精品解析：安徽省淮南市寿县广岩初级中学2024-2025学年九年级上学期12月月考数学试题

2025届九年级第三次学情调研 数学（沪教版） 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 1. 二次函数的图象的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 2. 如果，那么下列各式中不成立的是（ ） A. B. C. D. 3. 若函数的图象在其象限内y的值随x值的增大而增大，则m的取值范围是（　　） A. m＞﹣2 B. m＜﹣2 C. m＞2 D. m＜2 4. 如图，有一斜坡，坡顶离地面的高度为20米，斜坡的坡度，则此斜坡的水平距离为（ ） A. 75米 B. 50米 C. 30米 D. 20米 5. 下列四个三角形中，与图中的三角形相似的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，小明在处看到西北方向上有一凉亭，北偏东的方向上有一棵大树，已知凉亭在大树的正西方向，若米，则的长等于（ ）米． A. B. C. D. 7. 如图，于，于，与相交于，则图中线段的比不能表示的式子为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在菱形ABCD中，，点E，F分别在边AB，BC上，，的周长为，则AD的长为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，，，平分交于，交延长线于，则的值为（ ） A. B. C. D. 2 10. 如图，在中，D，E是边的三等分点，是边的中线，，分别与交于点G，H，若，则的面积为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 锐角α满足cosα=0.5，则α=__________； 12. 双曲线经过点，，则___________； 13. 如图，，点为边的中点，点在边上，连接交延长线于点，若，，则的长为___________； 14. 在平面直角坐标系中，关于的二次函数的顶点为． （1）点的坐标为___________（用含字母的代数式表示）； （2）若将抛物线先向下平移6个单位，再向左平移2个单位得到新的二次函数，若，则该抛物线顶点纵坐标的最小值为___________． 三、（本大题共2小题，每小题8分，共16分） 15. 计算：． 16. 如图，在平面直角坐标系中，已知三个顶点的坐标分别是，，． （1）以点为位似中心，将缩小为原来的得到，请在轴右侧画出，并写出的坐标__________； （2）的正弦值为__________． 四、（本大题共2小题，每小题8分，共16分） 17. 已知关于的二次函数． （1）试判断该函数的图象与轴的交点的个数； （2）当时，求该函数图象与轴的两个交点之间的距离． 18. 某数学研究小组把测量一面墙上窗户的高度作为一次课外课题活动，制定了测量方案，并完成了实地测量，测量示意图、测得结果如下： 站在与墙垂直的笔直小路上的点D利用测角仪（测角仪高度0.5米）测得窗户顶端A的仰角为，站在点C利用测角仪测得窗户底端B的仰角为，并用卷尺测得米，米，请你根据方案提供的示意图及相关数据计算窗户高度．（结果精确到0.1米，（参考数据：，，，） 五、（本大题共2小题，每小题10分，共20分） 19. 如图，在平面直角坐标系中，函数的图象与函数的图象相交于点，并与轴交于点，．点是线段上一点， （1）求点的坐标； （2）根据图象，直接写出当时不等式的的解集． 20. 如图，在中，，，，分别是，，的对边． （1）求的值； （2）（填空）当为锐角时，____________； （3）利用上述规律，求式子的值． 六、（本题满分12分） 21. 已知：如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，E是AD的中点，连接CE并延长交边AB于点F，AC＝13，BC＝8，cos∠ACB＝． （1）求tan∠DCE的值； （2）求的值． 七、（本题满分12分） 22. 已知抛物线（a是实数）． （1）若该当抛物线的顶点的纵坐标为，求该抛物线的表达式； （2）若点，都在该抛物线上，求b的最大值． 八、（本题满分14分） 23. 如图1，矩形，点是的中点，连接，，过点作垂线交，于点，．设． （1）求证：； （2）连接，若，求的值； （3）如图2，在（2）的条件下，过点作的垂线交于点，过点作的垂线交的延长线于点．若，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025届九年级第三次学情调研 数学（沪教版） 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 1. 二次函数的图象的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查求抛物线的顶点坐标，根据的顶点坐标为，进行求解即可． 【详解】解：二次函数的图象的顶点坐标是． 故选：D． 2. 如果，那么下列各式中不成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据比例式的性质得出的关系，分别代入四个选项即可得出答案，也可用特殊值法求出；此题主要考查了比例式的性质，利用特殊值法进行排除更为简单，也是数学中的重要思想． 【详解】解： 设 A、，该选项不成立； B、，该选项成立； C、，该选项成立； D、，该选项成立； 故选：A． 3. 若函数的图象在其象限内y的值随x值的增大而增大，则m的取值范围是（　　） A. m＞﹣2 B. m＜﹣2 C. m＞2 D. m＜2 【答案】B 【解析】 【分析】根据反比例函数的性质，可得m+2＜0，从而得出m的取值范围． 【详解】∵函数的图象在其象限内y的值随x值的增大而增大， ∴m+2＜0， 解得m＜-2． 故选B． 4. 如图，有一斜坡，坡顶离地面的高度为20米，斜坡的坡度，则此斜坡的水平距离为（ ） A. 75米 B. 50米 C. 30米 D. 20米 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用—坡度坡角问题，根据坡度等于铅直高度除以水平距离，进行求解即可． 【详解】解：∵斜坡的坡度， ∴， ∵米， ∴（米）， 故选：B． 5. 下列四个三角形中，与图中的三角形相似的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的三边对应成比例成为解题的关键． 先求出题干三角形的三边长的比，然后求得各选项三边长的比并进行比较即可解答． 【详解】解：设单位正方形的边长为1，给出的三角形三边长分别为； A．三角形三边为与给出的三角形的各边不成比例，故A选项错误； B．三角形三边与给出的三角形的各边成正比例，故B选项正确； C．三角形三边与给出的三角形的各边不成比例，故C选项错误； D.三角形三边与给出的三角形的各边不成比例，故D选项错误． 故选：B． 6. 如图，小明在处看到西北方向上有一凉亭，北偏东的方向上有一棵大树，已知凉亭在大树的正西方向，若米，则的长等于（ ）米． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，由题意得，，垂足为D，，，先在中，利用锐角三角函数的定义求出，的长，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答． 【详解】解：如图，由题意得，，垂足为D，，， 在中，，米， ∴（米），（米）， 在中，， ∴（米）， ∴米， 故选：C． 7. 如图，于，于，与相交于，则图中线段的比不能表示的式子为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了求角的正弦值，根据正弦的定义可得，再证明，可得，据此可得答案． 【详解】解：∵于，于， ∴， ∵， ∴， 同理可得， ∵， ∴， 根据现有条件无法证明， 故选：C． 8. 如图，在菱形ABCD中，，点E，F分别在边AB，BC上，，的周长为，则AD的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】连接BD，过点E作EM⊥AD，可得ME=，AM=1，再证明△BDF≌△ADE，可得是等边三角形，从而得DE=，进而即可求解． 【详解】连接BD，过点E作EM⊥AD， ∵，， ∴ME=AE×sin60°=2×=，AM= AE×cos60°=2×=1， ∵在菱形ABCD中， ∴AD＝AB＝BC＝CD，∠C＝∠A＝60°， ∴△ABD和△BCD均为等边三角形， ∴∠DBF=∠A=60°，BD=AD， 又∵， ∴△BDF≌△ADE， ∴∠BDF=∠ADE，DE=DF， ∴∠ADE＋∠BDE＝60°＝∠BDF＋∠BDE，即：∠EDF=60°， ∴是等边三角形， ∵的周长为， ∴DE=×=， ∴DM=， ∴AD=AM+DM=1+． 故选C． 【点睛】本题主要考查菱形的性质以及全等三角形的判定和性质，添加辅助线，构造全等三角形和直角三角形，是解题的关键． 9. 如图，在中，，，平分交于，交延长线于，则的值为（ ） A. B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、等腰三角形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，灵活运用相关知识成为解题的关键． 由平行四边形的性质可得，进而得到再结合得到，即；再由线段的和差可得；然后根据可得，然后根据相似三角形的性质列比例式求解即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：A． 10. 如图，在中，D，E是边的三等分点，是边的中线，，分别与交于点G，H，若，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是三角形中位线的性质，平行线分线段成比例，相似三角形的判定与性质，作出合适的辅助线是解本题的关键．如图，过点F作，交于点P，过点H作，交于点Q，根据平行线分线段成比例可知，再由三角形中位线的性质，结合D，E是边的三等分点，得到，然后由，得到，进而由，，得到，从而证明，再结合三角形的面积关系可得答案． 【详解】解：如图，过点F作，交于点P，过点H作，交于点Q， ∴， ∵是边的中线， ∴， ∴， ∴， ∵D，E是边的三等分点， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， 不妨设，则， ∴， ∴，， ∵， ∴，． ∴， ∴， 不妨设，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 故选：C． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 锐角α满足cosα=0.5，则α=__________； 【答案】60 【解析】 【分析】根据特殊角的三角函数值即可完成解答. 【详解】解：∵cosA=0.5=，∠A为锐角， ∴∠A=60°， 故答案为60； 【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，牢记特殊角的三角函数值是解答本题的关键. 12. 双曲线经过点，，则___________； 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图像上的点的坐标特征、比例性质，即理解函数图像上的点满足函数解析式是解答本题的关键． 把点，代入，可得，即可求解． 【详解】解：∵双曲线经过点，， ∴， ∴． 故答案为： 13. 如图，，点为边的中点，点在边上，连接交延长线于点，若，，则的长为___________； 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是相似三角形的判定与性质，如图，过作，先证明，，再进一步求解即可． 【详解】解：如图，过作， ∴，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵点为边的中点， ∴， ∴， 故答案为： 14. 在平面直角坐标系中，关于的二次函数的顶点为． （1）点的坐标为___________（用含字母的代数式表示）； （2）若将抛物线先向下平移6个单位，再向左平移2个单位得到新的二次函数，若，则该抛物线顶点纵坐标的最小值为___________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象的平移及二次函数的最值，掌握二次函数的顶点式和增减性是解本题的关键． （1）化成顶点式即可求得； （2）原二次函数图象顶点坐标纵坐标为，根据平移方式得出新的函数关系式，最后结合的取值范围求出该抛物线顶点纵坐标的最小值即可． 【详解】解：（1）∵， ∴顶点的坐标为． 故答案为：； （2）原抛物线顶点纵坐标为， 将原抛物线向下平移6个单位，再向左平移2个单位，则有： ， 此函数图象开口向上，对称轴为，顶点坐标为， ∵， ∴当时，有最小值，为， 即该抛物线顶点纵坐标的最小值为， 故答案为：． 三、（本大题共2小题，每小题8分，共16分） 15. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值．将特殊角的三角函数值代入运算即可． 【详解】解： ． 16. 如图，在平面直角坐标系中，已知三个顶点的坐标分别是，，． （1）以点为位似中心，将缩小为原来的得到，请在轴右侧画出，并写出的坐标__________； （2）的正弦值为__________． 【答案】（1） 解：如图所示，为所求作三角形， （2） 【解析】 【分析】本题考查坐标与位似，求角的正弦值，熟练掌握位似的性质，正弦的定义，是解题的关键： （1）根据位似的性质，画出，进而写出的坐标即可； （2）设的中点为，连接，勾股定理及其逆定理推出，位似的性质，得到，进而得到，即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图，设的中点为，连接，则：，，， ∴， ∴， ∵以点为位似中心，将缩小为原来的得到， ∴， ∴． 四、（本大题共2小题，每小题8分，共16分） 17. 已知关于的二次函数． （1）试判断该函数的图象与轴的交点的个数； （2）当时，求该函数图象与轴的两个交点之间的距离． 【答案】（1）2个;（2） 【解析】 【分析】(1)运用根的判别式进行判断即可； （2）将k=3代入解析式得到一元二次方程，然后解方程得到两根，再用大根减小根即可. 【详解】（1）， ∵， ∴， ∴二次函数的图象与x轴有两个交点； （2）当时，二次函数为，令y=0， 则， 解得，， ∴与轴交点为，， ∴两交点间的距离为：. 【点睛】本题考查了二次函数图像与一元二次方程的关系，掌握一元二次方程根的判别式和数形结合思想是解答本题的关键. 18. 某数学研究小组把测量一面墙上窗户的高度作为一次课外课题活动，制定了测量方案，并完成了实地测量，测量示意图、测得结果如下： 站在与墙垂直的笔直小路上的点D利用测角仪（测角仪高度0.5米）测得窗户顶端A的仰角为，站在点C利用测角仪测得窗户底端B的仰角为，并用卷尺测得米，米，请你根据方案提供的示意图及相关数据计算窗户高度．（结果精确到0.1米，（参考数据：，，，） 【答案】窗户高度约为1.0米 【解析】 【分析】解，求得；解，求得，根据可得结论． 【详解】解：如图，四边形是矩形， ∴米，米， ∴米， 在中， ∴米； 在中， ∴米， ∴米， 答：窗户高度约为1.0米． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-仰角与俯角问题，矩形的判定和性质，正确地作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 五、（本大题共2小题，每小题10分，共20分） 19. 如图，在平面直角坐标系中，函数的图象与函数的图象相交于点，并与轴交于点，．点是线段上一点， （1）求点的坐标； （2）根据图象，直接写出当时不等式的的解集． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数、相似三角形以及用函数图象解不等式，其中掌握反比例函数图象以及相似三角形的判定和性质是解答本题的关键. （1）先求得，最后代入，即可确定k的值；过点，分别作轴作垂线，垂足分别为，，然后再根据相似三角形的判定和性质解答，求出，据此即可求解； （2）根据函数图象进行解答即可. 【小问1详解】 解：过点，分别作轴的垂线，垂足分别为，． 则， 令，可得，于是， 由，可得， 于是，； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 代入，解得， 即：； 【小问2详解】 解：由图象得，当时，． 20. 如图，在中，，，，分别是，，的对边． （1）求的值； （2）（填空）当为锐角时，____________； （3）利用上述规律，求式子的值． 【答案】（1）1 （2）1 （3）44.5 【解析】 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义及同角三角函数的关系，熟记定义是解题的关键． （1）由三角函数的定义及勾股定理即可证明； （2）由（1）得出的结论解答即可； （3）由（1）得出的结论进行化简并求值即可． 【小问1详解】 解：在中，，，； 所以：； 【小问2详解】 解：当为锐角时，， 故答案为 1； 【小问3详解】 解： = =（44个1相加） =． 六、（本题满分12分） 21. 已知：如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，E是AD的中点，连接CE并延长交边AB于点F，AC＝13，BC＝8，cos∠ACB＝． （1）求tan∠DCE的值； （2）求的值． 【答案】（1）tan∠DCE＝；（2）＝． 【解析】 【分析】（1）根据已知条件求出CD，再利用勾股定理求解出ED，即可得到结果； （2）过D作DG∥CF交AB于点G，根据平行线分线段成比例即可求得结果； 【详解】解：（1）∵AD⊥BC， ∴∠ADC＝90°， 在Rt△ADC中，AC＝13，cos∠ACB＝， ∴CD＝5， 由勾股定理得：AD＝， ∵E是AD的中点， ∴ED＝AD＝6， ∴tan∠DCE＝； （2）过D作DG∥CF交AB于点G，如图所示： ∵BC＝8，CD＝5， ∴BD＝BC﹣CD＝3， ∵DG∥CF， ∴，， ∴AF＝FG， 设BG＝3x，则AF＝FG＝5x，BF＝FG+BG＝8x ∴． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，结合勾股定理和平行线分线段成比例求解是解题的关键． 七、（本题满分12分） 22. 已知抛物线（a是实数）． （1）若该当抛物线的顶点的纵坐标为，求该抛物线的表达式； （2）若点，都在该抛物线上，求b的最大值． 【答案】（1） （2）3 【解析】 【分析】（1）根据题意可知顶点坐标，再利用待定系数法即可求出二次函数解析式． （2）点，都在该抛物线上，所以对称轴为直线，进而得出，据此可得b的最大值． 【小问1详解】 解：∵抛物线， ∴， ∴， ∴该抛物线的表达式为； 【小问2详解】 解：点，都在该抛物线上， ∴对称轴为直线， ∴， ∴， ∴点N的坐标为， 代入， 得， ∴当时，b有最大值，最大值为3． 【点睛】此题考查了二次函数的综合，解题的关键是掌握二次函数的性质． 八、（本题满分14分） 23. 如图1，矩形，点是的中点，连接，，过点作垂线交，于点，．设． （1）求证：； （2）连接，若，求的值； （3）如图2，在（2）的条件下，过点作的垂线交于点，过点作的垂线交的延长线于点．若，求的长． 【答案】（1） 证明：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵点E为的中点， ∴， 又， ∴， ∴， 即， 又， ∴； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）证出，由相似三角形的判定可得出结论； （2）设，则，，于是，证出，则可得出答案； （3）连接，证明，由相似三角形的性质得出，证明，得出，证出为等腰直角三角形．过点C作垂线交延长线于点N，则为等腰直角三角形，，证明，由相似三角形的性质得出，则可得出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）知：， ∴， ∴, ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 在中， 设，则，，于是， 所以 ∴， ∴ ∴ 【小问3详解】 解：∵平分， ∴， 又， ∴， 由（2）知， ∴， ∴， 连接， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形． ∴； 过点作垂线交延长线于点N，则为等腰直角三角形，， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴， 解得：．（负值舍去） 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，解直角三角形，矩形的性质，等腰直角三角形的性质，解决本题的关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $