精品解析：云南省丽江地区中学2024-2025学年八年级下学期期中数学试卷

2024~2025学年下学期八年级期中考试 数学试题卷 （全卷三个大题，共27小题，共5页：满分100分，考试用时120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，请将答题卡交回，试卷自行保留． 一、选择题：本题共15小题，每小题2分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 以下列长度的三条线段为边，能组成直角三角形的是（ ） A. 2，3，4 B. 6，8，10 C. ，3，5 D. 5，12，12 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理．根据勾股定理的逆定理，若三角形三边满足两短边的平方和等于最长边的平方，则该三角形为直角三角形．据此逐一验证各选项即可． 【详解】解：选项A：2，3，4．最长边为4，计算得 ，而 ，故不能组成直角三角形，故本选项不符合题意． 选项B：6，8，10．最长边为10，计算得 ，与 相等，故能组成直角三角形，故本选项符合题意． 选项C：，3，5．最长边为5，计算得 ，而 ，故本选项不符合题意． 选项D：5，12，12．最长边为12，计算得 ，而 ，故本选项不符合题意． 故选：B． 2. 围棋是中华民族发明的博弈活动．下列用棋子摆放的图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形和轴对称图形的定义．寻找对称中心、对称轴是解题的关键； 轴对称图形是指一个图形可以沿着一条直线（‌对称轴）‌折叠，‌使得直线两侧的图形能够完全重合；‌中心对称图形则是指一个图形可以绕着一个点（‌对称中心）‌旋转，‌使得旋转前后的图形互相重合．‌根据轴对称图形和中心对称的定义逐项判断即可． 【详解】A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故选项不符合题意； B．不是轴对称图形，是中心对称图形，故选项不符合题意； C．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故选项不符合题意； D．是轴对称图形，也是中心对称图形，故选项符合题意； 故选：D． 3. 若最简二次根式与可以合并，则x的值为（ ） A. 9 B. 0 C. 3 D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了同类二次根式，最简二次根式，先把二次根式化为最简二次根式，再根据题意得出最简二次根式与是同类二次根式，由此得出，即可求出的值． 【详解】解：， 若最简二次根式与可以合并， 则最简二次根式与是同类二次根式， 所以， 解得， 故选：D． 4. 在中，，是边上的中线，若，则的长（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形斜边中线定理，关键在于明确斜边及中线的定义．根据定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，直接应用即可求解． 【详解】解：由题知，在中，，是边上的中线， ． 又， ． 故选：B． 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式． 逐一分析各选项的运算是否正确，利用平方根的性质和运算法则进行判断． 【详解】解：A． 和不能合并，故A错误． B． 根据根式除法法则，，故B错误． C．平方根的结果非负，，故C错误． D． 化简，则，等式成立，故D正确． 故选：D． 6. 如图，在矩形中，对角线与交于点，若，，则的长为（ ） A. B. 8 C. 10 D. 13 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，熟练掌握矩形的性质是解题的关键． 根据矩形得到，再由勾股定理求出，即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形，对角线与交于点O， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 7. 如图，在四边形中，，添加下列一个条件后，一定能判定四边形是平行四边形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握判定定理是解题的关键．根据平行四边形的判定定理即可得出答案． 【详解】解：， 四边形是平行四边形 只有C选项符合题意，其他的不成立． 故选：C． 8. 在四边形中，分别是的中点．若四边形为菱形，则线段与一定满足的关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是中点四边形，掌握菱形的判定定理、三角形中位线定理是解题的关键． 根据三角形中位线定理得到，，再根据菱形的判定定理解答即可． 【详解】解：如图： ∵、、、分别是、、、的中点， ∴分别为的中位线， ，， ∴四边形为平行四边形， 当时， ， 平行四边形为菱形， 故选：A． 9. 若分式有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了分式有意义的条件，二次根式有意义的条件， 分式有意义的条件为分母不为零，且根号内的表达式非负，据此求解即可． 【详解】∵分式有意义， ∴， ∴． 故选：B． 10. 如图，一根长的儿童牙刷置于底面直径为，高为的圆柱形水杯中，儿童牙刷露在杯子外面的长度为，则h的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的运用，先根据勾股定理求出，再得出h的范围即可． 【详解】解：当牙刷垂直放置时，； 当牙刷如图所示放置时，，且， 在中， ， ∴， ∴h的取值范围为：， 故选：D． 11. 设的整数部分是，小数部分是，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查与无理数的整数部分有关的计算，二次根式的混合运算，夹逼法求出的范围，进而求出的值，再根据二次根式的运算法则进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴． 故选：A． 12. 如图，菱形的对角线交于点O，且，，则菱形的高的长是（ ） A. 10 B. 96 C. 9.6 D. 以上都不对 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质，勾股定理，利用菱形的性质和勾股定理求出的长，再根据等积法求出的长即可． 【详解】解：∵菱形的对角线交于点O， ∴，， ∴， ∵是菱形的高， ∴，即：， ∴； 故选C． 13. 《算法统宗》记载“昨日丈量田地回，记得长步整三十．广斜相并五十步，不知几亩及分厘？”译文：“昨天量了田地回到家里，记得长方形田的长为30步，宽及其对角线之和为50步，不知该田有几亩？”请运用所学知识求解这块地有（ ）亩（1亩平方步） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，设长方形田的宽为x步，则其对角线的长为步，根据勾股定理可得，解方程求出宽，再根据长方形面积公式求出面积即可得到答案． 【详解】解：设长方形田的宽为x步，则其对角线的长为步， 由勾股定理可得， 解得， ∴长方形田的宽为16步， ∴长方形田的面积为亩， 故选：A． 14. 估计的值应在（ ） A. 4和5之间 B. 5和6之间 C. 6和7之间 D. 7和8之间 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次根式的混合运算进行化简，进而估算即可求解． 【详解】解：原式 ∵， ∴， 即， 故选：C． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，无数的估算，正确的计算是解题的关键． 15. 如图，每个小正方形的边长为1，A、B、C是小正方形的顶点，则∠ABC的度数为（ ） A. 90° B. 60° C. 45° D. 30° 【答案】C 【解析】 【分析】根据勾股定理即可得到AB，BC，AC的长度，进行判断即可． 【详解】解：连接AC，如图： 根据勾股定理可以得到：AC=BC=，AB=． ∵（）2+（）2=（）2． ∴AC2+BC2=AB2． ∴△ABC是等腰直角三角形． ∴∠ABC=45°． 故选C． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握其性质是解题的关键． 二、填空题：本题共4小题，每小题2分，共8分． 16. 计算：______． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的乘法运算，熟练掌握二次根式的乘法运算法则是解题的关键． 直接运用二次根式的乘法运算法则计算并化简，即可求解． 【详解】解：原式 ． 故答案为：6． 17. 如图，太原某公园安装的摄像头支架由水平、竖直方向的，两段构成．若，，则段的长为 _________ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是，，斜边长为，那么．根据勾股定理计算，得到答案． 【详解】解：在中，，， 由勾股定理得：， 故答案为：． 18. 如图，在矩形中，过点作于点，则的度数为___________． 【答案】##32度 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握矩形的性质是解题的关键．根据矩形的性质证明，进而可以解决问题． 【详解】解：如图， ∵四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 19. 如图，在中，，是的平分线，若，，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理、角平分线的性质以及全等三角形的判定与性质等知识，过点作于点，由角平分线的性质得，再由勾股定理求出，进而证明得，设，则，然后在中，由勾股定理即可求解，熟练掌握勾股定理和角平分线的性质是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作于点，则， ∵ ∴ ∵是的平分线， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得，即， 解得， ∴， 故答案为：． 三、解答题：本题共8小题，共62分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 20. （1）计算：． （2）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1）；（2）； 【解析】 【分析】本题考查了二次根式混合运算，整式的化简求值． （1）先化简二次根式，再计算加减即可； （2）先计算平方差公式单项式乘以多项式，再计算加减，最后将代入即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解： ． 当时，原式． 21. 如图，在中，为对角线，过点A作交于点M，交于点，过点C作交于点，交于点． （1）求证四边形平行四边形； （2）若，求平行四边形的面积． 【答案】（1）见解析； （2）． 【解析】 【分析】本题主要考查平行四边形的判定与性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质、含直角三角形性质等知识点，掌握这些是解题的关键． （1）根据“在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行”，可得，再结合题意即可证明结论； （2）根据题意证明，得；再利用勾股定理求得的长，最后根据公式求三角形面积，即可得平行四边形面积． 【小问1详解】 证明：四边形是平行四边形 即 四边形为平行四边形； 【小问2详解】 四边形是平行四边形 ， 在和中 ， ， ， 在中， 在中， ， ， ， ， ， ． 22. 2025年1月1日，汕头市区春节烟火晚会精彩呈现，吸引了近万名市民共同感受“粤东之城，蛇年呈祥”的美好图景．如图，东海岸道路上有A、B两个出口，相距250米，在公路北面不远处的C地是烟火晚会烟花燃放处，已知C与A的距离为150米，与B的距离为200米，在烟花燃放过程中，为了安全起见，燃放点C周围半径130米范围内不得进入． （1）烟花燃放点C距离公路的垂直距离为多少米？ （2）烟花燃放过程中，按照安全要求，A、B之间的公路是否需要暂时封锁？若需要封锁，请说明理由，并求出需要封锁的公路长． 【答案】（1）120米 （2）需要，封锁的公路长为100米，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，等腰三角形的性质及三角形的面积，熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解题的关键； （1）过C作，由勾股定理得逆定理得是直角三角形，且，再由三角形面积求的得长即可； （2）过C作，以点C为圆心，以130米为半径画弧，交于点E、F连接、，根据，判断有危险，再根据勾股定理求出，进而求出即可． 【小问1详解】 解：由题意得米，米，米， 如图，过C作， ， ， 是直角三角形，且， ， ， 解得：（米）， 答：烟花燃放点C距离公路的垂直距离为120米； 【小问2详解】 解：按照安全要求，之间的公路需要暂时封锁，理由如下： 如图，由（1）可知，， 公路上存在两点E、F到的距离为130米，公路上之间到燃放点C的距离匀小于130米， 按照安全要求，A、B之间的公路段需要暂时封锁， 以点C为圆心，以130米为半径画弧，交于点E、F连接、， ，， ， 在中，， ， 即需要封锁的公路长为100米． 23. 观察下列各式的规律： ①； ②； ③ … （1）针对上述①②③三个式子的规律，写出第④个等式：__________________________； （2）请用含（为任意自然数，且）的式子表示，写出满足上述规律的等式，并证明所写等式的正确性． 【答案】（1） （2），证明见解析 【解析】 【分析】本题考查了数字类规律探索，正确得出规律是解此题的关键． （1）根据题干所给式子写出第④个等式即可； （2）根据题干所给式子得出规律，验证即可得解． 【小问1详解】 解：由题意可得：第④个等式：； 【小问2详解】 解：由题意可得：， 右边左边， 故等式成立． 24. 2025年3月28日在缅甸发生7.9级地震，震源深度30千米，我省部分地区也受到此地震影响．如图B、C两地间有一段笔直的高速铁路，长度为，此次地震对地面上以点A为圆心，为半径的圆形区域内的建筑物有影响，分别从B、C两地处测得点A的方位角如图所示．（结果精确到0.1km，参考数据：，） （1）求的度数； （2）高速铁路是否会受到地震的影响？请通过计算说明理由． 【答案】（1） （2）高速铁路不会受到地震的影响，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是∶ （1）过点作于点，根据方位角定义求出，，即可求解； （2）设，则．在中，根据含角直角三角形的性质得出，根据勾股定理求出，得出，解方程求出x的值，再进行比较，即可得出高速铁路是否会受到地震的影响． 【小问1详解】 解∶过点作于点， 由图可得，，， ． 【小问2详解】 解∶ 高速铁路不会受到地震的影响． 理由：在中，， ． 设，则． 在中，，， ， ， ， 解得． ， ， 高速铁路不会受到地震的影响． 25. 如图，在矩形中，点，在对角线上，点在上，点在上，且四边形为菱形． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1）详见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由矩形的性质可证，由菱形的性质可证，，根据证明，可证结论成立； （2）连接，，与相交于点．先证明，设，在中利用勾股定理即可求解． 【小问1详解】 证明：∵四边形是矩形， ∴．∴． ∵四边形是菱形， ∴，． ∴． ∴，即． ∴． ∴． 【小问2详解】 解：如图，连接，，与相交于点． ∵四边形是菱形， ∴，． ∵， ∴，即． ∴垂直平分． ∴． 设． ∵四边形是矩形， ∴，，． ∴． 在中，， ． 解得，即． 【点睛】本题考查了矩形的性质，菱形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，熟练掌握菱形的性质是解答本题的关键． 26. 如图，是平分线上的一点．过点作，，垂足分别为，连接． （1）求证：是的垂直平分线； （2）若，，求的周长． 【答案】（1）详见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查角平分线性质定理，全等三角形的性质，含角的直角三角形的性质，勾股定理的运用，掌握角平线的性质定理是关键． （1）根据角平分线的性质定理得到点在的垂直平分线上，再证，得到，点在的垂直平分线上由此即可求解； （2）根据含角的直角三角形的性质，勾股定理得到，，结合周长的计算即可求解． 【小问1详解】 证明：是平分线上的一点，，，垂足分别为， ，， 点在的垂直平分线上， 在和中， ， ， ， 点在垂直平分线上． 是的垂直平分线； 【小问2详解】 解：，， ， ，， ， ， ， 的周长是． 27. 折纸中的数学 【知识背景】我们在第五章《图形的轴对称》中学习了角的平分线，并会用折纸的方法作角平分线． 如图，将纸片折叠使与重合，得到折痕，此时与重合，即，所以射线是的平分线． 【知识初探】 （1）如图1．小明发现通过折纸的方法可以得到两条互相垂直的线段（长方形自有的直角的两边除外），他的做法是指长方形纸片分别沿射线，折叠成如图所示的样子，此时点B，C，D分别落在点，，处，且和在同一条直线上，这样就得到了两条相互垂直的线段，请你写出这两条互相垂直的线段，并说明理由； 【类比再探】 （2）如图2，在四边形的纸片中，，，，连接，小亮将四边形的纸片进行折叠，首先折出了的角平分线，又将沿折叠，点的对应点恰好落在射线上，求线段的长度． 【答案】（1），理由见解析（2）10 【解析】 【分析】本题考查折叠的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握折叠的性质，添加辅助线构造全等三角形，是解题的关键： （1）根据折叠的性质和平角的定义，推出，即可得出结论； （2）延长交于点，根据翻折的性质，角平分线的定义，推出，进而得到，推出，再证明，得到，即可得出结果． 【详解】解：（1），理由如下： ∵折叠， ∴， ∵， ∴， ∴，即：， ∴； （2）延长交于点，如图， ∵翻折， ∴， ∴， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴． 第1页/共1页 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B. C. D. 3. 若最简二次根式与可以合并，则x的值为（ ） A. 9 B. 0 C. 3 D. 1 4. 在中，，是边上的中线，若，则的长（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 5. 下列计算正确的是（ ） A B. C. D. 6. 如图，在矩形中，对角线与交于点，若，，则的长为（ ） A. B. 8 C. 10 D. 13 7. 如图，在四边形中，，添加下列一个条件后，一定能判定四边形是平行四边形的是（ ） A. B. C. D. 8. 在四边形中，分别是的中点．若四边形为菱形，则线段与一定满足的关系为（ ） A. B. C. D. 9. 若分式有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，一根长的儿童牙刷置于底面直径为，高为的圆柱形水杯中，儿童牙刷露在杯子外面的长度为，则h的取值范围是（ ） A. B. C. D. 11. 设的整数部分是，小数部分是，则的值是（ ） A. B. C. D. 12. 如图，菱形的对角线交于点O，且，，则菱形的高的长是（ ） A. 10 B. 96 C. 9.6 D. 以上都不对 13. 《算法统宗》记载“昨日丈量田地回，记得长步整三十．广斜相并五十步，不知几亩及分厘？”译文：“昨天量了田地回到家里，记得长方形田长为30步，宽及其对角线之和为50步，不知该田有几亩？”请运用所学知识求解这块地有（ ）亩（1亩平方步） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 14. 估计的值应在（ ） A. 4和5之间 B. 5和6之间 C. 6和7之间 D. 7和8之间 15. 如图，每个小正方形的边长为1，A、B、C是小正方形的顶点，则∠ABC的度数为（ ） A. 90° B. 60° C. 45° D. 30° 二、填空题：本题共4小题，每小题2分，共8分． 16. 计算：______． 17. 如图，太原某公园安装的摄像头支架由水平、竖直方向的，两段构成．若，，则段的长为 _________ ． 18. 如图，在矩形中，过点作于点，则的度数为___________． 19. 如图，在中，，是的平分线，若，，则的长为______． 三、解答题：本题共8小题，共62分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 20. （1）计算：． （2）先化简，再求值：，其中． 21. 如图，在中，对角线，过点A作交于点M，交于点，过点C作交于点，交于点． （1）求证四边形是平行四边形； （2）若，求平行四边形的面积． 22. 2025年1月1日，汕头市区春节烟火晚会精彩呈现，吸引了近万名市民共同感受“粤东之城，蛇年呈祥”的美好图景．如图，东海岸道路上有A、B两个出口，相距250米，在公路北面不远处的C地是烟火晚会烟花燃放处，已知C与A的距离为150米，与B的距离为200米，在烟花燃放过程中，为了安全起见，燃放点C周围半径130米范围内不得进入． （1）烟花燃放点C距离公路的垂直距离为多少米？ （2）烟花燃放过程中，按照安全要求，A、B之间的公路是否需要暂时封锁？若需要封锁，请说明理由，并求出需要封锁的公路长． 23. 观察下列各式的规律： ①； ②； ③ … （1）针对上述①②③三个式子的规律，写出第④个等式：__________________________； （2）请用含（为任意自然数，且）的式子表示，写出满足上述规律的等式，并证明所写等式的正确性． 24. 2025年3月28日在缅甸发生7.9级地震，震源深度30千米，我省部分地区也受到此地震影响．如图B、C两地间有一段笔直的高速铁路，长度为，此次地震对地面上以点A为圆心，为半径的圆形区域内的建筑物有影响，分别从B、C两地处测得点A的方位角如图所示．（结果精确到0.1km，参考数据：，） （1）求的度数； （2）高速铁路是否会受到地震的影响？请通过计算说明理由． 25. 如图，在矩形中，点，在对角线上，点在上，点在上，且四边形为菱形． （1）求证：； （2）若，，求的长． 26. 如图，是平分线上的一点．过点作，，垂足分别为，连接． （1）求证：是的垂直平分线； （2）若，，求的周长． 27. 折纸中的数学 【知识背景】我们在第五章《图形的轴对称》中学习了角的平分线，并会用折纸的方法作角平分线． 如图，将纸片折叠使与重合，得到折痕，此时与重合，即，所以射线是的平分线． 【知识初探】 （1）如图1．小明发现通过折纸方法可以得到两条互相垂直的线段（长方形自有的直角的两边除外），他的做法是指长方形纸片分别沿射线，折叠成如图所示的样子，此时点B，C，D分别落在点，，处，且和在同一条直线上，这样就得到了两条相互垂直的线段，请你写出这两条互相垂直的线段，并说明理由； 【类比再探】 （2）如图2，在四边形的纸片中，，，，连接，小亮将四边形的纸片进行折叠，首先折出了的角平分线，又将沿折叠，点的对应点恰好落在射线上，求线段的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$