不等式等价于，进一步确定的范围即可得解. （3）依题意可得不等式在区间上恒成立，令，结合二次函数的性质，即可求解. 【解答过程】（1）由题意，函数是二次函数，且，可得函数的对称轴为， 又由最小值为，可设， 又，即，解得， 所以函数的解析式为. （2）， 因为，所以， 所以或， 所以若，则关于的不等式：的解集为. （3）因为当时，恒成立， 即当时，恒成立， 即当时，恒成立， 设函数，， 则在区间上单调递减， ∴在区间上的最小值为， ∴， 故实数的取值范围为：. 题型四 一元二次不等式在某区间上有解问题 22．（24-25高一上·海南·阶段练习）已知函数． (1)若，求不等式的解集； (2)若，关于的不等式有实数解，求实数的取值范围． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【解题思路】（1）不等式化为，讨论和，从而求出不等式的解集； （2）不等式化为，讨论和，从而求出的取值范围即可. 【解答过程】（1）不等式即为，可化为， 由，得； 若，则不等式为，解得； 若，则，解不等式得或； 若，则，解不等式得或； 综上，时，不等式的解集为； 时，不等式的解集为或； 时，不等式的解集为或. （2）不等式可化为； 时，不等式为，不成立； 时，不等式必有实数解； 时，应满足，解得或，即； 综上，实数的取值范围是． 23．（24-25高一上·福建福州·阶段练习）设． (1)当时，解关于x的不等式； (2)当时，解关于x的不等式； (3)若关于x的不等式在时有解，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2)答案见解析 (3) 【解题思路】（1）通过解一元二次不等式来求得正确答案. （2）对进行分类讨论，结合一元二次不等式的解法来求得正确答案. （3）利用分离参数法，结合函数的单调性、最值等知识来求得的取值范围. 【解答过程】（1）当时，由，得，解得，所以不等式的解集为. （2）当时，由整理得， 即，令，解得或， 令，解得， 当，即时，原不等式的解集为或； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为或. （3）依题意，关于x的不等式在时有解， 即在时有解， 由于， 所以在区间上能成立， 由于在区间上单调递增，最小值为， 所以，所以的取值范围是. 24．（24-25高一上·福建福州·阶段练习）已知函数． (1)当时，解关于的不等式； (2)若，解关于的不等式； (3)若不等式在上有解，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)答案见解析 (3)． 【解题思路】（1）把代入，结合二次不等式的求法即可求解； （2）结合二次不等式的求法对的范围进行分类讨论即可求解； （3）结合存在性问题与最值关系的转化及基本不等式即可求解． 【解答过程】（1）当时，， 解得，故不等式的解集为； （2）由可得，，， 当时，，所以解集为； 当时，，所以解集为； 当时，，所以解集为； （3）若在上有解， 则在上有解， 故，即在上有解， 由，得， 故， 令，则， ， 当且仅当时取等号，所以． 25．（24-25高一上·广西南宁·阶段练习）已知函数. (1)当时，解关于的不等式； (2)若存在，使得不等式成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【解题思路】（1）先把二次不等式化为，然后分类讨论解不等式即可； （2）参变分离，把能成立问题转化为的最大值问题，换元后利用基本不等式求解即可. 【解答过程】（1）由. 得，所以， 若，即，上式可化为：，解得； 若，即，上式可化为：，解得； 若，即，上式可化为：， 因为，所以，所以， 所以：或. 综上可知：当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. （2）不等式，即， 所以， 因为恒成立，所以：. 问题转化为：存在，使得成立，所以， 设，令，则， 因为（当且仅当，即时取等号）， 所以，当且仅当时取等号. 所以综上可知：的取值范围为. 26．（24-25高一上·浙江宁波·阶段练习）设函数. (1)若命题：是假命题，求的取值范围； (2)若存在，使得成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据命题为真命题，求出实数的取值范围，从而可求出命题为假命题时，实数的取值范围； （2）由题意对于，使有解，分离参数得在上能成立，利用基本不等式求得即可求解的取值范围. 【解答过程】（1）若命题：是真命题，则，不等式成立， 当时，，显然不成立； 当时，函数为二次函数， 若即，则，满足题意； 若即，则，所以， 综上，或. 所以命题：是假命题时，； （2）存在，使得成立， 即对于，使有解， 即在上能成立，所以， 因为，当且仅当即时等号成立， 所以. 27．（24-25高二下·江苏常州·阶段练习）已知函数． (1)若，解关于的不等式； (2)若不等式在上有解，求实数的取值范围． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【解题思路】（1）利用因式分解法求解含参一元二次不等式即可. （2）利用分离参数法结合基本不等式求解参数范围即可. 【解答过程】（1）易得 当时，，所以解集为； 当时，，所以解集为； 当时，，所以解集为． （2）若在上有解， 则在上有解， 故，即在上有解， 由，得， 进而知，令，则， 设， 当且仅当时取等号，所以． 28．（24-25高一上·山东济南·阶段练习）已知函数. (1)若不等式的解集为，求实数的值； (2)当时， （i）解关于x的不等式； （i）若存在 ，使得，求实数a的取值范围. 【答案】(1) (2)（i）答案见解析； （i i） 【解题思路】（1）根据题意，转化为得到和是方程的两个实数根据，列出方程组，即可求解； （2）（i）由，求得，把不等式，转化为，分类讨论，即可求得不等式的解集； （i i）由（i）中不等式的解集，结合存在，使得，分类讨论，即可求解. 【解答过程】（1）解：由函数，因为不等式的解集为， 可得和是方程的两个实数根据， 则，解得. （2）解：（i）由函数， 因为，可得，即， 所以， 由不等式，即， 当时，即时，解得或； 当时，即时，即为 解得； 当时，即时，解得或， 综上可得，当时，不等式解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. （i i）由（i）知，当时，不等式解集为， 若存在，使得，则满足，解得； 当时，不等式的解集为， 此时不存在，使得； 当时，不等式的解集为， 此时不存在，使得， 综上可得，实数的取值范围为. 题型五 一元二次不等式恒成立、有解问题综合 29．（24-25高一上·辽宁大连·阶段练习）（1）已知时，不等式恒成立，求的取值范围. （2）已知存在，使不等式成立，求的取值范围. 【答案】（1）；（2） 【解题思路】（1）由题意构造函数关于a的函数 ，则可得，从而可求出的取值范围. （2）令，，依题意存在，使不等式成立，分、、三种情况讨论，求出，即可求出参数的取值范围. 【解答过程】（1）由题意，因为当，不等式恒成立， 可转化为关于的函数 ，， 则对任意恒成立， 则满足， 解得， 即的取值范围为． （2）令，， 因为存在，使不等式成立， 所以存在，使不等式成立， 函数开口向上，对称轴为， 当，即时，，解得，所以； 当，即时，，不符合题意； 当，即时，，解得或， 所以， 综上可得，即的取值范围为. 30．（24-25高一上·四川德阳·阶段练习）已知函数. (1)若不等式的解集为，求实数a的取值范围； (2)解关于的不等式； (3)，使得不等式有解，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)答案见解析 (3) 【解题思路】（1）利用一元二次不等式恒成立的解法求解即可； （2）因式分解得到，根据的不同取值范围分类讨论即可； （3）将问题转化为一元二次方程在给定区间内有解，根据的不同取值范围分类讨论即可. 【解答过程】（1）不等式的解集为，即恒成立， 当时，的解集不为； 当时，恒成立，则，解得， 所以实数a的取值范围为. （2）由题意得， 当时，解得； 当时，是开口向上的抛物线，两根分别为和， 当，即时，的解为或， 当，即时，的解为， 当，即时，的解为或； 当时，是开口向下的抛物线，两根分别为和，且， 此时的解为； 综上，当时，的解集为，当时，的解集为， 当时，的解集为，当时，的解集为， 当时，的解集为. （3）由题意整理得，使得不等式有解， 当时，解得，故使得不等式有解， 当时，是开口向上的抛物线，只需在上即可， 因为的对称轴为，此时对称轴， 所以当，即时，， 整理得，结合可得此时； 当，即时，，结合可得此时； 当时，是开口向下的抛物线， 当时,所以当时，，使得不等式有解， 综上的取值范围为. 31．（24-25高一上·江西吉安·阶段练习）设二次函数. (1)若对任意实数，恒成立，求实数的取值范围； (2)若存在，使得函数值成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）由恒成立可知在上恒成立，即可得； （2）依题意可知需满足成立即可，由基本不等式计算可得. 【解答过程】（1）对任意实数，恒成立， 即，恒成立， 即可得，所以 （2）存在，使得成立，即， 只需成立，即需成立， 因为，所以（当且仅当时等号成立）， 则，所以， 综上得实数的取值范围是. 32．（24-25高一上·全国·课后作业）已知函数，，. (1)若，，求实数的取值范围； (2)若，，求实数的取值范围； (3)若，或，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)或 (3) 【解题思路】（1）由即可求解； （2）由即可求解； （3）通过三种情况讨论即可. 【解答过程】（1）由题意可得恒成立， 则， 即， 解得. 故实数的取值范围为. （2），成立， 则， 即， 解得或. 故实数的取值范围为或. （3）①当时，由，解得或， 故当时，恒成立， 故只需当时，. 因为，所以，故实数的取值范围为； ②当时，由，解得或， 故当时，恒成立， 故只需当时，，解得. 故实数的取值范围为； ③当时，，，符合题意. 故实数的取值范围为. 由①②③可知，的取值范围是. 33．（24-25高三上·贵州贵阳·阶段练习）已知关于的不等式的解集为． (1)求实数的值； (2)，都有，求实数的取值范围 (3)若存在实数，使不等式成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)； (2)； (3). 【解题思路】（1）由题意可得是方程的两根，结合韦达定理求解即可； （2）由（1）可知，求出在上的最小值，即可得答案； （3）结合（2）求出在上的最大值，即可得答案 【解答过程】（1）由题意可得是方程的两根， 由韦达定理可得， 解得; （2）因为， 所以， 当时，则的最小值为， 所以， 所以实数的取值范围为； （3）由（2）可知当时，则的最大值为， 所以实数的取值范围为. 34．（24-25高一上·河北张家口·阶段练习）已知函数，． (1)当时，解不等式； (2)若对任意，都有成立，求实数的取值范围； (3)若对，，使得不等式成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)或； (2)； (3). 【解题思路】（1）利用十字相乘的方法解二次不等式即可； （2）利用参变分离的方法解恒成立问题，其中最值可由均值不等式求得； （3）将问题转化为，分类讨论求出，再解范围即可. 【解答过程】（1）当时，即， 所以，所以，所以或， 所以不等式的解集为或. （2）“对任意，都有恒成立”等价于“对任意，都有恒成立”， 因为时，（当且仅当时等号成立）， 所以即， 所以实数的取值范围是. （3）因为对，，使得不等式成立， 所以不等式， 因为， 所以在单调递增， 所以. 因为， 所以当，即时，在单调递增， 所以， 则成立，故； 当，即时，， 由得，所以； 当，即时，， 由得，所以. 综上所述，实数的取值范围是. 35．（24-25高一上·山东青岛·阶段练习）已知不等式． (1)若，使不等式恒成立，求的取值范围； (2)若，使不等式能成立，求的取值范围； (3)是否存在实数，使不等式对恒成立．若存在，求出取值范围；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)不存在，理由见解析 【解题思路】（1）讨论和两类情况即可； （2）将不等式化为，通过换元，借助基本不等式即可求解； （3）将不等式化为，借助一次函数单调性即可求解. 【解答过程】（1）当时，不等式为，可得，不符合题意； 将不等式化为：，由于，不等式恒成立， 所以解得：， 所以的取值范围是. （2）因为，使不等式能成立， 也即，使得成立， 令，则， 则 ， 当时取等号，所以 （3）可化为， 若不等式对恒成立，因为， 所以也即，无解， 故不存在. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$