3.2 平面直角坐标系（暑假预科讲义）-2026-2027学年北师大版数学八年级上册

暑季研思・八年级上册数学暑期培优专项讲义 3.2平面直角坐标系 知识归纳与题型总结 考点01 平面直角坐标系 1．定义：在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴组成平面直角坐标系． 2．坐标轴：通常，两条数轴分别置于水平位置与竖直位置，取向右与向上的方向分别为两条数轴的正方向．水平的数轴称为轴或横轴，竖直的数轴称为轴或纵轴，轴和轴统称坐标轴，它们的公共原点O称为平面直角坐标系的原点． 考向01 写出直角坐标系中点的坐标 【例1】如图，若棋子“车”的坐标为，棋子“马”的坐标为，则棋子“炮”的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用棋子“车”的坐标为找出直角坐标系的位置后即可得到棋子“炮”的坐标． 【详解】解：由题意可得直角坐标系如图所示： 故棋子“炮”的坐标为． 考向02 求点到坐标轴的距离 【例2】在平面直角坐标系中，有，，三点． (1)当轴时，求A，B两点间的距离． (2)当轴于点D，且时，求点C的坐标． 【答案】(1)3 (2)C点坐标为或 【分析】（1）根据轴得出A、B点的纵坐标相同，由此求出的值，即可得出结果； （2）由题意可得，求出的值即可得出结果． 【详解】（1）解：∵轴， ∴A、B点的纵坐标相同， ∴， 解得， ∴，， ∴A，B两点间的距离； （2）解：∵轴于点D，， ∴， 解得或， ∴C点坐标为或． 考向03 判断点所在的象限 【例3】点在第_____象限． 【答案】三 【分析】根据各象限内点的坐标符号特征即可判断． 【详解】解：∵点的横坐标，纵坐标， ∴点在第三象限． 考向04 已知点所在的象限求参数 【例4】在平面直角坐标系中，点在第二象限内，则的取值可以是（     ） A． B．0 C．3 D．4或 【答案】A 【分析】由第二象限内点的横坐标符号确定的取值范围即可． 【详解】解：∵点在第二象限内， ∴， ∴选项A的满足条件． 考向05 坐标系中描点 【例5】如图，在平面直角坐标系内，描出，，，四个点． (1)线段，有什么位置关系和数量关系？ (2)顺次连接A，B，C，D四点，求四边形的面积． 【答案】(1)； (2)15 【分析】（1）根据与纵坐标相等，与纵坐标相等得到轴，轴，，，据此求解即可； （2）连接，根据四边形的面积求解即可． 【详解】（1）解：如图， ∵，，，， ∴轴，轴，，， ∴，； （2）解：连接， 则四边形的面积． 考向06 已知两点坐标求两点距离 【例6】在平面直角坐标系中，点到原点的距离等于1．请写出一个符合条件的点的坐标：______． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据点到原点的距离条件，推导出点横纵坐标满足的关系式，任取一组满足关系式的值即可得到结果. 【详解】解：设点的坐标为， ∵点到原点的距离等于， ∴， 令，代入等式得，满足条件， 因此符合要求的点坐标可以为. 考向07 实际问题中用坐标表示位置 【例7】2026年总台马年春晚吉祥物为“骐骐”“骥骥”“驰驰”“骋骋”四匹骏马，如图是马的小篆字体，A，B两点的坐标分别为，，请你根据题意，建立平面直角坐标系，并写出点C的坐标． 【答案】解：建立平面直角坐标系如图所示：点C的坐标为， 【分析】根据所给A、B两点的坐标画出平面直角坐标系，进而可得点C坐标． 【详解】略 【对点1】在一次科学探测活动中，探测人员发现一目标在如图所示的阴影区域内，则该目标的坐标可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据点所在象限的坐标符号特征：第一象限，第二象限，第三象限，第四象限，结合图即可求解． 【详解】解：根据图可知，目标在第三象限，即坐标可能为，故选项C符合题意． 【对点2】在平面直角坐标系中，点，点，则线段________________． 【答案】3 【分析】A，B两点纵坐标相等，线段平行于轴，线段长度等于横坐标差的绝对值，可直接计算得到结果． 【详解】解：∵点，点的纵坐标相等， ∴线段平行于轴， ∴． 【对点3】若点 在轴上，则点在第________象限． 【答案】二 【分析】根据x轴上点的纵坐标为0求出n的值，得到点B的坐标后，根据象限坐标特征判断点B所在象限. 【详解】解：∵点在轴上，轴上点的纵坐标为， ∴， 将代入点的坐标，得， ∵点的横坐标小于，纵坐标大于， ∴点在第二象限. 【对点4】在平面直角坐标系中，已知点P的坐标为． (1)若点P在x轴上，求点P的坐标； (2)若点P的横坐标比纵坐标大2，求点P的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用x轴上点的纵坐标为0列方程求解a，再计算点P的坐标即可； （2）根据横坐标比纵坐标大2的数量关系列方程求解a，再计算点P的坐标． 【详解】（1）解：∵ 点P在x轴上， ∴， 解得， 将代入横坐标得：， ∴点P的坐标为． （2）解：∵点P的横坐标比纵坐标大2， ∴， 整理得， 解得 ， 将代入横纵坐标得：， ， ∴ 点P的坐标为． 【对点5】如图是老北京城的一些地点分布示意图，已知东直门和宣武门的坐标分别为，． (1)在图中画出相应的平面直角坐标系，并写出，表示的地点； (2)根据中所建立的平面直角坐标系，写出示意图中西直门和崇文门的坐标； (3)根据中建立的平面直角坐标系，李华在安定门计划骑一辆共享单车，根据图中，，，四处单车的位置，请直接写出距离李华最近的共享单车的位置坐标？ 【答案】(1)平面直角坐标系如图，则表示的地点是阜成门，表示的地点是故宫， (2)西直门的坐标是，崇文门的坐标是 (3)最近的共享单车在 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系中点的坐标，解决本题的关键是根据网格中点的坐标建立坐标系． （1）根据题干条件，建立平面直角坐标系即可作出点坐标； （2）根据（1）建立的平面直角坐标系作答即可； （3）根据（1）建立的平面直角坐标系作答即可． 【详解】（1）解：略 （2）解：由图可知，西直门的坐标是，崇文门的坐标是． （3）解：由图可知，距离安定门最近的是点，点坐标为， 故距离李华最近的共享单车的位置坐标为． 【对点6】在平面直角坐标系中，点到原点的距离是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：点到原点的距离为． 【对点7】如图，以正东方向为x轴正方向、正北方向为y轴正方向建立平面直角坐标系，已知北京四中的坐标为，那么北京四中道元校区的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：根据题意，建立如图所示的平面直角坐标系： 北京四中道元校区的坐标为 ． 考点02 坐标平面内点的坐标特征 1．点的坐标: 如下图，对于平面内任意一点P，过点P分别向轴、轴作垂线，垂足在轴、y轴上对应的数，b分别称为点P的横坐标、纵坐标，有序实数对（，b）称为点P的坐标． 2．坐标平面内点的坐标特征：如下图． ①坐标原点O的坐标为（0，0）； ②第一象限内的点，、同号，均为正； ③第二象限内的点，、异号，为负，为正； ④第三象限内的点，、同号，均为负； ⑤第四象限内的点，、异号，为正，为负； ⑥横轴（轴）上的点，纵坐标为0，即（，0）； ⑦纵轴（轴）上的点，横坐标为0，即（0，）． 考向01 点坐标规律探索 【例1】对于平面直角坐标系中的点，若点的坐标为（其中为常数，且），则称点为点的“属派生点”，例如：的“属派生点”为，即．若点在轴的正半轴上，点的“属派生点”为点．且线段的长度为线段长度的倍，求的值． 【答案】 【分析】设，则点的“属派生点”点为，再由题意可得，即可求得的值． 【详解】解：∵点在轴的正半轴上， ∴点的纵坐标为， 设， ∴点的“属派生点”点为， ∴，， ∵线段的长度为线段长度的倍， ∴， ∴， ∴． 考向02 中点坐标 【例2】在平面直角坐标系中，已知，，则线段的中点坐标是________． 【答案】 【分析】利用平面直角坐标系中两点中点坐标的计算公式，分别计算中点的横坐标和纵坐标即可求解． 【详解】解：∵，， ∴线段的中点坐标是，即． 考向03 求点沿x轴、y轴平移后的坐标 【例3】在平面直角坐标系中，将点向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得点的坐标是______． 【答案】 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的平移，解决本题的关键是熟练掌握点的平移规则． 根据平面直角坐标系中点的平移规则，将点向右平移2个单位长度，则点的纵坐标不变，横坐标；再向下平移1个单位长度，则点的横坐标不变，纵坐标，由此求解即可． 【详解】解：∵将点向右平移2个单位长度， ∴此时点的坐标为，即， 再向下平移1个单位长度， ∴可得点的坐标为，即， ∴所得点的坐标是． 故答案为： ． 考向04 由平移方式确定点的坐标 【例4】在平面直角坐标系中，将点向上平移3个单位长度，再向右平移5个单位长度得到点N，则点N的坐标为_________． 【答案】 【分析】根据平移规律，向右平移横坐标加，向上平移纵坐标加，据此计算即可． 【详解】解：点向上平移个单位长度，再向右平移个单位长度得到点N， ，， 点N的坐标为,即． 考向05 已知点平移前后的坐标，判断平移方式 【例5】如图，已知单位长度为1的方格中有三角形． (1)三角形中任意一点平移后的对应点为，请画出三角形平移后所得的三角形； (2)若点A的坐标为，请在方格图中画出平面直角坐标系，并写出点的坐标； (3)求三角形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)画图见解析； (3) 【分析】本题平面直角坐标系，平移的知识，解题的关键是掌握平面直角坐标系中点平移的规律，进行解答，即可． （1）由平移规律，平移以后得到，可知：向右平移个单位，向上平移个单位；分别将点、、按此规则平移，得到对应点、、，依次连接、、，即得； （2）已知，以点所在竖直线为轴，过作水平直线为轴，建立平面直角坐标系． （3）用三角形外围矩形面积减去周围个直角三角形面积，即可． 【详解】（1）解：即为所求． （2）解：平面直角坐标系如下： ∴点． （3）解： ． 考向06 已知图形的平移，求点的坐标 【例6】如图，长方形中，O为平面直角坐标系的原点，A点的坐标为，C点的坐标为，点B在第一象限内． (1)写出点B的坐标 ； (2)若过点C的直线交长方形边于点D，且把长方形的周长分为两部分，求点D的坐标． (3)如果将（2）中的线段向下平移0.5个单位，所得线段，试计算由O、A、、点组成的四边形面积． 【答案】(1) (2)点或 (3)或12 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系中长方形的性质、图形的平移以及图形面积的计算，熟练掌握这些知识是解题的关键． （1）根据长方形对边相等的性质，直接得出点的坐标； （2）先算出长方形周长，再分直线与相交、与相交两种情况，结合周长比例求出点坐标； （3）根据平移性质得到、坐标，再分情况利用梯形面积公式或三角形面积和来计算四边形面积． 【详解】（1）解：∵长方形中，，，且， ∴ （2）解：∵， ∴， ①当直线与边相交时， ∵， ∴，，即， ②当直线与边相交时， ∵， ∴，即； （3）解：①当点时， ∵线段向下平移个单位 ∴， ∵， ∴ ②当点时， ∵线段向下平移个单位 ∴， 连接，则，则， ∴ ． 考向07 已知平移后的坐标求原点坐标 【例7】点P先向下平移2个单位，再向右平移3个单位后，则得到点，则点P的坐标为_______． 【答案】 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化 - 平移，熟练掌握点的平移规律（右加左减横坐标，上加下减纵坐标）是解题的关键．根据点平移的逆过程，将点反向平移得到点的坐标． 【详解】解：横坐标： 纵坐标： 故点的坐标为． 故答案为：． 【对点1】如图，智能机器人从平面直角坐标系的原点O出发，向上走1个单位长度到达点，再向左走1个单位长度到达点，再向下走2个单位长度到达点，再向右走2个单位长度到达点，再向上走3个单位长度到达点，…以此规律走下去，当智能机器人到达点时，它的坐标为_________________． 【答案】 【详解】解：依题意可知：点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为， ∵， ∴是第二象限的点， ∴的坐标是． 【对点2】下面是在“平面直角坐标系中线段的中点”主题下设计的问题，请你解答． (1)观察发现：在下面给出的平面直角坐标系中，描出下列各点：，，，，并连接，，请写出线段的中点坐标：__________，线段的中点坐标：________． (2)探究迁移：如果有，两点，那么线段的中点坐标是__________． (3)拓展应用：已知三点，，，点与点，，中的一个点构成的线段的中点与另外两个点构成的线段的中点重合，求点的坐标． 【答案】(1)连接线段，如下图；；； (2) (3) 【分析】（1）根据要求描点，连线，进而根据图象确定中点坐标即可； （2）根据（1）中的两个中点坐标，进行猜想即可； （3）分3种情况，结合中点坐标公式，进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意，描点，作图见答案 由图可知：线段的中点坐标为，线段的中点坐标为； （2）解：由（1）可知：的中点坐标为，线段的中点坐标为； 猜想：如果有，两点， 则线段的中点坐标是； （3）解：情况1：与中点重合时，， ， 此时； 情况2：与中点重合时，， ， 此时； 情况3：与中点重合时，， ， 此时； 综上所述，点的坐标为． 【对点3】点向左平移3个单位，再向上平移4个单位到点B，则点B的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查点的平移，掌握相关知识是解题的关键． 根据点的平移规律，左右平移，横坐标左减右加，纵坐标不变；上下平移，纵坐标上加下减，横坐标不变，即可解答． 【详解】解：点向左平移3个单位，再向上平移4个单位到点． 故选C． 【对点4】如图，在边长为1的正方形网格中，中任意一点经平移后对应点为．已知，，将作同样的平移得到． (1)画出平移后的； (2)直接求出的面积为___________； (3)已知点在轴上，且的面积等于面积的一半，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）由点的坐标可知，三角形向上平移个单位长度，向左平移个单位长度，依次连接，即可； （2）直接利用割补法求出三角形面积，即可； （3）以为底，高为点到轴的距离，则，再根据的面积等于面积的一半，即可． 【详解】（1）略 （2）． （3）∵以为底，高为点到轴的距离， ∴， ∵的面积等于面积的一半， ∴， ∴， ∵点， ∴或． 【对点5】在平面直角坐标系中，点，，a，b满足． (1)点A，B的坐标分别为______、______． (2)如图①，平移线段至，使点A的对应点为，与y轴交于点H，连接，若，求的度数． (3)平移线段至，使点F在y轴负半轴上，如图②，分别作与的平分线、交于点G，求的度数． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】（1）由非负性的性质求出a、b的值即可得到答案； （2）先判断出平移方式为向右平移个单位长度，向上平移个单位长度，则点F的坐标为，可证明，，据此根据平行线的性质即可得到答案； （3）过点O作，过点G作，根据平行线的性质求出，根据角平分线定义求出，最后根据平行线的性质求出 ． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，； （2）解：∵平移线段至，使点A的对应点为，， ∴平移方式为向右平移个单位长度，向上平移个单位长度， ∵， ∴点F的坐标为，即， ∴轴，即， ∴， 由平移的性质可得， ∴； （3）解：过点O作，过点G作， 根据平移可得：， ∴， ∴，， ∴， ∵平分、平分， ∴，， ∴， ∵， ∴，， ∴． 【对点6】如图：在正方形网格（每个小正方形的边长记为单位1）中有两个三角形，分别是和，按要求进行下列作图（只能借助于无刻度直尺和网格）． (1)以点B为原点，建立平面直角坐标系；分别写出点A，C的坐标：A（______，______），C（______，______）； (2)如图，若是由经过平移得到的，那么经过了怎样的平移？ (3)在（2）的条件下，若点是边上一点，则点P的对应点的坐标：（______，______）； (4)画一个锐角三角形（要求点M在格点上），使其面积等于的面积． 【答案】(1)，0，2，2； (2)是由经过向右平移6个单位，向上平移3个单位得到； (3)7，4 (4)即为所求： 【分析】本题考查作图-平移变换，三角形的面积，解题的关键是掌握平移变换的性质． （1）根据题意作出平面直角坐标系，再根据点A，C的位置写出坐标； （2）利用平移变换的性质判断即可； （3）利用平移变换的规律解决问题； （4）点M在过点F平行的直线上（也可以在直线的下方），答案不唯一． 【详解】（1）平面直角坐标系如图所示，，． 故答案为：，0，2，2； （2）略 （3）是由经过向右平移6个单位，向上平移3个单位得到，点是边上一点， 点的坐标为，即， 故答案为：7，4； （4）略 一、选择题 1．如图所示，在平面直角坐标系中，所有正方形的中心均在坐标原点，且各边与轴或轴平行，从内到外，它们的边长依次为2，4，6，8，…，顶点依次用，，，，，表示，则顶点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用“每个点为一个循环”的规律，通过求余确定点的位置和象限，再结合第个正方形第二象限顶点为，得出​的坐标． 【详解】解：正方形有个顶点， 每个点为一个正方形循环， ， 为第个正方形位于第二象限的点， 根据题意可知，第个正方形位于第二象限的点为， 故为． 2．如图，每个小正方形的边长均为，下列各点中不会落在正方形框（四个顶点均为格点）内部的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据正方形顶点坐标得到正方形内部点满足，，进而判断各点是否在正方形内部． 【详解】解：根据网格与平面直角坐标系，可得正方形四个格点顶点的坐标为： ，，，， 正方形内部的点满足：横坐标范围：，纵坐标范围：， 选项：点， ，， 该点落在正方形内部； 选项：点， ，， 该点落在正方形内部； 选项：点， ，， 该点落在正方形内部； 选项：点， ，纵坐标小于正方形下边界， 该点不会落在正方形框内部． 3．法国数学家笛卡尔创立了平面直角坐标系，被誉为“解析几何之父”，在平面直角坐标系中，我们定义点的“笛卡尔变换”为：，已知点的坐标为，则经过2025次笛卡尔变换后得到的点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据各点坐标得出每4次变换为一个循环，即可求解． 【详解】解：∵点的坐标为， ∴经过第一次变换后为：，即， 经过第二次变换后为：，即， 经过第三次变换后为：，即， 经过第四次变换后为：，即， ∴变换周期为， ∵， ∴次变换后得到的坐标与第次变换后的坐标相同，即． 4．如图，动点从出发，沿所示的方向运动，每当碰到矩形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当点第次碰到矩形的边时，点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据点P的坐标变化规律即可得出结论． 【详解】解：如图， 根据题意得：，…， ∴点的坐标6次一循环． ∵， ∴当P点第2020次碰到矩形的边时的坐标与P点第4次反弹碰到矩形的边时的坐标相同， ∴点P的坐标为． 5．若点，是与x轴平行的直线上不同的两点，且到y轴的距离相等，则点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用与轴平行的直线的点坐标特征（纵坐标相等）、点到轴的距离相等及两点互异的坐标特征（横坐标互为相反数），求、的值，进而得点坐标． 【详解】解：∵点，在与轴平行的直线上， ∴， ∵两点到轴的距离相等， ∴，即， ∵两点是不同的点，当时，、坐标均为，两点重合，不符合题意， ∴， ∴点的坐标为． 6．如图，在平面直角坐标系中，四边形的面积是（    ） A．4 B． C． D．5 【答案】C 【分析】通过作辅助线将不规则四边形分割为规则图形三角形和梯形求解即可． 【详解】解：过点作轴于点． ， ， ， ． 7．如图，在平面直角坐标系中有点，点P第一次向上平移1个单位至点，接着第二次向左平移2个单位至点，第三次向上平移1个单位至点，第四次向右平移3个单位至点，…，以此规律平移下去，点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】我们先把平移规律按每4次为一组整理，观察下标为4的倍数的点的坐标特征：已知，第八次平移得……，总结规律：当下标（为正整数）时，对应点的坐标为．对于，令，解得，代入规律得横坐标为，纵坐标为． 【详解】解：我们先把平移规律按每4次为一组整理，观察下标为4的倍数的点的坐标特征： 已知，继续按规则推导后续点： 第五次向上平移1个单位得， 第六次向左平移5个单位得， 第七次向上平移1个单位得， 第八次向右平移6个单位得…… 总结规律：当下标（为正整数）时， 对应点的坐标为． 对于，令，解得， 代入规律得横坐标为，纵坐标为， 因此的坐标是． 8．三个顶点的坐标分别为，则的面积为（     ） A．10 B．20 C．12 D． 【答案】A 【详解】解：∵，横坐标相同， ∴轴，， ∵点到直线的距离为， ∴. 9．如图，在平面直角坐标系中，有若干个横、纵坐标分别为整数的点，其排列顺序为图中“→”所指方向，如，，，，，，根据这个规律，第个点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】观察图形可知，以最外边的矩形边长上的点为准，点的总个数等于轴上右下角的点的横坐标的平方，并且右下角的点的横坐标是奇数时最后以横坐标为该数，纵坐标为结束，当右下角的点横坐标是偶数时，以横坐标为，纵坐标为右下角横坐标的偶数减的点结束，根据此规律解答即可． 【详解】解：根据图形，以最外边的矩形边长上的点为准，点的总个数等于轴上右下角的点的横坐标的平方， 例如：右下角的点的横坐标为，共有个，， 右下角的点的横坐标为时，共有个，， 右下角的点的横坐标为时，共有个，， 右下角的点的横坐标为时，共有个，， ， 右下角的点的横坐标为时，共有个， ，是奇数， 第个点是， 故选：B． 10．如图所示，在直角坐标系中，已知点，，对连续作旋转变换，依次得到三角形①、②、③、④，……，若连续作旋转变换，则第2025次旋转后的三角形的直角顶点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】观察不难发现，每三次旋转为一个循环组依次循环，并且每组的最后一个三角形的直角顶点是落在轴上的，求出一个循环组旋转过的距离，即可得解． 【详解】解：∵，， ∴， 由原图到图，相当于向右平移了个单位长度，三角形的直角顶点的坐标为， ∵每三次旋转为一个循环组依次循环， 又∵， ∴在第2025次旋转后正好是第组的最后一个三角形，即如图③的三角形的位置， ∵， ∴直角顶点的坐标为． 二、填空题 11．在平面直角坐标系中，若点在x轴上，则a的值为_________． 【答案】 【分析】根据点在x轴上，得到，解方程即可； 【详解】解：∵点在x轴上， ∴， 解得； 12．七巧板又称七巧图，是中国民间流传的智力玩具．如图是由七巧板拼成的正方形，将其放入平面直角坐标系中，若点的坐标为，点C的坐标为，则点的坐标是_______． 【答案】 【分析】根据点的坐标为，点C的坐标为，可确定原点的位置，从而建立平面直角坐标系，即可判断点的坐标． 【详解】解：∵点的坐标为，点C的坐标为， ∴可确定原点的位置，如图，建立平面直角坐标系， ∴点的坐标是． 13．已知点A的坐标是，点B的坐标是，且轴，则线段的长为______ ． 【答案】7 【分析】由轴可得、两点纵坐标相等，据此可求出的值，再计算线段的长度． 【详解】解：∵轴，平行于轴的直线上所有点的纵坐标相等， ∴ ，纵坐标相等，即， 将代入坐标，可得点坐标为，点坐标为， ∴ 线段的长为． 14．如图，长方形四个顶点的坐标分别为，，，．物体甲和物体乙分别由点同时出发，沿长方形的边作环绕运动．物体甲按逆时针方向以1个单位/秒匀速运动，物体乙按顺时针方向以2个单位/秒匀速运动，则两个物体运动后的第2022次相遇地点的坐标是______． 【答案】 【分析】设甲、乙第一次相遇时，时间为，用的代数式表示出，，观察图形，结合相遇运动规律得：，即可解出，从而求出甲、乙第一次相遇时，，，进一步分别求出甲、乙第一次、第二次、第三次、第四次相遇时，相遇点坐标，观察发现，相遇点坐标周期性变化，周期，再用2022除以3即可发现刚好完成674个周期，即可得答案． 【详解】解：设甲、乙第一次相遇时，时间为，则甲的路程为，， ∵，，，， ∴，， ∴， 观察图形，结合相遇运动规律得：， ∴，解得：， ∴甲、乙第一次相遇时，，， ∴甲、乙第一次相遇时，相遇点坐标为：， 第二次相遇时，相遇点坐标为：， 第三次相遇时，相遇点坐标为：， 第四次相遇时，相遇点坐标为：， 第五次相遇时，相遇点坐标为：， 第六次相遇时，相遇点坐标为：， 观察发现，相遇点坐标周期性变化，周期， ∵， ∴两个物体运动后的第2022次相遇地点的坐标． 15．如图，在一单位为1的方格纸上，，，……，都是斜边在x轴上，斜边长分别为2、4、6，……的等腰直角三角形，若的顶点坐标分别为，，，则依图中所示规律，点的坐标为________． 【答案】 【分析】根据脚码确定出脚码为偶数时的点的坐标，得到规律：当脚码是2、6、10…时，横坐标为1，纵坐标为脚码的一半的相反数，当脚码是4、8、12…时，横坐标是2，纵坐标为脚码的一半，然后确定出第2022个点的坐标即可． 【详解】解：观察点的坐标变化发现：当脚码为偶数时的点的坐标，得到规律： 当脚码是2、6、10…时，横坐标为1，纵坐标为脚码的一半的相反数， 当脚码是4、8、12…时，横坐标是2，纵坐标为脚码的一半， 因为，，的坐标符合第一种情况，所以横坐标为1，纵坐标为． 三、解答题 16．在平面直角坐标系中，第四象限的点的坐标为，若点到两坐标轴的距离相等，求的值． 【答案】 【分析】由点在第四象限可表示出点到两坐标轴的距离，再列方程求解即可． 【详解】解：∵点在第四象限， ∴点到轴的距离为，到轴的距离为， ∵点到两坐标轴的距离相等， ∴， 解得． 17．如图，在平面直角坐标系中，三角形的顶点坐标分别是，，． (1)若点D在y轴的负半轴上，连接，且三角形的面积为9，求出点D的坐标； (2)若平面内有一点，且点E到的距离为6，请求出三角形的面积． 【答案】(1) (2)15或3 【分析】（1）过点C作轴于点N，则，设点D的坐标为，其中，则，根据三角形的面积为9，结合三角形的面积公式列出方程，求解即可； （2）由轴，且点到的距离为6，得到点E的坐标为或．分两种情况运用三角形的面积公式求解即可． 【详解】（1）解：过点C作轴于点N， ∵， ∴． ∵点D在y轴的负半轴上， ∴设点D的坐标为，其中， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点D的坐标为． （2）解：∵， ∴． ∵，， ∴轴， ∵点到的距离为6， ∴或， ∴点E的坐标为或． ①当点E的坐标为时，如图，过点E作轴于点P， ∴， ∴． ②当点E的坐标为时，如图，过点E作轴于点Q， ∴， ∴． 综上所述，三角形的面积为15或3． 18．已知点，根据下列条件，求出点A的坐标． (1)若点A在x轴上； (2)若点A在过点且与x轴平行的直线上． 【答案】(1)点的坐标为 (2)点的坐标为 【分析】（1）根据点A在x轴上得到，求出，从而得到点A的坐标； （2）根据点A在过点且与x轴平行的直线上得到，求出，从而得到点A的坐标． 【详解】（1）解：∵点A在x轴上， ∴， 解得：， ∴， ∴点的坐标为； （2）解：∵点A在过点且与x轴平行的直线上， ∴， 解得：， ∴， ∴点的坐标为． 19．【教材呈现】下图是人教版七年级下册数学教材第42页的部分内容． 【探究】： 怎样用两个面积为的小正方形拼成一个面积为的大正方形？这个大正方形的边长是多少？ 如图①，把两个小正方形沿对角线剪开，将所得4个直角三角形拼在一起，就得到一个面积为的大正方形． 【问题解决】 (1)图①中大正方形的边长为_____，小正方形的对角线的长为________． 【拓展应用】如图②，在平面直角坐标系中，已知点，； (2)线段的长为_________，请选用合适的工具，描出点的位置； (3)若点在坐标轴上，且，请判断：点的位置_________（填“唯一”或“不唯一”），若唯一，请说明理由；若不唯一，请直接写出所有点的坐标_________． 【答案】(1)， (2)； 点如图所示， (3)不唯一；或或）或） 【分析】（1）依据题意，由算术平方根的定义即可得出答案； （2）根据勾股定理即可得到结论； （3）根据点的坐标即可得到结论． 【详解】（1）解：∵图中大正方形的面积为， ∴图中大正方形的边长为， ∴小正方形的对角线的长为． （2）解：∵点， ∴， ∴线段的长为， 点的位置画图见答案； （3）解：∵，， ∴当点在轴上时，，； 当点在轴上时，， ∴，， ∴点的位置不唯一，如图所示． 20．如图，在平面直角坐标系中，，在轴上，在轴上，，，点的坐标是，连接，． (1)直接写出顶点，，的坐标； (2)当时，求的面积； (3)是否存在点，使的面积等于的面积？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，，； (2) (3)或 【分析】（1）由结合坐标轴位置直接写出坐标，再利用算出长度，得到点坐标； （2）代入确定坐标，拆分为三个小三角形，分别计算面积再求和得到总面积； （3）先算出面积，对点分第四象限、第三象限两种情况，拆分构造面积方程求解，得到对应点坐标． 【详解】（1）解：，在轴上，在轴上， ， ， ，在轴正半轴上， ； （2）解：连接， ， ， ； （3）解：存在，或，理由如下： ， 当在第四象限时，连接， ， 解得：， ， 当在第三象限时，连接，如图， ， 即， 解得：， ， 的坐标为或． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $暑季研思・八年级上册数学暑期培优专项讲义 3.2平面直角坐标系 知识归纳与题型总结 考点01 平面直角坐标系 1．定义：在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴组成平面直角坐标系． 2．坐标轴：通常，两条数轴分别置于水平位置与竖直位置，取向右与向上的方向分别为两条数轴的正方向．水平的数轴称为轴或横轴，竖直的数轴称为轴或纵轴，轴和轴统称坐标轴，它们的公共原点O称为平面直角坐标系的原点． 考向01 写出直角坐标系中点的坐标 【例1】如图，若棋子“车”的坐标为，棋子“马”的坐标为，则棋子“炮”的坐标为（     ） A． B． C． D． 考向02 求点到坐标轴的距离 【例2】在平面直角坐标系中，有，，三点． (1)当轴时，求A，B两点间的距离． (2)当轴于点D，且时，求点C的坐标． 考向03 判断点所在的象限 【例3】点在第_____象限． 考向04 已知点所在的象限求参数 【例4】在平面直角坐标系中，点在第二象限内，则的取值可以是（     ） A． B．0 C．3 D．4或 考向05 坐标系中描点 【例5】如图，在平面直角坐标系内，描出，，，四个点． (1)线段，有什么位置关系和数量关系？ (2)顺次连接A，B，C，D四点，求四边形的面积． 考向06 已知两点坐标求两点距离 【例6】在平面直角坐标系中，点到原点的距离等于1．请写出一个符合条件的点的坐标：______． 考向07 实际问题中用坐标表示位置 【例7】2026年总台马年春晚吉祥物为“骐骐”“骥骥”“驰驰”“骋骋”四匹骏马，如图是马的小篆字体，A，B两点的坐标分别为，，请你根据题意，建立平面直角坐标系，并写出点C的坐标． 【对点1】在一次科学探测活动中，探测人员发现一目标在如图所示的阴影区域内，则该目标的坐标可能是（     ） A． B． C． D． 【对点2】在平面直角坐标系中，点，点，则线段________________． 【对点3】若点 在轴上，则点在第________象限． 【对点4】在平面直角坐标系中，已知点P的坐标为． (1)若点P在x轴上，求点P的坐标； (2)若点P的横坐标比纵坐标大2，求点P的坐标． 【对点5】如图是老北京城的一些地点分布示意图，已知东直门和宣武门的坐标分别为，． (1)在图中画出相应的平面直角坐标系，并写出，表示的地点； (2)根据中所建立的平面直角坐标系，写出示意图中西直门和崇文门的坐标； (3)根据中建立的平面直角坐标系，李华在安定门计划骑一辆共享单车，根据图中，，，四处单车的位置，请直接写出距离李华最近的共享单车的位置坐标？ 【对点6】在平面直角坐标系中，点到原点的距离是（     ） A． B． C． D． 【对点7】如图，以正东方向为x轴正方向、正北方向为y轴正方向建立平面直角坐标系，已知北京四中的坐标为，那么北京四中道元校区的坐标为（     ） A． B． C． D． 考点02 坐标平面内点的坐标特征 1．点的坐标: 如下图，对于平面内任意一点P，过点P分别向轴、轴作垂线，垂足在轴、y轴上对应的数，b分别称为点P的横坐标、纵坐标，有序实数对（，b）称为点P的坐标． 2．坐标平面内点的坐标特征：如下图． ①坐标原点O的坐标为（0，0）； ②第一象限内的点，、同号，均为正； ③第二象限内的点，、异号，为负，为正； ④第三象限内的点，、同号，均为负； ⑤第四象限内的点，、异号，为正，为负； ⑥横轴（轴）上的点，纵坐标为0，即（，0）； ⑦纵轴（轴）上的点，横坐标为0，即（0，）． 考向01 点坐标规律探索 【例1】对于平面直角坐标系中的点，若点的坐标为（其中为常数，且），则称点为点的“属派生点”，例如：的“属派生点”为，即．若点在轴的正半轴上，点的“属派生点”为点．且线段的长度为线段长度的倍，求的值． 考向02 中点坐标 【例2】在平面直角坐标系中，已知，，则线段的中点坐标是________． 考向03 求点沿x轴、y轴平移后的坐标 【例3】在平面直角坐标系中，将点向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得点的坐标是______． 考向04 由平移方式确定点的坐标 【例4】在平面直角坐标系中，将点向上平移3个单位长度，再向右平移5个单位长度得到点N，则点N的坐标为_________． 考向05 已知点平移前后的坐标，判断平移方式 【例5】如图，已知单位长度为1的方格中有三角形． (1)三角形中任意一点平移后的对应点为，请画出三角形平移后所得的三角形； (2)若点A的坐标为，请在方格图中画出平面直角坐标系，并写出点的坐标； (3)求三角形的面积． 考向06 已知图形的平移，求点的坐标 【例6】如图，长方形中，O为平面直角坐标系的原点，A点的坐标为，C点的坐标为，点B在第一象限内． (1)写出点B的坐标 ； (2)若过点C的直线交长方形边于点D，且把长方形的周长分为两部分，求点D的坐标． (3)如果将（2）中的线段向下平移0.5个单位，所得线段，试计算由O、A、、点组成的四边形面积． 考向07 已知平移后的坐标求原点坐标 【例7】点P先向下平移2个单位，再向右平移3个单位后，则得到点，则点P的坐标为_______． 【对点1】如图，智能机器人从平面直角坐标系的原点O出发，向上走1个单位长度到达点，再向左走1个单位长度到达点，再向下走2个单位长度到达点，再向右走2个单位长度到达点，再向上走3个单位长度到达点，…以此规律走下去，当智能机器人到达点时，它的坐标为_________________． 【对点2】下面是在“平面直角坐标系中线段的中点”主题下设计的问题，请你解答． (1)观察发现：在下面给出的平面直角坐标系中，描出下列各点：，，，，并连接，，请写出线段的中点坐标：__________，线段的中点坐标：________． (2)探究迁移：如果有，两点，那么线段的中点坐标是__________． (3)拓展应用：已知三点，，，点与点，，中的一个点构成的线段的中点与另外两个点构成的线段的中点重合，求点的坐标． 【对点3】点向左平移3个单位，再向上平移4个单位到点B，则点B的坐标为（    ） A． B． C． D． 【对点4】如图，在边长为1的正方形网格中，中任意一点经平移后对应点为．已知，，将作同样的平移得到． (1)画出平移后的； (2)直接求出的面积为___________； (3)已知点在轴上，且的面积等于面积的一半，求点的坐标． 【对点5】在平面直角坐标系中，点，，a，b满足． (1)点A，B的坐标分别为______、______． (2)如图①，平移线段至，使点A的对应点为，与y轴交于点H，连接，若，求的度数． (3)平移线段至，使点F在y轴负半轴上，如图②，分别作与的平分线、交于点G，求的度数． 【对点6】如图：在正方形网格（每个小正方形的边长记为单位1）中有两个三角形，分别是和，按要求进行下列作图（只能借助于无刻度直尺和网格）． (1)以点B为原点，建立平面直角坐标系；分别写出点A，C的坐标：A（______，______），C（______，______）； (2)如图，若是由经过平移得到的，那么经过了怎样的平移？ (3)在（2）的条件下，若点是边上一点，则点P的对应点的坐标：（______，______）； (4)画一个锐角三角形（要求点M在格点上），使其面积等于的面积． 一、选择题 1．如图所示，在平面直角坐标系中，所有正方形的中心均在坐标原点，且各边与轴或轴平行，从内到外，它们的边长依次为2，4，6，8，…，顶点依次用，，，，，表示，则顶点的坐标为（     ） A． B． C． D． 2．如图，每个小正方形的边长均为，下列各点中不会落在正方形框（四个顶点均为格点）内部的是（     ） A． B． C． D． 3．法国数学家笛卡尔创立了平面直角坐标系，被誉为“解析几何之父”，在平面直角坐标系中，我们定义点的“笛卡尔变换”为：，已知点的坐标为，则经过2025次笛卡尔变换后得到的点的坐标为（     ） A． B． C． D． 4．如图，动点从出发，沿所示的方向运动，每当碰到矩形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当点第次碰到矩形的边时，点的坐标为（     ） A． B． C． D． 5．若点，是与x轴平行的直线上不同的两点，且到y轴的距离相等，则点的坐标是（     ） A． B． C． D． 6．如图，在平面直角坐标系中，四边形的面积是（    ） A．4 B． C． D．5 7．如图，在平面直角坐标系中有点，点P第一次向上平移1个单位至点，接着第二次向左平移2个单位至点，第三次向上平移1个单位至点，第四次向右平移3个单位至点，…，以此规律平移下去，点的坐标是（     ） A． B． C． D． 8．三个顶点的坐标分别为，则的面积为（     ） A．10 B．20 C．12 D． 9．如图，在平面直角坐标系中，有若干个横、纵坐标分别为整数的点，其排列顺序为图中“→”所指方向，如，，，，，，根据这个规律，第个点的坐标为（     ） A． B． C． D． 10．如图所示，在直角坐标系中，已知点，，对连续作旋转变换，依次得到三角形①、②、③、④，……，若连续作旋转变换，则第2025次旋转后的三角形的直角顶点的坐标为（     ） A． B． C． D． 二、填空题 11．在平面直角坐标系中，若点在x轴上，则a的值为_________． 12．七巧板又称七巧图，是中国民间流传的智力玩具．如图是由七巧板拼成的正方形，将其放入平面直角坐标系中，若点的坐标为，点C的坐标为，则点的坐标是_______． 13．已知点A的坐标是，点B的坐标是，且轴，则线段的长为______ ． 14．如图，长方形四个顶点的坐标分别为，，，．物体甲和物体乙分别由点同时出发，沿长方形的边作环绕运动．物体甲按逆时针方向以1个单位/秒匀速运动，物体乙按顺时针方向以2个单位/秒匀速运动，则两个物体运动后的第2022次相遇地点的坐标是______． 15．如图，在一单位为1的方格纸上，，，……，都是斜边在x轴上，斜边长分别为2、4、6，……的等腰直角三角形，若的顶点坐标分别为，，，则依图中所示规律，点的坐标为________． 三、解答题 16．在平面直角坐标系中，第四象限的点的坐标为，若点到两坐标轴的距离相等，求的值． 17．如图，在平面直角坐标系中，三角形的顶点坐标分别是，，． (1)若点D在y轴的负半轴上，连接，且三角形的面积为9，求出点D的坐标； (2)若平面内有一点，且点E到的距离为6，请求出三角形的面积． 18．已知点，根据下列条件，求出点A的坐标． (1)若点A在x轴上； (2)若点A在过点且与x轴平行的直线上． 19．【教材呈现】下图是人教版七年级下册数学教材第42页的部分内容． 【探究】： 怎样用两个面积为的小正方形拼成一个面积为的大正方形？这个大正方形的边长是多少？ 如图①，把两个小正方形沿对角线剪开，将所得4个直角三角形拼在一起，就得到一个面积为的大正方形． 【问题解决】 (1)图①中大正方形的边长为_____，小正方形的对角线的长为________． 【拓展应用】如图②，在平面直角坐标系中，已知点，； (2)线段的长为_________，请选用合适的工具，描出点的位置； (3)若点在坐标轴上，且，请判断：点的位置_________（填“唯一”或“不唯一”），若唯一，请说明理由；若不唯一，请直接写出所有点的坐标_________． 20．如图，在平面直角坐标系中，，在轴上，在轴上，，，点的坐标是，连接，． (1)直接写出顶点，，的坐标； (2)当时，求的面积； (3)是否存在点，使的面积等于的面积？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $