第三章 位置与坐标 2 平面直角坐标系-【支点·同步系列】2025-2026学年新教材八年级上册数学（北师大版2024）

2平面直角坐标系 第1课时平面直角坐标系的有关概念 要点提示 平面直角坐标系：如图①，在平面内，两条五相垂直且有公共原点的 规轴(y轴】 数轴组成平面支角坐标集，两条坐标轴将坐标平面分成了四个象限，第二象很 第一象限 原点横轴(x轴) 坐标轴上的点不属于任何象限， 42过24 (a.b 点的坐标：1)知困②，对于平面内任意一点P,过点P分别作PM第三象雅 第四象限 ⊥x轴，PN⊥y轴，垂足分别为M,N,点M,N对应的数a,b分别 图② 叫作点P的横坐标、坐标，有序实数对(a,b)叫作点P的皇标。 图① (2)在平面直角坐标系中，对于平面上的任意一点，都有唯一的一个有序实数对（脚点的坐标）与它对应：反过 来，对于任意一个有序实数对，都有平面上唯一的一点与它对应。 点到坐标轴的距离：点P(a,b)到x轴的距离为b|,到y轴的距离为a|. O1因基础念 A.(1,9) B.(1,-9) C.(-1,-9) D.(-1,9) 知识点1平面直角坐标系的有关概念 知识点3根据坐标描点 1.下列平面直角坐标系的画法正确的是 4.(教材变式)已知点(2， ( 1),(6,1),(6,3),(7,3), 5 (4,6),(1,3),(2,3) 3 -2-12 1234 (1)在如右图所示的平面 2 1 231 A B 直角坐标系中，描出上述0123467 各点 1 (2)依次连接各点，观察得到的图形，你觉得 212 它像什么？ -2 D 2.(2024一2025景德镇期中)在平面直角坐标 系中，点M(一2,3)在 ( A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 ●易错点混淆点的坐标与点到坐标轴的 知识点2用坐标表示坐标平面内的点的位置 距离 3.如图所示的为某高级中学各校区 D 5.在平面直角坐标系中，点P的横坐标是 的位置，A点为南校区，B点为西 一3，且点P到x轴的距离是5，则点P 校区，C点为中心校区，D点为高 的坐标是 中园，E点为龙岗校区，F点为东 A.(5,-3)或(-5，-3) 校区，G点为盐日校区.若以C 第3题组 B.(-3,5)或(-3，-5) 点为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标 C.(-3,5) 系，则点A的坐标可能为 D.(-3,-5) 上册第三章 ……◆O2提能力念 (3)求△ABC的面积. 6.(2024广元）若单项式-x“y3与单项式 2xy2"的和仍是一个单项式，则在平面直 角坐标系中，点(m,n)在 ( A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 7.如果点P(x,y)的坐标满足x十y=xy,那 么称P为“美丽点”，若某个“美丽点”P到y 03拓思维 轴的距离为2，则点P的坐标为 11.在平面直角坐标系中，对于任意两点A, A.(2,-2) B(2 B,我们把A,B两点横坐标差的绝对值与 它们纵坐标差的绝对值的和叫作A,B两 c(径，-2)或2,2D..2)或(-2，》 点间的“折线距离”，记作d(A,B).例如： 已知A(x1,y1),B(xa,y2),则d(A,B)= 8.在平面直角坐标系中，点P在x轴下方，y轴 右侧，距离x轴2个单位长度，距离y轴4个 x1-xg+ly1一yz. (1)已知A(2,1),B(一3,0)，则d(A,B)的 单位长度，则点P的坐标为 值为 9.已知在平面直角坐标系中有一点M(2m一 (2)已知C(2,0),D(0,a),且d(C,D)= 1,m-3). 3,求a的值. (1)当点M到y轴的距离为1时，求点M 的坐标。 (3)已知M(0,2),N(0,一3)，动点P(x,y) 若P,M两点间的折线距离”与P,N两点间 (2)当点M到x轴的距离为2时，求点M 的“折线距离”的差的绝对值是3，求y的值， 的坐标。 并在如下图所示的平面直角坐标系中画出所 有符合条件的点P组成的图形 5-4-3-2-02145 10.如下图，△ABC在正方形网格中（图中每 个小正方形的边长均为1个单位长度).若 点A的坐标为(0,3)，点B的坐标为（一2， 一1)，按要求解答下列问题： (1)在图中建立正确的平面直角坐标系， (2)根据所建立的坐标系，写出点C的坐 标： 数学八年级B$版 第2课时平面直角坐标系中点的坐标特点 要点提示 各象限内点的横、纵坐标的符号特征：第一象限（十，十）：第二象限（一，十）：第三象限（一，一）：第四豪限（十，一） 特殊位置的点的坐标特点：(1)x轴上的点，纵坐标为0：y抽上的点，横坐标为0.(2)第一、三象限的角平分线上 的点，横坐标与就坐标相等：第二、四象限的角平分线上的点，横坐标与龈坐标互为相反数(3)与工轴平行（成 与y轴垂直)的直线上的点纵坐标都相可：与y轴平行（或与x轴垂直）的直线上的点横坐标都相同. O1因基础念 知识点1象限内点的坐标特点 1.若点A(-a,b)在第一象限，则点B(a,b)在 ( 第5题周 A.第一象限 B.第二象限 知识点4平行于坐标轴的直线上的点的坐 C.第三象限 D.第四象限 标特点 知识点2坐标轴上的点的坐标特点 6.(2024一2025九江浔阳区月考)已知点B的 坐标为(3，一4)，而直线AB平行于y轴，那 2.下列各坐标平面内的点中，在x轴上的点是 么点A的坐标有可能为 () ( A.(3,-2) B.(2,4) A.(0,3) B.(-3,0) C.(-3,2) D.(-3,-4) C.(-1,2) D.(-2,-3) 7.在平面直角坐标系中，点A的坐标为(3,2)， 3.(2024一2025吉安期中)若点A(n-1,4)在 点Q在x轴下方，AQ∥y轴.若AQ=5,则 y轴上，则点B(n十1，n-3)在 ) 点Q的坐标为 () A.第一象限 B.第二象限 A.(-2,2) B.(8,2) C.第三象限 D.第四象限 C.(3,-3) D.(3,7) 8.如图，正方形ABCD的边长为4，点A的坐 知识点3象限角平分线上的点的坐标特点 标为（一1,1），AB平行于x轴，则点C的坐 4若点A(一2号)在第三象限的角平分线上， 标为 则a的值为 c 第8题图 D.、2 A.(3,1) B.(-1,1) 5.如图，在平面直角坐标系中，11,12分别为第 C.(3,5) D.(-1,5) 一、三象限和第二，四象限的角平分线.点 ●易错点对问题考虑不全面而致错 A,B,C,D的位置如图所示，则表示这些点 9平面直角坐标系中，点P的坐标为(2， 的坐标分别为A .B 1),PQ∥x轴，且PQ=3,则点Q的坐标 C D 为 上册第三章 02提能力 (2)连接BD,求BD的长. (3)求出点M的坐标. 10.在平面直角坐标系中，若点A(a,一b)在第 三象限，则点B(一ab,b)所在的象限是 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 11.在平面直角坐标系中，若A(m+3,m一1)， B(1一m,3一m),且直线AB∥x轴，则m 的值是 ( A.-1 B.1 C.2 D.3 12.已知点P(2m-5,m一1)在第二、四象限的 03拓思维 角平分线上，则m的值为 A.2 B.3 C.4 D.-2 17.如下图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶 13.已知点A(a,5),B(2,2-b),C(4,2),且 点坐标分别为A(0,0),B(6,0),C(5,6). AB平行于x轴，AC平行于y轴，则a+b 的值为 14.四边形ABCD的对边平 行且各边相等，其在平面 直角坐标系中的位置如 图所示.若四边形ABCD 第14题困 的顶点A,B的坐标分别为（一3,0），(2， (1)求△ABC的面积 0),点D在y轴上，则点C的坐标为 (2)在y轴上有一点D,使得△ABD的面 积和△ABC的面积相等.求点D的坐标. 15.在平面直角坐标系中，以原点O为圆心，任 (3)除(2)中的点D外，在平面直角坐标系 意长为半径画弧，交x轴正半轴于点A,交 中，还能不能找到其他的点D,满足 y轴于点B,再分别以点A,B为圆心，以 △ABD的面积和△ABC的面积相等？这 样的点有多少个？它们的坐标有什么特 大于2AB长为半径画弧，两孤在y轴右侧 点？直接写出答案。 相交于点P,连接OP.若OP=22,则点 P的坐标为 16.如下图，在平面直角坐标系中，已知长方形 ABCD的两个顶点A(2,-1),C(6,2),M 为y轴上的一点，△MAB的面积为6，请 解答下列问题： (1)顶点B的坐标为 数学/八年级BS版 第3课时 建立适当的平面直角坐标系 要点提示 建立平面直角坐标系的基本思路：(1)分析条件，远择违当的，点作为坐标原点.(2)过原点在两个互相垂直的方 向上分别作出x轴与y轴.(3)确定正方向、单信长度 建立平面直角坐标系的原则：(1)使得坐标简洁明了，易于计算.(2)使图形中尽量多的点在坐标轴上。(3)以某 些特殊线段所在直线为x轴或y轴（如高、中线等），(4)以轴对称图形的对称轴作为x物或y轴， O1固基础念 知识点2用坐标表示地理位置 4.张强在某旅游景点的动物 知识点1用坐标表示点或图形 卡猫馆 园的大门口看到这个动物 、大门 找山。 1.如图，长方形ABCD的边CD在y轴上，O ·驼峰 园的平面示意图（如图），若 为CD的中点.AB=4,AB交x轴于点E 第4题因 以大门为坐标原点，其他四个景点大致用坐 (一5,0)，则点B的坐标为 标表示肯定错误的是 A.(-5,2) B.(2,5) A.熊猫馆(1,4)B.猴山(6,0) C.(5,-2) D.(-5,-2) C.百鸟园(5，-3)D.驼峰(3，-2) 5.故宫是世界上现存规模最大、保存最完整的 宫殿建筑群.小博和小岩在综合实践活动中 来到故宫学习，他们都选取了向右和向上为 23452 两个正方向，在如图所示的正方形网格中建 第1题图 第2题图 2.如图所示，方格纸上有M,N两点，以点N 立了相同的坐标系，描述各景点的位置， 为原点建立平面直角坐标系，点M的坐标 小博：“养心殿在原点的西北方向.” 为(3,4).若以点M为原点、相同的坐标轴 小岩：“九龙壁的坐标是(2,0).” 方向建立平面直角坐标系，则点N的坐标 老师：“他们说的都正确！” 为 (1)依据两位同学的描述，可以知道他们都 A.(-3,-4) B.(4,0) 选择了景点 为原点建立了 C.(0,-2) D.(2,0) 平面直角坐标系。 3.(教材变式)如下图，长方形的长和宽分别是 (2)太和殿的坐标是 ,景仁 8和3.建立适当的平面直角坐标系，并写出 宫的坐标是 各个顶点的坐标. ,角接 武五楼 花四 九龙 门 第5题周 上册第三章 …… O2提能力 (2)某星期日早晨，李明从家里出发，沿着 (-1,-2),(1,-2),(2,-1),(1,-1),(1, 6.小明为画一个如图①所示的零件的轴截面， 3),(一1,0)，(0，一1)的路线转了一下后回 以该轴截面底边所在的直线为x轴，对称轴 到家里，用线段顺次连接李明家和他在路上 为y轴建立了如图②所示的平面直角坐标 经过的地点，你能得到什么图形？ 系.若坐标轴的单位长度取1mm,则图②中 转折点P的坐标为 穷校 (单位：mm) 10.16 游 50 0 ① 图② 第6题固 A.(5,30) B.(8,10) C.(9,10) D.(10,10) 7.如图，直线m⊥n.在某平面直角坐标系中， 03拓思维念 x轴∥m,y轴∥n,点A的坐标为(-1,2)， 10.定义：在平面直角坐标系xOy中，已知P 点B的坐标为(2，一4)，则坐标原点大致为 (a,b),P2(c,b),P:(c,d),这三个点中任 意两点间的距离的最小值称为点P1,Pz, P。的“最佳间距”，例如：如下图，点 P1(-1,2),P2(1,2),Pg(1,3)的“最佳间 A0, 02 距”是1. 03a (1)理解：点Q1(2,1),Q2(4,1),Q,(4,4) 第7题围 第8题国 的“最佳间距”是 8.数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线， (2)深究：已知点O(0,0),A(-3,0),B(-3, 建立如图所示的平面直角坐标系，曲线C就 y). 是其中之一，给出下列三个结论：①曲线C ①若点O,A,B的“最佳间距”是1，求y 恰好经过6个整点（横、纵坐标均为整数的 的值： 点)：②曲线C在第一、二象限中的任意一点 ②点O,A,B的“最佳间距”的最大值为 到原点的距离大于1：③曲线C所围成的 “心形”区域的面积小于3.其中正确的是 (填序号). 9.在下图中标明了李明家附近的一些地方，已 知李明家位于(-2，一1)，汽车店位于(2， -1). (1)依题意建立平面直角坐标系，并分别写 出学校、邮局的坐标。 数学八年级BS版所以4=一2，b=士3. 因为ab<0, 所以6=3， 所以(6-a)”=(3+2)2=1=1 5-25 5.D6.-2十w②☒ 7.解：)W5 (2)存在，满足要求的x值为0和1， (3)x的值不唯一， 示例：x=3或z=9. 8.C9.A10.C11.2 12.解：(1)原式=32-26-32=-2W6. 2原式-(26-5）6-2-5÷6-2g 装wg (3)原式=6-12W2+12-(20-2)=18-12√2-18 =-122. 13.解：由题意，得4-2=0且b-3=0, 解得4=2，b=3. 把4=2，b=3代人后-匹，得42-医=42 √8■2√2」 第三章位置与坐标 1确定位置 1.B2.C3.B4.D5.C6.C7.B8.A9.(7,02 10.解：示例：A4区→A3区+A2区→B2区→C2区→C1区 →D1区→D2区. 11.解：(1)630 (2)如图所示 Y 因为A(5,30),B(12,120), 所以∠AOX=30°，∠B0X=120°， 所以∠AOB=90°. 因为OA=5,OB=12, 所以在Rt△AOB中，AB= √/12+5=13. 2平面直角坐标系 第1课时平面直角坐标系的有关概念 1.C2.B3.C 4.解：(1)如图所示. 6 2 0十寸}46品 (2)示例：我觉得它像房屋， 5.B6.D7.D8.(4,-2) 9.解：(1)由题意，得2m一1=1， 所以2m一1=1或2m一1=一1，解得m=1或m=0, 所以点M的坐标是1，一2)或（一1，一3）. (2)由题意，得引m一3引=2， 所以m一3=2或m一3=一2，解得m=5成m=1, 所以点M的坐标是(9,2)或1，一2). 10.解：(1)建立正确的平面直角坐标系如图所示 (2)1,1 8△ABC的面积=5X4-号×2X-号X1X2-号×2 ×3=4. 11.解：(1)6 (2)因为d(C,D)={2-0|十|0一a1=3,所以|-a|=1, 解得a=土1. (3)由题意可知，d(P,MD=|x|+|y一21，d(P,N)=|x|+ 1y+3|,所以1d(P,MD-d(P,N)I=|y-2|-1y+3| =3. 当y≤一3时，1|y-21-1y+31|=|2-y+y+3=5 3,不合题意，舍去： 当-3<y<2时，ly-2-1y+31=12-y-y-3=1-2y -1,即-2y-11=3,解得y=1或y=-2: 当y≥2时，1ly-21-1y+311=1y-2-y-31=5≠3， 不合题意，舍去， 综上所述，y的值为1或-2 所有符合条件的点P组成的图形如图所示 5 3 5152@1方封 3 44 第2课时平面直角坐标系中点的坐标特点 1.B2.B3.D4.B 5.(2,2)(-2,2)(-1,0)(0,-1D 6.A7.C8.C9.(5,1)威(-1.1)10.A 11.C12.A13.114.(5,4)15.(2,2)或(2，-2) 16.解：(1)(6，一1) (2)因为点A(2,一1)，点C(6,2) 所以AB=6-2=4,AD=2-(-1)=3, 所以BD=√AB+AD=+3=5. （3)设点M的坐标为0，m),则Saw一2AB·ym一 =号×4m-(-1D1=6, 解得m=2或一4， 所以点M的坐标为(0,2)或(0，一4) 17.解：0)△ABC的面积=号×6X6=18. (②)因为△ABD的面积-△ABC的面积-18，所以号×6AD 上册参考答案 181 =18,解得AD=6,所以点D的坐标为(0,6)或(0，一6) (3)能.这样的点有无数个，它们的纵坐标都为6或都为 -6. 第3课时建立适当的平面直角坐标系 1.D2.A 3.解：示例：建立平面直角坐标系如图所示.点A,B,C,D的 坐标分别为（一4,4），（一4,1），(4,1)，(4,4)， 6 B 42 2 4.C5.(1)保和殿(2)(0，-1)(1,1.5)6.C7.0 8.①② 9.解：(1)建立平面直角坐标系如图所示， 学校(1,3).邮局(0，一1). 等0 李家水米店汽店 公国 (2)如图，用线段顺次连接李明家和他在路上经过的地点， 得到的图形是帆船 10.解：1)2 (2)①因为点O(0,0),A(一3,0)，B(一3，y),所以AB⊥ OA,OA=3.所以OB>OA, 因为点O,A,B的“最佳间距”是1， 所以AB=1,所以y=士1， ②3 3轴对称与坐标变化 1.C2.A3.a,-b)4.-5 5.解：(1)由A,B两点关于y拍对称，得a一1=一2，b一1=5， 解得a=一1，b=6. (2)由A,B两点关于x轴对称，得4一1=2，b一1=-5，解 得a=3,b=-4 (3)由AB∥x轴，得6-1=5，a一1≠2： 解得b=6,a≠3. 6.解：(1)如图，△AB1C1即为所求 (2)如图，点P即为所求 7.D8.D9.B10.(-40,a)11.(-2,3)12.(a,-b) 182 数学八年级BS版 13.解：(1)如图，△A1B1C1即为所求 32-1 (2)(-2,4)(-3,1)(2,2) (3)(-a+2,b) 14.解：(1)A,B两村的位置如图（答案不唯一2.A(0,1),B(4,4) (2)找点A关于x轴的对称点A',连接A'B交x轴于点 P,则点P即为水泵站的位置，如图 此时PA十PB=PA'十PB=A'B. 因为AB=√④+5=√T(km, 所以所前水管的长度为√红km 本章小结 1.B2.B4C33.A4.B5.A6.(2,0)7.(-2,-4) 8.4或-4 9.解：(1)因为直线1∥x轴，所以m十1=一4，解得m=一5，所 以A(2,一4)，B(一2，一4)，所以A,B两点间的距离为2 (-2)=4. (2)因为直线'与直线！垂直于点C,所以直线1∥y轴， 所以点C的横坐标为一1，而直线！上的点纵坐标都为一4， 所以垂足C的坐标为（一1，一4）. 10.解：如图所示，设C(x,0) 4 CC C.0 A C ①当∠BAC是顶角时，在Rt△AOB中，AB= √0A+0B=5, 所以AC1=AC2=5,所以C1(-2,0),C2(8,0): ②当∠ABC是顶角时，AB=C:B,所以OC,= √C,B-OB=3,所以C,(-3,0): ③当∠BCA是顶角时，AC4-BC, 即8-x=V层+，部得x=-子，所以C(-名 综上所述，点C的坐标为一么0或8,0或一3,0减-名 0以 11.C12.C13.(-4,-2) 14.解：(1)点B(4,5)不是“开心点”，理由如下：