第一章 勾股定理 2 一定是直角三角形吗-【支点·同步系列】2025-2026学年新教材八年级上册数学（北师大版2024）

2一定是直角三角形吗 要点提示 勾股定理的逆定理：如果三角移三条边的长度a,b,c满足a2十b=',那么这个三角形是直角三 角形.如右图，在△ABC中，如果有a+b-c,那么∠C-90. 勾股数：满足十b=c2的三个正整数，称为句殷熬.也就是说，在给定的三个正整数中，如果其 中最大的一个数的平方等于另外两个数的平方和，那么这组数就是勾股数。 O1固基础多 知识点2勾股数 5.下列各组数是勾股数的是 知识点1判定一个三角形是直角三角形 A.12,15,18 B.3,4,5 1.(2024一2025吉安青原区月考)给出下列长 C.1.5,2,2.5 D.6.9,15 度的三条线段，能组成直角三角形的是 6.(教材变式)若a,b,c为一组勾股数，则下列 各组数中仍为勾股数的是 () A.13,12,25 B.3,4,5 A.a,26,3c B.3a,4b,5c C.7,7,15 D.5,5,11 C.2a,2b,2c D.a2,b2,c2 2.(2024一2025九江都昌期中}若三角形的三 边长a,b,c满足(a十b)2-c2=2ab,则此三 7.古希腊哲学家柏拉图曾指出，如果m表示 角形一定是 ( 大于1的整数，a=2m,b=m2-1,c=m2+ A.锐角三角形 B.直角三角形 1,那么a,b,c为勾股数.你认为正确吗？如 C.钝角三角形 D,等腰直角三角形 果正确，请说明理由，并利用这个结论得出 3.若a,b,c是△ABC的三边长，且满足|a-5 一组勾股数 +b-121+(c-13)2=0,则△ABC是 三角形. 4.在△ABC中，∠A,∠B,∠C的对边a,b,c 分别为下列长度，请判断该三角形是不是直 角三角形.若是，请指出哪一个角是直角，并 说明理由。 (1)a=9,b=41,c=40. (2)a=8k,b=15k,c=17k(k>0). ，易错点混淆勾股数与直角三角形的判 别条件而致错 8.下列长度的四组线段中，不能组成直角三 角形的一组是 A.8,15,17 B.10,24,26 c D.6,7,8 上册第 …O2提能力念 【变式迁移】(2)如图②，在△ABC与 △DCE中，AC=BC,CD=CE,∠ACB= 9.古代数学文化《九章算术》是中国古代重要 ∠DCE=90°，∠ADC=45°.试说明：以线 的数学著作，该著作中给出了勾股数a,b,c 段AD,CD,BD的长为边长的三角形是 1 的计算公式：a= (m2-n2),b=mn,c= 2 “变异直角三角形” 【拓展创新】(3)如图③，在四边形ABCD 十心，其中m>元>0，m,n是 中，∠DAB=90°，AB=3,AD=4,BC=5, 奇数.下列四组勾股数中，不能由该勾股数 CD2-50,E为线段AD上一点，以AE为 计算公式直接得出的是 ( 边向外作正方形AEFH.若以线段AE, A.3,4,5 B.5,12,13 AC,BC的长为边长的三角形是“变异直角 C.6,8,10 D.7,24,25 三角形”，请求出正方形AEFH的面积。 10.如下图所示，在△ABC中，ABBC:CA =3:4:5,且周长为36cm.点P从点A 开始沿AB边以每秒1cm的速度向点B 移动，点Q从点B开始沿BC边以每秒 2cm的速度向点C移动.如果同时出发， 那么3s后，△BPQ的面积为多少？ O3拓思维) 11.几何直观【阅读理解】 (1)若一个三角形的三边长a,b,c满足a+ 262=2,则我们称该三角形为“变异直角三 角形”.如图①，在△ABC中，AB=2,BC =4,AC8=24,则△ABC “变异 直角三角形”（填“是”或“不是”）. 数学八年级B$版参考 第一章勾股定理 1探索勾股定理 第1课时探索勾股定理 1,A2.D3.D4.D 5.解：如图，连接BE. 因为DE垂直平分AB, 所以AE■BE. 设AE=BE=x:则CE=8一x 在Rt△BCE中，BC十CE=BE, 即42十(8一x)2=z2, 解得x=5,所以AE=5. 6.C7.68.7或259.D10.C11.12 12.解：(1)因为∠BAD=90°， 所以AB2+AD2=DB=(DE+BE) 因为DE=DA,所以AB8十AD=(AD十BE=AD+ 2AD·BE+BE, 所以AB-BE=2AD·BE. 2)如图，过点A作AF⊥DB,垂足 为F, 因为∠DBC=90', 所以DB=DC一BC=13-12 =25, 所以DB=5. 因为EC=4AE 所以S么e=4S△Ar, 所似2BE·BC-4XBE,AP 所以BC=4AF=12,所以AF=3: 所联Sao=专DB:AF-艺 13.解：(1)是 (2)因为AD是△ABC的“等边中线”，所以设BD=CD= x,则AD=BC=2x. 因为AB=AC,D为BC的中点， 所以AD⊥BC,所以BD3+AD2=AB2, 即x2+(2x)=52,解得x2=5 所以5a-言BC·AD=2x-10, (3)AE不是△ABC的“等边中线”.理由 如下： 如图，过点A作AD⊥BC,垂足为D.设 BD=x,则CD=14一x,由勾股定理，得 AD:=AB:-BD2=AC-CD,15*- x3=132-(14-x)2,解得x=9,所以BD=9,所以AD2 AB2-BD2=225-81=144.因为E为BC的中点，所以 BE-EC-号BC-7,所以ED-BD-BE-2,所以AE =AD8+ED2=144十4=148.因为BC2=142=196,所以 AE2≠BC,所以AE≠BC,所以AE不是△ABC的“等边 中线”， 答案 第2课时勾股定理的验证及简单应用 1.A 2.解：因为AC=BD=a,BC=ED=b,AB=BE=c,所以 △ACB2△BDE(SSS),所以∠BAC=∠EBD. 因为∠ABC+∠BAC=90°， 所以∠ABC十∠EBD=90°，所以∠ABE=90° 因为R△ACB,R1△BDE,R△ABE的面积分别为专b, 名b和宁，模形ACDE的面积为之a十b)a十b, 所以号a+6)a+b)-号b+子ab+子，所以a+b2 1 =2ab十c2, 化简，得a”十62=c2 3.D4.x2+22=(x+0.5)25.176.127.12 8.解：由题意，得AB2=A0产+OB=202+15=25,所以AB= 25c.当滑块A向下滑到O点时，滑块B距O点的更离是 25mm,所以滑块B滑动了2S-15■10(cm 9.解：(1)如图①所示 因为图形的面积可表示为a2+谷+2X6-。2+6十， 也可表示为c2+2×2a6=t2十ab, 所以a2+b2十ab=c2十ab,所以a2+b3=c' 即直角三角形两直角边的平方利等于斜边的平方」 图① (2)如图吻所示。 因为大正方形的面积可表示为(a十)， 也可表示为c2+4X名b=e2+2ab, 所以(a+6)2=e3+2ab, 所以a2+b2+2ab=c°十23ah, 所以a2+82=2, 即直角三角形两直角边的平方利等于斜边的平方。 2一定是直角三角形吗 1.B2.B3.直角 4.解：(1)△ABC是直角三角形.∠B是直角.理由如下： 因为92十402=412，即a°十c2=b2, 所以△ABC是直角三角形，且∠B=90 (2)△ABC是直角三角形，∠C是直角，理由如下： 因为(8)2+十(15k)2=(17k),即a2十62=c2, 所以△ABC是直角三角形，且∠C=90 5.B6.C 7.解：正确.理由如下： 因为m表示大于1的整数， 所以a,b,c都是正整数，且c最大 上册参考答案 177 因为(2m)2+(m2-1)2=(m2+1), 所以a2+b2=c,即a,b,c为勾殷数。 示例：当m=2时，可得一组勾殿数3,4,5 8.D9.C 10.解：设AB=3xcm,则BC=4xcm,CA=5xcm. 因为AB+BC+CA=36cm, 所以3x十4x十5x=36,解得x=3, 所以AB=9cm,BC=12cm,AC=15cm. 因为AB2+BC2=92+122=225,AC2=225, 所以AB2+BC2=AC2, 所以△ABC为直角三角形： 3s后，BP=AB-AP=9-3×1=6(cm),BQ=2×3=6 (em),所以SarQ=BP·BQ= 1 2 ×6×6=18(cm2). 11.解：(1)是 (2)如图①，连接AE 因为∠ACB=∠DCE=90 所以∠ACE=∠BCD. 又因为AC=BC,CD=CE 所以△BCD2△ACE(SAS),所以BD -AE, 因为DC-CE,∠DCE=90°， 所以DE2=CD+CE2=2CD2,∠CDE=45 因为∠ADC=45”,所以∠ADE=90°， 所以BD2=AE=AD十DE2=AD3+2CD2 所以以线段AD,CD,BD的长为边长的三角形是“变异直 角三角形” (3)如图②，连接DB,过点C作CM AB,交AB的延长线于点M. 因为∠DAB=90,所以DB=AD+ AB2=25, 所以DB=5,所以DB2+BC2=25+ 期② 25=50=CD2, 所以∠DBC=90°，所以∠DBA十∠CBM=90. 又因为∠DBA十∠BDA=90,所以.∠BDA=∠CBM, 又因为∠DAB=∠M=90°，DB=BC=5, 所以△BMC2△DAB(AAS),所以MB=AD=4,MC AB=3, 所以AM=7,所以AC2=MC十AM2=9+49=58 因为E为线段AD上一点，所以AE<4,所以AE2<16,所 以AC>2AE2,AC2>2BC2 因为以线段AE,AC,BC的长为边长的三角形是“变异直 角三角形”， 所以分两种情况讨论： ①当2AE2+BC=AC时，AE2=16.5>16,不符合题 意，舍去： ②当AE2+2BC2=AC时，AE=8. 综上所述，正方形AEFH的面积为8. 3勾股定理的应用 1.C2.41 3.解：在R:△ABD中，∠ABD-90",AB=6dm,AD=9dm. 由勾股定涯，得BD2=AD2-AB2-92-62=45 因为BC=3dm,CD=6dm, 所以EBC2+CD2=32+62=45, 所以BC+CD=BD, 所以∠BCD=90°，即BC⊥CD 所以该要儿车符合安全标准. 178 数学/八年级6S版 4.B 5.解：(1)由题意，得∠C=90°，AC=9km,AB=15km, 所以由勾股定理，得BC2=AB2一AC=152一9=12，所 以BC=12km. (2)因为DH⊥AB, 4 Ro-7BD·AC=之AB 所议DH-DAC-3n, 所以修建公路DH的费用为3×2000=6000（万元）. ☆问题解决策略：反思 1.B2.① 3.解：蚂蚁甲爬行路程的平方为7十(5+3)￥=113(cm2), 蚂蚁乙爬行路程的平方为5+(7+3)2=125(cm2): 蚂蚊丙爬行路君的平方为(7+5)2+3=153(cm2). 因为113<125<153， 所以蚂蚁甲最先到达，妈蚁丙最后到达 4.A5.30 6.解：如图，将墙面ADEF展开与地面ABCD处E 于同一平面内，过点P作PG⊥BF于点G,连 接PB. 由题意，得AG=6dm,PA=10dm, 所以由勾股定理，得PG2=PA3-AG2=64. 因为BG=AG十AB=15dm, 所以由勾股定理，得PB2=PG2十BG2=17, 所以PB=17dm. 故这只妈蚊的最短行程是17dm. 本章小结 1.A 2解：(1)c2-2a0(0-a)°a2+b8=c2 (2)13 (3)根据题意，得图②左边的图形的体积为x一x,右边的 图形的体积为x(x十1)(x一1)， 所以x-x=x(x+1)(x-1), 3.A4.C5.D 6.解：(1)着火点C受洒水影响.理由如下： 如图，过点C作CD⊥AB于 点D. 因为AC2+BC2=6002+8002= 10003,AB2=10003, A E D 所以AC+BC=AB, 所以△ABC是直角三角形，∠ACB=90', 1 所以SaAe=2AC·BC-2CD·AB, 所以600×800=1000CD,所以CD=480m. 因为飞机中心周围500m以内可以受到洒水影响， 所以着火点C受洒水影响。 (2)如图，当EC=FC=500m时，飞机正好喷到若火，点C. 因为CE=CF,CD⊥EF,所以DE=DF 在Rt△CDE中，ED2=EC-CD2=5002-4802=19600, 所以ED=140m,所以EF=280m. 280÷10=28(s). 因为28s>13s,所以若火点C能被扑灭， 7.解：(1)3 (2)在△ABC中，∠C=90°，AC=8,BC=6, 所以AB3=AC8+BC=100,所以AB=10, 所以C△4c=6十8十10=24.