第五章 二元一次方程组 5 三元一次方程组-【支点·同步系列】2025-2026学年新教材八年级上册数学（北师大版2024）

*5三元一次方程组 要点提示 三元一次方程（组）的有关概念：含有三个素和数，并且含有未知数的项的快教都是1，这释的方程叫作三元一快 古程 共含有三个未知数的三个一次方程所组成的一组方程，叫作三元一谈方程维， 三元一次方程组中各个方程的公共解，叫作这个三元一决古程组的解」 O1因基础念 02提能力多 …… 知识点1三元一次方程（组）的有关概念 x+4=y: 4.若方程组 中x是y的2倍，则z 1.下列是三元一次方程组的是 2x-y=2x 的值为 () 2x=5, 3 -y十=-2， A.-9 B.8 C.-7 D.-6 A.{x2+y=7, B. x-2y+x=9, x-y十42=1， x十y+2=6 5.若实数x,y,2满足 则x十 y=-3 x-2y十3z=3, x十y一z=7, x十y=2, y十6≈的值为 ( C.xyz=1, D.y+x=1, A.-3 B.0 C.3 D.-2 x-3y=4 x十z=9 4x+10y=6,① 6.善于思考的小明在解方程组 知识点2三元一次方程组的解法 8.x+22y=10② 2x十3y=4,① 时，采用了一种“整体代换”的方法，解法如下： 2.解方程组：2x-y十2z=一4，② 解：将②变形，得2(4x十10y)十2y=10.③ x十2y-2:=3.③ 把①代入③，得2×6+2y=10,解得y= 一1.把y=一1代入①，解得x=4,所以方 x=4, 程组的解为 y=-1. 请你解决以下问题： (1)试用小明的“整体代换”的方法解方程 2x-3y=7,① 组 6x-5y=11.②@ 3x-2z+12y=47,① (2)已知x,y,x满足 则 2x+x+8y=36,② 知识点3三元一次方程组的应用 x的值为 3.有铅笔、练习本、圆珠笔三种学习用品，若购 铅笔3支，练习本7本，圆珠笔1支共需 31.5元：若购铅笔4支，练习本8本，圆珠笔 2支共需42元，则购铅笔、练习本、圆珠笔各 1件共需 A.12元 B.10.5元 C.9.5元 D.9元 上册第五童 ☆问题解决策略：逐步确定 要点提示 采用“逐步确定”策骆解决问题的一般过程：根据题意我出问题的解需要满足的各个条件：按照某个顺序，逐步 满足这些条件，最终确定问题的解」 01 固基础 02提能力 知识点逐步确定 3.某校第二课堂开展后受到了学生的追捧，学期 1.某社区为了打造“书香社区”，丰富小区居民 结束后对部分学生做了一次“我最喜爱的第二 的业余文化生活，计划出资500元全部用于 课堂”问卷调查（每名学生都填了调查表，且只 采购A,B,C三种图书（三种图书都要买）. 选了一个项目).据统计，主要有趣味数学，演讲 与口才、信息技术、手工制作四个项目.其中选 A种图书30元/本，B种图书25元/本，C 信息技术的人数比选手工制作的少8：选趣味 种图书20元/本，其中A种图书最少买5 数学的人不仅比选手工制作的人多，且为整数 本，最多买6本.此次采购的方案有() 倍：选趣味数学与选手工制作的人数之和是选 A.5种B.6种C.7种 D.8种 演讲与口才与选信息技术的人数之和的5倍： 2.(教材变式)解答下列问题： 选趣味数学与选演讲与口才的人数之和比选 (1)二元一次方程2x一y=4的解有多少组？ 信息技术与选手工制作的人数之和多24.参加 请写出五组， 调查问卷的学生有多少名？ (2)二元一次方程x十y=5的解有多少组？ 请写出五组。 (3)找出一组x,y的值，使这组值同时满足 方程2x-y=4和x十y=5. (4)根据上面的探究，你能直接写出二元一 2x-y=4, 次方程组 的解吗？ x+y=5 数学八年级BS版50k十b-35:解得6=10， ,(k=-0.5, 得200k+6=10, 所以y=-0.5x十110(150-≤x≤200). 当x=180时，y=一0.5×180+110=20，所以当汽车已行 驶180km时，蓄电池的利余电量为20kW·h. 6.B7.y=2x-4 8.解：(1)270 270 (2)乙队调离之前，甲，乙两队每小时维修路面3=90(m入. 因为乙队每小时维修路面50m,所以甲队每小时维修路面 90-50=40(m), (3)由题意，得m=270十40×3=390，所以此次任务的维修 总长度为390m,所以点B的坐标为(6,390).设乙队调离后 y与x之间的函数关系式为y=x十6（≠0）.因为图象经 过点A(3,270),B(6,390),所以 270=3k+b:解得 390=6k十6， 使=0，所以乙队调离后y与x之间的函数关系式为y一 b=150, 40x+150. 9.解：(1)根据表中的数据可知，y一红十（是，b为常数）能正确 反映总水量y与时间t的函数关系， 因为当t=1时，y=7,当t=2时，y=12, k=5, 所以/十6■1，锅得6=2， 12k十6=12， 所以y关于t的函数表达式为y=5t十2 (2)①当t=20时，y=5×20+2=102. 即小明在第20分钟测量时量筒中的总水量约是102mL ②当t=24×60=1440时，y=5×1440+2=7202. 当1=0时，y=2,所以7202-2X0-14(天。 1500 故这个水龙头一个月（按30天计）的漏水量可供一个人饮 用的天数约为144 5三元一次方程组 1.D 2.解：②十③，得3x十y=一1.④① ④×3.得9x十3y=-3.⑤ ⑤一①，得7x=一7，解得x=一1.把x=一1代人①，得一2 十3y■4，解得y=2,把x=-1,y=2代人②，得-2-2十 x=-1 2:=一4，解得：=0，所以原方程组的解为y一2， 3.B4.D5.A 6.解：(1)将②变形，得3(2x-3y)十4y=11. 把①代人©，得3×7+=11，解得y=-号 把=一营代人0，条得=一 1 1 x=- 4 所以原方程组的解为 5 y=-2 (2)2 ☆问题解决策略：逐步确定 1.B 2.解：(1)二元一次方程2红一y=4的解有无数组. 示例：=-1，x=0,x=1,任=2，z=3 y=-6:y=-4:{y=-2:y=0:y=2. 188 数学/八年级BS园 (2)二元一次方程x十y=5的解有无数组. 示例任=1，任=2=3，任=4，任=5， y=4:y=3,y=2,y=1,y=0. 3工=3·同时端足方程2x一y=4和x+y=5. y=2 (4)二元一次方程组 2的解为任二 x十y=5 y=2. 3.解：设选信息技术的有x人，选演讲与口才的有y人，则选 手工制作的有(x十8)人，选通味数学的有a(x十8)人 a(x+8)+x十8=5(x+y),① 根据题登，得a(x+8)十y一x-(红十8)=24.② 整理①，得a(x十8)十x十8=5x十5y.③ 整理②，得a(x十8)-(x十8)=24十x一y.④ ③十④，得2a(x十8)=24十6x十4y, 整理，得4=12+3江+2y x+8 ③-④，得2(x十8)=4x十6y-24,即x十3y=20. 因为，y都是正整数，所以y=1或或 y=2 任=11或 y=3 x=8故。成当一、 y=4 y=6. x=14, =2或支85时a牛t y4或 x十8 都不是整数，不合题意 当x=2:时4=128红十22-2十6十123· x十8 10 所以选信息技术的有？人，选演讲与口才的有6人，选手工 作的有10人，选趣味数学的有30人.由于每名学生都填 了周查表，且只选了一个项目，则2十6十10+30=48（人）. 故参加调查问卷的学生有48名. 本章小结 1.C2.2-1 3.解：(1)①m2一4=0且m十2=0，m十1≠0，解得m=一2： ②m2一4=0且m十1=0，m十2≠0，无解 综上，当m=一2时，它是一元一次方程 (2)依题意，得m2一4=0且m+2≠0，m十1≠0，解得m =2, 即当m=2时，它是二元一次方程. 4.解：(1)将①代入②，得3y=8一2(3y-5),解得y=2.将y =2代人①，解得x■1， 所以原方程望的解为仁一1， y=2. (2)①×2十②，得10x=30,解得x=3.将x=3代人①，解 得y=1, 所以原方程组的解为任一3， y=1. 5 6.B x一9 2y 7.解：(1)设参加此次研学活动的师生人数是x,原计划租用y 辆45座客车。 5y十15=不：解得任=600， 根据题登，得60(y-一3)： y=13. 故参加此次研学活动的师生人数是600，原计划租用13婀 45座客车 2)租45座客车：60÷5=15号（辆，租全为200X14=