第四章 一次函数 4 一次函数的应用-【支点·同步系列】2025-2026学年新教材八年级上册数学（北师大版2024）

4 一次函数的应用 第1课时确定一次函数的表达式 要点提示 确定一次函数表达式的一般步骤：(1)设：设出一次函敛的表达式，如y=x十b(k≠0).(2)代：将两个已知，点 (通常情况下，其中一个是与y轴的交点)的横、拟坐标分别代入函数表达式，(3)求：建主关于夷，b的两个方程， 解这两个方程，求出是和.(4)写：写出一次函数的表透式 O1固基础 6.已知一次函数y=x十3，当x增加3时，y 城少2，则该一次函数的表达式是 知识点1确定正比例函数的表达式 1.在平面直角坐标系的第二象限内有一点M, 若点M到x轴的距离为3，到y轴的距离为 知识点3确定实际问题中一次函数的表 4,则直线OM对应的函数表达式是() 达式 A.y=4 B.y=- 4 7.杆秤是我国传统的计重工具.如下图，秤钩 上所挂的不同质量的物体使得秤砣到秤纽 4 4 C.y=3* D.y=- 的水平距离不同.当称重时，秤钩所挂物重 2.若正比例函数图象上一点到y轴与到x轴 为x(单位：kg),秤杆上秤砣到秤纽的水平 的距离之比为3：1，则此函数的表达式为 距离为y(单位：cm).下表所示的为若干次 称重时所记录的一些数据（秤杆上秤砣在秤 纽左侧时，水平距离y为正，在右侧时为 知识点2确定一次函数的表达式 负)，且y是x的一次函数。 3.将函数y=2x十1的图象向下平移2个单 杆 位，所得函数图象的表达式是 ( A.y=2x-1 B.y=2x+3 x/kg 0 C.y=4x-3 D.y=4.x+5 0.751.00 2.25 3.25 7 4.已知一次函数的图象经过点P(0,一2)，且 y/cm -2 2 7 与两坐标轴所围成的三角形的面积为5，则 (1)根据题意，完成上表. 一次函数的表达式为 ) (2)请求出y与x之间的关系式 A.y=5x-2 (3)当秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为15cm B导 时，秤钩所挂物重是 kg. 2 C.y=-5x-2 D=号-2或y=一号-2 5.(2024-2025九江永修期中)已知一次函数 y=kx+b的图象与直线y=2x+1平行，且 过点(4,3)，该一次函数的表达式为 上册第四章 02提能力念 (2)求k,b的值 (3)当输出的y值为0时，求输人的x值， 8.如图，将8个边长均为1的 小正方形摆放在平面直角坐 标系中，直线1经过小正方 形的顶点A,B,则直线的 第8题图 表达式为 1 1 A.y=2x+1 B.y=3t+1 2 C.y=3x+1 D.y=4x+1 9.某衬衣定价为100元/件时，每月可卖出 。。。44 03拓思维 。,。。+ 2C00件，受成本影响，该衬衣需涨价销售. 12.如下图，在平面直角坐标系xOy中，一次 已知单价每上涨10元，销售量便诚少50 函数y=一 1 x十5的图象41分别与x,y 件，那么每月售出衬衣的总件数y与衬衣单 价x(单位：元)之间的关系式为 轴交于A,B两点，正比例函数的图象12与 11交于点C(m,4). (1)求m的值及l2的表达式 10.下表中记录了某次试验中时间（单位：min) 和温度（单位：℃）的数据. (2)求S△Aoc-S△oe的值. (3)若一次函数y=kx十1的图象为13，且 时间/min 0 5 10 15 20 25 1,l2,13不能围成三角形，直接写出k 温度/℃ a 25 40 55 70 85 的值 若温度的变化是均匀的，则14min时的温 度是 ℃. 11.右图是一个“函数求值 l=- 机”的示意图，其中y 当x<1时当x≥1时 是x的函数.下面表格yx≠0)】 y-8t 中是通过该“函数求值 /箱出y 机”得到的几组x与y 的对应值， 输入x -4-20 输出y 6 -22 6 16 根据以上信息，解答下列问题： (1)当输入的x值为1时，输出的y值为 数学八年级B$版 第2课时 单个一次函数图象的实际应用 要点提示 单个一次函数图象的应用：（①）通进已知函数的图象获取信息，关健是弄清横、纵轴所表示的雾际意义，(2)科用 实际问题列表达式并画出图象，然后利用困象解决问题，这种情况下，应运意画数中变量的取值范商，所画图象 不一定是直线，也可能是然传或残阻，这要由变量的取值范固决定。 一次函数与一元一次方程的关系：(1)从“数”的方面看：当一次函数y=夷x十b(德≠0)的函数值为0时，相应的 自变量的位就是方程x十b=0的解.(2)从“形”的方面看：一次函数y=x十b的图象与x的交点的横坐标就 是方程是x十b=0的解. O1因基础乡 知识点2一次函数的实际应用 4.跨物理学科一个弹簧不挂重物时长6cm, 知识点①一次函数与一元一次方程的关系 挂上重物后，在弹性限度内弹簧伸长的长度 1.已知一次函数y=mx一n的图象如图所示， 与所挂重物的质量成正比.弹簧总长y(单 则方程mx一n=0的解可能是 位：cm)与所挂物体质量x(单位：kg)的函数 A.x=2 B.x=-1 关系图象如图所示，则图中a的值是() C.x=-4 D.x=-2 y/em 3 105 75 1 -Z-10 士2 转4延图 2 A.3 B.4 C.5 D.6 第1题图 第2题园 5.一支蜡烛长20cm,点燃后每小时燃烧5cm, 2.如图，直线AB是一次函数y=kx十k一1的 燃烧时剩余的长度h(单位：cm)与燃烧时间 图象.若关于x的方程x十一1=0的解是 t(单位：h)的函数关系图象是 () hcm本 h/cm x=一 三，则直线AB的函数表达式为 0 04 04 3.如下图，根据一次函数y=x十b的图象， A B hden个 h/em个 直接写出下列问题的答案： 201 20 (1)关于x的方程x十b=0的解. 4 ih 04 (2)当x=1时，代数式x十b的值. C D (3)关于x的方程x十b=一3的解. 6.某公司行李托运的费用y(单位：元)与质量 x(单位：kg)的关系为一次函数y-30x十b. 由如图所示的图象可知，a的值为 元 900 600 300 a 50 c/kg 第6题图 上册第四章 念02提能力◆ …念03拓思维 7.若x=2是关于x的方程mx十n=0(m≠ 10.如图①，某乘客乘高速列车从甲地经过乙 0,n>0)的解，则一次函数y=-m(x一1) 地到丙地，列车匀速行驶，图②所示的是列 一n的图象与x轴的交点坐标是 () 车离乙地的距离y(单位：km)与行驶时间 A.(2,0)B.(3,0)C.(0,2)D.(0,3) x(单位：h)之间的函数关系图象。 8.某厂家对其生产的A型汽L↑ (1)甲、丙地相距 km,高速 100 车进行耗油量试验.试验中 列车的速度为 km/h. 油箱中的剩余油量y(单20 (2)当高速列车从甲地到丙地时，求y与x 位：L)与行驶路程x(单位： 500/km 第8题图 之间的函数关系式 km)的关系如图所示，与行驶时间t(单位：h)的 (3)在整个行驶过程中，请问高速列车离乙 关系如表所示.根据这些信息，此A型汽车在 地的距离在100km以内的时间有多长？ 试验中的平均速度为 3y/km个 900 行驶时间1/h 0 2 3 150… 油箱剩余油量yL 100 84 68 52 七丙 z/h 9.某次气象探测活动中，在一广场上同时释放 图① 图② 两个探测气球.1号深测气球从距离地面 5m处出发，以1m/min的速度上升，2号探 测气球距离地面的高度y(单位：m)与上升 时间x(单位：min)满足一次函数关系，其图 象如下图所示， (1)求y关于x的函数表达式 (2)探测气球上升多长时间时，两个探测气球 位于同一高度？此时它们距离地面多少米？ 3m↑ 301 30 /min 数学八年级B$版 第3课时 两个一次函数图象的实际应用 要点提示 两个一次函数图象的应用：在同一平面直角坐标系中司时出现两个一次画数的图象，脚两条直线，利用所给图 象的性置吴集、受点坐基，与x抽、y粕的爱点坐标，读取其中所要表达的信意两个一次函数图象的应用一般 出现在比较产量、速度、资费等问题中，关键是理解交，点坐标的含义。 O1因基础多 4.A,B两地相距80km,甲、乙两车沿同一条 路从A地到B地，如下图，L:,L2分别表示 知识点两个一次函数图象的实际应用 甲、乙两车离开A地的距离s(单位：km)与 1.(教材变式)甲、乙两位同学放学后走路回 时间t(单位：h)之间的关系.设l1的函数表 家，他们走过的路程s(单位：km)与所用的 达式为s=k1t一40，l2的函数表达式为s 时间t(单位：min)之间的函数关系如图所 =k2t, 示.根据图中信息，下列说法错误的是 (1)当甲、乙两车相遇时，他们离开A地 km. A.前10min,甲比乙的速度慢 (2)求k1的值并说明飞的实际意义. B.经过20min,甲、乙都走了1.6km (3)当乙车出发2h时，求两车之间的距离， C.甲的平均速度为0.08km/mim s/km D.经过30min,甲比乙走过的路程少 80- skm中 40* 3.2 20 2.8 S元个 24 1.52 20 30 3 16 1.2 20 0.8 04 0 10203040zmin 050100150t/min 第1题图 第2题图 2.某电信公司手机的收费标准有A,B两类，已 知每月应缴费用S(单位：元)与通话时间t(单 位：min)之间的关系如图所示.当通话时间为 50min时，按这两类收费标准缴费的差为 ( ) A.30元B.20元C.15元 D.10元 3.如图，11反映了某商品元 5000 的销售收入（单位：元） 与销售量（单位：t)之间 0 100 的关系，2反映了该商 转3通图 品的成本（单位：元）与销售量（单位：t)之间 的关系.当销售收入大于成本时，该商品开 始盈利，当销售量超过 t时，该 商品开始盈利 上册第四章 念02提能力 (1)直接写出y1和y2关于x的函数表达式 与m的值 5.某手工作坊生产并销售某种食品，假设销售 (2)若小明暑假期间准各游泳的次数x满足 量与产量相等.如图所示的线段AB表示一 15≤x≤30，则他选择哪个套餐所需要的费 天生产成本y1(单位：元)与产量x(单位： 用较少？ kg)之间的函数关系，线段OC表示一天收 入y2(单位：元)与产量x(单位：kg)之间的 函数关系，若该手工作坊某一天既不盈利也 不亏损，则这天的产量是 A.20 kg B.30 kg C.40 kg D.50 kg 元 件 2 … O3拓思维 480 180 8.某公司推销一种产品，设推销产品的数量为 24 x(单位：件)，推销费为y(单位：元).该公司 60 x/kg 015 60 x/min 每月付给推销员推销费的两种方案如下图 第5题图 第6题副 所示.根据图象解答下列问题： 6.某快递公司每天上午7：00一8：00为集中揽 件和派件时段，甲仓库用来揽收快件，乙仓 y/元↑ 6000 库用来派发快件，该时段内甲、乙两仓库的 5000 4000 快件数量y(单位：件)与工作时间x(单位： 3000 2000 min)之间的函数图象如图所示.下列说法： 1000 1020304050607件 ①15min后，甲仓库内快件数量为180件； (1)分别求y1,y2关于x的函数表达式. ②乙仓库每分钟派发快件数量为4件： (2)解释图中表示的两种方案是如何付给推 ③上午8：00，甲仓库内快件数量为600件.其 销员推销费的。 中正确的有 (填序号). (3)如果你是推销员，应如何选择付费方案？ 7.某游泳馆夏季开展宣传营销活动，设计了以 下两种套餐活动： 套餐一：每次收费10元，不收其他费用； 套餐二：交120元购买会员卡后，每次游泳 收费m元. 设小明游泳次数为x,按照套餐一所需费用 为y1(单位：元)，按照套餐二所需费用为y2 (单位：元)，两函数图象如下图所示. 160 120 10 数学八年级B$版5.解，)函数y=名x的图象向下平移1个单位得到直线 2x1, 所以这个一次函数的表达式为y=之工一1 1 (2)m的取值范围是2≤m≤1， 6.A7.B8.-29.±2 3 10.解：0)当x=0时y=×0+6=6, 所以点F的坐标为(0,6)， 所以OF=6. 3 当y=0时，了x+6=0,解得x=一8， 所以点E的坐标为（一8,0）， 所以OE=8, 所以EF=√OE+0F2=W√82+62=10， 3 所以函数y=x十6的坐标三角形的三条边长分别为6， 8,10. (2)因为0F=6,OE=8, 所以Saom=20F·OE= 1 2×6X8=24, 所以△OEF的面积为24. (3)过点O作OM⊥EF于点M,如图 所示 1 因为SAE=2OM,EF=24, 所以OM= 24 24 1 2×10 所以原点0到直线y=3 十6的距离是华 11.解：(1)任意实数 (2)2 (3)如图所示. (4)示例：该函数的最小值为0， 4一次函数的应用 第1课时确定一次函数的表达式 1 1 1.B2y=3x威y=-323.A4D 5y=2x-56.y=-3x+5 7.解：(1)1.5011 (2)设y与x的关系式为y=x十b. 根据题意，得6=一2,0,75k十b=1, 解得及=4， 所以y与x的关系式为y=4x一2. (3)4.25 184 数学/八年级BS版 8.A9.y=-5x+250010.52 11.解：(1)8 (2)将(-2,2)，(0,6)代人y=kx十b,得2=-2k十b,b =6, 解得k=2. (3)令y=0.当x≥1时，由y=8x,得0=8x, 所以x=0(舍去)： 当x<1时，由y=2x十6，得0=2z十6， 所以x■一3， 拉当输出的y信为0时，输入的x值为一3. 12,解：1)把C(m,4代人-次函数y=-之x+5, 1 得4一2m十5，解得m=2,所以C(2,4), 设l2的表达式为y=ax,则4=2a, 解得a=2,所以12的表达式为y=2x (2)如图，过点C分别作CD⊥AOy◆ 于点D,CE⊥BO于点E,则CD= B 4,CE=2. 1 在y=-2x+5中，令t=0,则y =5,即B(0,5),B0=5. 令y=0,则x=10,即A(Q0,0),A0=10. 1 教S。-5A0c=2×10×4-7×5×2=20-5=15. ③的值为受或2度-司 第2课时单个一次函数图象的实际应用 1.C2.y=3x+2 3.解：(1)方程kx十b=0的解为x=2. (2》当x=1时，代数式红+6的值为一1 (3)方程kx十b=一3的解为x=一1， 4.A5.D6.407.B8.100km/h 9.解：(1)设y关于x的函数表达式为y=kx十(k≠0) 由题意，得6=15， 所以 30k十6=30， 6=15, 所以y关于x的函数表达式为y-名x十15， (2)由题意可知，1号探测气球上升xmin时，高度为(x十 5)m 1 由题意，得2x十15-x+5,解得x=20. 1 当x-20时y=2x+15=25, 所以探测气球上升20mi面时，两个探测气球位于同一高度， 此时它们距离地面25m. 10.解：(1)1050300 (2)当0≤x≤3时，设y与x之间的函数关系式为y=x 十b. 把(0,900)，(3,0)代入，得6=900,3+6=0， 解得是=一300， 因此y=一300x十900(0≤x≤y7/km个 3). 900 如图，因为3十150÷300=3.5 h), 所以点A的坐标为(3.5,150 150). 0 33.5 当3<x3.5时，y与x之间的函数关系式为y=300(x一 3)=300x-900. -300x+900(0≤x3), 综上所述y={300x-900(3<x≤3.51. (3)在y=-300x十900中，当y=100时，得-300x+900 8 =100,解得x=3在y=300红一900中，当y=100时，得 10 300x一900=100，解得x=3 以高速列车离乙地的臣离在100km以内的时间为。 第3课时两个一次函数图象的实际应用 1,D2.D3.100 4.解：(1)20 (2)把(1.5,20)代人1的函数表达式，得20=1,51-40，解 得k1=40. k,的实际意义是甲车行驶的遮度为40km/h. (3)把(1,5,20)代入2的函数表达式，得1.5k:=20,解得 与-号，所以的函数表达式为-号 当1=2时，代入11，得：=40×2-40=40， 代人6得：-智×2- 80 因为40一9-智m）,所以两车之间的距离为智km 8040, 5.B6.② 7.解：(1)y1关于x的函数表达式为y灯=10x,y:关于x的函 数表达式为￥：=4x十120，m的值为4， (2)令y1=y:,则10x=4x+120,解得x=20.由图可知，当 15≤x<20时，套答一所需的费用较少：当x=20时，两种 套餐所需的费用相等：当20<x≤30时，套餐二所需的费用 较少 8.解：(1)设y1=:xk1≠02.将(30,6000)代入，得k1=200, 所以y1=200x. 设y-k,x+6(k,≠0).将(0,3000)，(30,6000)代入，得方 =3000,30k。十b=6000,解得k:=100,所以y2=100x+ 3000. 故y1关于x的函数表达式为y1=200x,y2关于x的函数 表达式为y2=100x十3000. (2》y1是不推销产品没有推销费，每推销10件产品得推销 费2000元；y2是保底工资3000元，每推销10件产品再提 成1000元. (3)若平均每月推销产品的数量都为30件，两种方案都 可以： 若平均每月推销产品的数量大于30件，就选择”：的付费 方案： 若平均每月推销产品的数量小于30件，就选经的付费 方案。 本章小结 1.D2.B3.B4.D5. 6.解：(1)因为y=(m+1)x一m十1，y随x的增大而增大， 所以m+1>0,解得m>一1， 即当m>一1时，y随x的增大而增大. (2)因为y=(m十1)x一m十1，该函数是正比例函数， 所以m十140且一m十1=0，解得m=1, 即当m=1时，该函数是正比例函数 (3)当m=3时，y=4x一9十1=4x一8， 所以当x=0时，y=一8：当y=0时，x=2, 所以点A的坐标为(0，一8)，点B的坐标为(2,0)， 所以QA=8,OB=2, 所以△AOB的面积为OA,；OB-8X2=8 2 2 7.B8.w=0.5t+0.2 9.解：(1由三角形的面积公式，得y=号CD:DE=是×6× (8-x)■-3x十24. 故△DCE的面积y与AE的长x(0<z<8)之间的函数关 系式为y=一3x十24. (2)当x=3时，y=-9十24=15. 10.解：(1)25 (2)当0≤x≤6时，y袋-25x, 当x>6时，y熊上=25×6+(25-3,5)(x-6)=21.5x十 /25x(0x≤6)， 21,所以y%上={21.5x+21(x>6), yr=25×0.9x=22.5x, (3)当x=40时，y=21,5x十21=881，y传下=22.5x 900.因为881<900，所以想购买妃子笑40kg,选择线上购 买更省钱， 第五章二元一次方程组 1认识二元一次方程组 1.A2.23.C4.A5.16.B 7.解41将任=1，和行 =2a'分别代人x十y=m中，得1 {y=a+8y=1 十a+8=m,2a十1=m, 所以1十4十8=2a十1，解得a=&. (2)因为a=8,所以m=2a十1=17 所以原方程为x十y=17. 因为任二6也是该方程的一个解， y=6 所以6+6-1条得6-号 2二元一次方程组的解法 第1课时代入消元法 1.B2.C 3.解：由①，得x■3-2y,③ 将③代人②，得5(3一2y)一y=4 解得y=1 将y=1代人③，得x=1, 所以方超组的解为仁=1， y=1. 4.C5.D6.A7.31 8.解：(1)5⊙(-3)=5+2×(-3)=-1 (2)因为x⊙（一y)=一3，且y⊙x=-1, 所以任二2y-3解得任二-1， y+2x=-1, y=1, 所以x-y=-1-1=-2. 第2课时加减消元法 1.C2.A 3.解：(1①×2，得x-2y=6.③ ②十③，得4x=16,解得x=4 上册参老答案 185