专题15.4 等边三角形的性质和判定（五大题型）（题型训练+易错精练）-2025-2026学年八年级数学上册《知识解读•题型专练》（人教版新教材）

专题15.4 等边三角形的性质和判定（五大题型） 【题型1：根据等边三角形的性质求有关的边长】.......................................................1 【题型2：根据等边三角形的性质求角度】.................................................................2 【题型3：等边三角形的判定】.................................................................................4 【题型4：等边三角形的判定与性质】........................................................................8 【题型5：含30°角的直角三角形的性质】................................................................12 【题型1：根据等边三角形的性质求有关的边长】 1．如图，是等边三角形，，，垂足分别为D，E，如果，则（    ）． A．0.5 B．1 C．1.5 D．2 2．如图，点P为等边的边上一点，Q为延长线上一点，，连接交于D，若，，则的长为（   ） A．2 B． C． D． 3．如图是等边三角形，点D是边上一点，以为边作等边，连接．若，，则 ． 4．如图，在等边三角形中，，点D是的中点，过点D作于点F，过点F作于点E，则的长为 ． 5．如图，等边中，是上的点，于点， ． 6．如图，在等边三角形中，于点，若，则的长为 ． 7．若等边的周长为，则 ． 8．如图，在中，B为边上一点，连接，恰为等边三角形，，则的长度为 ． 【题型2：根据等边三角形的性质求角度】 1．如图，把等边纸片沿折叠，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．如图，是等边三角形，在中，，则（   ） A． B． C． D． 3．如图，和均为等边三角形，点B，D，E在同一直线上，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 4．如图，，分别是等边三角形的边，上的点，且，则的度数为（    ） A． B． C． D． 5．如图，以正五边形的边为边向外作等边三角形，连接，则等于 ． 6．如图，在等边中，是上一点，于点，若，则的度数为 ． 7．如图，已知等边，直线，，则的度数为 ． 8．如图，在等边中，点分别在边上，且，则 ． 【题型3：等边三角形的判定】 1．如图，在中，，．请用尺规作图法，在边上分别求作一点D，E，使为等边三角形．（保留作图痕迹，不写作法） 2．如图，在四边形中，，平分，于点M，于点N，连接． (1)证明：； (2)若，证明：是等边三角形． 3．如图，是等边三角形，，垂足分别为，连接．求证：是等边三角形． 4．如图，在中，，在边上取点，连接，使．以为一边作等边，且使点与点位于直线的同侧，． (1)求的度数； (2)点在上，连接，请判断是否是等边三角形，并说明理由． 5．如图，在中． (1)尺规作图，过点作，垂足为，在的延长线上截取，连接．（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件之下，若，且，试判断的形状，并证明你的结论． 6．如图，在中，，点在边上，连接，，是延长线上一点，且，，连接． (1)求的度数； (2)求证：为等边三角形． 7．已知：如图所示，在中，． (1)作的垂直平分线，分别交、于点、，连接（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和证明）； (2)若，，求的长度； (3)在（2）的条件下，判断的形状（直接写出结果，不需要说明理由）． 8．如图，在中，，，的垂直平分线分别交和于点D，E． (1)若，求的长度； (2)连接，请判断的形状，并说明理由． 9．如图，中，，点，在边上，且，． (1)求证：； (2)若，求证：是等边三角形． 【题型4：等边三角形的判定与性质】 1．如图，在中，，，是边上的中线，的垂直平分线交于点，交于点，点是上一点，连接，． (1)求证：； (2)若，求的长． 2．如图，在中，，，，垂足为，且，，，的两边分别交，于点，，． (1)求证：是等边三角形． (2)求的长． 3．如图，是等边三角形，点D在边上，点E在的延长线上，连接，，且． (1)求证：； (2)求证：． 4．如图，在中，，平分，于E，连接，交于点F． (1)求证：； (2)若，，求的长． 5．如图，与都是等边三角形，若与相交于点，与相交与点，与相交于点． (1)求证：； (2)求的度数． 6．如图，点在上，，，且． (1)求证：； (2)取的中点，连接．若，求的度数． 7．如图，在中，，是上的一点，过点作于点，延长和，交于点． (1)求证：是等腰三角形： (2)若，，，求的长． 8．如图，是等边三角形，点、分别是射线、射线上的动点，点从点出发沿射线移动，点从点出发沿移动，点、点同时出发并且运动速度相同．连接、． (1)如图①，当点移动到线段的中点时，求证：． (2)如图②，当点在线段上移动但不是中点时，试探索与之间的数量关系，并说明理由． (3)如图③，当点移动到线段的延长线上，并且时，求度数． 9．已知，在等边三角形中，点E在上，点D在的延长线上，且． (1)如图1，当点E为的中点时，确定线段与的大小关系，请你直接写出结论：_________（填“>”，“<”或“=”）． (2)如图2，当点E为边上任意一点时，请判断线段与的大小关系，并说明理由．（提示：过点E作，交于点F） (3)如图3，在等边三角形中，点E在直线上，点D在线段的延长线上，且，若的边长为3，，求线段的长． 【题型5：含30°角的直角三角形的性质】 1．如图，在中，，，，则的长为（    ） A．1 B． C．2 D． 2．如图，在中，，．以点C为圆心，任意长为半径画弧，交于点，再分别以点为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点P，作射线交于点H．，Q是边上一动点，则点之间的最小距离为（　　） A．2 B．3 C．4 D． 3．某停车场采用先进的车辆识别系统，车辆进出时被系统自动识别后栏杆抬起（如图1）．已知停车场入口的栏杆的长度为3米（如图2所示），栏杆从水平位置绕点顺时针旋转到的位置，在旋转过程中，当栏杆的旋转角为时，栏杆端点升高了 米． 4．舂米是中国传统农业劳作方式，过程主要分为摆米、浸泡、放水、捞黄、捣击、提麸等环节，最早可追溯至数千年前的周代和春秋战国时期．舂的结构类似于杠杆（如图1所示），一口石臼上架着用一根木头做成的“碓身”，“碓”的头部下面有杵（），“碓”尾部的地下挖一个深坑，能使碓头翘得更高，提高舂米效率．舂米工作时（如图2所示），碓尾落于深坑底部时，在点处测得碓头所在位置仰角为，已知坑深，碓身长，则碓头离地面的高度是 ． 5．如图，在中，，图中所作直线与射线交于点D，点D在边上，直线交于点G，根据图中尺规作图痕迹，若，则的长为 ． 1．如图，是等边三角形，点在的延长线上，交于点，若，则的长为（   ） A．12 B．8 C． D．4 2．如图，点是等边的边上一点，过点作，垂足为点，延长至点，使，连接交于点．下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 3．如图，点为线段上一动点（不与点、重合），在同侧分别作等边和等边，与交于点，与交于点，与交于点，连接、，以下结论：①；②为等边三角形；③；④平分；正确的有（   ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 4．如图，在中，，D为射线上一动点（不与点B、C重合），在的右侧作，使得，连接． (1)若，则______． (2)当点D在线段上时，求证：； (3)若点D运动到线段上某一点时，恰好有，问：线段与线段有什么位置关系并说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题15.4 等边三角形的性质和判定（五大题型） 【题型1：根据等边三角形的性质求有关的边长】.......................................................1 【题型2：根据等边三角形的性质求角度】.................................................................6 【题型3：等边三角形的判定】.................................................................................12 【题型4：等边三角形的判定与性质】........................................................................22 【题型5：含30°角的直角三角形的性质】................................................................36 【题型1：根据等边三角形的性质求有关的边长】 1．如图，是等边三角形，，，垂足分别为D，E，如果，则（    ）． A．0.5 B．1 C．1.5 D．2 【答案】D 【分析】本题考查等边三角形的性质，角的直角三角形的性质，根据等边三角形的性质可得，，进而得到 ，可得，根据角的直角三角形的性质可求得的长，即可解题． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴，， 又∵，， ∴，， ∴，， 故选：D． 2．如图，点P为等边的边上一点，Q为延长线上一点，，连接交于D，若，，则的长为（   ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定．过点作交于点；得出是等边三角形，进而证明)，得到，设，则有，根据，列式计算即可求解． 【详解】解：如图，过点P作交于点F， 是等边三角形， ， ， ， ， 是等边三角形， ，， ，， 在和中， )， ， 设，则有， ， ，， ， ， ， ， 解得：，即， 故选：A． 3．如图是等边三角形，点D是边上一点，以为边作等边，连接．若，，则 ． 【答案】4 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，由可证，可得，即可求解． 【详解】解：∵、是等边三角形， ∴，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 故答案为：4． 4．如图，在等边三角形中，，点D是的中点，过点D作于点F，过点F作于点E，则的长为 ． 【答案】5 【分析】本题考查了等边三角形的性质，含角的直角三角形，根据在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半，求得，，，再由等边三角形的边长为4，得出的长．掌握角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键． 【详解】解： 为等边三角形，， ，， ，， ， ， ，， 点是的中点， ， ， ， ， ． 故答案为：5． 5．如图，等边中，是上的点，于点， ． 【答案】/30度 【分析】本题考查了等边三角形的性质、直角三角形的性质，熟练掌握等边三角形和直角三角形的性质是解题的关键．根据等边三角形和直角三角形的性质即可求解． 【详解】解：等边， ， ， ， ． 故答案为：． 6．如图，在等边三角形中，于点，若，则的长为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了等边三角形的性质，垂直平分线的性质，判断是的垂直平分线是解答关键． 根据等边三角形的性质求出的长度，再利用三线合一得到是的垂直平分线来求解． 【详解】解：在等边三角形中，， ． ， 是的垂直平分线， ． 故答案为：4． 7．若等边的周长为，则 ． 【答案】4 【分析】本题考查等边三角形的性质，等边三角形的三边相等是解题的关键． 设的长为，即可得一元一次方程，解方程即可得解． 【详解】解：设的长为， 是等边三角形， ， 解得，， 即， 故答案为：． 8．如图，在中，B为边上一点，连接，恰为等边三角形，，则的长度为 ． 【答案】14 【分析】本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的判定，根据等边三角形的性质求出，然后根据等角对等边得出，即可求解． 【详解】解：∵为等边三角形，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为∶14． 【题型2：根据等边三角形的性质求角度】 1．如图，把等边纸片沿折叠，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由折叠的性质得到，根据外角的定义得到，即可得到结论． 本题考查了等边三角形的性质，折叠的性质，熟练掌握等边三角形的性质是解题的关键． 【详解】由折叠可知， 又， 是等边三角形， ， ． 故选：B． 2．如图，是等边三角形，在中，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查等边三角形的性质、等腰三角形的性质及三角形外角的性质，熟练掌握等边三角形的性质、等腰三角形的性质及三角形外角的性质是解题的关键；由题意易得，则有，然后问题可求解． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴； 故选：D． 3．如图，和均为等边三角形，点B，D，E在同一直线上，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质，根据等边三角形的性质和证明得到，再求出的度数即可得到答案． 【详解】解：∵和均为等边三角形， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 4．如图，，分别是等边三角形的边，上的点，且，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形外角的性质等知识点，灵活运用相关判定与性质定理成为解题的关键． 根据等边三角形的性质可得，再证明可得，最后根据三角形外角的性质以及等量代换的性质即可解答． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 故选B． 5．如图，以正五边形的边为边向外作等边三角形，连接，则等于 ． 【答案】54 【分析】本题考查正多边形的性质、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理，熟知正五边形的性质是解答的关键．先根据正五边形和等边三角形的性质得到，，再根据等腰三角形的性质求得，进而利用角的和差求解即可． 【详解】解：在正五边形中，，， 在等边三角形中，，， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：54． 6．如图，在等边中，是上一点，于点，若，则的度数为 ． 【答案】/75度 【分析】本题考查了直角三角形的两个锐角互余，等边三角形的性质，外角性质，先运用，，得出，结合等边三角形的性质，得出，最后运用外角性质列式计算，即可作答． 【详解】解：∵，， ∴， 则， ∵是等边三角形， ∴， 则， ∴， 故答案为：． 7．如图，已知等边，直线，，则的度数为 ． 【答案】75 【分析】本题考查的是平行线的性质，三角形的内角和定理的应用，等边三角形的性质，先求解，再求出即可． 【详解】解：如图，    ∵等边， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为：75． 8．如图，在等边中，点分别在边上，且，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形外角性质，由等边三角形的性质可得，，进而可得，即得到，进而由三角形外角性质可得，即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵为等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【题型3：等边三角形的判定】 1．如图，在中，，．请用尺规作图法，在边上分别求作一点D，E，使为等边三角形．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【分析】本题考查了复杂作图，等边三角形的判定．作平分线交于点，再以点为圆心为半径作弧交于点，连接，则为等边三角形． 【详解】解：作平分线交于点，再以点为圆心为半径作弧交于点，连接，则为等边三角形． 由作图知， ∵， ∴为等边三角形． 2．如图，在四边形中，，平分，于点M，于点N，连接． (1)证明：； (2)若，证明：是等边三角形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据平行线的性质得到，根据角平分线定义得到 即可证明，从而证明； （2）根据直角三角形的性质求出，，，得到，即可证明是等边三角形． 【详解】（1）证明：∵， ∴． ∵平分， ∴， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∵于点M， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴是等边三角形． 【点睛】本题考查了等腰三角形、等边三角形的判定、平行线的性质、直角三角形的性质等知识，熟知相关知识并根据题意灵活应用是解题的关键． 3．如图，是等边三角形，，垂足分别为，连接．求证：是等边三角形． 【答案】见解析 【分析】本题考查等边三角形的判定和性质，三线合一． 根据等边三角形三线合一推出，进而推出，结合，即可证明结论． 【详解】证明：∵是等边三角形， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴是等边三角形． 4．如图，在中，，在边上取点，连接，使．以为一边作等边，且使点与点位于直线的同侧，． (1)求的度数； (2)点在上，连接，请判断是否是等边三角形，并说明理由． 【答案】(1) (2)等边三角形，理由见解析 【分析】本题考查等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质等知识．灵活运用等边三角形的判定与性质是解答本题的关键． （1）利用等边三角形的性质求出的度数，然后利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可求出，从而根据求解即可； （2）利用等腰三角形的性质求出，然后根据证明是等边三角形即可． 【详解】（1）解：在等边 中， ， ， ， ， ， ， ， ． （2）解： 是等边三角形． 理由如下： 由 （1）可得 ， ， ， ， ， 是等边三角形． 5．如图，在中． (1)尺规作图，过点作，垂足为，在的延长线上截取，连接．（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件之下，若，且，试判断的形状，并证明你的结论． 【答案】(1)见解析； (2)是等边三角形，证明见解析． 【分析】（1）根据垂线的作法画出，再在的延长线上截取，连接即可； （2）由题意可知垂直平分，得到，再根据等边对等角和三角形外角的定义，得出，从而得到，推出，即可判断的形状． 【详解】（1）解：如图即为所求作； （2）解：是等边三角形，证明如下： ，， 垂直平分， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 是等边三角形． 【点睛】本题考查了基本作图——作垂线和线段，垂直平分线的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，三角形外角的定义，直角三角形的性质，等边三角形的判定等知识，掌握相关知识点是解题关键． 6．如图，在中，，点在边上，连接，，是延长线上一点，且，，连接． (1)求的度数； (2)求证：为等边三角形． 【答案】(1) (2)详见解析 【分析】（1）由等边对等角得，从而，可得，然后根据即可求解； （2）由线段垂直平分线的性质得，由三线合一求出，进而可证为等边三角形． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∴为等腰三角形，平分， ∴， ∴为等边三角形． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形外角的性质，直角三角形两锐角互余，线段垂直平分线的性质，等边三角形的判定，熟练掌握等边三角形的判定方法是解答本题的关键． 7．已知：如图所示，在中，． (1)作的垂直平分线，分别交、于点、，连接（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和证明）； (2)若，，求的长度； (3)在（2）的条件下，判断的形状（直接写出结果，不需要说明理由）． 【答案】(1)见解析 (2)； (3)是等边三角形． 【分析】（1）根据线段垂直平分线的尺规作图方法作图即可； （2）由线段垂直平分线的性质可得，，再根据直角三角形的性质即可求解； （3）根据直角三角形的性质求得，，即可证明是等边三角形． 【详解】（1）解：所作图形，如图， （2）解：∵是线段的垂直平分线， ∴，， ∵，， ∴， ∴； （3）解：是等边三角形， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴是等边三角形． 【点睛】本题考查了尺规作图—作垂线，线段垂直平分线的性质，直角三角形的性质，等边三角形的判定，熟练掌握以上并灵活运用是解此题的关键． 8．如图，在中，，，的垂直平分线分别交和于点D，E． (1)若，求的长度； (2)连接，请判断的形状，并说明理由． 【答案】(1) (2)是等边三角形，理由见解析 【分析】本题主要考查线段垂直平分线的性质，角的直角三角形的性质． （1）连接，由垂直平分线的性质可求得，在中，由直角三角形的性质可证得，则可得出结果； （2）由垂直平分线的性质可求得，且，可证明为等边三角形． 【详解】（1）解：连接， ∵，， ∴， 是的垂直平分线， ， ， ， 在中，， ， ∵， ∴； （2）解：是等边三角形，理由如下： 垂直平分， 为中点， ， ， ， 是等边三角形． 9．如图，中，，点，在边上，且，． (1)求证：； (2)若，求证：是等边三角形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定，三角形内角和定理． （1）证明得，进而得，即可得出结论； （2）先由等腰三角形的性质得，再由三角形内角和定理得，即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， 在和中， ∵， ∴，即， ∴是等边三角形． 【题型4：等边三角形的判定与性质】 1．如图，在中，，，是边上的中线，的垂直平分线交于点，交于点，点是上一点，连接，． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（）根据等腰三角形性质得，，，，进而可得，得到，即可求证； （）根据线段垂直平分线性质得，，得到，进而由三角形外角性质得，即可得为等边三角形，得到，即可得，求出即可求解； 本题考查了等腰三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，等边三角形的判定和性质等，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】（1）证明：在中，，， ∴， ∵是边上的中线， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵是线段的垂直平分线， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴． 2．如图，在中，，，，垂足为，且，，，的两边分别交，于点，，． (1)求证：是等边三角形． (2)求的长． 【答案】(1)见详解 (2)3 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质；熟练掌握等腰三角形的性质，并能进行推理论证是解决问题的关键． （1）由等腰三角形的性质和已知条件得出，再由，即可得出结论； （2）由是等边三角形，得出，，证出，由证明，得出，结合已知和即可． 【详解】（1）证明：∵，， ∴． ∵， ∴． 又∵， ∴是等边三角形． （2）证明：∵是等边三角形， ∴，． ∵， ∴． ∴， ∴． 在与中， ， ∴． ∴， 又∵， ∴， ∵，， ∴． 3．如图，是等边三角形，点D在边上，点E在的延长线上，连接，，且． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查的是等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定； （1）由等边三角形的性质结合三角形的内角和定理可得答案； （2）在线段上截取，连接，证明是等边三角形，可得，结合，可得结论. 【详解】（1）证明：∵是等边三角形， ∴， 在中，， 在中，， 又∵，， ∴； （2）证明：在线段上截取，连接， ∵是等边三角形 ∴，， ∵，， ∴是等边三角形 ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴. 4．如图，在中，，平分，于E，连接，交于点F． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形，掌握30度角所对的直角边等于斜边一半是解题关键． （1）利用“”证明出，即可得出结论； （2）证明是等边三角形，根据等边三角形三线合一的性质，得到，，再利用30度角所对的直角边等于斜边一半求解即可． 【详解】（1）证明：，， ， 平分， ， 在和中， ， ， （2）解：，， 是等边三角形， ， 平分， ，， ，， ， 在中，， ． 5．如图，与都是等边三角形，若与相交于点，与相交与点，与相交于点． (1)求证：； (2)求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题主要考查等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定和性质等知识，正确寻找全等三角形是解决本题的关键． （1）利用“边角边”证明全等，即可证明． （2）证明，，证明，可得，为等边三角形，从而可得答案. 【详解】（1）证明：∵和都是等边三角形， ∴，， ∴， 即， 在和中， ， ∴ ， ∴． （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴. 6．如图，点在上，，，且． (1)求证：； (2)取的中点，连接．若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）先证明，再利用证明，即可得证； （2）由全等三角形的性质可得，由（1）可得，证明为等边三角形，得出，再由等边三角形的性质即可得解． 【详解】（1）证明：∵， ∴，即， ∵，， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， 由（1）可得， ∴为等边三角形， ∴， ∵取的中点，连接． ∴． 7．如图，在中，，是上的一点，过点作于点，延长和，交于点． (1)求证：是等腰三角形： (2)若，，，求的长． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质，含角的直角三角形等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）由，可知，再由，可知，然后余角的性质可推出，再根据对顶角相等进行等量代换即可推出，于是得到结论； （2）根据直角三角形度所对的边是斜边的一半，得到，再由可证明是等边三角形，最后可得答案． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ， ∵，， ∴， 又∵， ∴是等边三角形， ∴． 8．如图，是等边三角形，点、分别是射线、射线上的动点，点从点出发沿射线移动，点从点出发沿移动，点、点同时出发并且运动速度相同．连接、． (1)如图①，当点移动到线段的中点时，求证：． (2)如图②，当点在线段上移动但不是中点时，试探索与之间的数量关系，并说明理由． (3)如图③，当点移动到线段的延长线上，并且时，求度数． 【答案】(1)见解析 (2)，证明见详解 (3) 【分析】本题考查了等腰三角形，等边三角形，以及全等三角形的判定及性质，能够作出辅助线，并合理利用等边三角形的性质是解题的关键． （1）由题意可知，所以，由等边三角形及中点可知，而，所以可证，进一步可证； （2）猜测，在射线上截取，利用等边三角形的性质及可知为等边三角形，再利用边角边即可证明，最后根据全等三角形的性质即可证明； （3）按照第（2）问的思路，作出类似的辅助线：在射线上截取，用同样的方法证明，再根据，证出为等腰直角三角形，即可求出的度数． 【详解】（1）解：， 证明过程如下：由题意可知， ∵D为的中点， ∴， ∴， ∴． ∵为等边三角形，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． （2）解：， 理由如下：在射线AB上截取，连接，如图所示， ∵为等边三角形， ∴，． ∵，， ∴为等边三角形， ∴，． 由题意知， ∴， ∴． 即． ∵， ∴． 在和中，， ∴， ∴与之间的数量关系是． （3）如图，在射线上截取，连接，如图所示， ∵为等边三角形， ∴，． ∵，， ∴为等边三角形， ∴，， ∴． 由题意知， ∵， ∴， 即． ∵， ∴． 在和中，， ∴， ∴． ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴． 9．已知，在等边三角形中，点E在上，点D在的延长线上，且． (1)如图1，当点E为的中点时，确定线段与的大小关系，请你直接写出结论：_________（填“>”，“<”或“=”）． (2)如图2，当点E为边上任意一点时，请判断线段与的大小关系，并说明理由．（提示：过点E作，交于点F） (3)如图3，在等边三角形中，点E在直线上，点D在线段的延长线上，且，若的边长为3，，求线段的长． 【答案】(1)= (2)，理由见解析； (3)． 【分析】本题主要考查了等边三角形的判定和性质、三角形全等的判定和性质： （1）由等腰三角形的性质得，再由等边三角形的性质得，然后证，得，即可得出结论； （2）过点E作，交于点F，证为等边三角形，得，再证，得，即可得出结论； （3）过点E作，交于点F，同（2）得是等边三角形，，则，即可得出答案． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∵点E为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：=； （2）解：，理由如下： 过点作，交于点， 则，，， 是等边三角形， ，， ，， 为等边三角形，， ， , ， ， ， 在和中， ， ， ， ； （3）解：过点作，交的延长线于点，如图3所示： 同（2）得：是等边三角形，， ，， ， ． 【题型5：含30°角的直角三角形的性质】 1．如图，在中，，，，则的长为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，含30度直角三角形的性质，由三角形内角和定理求出，在根据含30度直角三角形的性质即可得出． 【详解】解：∵中，，， ∴， ∴， 故选：C 2．如图，在中，，．以点C为圆心，任意长为半径画弧，交于点，再分别以点为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点P，作射线交于点H．，Q是边上一动点，则点之间的最小距离为（　　） A．2 B．3 C．4 D．8 【答案】C 【分析】过点H作于点Q，则当时，最小，由角平分线的定义得，再由直角三角形的性质得，最后根据角平分线的性质求解即可． 【详解】解：过点H作于点Q，则当时，最小， 由题意得，平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查尺规作图—角平分线、角平分线的性质、直角三角形的性质、垂线段最短，理解题意得平分是解题关键． 二、填空题 3．某停车场采用先进的车辆识别系统，车辆进出时被系统自动识别后栏杆抬起（如图1）．已知停车场入口的栏杆的长度为3米（如图2所示），栏杆从水平位置绕点顺时针旋转到的位置，在旋转过程中，当栏杆的旋转角为时，栏杆端点升高了 米． 【答案】/1.5/ 【分析】本题考查含30度角的直角三角形的性质，熟悉掌握此性质是解题的关键．过点作于点，即可根据含角的直角三角形中，角所对的边是斜边的一半解答． 【详解】解：过点作于点，如图所示： ∵，，米， ∴（米）， 故答案为：． 4．舂米是中国传统农业劳作方式，过程主要分为摆米、浸泡、放水、捞黄、捣击、提麸等环节，最早可追溯至数千年前的周代和春秋战国时期．舂的结构类似于杠杆（如图1所示），一口石臼上架着用一根木头做成的“碓身”，“碓”的头部下面有杵（），“碓”尾部的地下挖一个深坑，能使碓头翘得更高，提高舂米效率．舂米工作时（如图2所示），碓尾落于深坑底部时，在点处测得碓头所在位置仰角为，已知坑深，碓身长，则碓头离地面的高度是 ． 【答案】0.58 【分析】本题考查含30度角的直角三角形的性质，作交的延长线于点G，作于点H，则和均为含30度角的直角三角形，根据30度角所对的直角边等于斜边的一半，即可求解． 【详解】解：如图，作交的延长线于点G，作于点H， 由题意知，， ， ， ， ，， ， 碓头离地面的高度是，即． 故答案为：0.58． 5．如图，在中，，图中所作直线与射线交于点D，点D在边上，直线交于点G，根据图中尺规作图痕迹，若，则的长为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了直角三角形的性质、角平分线的性质、线段垂直平分线的性质、等边对等角，由作图可得垂直平分，平分，从而可得，，，进而得出，，求出，再由直角三角形的性质计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：由作图可得：垂直平分，平分， ∴，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 1．如图，是等边三角形，点在的延长线上，交于点，若，则的长为（   ） A．12 B．8 C． D．4 【答案】B 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，三角形内角和定理，由等边三角形的性质得到，再求出，即可得到． 【详解】解；∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 2．如图，点是等边的边上一点，过点作，垂足为点，延长至点，使，连接交于点．下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平行线的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握等边三角形的性质是解题的关键；过做，交于，根据题意判定是等边三角形，判定，进而根据等边三角形的性质逐一分析即可求解； 【详解】解：过做，交于， 是等边三角形， ， ， ，， 是等边三角形， ，所以为中点， ， 为等边三角形， ， ， ， ∴，故A不符合题意； ， ， ， ， ，，故B不符合题意； ， ， ，即，故C不符合题意； 当时，而， ∴，题干没有这个条件，故D错误符合题意； 故选：D 3．如图，点为线段上一动点（不与点、重合），在同侧分别作等边和等边，与交于点，与交于点，与交于点，连接、，以下结论：①；②为等边三角形；③；④平分；正确的有（   ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】由和等边是正三角形，其性质得三边相等，三个角为，平角的定义和角的和差得，边角边证明，其性质得结论①正确；根据等边三角形的判定得是等边三角形，结论②正确；根据全等三角形的性质和三角形内角和定理即可得结论③正确；角角边证明，其性质和角平分线性质定理的逆定理求出点在的平分线上，结论④正确． 【详解】解：∵和是正三角形， ， 又 ∵， ， 在和中， ， ， ， ∴结论①正确； ， ， 又， ， 在和中， ， ， ， 是等边三角形，故②正确； ， ， 又，，， ， ，结论③正确； 过点分别作于点、两点，如图2所示： ， ， 在和中， ， ， ， 又 ∵在的内部， ∴点在的平分线上， ∴结论④正确； 综合所述，共有 4个结论正确． 故选：D． 【点睛】本题综合考查了全等三角的判定与性质，等边三角形的判定，三角形的内角和定理，角平分线性质定理的逆定理等相关知识，重点掌握全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，难点是用角平分线性质定理的逆定理作辅助线证明一点已知角的角平分线上． 4．如图，在中，，D为射线上一动点（不与点B、C重合），在的右侧作，使得，连接． (1)若，则______． (2)当点D在线段上时，求证：； (3)若点D运动到线段上某一点时，恰好有，问：线段与线段有什么位置关系并说明理由． 【答案】(1) (2)见解析 (3)．理由见解析 【分析】本题考查等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定方法，是解题的关键： （1）等边对等角，求出，进而得到的度数，再根据等边对等角进行求解即可； （2）利用证明，即可； （3）根据，得到，推出为等边三角形，进而推出，进而得到即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）证明：， ， ． 在和中． ， ； （3）．理由如下： 由（2）知， ． ， ． ， ． 为等边三角形， ， ， ， ． 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