第十五章轴对称 15.3.2 等边三角形-【支点·同步系列】2025-2026学年新教材八年级上册数学（人教版2024）

15.3.2等边三角形 第1课时等边三角形的性质与判定 要点提示 1.等边三角形及其性质： (1)等边三角形的定义：三条边都物等的三角形叫作等边三角形，等边三角形是持琴的装腰三角形.(2)等边三 角形的三个角都相￥，并且每一个角都等于60° 2.等边三角形的判定： 等边三角形的判定方法有三种：(1)三条边都相号的三角形是等边三角形.(2)三个角都潮等的三角形是等边 三角形，(3)有一个角是60°的暑腰三角形是等边三角形 O1固基础 ，4+++, A.∠B=60 B.∠BAD=30 知识点1等边三角形的性质 C.AB-BC 1.如图，直线11∥L,△ABC是等边三角形.若 D.以上都可以 ∠1=50°，则∠2的度数为 ) 第4图 5.如图，等边三角形纸片ABC A.60° B.70 C.75 D.80 的边长为6，D,E是边BC的 三等分点.若分别过点D,E 沿着平行于BA,CA的方向BI 各剪一刀，剪下△DEF,则剩 第5题阁 第1题图 第2题图 余部分图形的周长是 2.(2024泰安）如图，直线1∥m,等边三角形 、易错点”误认为有一个角为60的任意三 ABC的两个顶点B,C分别落在直线l,m上 角形是等边三角形 若∠ABE=21°，则∠ACD的度数是() 6.如下图，在△ABC中，∠A-120°，AB一 A.45°B.39°C.29° D.21 AC,D是BC的中点，DE⊥AB,DFL 3.如下图，在Rt△ABC中，∠ACB=90 AC,E,F为垂足，求证：△DEF是等边三 △CAP和△CBQ都是等边三角形，BQ和 角形. CP交于点H.求证：BQ⊥CP 知识点2等边三角形的判定 4.(2025鹤壁期末)如图，在△ABC中，D是 BC的中点，AD⊥BC.若添加一个条件可以 证明△ABC是等边三角形，则这个条件可 以是 ( 上册第十五章 念O2提能力念 … (2)延长BC至点F,当CE平分∠ACF时， ①求证：△ABC是等边三角形： 7.如图，将一块等边三角形纸板与直尺叠放在 ②若∠BAD=35°，则∠DEC= 一起，且等边三角形纸板的一个顶点在直尺 的一边上，则a与B的数量关系为() A.a+8=180 B.a十8=120 C.a=B D.a-3=60 ,,+。 03拓思维 第7题图 第8题图 11.如下图，在△ABC中，AB=BC=AC= 8.(2025宜春上高期末)如图，已知△ABC和 12cm,现有两点M,N分别从点A,B同时出 △CDE均是等边三角形，点B,C,D在同一 发，沿三角形的边按顺时针方向运动.已知点 条直线上，BE与AD交于点O,AD与CE M的速度为1cm/s,点N的速度为2cm/s 交于点N,AC与BE交于点M,连接OC, 当点N第一次到达点B时，点M,N同时停 MN.有下列结论：①AD=BE:②ME 止运动. BM,③MN∥BD:④∠BOC=∠DOC.其中 (1)点M,N运动 s时，M,N 正确的有 两点重合 A.1个B.2个 C.3个 D.4个 (2)点M,N运动 s时，可得到等 9.将含30°角的直角三角板和直 边三角形AMN. 尺按如图所示的方式放置，已 (3)当点M,N在BC边上运动时，能否得 知∠a-60°，点B,C表示的 到以MN为底边的等腰三角形AMN?若 刻度分别为1cm,3cm,则线 能得到，请求出此时点M,N运动的时间. 第9题润 段AB的长为 cm. 10.如下图，在△ABC中，AB=AC,D为线段 BC上一动点（不与点B,C重合），连接 AD,作∠DAE=∠BAC,且AD=AE,连 接CE,DE (1)求证：△ABD≌△ACE, 数学八年级R刷版 第2课时含30°角的直角三角形的性质 要点提示 含30角的直角三角形的性质：在直角三角形中，如果一个锐南等于30°，那么它所对的直商边等于研边的一摩， O1因基础 (2)【变式探究】如图②，在Rt△ABC中， 知识点1含30°角的直角三角形的性质 ∠ACB=90°，BC= 号AB,求证：∠BAC 1.如图，△ABC是等边三角形，D为AB的中 =30 点，DE⊥AC,垂足为E,若△ABC的边长 为4，则AE= ( A.2 B.1 C.4 D.3 用② 第1题田 第2题围 2.如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分 ∠BAC,DE⊥AB于点E.已知DE=3, ∠B=30°，则BC= 3.如下图，在△ABC中，AB=AC,∠BAC= 120°，AD⊥AC交BC于点D.求证：BC =3AD. 知识点2含30°角的直角三角形的性质的 应用 5.如图，一棵大树在一次强台风中于离地面5m 处折断倒下，倒下的部分与地面成30°角，则这 棵大树在折斯前的高度为 4.(2025赣州于都期末)【知识回顾】如图①，将 两个含30°角的三角尺摆放在一起，可以证 得△ABD是等边三角形，于是我们得到：在 第5题围 第6题图 直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么 6.(教材变式)如图所示的是屋顶的“人字形” 它所对的直角边等于斜边的一半 钢架示意图，其中斜梁AB一AC,顶角 (1)【结论应用】在R1△ABC中，∠ACB= ∠BAC=120°，跨度BC=10m,AD为支柱 90°，∠BAC=30°.若BC=2,则AB= (底边BC的中线)，两根支撑架DE⊥AB, DF⊥AC,则DE十DF= 上册第十五章 ……念O2提能力 10.某市旧城改造项目计划在一块下图所示的 三角形空地上种植某种草皮美化环境，经 7.(2024呼伦贝尔)如图，在△ABC中，∠C= 过测量得AB=AC=40m,△ABC的外角 90°，∠B=30°，以点A为圆心，适当长为半 ∠ACD=105°.已知这种草皮每平方米a 径画弧分别交AB,AC于点M和点N,再 元，则购买这种草皮一共需要多少钱？ 分别以点M,N为圆心大于2MN的长为 半径画弧，两弧交于点P,连接AP并延长 交BC于点D.若△ACD的面积为8，则 △ABD的面积是 () A.8 B.16 C.12 D.24 第7题图 第8题图 8.如图，已知∠ABC=60°，点P在边AB上， BP=a,点E,F在边BC上，PE=PF.若 …… FE=b,则BE的长为 03拓思维 11.如右图，△ABC为等边三 (用含a,b的代数式表示). 角形，AE=CD,AD,BE 9.如右图，在四边形ABCD 120 相交于点P,BQ⊥AD于 中，AD=8,BC=2,∠B 4丁30 点Q =90°，∠A=30°，∠ADC (1)求证：△ABE2△CAD =120°.求CD的长. (2)求∠BPQ的度数. (3)若PQ=6,PE=2,求BE的长. 数学八年级R刷版.∠BAC=2∠BAD=40° ∠ABC=∠ACB=2X180-40)=70 "Rt△CGD≌Rt△CGE, ∠DCG-∠ECG=1 ∠ACB,即CG平分∠ACB. 六BG平分∠ABC,∠ABG=立∠ABC-35 在R△AEF中，∠BAC=40°，，∠AFE=90°-40°=50 :∠AFE=∠ABG+∠FGB,∴.∠FGB=15 14.解：(1)72 (2)正明：：BD=CD,.∠DBC=,∠C 'BD平分∠ABC, ∴.∠ABD=∠DBC..∠ABD=∠C ∠A=∠DEC, 在△ABD和△ECD中，∠ABD=∠C. BD=CD, ,△ABD2△ECD(AAS),∴，AB=EC (3)正明：如图，延长BD到点T,使得CD =CT,.∠T=∠CDT=∠ADB .BD=CD,..BD=CT. 在△ABD和△ECT中， ∠A=∠CET, ∠ADB=∠T, BD=CT. .△ABD2△ECT(AAS),,.AB=EC 第2课时等腰三角形的判定 1.D2.D3.C4.35.2 6.解：(1)证明：AD∥BC,∴∠DAE=∠E AE是∠DAB的平分线， ∠DAE=∠BAE,.∠BAE=∠E,BA=BE :BG⊥AE,BG平分∠ABE (2),AE是∠DAB的平分线，∠DAB=60° ∠DAE=∠BAE=∠DAB=30 ,BG⊥AE,∴.∠ABF=90°-∠BAE=90°-30°=60° 由1)知，∠EBF=∠ABF,即∠EBF=60',∴∠BGC=180 -∠BCG-∠EBF=180°-100°-60°=20 7.45或67.5"或90°8.C9.D10.8 11,解：(1)：∠C=3∠B,∠C=75, ∴∠B=25,∴∠BAC=180°-∠B-∠C=80 :AD平分∠BAC,∠DAC-号∠BAC-40 AE⊥BC,∴.∠EAC=90°-∠C=15, .∠DAE=∠DAC-∠EAC=25 (2)证明：设∠B=a,则∠C=3a,∠BAC=180°-∠B ∠C=180°-4a. 1 :AD平分∠BAC,∠BAD-名∠BAC-90-2a. DF⊥AD,∴.∠ADF=90°， ∠AFD=90°-∠BAD=2a :∠AFD=∠B十∠BDF=a十，∠BDF ∠BDF=a=∠B,∴.BF=DF 12.解：(1)25”小 (2)当DC=AB=2时，△ABD2△DCE.理由如下： ,,∠ADE+∠CDE=∠ADC=∠B十∠BAD,∠B ∠ADE=40°，.∠CDE=∠BAD. AB=AC,.∠B=∠C, .当DC=AB=2时，△ABD2△DCE (3)由(2)可知，∠B=∠C=40°.根据题意，分戒以下三种 情况进行讨论： ①当AD=AE时，∠ADE=,∠AED=40°，此时点B,D重 合，不符台题意， 176 数学八年级RJ版 ②当DA=DE时，∠DAE=∠DEA=2X180-40) 70°，∴.∠BDA=∠DAE+∠C=110: 当EA=ED时，∠ADE=∠DAE=40”, .∠BDA=∠DAE+∠C=80' 综上所述，当∠BDA=110°或80°时，△ADE是等腰 角形， 15.3.2等边三角形 第1课时等边三角形的性质与判定 1.B2.B 3.正明：：△CAP和△CBQ都是等边三角形， .∠ACP-∠CBQ=60 ∠ACB=90°，∠BCP=∠ACB-∠ACP=30 在△BCH中，∠BHC=180”-∠BCP-∠CBQ=180°-30° -60°=90°..BQ⊥CP 4.D5.20 6.证明：，∠A=120°，AB=AC,.∠B=∠C=30 又：DE⊥AB,DF⊥AC,∠BED=∠CFD=90°， ∴.∠BDE=∠CDF=60',.∠EDF=60 D是BC的中点，∴BD=CD ∠B=∠C 在△BDE和△CDF中，BD■CD, ∠BDE=∠CDF, ,.△BDEe2△CDF(ASA), .DE=DF,△DEF是等边三角形 7.B8.C9.2 10.解：(1)证明：'∠DAE=,∠BAC ∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC .∠BAD=∠CAE AB-AC. 在△ABD和△ACE中，∠BAD=∠CAE AD=AE ∴.△ABD2△ACE(SAS). (2)①证明：由(1)可知，△ABD2△ACE。 .∠B=∠ACE. CE平分∠ACF,.∠ACE=∠FCE. AB=AC,∴∠B=∠ACB, ∴.∠B=∠ACB=∠ACE=∠FCE :∠ACB+∠ACE+∠FCE=130', ∴∠ACB=60',∴△ABC是等边三角形 ②025 11.解：(1)12(2)4 (3)当点M,N在BC边上运动时，能得到以MN为底边的 等腰三角形AMN. 由(1)知，当点M,N运动12s时M,N两 点重合，恰好在点C处，如图，假设 △AN是等腰三角形，则AM=AN, .∠AN=∠ANM, '∠AMC=∠ANB AB=BC=AC,∴△ABC是等边三角形， .∠C=∠B, ∠AMC=∠ANB, 在△ACM和△ABN中，∠C=,∠B, AC-AB, .△ACM2△ABN(AAS),.CM=BN 设当点M,N在BC边上运动且点M,N运动的时间为ys 时，△AMN是等腰三角形， .CM=y-12,NB=36-2y. CM=BN.∴y-12=36-2y 解得y=16,故假设成立， ∴当点M,N在BC边上运动时，能得到以MN为底边的 等腰三角形AMN,此时点M,N运动的时间为16s. 第2课时含30°角的直角三角形的性质 1.B2.9 3.证明：AB=AC,∠BAC=120°，.∠B=∠C=30°，AD ⊥AC,∴.∠DAC=90°，∴.CD=2AD,∠BAD=∠B=30", ..AD-BD,..BC-CD+BD=3AD. 4.解：(1)4 (2)证明：如图，延长BC至点D,使CD=C, 连接AD. .∠ACB=90°，CD=BC, ∴AC是线段BD的垂直平分线， ..AB=AD. :BC=2AB,六BD=2BC=AB, △ABD是等边三角形，·∠BAD=60°， 'AC⊥BD,∴.∠BAC=∠DAC=30 5.15m6.5m7.B8.2a-b) 9,解：如图，延长AD,BC交于点E.∠A =30°，∠B=90°，AE=2BE,∠E D.. 60°.：∠ADC■120°，.∠EDC=60° 120 ∴.∠ECD=180°-∠E-∠EDC=60° 130 ∴△EDC是等边三角形.设CD=CE DE=x,,AD=8,BC=2,∴.2(2十x)=x十8，解得x=4, 即CD的长为4. 10.解：如图，过点B作BH⊥AC于点H ∠ACD=105,∠ACB=75 .AB=AC=40 m: .∠ABC=∠ACB=75°， .∠A=180”-2×75=30 :BHLAC,BH-含AB=20m, 1 1 ÷.S△c=2AC·BH=2×40X20=400(m). 这种草皮每平方米a元， .购买这种草皮一共需菱400a元. 11.解：(1)证明：：△ABC是等边三角形 .∠BAC=∠C=60',AB=CA. AB=CA, 在△ABE和△CAD中，∠BAE=∠C AE=CD. .△ABE2△CAD(SAS). (2)△ABE2△CAD,∴.∠ABE=∠CAD, ∴.∠ABE+∠BAP=∠CAD+∠BAP, 即∠BPQ=∠BAC=60 (3)'BQ⊥AD,∴.∠BQP=90 又，∠BPQ=60°，.∠PBQ=30°， .BP=2PQ=12,.BE=BP+PE=12+2=14. 本章小结 1,B2.B3.244.(-6-mm)5.A(或C) 6,解：(1)如图，△AB,C1即为所求，点A1的坐标为(-2,4). (2)点A关于x轴的对称点A:的坐标为(2，一4) 7.B 8.解：如图，连接AB',BB',BB'交AC于点 O,过点A作AE⊥CD于点E.点B关 于AC的对称点B恰好落在CD上，∴AC 垂直平分BB',AB=AB,BC=B√C ·∠BAC=∠BAC,∠ACB=∠ACB. AB=AD,∴.AD=AB' 又AE⊥CD,∠DAE=∠BAE, 六∠CAE-吉∠RAD-7: 又∠AEB'=90°，∴.，∠ACB'=90°-，∠CAE=90° a ∠ACB=∠ACB=90-2a 9.解：(1)如图，AE即为所求. (2)证明：如图，连接DG并延长，交AE于点F, BD⊥CD,AE⊥CD, .BD∥AE, .∠FAG=∠DBG. ∠FAG=,∠DBG 在△AGF和△BGD中，∠AGF=∠BGD, AF=BD, .△AGF☑△BGD(AAS), .AG=BG,即G是AB的中点 10.D 11.解：(1)证明：AD为BC边上的中线，.BD=CD. (AB=AC, 在△ABD与△ACD中，AD=AD, BD=CD, ∴.△ABD2△ACD(SSS). (2)由题意，得BD=BE, ∠BDE=∠BED=号X180-507=65 :AB=AC,AD为BC边上的中线， ,AD⊥BC,.∠ADB=90°， ,∠ADE=∠ADB-∠BDE=90'-65=25 12.A13.3 14.证明：(1)DC平分∠ADB,∴.∠ADC=,∠BDC. '∠ADB=60°，.∠ADC=∠BDC=30' ,DC⊥AB,∴.∠DCB=∠DCA=90, ∴.∠B=∠DAB=90°-30°=60°， .∠ADB=∠B=∠DAB=60, .△ADB是等边三角形. (2),CE∥DA,.∠BEC=∠ADB=60', .∠CEB=∠B=∠ECB=60°， ∴△CEB是等边三角形，∴CE=BE=BC. '∠BDC=30',∠DCB=90', ∴BC=2BD,∴BE=2BD, ,E是BD的中点，AE是边BD的中线 △ADB是等边三角形，AE⊥BD. 15.解：(1)在Rt△ADC中，'AD=2,∠ADC=60°， ∴.∠ACD=30°..CD=CE=2AD=4. EC⊥CD,∠ECD=90", Sam-是CD:CE-号X4X4-8 (2)证明：如图，在EF上取一点M,使得EM =DF. ,EC=CD,∠ECD=90°， .∠E=∠CDF=45°， ,△ECM2△DCF(SAS,∴.CM=CF, ∠ADC=60°， ∴，∠FDB=180°-60°-45°=75， 上册参考答案 177