13.1.1 三角形中边的关系-【初中必刷题】2025-2026学年新教材八年级上册数学同步课件（沪科版2024）

该初中数学课件聚焦八年级上册“三角形中的边角关系”，涵盖三角形概念、按边长分类及三边关系等核心知识点，通过火柴图形辨析概念导入，从基础认知到分类逻辑再到三边关系应用，构建递进式学习支架，帮助学生系统掌握知识脉络。 其亮点是分层设计“刷基础-刷提升-刷素养”模块，以等腰三角形腰长分类讨论题培养推理意识，结合不等式组与三边关系综合题发展抽象能力，通过数轴上三角形第三边开放性问题提升应用意识。助力学生巩固基础、提升思维，为教师提供丰富教学资源，提高教学效率。

数 学 八年级上册 HK 1 2 第13章 三角形中的边角关系、命题与证明 3 13.1 三角形中的边角关系 13.1.1 三角形中边的关系 4 刷基础 刷提升 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 5 基础 知识点1 三角形的有关概念 1.下面是小强用三根火柴组成的图形，其中符合三角形概念的是( ) C A. B. C. D. 【解析】因为三角形是由不在同一条直线上的三条线段首尾依次相接所组成的封 闭图形,所以C选项符合题意. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 6 2.［2025安徽阜阳质检］如图所示，图中共有___个三角形，它们分 别是_______________________________. 的三个顶点分别是 __________，三条边分别是_____________，三个角分别是________ ___________. 4 ，，， ，， ，， ，， 【解析】题图中共有4个三角形，它们分别是,, , 的三个顶点分别是，，，三条边分别是,, ，三个角分 别是,, . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 7 知识点2 三角形按边长关系分类 3.如图表示的是三角形的分类，则下列判断正确的是( ) B A.表示三边均不相等的三角形，表示等腰三角形， 表示等边 三角形 B.表示三边均不相等的三角形，表示等边三角形， 表示等腰 三角形 C.表示等腰三角形，表示等边三角形， 表示三边均不相等的 三角形 D.表示等边三角形，表示等腰三角形， 表示三边均不相等的 三角形 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 8 【解析】三角形根据边长关系分类如下： 所以表示三边均不相等的三角形，表示等边三角形， 表示等腰三角形，故选B. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 9 知识点3 三角形的三边关系 4.［2025河南周口校级质检］若使用如图所示的①②两根铁丝做成一个三角形框 架，需要将其中一根铁丝折成两段，则可以折成两段的铁丝是( ) A A.只有①可以 B.只有②可以 C.①②都可以 D.①②都不可以 【解析】因为 ，所以根据三角形中任意两边的和大于第三边可知，需要将 长的铁丝折成两段，即只有①可以，②不可以，故选A. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 5.［2024四川成都校级期中］已知，，是的三边长，， 满足 ，且为方程的解，则 的周长为( ) D A.4 B.5 C.7或11 D.7 【解析】 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 11 6.［2025安徽池州期末］若，，为的三边长，则 ___0（填“ ”“”或“ ”）. 【解析】因为,,是的三边长，所以， ，所以 ，，所以，故答案为 . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 12 7. 开放性试题［2024安徽滁州期末］如图，数轴上， 两点到原点的距离 是三角形两边的长，则该三角形第三条边的长可能是_________________. 4（答案不唯一） 【解析】由数轴可得，到原点的距离为3，到原点的距离为4.因为数轴上， 两点到原点的距离是三角形两边的长，所以设该三角形第三条边的长为,则 的取 值范围是 ，所以该三角形第三条边的长可能是4（答案不唯一）. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 13 8.已知，，分别为三角形的三边长，且满足， . （1）求 的取值范围. 【解】因为,,分别为三角形的三边长,, ,所 以 解得.故的取值范围为 . （2）若三角形的周长为12，求 的值. 【解】因为三角形的周长为12,,所以 , 解得 . 故 的值是3.5. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 14 刷易错 易错点 未明确腰长，没有分类讨论致错 9.已知等腰三角形的两边长分别为4和10，则这个等腰三角形的周长是____. 24 【解析】①若腰长为4，则三角形的三边长分别为4，4，10，而 ，不符 合三角形的三边关系，故腰长不能为4；②若腰长为10，则三角形的三边长分别为 10，10，4，且 ,符合三角形的三边关系,此时三角形的周长 为24.综上所述，这个等腰三角形的周长为24. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 15 易错警示 解决本题时应注意分两种情况，而且不能忽略一个重要的条件，即“三角形三边 关系需满足三角形中任何两边的和大于第三边”，对出现的情况应逐一验证，进 行取舍. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 16 提升 1.［2024河南开封质检，中］如图（1）所示，将长为8的长方形纸片沿虚线折成3 个长方形，其中上下两端长方形的宽相等，若要将其围成如图（2）所示的三棱柱 形物体，则图中 的值可以是( ) C A.1 B.2 C.3 D.4 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 17 【解析】由题意可知长为8的线段围成的等腰三角形的腰长为 ，则底边长为 .由题意得 解得 .故选C. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 18 2.［2025山西吕梁月考,中］如图，用四个螺丝将四条不可弯曲的木条围成一个木 框（形状不限），不计螺丝大小，其中相邻两螺丝的距离依次为3，4，5，7，且 相邻两木条的夹角均可调整.若调整相邻两木条的夹角时不破坏此木框，则任意两 个螺丝间的距离的最大值为( ) D A.6 B.7 C.8 D.9 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 19 【解析】由题意得围成的木框的边长为3，4，5，7，根据题意可知需将木框调整 为三角形.①选 ，5，7作为三角形的三边长，能构成三角形，此时两个螺丝 间的距离的最大值为7；②选 ，7，3作为三角形的三边长，能构成三角形， 此时两个螺丝间的距离的最大值为9；③选 ，3，4作为三角形的三边长，此 时，不能构成三角形，此种情况不成立；④选 ，5，4作为三角形 的三边长，此时 ，不能构成三角形，此种情况不成立.综上所述，任意 两个螺丝间的距离的最大值为9.故选D. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 20 思路分析 若两个螺丝间的距离最大，则此时这个木框的形状为三角形，再根据三角形的三 边关系讨论求解即可. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 21 3.［中］已知关于的不等式组至少有两个整数解，且存在以3， ， 7为边长的三角形，则满足条件的整数 有( ) C A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 22 【解析】 1.解不等式组 解不等式①，可得；解不等式②，可得 2.写出整数解 因为至少有两个整数解，所以最少包含4，5 3.画数轴 __________________________________ 4.定范围 因为不等式组至少有两个整数解，表示 的点是空心点， 所以 由存在以3，，7为边长的三角形，得，故 ，所以满足条件 的整数 有4个，故选C. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 4.［中］已知，，是三角形 的三边长，则化简 的结果是___________. 【解析】因为，，分别为三角形的三边长，所以 ， ，，所以.故答案为 . 思路分析 根据三角形的任意两边之和大于第三边可得， ， ，再根据绝对值的性质去掉绝对值符号，然后利用整式的加减运算 进行计算即可得解. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 24 5.［中］已知为整数，若一个三角形的三边长分别是，， ，则 所有满足条件的 值的和为____. 48 【解析】①若，则解得 即 ，所以正整数有1个,为15；②若 ，则 解得即，所以正整数 有2个，为16和 17.综上所述，满足条件的值的和为 .故答案为48. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 25 6.［2025江苏苏州姑苏区校级期中，中］如图，图①中有1个三角形，在图①中的 三角形内部（不含边界）取一点，连接该点与三角形的3个顶点得到图②，图②中 共有4个三角形.若在图②中的一个小三角形内部（不含边界）取一点，连接该点 与该小三角形的3个顶点得到图③.在虚线框中画出图③，图③中共有______个三 角形.（画出所有可能的情况 ） 7或9 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 26 【解析】如图所示，共有两种情况： 由图可知，题图③中共有7个或9个三角形. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 27 7.［2025四川成都双流区期末，较难］在综合与实践活动中，数学兴趣小组对各 边长度都是整数、最大边长为的三角形的个数进行了探究.发现：当 时， 三角形的各边长度只有1，1，1一种情况，即；当 时，三角形的各边长 度有1，2，2和2，2，2两种情况，即；当 时，三角形的各边长度有1， 3，3；2，2，3；2，3，3和3，3，3四种情况，即；….若，则 的值 为____；若，则 的值为_____. 12 100 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 28 【解析】由题可知，当时，；当时，；当时， ； 当 时，三角形的各边长度有1，4，4；2，3，4；2，4，4；3，3，4；3，4， 4和4，4，4六种情况，所以，以此类推，当时，；当 时， ；….因为，，， ， ，， ，所以当时， . 故答案为12，100. 关键点拨 通过计算发现与 之间的关系是解题的关键. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 29 8.［中］如图，点是三角形 内一点.试说明： 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 30 （1） ； 【解】如图，延长交于.在三角形 中，有 ，在三角形中，有 ，所以 .因为 ， ，所以 ，所以 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 （2） . 【解】同（1）可得， ， ，所以 ，所以 . 添加辅助线 要说明线段和的大小关系，首先要把，，和 这些分散的线段集中，即 延长交于 ，构造三角形，并运用“三角形中任意两边的和大于第三边”这 一关系，得出几个同向不等式，然后通过变形得出结论. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 32 刷素养 走向重高 9.思想方法 分类讨论［较难］若三边均不相等的三角形三边，， 满足 为最长边，为最短边 ，则称它为“不均衡三角形”.例如：一个 三角形三边长分别为7，5，4，因为 ，所以这个三角形为“不均衡三 角形”. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 33 （1）以下4组长度的小木棍能组成“不均衡三角形”的为____（填序号）. ，，；，， ； ，，；，， . ② 【解】①因为，不满足三角形三边关系，所以长度为，， 的小木棍不能组成“不均衡三角形”；②因为 ，所以长度为 ，， 的小木棍能组成“不均衡三角形”；③不满足“三边均不相 等”这一条件，所以长度为，， 的小木棍不能组成“不均衡三 角形”；④因为，所以长度为，， 的小木棍不能组成 “不均衡三角形”.故答案为②. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 34 （2）已知“不均衡三角形”三边长分别为，16，为整数，求 的值. 【解】分三种情况讨论：①当，即 时， ，解得.因为，所以 ，故 不合题意；②当，即 时， ，解得，所以.因为 为整数，所以 .经检验，当时，可构成三角形；③当，即 时， ，解得，所以.因为 为整数， 所以或13或14，都可以构成三角形.综上所述， 的值为10或12或13或14. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 35 $$