第七章 证明 3 平行线的证明-【支点·同步系列】2025-2026学年新教材八年级上册数学（北师大版2024）

3平行线的证明 第1课时平行线的判定 要点提示 平行线的判定公理：两条直线被第三条直线所藏，知果司位角相等，那么这两条直线平行。简述为周住角相等， 西直线平行 平行线的判定定理：(I)两条直线被第三条立线所戴，如果内错角相等，那么这两条直线平行，简迷为情角相 号，面直箕平行.(2)两条直线被第三条直线所戴，如果同旁内角互补，郊么这两条直线平行.简述为同事阳角委 秋，而查低平行 … O1因基础 A.∠1=∠3 B.∠3=∠C 知识点1平行线的判定公理 C.∠2=∠4 1.如图，已知∠1=90°，为保证两条铁轨平行， D.∠1+∠4-180 第4题 添加的下列条件中，正确的是 ) 5.如图，工人师傅在施工时，需在同一平面内 终执口 弯制一根变形管道ABCD,使其拐角∠B= 铁执口 32°，∠C-148°，则下列结论正确的是 枕木 就木 第1题图 A.AB∥CD B.AB=BC A.∠2=90 B.∠3=90 C.AB=CD D.AB与CD相交 C.∠4=90 D.∠5=90 2.如下图，AB∥EF,CD与AF交于点G,且 ∠A=∠C+∠AFC.求证：CD∥EF. 第5题田 第6题田 6.(教材变式)如图，∠1+∠2=240°，∠1+ ∠3=240°，则直线b与直线c的位置关系是 卜易错点不能准确识别截线和被截线，从 而误判两直线平行 7.如右图. 知识点2平行线的判定定理 (1)由∠1=∠2，可以得 到哪两条直线平行？ 3.下列图形中，由∠1-∠2能得到AB∥CD (2)由∠ABC十∠BCD=180°，可以得到 的是 哪两条直线平行？ 4.如图，在△ABC中，点D,E,F分别在边 BC,AB,AC上.下列能判定EF∥BC的条 件是 上册第七章 …念O2提能力念… 8.下列图形中，已知∠1=∠2，则可得到AB∥ A CD的是 —DC 9.将一副三角板按如图所示的方式放置，有下 列结论：①∠1=∠3：②如果∠2=30°，那么 AC∥DE:③如果∠2=45°，那么BC∥AD; ④如果∠4=∠C,那么∠2=30°.其中正确 的是 ( ) A.①②③ B.①②④ O3拓思维 C.③④ D.①D②③④ 13.空间观念如下图，将一副三角板中的两个 直角顶点C叠放在一起，其中∠A=30°， ∠B=60°，∠D=∠E=45°， (1)若∠BCD=110°，则∠ACE= 第9题园 第10题 10.如图，∠1与∠3互余，∠3的余角与∠2互 (2)试猜想∠BCD与∠ACE的数量关系， 补，则直线1与2 (填“平 并说明理由。 行”或“不平行”) (3)若按住三角板ABC不动，三角板DCE 11.如右图，已知AB⊥BC, 绕顶点C转动一周，则当∠BCD等于多少 ∠1+∠2=90°，∠2= 度时，AB∥CE？请画出图，并说明理由。 ∠3.求证：BE∥DF 证明：，AB⊥BC(已知)， ∴.∠ABC= ( 即∠3+∠4 又，∠1+∠2-90°，∠2-∠3（已知）， ∠ =∠ ∴BEDF( 12.(1)如图①，点B,C,D在同一直线上，∠A -∠1-∠3-55°，∠E=∠2-35°.求证： AB∥DE. (2)如图②，点B,C,D在同一直线上，AC ⊥EC,∠A=∠1，∠E=∠2.求证：AB //DE. 86 数学八年级B$版 第2课时 平行线的性质 要点提示 平行线的性质定理：(1)两条平行直线被第三条直线所藏，同位府相等，简述为西重钱平行，周使角湘等.（②）两 条平行直线被第三条直线所燕，内错角相等.简述为两直焦年特，南转角湘多.(3)两条平行直线被第三条直线 所葡，同旁内角互补，简述为而直焦平行，同旁而角支朴。 平行公理及其推论：(1)经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行.(2)如果两条直线都与第三条直 线平行，那么这两条直线也互相平行」 O1固基础 知识点2平行线的性质与判定的综合应用 5.如图，若∠A十∠ABC=180°，则下列结论正确 知识点1平行线的性质定理 的是 () 1.如图，直线a,b被直线c所截。 A.∠1=∠2 B.∠2=∠3 若a∥b,∠1=70°，则∠2的度 C.∠1-∠3 D.∠2-∠4 数是 A.50 B.60° 第1题图 C.70° D.110 2.(2024一2025济南天桥区月考)如图所示，直 线a/%,∠2=28°，∠1=50°，则∠A=( ) 第5题图 第6题围 A.32 B.78 C.22 D.20 6.如图，a⊥c,b⊥c.若∠1=70°，则∠2的度数为 7,注重学习过程完成下面推理过程，并在括号内 填上依据 第2题图 第3题园 已知：如右图，AD⊥BC,GF 3.一杆古秤在称物时的状态如图所示.已知 ⊥BC,∠4=∠B. ∠1=102°，则∠2的度数为 求证：∠1=∠2 4.已知AB∥CD,一副三角板 证明：，AD⊥BC,GF⊥BC (其中∠G=∠HEF=90°， (已知)， ∠EFH=30°，∠FEG= ∴.∠ADC=∠GFD=90( 45)按右图所示的位置摆放. .AD∥ (1)若∠AEG=30°，求∠HFD的度数. ∴.∠1=∠3( (2)若∠AEG=a°，请直接用含a的代数式 又，∠4=∠B(已知)， 表示∠HFD的度数： ∴.DE∥ ∴.∠2=∠3( .∠1=∠2( 易错点无法准确画出图形而致错 8.如果一个角的两边分别平行于另一个 角的两边，那么这两个角的关系是 上册第七章 …念O2提能力 (2)若AC平分∠FAD,EF⊥BE于点E, ∠FAD=76,求∠BCD的度数. 9.(2024福建)在同一平面内，将直尺、含30°角 的三角尺和木工角尺(CD⊥DE)按如图所 示的方式摆放，若ABCD,则∠1的度数为 A.30° B.45 C.60 D.75 第9题因 第10题国 O3拓思维 10.如图所示的是一款手推车的平面示意图， 其中AB/CD,∠1=24°，∠3=148°，则∠2 14.如右图，已知AM∥BN, 的度数为 () ∠A=60°，P是射线 A.56B.66° C.98° D.104 AM上一动点（不与点A 11.如图，在△ABC中，将△ABC沿直线EF 重合)，BC,BD分别平分∠ABP和 折叠，使点B落在点D的位置，若∠C= ∠PBN,交射线AM于点C,D 70°，DF∥AC,则∠BFE的度数是 (1)求∠CBD的度数. (2)当点P运动时，∠APB与∠ADB的度 数比是否随之发生变化？若不变，请求出 这个比：若变化，请找出变化规律， (3)当点P运动到使∠ACB=∠ABD的 位置时，求∠ABC的度数. 第11题国 第12题图 12.已知GA∥FD,一副直角三角板ABC和 DEF按如图所示的方式摆放，∠EDF= 60°，∠BAC=45°.若BC∥DE,则下列结 论：①AB∥EF;②∠GAB=30°：③EC平 分∠DEF:④∠AED=120°.其中正确的 有 (填序号) 13.如下图，已知AC∥FE,∠1十∠2=180° (I)判断∠FAB与∠BDC的大小关系，并 说明理由 数学八年级B$版3平行线的证明 第1课时平行线的判定 1.C 2.证明：∠CGF+∠DGF=180,∠CGF+∠C+∠AFC =180°， ∴∠DGF=∠C+∠AFC ∠A=∠C+∠AFC, ∴∠A=∠DGF,∴AB∥CD. AB∥EF ..CD//EF. 3.B4.A5.A6.b 7.解：(1)：∠1=∠2，AD∥BC. (2):∠ABC十∠BCD=180°，∴AB//DC 8.B9.D10.平行 11.90”垂直的定义90°14等角的余角相等同位角 相等，两直线平行 12.证明：(1)，∠A=∠3，.AB∥CK ∠KCE=180°-∠1-∠3-∠2=35°=∠E, .CK∥DE,.ABDE (2)如图，作∠ACK=∠A .AB∥CK,∠ACK=∠1. ￥AC⊥EC,.∠ACE=90', ·∠KCE=90°-∠ACK=90°-∠1 又：∠2=90°-∠1=∠E, '∠E=∠KCE,.CKDE,∴ABDE 13.解：(1)70 (2)∠BCD+∠ACE=180°.由： ∠BCD=∠ACB+∠ACD=90°+∠ACD, ∴∠BCD+∠ACE=90+∠ACD+∠ACE=90°+9o =180° (3)①如图①所示，当∠BCD=30°时，AB∥CE. 理由：∠BCD=30°，∠DCE=90°， ∴∠BCE=∠B=60, .AB∥CE 图① 图② ②如图②所示，当∠BCD=150时，ABCE. 理由：，∠BCD=150',∠ACB=∠ECD=90°， .∠ACE=30°，.∠A=∠ACE=30°， ∴.ABCE. 综上所述，当∠BCD等于30或150时，ABCE 第2课时平行线的性质 1.C2.C3.78 4.解：(1)'AB∥CD,∠AEF=∠EFD, 即∠AEG+∠FEG=∠EFH+∠HFD. ,'∠AEG=30°，∠FEG=45”,∠EFH=30°， .∠HFD=45 (2)(15+a)° 5.D6.70 7.证明："AD⊥BC,GF⊥BC(已知)， ∴.∠ADC=∠GFD=90'(垂直的定义)， .ADGF(同位角相等，两直线平行)， ∴，∠1=∠3（两直线平行，同位角相等）. 又￥∠4=∠B(已知)， .DE∥AB(同位角相等，两直线平行)， ,∠2=∠3（两直线平行，内错角相等）， ∠1=∠2（等量代换）. 8.相等或互补9.A10.A11.12512.①②③ 13.解：(1)∠FAB=∠BDC.理由如下： AC∥FE,∴.∠1+∠FAC=180" ∠1+∠2=180°，∴∠FAC=∠2， ∴.FA∥CD,.∠FAB=∠BDC. (2):AC平分∠FAD, ∠FAC=号∠FAD=X76=8. 由(1)可知，∠FAC=∠2，.∠2=38° EF⊥BE,AC∥FE, .AC⊥BE,∠ACB=90 ∴.∠BCD=∠ACB-∠2=90-38°=52° 14.解：(1)，AM∥BN,.∠ABN+∠A=180°， ∴.∠ABN=180°-∠A=120°， ∴.∠ABP+∠PBN=120 BC平分∠ABP,BD平分∠PBN, ∴.∠ABP=2∠CBP,∠PBN=2∠DBP, ∴.2∠CBP+2∠DBP=120° ∴∠CBD=∠CBP+∠DBP=6O', (2)不变. .AM∥BN,,∠APB=∠PBN,∠ADB=∠DBN :BD平分∠PBN,∴∠PBN=2∠DBN, .∠APB1∠ADB=2:1, (3),AM∥BN,∴，∠ACB=∠CBN 当，∠ACB=∠ABD时，∠CBN=∠ABD, '.∠CBD十∠DBN=∠ABC+,∠CBD, ∴.∠DBN=∠ABC 由(1)可知，∠ABN=120°，∠CBD=60, ∴∠ABC+∠DBN=60',∠ABC=30 本章小结 1.C2.C 3.解：(1)如果一个数是偶数，那么这个数是4的倍数.条件是 一个数是偶数，结论是这个数是4的倍数，是假命题. (2)如果一个数是末位数学是5的整数，那么这个数船被5 整除.条件是一个数是末位数字为5的整数，结论是这个数 能祓5整除.是真命题， (3)如果两个数是负数，那么他们的积是正数.条件是两个 数是负数，结论是他们的积是正数.是直命题， 4.B5.D 6.证明：'OE和OF分别平分∠AOB和∠BOC +∠E0B=号∠A0B,∠BOF= ∠BOC. 又：∠AOB+∠BOC-180", ÷∠E0B+∠B0F=合（∠A0B+∠B0C)=号X180 90,即∠E0F=90",∴OE⊥OF 7.A8.B9.105 10.解：(1)证明：如图①，延长DE交AB于点F, ,∠ACB+∠BED=180°，∠CED+∠BED=180°， ∠ACB=∠CED,∴AC/∥DP,∠A=∠DFB. ,∠A=∠D,∠DFB=∠D,.AB∥CD. 上册参老答案 191