专题训练五、六 构造全等三角形的常用技巧 角的平分线中作辅助线的常见方法-【支点·同步系列】2025-2026学年新教材八年级上册数学（人教版2024）

BD-CA. 在△DEB和△ABC中，∠EDB=∠A, DE=AB, ,△DEB2△ABC(SAS) 3.解：(1)证明：CD平分∠ACE,CE平分∠BCD, ∴.∠1=∠2，∠2=∠3，∴.∠1=∠3. AC=BC 在△ACD和△BCE中，∠1=∠3， CD=CE. ∴.△ACD2△BCE(SAS). (2)由(1)，得.∠1=∠2=∠3，△ACD2△BCE, ./A=∠B=70 :∠1+∠2+∠3=180°，∴∠1=∠2=∠3=60， .∠E=180°-∠3-∠B=50° 4.证明：AC=BD,AC十CD=BD十CD, ..AD=BC. ∠A=∠B 在△AED和△BFC中，AD=BC, L∠ADE=∠BCF ∴.△AED2△BFC(ASA),∴.DE=CF 5.解：1)证明：在△ABC和△DCE中， ∠A=∠CDE, ∠ACB=∠E,△ABC2△DCE(AAS). AB=DC, (2)△ABC≌△DCE,.AC=DE AD=4,DC=5, .,DE=AC=AD十DC=9,即DE的长为9. 6.解：(1)∠ACB=90, ∴.∠CAB十∠CBA=90 ,AD,BE是△ABC的角平分线 六∠PAB=1 ∠CAB,∠PaA-∠CBA, 1 ∠PAB+∠PBA=z(∠CAB+∠CBA)=45, ∴，∠APB=180-45°=135 (2)正明：由(1)可知∠APB=135“,.∠BPD=45. :FP⊥AD,.,∠FPB=90°十45°=135， ∠APB=∠FPB. :BE平分∠ABC,.∠ABP=∠FBP |∠ABP=∠FBP, 在△ABP和△FBP中，BP=BP, ∠APB=∠FPB, .△ABP2△FBP(ASAD. 7.解：1)△COG与△OBF全等，理由如下： 由题意可知，∠OGC=∠BFO=90“,OC=OB ,∠BOC=90°， ∴.∠COG+∠BOF=∠BOF+∠OBF=90°. ∠COG=∠OBF ∠COG=∠OBF, 在△COG和△OBF中，，∠OGC=∠BFO, OC=BO, ∴.△COG2△OBF(AAS). (2)由△COG2△OBF,得CG=OF,OG=BF ,BF=1.8m,CG=2.2m, ∴.FG=OF-0G=CG-BF=2.2-1.8=0.4(m),0.4 2=1.6(m). 故爸爸在距离地面1.6m高的地方接住小明。 8.证明：(1)O是线段AB的中点，OA=OB .AC=AO,BD=BO,..AC=BD. CE⊥AB,DF⊥AB,.∠CEA=∠DFB=9O°. :CE=DF,.Rt△AEC☑R△BFD(HL), ·∠CAB=∠DBA. 186 数学/八年级RJ版 (2),R△AEC2Rt△BFD,',AE=BF OA=OB,..AE+EO=FB+OF,..OE=OF 专题训练五构造全等三角形的常用技巧 1.证明：如图，延长AM至点N,使MA= MN,连接BN.:M为BC的中点， ..CM=BM. 又∠CAMA=∠BMN,.△AMC☑ △NMB(SAS),∴.AC=NB,∠C= ∠NBM,∴.∠ABN=∠ABC+∠NBM= ∠ABC+∠C=180-∠BAC.:∠EAD 360°-∠BAE-∠CAD-∠BAC=180°-∠BAC, ∠ABN=∠EAD.又：NB=AC=DA,AB=EA ·△ABN≌△EAD(SAS),∴.NA=DE.又FAM=MN, ..DE=2AM. 2.解：(1)如图，延长AE至点F,使EF= AE,连接BF, 则AF=2AE. AE是△ABD的中线，.BE=DE 在△ADE与△FBE中， (AE-FE. ∠AED=∠FEB, DE=BE, ,.△ADE2△FBE(SAS),,BF=DA=3. 在△ABF中，AB一BFAF<AB十BF, .5-3<2AE<5+3,.1<AE<4 (2)证明：：△ADE2△FBE, ,.DA=BF,∠FBE=∠ADE ,'∠ABF=∠ABD+∠FBE,∠BAD=∠BDA, .∠ABF=∠ABD+∠ADB=∠ABD+∠BAD=∠ADC (AB=CD, 在△ABF与△CDA中，∠ABF=∠CDA, BF=DA. .△ABF≌△CDA(SAS),.AF=CA AF=2AE,∴.AC=2AE 3.证明：如图，过点C作CF⊥AD于点F,过点B作BG⊥AD, 交AD的延长线于点G ,∠G=∠CFD=90” :AD是△ABC的中线，∴.BD=CD. 又，∠BDG=∠CDF, ∴，△BDG2△CDF(AAS), .BG=CF. 在Rt△BGE和Rt△CFA中， BE=CA, BG-CF, ∴.Rt△BGE≌Rt△CFA(HL),.∠BED=∠CAD 4.解：如图，过点C作CF⊥AB,交AB的延长线于点F ,CE⊥AD,∴.∠DEC=∠F=90°. ∠D+∠ABC=180,∠CBF+∠ABC =180,.∠D=∠CBF 在△CDE与△CBF中， ∠D=∠CBF, ∠DEC=∠F CD-CB. .△CDE2△CBF(AAS),.CE=CF,DE=BF=4. 在△ACE有R△AGF中，8E8C ,Rt△ACE2Rt△ACF(HL), .AE=AF=10,.AB=AF-BF=6. 5.解：(1)证明：，AD/BC,.,∠DAB+∠ABC■180 AE,BE分别平分∠DAB,∠ABC ∴∠EAB=∠DAB,∠ABE=∠ABC, .∠EAB十∠ABE=90°， ∴.∠AEB=90°，即AE⊥BE (2)证明：如图，延长AE,BC交于点M 由1)，得∠AEB=∠MEB=90° 又BE=BE,∠ABE=∠MBE .△ABE2△MBE(ASA), ..AE=ME ,AD∥BC,∴.∠D=∠ECM 又'∠AED=∠MEC, .△ADE2△MCE(AAS) ..DE=CE. (3)AE=4,BE=6, S6E-AE·BE-12. '△ADE2△MCE .S△E=S△cE, ·SEa系AcB=S△Aw=2S△ABc=24. 6.正明：延长MB至点E,使得BE=DN,连接CE,如图 :'∠ABC+∠D■180°，∠ABC+ ∠CBE=180°，∴∠CBE=∠D. 在△CBE和△CDN中， CB=CD, ∠CBE=∠D, BE=DN. ∴，△CBE2△CDN(SAS), ∴.∠BCE=∠DCN,CE=CN, ,∠BCD=150°，∠MCN=75" '.∠MCE=∠MCB+∠BCE=∠MCB+∠DCN=∠BCD -∠MCN=75",·∠MCN=∠MCE. 在△ECM和△NCM中， MC=MC, ∠MCE=∠MCN, CE=CN, .△ECM2△NCM(SAS),∴.ME=MN .ME=BM+BE=BM+DN,..MN=BM+DN. 7.解：(1)，，∠BAC=90°，∠ABC=60°，.，∠ACB=30° :∠BAC与∠ACB的平分线AD,CE交于点O, ∴∠CAD= 2∠BAC=45,∠ACE=2∠ACB=15 :∠AOE是△AOC的外角， .∠AOE=∠CAD+∠ACE=60° (2)正明：如图，在AC上载取CF CD,连接OP :CE平分∠ACB, .∠DCO=∠FCO. 在△DCO和△FCO中 CD=CF, ∠DCO=,∠FCO. OC=OC. ∴.△DCO2△FCO(SAS), .∠COD=∠COF ,∠AOE=60°， ∴.∠COD=∠COF=60°， ∴.∠AOF=180°-∠AOE-∠COF=60°， ∠AOE=∠AOF」 :AD平分∠BAC,∴∠EAO-∠FAO, 在△EAO和△FAO中， ∠EAO=∠FAO AO=AO. ∠AOE=∠AOF △EAO2△FAO(ASA), .AE=AF. ,'AC=AF十CF ∴，AC=AE+CD 专题训练六角的平分线中作辅助线的常见方法 1.证明：如图，延长AE交BO的延长线于点F: :AE⊥BE,∴∠AEB=∠FEB =90°. “,BD平分∠ABO, ∴·∠ABE=∠FBE 又：BE=BE, .△ABE2△FBE(ASA), .AE=FE,..AF=2AE. ∠BEF=∠AOF=90°， .∠OAF+∠F=90,∠OBD+∠F=90°， ,∠OAF=∠OBD 又OA=OB,∠AOF=∠BOD=90°， ,∴.△AOF2△BOD(ASA), ∴.AF=BD,.BD=2AE 2.证明：在AD上截取AN=AB,如图所示 :AM平分∠BAD, .∠BAM=∠DAM 在△ABM与△ANM中， (AB=AN. ∠BAM=∠NAAM AM=AM. .∴，△ABM2△ANM(SAS),.∠B=∠ANM ∠B=90°，.∠ANM=90°， .∠MND=180°-90°=90 又，AB∥CD, .∠C+∠B=180,.∠C=90 :M是BC的中点，∴.BM=CM,∴.MC=MN 在R△MND与R△MCD中，MN=MC, (MD=MD, .Rt△MND≌Rt△MCD(HL), :.ND=CD,..AD=AN+ND=AB+CD. 3.解：(1)证明：AD⊥AB .∠DAB=90°，.∠D+∠ABD=90 ∠C=90°，∠CEB+∠CBE=90 :BD平分∠ABC, ∴.∠CBE=∠ABD.∴，∠D=∠CEB :∠CEB=∠AED,∴∠ADE=∠AED. (2)过点E作EF⊥AB,垂是为F,如图 ,BD平分∠ABC,EF⊥AB,EC⊥BC ..EC=EF=2. ,AB=6, △ABE的面积=之AB·EF=之×6关2=6 4.解：过点D分别作DF⊥AC于点F,DH⊥BC于点H, 如图. .BD平分∠ABC,∴.DH=DE=1. CD平分∠ACB, ∴.DF=DH=1, ·△ADC的面积=之DF·AC- ×4=2. 专题训练七全等三角形中的动态问题 1.解：(1)证明：CD为边AB上的高， ∴CD⊥AB,即，∠ADC=90°， ,∠A十∠ACD=90° ,∠ACB=90°， '.∠BCD十∠ACD=90°， .∠A=∠BCD (2)当CF=AB时，点E移动了6s或1s. 上册参考答案 187专题训练五 构造全等三角形的常用技巧 (限时：45分钟) 类型1倍长中线法 类型2巧作垂直法 1.如下图，AB=AE,AB⊥AE,AD=AC,AD 3.如下图，在△ABC中，AD是中线，E是AD ⊥AC,M为BC的中点.求证：DE=2AM. 上一点，且BE=AC.求证：∠BED =∠CAD. 2.(2024一2025樟树期中)如下图，已知CD= AB,∠BAD=∠BDA,AE是△ABD的 中线。 4.如下图，CB=CD,∠D十∠ABC=180°，CE (1)若AB=5,AD=3,求AE的取值范围. ⊥AD于点E.若AE=10,DE=4,求AB (2)求证：AC=2AE. 的长 96 数学八年级RU版 类型3巧用角平分线法 5.如下图，已知AD∥BC,E为CD上一点， AE,BE分别平分∠DAB,∠ABC. (1)求证：AE⊥BE. (2)求证：DE=CE. (3)若AE=4,BE=6,求四边 形ABCD的面积. 7.如下图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°， ∠ABC=60°，∠BAC与∠ACB的平分线 AD,CE交于点O. (1)求∠AOE的度数， (2)求证：AC=AE+CD 类型4截长补短法 6.如下图，在四边形ABCD中，∠B十∠D 180°，∠BCD=150°，CB=CD,M,N分别 为AB,AD上的动点，且∠MCN=75°，求 证：MN=BM+DN. 上册专题训练 97 专题训练六 角的平分线中作辅助线的常见方法 (限时：30分钟) 类型1延长作全等图形法 类型3作一边的垂线 1.如下图，在△AOB中，AO=OB,∠0=90°， 3.如下图，△ABC中，∠ACB=90°，AD1 BD平分∠ABO交AO于点D,AE⊥BD AB,BD平分∠ABC交AC于E点. 交BD的延长线于点E.求证：BD=2AE. (1)求证：∠ADE=∠AED, (2)若AB=6,CE=2,求△ABE的面积. 类型2截取作全等图形法 2.如下图，四边形ABCD中，∠B=90°，AB∥ CD,M为BC的中点，AM平分∠BAD.求 类型《4作两边的垂线 证：AD=AB十CD 4.如下图，在△ABC中，BD平分∠ABC,CD 平分∠ACB,连接AD,过点D作DE⊥AB 于点E.若DE=1,AC=4,求△ADC的 面积. 98 数学八年级RU版