11.2 整式的乘法（第2课时）（题型专练）数学新教材华东师大版八年级上册

11.2 整式的乘法（第二课时） 题型一：单项式×多项式简单计算（选填） 1．（24-25八年级上·福建厦门·阶段练习）化简的结果是（     ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级下·陕西汉中·期中）计算：（    ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级下·江西赣州·期中）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 4．（2025·陕西西安·三模）计算：（　　） A． B． C． D． 5．（24-25七年级下·湖南娄底·期末）化简的结果是 ． 6．（24-25七年级下·四川绵阳·期中）计算的结果是 ． 7．（24-25七年级下·福建漳州·阶段练习）计算： = 题型二：单项式×多项式中不含某一项问题 1．（24-25七年级下·全国·期中）若的计算结果中不含项，则（   ） A． B．0 C． D． 2．（24-25八年级上·重庆·阶段练习）要使的展开式中不含的项，则的值是（   ） A． B．0 C．2 D．3 3．（23-24七年级下·陕西西安·期中）若的计算结果中不含有项，则a的值为（    ） A． B． C．0 D．3 4．（24-25七年级下·陕西汉中·期中）要使的展开式中不含的项，则常数a的值为 ． 5．（24-25八年级下·黑龙江绥化·期中）若计算的结果中不含项，则a的值为 ． 6．（2022·江苏无锡·一模）已知计算的结果中不含和的项，求m，n的值． 7．（23-24八年级上·全国·课后作业）若的展开式中不含项，求a的值． 题型三：利用单项式×多项式求代数式的值 1．（2025·河北廊坊·二模），则 ． 2．（24-25七年级下·浙江湖州·期末）若实数a，b满足，，则的值是 ． 3．（2025·四川自贡·中考真题）若，则的值为 ． 4．（24-25七年级下·江西吉安·期末）已知，则代数式的值为 ． 5．（24-25七年级下·河南郑州·期中）已知，则代数式的值为 ． 6．（24-25七年级下·江苏连云港·阶段练习）已知代数式的值是6，则代数式的值是 ． 7．（24-25七年级下·江苏盐城·阶段练习）如果，那么代数式的值为 ． 8．（2025七年级下·全国·专题练习）若，则代数式的值为 ． 9．（23-24七年级下·江苏盐城·阶段练习）已知，则 ． 题型四：单项式×多项式计算题 1．（24-25七年级下·湖南湘潭·期中）计算： (1)； (2)． 2．（24-25八年级下·黑龙江绥化·期中）计算： (1) (2) 3．（24-25七年级下·吉林长春·期中）计算： (1)． (2) 4．（24-25七年级下·陕西宝鸡·期中）计算： 5．（24-25七年级下·广东河源·期中）计算：． 6．（24-25八年级上·吉林四平·阶段练习）计算： ． 7．（24-25八年级上·北京·期中）计算：． 8．（2025七年级下·全国·专题练习）计算： 9．（2025七年级下·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 10．（2025七年级下·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型五：补起式子缺少的部分 1．（24-25七年级下·安徽亳州·期中）数学课上，老师讲了单项式乘以多项式，放学回到家，小明拿出课堂笔记复习，发现一道题：，“”的地方被墨水弄污了，则“”内应填写的式子是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·黑龙江佳木斯·阶段练习）小明在写作业时，不小心把墨水滴到了作业本上，，为墨水弄污的部分，那么被墨水弄污的部分是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·安徽合肥·期中）数学课上，老师讲了单项式乘以多项式，放学回到家，小明拿出课堂笔记复习，发现一道题：，“□”的地方被墨水弄污了，则“□”内应填写的式子是（   ） A． B． C． D． 4．（2025七年级下·河南郑州·专题练习）学习情境·墨迹污染  今天数学课上，老师讲了单项式乘多项式，放学回到家，小梦拿出课堂笔记复习，发现一道题：□，□的地方被钢笔水弄污了，你认为□内应填写（   ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级上·湖北襄阳·期中）数学课上，老师讲了单项式乘多项式，放学回到家，李刚拿出课堂笔记复习，发现一道题：，的地方被墨水弄污了，你认为应填写（   ） A． B． C． D． 题型六：单项式×多项式实际应用题 1．（24-25七年级下·湖北武汉·期中）如图，在一块长为，宽为的长方形草地上，有一条弯曲的小路，小路的左边线向右平移一段距离后就是它的右边线，若这块草地的覆盖面积正好为，则小路的宽度是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·陕西渭南·阶段练习）如图，一张长方形硬纸片，长为，宽为，在它的四个角上分别剪去一个边长均为的小正方形（阴影部分所示），然后折成一个无盖的盒子，请你求出折成无盖盒子所用硬纸片的面积． 3．（24-25七年级下·浙江湖州·期末）如图，一张长方形纸片甲可看作由2张正方形纸片A和2张长方形纸片B拼成．小吴同学将其重新剪拼，得到一幅新图形乙． (1)若甲为正方形，则乙的周长可表示为______．（用含a的代数式表示） (2)若猜测a与b之间的数量关系，说明理由． 4．（24-25七年级下·河北石家庄·期末）如图，某小区为改善业主的居住环境，准备在一个长为米，宽为米的长方形草坪上修建两条宽为米的小路． (1)求这两条小路的总面积；（要求化成最简形式） (2)若，求这两条小路的总面积． 5．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）已知两种商品A，B，商品成本价为元，提高后出售，商品亏本后售价为元． (1)用代数式表示商品A的售价_____元，商品B的成本价_____元， (2)若出售了件商品和件商品，则用代数式表示一共盈亏多少元（结果化简）？ (3)在（2）的条件下，说明，时的盈亏情况． 6．（24-25七年级下·安徽宿州·期中）在一次普及“交通安全知识”的活动中，学生们对货车的盲区面积进行探究．货车盲区的部分分布图如图所示，盲区1，2是两个形状大小均相同的直角三角形，盲区3是一个梯形，盲区4是一个正方形． (1)用含的代数式表示图中盲区的总面积．（结果需化简） (2)若，求图中盲区的总面积． 7．（24-25七年级下·陕西·期中）如图，李伯伯家有一块长为，宽为的长方形土地，李伯伯准备空出两块长都为，宽都为的小长方形土地以备他用，其余部分用来种植蔬菜． (1)用含a，b的代数式表示种植蔬菜的面积；（结果化到最简） (2)若，，且种植蔬菜每平方米的成本为10元，请计算种植蔬菜所需的总成本． 8．（24-25七年级下·陕西西安·期中）如图，在长为米、宽为米的长方形铁片上，剪去一个长为米、宽为b米的小长方形铁片． (1)请用含a，b的式子表示图中阴影的部分的面积S． (2)若，，求图中阴影部分的面积． 9．（24-25八年级上·吉林·期中）7个如图①的小长方形，长为a，宽为b，按照图②方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中未被覆盖的两个部分（图中阴影部分），设右上角的面积为，左下角的面积为 的长度为m． (1)填空： ____，_______（用含a、b、m的式子表示）； (2)若的值与m的取值无关，求a与b的数量关系； (3)在（2）的条件下，直接写出的值． 10．（2025·陕西商洛·一模）如图①，将一张长为，宽为的矩形卡片过顶点A剪去一个角后分别以为轴旋转一周，得到两个几何体（图②，图③）．试猜想哪个几何体的体积更大，并通过计算证明自己的猜想． 题型一：单项式×多项式与几何综合 1．（24-25七年级下·江苏·期末）如图，小正方形和大正方形相邻，且B、C、G三点在同一条直线上，C、D、E三点在同一条直线上，连接，，．若阴影部分的面积为12，则大正方形的面积与小正方形的面积之差为（    ） A．12 B．18 C．24 D．30 2．（24-25七年级下·浙江金华·期末）如图，三个边长分别为，，的正方形并排放置，记阴影部分的面积为，则下列关于的说法正确的是（   ） A．的值与的取值无关 B．的值与的取值无关 C．的值与的取值无关 D．的值与，，的取值均有关 3．（24-25七年级下·河北邢台·期末）利用图可以解释的是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级下·浙江·期中）长和宽分别为，和，的长方形与长方形如图摆放，其中点B、C、E三点在同一条直线上，图中空白部分面积记为，阴影部分面积记为，若想要得到的值，只需要测量的线段为（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 5．（24-25七年级下·浙江杭州·阶段练习）如图，已知正方形和正方形，点E在边上，连接交于点H，连接，，．若要求出图中阴影部分的面积，只需知道（    ） A．正方形的面积 B．三角形的面积 C．正方形的面积 D．三角形的面积 6．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）如图，圆圆同学画了三个面积相等的大正方形和三个面积相等小正方形（两个大小不同的正方形不重合无间隙），她在三个图上分别画出了三块阴影面积．若图1，图2，图3的阴影面积分别记为，且，，则（   ） A． B． C． D． 7．（24-25九年级上·广东深圳·阶段练习）如图，正方形的边长为4，点在边上．四边形也为正方形，设的面积为，则（    ） A． B． C． D．与长度有关 题型二：单项式×多项式中新定义问题 1．（24-25八年级上·云南昆明·期中）定义：三角表示，表示，则的结果为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·江苏常州·期中）定义运算，下面给出了关于这种运算的四个结论： ① ②若，则 ③若，则 ④若，则 其中正确的结论有（    ） A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②③④ 3．（24-25七年级下·安徽淮北·期末）定义：是以为系数的二次多项式，即，其中均为实数．例如：，．完成下面的探究： （1）当时，的值是 ； （2）若，则的值是 ． 4．（24-25七年级上·福建泉州·期中）定义一种对整数的“”运算：，以表示对整数进行次“”运算．例如，表示对进行次“”运算，因为是偶数，所以，第一次运算的结果为，因为第一次运算的结果是奇数，所以第二次运算的结果为，所以的运算结果是．请回答下列问题： (1)直接写出的运算结果是__________． (2)若为偶数，且的运算结果为，求的值． (3)若为奇数，且，，求的值． 5．（23-24七年级下·贵州遵义·阶段练习）阅读材料： 我们定义：如果一个数的平方等于，记作，那么这个i就叫做虚数单位，虚数与我们学过的实数结合在一起叫做复数，一个复数可以表示为（，均为实数）的形式，其中叫做它的实部，叫做它的虚部. 复数的加、减、乘的运算与我们学过的整式加、减、乘的运算类似. 例如：计算. 根据上述材料，解决下列问题： (1)填空：______，______； (2)计算：； (3)计算：. 题型三：单项式×多项式中规律探索题型 1．（23-24八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）问题提出： 如图，将全体正整数排成一个三角形数阵，按照图中排列的规律，第n行()从左向右的第3个数字为m，请用含n的代数式表示m． 问题解决： 小明同学认真观察数阵，经过思考后解决了问题，小明同学分两步解决这个问题 第1步先计算出数阵第行的末尾数字． 第2步再计算出m．请认真分析小明的解题过程并填空． 小明的解题过程： 因为第1行有1个数字是1，第2行有2个数字是2，3，第n行有n个数字， 所以第行应该有个数字，因此前行共有数字个， 所以三角形数阵的第行末尾数字用含n的代数式表示为______(直接填写) 因为第n行()从左向右的第3个数字为m，由此可得：______．(直接填写) 2．（24-25九年级下·安徽蚌埠·期中）已知是方程的一个根，该数满足： ， ， ， ， ， …… (1)依次规律，写出关于x的一次表达式； (2)若，请用关于x的一次表达式表示（含，），并证明你的结论． 3．（2023·安徽·二模）观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； …… 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第5个等式：___； (2)写出你猜想的第n个等式（用含n的等式表示，，且为整数），并证明． 4．（23-24八年级上·安徽宿州·阶段练习）观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第5个等式：______； (2)写出你猜想的第个等式：______（用含的等式表示），并证明． 5．（23-24八年级上·山东德州·期末）探究与发现：我们在过去的学习中已经发现了如下的运算规律：，，， (1)设a为整数，且，请用含a的等式写出一般的规律______； (2)小戴同学通过计算下列两位数的乘积，发现结果也存在一定的规律，请你补充小戴同学的探究过程：，，，； ①观察相乘的两位数，可以发现，两位数的十位上的数字______，个位上的数字的和等于______； ②根据发现，若设一个两位数的十位上的数字为m，个位上的数字为n，则另一个两位数的个位上的数字为______（其中m，n为小于10的正整数）．则以上两位数相乘的规律是______（用含m、n的等式表示）； ③利用发现的规律计算：______； ④请用所学知识证明②中规律的正确性． 6．（2024·安徽亳州·三模）图1有1个三角形，记作；分别连接这个三角形三边中点得到图2，有个三角形，记作；再分别连接图2中间的小三角形三边中点得到图3，有个三角形，记作；……．      根据上述规律，解答下面的问题： (1)图4中有______个三角形，记作______． (2)猜想图中有______个三角形，记作______；（用含的代数式表示） (3)求的值．（结果用含的代数式表示） 7．（2025·安徽宣城·一模）观察下列等式． 第1个等式：． 第2个等式：． 第3个等式：． 第4个等式：． …… 按照以上规律，解答下列问题． (1)写出第5个等式： ． (2)写出你猜想的第个等式（用含的式子表示），并证明． 1．（24-25七年级下·贵州贵阳·期末）长方形一边长为，另一边比它小，则长方形面积为（    ） A． B． C． D． 2．（2025·山东菏泽·二模）已知，则代数式的值为（　　） A．1 B． C．5 D． 3．（2025七年级下·河南·专题练习）计算的结果为（　　） A． B． C． D． 4．（24-25七年级下·江西九江·阶段练习）若的展开式是一个三次二项式，则的值有可能是（   ） A． B． C．或 D．或 5．（24-25八年级上·吉林长春·阶段练习）某同学在计算乘一个多项式时错将乘法做成了加法，得到的答案是，由此可以推断出正确的计算结果是（    ） A． B． C． D． 6．（24-25七年级下·浙江温州·期中）如图，长方形是由两个长为a，宽为b的长方形和），两个相同的大正方形和，以及小正方形无缝拼接组成．若阴影部分（四个直角三角形）的面积是正方形面积的4倍，则的值是（   ） A．2 B． C． D．3 7．（24-25七年级下·广东深圳·期末）若，则的值为 ． 8．（24-25七年级下·四川成都·期末）若规定符号的意义是：，则当时，的值为 ． 9．（24-25七年级下·湖南株洲·期中）将5张相同小长方形纸片（如图1）按图2所示的方式不重叠地放在长方形内，未被覆盖的部分恰好被分割为两个长方形，面积分别为和，已知小长方形纸片的长为a，宽为b，且．若，当m变化时，的值总保持不变，则a，b满足的等量关系是 ． 10．（24-25九年级上·湖南常德·期末）如图，某校园的学子餐厅密码做成了数学题，小亮在餐厅就餐时，思索了会，输入密码，顺利的连接到了学子餐厅的网络．若他输入的密码是2842■，最后两被隐藏了，那么被隐藏的两位数是 ． 11．（24-25七年级下·广东河源·期末）以下是一道例题的部分解答过程，其中A，B是两个关于x，y的二项式： 化简：（注意：运算顺序从左到右，逐个去掉括号）． (1)多项式A为________，多项式B为________，计算结果为________； (2)先化简，再求值：，其中，． 12．（24-25七年级下·重庆·期末）阅读下列材料，回答问题： 材料一：一般地，n个相同的因数a相乘，记为．若(且)，则n叫作以a为底b的对数，记为，即，如，则2叫作以3为底9的对数，记为，． 材料二：对数的一个性质为： ，) 如． (1)填空： ； (2)计算：； (3)若m，n满足，化简求值：． 13．（24-25七年级下·重庆·期中）先化简，再求值：，其中． 14．（24-25七年级下·河南周口·阶段练习）数学课上，王老师给学生出了一道题：当时，求的值．小明说：“不用给出的值就可以计算出结果．”小军说：“没有的值不能计算出结果．”你认为他们谁的说法正确，请说明理由． 15．（24-25八年级上·福建厦门·期末）为筹备2025年春节花展，厦门市园博苑计划培育两种新引进的花卉．如图所示，目前有一块由两个边长分别为米，米的正方形组成的不规则闲置地块可用于花卉培育．工作人员取小正方形边的中点，沿将该地块分割成两个小地块，分别用于培育两种花卉． (1)请用含有的代数式表示两个地块面积； (2)若，判断工作人员的做法能否使两种花卉的培育面积相等，并说明理由． 16．（2025·河北保定·一模）如图，正方形的边长为a，点E在边上，四边形也是正方形，它的边长为b（），连结、、． (1)用含a，b的代数式表示的面积； (2)的面积为，的面积为，当，时，求的值． 1 / 53 学科网（北京）股份有限公司 $$ 11.2 整式的乘法（第二课时） 题型一：单项式×多项式简单计算（选填） 1．（24-25八年级上·福建厦门·阶段练习）化简的结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了整式的混合运算，熟练掌握整式的混合运算法则是解题关键． 根据整式的乘法法则去括号，再根据整式的加减运算法则合并同类项，即可求解． 【详解】解：， 故选：B． 2．（24-25九年级下·陕西汉中·期中）计算：（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查单项式与多项式的乘法运算．运用分配律进行计算出结果即可判断． 【详解】解：， 故选：A． 3．（24-25九年级下·江西赣州·期中）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查合并同类项，同底数幂的除法，积的乘方以及单项式乘以多项式，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据运算法则进行计算判断即可． 【详解】解：和不是同类项，无法进行计算，故选项A错误； ，故选项B错误； ，故选项C正确； ，故选项D错误； 故选C． 4．（2025·陕西西安·三模）计算：（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了单项式乘以多项式，正确掌握运算法则是解题的关键． 直接利用单项式乘以多项式运算法则计算得出答案． 【详解】解： ． 故选： C． 5．（24-25七年级下·湖南娄底·期末）化简的结果是 ． 【答案】 【分析】此题考查了整式的混合运算．利用单项式乘以多项式法则展开，再计算整式加减法即可． 【详解】解： 故答案为： 6．（24-25七年级下·四川绵阳·期中）计算的结果是 ． 【答案】 【分析】本题考查整式的乘法运算，涉及多项式乘以单项式、单项式乘以单项式及同底数幂的乘法运算法则等知识，熟练掌握整式的乘法运算法则是解决问题的关键． 【详解】解： ， 故答案为：． 7．（24-25七年级下·福建漳州·阶段练习）计算： = 【答案】 【分析】此题主要考查了单项式乘多项式，正确掌握相关运算法则是解题关键．直接利用单项式与多项式相乘的运算法则：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加，进而得出答案． 【详解】解：， 故答案为：． 题型二：单项式×多项式中不含某一项问题 1．（24-25七年级下·全国·期中）若的计算结果中不含项，则（   ） A． B．0 C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了单项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．原式利用单项式乘多项式法则计算，根据结果中不含项，求出a的值即可． 【详解】解： ∵的计算结果中不含项， ∴， 解得：． 故选B． 2．（24-25八年级上·重庆·阶段练习）要使的展开式中不含的项，则的值是（   ） A． B．0 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题主要考查了单项式乘以多项式，先根据单项式乘以多项式的计算法则求出的展开结果，再根据的展开式中不含的项，即含的项的系数为0进行求解即可． 【详解】解： ， ∵的展开式中不含的项， ∴， ∴， 故选：C． 3．（23-24七年级下·陕西西安·期中）若的计算结果中不含有项，则a的值为（    ） A． B． C．0 D．3 【答案】A 【分析】本题考查了单项式与多项式的乘法，先按照单项式与多项式的乘法法则乘开，再合并关于x的同类项，然后令项的系数等于零，列方程求解即可． 【详解】解： ， ∵结果中不含有项， ∴， ∴． 故选A． 4．（24-25七年级下·陕西汉中·期中）要使的展开式中不含的项，则常数a的值为 ． 【答案】2 【分析】此题主要考查了单项式乘多项式，直接利用单项式乘多项式运算法则化简，进而得出项的系数为，即可得出答案，正确掌握相关运算法则是解题关键． 【详解】解： ， ∵展开式中不含的项， ∴， 解得：， 故答案为：2． 5．（24-25八年级下·黑龙江绥化·期中）若计算的结果中不含项，则a的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了整式加减中的无关型问题．正确的合并同类项是解题的关键． ，由结果不含有项，可得，计算求解即可． 【详解】解：， ∵结果不含有项， ∴， 解得，， 故答案为． 6．（2022·江苏无锡·一模）已知计算的结果中不含和的项，求m，n的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了单项式乘以多项式中的无关型问题，先根据单项式乘以多项式的计算法则去括号，然后合并同类项化简，再根据结果中不含和的项，即含和的项的系数为0进行求解即可． 【详解】解： ， ∵结果中不含和的项， ∴， ∴． 7．（23-24八年级上·全国·课后作业）若的展开式中不含项，求a的值． 【答案】 【分析】直接利用单项式乘多项式运算法则化简，进而得出项的系数为0，即可得出答案． 【详解】解： ∵展开式中不含项， ， 解得：． 题型三：利用单项式×多项式求代数式的值 1．（2025·河北廊坊·二模），则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了单项式乘多项式运算、解一元一次方程等知识点，掌握单项式乘多项式运算法则成为解题的关键． 先根据单项式乘多项式运算法则计算，然后解关于m的方程求解即可． 【详解】解：， ， ， ． 故答案为：． 2．（24-25七年级下·浙江湖州·期末）若实数a，b满足，，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了单项式乘以多项式，熟练掌握运算法则是解题关键．先根据单项式乘以多项式可得，再将代入计算即可得． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 故答案为：． 3．（2025·四川自贡·中考真题）若，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了求代数式的值、整式的混合运算，由题意可得，整体代入计算即可得解，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：． 4．（24-25七年级下·江西吉安·期末）已知，则代数式的值为 ． 【答案】12 【分析】本题考查单项式乘多项式，合并同类项，求代数式的值．正确将原式变形是解题关键．直接去括号、合并同类项，再把已知数据代入得出答案． 【详解】解：∵， ∴ ． 故答案为：． 5．（24-25七年级下·河南郑州·期中）已知，则代数式的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了单项式乘以多项式，代数式求值，先把变形为，然后利用整体代入求值即可，熟练掌握运算法则及整体代入是解题的关键． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴原式 故答案为：． 6．（24-25七年级下·江苏连云港·阶段练习）已知代数式的值是6，则代数式的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了代数式求值，单项式乘以多项式，利用整体代入的思想求解是解题的关键．先根据已知条件得到，则，再由进行求解即可． 【详解】解：∵代数式的值是6，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 7．（24-25七年级下·江苏盐城·阶段练习）如果，那么代数式的值为 ． 【答案】5 【分析】本题考查了整式混合运算，代数式求值，熟练掌握整体思想的利用是解题的关键． 把代数式整理成用已知条件表示的形式，然后代入数据计算即可． 【详解】解： ； 原式． 故答案为：． 8．（2025七年级下·全国·专题练习）若，则代数式的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查单项式乘多项式，整式的加减，乘法分配律，将原式进行正确的变形是解题的关键．将原式展开并变形后代入数值计算即可． 【详解】解：∵， ∴ ， 故答案为：． 9．（23-24七年级下·江苏盐城·阶段练习）已知，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了整体代入法求代数式的值，单项式乘以多项式，根据已知可得，，代入代数式，即可求解． 【详解】解：∵，则 ∴，则 即， ∴ ∴ 故答案为：． 题型四：单项式×多项式计算题 1．（24-25七年级下·湖南湘潭·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的运算，解题的关键是： （1）根据单项式乘以单项式法则计算即可； （2）根据单项式乘以多项式法则计算即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式 ． 2．（24-25八年级下·黑龙江绥化·期中）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了单项式乘以多项式，熟知单项式乘以多项式的计算法则是解题的关键． （1）根据单项式乘以多项式的计算法则求解即可； （2）先根据单项式乘以多项式的计算法则去括号，然后合并同类项即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 3．（24-25七年级下·吉林长春·期中）计算： (1)． (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查整式的混合运算： （1）先计算积的乘方，再计算单项式乘单项式，最后合并同类项进行化简； （2）计算单项式乘多项式． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 4．（24-25七年级下·陕西宝鸡·期中）计算： 【答案】 【分析】考查了积的乘方，单项式乘多项式，合并同类项，关键是熟练掌握计算法则正确进行计算．先算积的乘方，单项式乘多项式，再合并同类项即可求解． 【详解】原式， 5．（24-25七年级下·广东河源·期中）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了积的乘方，单项式乘多项式，先运算积的乘方，再运算单项式乘多项式，即可作答． 【详解】解： ． 6．（24-25八年级上·吉林四平·阶段练习）计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了整式的混合运算，灵活运用相关运算法则是解题的关键．直接运用整式的混合运算法则计算即可． 【详解】解： 7．（24-25八年级上·北京·期中）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了整式的混合运算，熟练掌握单项式乘以多项式法则是解题的关键； 先计算单项式乘以多项式，再合并同类项即可． 【详解】解：原式 ． 8．（2025七年级下·全国·专题练习）计算： 【答案】 【分析】本题考查了单项式与多项式相乘，根据单项式与多项式相乘，先用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加计算即可，熟练掌握运算法则是解题的关键，计算时要注意符号的处理． 【详解】解： ， 9．（2025七年级下·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】此题主要考查了积的乘方运算以及单项式乘以多项式以及合并同类项，正确掌握相关运算法则是解题关键． （1）直接利用积的乘方运算法则化简，再利用单项式乘以多项式运算法则计算得出答案； （2）利用单项式乘以多项式运算法则以及单项式乘以单项式运算法则计算得出答案； （3）直接利用积的乘方运算法则化简，再利用单项式乘以多项式运算法则计算得出答案； （4）利用单项式乘以多项式运算法则计算，再合并同类项得出答案． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式； （4）解：原式 ． 10．（2025七年级下·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了单项式乘以单项式法则，单项式乘以多项式法则，积的乘方法则，合并同类项法则，熟记法则是解题的关键． （1）根据单项式乘以多项式法则进行计算便可； （2）根据单项式乘以多项式法则进行计算便可； （3）先根据积的乘方法则，单项式乘多项式法则计算，再按照单项式乘以单项式法则计算，最后根据合并同类项法则计算； （4）先根据单项式乘以多项式法则进行计算，再根据合并同类项法则计算． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：， ， ， ； （4）解：， ， ． 题型五：补起式子缺少的部分 1．（24-25七年级下·安徽亳州·期中）数学课上，老师讲了单项式乘以多项式，放学回到家，小明拿出课堂笔记复习，发现一道题：，“”的地方被墨水弄污了，则“”内应填写的式子是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查单项式乘以多项式的运算，根据运算法则，将单项式分别乘以多项式中的每一项，再合并结果即可确定答案，熟练掌握单项式乘以多项式的运算法则是解此题的关键． 【详解】解：， 故“”内应填写的式子是， 故选：A． 2．（24-25八年级上·黑龙江佳木斯·阶段练习）小明在写作业时，不小心把墨水滴到了作业本上，，为墨水弄污的部分，那么被墨水弄污的部分是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了整式运算，熟练掌握相关运算法则是解题关键．将各选项分别代入并验证等号左右两边是否相等，即可获得答案． 【详解】解：A.将代入验证，可得，故本选项符合题意； B. 将代入验证，可得，故本选项不符合题意； C. 将代入验证，可得，故本选项不符合题意； D. 将代入验证，可得，故本选项不符合题意． 故选A． 3．（24-25七年级下·安徽合肥·期中）数学课上，老师讲了单项式乘以多项式，放学回到家，小明拿出课堂笔记复习，发现一道题：，“□”的地方被墨水弄污了，则“□”内应填写的式子是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了单项式乘多项式，掌握相关运算法则是解题关键．将单项式与多项式的每一项分别相乘，即可得到答案． 【详解】解：， 即“□”内应填写的式子是， 故选：A． 4．（2025七年级下·河南郑州·专题练习）学习情境·墨迹污染  今天数学课上，老师讲了单项式乘多项式，放学回到家，小梦拿出课堂笔记复习，发现一道题：□，□的地方被钢笔水弄污了，你认为□内应填写（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是单项式乘多项式，熟知单项式与多项式相乘就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得积相加是解答此题的关键． 先把等式左边的式子根据单项式与多项式相乘，所得结果与等式右边的式子相对照即可得出结论． 【详解】解：∵左边， 右边， ∴内应填， 故选：B． 5．（24-25八年级上·湖北襄阳·期中）数学课上，老师讲了单项式乘多项式，放学回到家，李刚拿出课堂笔记复习，发现一道题：，的地方被墨水弄污了，你认为应填写（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是单项式乘多项式，熟知单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加是解答此题的关键．先把等式左边的式子根据单项式与多项式相乘，先用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加，所得结果与等式右边的式子相对照即可得出结论． 【详解】解：∵左边 ． 右边， ∴□内上应填写． 故选：C． 题型六：单项式×多项式实际应用题 1．（24-25七年级下·湖北武汉·期中）如图，在一块长为，宽为的长方形草地上，有一条弯曲的小路，小路的左边线向右平移一段距离后就是它的右边线，若这块草地的覆盖面积正好为，则小路的宽度是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了单项式乘以多项式的实际应用，根据即可求解，理解题意是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴小路的宽度是， 故选：． 2．（24-25八年级上·陕西渭南·阶段练习）如图，一张长方形硬纸片，长为，宽为，在它的四个角上分别剪去一个边长均为的小正方形（阴影部分所示），然后折成一个无盖的盒子，请你求出折成无盖盒子所用硬纸片的面积． 【答案】 【分析】本题考查了整式的运算，理解纸片的面积减去剪去的4个小正方形的面积就是盒子的表面积是关键．利用纸片的面积减去剪去的4个小正方形的面积就是盒子的表面积． 【详解】解：依题意，纸片的面积是：； 一个小正方形的面积是：， 则无盖盒子的表面积是：． 3．（24-25七年级下·浙江湖州·期末）如图，一张长方形纸片甲可看作由2张正方形纸片A和2张长方形纸片B拼成．小吴同学将其重新剪拼，得到一幅新图形乙． (1)若甲为正方形，则乙的周长可表示为______．（用含a的代数式表示） (2)若猜测a与b之间的数量关系，说明理由． 【答案】(1)； (2)，理由见解析． 【分析】题目主要考查整式的混合运算，理解题意，结合图形求解是解题关键． （1）根据题意得，小长方形的长为，宽为b，正方形的边长为a，且，然后表示出大长方形的长为：，宽为：，求出周长即可； （2）根据题意得，再由面积比即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得，小长方形的长为，宽为b，正方形的边长为a，且， ∴大长方形的长为：，宽为：， ∴乙的周长可表示为：， 故答案为：； （2） ，即． 4．（24-25七年级下·河北石家庄·期末）如图，某小区为改善业主的居住环境，准备在一个长为米，宽为米的长方形草坪上修建两条宽为米的小路． (1)求这两条小路的总面积；（要求化成最简形式） (2)若，求这两条小路的总面积． 【答案】(1)平方米 (2)48平方米 【分析】本题主要考查了单项式乘以多项式的应用，正确表示出这两条小路的总面积是解题的关键． （1）这两条小路的总面积等于长为米，宽为b米的长方形面积加上长为米，宽为b米的长方形面积再减去边长为b米的正方形面积，据此求解即可； （2）把代入（1）所求式子中计算求解即可． 【详解】（1）解：两条小路的总面积为： 平方米； （2）解：当时， 平方米，即此时这两条小路的总面积为48平方米． 5．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）已知两种商品A，B，商品成本价为元，提高后出售，商品亏本后售价为元． (1)用代数式表示商品A的售价_____元，商品B的成本价_____元， (2)若出售了件商品和件商品，则用代数式表示一共盈亏多少元（结果化简）？ (3)在（2）的条件下，说明，时的盈亏情况． 【答案】(1) (2)一共盈亏元（结果如果为正，表示盈利；如果为负，表示亏损） (3)盈利1000元 【分析】本题考查了列代数式、代数式求值和整式加减的应用，正确列出相应的代数式、准确计算是解题的关键； （1）根据商品A的售价为元，商品B的成本价为列式求解即可； （2）先计算出一件A商品的盈利和一件B商品的盈利，再进一步计算即可； （3）把，代入（2）的代数式中求解即可； 【详解】（1）解：∵商品成本价为元，提高20%后出售，商品亏本20%后售价为元， ∴商品A的售价为元，商品B的成本价元； 故答案为：； （2）解：一件A商品盈利为元，一件B商品盈利为元， ； 答：一共盈亏元（结果如果为正，表示盈利；如果为负，表示亏损）； （3）解：当，时，（元）， 答：盈利1000元． 6．（24-25七年级下·安徽宿州·期中）在一次普及“交通安全知识”的活动中，学生们对货车的盲区面积进行探究．货车盲区的部分分布图如图所示，盲区1，2是两个形状大小均相同的直角三角形，盲区3是一个梯形，盲区4是一个正方形． (1)用含的代数式表示图中盲区的总面积．（结果需化简） (2)若，求图中盲区的总面积． 【答案】(1) (2)20 【分析】本题考查了整式的乘法运算与图形面积，求代数式的值，准确识图，熟练运用相关知识是解题的关键； （1）盲区面积等于梯形面积加上正方形面积加上两个直角三角形的面积，据此列式计算即可； （2）把整体代入（1）中所求代数式求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，盲区的总面积为： ； （2）解：当时，． 7．（24-25七年级下·陕西·期中）如图，李伯伯家有一块长为，宽为的长方形土地，李伯伯准备空出两块长都为，宽都为的小长方形土地以备他用，其余部分用来种植蔬菜． (1)用含a，b的代数式表示种植蔬菜的面积；（结果化到最简） (2)若，，且种植蔬菜每平方米的成本为10元，请计算种植蔬菜所需的总成本． 【答案】(1) (2)15500元 【分析】本题主要查了单项式乘以多项式的应用，求代数式的值： （1）用大长方形的面积减去2个小长方形的面积，列出代数式，即可求解； （2）把，代入（1）中的结果，即可求解． 【详解】（1）解： ， 即种植蔬菜的面积为． （2）解：当，时， ， （元）， 即种植蔬菜所需的总成本为15500元． 8．（24-25七年级下·陕西西安·期中）如图，在长为米、宽为米的长方形铁片上，剪去一个长为米、宽为b米的小长方形铁片． (1)请用含a，b的式子表示图中阴影的部分的面积S． (2)若，，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)平方米 (2)（平方米）． 【分析】本题考查整式的乘法运算及求值，解题的关键是根据长方形面积公式，用大长方形面积减去小长方形面积得到阴影部分面积表达式，再代入求值． （1）利用长方形面积公式分别求出大，小长方形面积．用大长方形面积减去小长方形面积得出阴影部分面积表达式． （2）将的值代入表达式求出阴影部分面积． 【详解】（1）解：根据题意，得 平方米． （2）当，时， （平方米）． 9．（24-25八年级上·吉林·期中）7个如图①的小长方形，长为a，宽为b，按照图②方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中未被覆盖的两个部分（图中阴影部分），设右上角的面积为，左下角的面积为 的长度为m． (1)填空： ____，_______（用含a、b、m的式子表示）； (2)若的值与m的取值无关，求a与b的数量关系； (3)在（2）的条件下，直接写出的值． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】本题主要考查了单项式乘以多项式的意义，整式加减中的无关型问题，正确求出和是解题的关键． （1）根据题意分别表示出两个阴影部分长方形的长和宽，进而表示出对应的面积即可； （2）根据（1）所求结合整式的加减计算法则求出的结果，再根据结果与m无关列式求解即可； （3）根据（2）所求即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得，； ； （2）解：由（1）得， ∵的值与m的取值无关， ∴， ∴； （3）解：由（2）得． 10．（2025·陕西商洛·一模）如图①，将一张长为，宽为的矩形卡片过顶点A剪去一个角后分别以为轴旋转一周，得到两个几何体（图②，图③）．试猜想哪个几何体的体积更大，并通过计算证明自己的猜想． 【答案】图③中圆锥的体积更大，理由见解析 【分析】此题考查了点、线、面、体中的面动成体，解题关键是：分两种情况分别计算几何体的体积，再比较大小，先计算体积，再作差比较大小即可. 【详解】解：图③中圆锥的体积更大．理由如下： 设图②中圆锥的体积为，图③中圆锥的体积为， 则， ∴． ∴，则， ∴图③中圆锥的体积更大． 题型一：单项式×多项式与几何综合 1．（24-25七年级下·江苏·期末）如图，小正方形和大正方形相邻，且B、C、G三点在同一条直线上，C、D、E三点在同一条直线上，连接，，．若阴影部分的面积为12，则大正方形的面积与小正方形的面积之差为（    ） A．12 B．18 C．24 D．30 【答案】C 【分析】本题考查了单项式乘以多项式的应用，设大正方形的边长为，小正方形的边长为，则大正方形的面积为，小正方形的面积为，表示出阴影部分的面积，计算即可得解，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：设大正方形的边长为，小正方形的边长为，则大正方形的面积为，小正方形的面积为， ∴阴影部分的面积为， ∴， ∴， 故大正方形的面积与小正方形的面积之差为， 故选：C． 2．（24-25七年级下·浙江金华·期末）如图，三个边长分别为，，的正方形并排放置，记阴影部分的面积为，则下列关于的说法正确的是（   ） A．的值与的取值无关 B．的值与的取值无关 C．的值与的取值无关 D．的值与，，的取值均有关 【答案】A 【分析】本题考查了整式的混合运算，割补法求阴影部分的面积，三角形的面积等．先将图形补充为一个大长方形，根据阴影部分的面积大长方形的面积空白部分的三个三角形的面积，列出代数式，结合整式的混合运算化简，即可求解． 【详解】解：如图，将图形补充为一个大长方形， 则 ， 即的值与的取值无关． 故选：A． 3．（24-25七年级下·河北邢台·期末）利用图可以解释的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了乘法公式的几何意义．用两种形式表示阴影部分的体积即可． 【详解】解：由图可知， 阴影部分的体积为， 或三个小长方体的体积减白色部分，即， 可知， 故选：A． 4．（24-25七年级下·浙江·期中）长和宽分别为，和，的长方形与长方形如图摆放，其中点B、C、E三点在同一条直线上，图中空白部分面积记为，阴影部分面积记为，若想要得到的值，只需要测量的线段为（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】A 【分析】本题考查了多项式乘法与图形面积，熟练掌握长方形的性质，三角形的面积公式，整式的加减运算是解决问题的关键． 依题意得，根据三角形和长方形的面积公式得，进而得，，则，据此即可得出答案． 【详解】解：依题意得， ， ， ∵，     ， ， ∴想要得到的值，只需要测量的线段和的长即可． 故选：A． 5．（24-25七年级下·浙江杭州·阶段练习）如图，已知正方形和正方形，点E在边上，连接交于点H，连接，，．若要求出图中阴影部分的面积，只需知道（    ） A．正方形的面积 B．三角形的面积 C．正方形的面积 D．三角形的面积 【答案】A 【分析】本题主要考查了平行线的性质，单项式乘以多项式在几何图形中的应用，连接，由平行线的性质可得，则，设正方形和正方形的边长分别为，则，根据可得，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵， ∴， ∴， 设正方形和正方形的边长分别为，则， ∴ ， ∴只需要知道正方形的面积就可以知道阴影部分的面积， 故选：A． 6．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）如图，圆圆同学画了三个面积相等的大正方形和三个面积相等小正方形（两个大小不同的正方形不重合无间隙），她在三个图上分别画出了三块阴影面积．若图1，图2，图3的阴影面积分别记为，且，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】该题考查了多项式乘法与图形面积，解题的关键是表示出图中阴影部分面积． 设大正方形和小正方形的边长分别为，根据图1和图2列出等式，求出，再根据图3表示出阴影部分面积，代入求解即可． 【详解】解：设大正方形和小正方形的边长分别为， 根据题意可得：， 即， ， 即，解得：； ∴， ∴， 故选：A． 7．（24-25九年级上·广东深圳·阶段练习）如图，正方形的边长为4，点在边上．四边形也为正方形，设的面积为，则（    ） A． B． C． D．与长度有关 【答案】B 【分析】此题考查了整式的混合运算，阴影部分面积正方形面积正方形面积三角形面积三角形面积三角形面积， 据此求解即可 ． 【详解】解： 设正方形的边长为， 根据题意得： 故选：B． 题型二：单项式×多项式中新定义问题 1．（24-25八年级上·云南昆明·期中）定义：三角表示，表示，则的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了新定义运算，单形式乘以多项式；由新定义得，进行单形式乘以多项式运算，即可求解；理解新定义，正确进行单形式乘以多项式运算是解题的关键． 【详解】解：由题意得， 原式 ， 故选：D． 2．（24-25七年级下·江苏常州·期中）定义运算，下面给出了关于这种运算的四个结论： ① ②若，则 ③若，则 ④若，则 其中正确的结论有（    ） A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的四则混合运算、一元一次方程的应用、单项式乘以多项式等知识，正确理解新运算的定义是解题关键．根据新运算的定义可得，计算有理数的运算即可判断①正确；根据新运算的定义可得一个关于的一元一次方程，解方程即可判断②正确；先求出，，再根据新运算的定义代入计算，由此即可判断③正确；根据新运算的定义可得，则可得或，由此即可判断④错误． 【详解】解：由题意得： ，结论①正确； 由题意得：， ∵， ∴， 解得，结论②正确； ∵， ∴，， ∴ ，结论③正确； 由题意得：， ∵， ∴， ∴或， ∴或，结论④错误； 综上，正确的结论有①②③， 故选：A． 3．（24-25七年级下·安徽淮北·期末）定义：是以为系数的二次多项式，即，其中均为实数．例如：，．完成下面的探究： （1）当时，的值是 ； （2）若，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了多项式乘多项式，新定义问题，正确理解题意是解题的关键． （1）根据定义，求出，再将即可解答； （2）根据定义求得，得到，，再求出，最后整体代入即得答案． 【详解】解：（1） ； 故答案为：； （2） ， ∴，， ∴ ． 故答案为：． 4．（24-25七年级上·福建泉州·期中）定义一种对整数的“”运算：，以表示对整数进行次“”运算．例如，表示对进行次“”运算，因为是偶数，所以，第一次运算的结果为，因为第一次运算的结果是奇数，所以第二次运算的结果为，所以的运算结果是．请回答下列问题： (1)直接写出的运算结果是__________． (2)若为偶数，且的运算结果为，求的值． (3)若为奇数，且，，求的值． 【答案】(1) (2)或 (3)，，， 【分析】本题考查了整式的运算，一元一次方程和不等式的应用，解题的关键是分类讨论和理解“”运算． （1）根据“”运算求解即可； （2）由于为偶数，则的第一次运算结果为，第二次运算分两种情况：当是偶数时，当是奇数时，根据“”运算求解即可； （3）根据为奇数，且，得到第一次运算的结果为，求出，由于为偶数，则第二次运算的结果为，第三次运算分两种情况：当是偶数时，当是奇数时，根据“”运算列出不等式，即可求解． 【详解】（1）解：中，是奇数， 的运算结果是， 故答案为：； （2）解：为偶数， 的第一次运算结果为， 当是偶数时，的第二次运算结果为， 解得：； 当是奇数时，的第二次运算结果为， 解得：； 综上所述，的值为或； （3）解：为奇数，且，， 第一次运算的结果为， 解得：， 、为奇数， 为偶数， 第二次运算的结果为， 当是偶数时，第三次运算的结果为， 解得：， 当是奇数时，第三次运算的结果为， 解得：， 综上所述，， 为奇数，且是整数， 的值为，，，． 5．（23-24七年级下·贵州遵义·阶段练习）阅读材料： 我们定义：如果一个数的平方等于，记作，那么这个i就叫做虚数单位，虚数与我们学过的实数结合在一起叫做复数，一个复数可以表示为（，均为实数）的形式，其中叫做它的实部，叫做它的虚部. 复数的加、减、乘的运算与我们学过的整式加、减、乘的运算类似. 例如：计算. 根据上述材料，解决下列问题： (1)填空：______，______； (2)计算：； (3)计算：. 【答案】(1)；1 (2) (3) 【分析】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）利用题中的新定义计算即可求出值； （2）原式去括号合并即可得到结果； （3）原式去括号合并即可得到结果． 【详解】（1）解：原式，原式； 故答案为：；1； （2）原式； （3）原式． 题型三：单项式×多项式中规律探索题型 1．（23-24八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）问题提出： 如图，将全体正整数排成一个三角形数阵，按照图中排列的规律，第n行()从左向右的第3个数字为m，请用含n的代数式表示m． 问题解决： 小明同学认真观察数阵，经过思考后解决了问题，小明同学分两步解决这个问题 第1步先计算出数阵第行的末尾数字． 第2步再计算出m．请认真分析小明的解题过程并填空． 小明的解题过程： 因为第1行有1个数字是1，第2行有2个数字是2，3，第n行有n个数字， 所以第行应该有个数字，因此前行共有数字个， 所以三角形数阵的第行末尾数字用含n的代数式表示为______(直接填写) 因为第n行()从左向右的第3个数字为m，由此可得：______．(直接填写) 【答案】； 【分析】本题是通过观察数阵找规律的题目，关键是找到规律：第n行有n个数字，从而得到前的数字总数，即第行的最后一个数字，从而得到第n行()从左向右的第3个数字，即m的值． 【详解】解：观察数阵，从第1行开始各行分别有整数的个数为：1，2，3，4，5，…，由此发现第n行有n个数； 第行应该有个数字，因此前行共有数字，所以三角形数阵的第行末尾数字用含n的代数式表示为：． 因为第n行()从左向右的第3个数字为m， 由此可得：． 故答案为：；． 2．（24-25九年级下·安徽蚌埠·期中）已知是方程的一个根，该数满足： ， ， ， ， ， …… (1)依次规律，写出关于x的一次表达式； (2)若，请用关于x的一次表达式表示（含，），并证明你的结论． 【答案】(1) (2)；证明见解析 【分析】（1）根据等式左边系数及常数的变化规律求解即可； （2）结合（1）的规律可得，利用，再代入变形即可证得结论． 【详解】（1）解：观察，，，，每项的系数变化可得：一次项系数为上一个式子的一次项系数与常数项之和，常数项为上一个式子的一次项系数； 即：； （2）由规律可得：； 证明：∵， ∴， 又∵， ∴， 即：． 3．（2023·安徽·二模）观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； …… 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第5个等式：___； (2)写出你猜想的第n个等式（用含n的等式表示，，且为整数），并证明． 【答案】(1) (2)．证明见解析 【分析】（1）观察前几个等式的规律，即可写出第5个等式； （2）结合（1）发现的规律即可写出第n个等式． 【详解】（1）解：∵第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； ∴第5个等式：； 故答案为：； （2）解：根据（1）猜想第n个等式：． 证明：∵等式左边， 等式右边， ∴左边=右边， ∴． 4．（23-24八年级上·安徽宿州·阶段练习）观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第5个等式：______； (2)写出你猜想的第个等式：______（用含的等式表示），并证明． 【答案】(1) (2)，证明见解析 【分析】本题主要考查了数字的变化规律，列代数式． （1）观察等式的左边第一数字均为3，第二个数字与等式的序号相同的数的平方，第三个数字也与等式序号相同，等号右边的第一个数字与等式序号相同，第二个数字是等式序号的3倍，第三个数字均为1，依此规律答案可得； （2）利用（1）中发现的规律可得结论，证明时通过运算说明左右相等即可． 【详解】（1）解：第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式为：； 第5个等式为：； 故答案为：； （2）解：第n个等式为：． 证明：∵右边， 左边， ∴左边=右边． ∴等式成立． 故答案为：． 5．（23-24八年级上·山东德州·期末）探究与发现：我们在过去的学习中已经发现了如下的运算规律：，，， (1)设a为整数，且，请用含a的等式写出一般的规律______； (2)小戴同学通过计算下列两位数的乘积，发现结果也存在一定的规律，请你补充小戴同学的探究过程：，，，； ①观察相乘的两位数，可以发现，两位数的十位上的数字______，个位上的数字的和等于______； ②根据发现，若设一个两位数的十位上的数字为m，个位上的数字为n，则另一个两位数的个位上的数字为______（其中m，n为小于10的正整数）．则以上两位数相乘的规律是______（用含m、n的等式表示）； ③利用发现的规律计算：______； ④请用所学知识证明②中规律的正确性． 【答案】(1) (2)①相同，10；②，；③4221；④证明见解析 【分析】本题考查列代数式、有理数的混合运算，解答本题的关键是明确题意，发现式子的变化特点． （1）根据题目给出的等式，即可发现规律； （2）①根据题目给出的等式，即可发现规律； ②根据题目给出的等式，即可发现规律； ③运用②中的规律得出计算结果即可； ④运用整式的乘法运算即可证得结论． 【详解】（1）解：设为整数，且， ， 故答案为：； （2）解：①观察等式：，，，； 发现：两位数的十位上的数字相同，个位上的数字的和等于10； 故答案为：相同，10； ②根据①发现的规律，设一个两位数的十位上的数字为，个位上的数字为，则另一个两位数的个位上的数字为，（其中，为小于10的正整数）． 则以上两位数相乘的规律是； 故答案为：，； ③， 故答案为：4221； ④ ， 故． 6．（2024·安徽亳州·三模）图1有1个三角形，记作；分别连接这个三角形三边中点得到图2，有个三角形，记作；再分别连接图2中间的小三角形三边中点得到图3，有个三角形，记作；……．      根据上述规律，解答下面的问题： (1)图4中有______个三角形，记作______． (2)猜想图中有______个三角形，记作______；（用含的代数式表示） (3)求的值．（结果用含的代数式表示） 【答案】(1)13，13 (2)， (3) 【分析】本题考查了图形变化的一般规律问题，整式的乘法，能够通过观察，掌握其内在规律是解题的关键． （1）由第一个图中1个三角形，第二个图中5个三角形，第三个图中9个三角形，每次递增4个，即可得出第4个图形中有13个三角形； （2）根据（1）中的规律即可得出第n个图形中有个三角形； （3）根据题意得到，然后整理求解即可． 【详解】（1）∵第一个图中1个三角形， 第二个图中5个三角形， 第三个图中9个三角形， ∴图4中有13个三角形，记作 （2）由（1）可得， 图中有个三角形，记作； （3） ． 7．（2025·安徽宣城·一模）观察下列等式． 第1个等式：． 第2个等式：． 第3个等式：． 第4个等式：． …… 按照以上规律，解答下列问题． (1)写出第5个等式： ． (2)写出你猜想的第个等式（用含的式子表示），并证明． 【答案】(1) (2)，证明见解析 【分析】本题考查了数字类规律探究，多项式乘以多项式，找到规律是解题的关键； （1）观察前几个式子得出第5个等式：； （2）猜想：第个等式为，根据多项式乘以多项式，进行计算证明，即可求解． 【详解】（1）解：第5个等式：． 故答案为：． （2）猜想：第个等式为 证明：左边 右边 左边右边 ∴ 1．（24-25七年级下·贵州贵阳·期末）长方形一边长为，另一边比它小，则长方形面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了整式的加减、多项式乘以单项式，熟练掌握运算法则是解题关键． 根据题意，先求出长方形的另一边长，再利用多项式乘法计算面积． 【详解】解：∵一边长为 ，另一边比它小 ， ∴另一边长为： ∴长方形的面积为： 故选：D． 2．（2025·山东菏泽·二模）已知，则代数式的值为（　　） A．1 B． C．5 D． 【答案】B 【分析】本题考查了单项式乘以单项式的化简求值，熟练掌握整式的化简求值是解题的关键．将整理得，然后代入化简后的代数式计算即可． 【详解】解：， ∴， ∴ ． 故选：B． 3．（2025七年级下·河南·专题练习）计算的结果为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了整式混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键；通过单项式乘多项式法则进行展开，然后合并同类项，即可解答． 【详解】解： ， 故选：D． 4．（24-25七年级下·江西九江·阶段练习）若的展开式是一个三次二项式，则的值有可能是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【分析】本题考查多项式的乘法运算以及多项式的次数和项数的概念，解题的关键是根据多项式的次数和项数的要求确定m，n的值． 先根据单项式乘多项式法则展开式子，再根据展开式是三次二项式的条件，分别讨论m，n的取值，进而求出的值． 【详解】解： ∵展开式是一个三次二项式， ①当与是同类项时， ， ， ； ②当与是同类项时， ， ， ， ③当与是同类项时，不存在这种可能； 故选：A． 5．（24-25八年级上·吉林长春·阶段练习）某同学在计算乘一个多项式时错将乘法做成了加法，得到的答案是，由此可以推断出正确的计算结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查整式的混合运算，单项式乘多项式，先根据题意算出这个多项式，再与相加即乘即可，熟练掌握整式的混合运算的运算法则是解答本题的关键． 【详解】解：由题意知， 这个多项式为：， ∴正确的计算结果为： ， 故选：A． 6．（24-25七年级下·浙江温州·期中）如图，长方形是由两个长为a，宽为b的长方形和），两个相同的大正方形和，以及小正方形无缝拼接组成．若阴影部分（四个直角三角形）的面积是正方形面积的4倍，则的值是（   ） A．2 B． C． D．3 【答案】C 【分析】本题考查整式运算的实际应用，设小正方形的边长为，易得，根据阴影部分（四个直角三角形）的面积是正方形面积的4倍，得到，进而求出的值，根据正方形的边长相等，得到，进行求解即可． 【详解】解：设小正方形的边长为， 由题意，得： 则：， ∴ 阴影部分（四个直角三角形）的面积为：， 正方形面积的面积为， ∴， ∴， ∵四边形为正方形， ∴， ∴， ∴， 整理得：， ∴； 故选C． 7．（24-25七年级下·广东深圳·期末）若，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查代数式求值，将原式进行正确地变形是解题的关键． 由题意易得且，然后将原式变形为后两边同乘以即可求得答案． 【详解】解：， 且，， 将两边同乘以得， 故答案为：． 8．（24-25七年级下·四川成都·期末）若规定符号的意义是：，则当时，的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，单项式乘多项式．根据题意，列出式子，再将变形为，整体代入求出结果． 【详解】解：由题意得 ． ∵， ∴， ∴原式． 故答案为：． 9．（24-25七年级下·湖南株洲·期中）将5张相同小长方形纸片（如图1）按图2所示的方式不重叠地放在长方形内，未被覆盖的部分恰好被分割为两个长方形，面积分别为和，已知小长方形纸片的长为a，宽为b，且．若，当m变化时，的值总保持不变，则a，b满足的等量关系是 ． 【答案】 【分析】本题考查整式运算的应用，分别表示出，根据的值总保持不变，得到值与的值无关，得到的系数为0，进行求解即可． 【详解】解：由图可知：，， ∴， ∵当m变化时，的值总保持不变， ∴， ∴； 故答案为：． 10．（24-25九年级上·湖南常德·期末）如图，某校园的学子餐厅密码做成了数学题，小亮在餐厅就餐时，思索了会，输入密码，顺利的连接到了学子餐厅的网络．若他输入的密码是2842■，最后两被隐藏了，那么被隐藏的两位数是 ． 【答案】70 【分析】本题考查了数字类规律探索、单项式乘多项式的应用，正确发现一般规律是解题关键．先根据已知等式找出规律，再设等式左边三个数分别为，则，，据此求出的值即可得． 【详解】解：由第1个等式可知，，，， 由第2个等式可知，，，， 由第3个等式可知，，，， 由第4个等式可知，，，， 设等式左边三个数分别为， 则，， 所以被隐藏的两位数是， 故答案为：70． 11．（24-25七年级下·广东河源·期末）以下是一道例题的部分解答过程，其中A，B是两个关于x，y的二项式： 化简：（注意：运算顺序从左到右，逐个去掉括号）． (1)多项式A为________，多项式B为________，计算结果为________； (2)先化简，再求值：，其中，． 【答案】(1) (2)化简结果为，求值结果为． 【分析】本题考查了多项式的乘法运算、合并同类项、化简求值以及代数式的对应推理．解题的关键是通过等式两边的项对应关系确定未知多项式，再运用整式的运算法则准确化简和计算． （1）对等式右边进行适当变形，对比等式两边结构，求出，并将多项式进行合并得到计算结果． （2）代入的表达式，展开多项式乘法，并合并同类项化简式子；代入x、y的值计算结果． 【详解】（1）解：∵， ∴． ∵， ∴计算结果为． 故答案为：；；． （2）解：∵， ∴， 将代入上式得：． 故化简结果为，求值结果为． 12．（24-25七年级下·重庆·期末）阅读下列材料，回答问题： 材料一：一般地，n个相同的因数a相乘，记为．若(且)，则n叫作以a为底b的对数，记为，即，如，则2叫作以3为底9的对数，记为，． 材料二：对数的一个性质为： ，) 如． (1)填空： ； (2)计算：； (3)若m，n满足，化简求值：． 【答案】(1) (2) (3)， 【分析】本题主要考查了新定义，整式的化简求值，正确理解新定义是解题的关键． （1）根据，结合新定义可得答案； （2）由可得，据此可得答案； （3）根据题意可得，则，再把所求式子先去括号，再合并同类项化简，最后代值计算即可得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：∵， ∴ ； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴ ． 13．（24-25七年级下·重庆·期中）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题主要考查了整式的化简求值， 非负数的性质，实数的运算，先根据单项式乘以多项式的计算法则去括号，然后合并同类项化简，再根据非负数的性质求出x、y的值并代值计算即可得到答案． 【详解】解： ， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴原式． 14．（24-25七年级下·河南周口·阶段练习）数学课上，王老师给学生出了一道题：当时，求的值．小明说：“不用给出的值就可以计算出结果．”小军说：“没有的值不能计算出结果．”你认为他们谁的说法正确，请说明理由． 【答案】小明说得对，理由见解析 【分析】本题考查了单项式乘多项式化简求值，掌握整式的加减运算法则是解题的关键．先合并同类项，再根据结果判断即可． 【详解】解：小明说得对，理由如下： ． 因为化简结果中不含有，， 所以结果跟，的值无关， 故小明说得对． 15．（24-25八年级上·福建厦门·期末）为筹备2025年春节花展，厦门市园博苑计划培育两种新引进的花卉．如图所示，目前有一块由两个边长分别为米，米的正方形组成的不规则闲置地块可用于花卉培育．工作人员取小正方形边的中点，沿将该地块分割成两个小地块，分别用于培育两种花卉． (1)请用含有的代数式表示两个地块面积； (2)若，判断工作人员的做法能否使两种花卉的培育面积相等，并说明理由． 【答案】(1)， (2)工作人员的做法能使两种花卉的培育面积相等，理由见详解 【分析】本题主要考查字母表示数或数量关系，理解图示中线段的数量关系正确列出代数式是关键． （1）根据题意，空白部分根据三角形面积公式计算，另一边不规则图形的面积有两个正方形的面积减去空白部分的面积即可； （2）将分别代入进行计算即可． 【详解】（1）解：点是的中点， ∴， ∴空白部分的面积， ∴阴影部分的面积； （2）解：工作人员的做法能使两种花卉的培育面积相等，理由如下， 当时， ， ， ∴， ∴工作人员的做法能使两种花卉的培育面积相等． 16．（2025·河北保定·一模）如图，正方形的边长为a，点E在边上，四边形也是正方形，它的边长为b（），连结、、． (1)用含a，b的代数式表示的面积； (2)的面积为，的面积为，当，时，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查列代数式，单项式乘多项式与几何图形的面积，化简求值． （1）利用即可求解； （2）根据三角形面积公式分别表示出，，代入中，化简后，由，求出，即，再求出，代入计算即可． 【详解】（1）解：∵正方形的边长为a，正方形的边长为b（）， ∴ ； （2）解：根据题意：，， 由（1）知， ∴ ； ∵， ∴，即， ∴， ∴． 1 / 53 学科网（北京）股份有限公司 $$