11.3.1 两数和乘以这两数的差-【初中必刷题】2025-2026学年新教材八年级上册数学同步课件（华师大版2024）

该初中数学课件聚焦八年级上册“11.3 乘法公式”中的平方差公式，通过具体例题导入，衔接整式乘法基础，为后续公式学习搭建支架，包含刷基础、刷提升分层练习及易错警示，帮助学生系统掌握公式应用。 其亮点在于通过几何图形割补（如大正方形剪小正方形拼长方形）验证公式，结合月历数字规律证明等实例，培养学生几何直观与推理意识。融入实际问题（如租地面积变化），发展应用意识，学生能提升运算能力，教师可利用分层资源高效教学。

数 学 八年级上册 HS 1 2 第11章 整式的乘除 3 11.3 乘法公式 1.两数和乘以这两数的差 4 刷基础 刷提升 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 5 基础 知识点1 两数和乘以这两数的差（平方差公式） 1.下列多项式乘法中，能用平方差公式计算的是( ) C A. B. C. D. 【解析】不符合平方差公式的特点， 选项A不符合题意； , 选项B不符合题意； , 选项C符合题意； , 选项D不符合题意.故选C. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 6 易错警示 平方差公式： ，左边的两个二项式中的两项，一项完全 相同，一项互为相反数，而且位置也有规定，易因顺序错误而导致结论出现错误. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 7 2.［2024山东滨州期末］在运用乘法公式计算 时，下列 变形正确的是( ) B A. B. C. D. 【解析】 ．故选B. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 8 3.若，则 的值为____. 【解析】原式，故答案为 . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 9 4.计算： （1） . 【解】 . （2） . 【解】 . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 10 知识点2 两数和乘以这两数的差（平方差公式）的应用 5.［2025四川宜宾期末］若，则 的值是( ) B A.24 B.16 C.8 D.4 【解析】， ， .故选B. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 11 6.如图，阴影部分是边长为的大正方形中剪去一个边长为 的小正方形后所得到 的图形，将阴影部分通过割、拼的方式形成新的图形，给出四种割拼方法，其中 能够验证平方差公式的有( ) D A.1种 B.2种 C.3种 D.4种 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 【解析】题图（1）拼接前的面积为 ，拼接后的面积为 ，能验证平方差公式；题图（2）拼接前的面积为 ，拼接后的面积为 ，能验证平方差公式；题图 （3）拼接前的面积为，拼接后的面积为 ，能验 证平方差公式；题图（4）拼接前的面积为 ，拼接后的面积为 ，能验证平方差公式.综上，四种方法都能验证平方差公 式.故选D. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 13 7.［2025山东菏泽期末］若三角形的一边长为，该边上的高为 ，则此 三角形的面积是________. 【解析】此三角形的面积为 ，故答案为 . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 14 8.［2025山东德州陵城区期末］若，则 ___. 6 【解析】 ， ， ， ， . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 15 9.［2024山西临汾期末］已知，则 ___． 1 【解析】， ， ，故 答案为1． 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 16 10.［2024北京东城区期末］若 ，则 ___． 0 【解析】 , ，， ．故答案为0． 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 17 11.利用乘法公式有时能进行简便计算. 例： . 请参考给出的例题，利用简便方法计算： （1） ； 【解】 . （2） . 【解】 . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 18 关键点拨 （1）把31写成，把29写成 ，然后利用平方差公式计算； （2）把195写成，把205写成 ，然后利用平方差公式计算. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 19 提升 1.［2025湖北宜昌质检，中］从前，古希腊一位庄园主把一块边长为米 的正方形土地租给租户张老汉.第二年，他对张老汉说：“我把这块地的一边增加 6米，相邻的另一边减少6米，变成长方形土地继续租给你，租金不变，你也没有 吃亏，你看如何？”如果这样，你觉得张老汉的租地面积( ) C A.没有变化 B.变大了 C.变小了 D.无法确定 【解析】原来正方形土地的面积为 平方米，第二年长方形土地的面积为 平方米.， 面积变小了， 故选C. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 20 2.［中］某同学在计算时，把3写成 后，发现可以连续运用 平方差公式计算： . 请借鉴该同学的经验，计算： ( ) D A. B. C.1 D.2 【解析】原式 .故选D． 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 21 3. ［2025湖南长沙期末，中］如果一个正整数能表示成两个正整数的平方 差，那么这个正整数就称为“智慧数”，例如： ，7就是一个“智慧数”； ，8也是一个“智慧数”，则下列各数不 是“智慧数”的是( ) B A.2 021 B.2 022 C.2 023 D.2 024 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 22 【解析】 ，故 2 021是“智慧数”，A选项不符合题意；2 022不能表示成两个正整数的平方差， 故2 022不是“智慧数”，B选项符合题意； ，故 2 023是“智慧数”，C选项不符合题意； ，故2 024是“智 慧数”，D选项不符合题意.故选B. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 23 关键点拨 根据题意，把数拆凑成平方差的形式是解本题的关键. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 24 4.［2025上海虹口区质检，中］计算： __________. 【解析】 ， 故答案为 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 25 5.［2025北京海淀区期中，中］在月历中，我们可以发现其中某些数满足一定的规律. （1）图（2）是2024年8月份的月历，我们用如图（1）所示的“ ”字形框架任意 框住月历中的5个数（如图（2）中的阴影部分），将“ ”字形框架位置B，D上的 数相乘，位置A， 上的数相乘，再相减. 例如：， ，不难发现，结果都等于______________ ____________________________________________________________________. 【解】，，不难发现，结果都是15，故答案为15. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 26 （2）设“”字形框架中位置C上的数为 ，请利用整式的运算对（1）中的规律加 以证明. 【证明】“”字形框架中位置C上的数为，则A，B，D， 四个位置上的数依次为 ，，，，由题意得 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 27 （3）如图（3），在某月历中，用正方形方框框住9个数（阴影部分），如果最小 的数和最大的数的乘积为57，那么中间位置上的数 _______________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________. 【解】中间位置上的数 为，则最小的数为，最大的数为.由题意得 ， ，即，解得或（舍去）， ，故答案为 11. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 28 6.［2025北京海淀区期中，中］在学习整式的乘除这一章时，我们经常利用图形 面积得到关于整式乘法的等式. （1）如图（1），在边长为 的大正方形中，剪去一个边长为3的小正方形，将余 下的部分按图（1）中的虚线剪开后，拼成如图（2）所示的长方形，根据两个图 形阴影部分面积相等的关系，可验证的等式为 ______________________________ _______________________________________________________________________ ___________________________________________________________ ； 【解】由题图（1）得阴影部分 面积为，由题图（2）得阴影部分面积为 ，根据面积相等， 可得，故答案为 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 29 （2）小明用四个如图（3）所示的小长方形 ，拼成如图（4）所示的大正方形. ①根据图（4）的图形面积，可以得到的等式是 _____________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________ ； ②利用①中的等式，解决问题：若, ，求如图（3）所示的小长 方形的周长. 【解】，, ， ，， 小长方形的周长为 . 四个小长方形的面积为 ， 由题图（4）可得四个小长方形的面积为 ，根据面积相等，可 得，故答案为 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 30 $$