专题训练十三、十四 因式分解的常见应用 分式化简求值的常见方法-【支点·同步系列】2025-2026学年新教材八年级上册数学（人教版2024）

专题训练十三 因式分解的常见应用 (限时：45分钟) 类型1用于简便计算 6.已知248一1可以被60和70之间的某两个 1.利用因式分解计算： 整数整除，求这两个整数 (1)21×3.14+62×3.14+17×3.14. (220253-20252-2024 20253+20252-20261 类型4用于判断三角形的形状 7.若三角形的三条边长分别为a,b,c,且ab -a2c+bc-b3=0,则这个三角形一定是 () A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等边三角形 D,等腰直角三角形 类型2用于求值 8.阅读材料：选取二次三项式ax2十bx十c(a 2.(2025汕尾期末)已知a十b=3,ab=-2,则 ≠0)中的两项，配成完全平方式的过程叫配 代数式a2b十ab2的值是 ( 方，配方的基本形式是完全平方公式的逆 A.-6 B.1 C.0 D.-8 写，即a2士2ab十b2=(a士b)2.例如：x2- 3.若x2-3x十1=0，则-2x2+6x= 4x+2=x2-4x+4+2-4=(x-2)2-2. x°-2x2-2x十9= 请根据材料解决下列问题： 4.先因式分解，再求值：已知9ax2一12axy十 (1)将二次三项式x2一4x十9配成完全平 4ay2,其中a=128,x=6,y=4. 方式 (2)将x十x2y2十y分解因式. 类型3用于整除 5.对于任意整数n,(2n+3)2-1都（) A.能被2整除，不能被4整除 B.能被4整除，不能被8整除 C.能被8整除 D.能被5整除 107 上册专题训练 (3)已知a,b,c是△ABC的三边长，且满足 (3)试求2+25+24+23+22+2+1的值. a2十2b2十c2-2b(a十c)=0,试判断此三角 形的形状 9.阅读下列因式分解的过程：x2一4y2一2x十 4y-(x2-4y2)+(-2x+4y)-(x+2y)(x -2y)-2(x-2y)=(x-2y)(x+2y-2). 类型6用于解决实际问题 这种因式分解的方法叫“分组分解法”，利用 11.如右图，将一张大长方 这种方法解决下列问题： 形纸板按图中虚线裁剪 (1)分解因式：a2-4a-b2十4. 成9块，其中有2块是边bcm (2)若△ABC的三边长a,b,c满足a2一ab bcm acmacm 长都为acm的大正方形，2块是边长都为 -ac+bc-0,判断△ABC的形状. bcm的小正方形，5块是长为acm、宽为 bcm的相同的小长方形，且a>b. (1)观察图形，可以发现代数式2a2十5ab+ 262可以因式分解为 (2)若图中阴影部分的面积为58cm2,大长 方形纸板的周长为42cm. ①求a十b的值； ②求图中空白部分的面积. 类型5用于探究规律 10.观察下列式子因式分解的做法： ①x2-1=(x-1)(x+1): ②x3-1=(.x-1)(x2+x十1)： ③x-1=(x-1)(x3+x2+x+1) (1)模仿以上做法，尝试对x5一1进行因式 分解。 (2)观察以上结果，猜想x”一1 (n为 正整数). 108 数学八年级RJ版 专题训练十四 分式化简求值的常见方法 (限时：45分钟) 类型①直接代入求值 1先化荷再求值0号预号其 5.已知y2-4红=0，求代数式y-1D+2y 8x十2 的值. 中m-2. a2千27其中 6先化简，再求值：1-)÷， a-2≥2-a,① a是不等式组 的最小整 2a-1<a+3② 2.先化简，再求值：4红-4xy+y 4x+2y 数解 (2x+y)2 4x2-y,其中x=3y=一2. 类型3自选条件代入求值 3.先化简，再求值：(x2-4y)÷2+2, ty 7(2025宜春上高期末)先化简，2号 x(2y-2其中x=-1,y=2. 1 （。启再从-1.0-2,2中选 1 一个合适的数代入求值. 类型2把条件化简后代入求值 xy 4已知号-2，测22y十y的值是 y db 109 上册专题训练 5 8.先化简，再求值：工·工一3 x-3x2+2x+1 类型5整体代入求值 (十)，其中0心≤3，且x为整数 11.已知a2+2a-1=0,求代数式(a-): a2 二2的值. 12.已知a>0,a-名=1，求a+2的值 a 类型4设参数k法求值 9已知x:y:2=2:3:4,求十22 x-y+3z 的值 10日知女-吉-中，计算 a b 18无化筒传求值：1-+ (a+b)b+c)(a+c的值. abc 2其中2+2z-5-0 110 数学八年级R刷版专题训练十二乘法公式的灵活运用 1.D2.28 3.解：D:a-b=5,a6=。, a°+b2=(a-b)2+2ab =+2×号 -25+3 =28. (2)(a+6)2=36,(a-b)2=4, a2+2a6+b2=36,a-2a6+b2=4, ∴.242+202=36+4=40,4ab=36-4=32 a2十b2=20,ab=8. 4.解：(1)120 (2)没24一x=m,22-z=n,则(24-x)2十(22-x)1=m +n2=20,m-n=(24-x)一(22-x)=2,.(24-x)(22 x》=n= 2(m2+）-(m-n)门-2×(20-2)=8. 5解：a原式-(40+)×(-40+) -(+0)×(行-40) 16-1600 =-15993装 (2)原式=50×(9.5-2X9.5×7.5+7.5) =50×(9.5-7.5) =50×2 =200. 6.解：A=- (1+)(+)(+)(+)(+ )(1+)(+)+)+1 =-(1-号)1+子)(1+量)1+)(1+)(1 (1+)(+0）(1+）+1 =-(1-子)+3)1+)1+)1+0)1 是)1+)+）+1 =-（1-+）+1 -(-3)+ 1 7.解：(1)当x=0时，P=2十0×1一9=-5. (2)P=(x十2)9十x(1-x)-9=x2十4x十4十x-x2-9= 5x-5=5(x-1). ,z为整数， ∴.多项式P能被5擎除 8.解：x2+2x十1十3(x-4)=4x-3z-1, x2+2x+1+3x2-12=4x2-3x-1, x2+2x+3x8-4x2+3x=-1-1+12, 5x=10, x=2. 9.解：设原正方形的边长为xcm由题意，得(x十3)(x一3)= (x-1)(x一1)，解得x=5,∴这个长方形的面积为(5+3)× 190 数学八年级RJ版 (5-3)=16(cm2). 10.解：(1)(a+b+c)2=a3+b2+e3+2a6+26c+2ac (2)①由(1)，得(a+6十c)2=a2+b+c8+2ab十2b +2ac. ,a+b十c=11,ab十十ac=38, ∴(a+b+c)2=112=121,2(ab+bc+ac)=2X38=76, ∴.a8+62+c2=(a+b+e)2-2(ab+bc+ac)=121-76 =45. ②，2×4"÷8=4. .2×22y÷2=22, ∴22+2y-4=2, .x十2y-3x=2. ,(x+2y-3)2=x2+4y2+9x8+2(2xy-3xe-6yz), x2十4y2十9x2=44, .2=44十2(2xy-3xx-6yz), .2xy-3xx-6yz=-20. 专题训练十三因式分解的常见应用 1.解：(1)原式=3.14×(21十62十17) =3.14×100 =314. (2)原式= 20252×(2025-1)-2024 20252×(2025+1)-2026 2025×2024-2024 2025×2026-2026 =(2025-1)×2024 (20252-1)×2026 1012 1013 2.A3.28 4.解：原式=a(9x2-12xy十4y2)=a(3x-2y) 当a=128,x=6,y=4时，原式=128×(3×6-2×4)2 12800. 5.C 6.解：：248-1-(22+1)(224-1)=(22+10)(2+1)(212-1) =(2M+1)(212+1)(2+1)(2-1)=(24+1)(22+1)×65 X63, .这两个整数是63和65. 7.A 8.解：(1)x2-4x十9=x2-4红十4十9-4=(x-2)2+5. (2)x4+x2y2+y* =1+2x'y'+y-z'y' =(x2+y2)2-x2y2 =y+y)(+y-xy). (3)a+2b+c-2b(a十c)=0, ∴.a2+2b2+c2-2-2bc=0, .(a-b)2+(3-c)2=0, .a-6=0,b-c=0,.a=b,b=c, a=b=c,,此三角形为等边三角形 9.解：(1)原式=(a-4a十4)-b =(a-2)2-b2 =(a-2+b)(a-2-b). (2)a*-ab-ac+bc=0, .(a2-ab)+(-ac十bc)=0, .a(a-b)-c(a-b)=0, ,(a-b)(a-c)=0, ∴.a一6=0或a-e=0或4=b且a=c, 即a=b或a=c或a=b=c, ·△ABC是等腰三角形或等边三角形， 10.解：(1)x5一1 =x9-x十x-1 =x(x1-1)十(x-1) =(x-1)(x+x3+x2+x十1)， (2)(x-10(x1十x-3+x-3+…十x十+1) (3):2-1=(2-1D(2+2+2+2+22+2+1), .26+2°+2+2+22+2+1=2-1=127. 11.解：(1)(a十2)(2a+b) (2)①'大长方形纸板的周长为42m, .(a+2b+b十2a)×2-42,.a+b=7. ②阴影部分的面积为58cm, 2a2+262=58,a2+62=29. (a+b)2=a2+b°+2ab, ∴.72=29十2ab,解得ab=10, .空白部分的而积为5a=5×10=50(cm) 专题训练十四分式化简求值的常见方法 2(m-3) m十3 1 1.解：原式=(m+3)(m-3)·2m十)n+1m+ 年当=2摄式异- 2.解：原式-22红十2.2红十(2x-22 (2x-y) (2x十y)2 2x-y 当x=3y=一2时，原式=2×3-(-2②4· 2 1 3.解：原式=（红十2y)(x-2y》·x十2公·xx- 当x=-1,y=2时，原式-是 y 4.3 5.解：y2-4x=0,∴y°=4x, 24x+1)24x+1_204红+卫=2. “原式=y-2y+1+2y y+1Γ 4x十1 6解：原式=a一1. (a+1)2 a十1 (a+1)(a-15a 解不等式①，得a≥2 解不等式②，得a<4, .不等式组的解集为2云a<4 又'4是不等式组的最小整数解 六4-2，原式-2牛13 2 2 2 「a-2-11 7解：原式-a十2a-习*[。2。 2 Γ27 -a+2(a-②产a(a-2J 2 .a(a-2) (4+2》(a-2) 2 ,a十2≠0，a-2≠0，a≠0， 4≠-2,2,0，a=-1. -1 将a-1代入千2得原式a十22-1 x-3,(x+1_1+x-1x+1 8解：原式=+1x-D·x-3-1可2可 1 = x-1 0x≤3，且x为整叛，x≠1，x≠3，.x=0或x=2. 当x=0时，原式=一1当x=2时，原式=1， 9.解：由工+y:z=2￥314可设x=2k,y=3,2=4,其中k ≠0， z+2y产-2染十6-块_缺4 x-y十322k-3+12及11k1T 10解，设牛-安_中-0，尾6十c=a成a十=楼d 6 c 十b=ck. 把这3个等式相加得2(a十b十c)=(a十b十c 若a十b十c=0,则a十b=一c,,k=一1： 若a十b十c≠0，则k=2 原式=··旅- abe 当k=一1时，原式=一1：当k=2时，原式=8 综上所述，a+)6tca+e已的值为-1或8 abe 11解原武=4-4.。-a+2a-2》, a a-2 a-2=a(a+2) a2+2a. 'a3十2a1=0,a2十2a=1,.原式=1. n第a-是- a-) a+2》-+++ a十a 又a>0,a十2=3 13解：原式=一2.红一2》(x十2_x+4 x (x-2)2x十2 =x十2x十4 4 4 工x+2x(x+公z2+2z x2+2x-5=0,x2+2z=5, 原式= 4 5 专题训练十五巧用分式方程的 解求字母参数 1.D 2解：关于：的方程”=1的根是工=2， 六把x=2代入方程，得2一牙=1每得m=4 则(m-403-2m+8=(4-4)2-2×4+8=0. 3.C 4解，流3代人原方起，将3-霜-1， 解得m一4 (2)方程两边同时乘(z十1)，得3x一1一m=x十1， 得x2少 :方程的解为负数， 2”<0每得m<一2 ,原分式方程有解， :0≠一1，解得m≠一4 2 ∴m的取值范围是现<一2且m≠一4 5.D 1 6.解：(1)当4=1时，原分式方程为 2 33-2 去分母，得2十1=2(x-3), 解得x一2 9 检验，当=号时一3≠0， ∴x=号是原分式方程的解 (2)去分母，得2十4=2x一3)， 都得空9 上卧参考答案 191