广东省深圳大学附属中学2024-2025学年七年级下学期期末数学试卷

2024-2025学年广东省深圳大学附中七年级（下）期末数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列图案中不是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2.“厉行勤俭节约，反对铺张浪费”势在必行，最新统计数据显示中国每年浪费食物总量折合粮食大约是3010000000人一年的口粮，用科学记数法表示3010000000为（　　） A. 3.01×109 B. 0.301×109 C. 3.1×108 D. 301×107 3.下列计算正确的是（　　） A. a3•a2=a5 B. （-3a3）2=6a6 C. （a-2）2=a2-4 D. 3a2-a2=2 4.昆明市打算在某条街道新建一所中学，为了方便居民区A、B的学生上学，要使A、B两小区到学校的距离之和最小，则学校C的位置应该在（　　） A. B. C. D. 5.光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从水中射向空气时，要发生折射，由于折射率相同，所以在水中是平行的光线，在空气中也是平行的，如图，∠1+∠2=129°，∠3=102°，则∠4的度数为（　　） A. 57° B. 54° C. 52° D. 51° 6.下列事件中，是必然事件的是（　　） A. 车辆随机到达一个路口，遇到红灯 B. 同一平面内三条直线相交，交点的个数为3个 C. 掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数不超过6 D. 用长度分别为6cm；7cm；13cm的三根小木棒摆成一个三角形 7.如图，Rt△ABC中，∠B=90°，E为AB边上的一点，连接CE并延长，过点A作AD⊥CE，垂足为D，若AD=7，AB=20，BC=15.记△ADE的面积为S1，△BCE的面积为S2，则S2-S1的值为（　　） A. 56 B. 66 C. 74 D. 84 8.如图，在四边形ABCD中，∠BAD=152°，∠B=∠D=90°，在BC、CD上分别找一点M，N，使得△AMN的周长最小时，则∠AMN+∠ANM的度数为（　　） A. 55° B. 56° C. 57° D. 58° 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 9.已知a+b=3，a2+b2=6，则ab=______． 10.一个长方形的长是宽的2倍，写出这个矩形的面积S关于宽x的函数表达式______. 11.在一个不透明的口袋中，装有一些除颜色外完全相同的红、白、黑三种颜色的小球．已知袋中有红球5个，白球23个，且从袋中随机摸出一个红球的概率是，则袋中黑球的个数是______． 12.△ABC中，O是两内角平分线的交点，AC=6，BC=8，BA=10，O到AB的距离是______. 13.如图，在矩形ABCD中，CD=3，对角线AC=5，点G，H分别是线段AD，AC上的点，将△ACD沿直线GH折叠，点C，D分别落在点E，F处.当点E落在折线CAD上，且AE=1时，CH的长为______. 三、解答题：本题共7小题，共61分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 14.(本小题9分) 计算： （1）计算：； （2）先化简，再求值（x-2）2+2（x+2）（x-4）-（x-3）（x+3）；其中x=-1. 15.(本小题7分) 小明和小亮两位同学做掷骰子（质地均匀的正方体）游戏，他们共做了100次试验，结果如下： 朝上的点数 1 2 3 4 5 6 出现的次数 15 14 23 19 15 14 （1）计算“1点朝上”的频率和“6点朝上”的频率； （2）小明将一枚骰子任意投掷一次，求朝上的点数小于5的概率. （3）小明说：“根据这次试验结果可知，在每个掷骰子试验中出现3点朝上的概率最大.”小亮说：“若投掷1000次，则出现5点朝上的次数正好是150次.”小明和小亮的说法正确吗？为什么？ 16.(本小题8分) “五一”节假期间，小亮一家到某度假村度假.小亮和他妈妈坐公交车先出发，他爸爸自驾车沿着相同的道路后出发，他爸爸到达度假村后，发现忘了东西在家里，于是立即返回家里取，取到东西后又马上驾车前往度假村，如图是他们离家的距离s（km）与小亮离家的时间t（h）的关系图，请根据图回答下列问题： （1）小亮和妈妈坐公交车的速度为______km/h；爸爸自驾的速度为______km/h； （2）小亮从家到度假村期间，他离家的距离s（km）与离家的时间t（h）的关系式为______；小亮从家到度假村的路途中，当他与他爸爸相遇时，离家的距离是______km； （3）当小亮和妈妈与他爸爸第2次相遇后，一直到全家会和为止，t为多少时小亮和妈妈与爸爸相距10km？ 17.(本小题8分) 下面是小芳同学设计的“过直线外一点作这条直线垂线”的尺规作图过程． 已知：如图1，直线l及直线l外一点P． 求作：直线l的垂线，使它经过点P． 作法：如图2， ①以P为圆心，大于P到直线l的距离为半径作弧，交直线l于A、B两点； ②连接PA和PB； ③作∠APB的角平分线PQ，交直线l于点Q． ④作直线PQ． ∴直线PQ就是所求的直线． 根据小芳设计的尺规作图过程，解答下列问题： （1）使用直尺和圆规，补全图2（保留作图痕迹）； （2）补全下面证明过程： 证明：∵PQ平分∠APB， ∴∠APQ=∠QPB． 又∵PA=______，PQ=PQ， ∴△APQ≌△BPQ ______（填推理依据）． ∴∠PQA=∠PQB ______（填推理依据）． 又∵∠PQA+∠PQB=180°， ∴∠PQA=∠PQB=90°． ∴PQ⊥l． 18.(本小题9分) （1）【操作探究】如图①，四边形ABCD是长方形纸片，AD∥BC，点E，F分别在边BC，AD上，以EF为折痕折叠纸片，点A，B的对应点分别是点A′，B′，B′E与AD相交于点G.探究∠B′EF和∠GFE的数量关系，并说明理由； （2）如图②，在（1）中折叠的基础上，再将纸片沿GH折叠，点C，D的对应点分别是点C′，D′，使得D′G经过点E.探究两次折痕EF和GH的位置关系，并说明理由； （3）在（2）的条件下，若∠A′FG的度数比∠B′EF的度数大30°，则∠CHC′的度数为多少度？ 19.(本小题9分) 定义：如果2b=n,那么称b为n的布谷数，记为b=g（n）.例如：因为23=8，所以g（8）=g（23）=3. （1）根据布谷数的定义填空：因为210=1024，所以g（1024）=______. （2）布谷数有如下运算性质：若m,n为正整数，则g（mn）=g（m）+g（n），.根据运算性质解答下列各题： ①已知g（3）=p,求的值； ②已知g（7）=2.807，求g（14）. 20.(本小题11分) 【问题初探】（1）数学课上，李老师给出在△ABC中，已知∠B=∠C，求证：AB=AC.证明：作∠BAC的平分线交BC于点D. ∴∠BAD=∠CAD. 在△ABD和△ACD中， ∵∠BAD=∠CAD，∠B=∠C，AD=AD， ∴△ABD≌△ACD（AAS），∴AB=AC. 结论：有两个角相等的三角形是等腰三角形 接着出示了这样一个问题：如图1，在△ABC中，AB=AC，点F是AC上一点，点E是AB延长线上的一点，连接EF，交BC于点D，若ED=DF，求证：BE=CF. ①如图2，小乐同学从中点的角度，给出了如下解题思路：在线段DC上截取DM，使DM=BD，连接FM，利用两个三角形全等和已知条件，并应用了李老师前面证明的结论得出此题结论； ②如图3，小亮同学从平行线的角度给出了另一种解题思路：过点E作EM∥AC交CB的延长线于点M，利用两个三角形全等和已知条件，得出了结论； 请你选择一位同学的解题思路，写出证明过程； 【类比分析】（2）李老师发现两位同学的做法非常巧妙，为了让同学们更好的理解这种转化的思想方法，李老师提出了新的问题，请你解答， 如图4，在△ABC中，点E在线段AB上，D是BC的中点，连接CE，AD，CE与AD相交于点N，若∠EAD+∠ANC=180°，求证：AB=CN； 【学以致用】（3）如图5，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AF平分∠BAC，点E在线段BA的延长线上，过点E作ED∥AF，交AC于点N，交BC于点D，且BD=CD，AE=，求BC的长. 1.【答案】  【解析】解：A，B，C是轴对称图形，D不是轴对称图形， 故选：D． 如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，据此进行判断即可． 本题考查轴对称图形，熟练掌握其定义是解题的关键． 2.【答案】  【解析】解：3010000000=3.01×109． 故选：A． 用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，据此判断即可． 此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，确定a与n的值是解题的关键． 3.【答案】  【解析】解：a3•a2=a3+2=a5，则A符合题意； （-3a3）2=9a6，则B不符合题意； （a-2）2=a2-4a+4，则C不符合题意； 3a2-a2=2a2，则D不符合题意； 故选：A． 利用同底数幂乘法法则，积的乘方法则，完全平方公式及合并同类项法则将各项计算后进行判断即可． 本题考查整式的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 4.【答案】  【解析】解：∵要使A、B两小区到学校的距离之和最小， ∴先作点A关于街道的对称点A′，再连接A′B，与街道的所在直线的交点即为点C，学校C的位置如图所示： 此时AC+CB=A′C+CB=A′B， 故选：C． 先作点A关于街道的对称点A′，再连接A′B，与街道的所在直线的交点即为点C，此时AC+CB=A′C+CB=A′B，满足A、B两小区到学校的距离之和最小，即可作答． 本题考查了最短路径，在直线L上的同侧有两个点A、B，在直线L上有到A、B的距离之和最短的点存在，可以通过轴对称来确定，即作出其中一点关于直线L的对称点，对称点与另一点的连线与直线L的交点就是所要找的点． 5.【答案】  【解析】解：如图， ∵AC∥BD，∠3=102°， ∴∠3=∠MAC=102°， ∵AB∥CD， ∴∠MAC+∠2=180°， ∴∠2=78°， ∵∠1+∠2=129°， ∴∠1=51°， ∵AE∥BF， ∴∠1=∠FBM=51°， ∵EF∥AB， ∴∠4=∠FBM=51°， 故选：D． 光在水中是平行的光线，在空气中也是平行的，依据平行线的性质求解即可． 本题主要考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行时，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补． 6.【答案】  【解析】解：A、车辆随机到达一个路口，遇到红灯，是随机事件，不符合题意； B、同一平面内三条直线相交，交点的个数为3个，是随机事件，不符合题意； C、掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数不超过6，是必然事件，符合题意； D、用长度分别为6cm；7cm；13cm的三根小木棒摆成一个三角形，是不可能事件，不符合题意； 故选：C． 根据事件发生的可能性大小判断． 本题考查的是随机事件，必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 7.【答案】  【解析】解：在Rt△ABC中，AB=20，BC=15． 由勾股定理得：， ∵AD⊥CE ∴∠D=90°， 在Rt△ACD中，AC=25，AD=7， 由勾股定理得：， ∵S1+S△ACE=S△ACD，S2+S△ACE=S△ABC， ∴S1=S△ACD-S△ACE，S2=S△ABC-S△ACE， ∴S2-S1=（S△ABC-S△ACE）-（S△ACD-S△ACE）=S△ABC-S△ACD， ∵，， ∴S2-S1=150-84=66， 故选：B． 先利用勾股定理求得AC的长，然后再求得CD的长，根据题意推出S2-S1=S△ABC-S△ACD，再由三角形面积公式求解即可． 此题考查了勾股定理，直角三角形的面积．解题的关键是利用“割补法”将两三角形的面积差转化为另外两个三角形的面积差． 8.【答案】  【解析】解：作A点关于BC的对称点E，作A点关于CD的对称点F，连接EF交BC于点M，交CD于点N，连接AM，AN， ∵AM=EM，AN=NF， ∴AM+AN+MN=EM+MN+NF=EF，此时△AMN周长最小， 由对称可知，∠EAM=∠E，∠NAF=∠F， ∵∠BAD=152°， ∴∠E+∠F=28°， ∴∠EAM+∠NAF=28°， ∴∠MAN=124°， ∴∠AMN+∠ANM=56°， 故选：B． 作A点关于BC的对称点E，作A点关于CD的对称点F，连接EF交BC于点M，交CD于点N，连接AM，AN，此时△AMN周长最小，求出∠MAN=60°，即可求解． 本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握轴对称求最短距离的方法，灵活应用轴对称的性质是解题的关键． 9.【答案】  【解析】解：∵a+b=3，a2+b2=6， ∴2ab=（a+b）2-（a2+b2）=32-6=3， ∴ab=． 故答案为：． 根据完全平方公式的结构特点解答即可． 本题主要考查了完全平方公式：（a±b）2=a2±2ab+b2． 10.【答案】  【解析】解：由题意得：S=2x•x=2x2； 故答案为：S=2x2． 根据长方形的面积公式写出函数表达式即可． 本题考查用函数表达式表示变量之间的关系，解题的关键是掌握长方形的面积公式． 11.【答案】  【解析】解：设袋中黑球的个数为x， 根据题意得=， 解得x=22， 即袋中黑球的个数为22个． 故答案为：22． 设袋中黑球的个数为x，利用概率公式得到方程，解方程即可． 本题考查了概率公式：随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数． 12.【答案】  【解析】解：如图，连接OC，过点O作OD⊥AB于D，OE⊥BC于E，OF⊥AC于F， ∵AC=6，BC=8，BA=10， ∴AC2+BC2=AB2， ∴∠ACB=90°， ∵O是两内角平分线的交点，OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC， ∴OD=OE=OF， ∵S△ABC=S△AOB+S△BOC+S△AOC， ∴AC•BC=AB•OD+BC•OE+AC•OF， ∴×6×8=×10×OD+×8×OE+×6×OF， 解得：OD=2， 则O到AB的距离是2， 故答案为：2． 连接OC，过点O作OD⊥AB于D，OE⊥BC于E，OF⊥AC于F，根据勾股定理的逆定理得到∠ACB=90°，根据角平分线的性质得到OD=OE=OF，再根据三角形面积公式计算即可． 本题考查的是勾股定理的逆定理、角平分线的性质，如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形． 13.【答案】  【解析】解：∵AC=5，CD=3， ∴AD===4， 当点E落在AC上时， ∵将△ACD沿直线GH折叠， ∴CH=EH， ∵AE=1， ∴EC=4， ∴CH=2； 当点E落在AD上时，如图2，连接EC，过点E作EN⊥AC于N， ∵S△AEC=×AE×CD=×AC×EN， ∴1×3=5×EN， ∴EN=， ∴AN===， ∴NC=， ∵将△ACD沿直线GH折叠， ∴CH=EH， ∵EN2+NH2=EH2， ∴+（-HC）2=HC2， ∴HC=， 综上所述：CH的长为2或． 分两种情况讨论，由折叠的性质和勾股定理可求解． 本题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理等知识，利用勾股定理列出方程是解题的关键． 14.【答案】  【解析】（1）原式=25-1+[-02×（-5）]2009×（-5） =25-1+（-5） =19； （2）原式=x2-4x+4+2x2-4x-16-x2+9 =2x2-8x-3， 当x=-1时， 原式=2×（-1）2-8×（-1）-3=7． （1）利用同底数幂相乘进行简算，零指数幂、负整数指数幂法则计算即可得到结果； （2）原式利用平方差公式，完全平方公式，以及多项式乘多项式法则计算，去括号合并得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值． 此题考查了整式的混合运算-化简求值，以及实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 15.【答案】  【解析】（1）“1点朝上”的频率为15÷100=0.15； “6点朝上”的频率为14÷100=0.14； （2）小明将一枚骰子任意投掷一次，有6种等可能的结果，其中朝上的点数小于5的结果有4种， ∴朝上的点数小于5的概率为； （3）两位同学的说法均错误； 小明的说法错误，因为实验100次的次数较少，只有当试验的次数足够大时，该事件发生的频率稳定在事件发生的概率附近； 小亮的判断是错误，因为事件发生具有随机性，若投掷1000次，则出现5点朝上的次数不一定正好是150次． （1）由共做了100次试验，“1点朝上”和“6点朝上”的次数分别为15，14，即可求得“1点朝上”的频率和“6点朝上”的频率． （2）将一枚骰子任意投掷一次，有6种等可能的结果，利用概率公式计算即可； （3）由大量重复实验中频率可以估计概率，可得两位同学的说法不正确． 本题考查了模拟试验，解题的关键是掌握试验中的概率等于所求情况数与总情况数之比；实际概率是经过多次试验后得到的一个接近值． 16.【答案】  【解析】（1）小亮和妈妈坐公交车的速度为60÷3=20（km/h）；爸爸自驾的速度为60×2÷（3-1）=60（km/h）． 故答案为：20，60． （2）小亮从家到度假村期间，他离家的距离s（km）与离家的时间t（h）的关系式为s=20t（0≤t≤3）， 当1≤t≤2时，爸爸离家的距离s（km）与离家的时间t（h）的关系式为s=60（t-1）=60t-60， 当2＜t≤3时，爸爸离家的距离s（km）与离家的时间t（h）的关系式为s=60-60（t-2）=-60t+180， 当1≤t≤2时，小亮与爸爸相遇时，得， 解得， 当2＜t≤3时，小亮与爸爸相遇时，得， 解得， ∴小亮与爸爸相遇时，得30km或45km. 故答案为：30或45． （3）小亮和妈妈与他爸爸第2次相遇后至小亮和妈妈到达度假村，当小亮和妈妈与爸爸相距10km时，得（20+60）（t-2.25）=10， 解得t=， 爸爸第二次从家前往度假村的途中，当小亮和妈妈与爸爸相距10km时，得60（t-3）+10=60， 解得t=， ∴t为或时小亮和妈妈与爸爸相距10km. （1）分别根据速度=路程÷时间计算即可； （2）根据路程=速度×时间写出小亮从家到度假村期间离家的距离s（km）与离家的时间t（h）的关系式，分别写出爸爸当1≤t≤2、2＜t≤3时离家的距离s（km）与离家的时间t（h）的关系式，从而求出图象交点坐标即可； （3）分别计算小亮和妈妈与他爸爸第2次相遇后至小亮和妈妈到达度假村、爸爸第二次从家前往度假村的途中，当小亮和妈妈与爸爸相距10km时对应t的值即可． 本题考查一次函数的应用，掌握时间、速度和路程之间的关系是解题的关键． 17.【答案】  【解析】解：（1）如图所示． （2）证明：∵PQ平分∠APB， ∴∠APQ=∠QPB． 又∵PA=PB，PQ=PQ， ∴△APQ≌△BPQ（SAS）． ∴∠PQA=∠PQB（全等三角形的对应角相等）． 又∵∠PQA+∠PQB=180°， ∴∠PQA=∠PQB=90°． ∴PQ⊥l． 故答案为：PB、SAS，全等三角形的对应角相等． （1）根据要求的步骤求解即可； （2）根据作图步骤、全等三角形的判定与性质求解即可． 本题主要考查作图—复杂作图，解题的关键是掌握角平分线的尺规作图与全等三角形的判定和性质． 18.【答案】  【解析】（1）∠B′EF=∠GFE， 理由：∵以EF为折痕折叠纸片，点A，B的对应点分别是点A′，B′， ∴∠BEF=∠GEF， ∵四边形ABCD是长方形， ∴AD∥BC， ∴∠GFE=∠BEF， ∴∠B′EF=∠GFE； （2）EF∥GH， 理由：∵将纸片沿GH折叠，点C，D的对应点分别是点C′，D′， ∴∠DGH=∠EGH， ∵AD∥BC， ∴∠DGH=∠GHE， ∴∠GHE=∠EGH， ∴EG=EH， 由（1）知∠B′EF=∠GFE， ∴FG=GE， ∴FG=EH， ∵FG∥EH， ∴四边形FGHE是平行四边形， ∴EF∥HG； （3）设∠B′EF=α，则∠A′FG=30°+α，∠GFE=∠B′EF=α， ∵以EF为折痕折叠纸片，点A，B的对应点分别是点A′，B′， ∴∠A′FE=∠AFE=2α+30°， ∵∠AFE+∠GFE=180°， ∴30°+2α+α=180°， ∴α=50°， ∴∠EFG=50°， ∵EF∥HG， ∴∠DGH=∠EFG=50°， ∵AD∥BC， ∴∠CHG=180°-∠DGH=130°， ∵将纸片沿GH折叠，点C，D的对应点分别是点C′，D′， ∴∠CHG=∠C′HG=130°， ∴∠CHC′=360°-∠CHG-∠C′HG=100°． （1）根据折叠的性质得到∠BEF=∠GEF，根据矩形的性质得到AD∥BC，求得∠B′EF=∠GFE； （2）根据折叠的性质得到∠DGH=∠EGH，根据平行线的性质得到∠DGH=∠GHE，求得∠GHE=∠EGH，得到EG=EH，由（1）知∠B′EF=∠GFE，求得FG=GE，根据平行四边形的判定和性质定理得到EF∥HG； （3）设∠B′EF=α，则∠A′FG=30°+α，∠GFE=∠B′EF=α，根据折叠的性质得到∠A′FE=∠AFE=2α+30°，求得∠EFG=50°，根据平行线的性质得到∠DGH=∠EFG=50°，∠CHG=180°-∠DGH=130°，根据折叠的性质得到∠CHG=∠C′HG=130°，于是得到结论． 本题是四边形的综合题，考查了矩形的性质，折叠的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 19.【答案】  【解析】（1）由定义得，g（2024）=g（210）=10， 故答案为：10； （2）①由题意可得，； ②g（14）=g（2×7）=g（2）+g（7）=1+2.807=3.807． （1）根据布谷数的定义，得出答案； （2）①根据布谷数的运算性质分别进行计算即可； ②可将g（14）写为g（2×7），然后根据题目中的运算性质计算即可． 本题考查有理数的乘方，理解布谷数的意义，掌握布谷数的性质是正确解答的关键． 20.【答案】  【解析】（1）①证明：在线段DC上截取DM，使DM=BD，连接FM，如图2所示： 在△BDE和△MDF中， ， ∴△BDE≌△MDF（SAS）， ∴BE=MF，∠E=∠DFM， ∴AE∥MF， ∴∠ABC=∠FMC， ∵AB=AC， ∴∠ABC=∠C， 由【问题初探】结论得：MF=CF， ∴BE=CF； ②证明：过点E作EM∥AC，交CB的延长线于点M，如图3所示： ∴∠EMD=∠C， 在△EMD和△CFD中， ， ∴△EMD≌△CFD（AAS）， ∴ME=CF， ∵AB=AC， ∴∠ABC=∠C， ∴∠EMD=∠ABC， 又∵∠ABC=∠EBM， ∴∠EMD=∠EBM， 由【问题初探】结论得：ME=BE， ∴BE=CF； （2）证明：延长AD到H，使DH=DA，连接CH，如图4所示： ∵D是BC的中点， ∴CD=BD， 在△CDH和△BAH中， ， ∴△CDH≌△BAH（SAS）， ∴CH=AB，∠H=∠EAD， ∵∠ANE+∠ANC=180°，∠EAD+∠ANC=180°， ∴∠ANE=∠EAD 又∵∠ANE=∠CNH，∠H=∠EAD， ∴∠CNH=∠H， 由【问题初探】结论得：CN=CH， ∴AB=CN； （3）解：过点C作CK∥EB，交ED的延长线于点K，如图5所示： ∵∠BAC=90°，AF平分∠BAC， ∴∠BAF=∠NAF=∠BAC=45°， ∵ED∥AF， ∴∠E=∠BAF=45°，∠ANE=∠NAF=45°， ∴∠E=∠ANE=45°， 由【问题初探】结论得：AN=AE， ∵AE=，CN=， ∴AN=AE=， ∴AC=AN+CN==8， ∵CK∥EB， ∴∠K=∠E=45°， 又∵∠CNK=∠ANE=45°， ∴∠K=∠CNK=45°， 由【问题初探】结论得：CK=CN=， 在△CDK和△ADE中， ， ∴△CDK≌△ADE（AAS）， ∴CK=BE=， ∴AB=BE-AE==， 在Rt△ABC中，AC=8， 由勾股定理得：BC===， BC的长． （1）①证明在线段DC上截取DM，使DM=BD，连接FM，证明△BDE和△MDF全等得BE=MF，∠E=∠DFM，进而得AE∥MF，则∠ABC=∠FMC，由AB=AC得∠ABC=∠C，由【问题初探】结论得MF=CF，由此即可得出结论； ②过点E作EM∥AC，交CB的延长线于点M，则∠EMD=∠C，证明△EMD和△CFD全等得ME=CF，再由AB=AC得∠ABC=∠C，进而得∠EMD=∠EBM，由【问题初探】结论得ME=BE，由此即可得出结论； （2）延长AD到H，使DH=DA，连接CH，证明△CDH和△BAH全等得CH=AB，∠H=∠EAD，再证明∠CNH=∠H，由【问题初探】结论得CN=CH，由此即可得出结论； （3）过点C作CK∥EB，交ED的延长线于点K，根据角平分线定义得∠BAF=∠NAF=45°，根据ED∥AF得∠E=∠ANE=45°，由【问题初探】结论得AN=AE=，则AC=AN+CN=8，再根据CK∥EB得∠K=∠E=45°，进而得∠K=∠CNK=45°，由【问题初探】结论得CK=CN=，证明△CDK和△ADE全等得CK=BE=，则AB=，然后在Rt△ABC中，由勾股定理即可求出BC的长． 此题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理是解决问题的关键． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$