第一章 勾股定理 本章小结-【支点·同步系列】2025-2026学年新教材八年级上册数学（北师大版2024）

本章小结 大单元思维导图 概述 直角三角形两条直角边长度的平方和等于斜边长度的平方 勾股定理 验证 拼阁法 概述 2+b2-c2→△ABC为直角三角形，且∠C=90° 勾股定理 勾股定理的逆定理 勾股数 三个正整数a,b,c,满足2+b-c2 求三角形的边长 到断三角形的形状 勾股定理的应用 勾胶定理及其逆定理在生活中的实际应用 立体图形上的最短路径问题 大单元考点训练 考点1勾股定理及验证 (等号两边需化为最简 1.(2024一2025抚州临川区 形式) 月考)如图，长方形E的长 【知识应用】(2)一直角三角形的两条直角边 是宽的2倍，图中所有阴 长为5和12，则其斜边长为 影四边形都是正方形，所 【知识迁移】通过不同的方法表示同一几何 有三角形都是直角三角 体的体积，也可以探求相应的等式， 第1题围 形.若正方形A,B,C的面 (3)图②所示的是一个棱长为x的正方体挖 积依次为5,23,8，则正方形D的面积为 去一个小长方体后重新拼成一个新长方体. 请你根据图②中图形的变化关系，以整式乘 A.1 B.1.5C.2 D.6 法的形式写出一个代数恒等式. 2.【知识生成】我们知道，通过不同方法表示同一 图形的面积，可以探求相应的等式，如图①所 示，它是由四个形状大小完全相同的直角三角 形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，直 角三角形的两条直角边长分别为a,b(b>a), 考点2勾股定理的逆定理 斜边长为c. 3.(教材变式)如图，若△ABC在边长为1的 正方形网格中，则△ABC的形状为() A.直角三角形 图① 2 B.锐角三角形 (1)图①中阴影部分的面积用两种方法可分 C.钝角三角形 别表示为 D.无法确定 第3题图 由此得出的a,b,c之间的数量关系是 上册第一章 4.若三角形三边的比是3：4：5，且周长为 考点4分类讨论思想 12cm,则这个三角形的面积是 ( 7.如下图，在△ABC中，∠C=90°，AC= A.12 cm' B.10 cm2 8cm,BC=6cm,D为动点，沿着C→A→ C.6 cm2 D.15 cm2 B→C的路径运动（再次到达点C则停止运 考点3勾股定理的应用 动)，点D的运动速度为2cm/s.设点D的 5.如图，一棵大树在离地面 运动时间为ts 6m,10m两处折断成了三 (1)当点D在AC上运动时，若DC=BC,则 段，中间一段AB恰好与地 D 第5题国 t的值为 面平行，大树顶部落在离大树底部12m处，则 (2)若点D与△ABC某一顶点的连线平分 大树折断前的高度是 ( △ABC的周长，求t的值. A.14m B.1m C.18 m D.20m 6.森林火灾是一种常见的自然灾害，危害很 大，随着中国科技、经济的不断发展，开始应 用飞机洒水的方式扑灭火源，如下图，有一 台救火飞机沿东西方向AB,由点A飞向点 B.已知点C为其中一个着火点，且点C与 直线AB上两点A,B的距离分别为600m 和800m,AB=1000m,飞机中心周围 500m以内可以受到洒水影响. (1)着火点C受洒水影响吗？为什么？ (2)若飞机的速度为10m/s,要想扑灭着火 点C估计需要13s,请你通过计算判断着火 点C能否被扑灭. 数学八年级BS版因为(2m)2+(m2-1)2=(m2+1), 所以a十b产=c°，即a,b,c为勾股数 示例：当m=2时，可得一组勾股数3,4,5。 8.D9.C 10.解：设AB=3xcm,则BC=4zcm,CA=5xcm. 因为AB十BC+CA=36cm, 所以3x十4x十5zx=36,解得x=3, 所以AB=9cm,BC=12cm,AC=15cm. 因为AB2十BC2=92十122=225，AC=225, 所以AB2+BC=AC, 所以△ABC为直角三角形 3s后，BP=AB-AP=9-3×1=6(cm),BQ=2×3=6 1 (em),所以SasO=2BP·BQ= ×6X6=18(cm) 11.解：(1)是 (2)如图①，连接AE 因为∠ACB=∠DCE=90' 所以，∠ACE=∠BCD, 又因为AC■BC,CD=CE, 所以△BCD≌△ACE(SAS),所以BD =AE. 因为DC=CE,∠DCE=90°， 所以DE2=CD2+CE2=2CD2,∠CDE=45 因为∠ADC=45,所以，∠ADE=90°， 所以BD3=AE=AD2十DE2=AD+2CD2, 所以以线段AD,CD,BD的长为边长的三角形是“变异直 角三角形” (3)如图②，连接DB,过点C作CMI AB,交AB的延长线于点M. 因为∠DAB=90°，所以DB=AD AB2=25 所以DB=5,所以DB十BC=25+ 25=50=CD2, 所以∠DBC=90°，所以∠DBA十，∠CBAM=90 又因为∠DBA十∠BDA=90,所以∠BDA=∠CBM 又因为∠DAB=∠M=90°，DB=BC=5, 所以△BMC2△DAB(AAS),所以MB=AD=4,MC= AB=3, 所以AM=7,所以AC=MC十AM=9+49=58 因为E为线段AD上一点，所以AE<4,所以AE<16,所 以AC2>2AE2,AC2>2BC2. 因为以线段AE,AC,BC的长为边长的三角形是“变异直 角三角形”， 所以分两种情况讨论： ①当2AE+BC2■AC2时，AE■16.5>16，不符合题 意，舍去： ②当AE2+2BC2■AC时，AE1■8. 棕上所述，正方形AEFH的面积为&， 3勾股定理的应用 1.C2.41 3.解：在Rt△ABD中，∠ABD=90°，AB=6dm,AD=9dm. 由勾股定理，得BD=AD2-AB=92-6=45. 因为BC=3dm,CD=6dm, 所以BC2+CD2=32+62=45, 所以BC2+CD2=BD2, 所以∠BCD=90°，即BC⊥CD 所以该要儿车符合安全标准 178 数学八年级BS园 4.B 5.解：(1)由题意，得∠C=90,AC=9km,AB=15km, 所以由勾股定理，得BC2=4B2一AC2=152一9=12，所 以BC=12km. (2)因为DH⊥AB, 所以Sae-BD·AC-AB·DH, 所DH-BDAC-3km, AB 所以修建公路DH的费用为3×2000=6000（万元）. ☆问题解决策略：反思 1.B2.③ 3.解：蚂蚁甲爬行路程的平方为72十(5+3)2=113(cm), 蚂蚁乙爬行路程的平方为52+(7+3)2=125(cm3), 蚂蚁丙爬行路程的平方为(7十5)°十3一153(cm), 因为113<125<153， 所以蚂蚁甲最先到达，妈蚁丙最后到达， 4.A5.30 6.解：如图，将墙面ADEF展开与地面ABCD处E 于同一平面内，过点P作PG⊥BF于点G,连 接PB, 由题意，得AG=6dm,PA=10dm, 所以由勾股定理，得PG2=PA2一AG=64. 因为BG=AG十AB=15dm, 所以由勾股定理，得PB2=PG十BG=17, 所以PB=17dm. 放这只蚂蚁的最短行程是17dm, 本章小结 1.A 2.解：(10c2-2ab(0-a)2a2+b2=c2 (2)13 (3》根据题意，得图②左边的图形的体积为x'一x,右边的 图形的体积为x(x+1)(x一1)， 所以x一x=x(x十1)(x-1). 3.A4.C5.D 6.解：(1)着火点C受洒水影响，理由如下： 如图，过点C作CD⊥AB于 点D, 因为AC2+BC=6002+8002= 10002,AB2=10002, 所以AC2+BC=AB2, 所以△ABC是直角三角形，∠ACB=90', 所以SA=AC·BC-CD·AB, 1 所以600×800=1000CD.所以CD=480m 因为飞机中心周围500m以内可以受到酒水影响， 所以着火点C受洒水影响 (2)如图，当EC=FC=500m时，飞机正好喷到着火点C 因为CE=CF,CD⊥EF,所以DE=DF 在Rt△CDE中，ED2=EC2-CD=5002-4802=19600, 所以ED=140m,所以EF=280m, 280÷10=28(s). 因为28s>13s,所以若火点C能被扑灭. 7.解：(1)3 (2)在△ABC中，∠C=90°，AC=8,BC=6, 所以AB=AC2+BC=100,所以AB=10, 所以C△A=6十8十10=24. ①当点D在AC上运动时，知图D,BC+CD=Cae,即 6计2红=号×24，解得1=8 ②当点D在AB上运动时，如图②，AC+AD=Cx,即 2红=号×24，解得1=6， ③当点D在BC上运动时，如图③，AB+BD=号Cx,即 2红-8=号×24，解得1=10 综上所述，t的值是3或6或10， 第二章实数 1认识实数 第1课时无理数 1.D2.2.243.D 4.解：(1)如图①，△ABC即为所求 (2)(答案不唯一)如图②，△GHI即为所求 图① 图② 5.C6.5.20 7解：正分数集合号1.61212121…，0范，… 非负整数集合{5,0，…： 无理数集台(x,1,1313313331…(相邻两个1之间依次多 一个3)，…} 有集数集合5，--号，华16,0，玉212121， -2025,0.2… 第2课时实数 1A2.A3.r4.C5.4r-36.B 7.0.5或4.5或55 8.解：(1)原式=3十5-4=8一4=4. (2)原式=5-4+1=2. 2平方根与立方根 第1课时算术平方根 1.C 2,解：(1)因为92=81，所以81的算术平方根是9，即√8=9. 因为(）-所以8的算术平方根是号，即√需 /36 6 (3)7的算术平方根是7， 3.A4.D5.206.B7.D 8.(1)0.110(2)①31,6②10000m9.3-√7 第2课时平方根 1.A2.D3.C4± 5.解，(1D由12x2=36,得x2=3,所以x=±3. （②由16c-81=25,得红-30-答即x-8=士号，所 17 7 以x■气或x■ 6.D7.A8.D9.3或710.±111.6或-2 12.解：(1)由题意，得m十3十2m一15=0，解得m=4, 所以m十3=4十3=7， 因为72=49， 所以这个正数是49. (2)√m+5=√4十5=√9=3， 所以√m干5的算术平方根是3。 第3课时立方根 1.C2.D3.-274.-15.-1256.C7.±8 8.解：(1D因为(-0.3)=一0.027， 所以一0.027的立方根为一0.3， 即-0.027=-0.3. ②周为()》'-器所以器的立方程为名，期丽 7 8 9.C10.2 11,解：(1)设魔方的棱长为xcm.由题意，得x=216, 解得x=6,所以魔方的棱长为6cm, (2)设长方体纸盒的长、宽，高分别为3ycm,ycm,3ycm. 由题意，得9-号×216，解得y=4 所以长方体纸盒的长为3y=3×4=12(cm. 第4课时估算 1.B2.B 3.解：(1)√75≈8.66. (2)-28.8-5.37. (3)15.4≈2.49. 4.C5.C6.>7.> 8.解：(1)因为(6)2=6<2.5=6.25，所以W6<2.5. (2)因为3=27，且30>27，所以V30>3. (3)因为4<6<9，所以2<6<3，所以3<√6+1<4， 所>号 9.解：(1)由题意，得32+32=18(cm2).故大正方形的面积是 18cm2, (2)因为16<18<25，所以4=w16<√18<w√②5=5，所以 大正方形的边长在4和5之间. 10.A11.C12.D13.914.515.16.2 16解：因为根号键不能用，所以不能用开平方的方法来求，平 方和开平方互为逆运算，可以用平方的方法来求， 设y是a的平方， 上册参考答案 179