11.3 乘法公式（第2课时）（题型专练）数学新教材华东师大版八年级上册

11.3 乘法公式（第二课时） 题型一：根据乘法公式判断算式是否正确 1．（24-25八年级上·江西南昌·阶段练习）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·甘肃天水·阶段练习）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（2025·陕西西安·模拟预测）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·陕西榆林·开学考试）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级上·福建厦门·阶段练习）下列运算正确的是（     ） A． B． C． D． 6．（24-25八年级上·河南南阳·阶段练习）下列运算错误的是（   ） A． B． C． D． 7．（24-25八年级上·江苏南通·阶段练习）下列关系式中正确的是（   ） A． B． C． D． 8．（2025·河南周口·三模）下列计算正确的是（   ）． A． B． C． D． 题型二：已知式子的值求代数式的值 1．（24-25八年级下·四川成都·期中）已知，则代数式的值为 ． 2．（24-25八年级上·江苏南通·阶段练习）若，则的值为 ． 3．（24-25七年级下·浙江金华·期末）若，，则的值为 ． 4．（24-25七年级下·江苏无锡·期末）若，则 ． 5．（24-25八年级下·陕西咸阳·期中）若，则的值为 ． 6．（24-25七年级下·安徽淮北·期中）如果，，那么 ． 7．（24-25七年级下·甘肃张掖·期中）已知，求的值为 题型三：乘法公式综合计算题 1．（24-25八年级上·江西南昌·阶段练习）运用乘法公式计算： (1) (2) (3) (4) (5) (6) 2．（24-25八年级上·河南驻马店·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 3．（24-25八年级上·河南信阳·阶段练习）计算 (1) (2) 4．（24-25七年级下·山东青岛·期末）计算题 (1)； (2)； (3)； (4)． 5．（24-25七年级下·宁夏银川·期末）化简与计算 (1) (2)（利用乘法公式计算） (3) (4) 6．（24-25七年级下·江苏泰州·期末）计算： (1)； (2)． 7．（24-25七年级下·湖南益阳·期末）计算： (1) (2) 8．（24-25七年级下·江苏徐州·期末）计算： (1) (2) 题型四：完全平方公式中化简求值 1．（24-25七年级下·湖南邵阳·期末）先化简，再求值：，其中，． 2．（24-25八年级上·河南驻马店·阶段练习）先化简，再求值：，其中，； 3．（24-25七年级下·广东梅州·期末）先化简，再求值：，其中，． 4．（24-25八年级上·黑龙江佳木斯·阶段练习）先化简，再求值，其中，． 5．（24-25七年级下·河北邯郸·期末）先化简，再求值：，其中． 6．（24-25七年级下·湖南娄底·期末）先化解，再求值：，其中，． 7．（24-25七年级下·湖南娄底·期末）计算：；当取取时，求原式的值． 8．（24-25六年级下·山东济南·期末）先化简，再求值：，其中，． 题型五：完全平方公式中“知二求一” 1．（24-25七年级下·浙江宁波·期末）已知，，则（ ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·江苏盐城·期末）若，，则的值是（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 3．（24-25七年级下·山西吕梁·期中）若，，则的值为（   ） A．4 B． C． D．2 4．（2025·安徽滁州·三模）已知x，y是实数，且满足，若，则m的值为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 5．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）已知，则的值为 ． 6．（24-25八年级上·辽宁大连·阶段练习）已知，则 ． 7．（24-25七年级下·江苏苏州·期末）已知，，则 ． 8．（24-25七年级下·江苏泰州·阶段练习）已知，，则 ． 9．（24-25七年级下·广西贵港·期末）已知，，则的值为 ． 题型六：完全平方公式中“配凑法” 1．（24-25八年级上·四川乐山·期末）已知，那么的值为（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 2．（24-25八年级上·广西钦州·阶段练习）已知满足，则的值是 ． 3．（24-25七年级下·安徽六安·期中）如果，，那么 ． 4．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）若a，b满足，则的值为 ． 题型七：完全平方公式中“首尾互倒” 1．（24-25八年级上·广东东莞·阶段练习）已知，则的值是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·山东潍坊·阶段练习）如果，则（   ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·广西来宾·期末）如果，那么（   ） A．16 B．14 C．196 D．194 5．（24-25六年级下·山东泰安·阶段练习）已知关于x的式子，则（　　） A．9 B．10 C．11 D．7 6．（24-25八年级上·广东惠州·阶段练习）已知，则等于 ． 7．（24-25七年级下·广东深圳·期中）若，则的值是 ． 8．（24-25七年级下·陕西西安·阶段练习），则的个位数字是 ． 题型八：利用完全平方公式求字母系数 1．（24-25八年级上·辽宁盘锦·阶段练习）若多项式是完全平方公式的展开式，则的值是 ． 2．（24-25八年级上·河南漯河·阶段练习）若是完全平方式，请你写出一组满足条件的的值分别为 ．（写出一组即可） 3．（24-25八年级上·辽宁大连·阶段练习）已知是完全平方式，则 ． 4．（24-25六年级下·山东东营·期末）如果是一个完全平方式，那么的值为 ． 5．（24-25七年级下·全国·期中）若是一个完全平方式，则的值是 ． 6．（24-25七年级下·江苏南京·期末）把加上一个单项式 成为一个多项式的平方（写出一个即可） 7．（24-25七年级下·陕西汉中·期中）若给多项式添加一项形成三项式且为完全平方式，则添加的一项是 ． 题型九：完全平方公式在结合图形中的应用 1．（24-25八年级上·广东东莞·阶段练习）如图所示，将甲图中阴影部分无重叠、无缝隙地拼成乙图，根据两个图中阴影部分的面积关系得到的等式是（ ） A． B． C． D． 2．（2025七年级上·全国·专题练习）仔细阅读图，与它的图意相符的式子是（    ）． A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·广东佛山·期中）数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形结合起来，使复杂、难懂的问题具体化．以下图形中能验证式子“”的是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级下·浙江·期末）“数缺形时少直观，形缺数时难入微”，数形结合思想是数学学习中的一个重要的数学思想，请仔细观察下列图形，其中能说明等式成立的是（   ） A．B．C． D． 5．（24-25八年级下·贵州贵阳·期末）如图，小星用如图①所示的四张长方形纸片，拼成了如图②所示的一个正方形，该正方形可直观地表示与之间的关系，则这个关系是（    ） A． B． C． D． 6．（2025·吉林·模拟预测）分别观察如图四组图形，在每个图形的下方，都有一个等式，其中图形与等式之间的对应关系表达相符的有 （填序号）． 题型一：完全平方公式中最值问题 1．（24-25七年级下·四川成都·期中）已知，，…，都是正整数，且，则的最大值为 ；最小值为 ． 2．（24-25七年级上·陕西西安·期中）已知有最小值，求的最大值为 ． 3．（24-25七年级下·江苏泰州·期中）若m，n，k满足，则的最小值为 ． 4．（2025·重庆·模拟预测）若a，b为有理数且满足，，则P的最小值为 ． 5．（24-25七年级下·安徽蚌埠·期中）已知三个实数满足． （1）若，则 （填“”或“”）； （2）若且，则的最小值是 ． 6．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）若定义：，则代数式的最小值为 ． 7．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）利用可求某些整式的最值．例如，，由知，当时，多项式有最小值．对于多项式，当 时，有最小值是 ． 题型二：完全平方公式中面积问题 1．（24-25八年级上·安徽合肥·阶段练习）现有甲、乙两个正方形纸片，将甲、乙并列放置后得到图1，已知点H为的中点，连接，将乙纸片放到甲的内部得到图2，已知甲、乙两个正方形边长之和为8，图2的阴影部分面积为16，则图1的阴影部分面积为（   ） A．20 B．24 C．28 D．30 2．（24-25八年级上·陕西渭南·阶段练习）如图，正方形的边长为，正方形与正方形的重叠部分为长方形，其中，，两个阴影部分都是正方形且面积和为60，则重叠部分的面积为（   ） A．29 B．28 C．30 D．31 3．（24-25七年级下·广东深圳·期末）如图，坪山中心广场拟开发一块新花坛，花坛如阴影部分所示．点C是线段上的一点，以，为边向两边作正方形，面积分别是和，已知，图中阴影部分面积为6．则（    ） A．20 B．35 C．40 D．50 4．（24-25七年级下·江苏扬州·期末）如图，已知图1、图2均为正方形拼图，其中所有直角三角形的形状及大小都相同，两个拼图中阴影部分的面积分别记为，则的值为（    ） A．6 B．8 C．9 D．16 5．（24-25七年级下·山西晋中·期末）如图有两张正方形纸片A和B，图（1）将B放置在A内部，测得阴影部分面积为3，图（2）将正方形A和B并列放置后构造新正方形，测得阴影部分面积为10，若将3个正方形A和2个正方形B并列放置后构造新正方形如图（3），（图（2），图（3）中正方形A和B纸片均无重叠部分），则图（3）阴影部分面积（   ） A．22 B．23 C．24 D．25 6．（24-25七年级下·安徽宣城·期末）如图，小明同学在计算机软件上设计一个图案，画一个正方形覆盖在正方形的右下方，使其重叠部分是长方形，面积记为，两个较浅颜色的四边形都是正方形，面积分别记为．已知，且，则为（    ） A．15 B．18 C．20 D．23 7．（24-25七年级下·浙江金华·期末）如图，将边长为的小正方形和边长为的大正方形拼在一起，且，，三点在同一直线上，连接和，若两个正方形的边长满足，，则阴影部分的面积为（   ） A．12 B．14 C．16 D．20 8．（24-25七年级下·广西百色·期末）将4个长为，宽为的长方形按如图所示的方式拼成一个边长为的正方形，图中空白部分的面积为，阴影部分的面积为．若，则满足（　　） A． B． C． D． 9．（24-25七年级下·江苏泰州·期末）如图1，I是边长为的正方形纸片，II是边长为的正方形纸片，III是长为，宽为的长方形纸片（），将I，III按图2所示的方式放入纸片II内，若图2中两块阴影部分的面积分别为和，若要求的值，只需要知道（   ）的值 A． B． C． D． 题型三：完全平方公式与几何图形综合 1．（24-25八年级上·广西南宁·期中）【知识生成】 通常情况下，通过用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式．如图1，在边长为的正方形中剪掉一个边长为的小正方形（），把余下的部分剪开并拼成一个长方形（如图2），图1中阴影部分的面积可表示为：，图2中阴影部分的面积可表示为：，因为两个图中的阴影部分的面积是相同的，所以可得到等式：． 【结论探究】 图3是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四个小长方形，然后按图4的形状拼成一个大正方形． （1）如图4，用两种不同方法表示图中阴影部分面积，可得到一个关于，，的等式是______． （2）若，，求的值． 【类比迁移】 （3）如图5，点是线段上的一点，以为边向上下两侧作正方形，正方形，两正方形的面积分别记为和，若，两正方形的面积和，求图中阴影部分的面积． 2．（23-24七年级下·全国·单元测试）通常，用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式． (1)请利用图①所得的恒等式解决如下问题：若，，求的值； (2)正方形、正方形如图②所示方式摆放，边长分别为，．若，，请直接写出图中阴影部分的面积； (3)类似的，用两种不同的方法计算同一个几何体的体积，也可以得到一个恒等式．图③是由个正方体和个长方体拼成的一个大正方体，请写出一个恒等式； (4)已知 ，，利用中的恒等式求的值． 3．（2024·河北邯郸·二模）已知有若干张如图所示的正方形卡片和长方形卡片，其中型卡片是边长为的正方形，型卡片是边长为的正方形，型卡片是长为，宽为的长方形．    (1)若嘉嘉要用这三种卡片紧密拼接成一个长为，宽为的长方形，求嘉嘉需要，，各多少张？ (2)若嘉嘉要用这三种卡片紧密拼接成一个正方形，先取型卡片4张，再取型卡片1张，还需取型卡片多少张，并求所拼正方形的边长？ (3)若嘉嘉用这三种卡片紧密拼接成一个面积为的长方形，则满足条件的的整数值_________个． 4．（23-24八年级上·广东汕头·期末）如图①所示是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按图②的方式拼成一个正方形． (1)你认为图②中阴影部分的正方形的边长等于_______． (2)请用两种不同的方法列代数式表示图②中阴影部分的面积. 方法①___________；方法②__________． (3)观察图②，试写出，，这三个代数式之间的等量关系______． (4)根据（3）题中的等量关系，解决如下问题：若，，则求的值． 5．（23-24八年级上·广东江门·阶段练习）（1）下图中的①是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后拼成一个如图中的②所示的正方形．小明用两种不同的方法求图中②的阴影部分的面积，发现了以下等量关系：________． （2）利用（1）中的等量关系解决下面的问题： ①，，求和的值； ②已知，求的值． 6．（23-24八年级上·福建福州·期中）我们已学完全平方公式：，观察下列式子： ， ，原式有最小值是； ， ，原式有最大值是； 并完成下列问题： (1)代数式有最 （填大或小）值，这个值= ． (2)解决实际问题：在紧靠围墙的空地上，利用围墙及一段长为100米的木栏围成一个长方形花圃，为了设计一个尽可能大的花圃，如图设长方形一边长度为米，完成下列任务． ①用含的式子表示花圃的面积； ②请说明当取何值时，花圃的最大面积是多少平方米？ 7．（23-24九年级上·湖北荆州·阶段练习）阅读下列材料：利用完全平方公式，将多项式变形为的形式，然后由就可求出多项式的最小值．    例：求多项式的最小值． 解：．因为所以 当时，，因此有最小值，最小值为1，即的最小值为1． 通过阅读，理解材料的解题思路，请解决以下问题： (1)【理解探究】已知代数式，求A的最小值； (2)【类比应用】张大爷家有甲、乙两块长方形菜地，已知甲菜地的两边长分别是米、米，乙菜地的两边长分别是米、米，试比较这两块菜地的面积和的大小，并说明理由； (3)【拓展升华】如图，中，，cm，cm，点M，N分别是线段AC和BC上的动点，点M从A点出发以的速度向C点运动；同时点N从C点出发以的速度向B点运动，当其中一点到达终点时，两点同时停止运动．设运动的时间为t，则当t的值为多少时，的面积最大，最大值为多少？ 1．（24-25七年级下·贵州毕节·期末）一个底面是正方形的长方体，高为8，底面正方形的边长为如果它的高不变，底面正方形的边长增加，那么它的体积增加（） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·江苏泰州·阶段练习）多顶式是一个完全平方式，则的值为（　　） A．11 B． C． D．11或 3．（24-25七年级下·四川成都·期末）小明在做作业时，发现有一道题抄题时没有注意少抄了一部分：，而这道题计算的结果是，你觉得小明少抄的这一部分应是（   ） A．a B．b C． D． 4．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）已知，则的值为（   ） A．4 B．6 C．2 D．8 5．（2025·河北沧州·模拟预测）将数字填入如图所示的图形中，使得每个圆圈上的四个数字的和都等于21，若每个圆圈上的四个数字的平方和分别记为A，B，C，且．已知交点处的三个圆圈填入的数字分别为x，y，． 结论Ⅰ：；结论Ⅱ：． 对于结论Ⅰ和Ⅱ，下列判断正确的是（   ） A．结论Ⅰ正确，结论Ⅱ不正确 B．结论Ⅰ不正确，结论Ⅱ正确 C．结论Ⅰ、结论Ⅱ都正确 D．结论Ⅰ、结论Ⅱ都不正确 6．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）若，，则下列判断正确的是（ ） A． B． C． D． 7．（24-25七年级下·福建漳州·期中）如图，大正方形的边长为，小正方形边长为，若，则图中阴影部分的面积和为（    ） A．8 B．12 C．16 D．24 8．（24-25八年级下·江西景德镇·期末）已知实数满足，那么的平方根是 ． 9．（24-25八年级下·浙江宁波·期末）已知，则m的值为 ． 10．（24-25七年级下·河北承德·期末）如图，用9张类正方形卡片、4张类正方形卡片、张类长方形卡片，恰好能拼成一个大正方形，则的值为 ． 11．（24-25七年级下·浙江金华·期末）如图1，将长方形纸片裁成形状、大小都相同的八块直角三角形，用其中四块拼成如图2所示的大正方形，经测量，图1中长方形纸片的周长为32，面积为56．则图2最中间的小正方形的面积为 ． 12．（24-25八年级上·甘肃天水·阶段练习）已知，，求： (1)的值； (2)的值． 13．（24-25八年级上·山东日照·阶段练习）整式乘除运算： (1)； (2)； (3)； (4)． 14．（24-25七年级下·贵州毕节·期末）如图1是一个长为2m，宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四个小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形． (1)用含m，n的代数式表示图2中阴影部分的面积为______或______； (2)请观察图2并结合（1）中的结论，求出代数式，和mn之间的等量关系； (3)若，，请结合（2）中的等量关系，求xy的值． 15．（24-25七年级下·四川达州·期末）阅读下列材料： 若满足，求的值． 解：设，则， 所以． 请根据材料解答下列问题： (1)若满足，求的值． (2)如图，在长方形中，，分别是上的点，且，分别以为边在长方形外侧作正方形和正方形． ①用含的代数式表示：______，______； ②若长方形的面积为160，求图中阴影部分的面积和． 16．（24-25七年级下·福建三明·期中）由完全平方公式我们可以得出下列结论： ________①； ________②． (1)在题干中的横线上填写相关数式，使得等式成立； (2)利用公式①和②求解： （i）已知，求的值； （ii）若满足，求的值． 1 / 35 学科网（北京）股份有限公司 $$ 11.3 乘法公式（第二课时） 题型一：根据乘法公式判断算式是否正确 1．（24-25八年级上·江西南昌·阶段练习）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了整式的运算，即合并同类项、幂的乘方、同底数幂的除法及完全平方公式，熟练掌握整式的运算法则是解题关键． 根据合并同类项、幂的乘方、同底数幂的除法法则、完全平方公式逐项计算判断即可． 【详解】解：A、，故此选项错误，不符合题意； B、，故此选项正确，符合题意； C、，故此选项错误，不符合题意； D、，故此选项错误，不符合题意． 故选：B． 2．（24-25八年级上·甘肃天水·阶段练习）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了完全平方公式和平方差公式，根据完全平方公式、平方差公式，逐项判断即可求解． 【详解】A、，故本选项错误，不符合题意； B、，故本选项错误，不符合题意； C、，故本选项正确，符合题意； D、，故本选项错误，不符合题意； 故选：C． 3．（2025·陕西西安·模拟预测）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了积的乘方计算，同底数幂除法计算，单项式乘以单项式和完全平方公式，根据相关计算法则求出对应选项中式子的结果即可得到答案． 【详解】解：A、，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算错误，不符合题意； C、，原式计算正确，符合题意； D、，原式计算错误，不符合题意； 故选：C． 4．（24-25八年级上·陕西榆林·开学考试）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查合并同类项，积的乘方和幂的乘方，单项式除以单项式以及完全平方公式，熟练运用相关知识计算出各选项再判断即可． 【详解】解：A、，原选项计算错误，故不符合题意； B、，原选项计算错误，故不符合题意； C、，原选项计算错误，故不符合题意； D、，原选项计算正确，故符合题意． 故选：D． 5．（24-25八年级上·福建厦门·阶段练习）下列运算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了整式的单项式乘以多项式和多项式乘以多项式的运算法则，乘法公式的平方差公式和完全平方公式，熟练掌握整式的运算是解题关键． 根据整式的单项式乘以多项式和多项式乘以多项式的运算法则，平方差公式和完全平方公式逐项分析计算，即可求解． 【详解】解：A、，故此选项错误，不符合题意； B、，故此选项错误，不符合题意； C、，故此选项错误，不符合题意； D、，故此选项正确，符合题意． 故选：D． 6．（24-25八年级上·河南南阳·阶段练习）下列运算错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】本题考查的是乘法公式的应用，根据平方差公式和完全平方公式逐项判断，注意符号变化． 【分析】解：A． ，符合平方差公式，正确； B． ，正确； C． ，正确； D． ，但选项D结果为，符号错误． 故选：D． 7．（24-25八年级上·江苏南通·阶段练习）下列关系式中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了乘法公式，掌握平方差公式和完全平方公式是解题的关键．根据平方差公式和完全平方公式逐项判断即可求解； 【详解】解：、，该选项关系式错误，不合题意； 、，该选项关系式正确，符合题意； 、，该选项关系式错误，不合题意； 、，该选项关系式错误，不合题意； 故选：． 8．（2025·河南周口·三模）下列计算正确的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了幂的乘方运算，合并同类项，完全平方公式及平方差公式的概念，熟练掌握运算和公式是解决本题的关键． 根据幂的乘方运算，需分别对系数和字母部分乘方判断A选项，根据合并同类项判断B选项，根据完全平方公式判断C选项，根据平方差公式判断D选项． 【详解】选项A：，但选项A结果为，错误； 选项B：与为不同类项，无法合并为，错误； 选项C：展开时，完全平方公式应为，选项C为，错误； 选项D：应用平方差公式，其中，， 则，与选项D一致，正确． 故选：D． 题型二：已知式子的值求代数式的值 1．（24-25八年级下·四川成都·期中）已知，则代数式的值为 ． 【答案】25 【分析】由已知条件易得，再将原式利用完全平方公式变形后代入数值计算即可． 本题考查完全平方公式，代数式求值，熟练掌握该公式是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ， 故答案为：． 2．（24-25八年级上·江苏南通·阶段练习）若，则的值为 ． 【答案】4 【分析】本题考查二次根式与平方的非负性，完全平方公式的应用．先由完全平方公式将式子变形为，再根据二次根式与平方的非负性求出x，y的值，进而即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， ∴， ∴ 3．（24-25七年级下·浙江金华·期末）若，，则的值为 ． 【答案】36 【分析】本题考查完全平方公式，将两式相加后利用完全平方公式即可求得答案． 【详解】解：∵，， ∴两式相加得：， ∴， 故答案为：36． 4．（24-25七年级下·江苏无锡·期末）若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式． 直接根据完全平方公式计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 5．（24-25八年级下·陕西咸阳·期中）若，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式，代数式求值，利用整体思想解题是关键．根据完全平方公式将变形为，再整体代入计算求值即可． 【详解】解：， ， 故答案为： 6．（24-25七年级下·安徽淮北·期中）如果，，那么 ． 【答案】37 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，灵活运用完全平方公式是解题的关键；由题意得；为了利用完全平方公式，先计算的值；此时代数式可利用完全平方公式即可计算，最后把值除以2即可求解． 【详解】解：把，两式相加得：； ， ∴； 故答案为：37． 7．（24-25七年级下·甘肃张掖·期中）已知，求的值为 【答案】3 【分析】本题考查了完全平方公式、平方差公式和代数式求值，正确展开、准确计算是解题的关键； 先根据完全平方公式和平方差公式展开，再去括号合并同类项，然后将已知的式子变形后整体代入求解即可. 【详解】解： ； ∵， ∴， ∴原式； 故答案为：3. 题型三：乘法公式综合计算题 1．（24-25八年级上·江西南昌·阶段练习）运用乘法公式计算： (1) (2) (3) (4) (5) (6) 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】本题考查的是乘法公式的应用； （1）把原式化为，再利用平方差公式计算即可； （2）把原式化为，再利用完全平方公式计算即可； （3）把原式化为，再利用完全平方公式计算即可； （4）先利用平方差公式，再利用完全平方公式计算即可； （5）直接利用完全平方公式计算即可； （6）把原式化为，再利用平方差，完全平方公式公式计算即可； 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：； （5）解：； （6）解： ； 2．（24-25八年级上·河南驻马店·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】本题考查了多项式与多项式的乘法运算，多项式与多项式相乘：先用一个多项式的每一项分别乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加． （1）利用平方差公式计算即可； （2）利用平方差公式、多项式与多项式的乘法法则计算，再合并同类项即可； （3）利用完全平方公式计算即可； （4）利用平方差公式计算，再利用完全平方公式多计算即可； （5）利用多项式与多项式的乘法法则计算即可； （6）利用多项式与多项式的乘法法则计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ； （6）解： ． 3．（24-25八年级上·河南信阳·阶段练习）计算 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的混合运算. （1）先计算乘法，再计算加减即可； （2）先计算乘法，再计算加减即可. 【详解】（1） （2） 4．（24-25七年级下·山东青岛·期末）计算题 (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3)1 (4) 【分析】此题考查了多项式乘以多项式，单项式乘以多项式，完全平方公式，平方差公式，解题的关键是掌握以上运算法则． （1）根据多项式乘以多项式运算法则求解即可； （2）首先计算单项式乘以多项式，完全平方公式，然后计算加减； （3）利用平方差公式求解即可； （4）首先利用平方差公式计算，然后利用完全平方公式计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 5．（24-25七年级下·宁夏银川·期末）化简与计算 (1) (2)（利用乘法公式计算） (3) (4) 【答案】(1) (2)9800 (3) (4) 【分析】本题考查了完全平方公式，平方差公式，多项式乘以多项式，单项式乘以多项式，熟练掌握以上运算法则是解题的关键． （1）根据单项式乘以单项式进行计算即可解题； （2）利用平方差公式简便运算即可解题； （3）根据平方差公式，单项式乘以多项式去括号，再合并同类项即可解题； （4）根据平方差公式，完全平方公式计算即可解题． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 6．（24-25七年级下·江苏泰州·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）根据乘法分配律计算即可； （2）根据完全平方公式和平方差公式将题目中的式子展开，然后合并同类项即可． 【详解】（1）； （2） ． 7．（24-25七年级下·湖南益阳·期末）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查整式的混合运算， （1）先计算多项式乘以多项式、单项式乘以多项式，再合并即可； （2）运用完全平方公式以及平方差公式的运算，然后合并即可解题． 【详解】（1）解： ； （2） ． 8．（24-25七年级下·江苏徐州·期末）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）根据平方差公式和多项式乘多项式的运算法则将题目中的式子展开，然后合并同类项即可； （2）根据完全平方公式和多项式乘多项式的运算法则将题目中的式子展开，然后合并同类项即可． 【详解】（1）解： ； （2） ． 题型四：完全平方公式中化简求值 1．（24-25七年级下·湖南邵阳·期末）先化简，再求值：，其中，． 【答案】，6． 【分析】先利用完全平方公式，平方差公式，单项式乘多项式的法则进行计算，然后把的值代入化简后的式子进行计算，即可解答． 本题考查了整式的混合运算化简求值，完全平方公式，平方差公式，准确熟练地进行计算是解题的关键． 【详解】解： ， 当时， 原式． 2．（24-25八年级上·河南驻马店·阶段练习）先化简，再求值：，其中，； 【答案】， 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，平方差公式及完全平方公式，解题关键是熟练掌握去括号法则和合并同类项法则．先根据平方差公式及完全平方公式去括号，再合并同类项，进行化简，再把x，y的值代入化简后的式子进行计算即可． 【详解】解： 当，时， 原式． 3．（24-25七年级下·广东梅州·期末）先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】本题考查了整式的化简与求值，掌握乘法公式及整式的各运算法则是解题的关键． 先根据完全平方公式和平方差公式去括号，再合并同类项化简后，代入求值即可． 【详解】解： ， 当，时，原式． 4．（24-25八年级上·黑龙江佳木斯·阶段练习）先化简，再求值，其中，． 【答案】， 【分析】本题考查了整式的混合运算，先根据完全平方公式，单项式与多项式的乘法法则，多项式与多项式的乘法法则计算，再去括号合并同类项，然后把字母的值代入计算即可． 【详解】解： ， 当时， 原式． 5．（24-25七年级下·河北邯郸·期末）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查整式的化简求值，掌握整式混合运算的法则和顺序并正确计算是解题的关键． 先按照平方差公式，完全平方公式，单项式乘多项式法则进行计算，然后合并同类项化简，再代入求值即可． 【详解】解： ， 将代入，得： 原式． 6．（24-25七年级下·湖南娄底·期末）先化解，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】本题考查了整式的化简求值，先根据乘法公式化简，再把，代入计算即可． 【详解】解：原式 当，时 原式 7．（24-25七年级下·湖南娄底·期末）计算：；当取取时，求原式的值． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式，平方差公式，已知字母的值求代数式的值，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先根据完全平方公式，平方差公式进行展开，再合并同类项，得，再代入数值进行计算，即可作答． 【详解】解： ， 当取取时，则原式． 8．（24-25六年级下·山东济南·期末）先化简，再求值：，其中，． 【答案】；12 【分析】本题考查了整式的混合运算—化简求值，括号内先根据完全平方公式、平方差公式去括号，再合并同类项，然后计算除法即可化简，最后代入、的值即可得解，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解： 当，时，原式． 题型五：完全平方公式中“知二求一” 1．（24-25七年级下·浙江宁波·期末）已知，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，已知和，要求的值，利用完全平方公式的变形关系，结合已知条件直接计算． 【详解】解：， 又∵，， ∴， ∴． 故选：A． 2．（24-25七年级下·江苏盐城·期末）若，，则的值是（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】B 【分析】本题考查了完全平方公式，能熟记完全平方公式是解此题的关键， 利用完全平方公式展开已知等式，联立相加直接求解． 【详解】∴ 和 ， ∴，， 将两式相加：， ， 两边同时除以2，得： 故选：B． 3．（24-25七年级下·山西吕梁·期中）若，，则的值为（   ） A．4 B． C． D．2 【答案】C 【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式，并能灵活运用公式进行变形计算是解题的关键．本题可利用完全平方公式，将已知条件代入公式，进而求出的值． 【详解】解：∵， ∴，即 ． 又∵， ∴把代入中，可得 ． ∴， 故选：C ． 4．（2025·安徽滁州·三模）已知x，y是实数，且满足，若，则m的值为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】A 【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用、非负数的性质、代数式求值等知识点，灵活运用完全平方公式进行配方成为解题的关键． 用完全平方公式将已知方程变形成，再根据非负数的性质确定x和y的值，然后代入求解即可． 【详解】解：原方程变形为：， 对x和y分别配方： ， ∵， ∴， ∴， 将代入得：． 故选：A． 5．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）已知，则的值为 ． 【答案】1 【分析】本题主要考查了完全平方公式，根据完全平方公式可得，进一步可得，解之即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：1． 6．（24-25八年级上·辽宁大连·阶段练习）已知，则 ． 【答案】19 【分析】本题考查完全平方公式，利用完全平方公式进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故答案为：19 7．（24-25七年级下·江苏苏州·期末）已知，，则 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了完全平方公式，把“”两边同时平方，然后根据完全平方公式展开，再把代入进行计算即可得解，掌握完全平方公式是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，即， ∵， ∴， 解得， 故答案为：． 8．（24-25七年级下·江苏泰州·阶段练习）已知，，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式，是解题的关键．根据，，得出，然后开平方即可． 【详解】解：∵，， ∴， 即， 解得：． 故答案为：． 9．（24-25七年级下·广西贵港·期末）已知，，则的值为 ． 【答案】6 【分析】本题考查了完全平方公式，求代数式的值，先求出，，再整体代入所求式子计算即可得解，熟练掌握完全平方公式是解此题的关键． 【详解】解：∵，， ∴由可得：， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 题型六：完全平方公式中“配凑法” 1．（24-25八年级上·四川乐山·期末）已知，那么的值为（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】A 【分析】本题考查了完全平方公式的变形求值，熟练掌握完全平方公式的结构是解题关键．由已知条件可得，，，再将代数式转化为三个数两两之差的平方和的一半的形式，代入计算求值即可． 【详解】解： ，，， ，， ， 故选：A 2．（24-25八年级上·广西钦州·阶段练习）已知满足，则的值是 ． 【答案】1 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式是解题关键．先利用完全平方公式将已知等式变形为，再根据偶次方的非负性可得，求出的值，代入计算即可得． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：1． 3．（24-25七年级下·安徽六安·期中）如果，，那么 ． 【答案】37 【分析】本题考查了完全平方公式的运用，先关根据求出，然后利用完全平方公式把分解成，最后整体代入计算即可． 【详解】解：∵， ， 即， ． 故答案为： 37 ． 4．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）若a，b满足，则的值为 ． 【答案】8 【分析】本题考查完全平方公式，非负性，将等式左边化为两个完全平方式的和的性质，根据非负性进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：8． 题型七：完全平方公式中“首尾互倒” 1．（24-25八年级上·广东东莞·阶段练习）已知，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，代数式求值，平方根等定义，掌握完全平方公式的特征是解题关键．根据完全平方公式，结合，可得，再构造完全平方式，得到即可求解． 【详解】解：， ， ， ， ， 故选：B． 2．（24-25七年级下·山东潍坊·阶段练习）如果，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查完全平方公式，掌握知识点是解题的关键． 已知，通过平方等式并展开，结合代数恒等式即可求出的值． 【详解】解：将已知等式两边平方，得 ， 即， ， ∴． 故选：B． 3．（24-25七年级下·广西来宾·期末）如果，那么（   ） A．16 B．14 C．196 D．194 【答案】D 【分析】本题考查了完全平方公式． 通过两次平方运算即可求出的值． 【详解】解：∵， ∴， 即， ∴， ∴ 故选：D． 5．（24-25六年级下·山东泰安·阶段练习）已知关于x的式子，则（　　） A．9 B．10 C．11 D．7 【答案】C 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，利用完全平方公式解答即可． 【详解】解：， ， 故选：C． 6．（24-25八年级上·广东惠州·阶段练习）已知，则等于 ． 【答案】5 【分析】本题考查完全平方公式，等式两边同时除以，得到，进而得到，利用完全平方公式进行求值即可． 【详解】解：∵，且当时，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：5． 7．（24-25七年级下·广东深圳·期中）若，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查完全平方公式：，熟练掌握并灵活运用完全平方公式是解题关键．由可得，把两边同时平方得，两边再同时平方即可得答案． 【详解】解：∵， ∴， 两边同时平方得：，即， 把两边同时平方得：． 故答案为： 8．（24-25七年级下·陕西西安·阶段练习），则的个位数字是 ． 【答案】7 【分析】本题考查了完全平方公式，将已知等式变形是解题的关键．根据已知可得，进而根据完全平方公式的得出，，即可求解． 【详解】解：根据题意可知， ∵ ∴ ∴， ，即， ，即． ∴的个位数字是7． 故答案为：7． 题型八：利用完全平方公式求字母系数 1．（24-25八年级上·辽宁盘锦·阶段练习）若多项式是完全平方公式的展开式，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式的结构特征．解题的关键是明确完全平方公式中首项、尾项与中间项的关系，即中间项为首尾两项底数乘积的2倍，且符号可正可负． 确定多项式首项为，尾项81对应完全平方公式中的，求出；根据中间项与首尾项的关系（），计算得． 【详解】完全平方公式的展开式有两种形式： 和． 对于多项式，首项为，尾项为81，则尾项可看作， 即，解得． 根据完全平方公式的中间项为，对比多项式中间项，可得． 当时，；当时，． 因此，a的值为． 故答案为：. 2．（24-25八年级上·河南漯河·阶段练习）若是完全平方式，请你写出一组满足条件的的值分别为 ．（写出一组即可） 【答案】，（答案不唯一） 【分析】本题考查了完全平方式，由完全平方式可得，进而对取值即可求解，掌握完全平方式的结构特点是解题的关键． 【详解】解：∵是完全平方式， ∴， 当时，， ∴的值可以分别为，， 故答案为：，．（答案不唯一） 3．（24-25八年级上·辽宁大连·阶段练习）已知是完全平方式，则 ． 【答案】 【分析】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．利用完全平方公式的结构特征判断即可求出m的值． 【详解】解：是完全平方式， ， ， 故答案为：． 4．（24-25六年级下·山东东营·期末）如果是一个完全平方式，那么的值为 ． 【答案】或11/11或 【分析】本题考查了完全平方公式，解题的关键在于需将给定的式子与完全平方公式比对． 完全平方公式，整理成符合完全平方公式的形式即可求解． 【详解】解：∵是一个完全平方式， ∴可是表示为， 当完全平方式为时，即， 令，解得， 当完全平方式为时，即， 令，解得， ∴那么的值为或11． 故答案为：或11 ． 5．（24-25七年级下·全国·期中）若是一个完全平方式，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了完全平方公式，先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式的乘积二倍项即可确定的值，根据平方项确定出这两个数，熟记完全平方公式是解题的关键． 【详解】解：∵是一个完全平方式， ∴， ∴， 故答案为：． 6．（24-25七年级下·江苏南京·期末）把加上一个单项式 成为一个多项式的平方（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查完全平方公式，根据已知条件即可写出一个完全平方式，进而得出答案． 【详解】解：∵， ∴. 故答案为：． 7．（24-25七年级下·陕西汉中·期中）若给多项式添加一项形成三项式且为完全平方式，则添加的一项是 ． 【答案】或或 【分析】本题主要考查了完全平方式的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：．根据，即可判断出添加的单项式． 【详解】解：①， 添加的单项式可以是． ②， 添加的单项式可以是． ③， 添加的单项式可以是． 故答案为：或或． 题型九：完全平方公式在结合图形中的应用 1．（24-25八年级上·广东东莞·阶段练习）如图所示，将甲图中阴影部分无重叠、无缝隙地拼成乙图，根据两个图中阴影部分的面积关系得到的等式是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了完全平方公式，分别计算出甲、乙两图中阴影部分的面积是解决本题的关键． 分别计算出甲、乙两图中阴影部分的面积，根据面积相等，即可解答． 【详解】解：甲图中阴影部分的面积为大正方形面积减去两个长方形的面积再加上小正方形的面积，即， 图乙中阴影部分的面积=四个小正方形拼接成的正方形，此时正方形的边长为 即图乙中阴影部分的面积为， ∵甲、乙两图中阴影部分的面积相等 ∴， 故选：B． 2．（2025七年级上·全国·专题练习）仔细阅读图，与它的图意相符的式子是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查完全平方公式，根据正方形的面积边长×边长，长方形的面积长×宽，解答此题即可． 【详解】解：大正方形的面积：，小正方形的面积：， 长方形的面积：，两个长方形的面积是：，这个图形的总面积是：， 大正方的边长是：，这个图形的面积是：， 与图意相符的式子是：． 故选：B． 3．（24-25七年级下·广东佛山·期中）数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形结合起来，使复杂、难懂的问题具体化．以下图形中能验证式子“”的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了完全平方公式的几何应用，根据图形进行列式表示图形的面积即可得出答案． 【详解】解：由A选项可得：，故本选项不符合题意； 由B选项可得：，故本选项不符合题意； 由C选项可得：，故本选项符合题意； 由选项D可得：，故本选项不符合题意， 故选：C． 4．（24-25七年级下·浙江·期末）“数缺形时少直观，形缺数时难入微”，数形结合思想是数学学习中的一个重要的数学思想，请仔细观察下列图形，其中能说明等式成立的是（   ） A．B．C． D． 【答案】D 【分析】本题考查完全平方公式与数形结合思想，熟练掌握以上知识点是解题的关键．运用完全平方公式与数形结合思想，根据等式的几何意义，判断各选项图形是否符合该等式． 【详解】解：选项A是推导的图形，不涉及，不符合题意； 选项B是推导的图形，不符合题意； 选项C是勾股定理的相关图形，与等式无关，不符合题意； 选项D表示边长为的大正方形与边长为的小正方形的面积差，等于4个长为、宽为的长方形的面积和，符合等式； 故选D． 5．（24-25八年级下·贵州贵阳·期末）如图，小星用如图①所示的四张长方形纸片，拼成了如图②所示的一个正方形，该正方形可直观地表示与之间的关系，则这个关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查完全平方公式在几何图形中的应用，利用数形结合的思想是解题关键．根据大正方形的面积可表示为其边长×边长或4个全等长方形的面积+中间小正方形的面积求解即可． 【详解】解∶根据题意，得， ∴， 故选∶A． 6．（2025·吉林·模拟预测）分别观察如图四组图形，在每个图形的下方，都有一个等式，其中图形与等式之间的对应关系表达相符的有 （填序号）． 【答案】①②③④ 【分析】本题考查了单项式乘以多项式，多项式乘以多项式，完全平方公式，熟练掌握公式和运算法则是解题的关键．分别用两种方法表示图形面积，用大长方形的面积等于几个小的长方形或正方形的面积和，逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：图①，整体长方形的长为，宽为，因此面积为， 整体长方形由三个长方形构成的，这三个长方形的面积和为、、， 所以有：， 因此图①符合题意； 图②，整体长方形的长为，宽为，因此面积为， 整体长方形由四个长方形构成的，这四个长方形的面积和为， 所以有：， 因此图②符合题意； 图③，整体正方形的边长为，因此面积为， 整体正方形由四个部分构成的，这四个部分的面积和为， 所以有：， 因此图③符合题意； 图④，整体正方形的边长为，因此面积为， 整体正方形由四个部分构成的，其中较大的正方形的边长为，因此面积为，较小正方形的边长为，因此面积为， 另外两个长方形的长为，宽为，则面积为， 所以有， 即， 因此图④符合题意； 四个表示都是相符合的， 故答案为：①②③④． 题型一：完全平方公式中最值问题 1．（24-25七年级下·四川成都·期中）已知，，…，都是正整数，且，则的最大值为 ；最小值为 ． 【答案】 78 【分析】本题主要考查了完全平方公式，解二元一次方程，设的最大值为A，不妨设，由于，，则可推出取最大值时，，同理可得，则，据此可得最大值；设的最小值为B，不妨设，由于，且由，得，故可得当取最小值时，中任何两数之差的绝对值不超过1，即至多取两种不同数值．设中有k个数等于，其余个数等于a，于是可得，则，据此可得最小值． 【详解】解：设的最大值为A，不妨设． 若，则因，且， ∴用，，，…，代替，它们的和仍为46，但它们的平方和却增加了，这与已使取最大值矛盾，故． 同理，于是， ∴的最大值为． 设的最小值为B，不妨设． 对任意，有， 假设存在，使，因为，且由，得， 所以，用和分别代替和，其他的数不变，它们的和仍为46，但它们的平方和却减少了，这与已取得最小值矛盾． 于是，当取最小值时，中任何两数之差的绝对值不超过1，即至多取两种不同数值．设中有k个数等于，其余个数等于a，于是， ∴， ∵a为正整数，k为非负整数， ∴ 所以，时，取最小值， ∴． 故答案为：318；78． 2．（24-25七年级上·陕西西安·期中）已知有最小值，求的最大值为 ． 【答案】65 【分析】此题考查了数轴上两点之间的距离，利用完全平方公式的变形求值，解题的关键是掌握以上知识点． 首先数轴上两点之间的距离得到，，然后求出，，然后利用完全平方公式将原式变形，进而求解即可． 【详解】∵可以表示为数轴上x到的距离加上x到2的距离 ∴当时，有最小值； ∴ ∵可以表示为数轴上y到的距离加上y到1的距离 ∴当时，有最小值； ∴ ∴ ∴当，时，有最大值 ∴原式． ∴的最大值为65． 故答案为：65． 3．（24-25七年级下·江苏泰州·期中）若m，n，k满足，则的最小值为 ． 【答案】8 【分析】本题的考查了完全平方公式，掌握完全平方公式是解题的关键，根据，代入，得，根据，得，要想取得最小值取最小值即可解答． 【详解】解：原式 ， ， ， ， ， ， 当取得最小值0时，取得最小值8， 即取得最小值8， 故答案为：． 4．（2025·重庆·模拟预测）若a，b为有理数且满足，，则P的最小值为 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查了完全平方公式，根据已知条件利用完全平方公式得到，再由非负性的性质即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴ ， ∵， ∴当时，P有最小值，最小值为3，此时满足， 故答案为：3． 5．（24-25七年级下·安徽蚌埠·期中）已知三个实数满足． （1）若，则 （填“”或“”）； （2）若且，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式因式分解，不等式的性质； （1）根据题意可得，代入得出，根据，推出，即可求解； （2）根据题意得出，代入，进而根据不等式的性质，求得最小值，即可求解． 【详解】（1）解：∵． ∴， ∴ ∵ ∴，即， ∴， 故答案为：． （2）∵， ∴， ∴ ∴ ∵，, ∴时，的最小值是 故答案为：． 6．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）若定义：，则代数式的最小值为 ． 【答案】/0.75 【分析】本题考查了完全平方公式、非负数的性质．解决本题的关键是将代数式转化为非负数与常数项的和的形式．根据新定义、完全平方公式将原式变形为，即可求解． 【详解】解：由题意知，， ， ， 代数式的最小值为． 故答案为：． 7．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）利用可求某些整式的最值．例如，，由知，当时，多项式有最小值．对于多项式，当 时，有最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，平方的非负性，掌握完全平方公式的结构特征是解题关键．将多项式变形成，再结合求解即可． 【详解】解：， 由知，当时，多项式有最小值， 故答案为：；． 题型二：完全平方公式中面积问题 1．（24-25八年级上·安徽合肥·阶段练习）现有甲、乙两个正方形纸片，将甲、乙并列放置后得到图1，已知点H为的中点，连接，将乙纸片放到甲的内部得到图2，已知甲、乙两个正方形边长之和为8，图2的阴影部分面积为16，则图1的阴影部分面积为（   ） A．20 B．24 C．28 D．30 【答案】B 【分析】本题考查了整式的加减，完全平方公式的几何背景，灵活应用完全平方公式的变形是解题的关键． 设甲正方形边长为x，乙正方形边长为y，则，可得，再由完全平方公式的变形可得，然后根据图1的阴影部分面积为，即可求解． 【详解】解：设甲正方形边长为x，乙正方形边长为y，则， ∵甲、乙两个正方形边长之和为8，图2的阴影部分面积为16， ∴， ∴，， ∴， ∵点H为的中点， ， ∴图1的阴影部分面积为 故选B． 2．（24-25八年级上·陕西渭南·阶段练习）如图，正方形的边长为，正方形与正方形的重叠部分为长方形，其中，，两个阴影部分都是正方形且面积和为60，则重叠部分的面积为（   ） A．29 B．28 C．30 D．31 【答案】B 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，先根据正方形的性质表示出，，再根据完全平方公式的变形得出，从而得出，即可得出答案． 【详解】解：正方形的边长为，，， ， 两个阴影部分都是正方形且面积和为60， 重叠部分的面积为 故选：B． 3．（24-25七年级下·广东深圳·期末）如图，坪山中心广场拟开发一块新花坛，花坛如阴影部分所示．点C是线段上的一点，以，为边向两边作正方形，面积分别是和，已知，图中阴影部分面积为6．则（    ） A．20 B．35 C．40 D．50 【答案】C 【分析】本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键． 设正方形的边长为，正方形的边长为，由题意得，，，根据代入计算即可． 【详解】解：设正方形的边长为，正方形的边长为，由题意得，，，即， 所以 ． 故选：C． 4．（24-25七年级下·江苏扬州·期末）如图，已知图1、图2均为正方形拼图，其中所有直角三角形的形状及大小都相同，两个拼图中阴影部分的面积分别记为，则的值为（    ） A．6 B．8 C．9 D．16 【答案】C 【分析】本题考查完全平方公式与几何图形，设直角三角形的另一条直角边长为a，利用割补法分别表示出和，进行求解即可． 【详解】解：设直角三角形的另一条直角边长为a， 则， ， ∴． 则的值为． 故选：． 5．（24-25七年级下·山西晋中·期末）如图有两张正方形纸片A和B，图（1）将B放置在A内部，测得阴影部分面积为3，图（2）将正方形A和B并列放置后构造新正方形，测得阴影部分面积为10，若将3个正方形A和2个正方形B并列放置后构造新正方形如图（3），（图（2），图（3）中正方形A和B纸片均无重叠部分），则图（3）阴影部分面积（   ） A．22 B．23 C．24 D．25 【答案】B 【分析】此题考查完全平方公式在几何图形中的应用、多项式乘多项式在几何图形中的应用，正确理解图形的构成，正确掌握完全平方公式是解题的关键．由图1可知，阴影部分面积，图2可知，阴影部分面积，进而得到，由图3可知，阴影部分面积，进而即可求解． 【详解】解：设A卡片的边长为a，B卡片的边长为b，则A卡片的面积为，B卡片的面积为， 图1中阴影部分的面积可以表示为，由题意可知，， 图2阴影部分的面积可以表示为，由题意可知，， 图3阴影部分的面积可以表示为 ， 故选：B． 6．（24-25七年级下·安徽宣城·期末）如图，小明同学在计算机软件上设计一个图案，画一个正方形覆盖在正方形的右下方，使其重叠部分是长方形，面积记为，两个较浅颜色的四边形都是正方形，面积分别记为．已知，且，则为（    ） A．15 B．18 C．20 D．23 【答案】C 【分析】本题考查完全平方公式在几何图形中的应用，根据正方形的性质，得到，设，得到，进而得到，进而得到，利用完全平方公式变形得到，据此可得答案 【详解】由正方形的性质可得， ∴， ∵， ∴， 设，则：， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即：， ∴， 故选：C． 7．（24-25七年级下·浙江金华·期末）如图，将边长为的小正方形和边长为的大正方形拼在一起，且，，三点在同一直线上，连接和，若两个正方形的边长满足，，则阴影部分的面积为（   ） A．12 B．14 C．16 D．20 【答案】B 【分析】本题考查了完全平方公式的应用．根据图形特征，得，结合，，据此计算即可作答． 【详解】解： 由题意可知： ， ∵，， ∴． 故选：B． 8．（24-25七年级下·广西百色·期末）将4个长为，宽为的长方形按如图所示的方式拼成一个边长为的正方形，图中空白部分的面积为，阴影部分的面积为．若，则满足（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查整式的混合运算，完全平方公式的变形应用，根据题意及图形分别表示出空白部分的面积及阴影部分的面积，然后根据已知条件即可求得答案．理解题意，数形结合列出正确的算式是解题的关键． 【详解】解： ， ， ∵， ∴， 整理得， 则，即， 故选：B． 9．（24-25七年级下·江苏泰州·期末）如图1，I是边长为的正方形纸片，II是边长为的正方形纸片，III是长为，宽为的长方形纸片（），将I，III按图2所示的方式放入纸片II内，若图2中两块阴影部分的面积分别为和，若要求的值，只需要知道（   ）的值 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了多项式乘法的面积问题． 先根据题意求出，，，，的值，进而求出的值，判断即可． 【详解】解：由图可知，，，，， 即 ， ∴， 故只需要知道的值， 故选：A 题型三：完全平方公式与几何图形综合 1．（24-25八年级上·广西南宁·期中）【知识生成】 通常情况下，通过用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式．如图1，在边长为的正方形中剪掉一个边长为的小正方形（），把余下的部分剪开并拼成一个长方形（如图2），图1中阴影部分的面积可表示为：，图2中阴影部分的面积可表示为：，因为两个图中的阴影部分的面积是相同的，所以可得到等式：． 【结论探究】 图3是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四个小长方形，然后按图4的形状拼成一个大正方形． （1）如图4，用两种不同方法表示图中阴影部分面积，可得到一个关于，，的等式是______． （2）若，，求的值． 【类比迁移】 （3）如图5，点是线段上的一点，以为边向上下两侧作正方形，正方形，两正方形的面积分别记为和，若，两正方形的面积和，求图中阴影部分的面积． 【答案】（1）；（2）29；（3）17 【分析】（1）根据题意，阴影部分的面积大正方形的面积4个小长方形的面积，列出代数式即可；阴影部分的面积正方形的面积长方形的面积小长方形的面积，代入字母求出代数式即可； （2）根据（1）代入数据计算即可； （3）根据题意，延长交于点H，设正方形的边长为x，正方形的边长为，两个正方形的面积和是47，得出方程，根据 ，列出代数式，求出阴影部分面积即可． 本题考查了平方差公式、完全平方公式，代数式，解决本题的关键是熟练运用正方形的面积公式、三角形的面积公式、梯形的面积公式． 【详解】解：（1）阴影部分的面积： 阴影部分的面积： 故答案为： （2）若，， （3）如图：延长交于点H 设正方形的边长为x，正方形的边长为， 得， ， ， 即， ， 即 答：图中阴影部分的面积是17． 2．（23-24七年级下·全国·单元测试）通常，用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式． (1)请利用图①所得的恒等式解决如下问题：若，，求的值； (2)正方形、正方形如图②所示方式摆放，边长分别为，．若，，请直接写出图中阴影部分的面积； (3)类似的，用两种不同的方法计算同一个几何体的体积，也可以得到一个恒等式．图③是由个正方体和个长方体拼成的一个大正方体，请写出一个恒等式； (4)已知 ，，利用中的恒等式求的值． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查完全平方公式和立方公式，熟练掌握数形结合是解题的关键； （1）根据图形的面积即可求解； （2）根据四边形和都是正方形，设，，根据，即可求解； （3）根据题意可得，正方形体积表示为或，即可求解； （4）根据，，结合即可求解； 【详解】（1）由图可知，大正方形面积为或， ， ， （2）由图可知，∵四边形和都是正方形， ， ， ，又， ， ， ， ， 即阴影部分的面积为 （3）由图得，正方形体积表示为， 也可以表示为， ， 即 （4），， 由得， ， 3．（2024·河北邯郸·二模）已知有若干张如图所示的正方形卡片和长方形卡片，其中型卡片是边长为的正方形，型卡片是边长为的正方形，型卡片是长为，宽为的长方形．    (1)若嘉嘉要用这三种卡片紧密拼接成一个长为，宽为的长方形，求嘉嘉需要，，各多少张？ (2)若嘉嘉要用这三种卡片紧密拼接成一个正方形，先取型卡片4张，再取型卡片1张，还需取型卡片多少张，并求所拼正方形的边长？ (3)若嘉嘉用这三种卡片紧密拼接成一个面积为的长方形，则满足条件的的整数值_________个． 【答案】(1)需要卡片张，卡片张，卡片张 (2)要用这三种卡片紧密拼接成一个正方形，还需取型卡片张 (3) 【分析】本题主要考查了多项式乘法在几何图形中的应用，完全平方式： （1）根据多项式乘以多项式结合长方形面积求出长为，宽为的长方形的面积即可得到答案； （2）设还需取C型卡片m张，则所取卡片的面积之和为，则多项式是一个完全平方式，据此求解即可； （3）根据题意，，可得，将因式分解，即可求解． 【详解】（1）解：∵长方形的面积为：． ∴嘉嘉需要A卡片6张，B卡片1张，C卡片5张； （2）解：设还需取C型卡片m张，则所取卡片的面积之和为， ∵所有卡片可以紧密拼成一个正方形， ∴多项式是一个完全平方式， ∴， ∴或（舍去） ∴要用这三种卡片紧密拼接成一个正方形，还需取C型卡片4张； （3）解：依题意，设长方形的边长为， ∴ 依题意， ∵， ∴或或． 故答案为：． 4．（23-24八年级上·广东汕头·期末）如图①所示是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按图②的方式拼成一个正方形． (1)你认为图②中阴影部分的正方形的边长等于_______． (2)请用两种不同的方法列代数式表示图②中阴影部分的面积. 方法①___________；方法②__________． (3)观察图②，试写出，，这三个代数式之间的等量关系______． (4)根据（3）题中的等量关系，解决如下问题：若，，则求的值． 【答案】(1) (2)， (3) (4)16 【分析】本题考查完全平方公式的几何背景，用不同的方法表示同一个图形的面积是得出等量关系式的关键． （1）由拼图可知，图②阴影部分是边长为的正方形； （2）方法一，直接利用正方形的面积公式表示阴影部分的面积；方法二，从边长为的大正方形减去四个长为，宽为的矩形面积即可； （3）由（2）的两种方法求阴影部分的面积可得等式； （4）将的变形为：即可求解． 【详解】（1）解：由拼图可知，阴影部分是边长为的正方形， 故答案为：； （2）方法一：直接利用正方形的面积公式得正方形的面积为； 方法二：从边长为的大正方形减去四个长为，宽为的矩形面积即为阴影部分的面积， 即； 故答案为：，； （3）由（2）的两种方法可得，； 故答案为：； （4）． ，， ． 5．（23-24八年级上·广东江门·阶段练习）（1）下图中的①是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后拼成一个如图中的②所示的正方形．小明用两种不同的方法求图中②的阴影部分的面积，发现了以下等量关系：________． （2）利用（1）中的等量关系解决下面的问题： ①，，求和的值； ②已知，求的值． 【答案】（1） （2）①1，，② 【分析】本题考查了完全平方公式的几何背景：利用几何图形之间的面积关系得到完全平方公式是解题的关键． （1）可以用大正方形的面积减去4个长方形的面积得到图b中的阴影部分的正方形面积；也可以直接利用正方形的面积公式得到； （2）①由（1）得到，把，，代入求，再利用完全平方公式求的值； ②由完全平方公式可知，，即则的值可求． 【详解】（1）方法一：图②中的阴影部分的正方形面积等于大正方形的面积减去4个长方形的面积，即； 方法二：图②中的阴影部分的正方形的边长等于，所以其面积为； ∴； 故答案为：； （2）①由（1）可知 ∵，， ∴， 解得，， ∵， ∴， ∴． ②∵， ∴ 即， ∴． 6．（23-24八年级上·福建福州·期中）我们已学完全平方公式：，观察下列式子： ， ，原式有最小值是； ， ，原式有最大值是； 并完成下列问题： (1)代数式有最 （填大或小）值，这个值= ． (2)解决实际问题：在紧靠围墙的空地上，利用围墙及一段长为100米的木栏围成一个长方形花圃，为了设计一个尽可能大的花圃，如图设长方形一边长度为米，完成下列任务． ①用含的式子表示花圃的面积； ②请说明当取何值时，花圃的最大面积是多少平方米？ 【答案】(1)小， (2)①平方米；②当时，花圃的最大面积为1250平方米 【分析】本题主要考查完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键； （1）根据题中所给方法可进行求解； （2）①利用长方形的面积长宽可得结论；②利用题中所给方法即可解决问题． 【详解】（1）解：， ∵， ∴， ∴代数式有最小值，最小值为； 故答案为小，； （2）解：①由图可得花圃的面积：平方米； ②由①可知：， 当时，，且， 当时，花圃的最大面积为1250平方米． 7．（23-24九年级上·湖北荆州·阶段练习）阅读下列材料：利用完全平方公式，将多项式变形为的形式，然后由就可求出多项式的最小值．    例：求多项式的最小值． 解：．因为所以 当时，，因此有最小值，最小值为1，即的最小值为1． 通过阅读，理解材料的解题思路，请解决以下问题： (1)【理解探究】已知代数式，求A的最小值； (2)【类比应用】张大爷家有甲、乙两块长方形菜地，已知甲菜地的两边长分别是米、米，乙菜地的两边长分别是米、米，试比较这两块菜地的面积和的大小，并说明理由； (3)【拓展升华】如图，中，，cm，cm，点M，N分别是线段AC和BC上的动点，点M从A点出发以的速度向C点运动；同时点N从C点出发以的速度向B点运动，当其中一点到达终点时，两点同时停止运动．设运动的时间为t，则当t的值为多少时，的面积最大，最大值为多少？ 【答案】(1) (2) (3)当t的值为4时，的面积最大，最大值为 【分析】（1）直接利用完全平方公式可得答案； （2）先求出，再利用完全平方公式即可求解； （3）根据题意表示出，再利用完全平方公式即可求解． 【详解】（1）解： ∵， ∴， ∴当时，有最小值，最小值为－9 即A的最小值为－9； （2）解：∵，， ∴ ∵， ∴， ∴ （3）解：由题意得：，， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴当时，有最大值，最大值为16． 即当t的值为4时，的面积最大，最大值为． 1．（24-25七年级下·贵州毕节·期末）一个底面是正方形的长方体，高为8，底面正方形的边长为如果它的高不变，底面正方形的边长增加，那么它的体积增加（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键．先计算原长方体的体积，再计算边长增加后的新体积，两者之差即为体积增加量． 【详解】解：原长方体的体积为底面积乘以高，即． 当底面正方形边长增加后，新边长为，新体积为． 展开新体积表达式： 体积增加量为新体积减去原体积： 因此，体积增加量为， 故选：D． 2．（24-25七年级下·江苏泰州·阶段练习）多顶式是一个完全平方式，则的值为（　　） A．11 B． C． D．11或 【答案】D 【分析】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 根据完全平方式的结构特征，确定中间项的系数，进而求出k的值． 【详解】解：∵为完全平方式， ∴ ∴ ∴或， 故选：D． 3．（24-25七年级下·四川成都·期末）小明在做作业时，发现有一道题抄题时没有注意少抄了一部分：，而这道题计算的结果是，你觉得小明少抄的这一部分应是（   ） A．a B．b C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是整式的乘法运算及其逆运算的含义，由逆运算可得，再与条件比对可得答案． 【详解】解：∵， ∴由完全平方公式的逆运算可得：， ∵， ∴由平方差公式的逆运算可得： ； ∴， ∴小明少抄的这一部分应是：， 故选：C 4．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）已知，则的值为（   ） A．4 B．6 C．2 D．8 【答案】C 【分析】本题考查了换元代入法求代数式的值．通过变量替换简化方程，利用完全平方公式求出，再利用平方差公式求解． 【详解】解：设，则 代入原方程得：， 整理得：， 所求表达式为：， 故选：C． 5．（2025·河北沧州·模拟预测）将数字填入如图所示的图形中，使得每个圆圈上的四个数字的和都等于21，若每个圆圈上的四个数字的平方和分别记为A，B，C，且．已知交点处的三个圆圈填入的数字分别为x，y，． 结论Ⅰ：；结论Ⅱ：． 对于结论Ⅰ和Ⅱ，下列判断正确的是（   ） A．结论Ⅰ正确，结论Ⅱ不正确 B．结论Ⅰ不正确，结论Ⅱ正确 C．结论Ⅰ、结论Ⅱ都正确 D．结论Ⅰ、结论Ⅱ都不正确 【答案】A 【分析】本题考查了整式的运算、完全平方公式以及有理数的乘方运算．解决本题的关键是理解x，y，这三个数每个都加了两次，并且能把凑成完全平方式． 根据x，y，这三个数每个都加了两次，三个圆上的数字之和应为63，1至9的和为45，可得；根据，1至9的平方和为285，通过配方，可得的值． 【详解】解：每个圆圈上的四个数字的和都等于21， 三个圆上的数字之和应为， 其中的x，y，这三个数每个都加了两次， ， ， ； 每个圆圈上的四个数字的平方和分别记A，B，C，且． ， ， ， 整理得， ， ， ， 综上可知，结论Ⅰ正确，结论Ⅱ不正确． 故选A． 6．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）若，，则下列判断正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查完全平方公式，有理数的大小比较，利用完全平方公式将变形后进行判断即可．将原式进行正确地变形是解题的关键．本题考查整式的化简求值，通过代数恒等式化简表达式，比较a和b的大小． 【详解】解：∵ ， ∴． 故选：A． 7．（24-25七年级下·福建漳州·期中）如图，大正方形的边长为，小正方形边长为，若，则图中阴影部分的面积和为（    ） A．8 B．12 C．16 D．24 【答案】A 【分析】本题考查了列代数式，解题的关键是根据面积公式和整体代入法来解答． 根据阴影部分的面积等于小正方形的面积加上3个三角形的面积，列出代数式并进行化简，最后将整体代入求出结果． 【详解】 ， ， 原式． 故选：A． 8．（24-25八年级下·江西景德镇·期末）已知实数满足，那么的平方根是 ． 【答案】 【分析】化成，后利用非负数的性质解答即可． 本题考查了完全平方公式，实数的非负性，平方根，熟练掌握公式和非负性是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得， 故， 解得， 故的平方根是， 故答案为：． 9．（24-25八年级下·浙江宁波·期末）已知，则m的值为 ． 【答案】1 【分析】本题考查了完全平方公式的应用． 先根据完全平方公式得到，再解方程即可． 【详解】解： 解得：， 故答案为：． 10．（24-25七年级下·河北承德·期末）如图，用9张类正方形卡片、4张类正方形卡片、张类长方形卡片，恰好能拼成一个大正方形，则的值为 ． 【答案】12 【分析】本题考查完全平方公式． 根据题意可得拼成的大正方形的面积为，利用完全平方公式即可求得答案． 【详解】解：由题意可得拼成的大正方形的面积为， 则， 那么， 即n的值为12， 故答案为：12． 11．（24-25七年级下·浙江金华·期末）如图1，将长方形纸片裁成形状、大小都相同的八块直角三角形，用其中四块拼成如图2所示的大正方形，经测量，图1中长方形纸片的周长为32，面积为56．则图2最中间的小正方形的面积为 ． 【答案】8 【分析】本题考查了多项式的运算与图形面积，涉及完全平方公式的灵活运用，准确理解题意是解题的关键． 用a、b分别表示每个直角三角形的直角边，则所求小正方形的面积即为两直角边差的平方，依据题意可列出代数式的关系式，再经过适当的变形与整体代入即可求得结果． 【详解】大小都相同的八块直角三角形中，较短的直角边长度设为a，较长的直角边长度设为b，如图． 根据题意得：，即 ∴小正方形的面积． 故答案为：8． 12．（24-25八年级上·甘肃天水·阶段练习）已知，，求： (1)的值； (2)的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了完全平方公式的运用，代数式求值，平方根的求解，熟练掌握相关运算法则是解题关键． （1）利用完全平方公式得到，代入求解即可； （2）利用完全平方公式得到，求出的值，再求其平方根即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴； （2）∵，， ， ∴． 13．（24-25八年级上·山东日照·阶段练习）整式乘除运算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了整式的混合运算、完全平方公式、积的乘方、整式乘法等知识点，掌握相关运算法则成为解题的关键． （1）先根据积的乘方、幂的乘方化简，然后再运用单项式乘单项式运算法则计算即可； （2）先计算单项式乘多项式，再去括号，然后合并同类项即可； （3）先加括号，然后再运用完全平方公式以及单项式乘多项式计算即可； （4）先通过加括号，再运用平方差公式、完全平方公式计算，最后合并同类项即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． （4）解： ． 14．（24-25七年级下·贵州毕节·期末）如图1是一个长为2m，宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四个小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形． (1)用含m，n的代数式表示图2中阴影部分的面积为______或______； (2)请观察图2并结合（1）中的结论，求出代数式，和mn之间的等量关系； (3)若，，请结合（2）中的等量关系，求xy的值． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键． （1）用两种方法分别表示图2中阴影部分的面积即可； （2）由（1）中两种方法所表示的面积相等可得答案； （3）利用（2）的结论代入计算即可． 【详解】（1）解：∵图2阴影部分是边长为的正方形， ∴面积为， 图2中阴影部分也可以看作大正方形与四个空白长方形的面积差，即， 故答案为：，； （2）解：由（1）可知，； （3）解：由（2）可知， ，， ， 解得． 15．（24-25七年级下·四川达州·期末）阅读下列材料： 若满足，求的值． 解：设，则， 所以． 请根据材料解答下列问题： (1)若满足，求的值． (2)如图，在长方形中，，分别是上的点，且，分别以为边在长方形外侧作正方形和正方形． ①用含的代数式表示：______，______； ②若长方形的面积为160，求图中阴影部分的面积和． 【答案】(1)5 (2)①；  ②384 【分析】本题考查完全平方公式与图形的面积，完全平方公式的变形应用．熟练掌握完全平方公式是解题的关键． （1）设，利用题干中给出的方法，结合完全平方公式，求解即可； （2）①利用图形性质可得答案；②利用阴影部分的面积等于两个正方形的面积和，列出代数式，再利用完全平方公式，进行求解即可． 【详解】（1）解：设，而， 则， ∴ ． （2）解：①根据题意，得． ②∵长方形的面积为， ∴， ∴． 根据题意，可知阴影部分的面积为． 设， 则， ∴． ∴阴影部分的面积为． 16．（24-25七年级下·福建三明·期中）由完全平方公式我们可以得出下列结论： ________①； ________②． (1)在题干中的横线上填写相关数式，使得等式成立； (2)利用公式①和②求解： （i）已知，求的值； （ii）若满足，求的值． 【答案】(1)①；② (2)（i）112；（ii） 【分析】本题主要考查了整式的化简求值； （1）根据完全平方公式进行解答即可； （2）（i）先根据完全平方公式求出，再次利用完全平方公式求出答案即可； （ii）先求出，再根据已知条件和完全平方公式求出答案即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴①， ②， 故答案为：①；②； （2）解：（i）∵， ∴， ∴； （ii）∵，， ∴ ， ∴． 1 / 35 学科网（北京）股份有限公司 $$