第一章 勾股定理 1 探索勾股定理-【支点·同步系列】2025-2026学年新教材八年级上册数学（北师大版2024）

参考 第一章勾股定理 1探索勾股定理 第1课时探索勾股定理 1.A2.D3.D4.D 5.解：如图，连接BE. 因为DE垂直平分AB, 所以AE=BE. 设AE-BE=x,则CE-8一x 在Rt△BCE中，BC2十CE=BE, 即42十(8-x)2■x, 解得x=5,所以AE=5. 6.C7.68.7或259.D10.C11.12 12.解：(1)因为∠BAD=90° 所以AB+AD2=DB=(DE十BE)°， 因为DE=DA,所以AB2+AD3=(AD+BE)=AD+ 2AD·BE+BE, 所以AB-BE=8AD·BE. (2)如图，过点A作AF⊥DB,垂足 为F. 因为∠DBC=90', 所以DB2=DC2-BC2=132-12 =25, 所以DB=5. 因为EC=AE 所以S△E=4S△AaE, 所似号BE·BC-4XBE·AP, 所以BC=4AF=12,所以AF=3, 所以SAo=专DB·AF=要 13.解：(1)是 (2)因为AD是△ABC的“等边中线”，所以设BD=CD= x,则AD=BC=2x. 因为AB=AC,D为BC的中点， 所以AD⊥BC,所以BD十AD=AB2, 即x2+(2x)=52,解得x=5, 所以Sas=号BC·AD=2x=10, (3)AE不是△ABC的“等边中线”，理由 如下： 如图，过点A作AD⊥BC,垂足为D.设 BD=x,则CD=14一x,由勾股定理，得 AD*=AB-BD:=AC-CD,15- x=132-(自4-x)3,解得x=9,所以BD=9,所以AD AB-BD1=225一81=144.因为E为BC的中点，所以 BE=EC=号BC=7,所以ED=BD-BE=2,所以AE =AD2+ED=144十4=148，因为BC=14=196,所以 AE≠BC,所以AE≠BC,所以AE不是△ABC的“等边 中线” 答案 第2课时勾股定理的验证及简单应用 1.A 2.解：因为AC=BD=a.BC=ED=b,AB=BE=c,所以 △ACB2△BDE(SSS),所以∠BAC=∠EBD. 因为∠ABC十∠BAC=90, 所以∠ABC十∠EBD=90°，所以∠ABE=90 因为R△ACB,R△BDE,R△ABE的面积分别为专b, 名b和宁，梯形ACDE的面积为号a十b)a十b, 所u号a+ba+6)-号b+a6+2,所以a+b9 1 =2ab十c2, 化简，得a”十2■c2 3.D4.x2+22=(x+0.525.176.127.12 8.解：由题意，得AB2=A02十OB2=202十15=252，所以AB= 25m.当滑块A向下滑到O点时，滑块B距O点的距离是 25m,所以滑块B滑动了25-15=10(cm). 9.解：(1)如图①所示 因为图形的面积可表示为。2+8十2X26=a2+6十a6, 也可表示为c2+2×2b=+b, 所以a+b2十ab=c8十a6,所以a2+b2=c2 即直角三角形两直角边的平方利等于斜边的平方 因① (2)如图②所示. 因为大正方形的面积可表示为(a十)2， 也可表示为e+4×2b=2+2a6, 所1以(a+b)==c4+2ab, 所以a2+b2+2ab=e2+2ab, 所以a+b2=c3 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方： 2一定是直角三角形吗 1.B2.B3.直角 4.解：(1D△ABC是直角三角形.∠B是直角.理由如下： 因为92+402=412，即a十c2=62, 所以△ABC是直角三角形，且∠B=90 (2)△ABC是直角三角形.∠C是直角，理由如下： 因为(8k)2十(15k)°=(17)产，即a°+6=c2, 所以△ABC是直角三角形，且∠C=90. 5.B6.C 7.解：正确，理由如下： 因为m表示大于1的整数， 所以a,b,c都是正整数，且e最大， 上册参者答案 177第一章 勾股定理 1探索勾股定理 第1课时 探索勾股定理 要点提示 勾股定理：直角三角形两条直角边长度的平方和等于斜边长度的平方 符号语言：如右图，在Rt△ABC中，如采a,b为两条直角边的长度，c为纤边的长度，那么a十b2=e 勾股定理的简单应用：(1)应用勾隆定理时，要注意确定那条边是童角三菊形的最长边，也就是斜 边，(2)解题时必须把要求的线段放在真角三角形中，芳没有直角三角形，可以通过添加籍助孩的方法构造直角 三角形，再利用勾股定理解答，切记不是直角三角形不能立接应用幻股定理， O1因基础 5.如下图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB的 垂直平分线分别交AB,AC于点D,E.若 知识点1认识勾股定理 AC=8,BC=4,求AE的长 1.在△ABC中，∠C=90°，∠A,∠B,∠C对 边的长分别是a,b,c,则下列式子成立的是 ( A.a2+b2=c2 B.a2+c2=b2 C.a2-b2-e2 D.b2+c2=a2 2.已知Rt△ABC的三边分别为a,b,c,若斜 边c=5,则a2十b2的值是 ) A.5 B.-10 C.15 D.25 知识点2利用勾股定理求线段的长度 知识点3利用勾股定理求面积 6.如图，已知两个正方形的面积分别为25和 3.已知一个三角形的两边长分别是5和12，若 169,则字母B所代表的正方形的面积是 这个三角形是直角三角形，则这个三角形的 第三边长可以是 A.12 B.13 C.144 D.194 A.6 B.8 C.10 D.13 4.(2024一2025济南天桥区月考)】 为迎接新年的到来，同学们做了 16g 许多拉花布置数室，如图，小刘 第6题因 第7题园 C/Bd 搬来一架高2.5m的木梯AC,日 7.如图，在△ABC中，AB=AC=5,BC=8. 第4題图 淮备把拉花挂到离地面2.0m 若E,F是中线AD上的两点，则图中阴影 部分的面积是 高的点A处，则木梯底部与墙角的距离BC 应为 易错点未确定直角边和斜边而致错 A.1.2m B.1.3m 8.若直角三角形的两边长分别为3和4，则 C.1.4m 第三边长的平方为 D.1.5m 上册第 ……念O2提能力 .…念03拓思维 9.若直角三角形的斜边长为20cm,两直角边 13.几何直观【问题背景】如果一个三角形一 长之比为3：4，则这个直角三角形的周长为 边的中线长等于这边的长度，那么把这个 () 三角形称为“等边中线三角形”，这条中线 A.27 cm B.30 cm C.40 cm D.48 cm 称为“等边中线” 10.已知直角三角形的三边a,b,c满足c>a> 【概念理解】(1)如图①，在△ABC与 b,分别以a,b,c为边作三个正方形，把两 △ADE中，D为BC的中点，∠E=90°， 个较小的正方形放置在最大正方形内，如 AE=3,DE=4,BC=5,则△ABC 图.设三个正方形无重径部分的面积为 “等边中线三角形”（填“是”或 S1,均重叠部分的面积为S:,则 ) “不是”) A.S>S2 B.S<S2 【变式运用】(2)如图②，在△ABC中，AB C.S1=S2 D.S1,S2大小无法确定 =AC=5,AD是△ABC的“等边中线”.求 B △ABC的面积. 【拓展创新】(3)如图③，在△ABC中，AC =13,AB-15,BC-14,E为BC的中点. 第10题图 第11题图 判断AE是否是△ABC的“等边中线”，并 11.如图，AB⊥BC于点B,AB⊥AD于点A, 说明理由。 E是CD的中点.若BC=5,AD=10,BE 一期AB的长是 12.如下图，在四边形ABCD中，∠BAD= ∠DBC=90°，连接AC交DB于点E. (1)若DE=DA,试说明：AB一BE= 2AD·BE (2)若BC=12,DC=13,EC=4AE,求 △ABD的面积. 数学八年级B$版 第2课时 勾股定理的验证及简单应用 要点提示 勾股定理的险证：勾股定理的验证主要是逼过拼留法来完成的，这种方法是以数形格换为指导，以围形将补为 手变，利用两种不同的思路来表示同一个困形的面积，从而得到一个号量吴最，整理后即可验证勾度定理。 勾股定理的应用：应用为股定理求解实际问题时，一般要先把实际问题法象成数学问题，没有给出阁形的，要先 画出图形再进行求解 O1因基础念 知识点2勾股定理的简单应用 3.(2024一2025抚州临川区期中)图①所示的是 知识点1勾股定理的验证 我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由 1.意大利著名画家达·芬奇用一张纸片剪拼 四个全等的直角三角形围成的.若AC=12,BC 出不一样的空洞，而两个空洞的面积是相等 =?,将四个直角三角形中边长为12的直角边 的（如图所示），从而验证了勾股定理.已知 分别向外延长一倍，得到如图②所示的风车， 最左边图中空白部分是由两个直角三角形 则这个风车的外围周长是 ) 和两个正方形组成，且面积为S1,最右边图 中空白部分的面积为S2,则下列等式不正 确的是 图2 剪开 右边部分 上下翻转 第3题图 A.144 B.100 C.196 D.148 第1题围 4.古代数学文化(2024吉林)图①中有一首古 A.S=a2+62+2ab B.S2=c2+ab 算诗，根据诗中的描述可以计算出红莲所在 C.S=Sa D.a2十b2=c2 位置的湖水深度，其示意图如图②，其中AB 2.(教材变式)如右图，四边形AC =AB',AB⊥BC于点C,BC=0.5尺，BC DE是直角梯形，点B在CD上. =2尺.设AC的长度为x尺，则可列方程为 在Rt△ABC和Rt△BDE中， ∠C=∠D=90°，AC=BD=a, 诗文：波平如镜一湖面，半尺 BC=ED=b,AB=BE=c.试 高处生红莲。亭亭多姿湖中 利用该图形验证勾股定理. 立，突道狂风吹一边。离开源 处二尺远，花贴湖面象睡莲. 图① 图② 第4题图 5.如图，在水塔O的东北方向 15m处有一抽水站A,在水 塔O的东南方向8m处有一 建筑工地B.若要在AB之间 第5题图 修建一条直水管，则水管的长 为 m. 上册第一 …念O2提能力念 …念03拓思维感 6.(2024一2025九江修水期中)如图，小明打算 9.制作4张全等的直角三角形纸片（如图①）， 测量学校旗杆AB的高度，他发现旗杆顶部 把这4张纸片拼成以弦长c为边长的正方 的绳子AC垂到地面后还多出1m.当他把 形，这样就构成了“弦图”（如图②）.古代数 绳子斜拉直，使绳子的底端刚好接触地面 学家赵爽利用“弦图”验证了勾股定理。 时，测得绳子底端到旗杆底部的距离BC为 5m,由此可计算出学校旗杆AB的高度是 m 图①图② 图③ 备用因 【探索研究】 B (1)小明将“弦图”中的2个三角形进行了旋 第6题图 第7题图 转，得到图③.请利用图③验证勾股定理， 7.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，分别以 【数学思考】 三边长为直径作半圆，图中阴影部分在数学 (2)小芳认为用其他的方法改变“弦图”中某 史上称为“希波克拉底月牙”.当AC=4,BC 些三角形的位置也可以验证勾股定理.请你 =6时，阴影部分的面积为 想一种方法支持她的观点（先在备用图中补 8.下图中的两个滑块A,B由一个连杆连接， 全图形，再予以说明)。 滑块A,B分别可以在垂直和水平的滑道上 滑动.开始时，滑块A距O点20cm,滑块B 距O点15cm.当滑块A向下滑到O点时， 滑块B滑动了多少厘米？ 数学八年级B$版