第四章 一次函数 3 一次函数的图象-【支点·同步系列】2025-2026学年新教材八年级上册数学（北师大版2024）

一次函数的图象 第1课时 正比例函数的图象与性质 要点提示 函数的图象：把一个西数自变量的每一个佳与对应的函数值分别作为点的攒坐标和纵坐标，在平面直角坐标系 中描出相应的点，所有这些点组成的阁形网作读函数的用表， 画函数图象的一般步骤：(1)利秦：在表中列出自变量的值和与其对应的函数位.(2)稽点：建立平面直角坐标 系，以袁中自变量的值为横尘标，相应的弧数值为级坐标，描出相应的点，(3)连孩：按照自变量从小到大的顺 序，把所描各点依次连接起来 正比例函数的图象和性质：三比例函数y=kx(为常数，且是+)的图象是经过坐标源点(0,0)和定点(1，k)的 一条直线。 当>0时，图象经过第一、三象很，y的值随x位的增大而增大：当是<0时，图象经过第二、四象很，y的值随 值的增大而藏小 O1因基础 知识点2正比例函数的性质 6.已知点A(-3,y1),B(-1,y2)都在直线y 知识点1正比例函数的图象 1.(2024德阳)正比例函数y=x(k≠0)的图 2x上，则1与y2的关系是() 象如图所示，则的值可能是 ( A.y1≤y B.y1≥y2 C.y<y2 D.y1>y: 7.若点A(-2,y1)和点B(2,y2)在同一个正 比例函数y=kx(k<0)的图象上，则() 第1题图 A.y1=-y2 B.y1=y2 C.-1 C.y2>0 D.ya>y 8.已知下列三个正比例函数： 2.(教材变式)下列各点中，不在正比例函数y 一3x图象上的是 y1=2x1y2=kx2(k≠0)，y:=-2x3 A.(1,3) B.(-1,-3) (1)写出这三个正比例函数的图象都具有的 C.(2,6) D.(-2,6) 一条性质 3.(2025萍乡期末)如果正比例函数y一x的 (2)若直线x=m(m≠0)与y1,y2,y3的图象 图象经过点（一1,2），那么k的值等于 依次交于点A,B,C,且AB=BC,求k的值， 4.在探究正比例函数y一kx(k为常数，k≠0) 的图象时，小蒋同学列表如下，则表中m的 值为 …-2-1 0 …-12-60m 5.若函数y=(m一1)xm是正比例函数，则该 函数的图象经过第 象限 上册第四章 02提能力念 (2)在x轴上找一点P,使得PA十PB的 值最小，并求出PA十PB的最小值. 9.跨物理学科如图所示的是光从 空气进人水中前与进入水中后 的光路图.若建立如图所示的 平面直角坐标系，并设入水前 第9题图 与入水后光线所在直线的表达式分别为y =1x,y2=:x,则下列关于1,2的结论 正确的是 () A.k1>0,k2<0 B.k1>0,k2>0 C. D.> 10.如图所示，已知正比例函数y1=x和y2= 4x.过点A(a,0)(a>0)作x轴的垂线，与 这两个正比例函数的图象分别交于B,C 两点，则△OBC的面积为 (用 03拓思维…… 含a的代数式表示). 13.(1)在如下图所示的平面直角坐标系内画 出正比例函数y1一一2x与一2x的 图象 (2)请你用量角器度量一下(1)中这两条直 线的夹角，你发现这两条直线的位置关系 第10题图 第11题图 是 11.将2×2的正方形网格放置在如图所示的 (3)在同一平面直角坐标系中，直线y= 平面直角坐标系中，每个小正方形的顶点 称为格点，每个小正方形的边长都是1，正 x与直线y=一号x的位置关系是 2 3 方形ABCD的顶点都在格点上.若直线y 一kx(k≠0)与正方形ABCD有公共点，则 (4)若直线y=(m一1)x(m为常数)与直 线y=一3x互相垂直，求m的值 k的取值范围是 12.如右图，点A(1,4)在正比 例函数y=mx的图象上， 点B(3,n)在正比例函数 y=3x的图象上. (1)求m,n的值. 数学八年级B$版 第2课时一次函数的图象与性质 要点提示 一次函数的图象：一次高数y一缸+b,6为有数，k≠0,6≠0的因象是经述定点(0，b)不(-无，0)）的一条 克戴。 一次函数的性质：(1)当>0，b>0时，其图象经过第一、二、三象限，y随x的增大而增大.(2)当>0，b<0 时，其图象经过第一、三、四象限，y随x的增大而增大.(3)当<0，b>0时，其图象经过第一、二、四象，y随 x的增大而减小，(4)当<0，b<0时，其图象经过第二、三、四象报，y随x的增大而成小， 心O1固基础 4.(2025吉安期末)已知一次函数y=(k一2)x 十，且y随x的增大而减小，则表的取值范 知识点1一次函数的图象 围是 () 1.(2024一2025济南天桥区期中)在平面直角 A.k>2 B.k<0 坐标系中，若点A(一a,b)在第三象限，则函 C.k<2 D.k≤2 数y=ax十b的图象大致是 知识点3一次函数图象的平移 八中升 5.在平面直角坐标系中，一次函数y=x十b ≠0)的图象由函数y-号：的图象向下平 2.在如下图所示的平面直角坐标系中，画出一 移1个单位得到. 次函数y=一x十3的图象，并求此图象与x (1)求这个一次函数的表达式。 轴、y轴的交点坐标. (2)当x>一2时，对于x的每一个值，函数 y=mx(m≠O)的值大于一次函数y=kx十 2 b的值，直接写出m的取值范围 4-3-2-01234 -2 -3 4 知识点2一次函数的性质 3.关于函数y=2x十1，下列结论正确的是 〉易错点因忽视图象存在的多样性而 致错 A.图象经过点（一2,1） 6.若一次函数y=ax十b的图象不经过第 B.y随x的增大而增大 C当x<时y<0 一象限，则 A.a<0,b0 B.a>0,b<0 D.图象经过第一、三、四象限 C.a<0,b≥0 D.a0,b>0 上册第四章 …念O2提能力 (3)原点0到直线y=十6的距离。 7.(2024一2025九江浔阳区月考)当a<0,b> 0时，函数y=ax十b与y=bx十a在同一 平面直角坐标系中的图象可能是 ×中 8.若一次函数y=az十a一1|的图象经过点 (0,3),且函数y的值随x值的增大而减小， …O3拓思维)念… 则a的值为 11.注重学习过程小慧根据学习函数的经验， 9.直线y=kx十b经过点A(-2,0),与y轴 对函数y=|x一1的图象与性质进行了探 交于点B.若△ABO(O为坐标原点)的面积 究.下面是小慧的探究过程，请补充完整： 为2，则b的值为 (1)函数y=x-1的自变量x的取值范 10.几何直观在平面直角坐标系中，一次函数 围是 的图象与坐标轴围成的三角形叫作这个一 (2)列表，找出y与x的几组对应值， 次函数的坐标三角形.如下图，一次函数y -}十6的图象与上箱y轴分别交于点 …-10123… y…61012 E,F,则△OEF为此函数的坐标三角 其中，b= 形.求： (3)在如下图所示的平面直角坐标系中，描 (1)该函数的坐标三角形的三条边长 出以上表中各对应值为坐标的点，并画出 (2)△OEF的面积. 该函数的图象。 (4)写出该函数的一条性质. .0 数学八年级B$版当点B的坐标为(4,5)时，m=4,n十2=5， 所以n=3,所以2m=8,8十n=11. 因为2m≠8十，所以点B(4,5)》不是“开心点” (2)点M在第一象限.理由如下： 因为点M(a,a-1)是“开心点”， 所以m=a,n十2=a一1，所以n=a一3， 所以2a=8十a一3， 解得a=5,所以点M的坐标为(5,4)， 所以点M在第一象限， 第四章一次函数 1函数 1.A2.A3.C4.C5.B6.-17.-68.D 9.2(答案不难一)10.V=50-2:22 11.解：(1)1500(2)4(3)2700 (4)不在.理由如下： 由图象可知，12ni血至14ni血时，平均遮度=1500-600 14-12 =450(m/min). 因为450>330，所以小明买到书后继续骑车到学校的这段 时间内的骑车速度不在安全限度内. 12.解：(1)长度发生变化的线段有AP,PD,BP,PC:面积发 生变化的三角形有△APB,△PCD. (2)根据题意可知，PD=AD一AP,DC=AB=4cm. 因为AD=10cm,AP=xcm, 所以y=10-x,其中0<x<10, 所以s=2DC·PD=号×4×0-x)=20-2红 2认识一次函数 第1课时一次函数的认识及简单应用 1.C2B3y=3-40<x<子4.=15-6h 5.26.D7.3 8.解：(1)y=1,5x,y是x的一次函数，也是x的正比例函数， (2)y=4十40x,y是x的一次函数，但不是x的正比例 函数. 第2课时一次函数的分段应用 1.解：(1)当0≤x6时，y=3.2红，是一次函数： 当x>6时，y=6×3.2十3.8(x-6),即y=3.8x一3.6，是 一次函数 (2)把x=8代人y=3.8x一3.6中，得y=3.8×8一3.6= 26.8(元). 故该户5月份的水费是26.8元 2解：(1)当0≤x200时，y=0.55x:当x>200时，y=0.55 ×200+0.7(x-200),即y=0.7x-30. (2)因为小明家5月份的电费超过0.55×200=110（元），所 以用电量超过200kW·h.将y=117代入y=0.7x-30 中，得x=210. 故小明家这个月用电210kW·h. 3.解：(1)当500<xm时，y=1000十500×6+8(x-500)= 8x:当x>m时，y=1000+500×6+8(m-500)+10(x m)=10z一2m, (2)若m≥800，当x=800时，y=8x=6400≠6500，不合题 意，舍去： 若700≤m<800,当x=800时，y=10x-2m=8000-2m= 6500,解得m=750,符合题意，所以m的值为750. 3一次函数的图象 第1课时正比例函数的图象与性质 1.A2.D3.-24.65.二，四6.D7.A 8.解：(1)这三个正比例函数的图象都具有以下性质：①都是 直线：②都经过原点：③都只经过两个象限.（写一条即可） (2)由题意，得A(m,2m小，B(m,m),C(m,一2m入.因为 AB=BC,所以子m一m=m-(一2m),解得长=一是 9.c10号en<<2 1 12.解：(1)因为点A(1,4)在正比例函数y=mx的图象上， 所以4=1·m,所以m=4. 因为点B3,在正比例适数y=号：的图象上，所以 3×3=2. 综上所述，m的值为4，程的值为2. (2)如图，作点B关于x轴的对称点B',连接AB交x轴 于点P,连接BP,此时PA十PB的值最小，最小值为线段 AB的长. 因为点B的坐标为(3,2)，所以由对称的性质， 得B'(3,-2), 所以线段AB的长=√/(3-1)+（一2-4）=210， 所以PA+PB的景小值为210， 13.解：1) (2)互相垂直(3)互相垂直 (由2)3)可知，一3(m-1)=-一1，解得m=手 第2课时一次函数的图象与性质 1.C 2.解：令x=0,则y=3,即该图象经过点(0,3) 令y=0,测x=3,即该图象经过点(3,0) 一次函数y=一x十3的图象如图所示， 故图象与x轴的交点坐标为(3,0)，与y轴的交点坐标为 (0,3). 23 可12 3=-x43 4 3.B4.C 上册参考客案 183 5解：1酒数y=之x的图象向下平移1个单位得到直线 2x-1, 所以这个一次函数的表达式为y=之工一1 1 (2)m的取值范围是2≤m≤1. 6.A7.B8.-29.±2 3 10.解：0)当x=0时，y=产×0+6=6， 所以点F的坐标为(0,6)， 所以OF=6. 3 当y=0时，1十6=0，解得x=一8， 所以点E的坐标为（一8,0）， 所以OE=8, 所以EF=√OE+OF=8+6=10, 3 所以函数y=产工十6的坐标三角形的三条边长分别为6， 8,10. (2)因为OF=6,OE=8, 所以Sam=2OF·OE= 1 2×6×8=24, 所以△OEF的面积为24. (3)过点O作OM⊥EF于点M,如图 所示 因为5AE=2OM,EF=24, 所以OM= 24 24 ×0 1 所以源点0到直线y=?十6的距离是头 11.解：(1)任意实数 (2)2 (3)如图所示. (4)示例：该图数的最小值为0， 4一次函数的应用 第1课时确定一次函数的表达式 1.B2y=子孩y=-号3A4D 1 5.y=2x-56.y--3x+3】 7.解：(1)1.5011 (2)设y与x的关系式为y=x十b. 根据题意，得6=一2,0.75k十b=1, 解得k=4, 所以y与x的关系式为y=4x一2 (3)4.25 184 数学八年级BS版 8.A9.y=-5x+250010.52 11.解：(1)8 (2)将（一2,2）：(0,6)代人y=kx十b,得2=-2k十b,b =6, 解得k=2. (3)令y=0.当x≥1时，由y=8z,得0=8x, 所以x=0(舍去)： 当x<1时，由y=2x十6，得0=2x十6， 所以x=一3， 故当输出的y值为0时，输人的x值为一3 12.解：1)把C(m,4)代人一次函数y=一之x+5, 1 得4=一2m十5，解得m=2,所以C(2,40, 设l:的表达式为y=ax,则4=2a, 解得a=2,所以2的表达式为y=2x. (2)如图，过点C分别作CD⊥AOy4 于点D,CE⊥BO于点E,期CD一 B 4,CE=2. 1 在y=-2x十5中，令x=0,则y /1D =5,即B(0.5).B0=5. 令y=0,则x=10,即A(10,0),A0=10. 1 1 故5ac-Sac=2×10×4-zX5X2=20-5=15, 8伤值为受或2攻-司 第2课时单个一次函数图象的实际应用 1.C2.y=3x+2 3.解：(1)方层x十b=0的解为x=2. (2)当x=1时，代数式红十b的值为一1 (3)方程x十b=一3的解为x=一1， 4.A5.D6.407.B8.100km/h 9.解：(1)设y关于x的函数表达式为y-kx十（便≠0） 由题意，得/么=15， 30k+b=30, u b=15, 所以y关于x的函数表达式为y=之十16， (2)由题意可知，1号深测气球上升xmn时，高度为(x十 5)m. 1 由题意，得2x十15=x十5，解得x=20. 当x=20时，y=2x+15=25, 所以探测气球上升20m加时，两个探测气球位于同一高度， 此时它们距离地面25m. 10.解：(1)1050300 (2)当0≤x≤3时，设y与x之间的函数关系式为y=kx +6. 把(0,900)，(3,0)代入，得6=900,3k+6=0, 解得k=一300， 因此y=一300x十900(0≤x≤y/km个 3). 900 如图，因为3十150÷300=3.5 h), 所以点A的坐标为(3.5,150 150). 33.5￥