精品解析:陕西省西安市碑林区西安工业大学附属中学2024-2025学年上学期九年级第二次月考数学试题

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2025-08-04
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2024-2025学年陕西省西安市碑林区西北工大附中九年级(上) 第二次月考数学试卷 一、选择题(共8小题.每小题3分,计24分,每小题只有一个选项是符合题意的) 1. 某种机器零件如图所示,它的左视图是( ) A. B. C. D. 2. 已知的半径为,则中弦的长度不可能是( ) A. B. C. D. 3. 已知在中,,,,则等于( ) A. B. C. D. 4. 同一坐标系中,一次函数与反比例函数的大致图象可能是( ) A. B. C. D. 5. 如图,的对角线,交于点,以下条件能证明是菱形的是(    ) A. B. C. D. 6. 如图,经过点,交y轴于点A,若,弦长为( ) A. 8 B. 10 C. 16 D. 20 7. 将函数的图象向左平移5个单位后得到的新抛物线的顶点坐标为( ) A. B. C. D. 8. 如图,抛物线过点A、B,已知,点B在点与点之间(包含端点),顶点的坐标为.则下列结论:①;②;③;④对于任意实数m,总成立;⑤关于x的方程没有实数根.其中结论正确的个数为( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题(共5小题,每小题3分,计15分) 9. 已知,则代数式________. 10. 二次函数的图象关于直线对称,则________. 11. 如图,点O为坐标原点,的顶点A在反比例函数的图象上,顶点B在反比例函数的图象上,点C在x轴的正半轴上,则的面积是________. 12. 如图,在以点O为圆心的两个圆中,大圆的半径是小圆半径的2倍,大圆的弦和小圆交于C,D两点,若,则小圆半径是________. 13. 如图,已知四边形为正方形,点E是边上一点,连接,点F在线段上,且于点F,连接.若,则_________________. 三、解答题(共12小题,计81分.解答要写出过程) 14. 计算. 15. 解方程:. 16. 先化简:,然后从的范围内选取一个合适的整数作为的值代入求值. 17. 已知,在平面直角坐标系的位置如图所示,点A,B,C的坐标分别为,,. (1)以点O为位似中心,在y轴右侧画,使它与的相似比为; (2)的周长为 . 18. 如图,在中,,延长到点,使,延长到点,连接,,且,,,求的长. 19. 如图,有一旅游景区在原有布局结构不变的情况下,为了方便游客进出,在内道门处设有A,B两个出入口,外道门处设有C,D,E三个出入口,小宇同学游览结束后,要先随机经过内道门(A或B),再随机经过外道门(C或D或E)才能出去. (1)小宇经过内道门时,从B口出去的概率是 ; (2)请用画树状图或列表的方法表示小宇经过内、外两道门走出景区的所有可能情况,并求小宇同学经过内、外两道门后从E门出去的概率. 20. 翱翔广场要修建一个地下停车场,停车场的入口设计示意图如图所示,其中斜坡的倾斜角为,一楼到地下停车场地面的垂直高度,如果一辆货车高度为,那么按这样的设计能否保证货车顺利进入地下停车场?并说明理由.(参考数据:,,)(结果精确到) 21. 如图,一次函数的图象与反比例函数的图象相交于,两点. (1)求一次函数和反比例函数的表达式; (2)根据图象直接写出:当时,的取值范围是_________; (3)过点作直线,交反比例函数图象于点C,连结,则的面积为_________. 22. 掷实心球是东营市初中学生学业水平体育考试的必考项目.如图1是一名男生投实心球,实心球行进路线是一条抛物线,行进高度与水平距离之间的函数关系如图2所示,掷出时起点处高度为,当水平距离为时,实心球行进至最高点处. (1)求关于的函数表达式; (2)根据东营市学校招生体育考试男生评分标准,投掷过程中,实心球从起点到落地点的水平距离大于等于时,成绩为优秀.请计算说明该男生在此项考试中是否能得优秀. 23. 交警部门提醒市民:“出门头盔戴,放心平安归”,某电动车用品批发店准备在11月和12月,分两次购入A、B两款头盔.11月购入了第一批,购入A款头盔的数量为购入B款头盔数量的4倍还多300个,A、B两种头盔的购入单价分别为20元和45元,共用去资金43500元. (1)求第一批购入A、B两款头盔的数量; (2)12月2日,恰逢全国交通安全日,随着人们交通安全意识不断增强,头盔需求量增加.A款头盔单价有所上涨(涨价金额为正数).批发店决定,若A款头盔的单价每上涨1元,则购入数量就比第一批A款头盔的数量减少50个.因B款头盔单价与第一批相同,所以B款头盔的购入数量在第一批B款头盔数量的基础上增加,最终花费的总资金比第一批增加了9000元,求A款头盔的单价上涨了多少元? 24. 如图,关于x的二次函数的图象与x轴相交于点和点,与y轴相交于点C. (1)求二次函数的表达式和线段的长; (2)在抛物线对称轴上找一点P,使为等腰三角形?直接写出点P的坐标. 25. 【问题提出】 如图1,已知,与交于点C,,若,则 ; 【问题探索】 如图2,将绕点A逆时针旋转一定角度得,连接,.求证:; 【问题解决】 某旅游度假山庄准备开发一块四边形用地,将其设计为“种植体验园”.如图3,已知四边形用地中,,,,点E在边上,且于点E,其中为“蔬菜种植体验区”,四边形为“果树种植体验区”,为了增强游客的体验感,在园区内铺设三条“观光主干道”(道路宽度忽略不计),三条观光主干道围成,点F在边上,满足,米,点G为边中点,按照设计要求,主干道要尽量长,求最大值. 第1页/共1页 学科网(北京)股份有限公司 $ 2024-2025学年陕西省西安市碑林区西北工大附中九年级(上) 第二次月考数学试卷 一、选择题(共8小题.每小题3分,计24分,每小题只有一个选项是符合题意的) 1. 某种机器零件如图所示,它的左视图是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查简单组合体的三视图.根据从左面看几何体得到的平面图形可得答案. 【详解】解:根据零件图形,从左面看到的几何体的形状图是: . 故选:C. 2. 已知的半径为,则中弦的长度不可能是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查圆的基本性质,解题的关键是掌握圆的基本性质,根据直径是圆的最大的弦解答,即可. 【详解】解:∵的半径为, ∴的直径为, ∴中弦的长度小于等于, 故选:D. 3. 已知在中,,,,则等于( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义,直接利用正切的定义解答即可,正确理解正切的定义是解题的关键. 【详解】解:∵在中,,, ∴, ∴, 故选:. 4. 同一坐标系中,一次函数与反比例函数的大致图象可能是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数图象与反比例函数图象的综合应用,熟练掌握图象与系数的关系是关键.根据图象与系数的关系逐项分析判断即可. 【详解】、一次函数过第二、三、四象限,,反比例函数在第二、四象限,图象与条件不符,不符合题意; 、一次函数应该与y轴负半轴相交,图象与条件不符,不符合题意; 、一次函数过第二、三、四象限,,反比例函数在第二、四象限,图象与条件相符,符合题意; 、一次函数应该与y轴负半轴相交,图象与条件不符,不符合题意; 故选:. 5. 如图,的对角线,交于点,以下条件能证明是菱形的是(    ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了菱形的判定、平行四边形的性质以及勾股定理的逆定理.由菱形的判定、矩形的判定分别对各个选项进行判断即可. 【详解】解:A、∵, ∴,, ∵, ∴,则, ∴是矩形,不能说明是菱形,故本选项不符合题意; B、∵, ∴, ∴不能说明是菱形,故本选项不符合题意; C、∵四边形是平行四边形, , , , , , 是菱形,故本选项符合题意, D、, , , 不能证得是菱形,故本选项不符合题意; 故选:C. 6. 如图,经过点,交y轴于点A,若,弦长为( ) A. 8 B. 10 C. 16 D. 20 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理,关键是熟练掌握垂径定理:垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧. 过P点作于H点,根据垂径定理得,然后利用P点坐标得到,从而得到. 【详解】解:过P点作于H点,如图, 则, ∵, ∴, ∴. 故选:C. 7. 将函数的图象向左平移5个单位后得到的新抛物线的顶点坐标为( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换,二次函数的图象与性质.熟练掌握二次函数的平移,二次函数的图象与性质是解题的关键.先把原二次函数解析式转化为顶点式,然后根据平移规律求出新二次函数解析式,即可求解. 【详解】解:由题意知,, ∴平移后的抛物线的解析式为, ∴平移后抛物线的顶点坐标为, 故选:D. 8. 如图,抛物线过点A、B,已知,点B在点与点之间(包含端点),顶点的坐标为.则下列结论:①;②;③;④对于任意实数m,总成立;⑤关于x的方程没有实数根.其中结论正确的个数为( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系、根的判别式、二次函数图象上点的坐标特征及抛物线与x轴的交点,熟知二次函数的图象与性质是解题的关键. 根据所给函数图象,得出a,b,c的正负,再结合二次函数的对称性及增减性对所给结论依次进行判断即可. 【详解】由所给函数图象可知,, ∴.故①错误. ∵抛物线经过点, ∴. 又∵抛物线的顶点坐标为, ∴抛物线的对称轴为直线, 所以, 则, 所以, 即.故②错误. ∵抛物线与y轴的交点在与点之间, ∴. 又∵, ∴, 整理得,.故③正确. ∵抛物线开口向上,且对称轴为直线, ∴当时,函数取得最小值为, ∴抛物线上任意一点(横坐标为m)的纵坐标都不小于, 则, 即.故④错误. 关于x的方程的解可看成函数的图象与的交点的横坐标, ∵抛物线顶点的纵坐标为n,且开口向上, ∴抛物线与直线没有交点, 则方程没有实数根.故⑤正确. 故选:B. 二、填空题(共5小题,每小题3分,计15分) 9. 已知,则代数式________. 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质,根据比例的性质进行计算,即可解答,熟练掌握比例的性质是解题的关键. 【详解】解:∵, ∴, ∴, 故答案为:. 10. 二次函数的图象关于直线对称,则________. 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质,二次函数图象上点的坐标特征,二次函数图象与几何变换,关键是二次函数性质的熟练应用.先根据题意可得该二次函数的对称轴为直线,则由对称轴计算公式可得. 【详解】解:∵二次函数的图象关于直线对称, ∴该二次函数的对称轴为直线, ∴, ∴, 故答案为:. 11. 如图,点O为坐标原点,的顶点A在反比例函数的图象上,顶点B在反比例函数的图象上,点C在x轴的正半轴上,则的面积是________. 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与平行四边形的综合,熟练掌握平行四边形的性质以及反比例函数k的几何意义是解决本题的关键. 延长交y轴于点M,过点B作轴于点N,根据平行四边形的性质,易证,根据反比例函数k的几何意义,可知,,即可求出的面积. 【详解】解:如图所示,延长交y轴于点M,过点B作轴于点N, 在平行四边形中,, , , , , , , ∴四边形是矩形, , 的面积. 故答案为:4. 12. 如图,在以点O为圆心的两个圆中,大圆的半径是小圆半径的2倍,大圆的弦和小圆交于C,D两点,若,则小圆半径是________. 【答案】 【解析】 【分析】过O点作于H点,连接、,如图,根据垂径定理得到,,设,则,再利用双勾股得到,然后解方程求出r即可. 本题考查了垂径定理:垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧.也考查了勾股定理. 【详解】解:过O点作于H点,连接,如图,则 设,则, ∵, ∴, ∴, ∴, ∴, 解得或r(舍去), 即小圆半径是, 故答案为:. 13. 如图,已知四边形为正方形,点E是边上一点,连接,点F在线段上,且于点F,连接.若,则_________________. 【答案】 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质,全等三角形的判定和性质,勾股定理,作垂线构造全等三角形是解题的关键. 过点A作,利用正方形的性质准备条件,证明,根据全等三角形的对应边相等,结合勾股定理求解即可. 【详解】解:过点A作,如图所示, ∵, ∴, ∵四边形为正方形, ∴,, ∴, 在和中, ∵, ,, , ∴, ∴. 故答案为:. 三、解答题(共12小题,计81分.解答要写出过程) 14. 计算. 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了实数的混合运算,关键是能准确确定运算顺序和方法,并能进行正确地计算. 先计算乘方、负整数指数幂、绝对值和特殊角的三角函数值,再计算乘法,最后计算加减. 【详解】解: . 15. 解方程:. 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查解一元二次方程的能力,熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法:直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法,结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键. 先移项,然后利用提取公因式法对等式的左边进行因式分解,再来解方程即可. 【详解】解: , ∴. 16. 先化简:,然后从的范围内选取一个合适的整数作为的值代入求值. 【答案】; 【解析】 【分析】本题考查分式的化简求值,化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简.化简的最后结果分子、分母要进行约分,注意运算的结果要化成最简分式或整式. 先根据分式混合运算的法则把原式进行化简,再选取合适的x的值代入进行计算即可. 【详解】解:原式 , 且且, 在的范围内可以取整数0, 当时,原式. 17. 已知,在平面直角坐标系的位置如图所示,点A,B,C的坐标分别为,,. (1)以点O为位似中心,在y轴右侧画,使它与的相似比为; (2)的周长为 . 【答案】(1) 如图所示,为所求; (2)2. 【解析】 【分析】本题考查作图——位似变换,熟练掌握位似的性质是解答本题的关键. (1)根据位似的性质作图即可; (2)利用两点间距离公式求出各边长,即可得到三角形的周长. 【小问1详解】 解:∵点A,B,C的坐标分别为,,, 与的相似比为, ∴,, 【小问2详解】 解:∵,,, ∴, , , ∴. 故答案为:2. 18. 如图,在中,,延长到点,使,延长到点,连接,,且,,,求的长. 【答案】 【解析】 【分析】根据等腰三角形的性质得到,由,得,则,而,即可证明∽,得,由,,得,求得,所以. 【详解】解:∵, ∴, ∴, ∴, ∵, ∴∽, ∴, ∵,, ∴, ∴, ∴, ∴的长是. 【点睛】此题重点考查等腰三角形的性质、等角的补角相等、相似三角形的判定与性质等知识,证明∽是解题的关键. 19. 如图,有一旅游景区在原有布局结构不变的情况下,为了方便游客进出,在内道门处设有A,B两个出入口,外道门处设有C,D,E三个出入口,小宇同学游览结束后,要先随机经过内道门(A或B),再随机经过外道门(C或D或E)才能出去. (1)小宇经过内道门时,从B口出去的概率是 ; (2)请用画树状图或列表的方法表示小宇经过内、外两道门走出景区的所有可能情况,并求小宇同学经过内、外两道门后从E门出去的概率. 【答案】(1) (2) 画树状图如下: 共有6种等可能的结果,其中小宇同学经过内、外两道门后从E门出去的结果有2种, ∴小宇同学经过内、外两道门后从E门出去的概率为. 【解析】 【分析】此题考查的是用树状图法求概率.树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果,适合于两步或两步以上完成的事件.用到的知识点为:概率所求情况数与总情况数之比. (1)直接由概率公式求解即可; (2)画树状图,共有6种等可能的结果,其中小宇同学经过内、外两道门后从E门出去的结果有2种,再由概率公式求解即可. 【小问1详解】 解:∵在内道门处设有A,B两个出入口, ∴小字经过内道门时,从B口出去的概率是, 故答案为:; 【小问2详解】 略 20. 翱翔广场要修建一个地下停车场,停车场的入口设计示意图如图所示,其中斜坡的倾斜角为,一楼到地下停车场地面的垂直高度,如果一辆货车高度为,那么按这样的设计能否保证货车顺利进入地下停车场?并说明理由.(参考数据:,,)(结果精确到) 【答案】 按这样的设计能保证货车顺利进入地下停车场, 理由:如图:过点C作,垂足为E, ∴, ∴, 由题意得:,, ∴, ∴, 在中,, ∴, ∵, ∴按这样的设计能保证货车顺利进入地下停车场. 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题,根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键. 过点C作,垂足为E,根据垂直定义可得:,从而可得,再根据题意可得:,,从而可得,然后根据同角的余角相等可得,从而在中,利用锐角三角函数的定义进行计算,即可解答. 【详解】略 21. 如图,一次函数的图象与反比例函数的图象相交于,两点. (1)求一次函数和反比例函数的表达式; (2)根据图象直接写出:当时,的取值范围是_________; (3)过点作直线,交反比例函数图象于点C,连结,则的面积为_________. 【答案】(1); (2)或; (3). 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题,反比例函数的性质,利用待定系数法求出函数解析式是解题的关键. ()利用待定系数法即可求解; ()根据函数图象即可求解; ()如图,设直线与轴相交于点,过点作轴于点,过点作轴于点,求出点坐标,再根据关于原点对称的点的坐标特征求出点坐标,根据计算即可求解; 【小问1详解】 解:把代入得,, ∴, ∴反比例函数表达式为, 把代入得,, ∴, ∴, 把、代入得, , 解得, ∴一次函数表达式为; 【小问2详解】 解:由图象可得,当或时,一次函数的图象在反比例函数的图象下方; ∴当时,的取值范围为或; 【小问3详解】 解:如图,设直线与轴相交于点,过点作轴于点,过点作轴于点, 当时,, ∴, ∴, ∵点关于原点对称, ∴, ∴,, ∴ , 即的面积为. 22. 掷实心球是东营市初中学生学业水平体育考试的必考项目.如图1是一名男生投实心球,实心球行进路线是一条抛物线,行进高度与水平距离之间的函数关系如图2所示,掷出时起点处高度为,当水平距离为时,实心球行进至最高点处. (1)求关于的函数表达式; (2)根据东营市学校招生体育考试男生评分标准,投掷过程中,实心球从起点到落地点的水平距离大于等于时,成绩为优秀.请计算说明该男生在此项考试中是否能得优秀. 【答案】(1) (2)该男生在此项考试中得优秀 【解析】 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数、二次函数与坐标轴的交点、二次函数的应用等知识点,熟练掌握待定系数法求二次函数的解析式是解题的关键. (1)根据待定系数法求解即可; (2)令,即,解得,再与比较即可解答. 【小问1详解】 解:由题意可知:抛物线顶点为, 设函数表达式为, 抛物线过点, ,解得:, 关于的函数表达式为:. 【小问2详解】 解:令,即, 解得,(不合题意,舍去), , 该男生在此项考试中得优秀. 23. 交警部门提醒市民:“出门头盔戴,放心平安归”,某电动车用品批发店准备在11月和12月,分两次购入A、B两款头盔.11月购入了第一批,购入A款头盔的数量为购入B款头盔数量的4倍还多300个,A、B两种头盔的购入单价分别为20元和45元,共用去资金43500元. (1)求第一批购入A、B两款头盔的数量; (2)12月2日,恰逢全国交通安全日,随着人们交通安全意识不断增强,头盔需求量增加.A款头盔单价有所上涨(涨价金额为正数).批发店决定,若A款头盔的单价每上涨1元,则购入数量就比第一批A款头盔的数量减少50个.因B款头盔单价与第一批相同,所以B款头盔的购入数量在第一批B款头盔数量的基础上增加,最终花费的总资金比第一批增加了9000元,求A款头盔的单价上涨了多少元? 【答案】(1)第一批购入A款头盔的数量为1500个,购入B款头盔的数量为300个; (2)A款头盔的单价上涨了10元. 【解析】 【分析】(1)设第一批购入B款头盔的数量为x个,则第一批购入A款头盔的数量为个,根据共用去资金43500元,列出一元一次方程,解方程即可; (2)设A款头盔的单价上涨了y元,则购入数量为个,根据最终花费的总资金比第一批增加了9000元,列出一元二次方程,解之取符合题意的值即可. 本题考查了一元二次方程的应用以及一元一次方程的应用,解题的关键是: (1)找准等量关系,正确列出一元一次方程; (2)找准等量关系,正确列出一元二次方程. 【小问1详解】 解:设第一批购入B款头盔的数量为x个,则第一批购入A款头盔的数量为个, 由题意得:, 解得:, ∴, 答:第一批购入A款头盔的数量为1500个,购入B款头盔的数量为300个; 【小问2详解】 解:设A款头盔的单价上涨了y元,则购入数量为本, 根据题意得:, 整理得:, 解得:(不符合题意,舍去), 答:A款头盔的单价上涨了10元. 24. 如图,关于x的二次函数的图象与x轴相交于点和点,与y轴相交于点C. (1)求二次函数的表达式和线段的长; (2)在抛物线对称轴上找一点P,使为等腰三角形?直接写出点P的坐标. 【答案】(1);; (2)或或. 【解析】 【分析】本题是二次函数的综合题型,其中涉及到运用待定系数法求二次函数,等腰三角形的性质,轴对称的性质等知识,运用分类讨论思想是解题的关键. (1)代入和,解方程组即可;令,求出点的坐标,利用两点间距离公式求解即可; (2)当为等腰三角形时分三种情况进行讨论:①;②;③,分别求解即可. 【小问1详解】 解:把和代入可得, 解得:, ∴二次函数的表达式为:; 令抛物线,则, ∴, ∴; 【小问2详解】 存在. 理由:∵, ∴设, ∵,, ∴,, ∵,为等腰三角形, ∴当时,, 解得:,此时; 当时,, 解得,此时; 当时,, 解得:,此时; 综上所述,或或. 25. 【问题提出】 如图1,已知,与交于点C,,若,则 ; 【问题探索】 如图2,将绕点A逆时针旋转一定角度得,连接,.求证:; 【问题解决】 某旅游度假山庄准备开发一块四边形用地,将其设计为“种植体验园”.如图3,已知四边形用地中,,,,点E在边上,且于点E,其中为“蔬菜种植体验区”,四边形为“果树种植体验区”,为了增强游客的体验感,在园区内铺设三条“观光主干道”(道路宽度忽略不计),三条观光主干道围成,点F在边上,满足,米,点G为边中点,按照设计要求,主干道要尽量长,求最大值. 【答案】【问题提出】; 【问题探索】证明:如图2,将绕点A逆时针旋转一定角度得, ,,, , 即, , ; 【问题解决】米 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定及性质、旋转的性质、全等三角形的判定及性质、三角形的正切函数等知识点,熟练掌握以上知识点是解题的关键. 问题提出:由,可得,得,若,即可求出长; 问题探索:由旋转可推出∠DAE=∠BAC, ,, 即, 进而可证得结论; 问题解决:延长,交于点Q,取的中点M,作,且,过点N作于H,连接,,,,,利用平行线分线段成比例可得出,,再证得,设正方形的边长为a,则,,再利用,可得,,再运用勾股定理即可求得答案. 【详解】解:问题提出:如图1,,, , , , , 故答案为:; 问题探索:略 问题解决:如图3,延长,交于点Q,取的中点M,作,且,过点N作于H,连接,,,,, , , ∴, , , , M是的中点, , ,,,, 四边形是正方形, , , ,, 是的中点,, , , 点G为边中点, , ,, , , , , , , 设正方形的边长为a,则,, , , ∵, ∴, 即, , , , , , , 在中,, , (当且仅当F,N,G三点共线时取得等号), 的最大值为米. 第1页/共1页 学科网(北京)股份有限公司 $

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