第二章 实数 2 平方根与立方根-【支点·同步系列】2025-2026学年新教材八年级上册数学（北师大版2024）

①当点D在AC上运动时，知图D,BC+CD=Cae,即 6计2红=号×24，解得1=8 ②当点D在AB上运动时，如图②，AC+AD=Cx,即 2红=号×24，解得1=6， ③当点D在BC上运动时，如图③，AB+BD=号Cx,即 2红-8=号×24，解得1=10 综上所述，t的值是3或6或10， 第二章实数 1认识实数 第1课时无理数 1.D2.2.243.D 4.解：(1)如图①，△ABC即为所求 (2)(答案不唯一)如图②，△GHI即为所求 图① 图② 5.C6.5.20 7解：正分数集合号1.61212121…，0范，… 非负整数集合{5,0，…： 无理数集台(x,1,1313313331…(相邻两个1之间依次多 一个3)，…} 有集数集合5，--号，华16,0，玉212121， -2025,0.2… 第2课时实数 1A2.A3.r4.C5.4r-36.B 7.0.5或4.5或55 8.解：(1)原式=3十5-4=8一4=4. (2)原式=5-4+1=2. 2平方根与立方根 第1课时算术平方根 1.C 2,解：(1)因为92=81，所以81的算术平方根是9，即√8=9. 因为(）-所以8的算术平方根是号，即√需 /36 6 (3)7的算术平方根是7， 3.A4.D5.206.B7.D 8.(1)0.110(2)①31,6②10000m9.3-√7 第2课时平方根 1.A2.D3.C4± 5.解，(1D由12x2=36,得x2=3,所以x=±3. （②由16c-81=25,得红-30-答即x-8=士号，所 17 7 以x■气或x■ 6.D7.A8.D9.3或710.±111.6或-2 12.解：(1)由题意，得m十3十2m一15=0，解得m=4, 所以m十3=4十3=7， 因为72=49， 所以这个正数是49. (2)√m+5=√4十5=√9=3， 所以√m干5的算术平方根是3。 第3课时立方根 1.C2.D3.-274.-15.-1256.C7.±8 8.解：(1D因为(-0.3)=一0.027， 所以一0.027的立方根为一0.3， 即-0.027=-0.3. ②周为()》'-器所以器的立方程为名，期丽 7 8 9.C10.2 11,解：(1)设魔方的棱长为xcm.由题意，得x=216, 解得x=6,所以魔方的棱长为6cm, (2)设长方体纸盒的长、宽，高分别为3ycm,ycm,3ycm. 由题意，得9-号×216，解得y=4 所以长方体纸盒的长为3y=3×4=12(cm. 第4课时估算 1.B2.B 3.解：(1)√75≈8.66. (2)-28.8-5.37. (3)15.4≈2.49. 4.C5.C6.>7.> 8.解：(1)因为(6)2=6<2.5=6.25，所以W6<2.5. (2)因为3=27，且30>27，所以V30>3. (3)因为4<6<9，所以2<6<3，所以3<√6+1<4， 所>号 9.解：(1)由题意，得32+32=18(cm2).故大正方形的面积是 18cm2, (2)因为16<18<25，所以4=w16<√18<w√②5=5，所以 大正方形的边长在4和5之间. 10.A11.C12.D13.914.515.16.2 16解：因为根号键不能用，所以不能用开平方的方法来求，平 方和开平方互为逆运算，可以用平方的方法来求， 设y是a的平方， 上册参考答案 179 因为1002=10000，所以可以确定2是一个三位数。 因为2002=40000，所以100<a<200. 又因为1702=28900,180°=32400， 所以170a<180. 又因为1752=30625，所以175<a<180, 所以接下来就可以用探索的方法从176开始去试，直到找 到为止 通过计算可得a=178,所以y的值是31684， 17.解：设y97=10-x,其中0<x<1,则97=(10-x)2,即 97=100-20x十x2, 因为0<x<1,所以0<x2<1, 所以97≈100一20x,解得x0,15,即√97的近似值为 9.85. 3二次根式 第1课时二次根式的概念和乘除运算 1.D2.B3.B4.D5.18293 6.解：0)源式=3×8×5155. 8 7.A8.C 9:原式-√侣+后×眉 -××☑ 尽√75 =1. 2原式=-(x号×号）×√a2·, =-× =-16 第2课时二次根式的性质和加减运算 1.B2.x≥-23.D 4.解：(1)V24=√4X6=4×,6=26 (2)v40=√4X10=√4×√10=2w10. 33X26 (3)1.5=√2 √2X22 5.C6.A7.27 8.解：(1)原式=3√3-22+2-3√3■-√2， (2)原式=(45-32)-(25+√②)=45-32-25 √2=23-4W2 9.B10.B11.C12.613.314.-1 6X6+3×45 15.解：1源式=2×2,3-√ =4w3-2W/5+12W/③ -145 @武-短+-66+得 1X5 _32_39W21W5 7 7中10 （原式-×25-65+回)-5-后-官-一巨. 16.解：(1)2-2(2)3+2 180 数学八年级BS版 (3)因为4=4十5，b=√3-4，所以a3+b2=(4+3)2+ (3-4)2=38,所以a”+62=2×19,所以a2与6是关于 19的一组“平衡数” 17.解：(1)①√5-26=√W3-2)=3-√2. ②√4+23=√1+3)2=1+3 (2)因为x=8十4W3, 所以受=4+2原=1+5)，x-1=7+4,5=(2+5), 所以√径=V1+3=1+3,Vx可=2+W正 x =2+5, 所以V√2+√x=1+5+2+5=3+2W5. 第3课时二次根式的混合运算 1.C2.B3.C4.-1 5解：原式=3E-√2×=3E-3E=0 2)原式=23+2一√3一4=3-2. 6.2 7.解：原式=(6√xy+3Vxy)一(4Wxy+6xy) =-√xy 当x=2十1，y=√2-1时， 原式=一/(W②+1)(w2一1)=-1. 8.解：不正确， 理由：错用分配律，a÷(6十c)a÷b十a÷c,这里应先算括 号里面的，再算除法。 正的架答过：原式一唇+（停+）-厅+福-号 9.A10.B15+21220240V厘13盟 14,解：Q)原式=3v2+2-1-4×区 +6=3W2+2-1 2w2+6=22+5. (2)原式=(32)2一(5)2-(1-25+5)-18-3-6+ 2√5=9+25. 8)源式=65-》+5-3=2-+5-3=2. √6 15.解：(1)9+2/315+2w3 (2)S.+1-S.=6n一3+25.验证：5.+1-S.=(1十W3n) -[1+(m-1)3]=[2+(2m-1)w/3×3=3(2m-1)+ 2w/3=6m-3+2/3. (3)当a=1,6=3时，T=t,十2十t十…+tw=S:-5:+ S,-S:+S,-5+…+51-S0=S1-51=(1+ 503)2-1=7500+1003. 本章小结 1.C2.25 「93 3.解：0)原式=√55 (2)原式=0.2-2=-1.8 4.解：因为√a+8与162一91互为相反数， 所以√a+8+1b-9|=0, 所以a°十8=0，b2一9=0，2平方根与立方根 第1课时算术平方根 要点提示 算术平方根的定义：一般地，如果一个正效x的平方等于，即x2=口，那么这个正数x就叫作a的算术平古根， 记作a,读作“根号a” 算术平方根的性质：(1)a的算术平方根a具有飘重非黄性：a是非贞数，即a≥0：wa是非负数，即√ā≥0，也就 是说，正数的算术平方根是正数，0的算术平方报是0，负数凌有算术平方根.(2)当a≥0时，√a=4,(a) a;当a<0时，Va=-a. 4。 O1固基础 02提能力◆ 知识点1算术平方根的概念及求算术平 6.(2024广东)完全相同的4个正方形的面积 方根 之和是100，则正方形的边长是 () 1.0.09的算术平方根是 ( ) A.2 B.5 C.10 D.20 A.0.9B.土0.3C.0.3 D.土0.9 7.某数值转换器的程序如图所示，当输人的x 2.求下列各数的算术平方根： 为16时，输出的y为 6 (1)81.(2)49 (3)7. 入王 取算术平方根 是无观数品出 是有理数 第7题图 A.8 B.4 C.2 D. 8.观察表格，然后回答问题： a 0.0010.01 1 100 10000 a 0.01 1 y 100 (1)表格中x 知识点2算术平方根的性质 3.若a,b为实数，且满足a-21十√b+3=0, 则b的值为 (2)从表格中深究a与va数位的规律，并利 ) A.9 B.-9 C.8 D.-8 用这个规律解决下面两个问题： 4已知x,y为实数，若满足y=√x一3十 ①已知√/103.16，则√1000≈ √3一x+2,则x的值为 ) A.5 B.6 C.8 D.9 ②已知√m-8.973,若√6=897.3.用含m 知识点3算术平方根的应用 的代数式表示b,则6= 5.(教材变式)某小区要扩大绿化带的面积，已 9.(2024南京)阅读材料：由6+25=5+1+ 知原绿化带的形状是一个边长为10m的正 25=(5)2+2×5×1+12=(5+1)2, 方形，计划扩大后绿化带的形状仍是一个正 得6十25的算术平方根是√5十1.类似地， 方形，并且其面积是原绿化带面积的4倍， 16一6√7的算术平方根是 则扩大后绿化带的边长为 m. 上册第二章 第2课时 平方根 要点提示 平方根的定义及表示方法：一旅地，如果一个数工的平方等于a,即x=ā，那么这个数x就叫作a的平方根，也 叫作二读方根，记作士√a,读作“正、爱根号a” 平方根的性质：一个正数有两个平方报，它们至为相反数；0的平方根是0：负数没有平方根 开平方：求一个数a(a≥0)的平方根的运算，叫作升平方，共中a叫作被并方起，它与平方运算互为逆运算. O1因基础 。。年。 02提能力念…… 知识点1平方根的定义 7.关于平方根的说法：①1是1的平方根：②1 1.下列各数没有平方根的是 的平方根是1：③一1的平方根是-1；④2是 A.-2.5B.0 C.2 D.6 22的平方根：⑤（一2）2的平方根是一2.若正 2.下列说法正确的是 确的打“、/”，错误的打“×”，下列判断正确的 A.一1是-1的平方根 是 () B.0.25的平方根是0.5 A.①/②X③X④/⑤X C.只有正数才有平方根 B.①/②、√③×④×⑤× D.a2的平方根是士a C.①×②×③×④/⑤X 知识点2平方根的运算 D.①×②X③/④X⑤/ 1 3.(一√3)2的平方根是 &若和y的和是单项式，则m十 A.-3B.3 C.士3 D.±3 n)3的平方根是 9 4(教材变式)若一个分数的平方等于121，则这 A.8 B.-8 C.±4 D.士8 个分数为 9.若2m一4与3m一11均为一个非负数的平方 5.(教材变式)求满足下列各式的未知数x: 根，则m的值是 (1)12x2=36. (2)16(x-3)2=25. 10.若a2=4,b2=9,且ab>0,则a-b的值为 11.若48-3(x一2)2=0，则x= 12.已知一个正数的两个平方根分别是m十3和 2m-15. (1)求m和这个正数 (2)求√m十5的算术平方根. 易错点忽视一个正数的平方根有两个而 致错 6.若x2=4,则x的值为 A.16B.2 C.-2 D.2或-2 数学八年级BS版 第3课时 立方根 要点提示 立方根的定义及表示方法：一放地，如果一个数x的主方等于，即x=a,那么这个数x就叫作a的生方根或三 次方根.每个数a都有一个立方根，记作a,读作“三读根号a”,其中a叫作被开方数，3是根指数.注意根指数“3” 不能省略。 立方根的性质：(1)正数的立方根是正热；0的立方根是0：负数的立方根是寶熟，(2)一a=一a,(a)°=a =a. 开立方：求一个数的立方核的运算叫作开盘古， 开立方与立方互为逆递算，阁此可以根据立方与开立方的互逆，求一个数的立方根， O1因基础乡 。。。。。。 343 (2)512 知识点①立方根的概念与性质 1.(2024一2025南阳新野期中)一2是一8的 ( A.算术平方根 B.平方根 C.立方根 D.立方 2.下列说法中，不正确的是 ……4… 02提能力念…… A.正数的立方根是正数 B.-0.C01的立方根是-0.1 9.若a是(-3)产的平方根，则a等于() C.负数和0都有立方根 A.-3 B.3 D.士7是343的立方根 C.3或- D.3或-3 3.一个数的立方根是一3，则这个数是 10.一个正数a的两个平方根是2b-1和b十 4,则a十b的立方根为 4.(一1)的立方根是 11,根据下图所示的对话内容回答下列问题： 5.若a=-5,则a的值为 我有一个长、宽、高 我有一个正方 之比为313的长 知识点2立方根的运算 的魔方，它的体 方体纸盒，它的作 积是216cm3. 积与你的魔方的体 6.下列计算正确的是 ( 积之比为83. A./0.0125=0.5 3273 (1)求魔方的棱长 644 (2)求长方体纸盒的长. 3311 8 C.38=12 D.一N 125 5 7.已知x的立方根是4，则x的平方根是 8.(教材变式)求下列各数的立方根： (1)-0.027. 上册第二章 第4课时估算 要点提示 用估算法确定无理数的大小：对于带根号的无理数的近付值的求解可以通迹平方运算或主方运算，采用“来遥 法”，？两边无装通近，提级“夹逼”.首先确定其整数部分的莞固，再确定十分位、百分位等小数部分。 比较两个无理数大小的方法：(1)作差该：若√a一√石>0，则√a>石：若√a-√万<0，则√a<√石，(2)单方滋：把 会根号的两个无理数同时平方，比较平方后的数的大小即可， 利用计算器比较两数的大小：利用计算器比校两数的大小，炙际上是利用计算器计算出所要比校的各数的值， 通过比较值的火小得出结论， O1固基础 。。。g。e 6.(2024安微)我国古代数学家张衡将圆周率 取值为√10，祖冲之给出圆周率的一种分数 知识点1估算 22 1.下列判断正确的是 形式的近似值为气比较大小：0 A.0<3<1 B.1<5<2 号（填>或<。 C.2<3<3 D.3<3<4 2.(2024一2025九江柴桑区月考)若面积为20 7.利用计算器比较大小：17 6 的正方形的边长为a,则a的值在( (填“>”“<”或“=”). A.3和4之间 B.4和5之间 8.通过估算，比较下面各组数的大小： C.5和6之间 D.6和7之间 (1)6,2.5. (2)3o,3.(36+1,3 2’2 知识点2用计算器进行开方运算 3.用计算器求下列各式的值（结果精确到 0.01): (1)75.(2)-√28.8.(3)15.4. 9.如图①，将两块边长均为3cm的正方形纸 板沿对角线剪开，拼成如图②所示的一个大 正方形. (1)求大正方形的面积 (2)求出大正方形的边长，并估计大正方形 知识点3比较数的大小 的边长在哪两个相邻的整数之间 4.(2024自贡)在0，一2，一√3，r四个数中，最 大的数是 () A.-2 B.0 C.π D.-5 5.若a=7,b=√5，c=2,则a,b,c的大小关 图② 系为 ( A.b<c<a B.b<a<c C.a<c<b D.a<b<c 数学八年级B$版 …念O2提能力念 键都是好的.”“那你能在10min之内给我 答案吗？”请你帮小明想想办法 10.满足m>/10-1的整数m的值可能是 A.3 B.2 C.1 D.0 11.如图，面积为30m2的正方形的四个角是面积 为22的小正方形（阴影部分），用计算器 求得a的值为（结果精确到百分位）( ) A.2.70 B.2.66 C.2.65 D.2.60 第11题闲 12.正整数a,b分别满足53<a</98,√2< b<7,则b4 O3拓思维念…… ( ) A.4 B.8 17.【阅读理解】求√107的近似值（结果精确到 C.9 D.16 0.01) 13.已知a,b是两个连续整数，a<17<b,则 解：设/107=10+x,其中0<x<1,则107 a十b的值是 =(10+x)2,即107=100+20x+x2 因为0<x<1,所以0<x2<1,所以107≈ 14.大于-17且小于0的整数有 个 15.甲同学利用计算器探索一个数x的平方， 100十20x,解得x≈0.35，即107的近似 并将数据记录如下： 值为10.35 【理解应用】利用上面的方法求√/97的近似 16.016.1 16.2 16.3 16.4 16.5 16.6 值（结果精确到0.01）. x2256.00259.21262.44265.69268.96272.25275.56 根据表中数据写出262.44的算术平方根 为 16.真实情境老师给小明布置了一个额外的 任务，设x,y,z是三个连续整数的平方(x <y<x),已知x=31329,x=32041,求 y,并要求小明使用老师准备的计算器作 答.小明边按计算器边说：“老师，你的计算 器坏了，根号键不能用.”小明发现老师给 他的是一个捉弄人的计算器.“是吗？其他 键能用吗？”小明试了试其他各键说：“其他 上册第二章